BIMA - Examen session 1 - IA

Bases de l’imagerie
Spécialité IMAgerie
BIMA - Examen session 1
13 décembre 2010
Le barème, sur 40, n’est donné qu’à titre indicatif, et est susceptible d’être modifié. Aucun document
ni machine électronique ne sont autorisés. Durée de l’examen : 2h.
Exercice 1 — Questions de cours (4 points)
1. Si on détecte, dans le spectre de Fourier d’une image une bande de fréquence particulièrement
forte, est-il possible de la localiser dans le domaine spatial ? (5 lignes maximum)
2. Expliquer le principe du codage RVB d’une couleur. (5 lignes maximum)
3. Expliquer le fonctionnement de l’algorithme du graph cut. Est-ce un algorithme de fusion
ou de division de régions ? (5 lignes maximum)
4. Dans le contexte de l’analyse linéaire discriminante (ALD), On considère la matrice X des
n vecteurs des données rangés en colonnes, et supposés de moyenne nulle, répartis en deux
classes selon les proportions (n 1 , n 2 ), et de barycentres (g 1 , g 2 ). Fournir :
(a) la définition de la matrice de variance/covariance (notée V ) en fonction de n et X ;
(b) la définition de la matrice de variance inter-classe (notée W ) en fonction de n 1 , n 2 , g 1
et g 2 ;
(c) le critère d’optimisation de l’ALD en fonction de V et W .
Exercice 2 — Images et histogrammes (12 points)
Dans cet exercice, nous travaillons sur des images en noir et blanc dont les niveaux de gris
peuvent être répartis sur 0, . . . , L − 1, avec L = 51. On considère une image I, qui possède
l’histogramme suivant :
k 4 6 8 10 12 14 18 20 22 29
H(k) 10 10 10 20 10 10 10 20 50 50
1. Quel est le nombre P de pixels dans l’image I ? Que représente L ?
2. Tracer cet histogramme et donner, pour I les valeurs de k min et k max .
3. Calculer l’histogramme cumulé H c (k).
4. Calculer et dessiner l’histogramme étiré sur l’intervalle maximum possible de niveaux de
gris dans le cadre de cet exercice.
5. Calculer et dessiner l’histogramme égalisé. On rappelle que l’égalisation d’histogramme
transforme un niveau de gris k en k ′ = Int ( + L−1
P
H c(k) ) et H c (k) l’histogramme cumulé
du niveau de gris k. Int + est la fonction qui arrondit à l’entier supérieur (pour simplifier
les calculs de tête).
6. Quelle différence y a-t-il entre un étirement et une égalisation d’histogramme.
Université Pierre et Marie Curie 1 Master 1 Informatique

Exercice 3 — Réflexion (6 points)
La distance de Bhattacharya permet (entre autres) de mesurer l’écart entre deux histogrammes
H 1 et H 2 , respectivement des images I 1 et I 2 (dans cet histogramme, on appellera
P le nombre de pixels qu’elles contiennent - les images sont de même taille), et est définie par la
formule suivante :
L−1
∑ √
d(H 1 , H 2 ) = √ 1 − H1 (k)H 2 (k)
où H 1 (k) (respectivement H 2 (k)) est le nombre de pixels de niveau de gris k présents dans l’image
divisé par le nombre total de pixels dans l’image I 1 (respectivement I 2 ) : H 1 (k) et H 2 (k) sont
donc ici des histogrammes normalisés.
k=0
1. À quoi sera égale la distance de Bhattacharya entre deux images complétement identiques ?
Justifier en donnant l’expression de cette distance dans ce cas particulier.
2. Donner l’expression de la distance de Bhattacharya entre deux images I 1 et I 2 complétement
homogènes, mais d’un niveau de gris différent (k 1 pour I 1 et k 2 pour I 2 ) ? Est-ce que la
valeur de cette distance est dépendante de k 1 et k 2 ? Expliquer pourquoi ?
Exercice 4 — Aliasing (6 points)
On considère la fonction 2D suivante (sinus cardinal 2D) :
sinc 2d (x, y) = sin(2πf ox)
2πf o x
· sin(2πf oy)
2πf o y
( ) (
La transformée de Fourier de sinc 2d (x, y) s’écrit : T F [sinc 2d (x, y)] = S(u, v) = 1
u
Rect
f0 2 2f o
Rect
Rappel : la fonction Rect(t) est la fonction ”Porte” :
{
1 si |t| ≤
1
Rect(t) =
2
(2)
0 sinon
1. sinc 2d (x, y) est-il un signal à bande limitée ?
(a) Quelle est sa fréquence de coupure ?
(b) Représenter graphiquement S(u, v).
2. On échantillonne sinc 2d avec f e = f o .
(a) Le signal est-il échantillonné de sorte à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation
(théorème de Shannon) ?
(b) Quelle est la fréquence de coupure limite f l e ?
(c) Représenter graphiquement le spectre du signal échantillonné pour f e = 4f o .
(1)
v
2f o
).
2

Exercice 5 — Transformée de Fourier Rapide (12 points)
Rappel : en 1d, la Transformée de Fourier Discrète (TFD) X(h) d’un signal numérique x(n) de
N échantillons s’écrit :
h ∈ {0; N − 1} X(h) =
N−1
∑
k=0
x k e − 2iπhk
N (3)
1. Quel est le nombre de multiplications et d’additions nécessaires pour calculer un X(h)
donné par l’équation 3 ? En déduire la complexité du calcul de la TFD.
2. on note WN
hk
2iπhk
= e− N . Montrer que si N est pair (i.e. N = 2M), la TFD peut s’écrire :
X(h) =
M−1
∑
k=0
x 2k W hk
M
Indication : on utilisera le fait que W 2hk
2M
+ W h 2M
= W hk
M .
M−1
∑
k=0
x 2k+1 W hk
M (4)
3. On considère maintenant le signal discret constitué par les échantillons pairs du signal de
départ, signal de taille M = N 2 . On note E h la transformée de Fourier de ce signal, i.e. :
h ∈ {0; M − 1} E h =
M−1
∑
k=0
x 2k W hk
M (5)
De manière identique, en notant O h la transformée de Fourier pour les échantillons impairs,
on a :
h ∈ {0; M − 1} O h =
M−1
∑
k=0
x 2k+1 W hk
M (6)
Montrer alors que la TFD du signal de départ (à N échantillons) peut s’écrire :
(a) h ∈ {0; M − 1}, on a X(h) = E h + W2M h · O h en utilisant directement l’équation 4.
(b) h ∈ {M; 2M − 1} : X(h) = E h − W2M h · O h.
Indication : on utilisera les propriétés suivantes pour h ∈ {M; 2M − 1} :
W h+M
M
= W h+M h+M h+M
M
, et W2M
= −W2M .
4. La décomposition précédente du calcul de la TFD, connue sous le nom d’algorithme de
Cooley-Tukey, permet de calculer la TFD d’un signal de taille N en calculant 2
TFD sur des sigaux de taille M = N 2
(+ une addition/soustraction et une multiplication).
Dans le cas où le signal de départ est une puissance de 2, i.e. N = 2 M , il est possible
d’appliquer la décomposition précédente de manière récursive.
– Montrer que le schéma de récursion pour le nombre d’opérations élémentaires T (N) à
effectuer pour calculer la TFD sur un signal de dimension N s’écrit :
T (1) = b
T (N) = 2 · T ( N 2 ) + a · N (7)
– Donnez les valeurs de a et b dans notre cas. En déduire que T (N) = N(b + a · log 2 (N)).
– Quelle est alors la complexité du calcul de la TFD dans ce cas ?
Indication : effectuer une sommation de chaque T (i) de l’équation 7, puis un télescopage
pour les termes identiques de chaque côté de l’équation.
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