BIMA - Examen session 1 - IA

Exercice 3 — Réflexion (6 points)
La distance de Bhattacharya permet (entre autres) de mesurer l’écart entre deux histogrammes
H 1 et H 2 , respectivement des images I 1 et I 2 (dans cet histogramme, on appellera
P le nombre de pixels qu’elles contiennent - les images sont de même taille), et est définie par la
formule suivante :
L−1
∑ √
d(H 1 , H 2 ) = √ 1 − H1 (k)H 2 (k)
où H 1 (k) (respectivement H 2 (k)) est le nombre de pixels de niveau de gris k présents dans l’image
divisé par le nombre total de pixels dans l’image I 1 (respectivement I 2 ) : H 1 (k) et H 2 (k) sont
donc ici des histogrammes normalisés.
k=0
1. À quoi sera égale la distance de Bhattacharya entre deux images complétement identiques ?
Justifier en donnant l’expression de cette distance dans ce cas particulier.
2. Donner l’expression de la distance de Bhattacharya entre deux images I 1 et I 2 complétement
homogènes, mais d’un niveau de gris différent (k 1 pour I 1 et k 2 pour I 2 ) ? Est-ce que la
valeur de cette distance est dépendante de k 1 et k 2 ? Expliquer pourquoi ?
Exercice 4 — Aliasing (6 points)
On considère la fonction 2D suivante (sinus cardinal 2D) :
sinc 2d (x, y) = sin(2πf ox)
2πf o x
· sin(2πf oy)
2πf o y
( ) (
La transformée de Fourier de sinc 2d (x, y) s’écrit : T F [sinc 2d (x, y)] = S(u, v) = 1
u
Rect
f0 2 2f o
Rect
Rappel : la fonction Rect(t) est la fonction ”Porte” :
{
1 si |t| ≤
1
Rect(t) =
2
(2)
0 sinon
1. sinc 2d (x, y) est-il un signal à bande limitée ?
(a) Quelle est sa fréquence de coupure ?
(b) Représenter graphiquement S(u, v).
2. On échantillonne sinc 2d avec f e = f o .
(a) Le signal est-il échantillonné de sorte à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation
(théorème de Shannon) ?
(b) Quelle est la fréquence de coupure limite f l e ?
(c) Représenter graphiquement le spectre du signal échantillonné pour f e = 4f o .
(1)
v
2f o
).
2