Chapitre 1

1 - Les nombres
et généralités sur le fonctionnement de MAPLE
Avertissement
Certains aspects de ce chapitre sont élémentaires et peuvent donner l'impression qu'une lecture rapide est
suffisante. En réalité, on a profité de la simplicité des exemples pour présenter des points très importants
(et pas toujours évidents) du fonctionnement de MAPLE. On pourra effectuer une lecture en plusieurs
temps avec la convention suivante : les paragraphes dont le titre est
- sans mention : doivent être lus en première lecture.
- marqué d'un [*] : peuvent faire l'objet d'une seconde lecture.
- marqué d'un [**] : correspondent à une lecture d'approfondissement.
- marqué d'un [***] : vraiment pour les curieux...
Il est vivement conseillé de lire très attentivement le § 8 et tout particulièrement le § 8.3.1.
Les références renvoyant à des exercices correspondent au fascicule et aux corrections que l'on trouvera
sur le site Internet de ce manuel : http://www.obs.u-bordeaux1.fr/Enseignement/MAPLE
Le manuel concerne les versions 12, 13 et 14 de MAPLE et les fonctionnalités spécifiques aux versions
seront signalées.
Avec la version 13, MAPLE a commencé à traduire en français une petite partie des ses textes et en
particulier ses menus. Dans ce manuel nous donnerons la version anglaise suivie entre crochets de la
traduction francaise comme par exemple File[Fichier]... Cette traduction a été omise pour les cas évidents.
1 Entiers relatifs et rationnels
1.1 Entrées des commandes
Il existe de nombreuses possibilités pour créer et gérer les documents MAPLE (écriture de
texte avec formules, découpage en sections, etc). Pour éviter d'encombrer la lecture dans
l'immédiat, les informations relatives à ce sujet sont reportées au § 8.4. Pour résumer, MAPLE
dispose de deux formats de documents, le "Document Mode" et le "Worksheet Mode" ["Feuille
de travail"]. Le choix par défaut s'effectue au tout premier lancement de MAPLE (après validation
de la licence). Il peut être modifié ultérieurement, parmi d'autres réglages, à l'aide des paramètres
d'initialisation de MAPLE (voir § 8.4.1). Mais il peut aussi se faire à l'aide du menu File[Fichier]
/New[Nouveau]/Document Mode[Mode document] ou Worksheet Mode[Mode feuille de
travail]. Il existe de plus, deux modes d'entrée des commandes décrits ci dessous. Mais il existe
aussi d'autres variantes de présentations et un choix simplifié sera proposé au § 8.4.1 pour guider
l'utilisateur avec un minimum de confusion.
1.1.1 Commandes en mode "Math"
On suppose ici que le document vierge est ouvert en "Document Mode" et le coin supérieur
gauche de la fenêtre du document MAPLE aura l'un de ces deux aspects suivants en fonction de
l'état coché ou non de l'option du menu View[Affichage]/Markers[Balises]
avec un / clignotant dans le rectangle en pointillés ainsi que le bouton-icône "Math" sous la
1

forme
(pour que la fenêtre du menu "Quick Help" n'apparaisse plus à l'ouverture,
voir le menu d'initialisation au § 8.3.7). MAPLE attend une commande de calcul dans un mode
dit "Math" ou "2-D Math Input" ou encore "2-D Math Notation". Ce mode d'entrée des
commandes permet une écriture des expressions avec une présentation très proche de l'écriture
habituelle. La muliplication est introduite au clavier par un astérisque qui s'affichera sous la
forme d'un "$" (on lira cependant les remarques importantes au § 1.1.1.2 à propos de la
multiplication). La commande est ensuite exécutée en appuyant sur Return.
1 C 4$2
9
(1.1.1.1)
K3 C 1 $ 4 K 1 C 8
2
(1.1.1.2)
La division est introduite par le caractère "/" et MAPLE formatera automatiquement et en "direct"
les expressions au cours de leurs constructions. Une puissance est obtenue avec la touche "^" et
la factorielle avec sa notation standard. Pour quitter dans l'expression suivante l'écriture de la
puissance puis du dénominateur et écrire le "+" on utilisera 2 fois la touche "→". De même avec
les autres touches de flèches pour faire circuler le curseur dans la formule. Il est également
possible de composer cette formule en utilisant les modèles de la palette Expression (colonne de
gauche de la fenêtre MAPLE).
Les nombres rationnels sont considérés par MAPLE comme tels s'ils ne sont pas
simplifiables, c'est-à-dire comme des rapports de deux entiers et non comme leurs
approximations décimales. L'évaluation d'un résultat reste sous sa forme rationnelle réduite au
plus petit dénominateur.
1
4 K 2 3 K 1 C 1 7 C 1 3!
47
(1.1.1.3)
84
et par conséquent peut être renvoyé sous la forme d'un entier
15
4
32 C 2 K 3
3!$2 5 C 1 32
2
(1.1.1.4)
Exercice : effectuer les opérations suivantes en écrivant les commandes telles-quelles et
comparer ces résultats qui sont tous les deux... justes. On rappelle que n!! signifie
n n K 2 ...# 6 # 4 # 2 ou n n K 2 ...# 5 # 3 # 1 suivant la parité de n. Donner une écriture
non ambiguë pour le deuxième cas.
2 C 3!!
5
(1.1.1.5)
2 C 3!!
722
(1.1.1.6)
Pour une expression longue MAPLE passe automatiquement à la ligne suivante (césure). On
peut cependant souhaiter, pour une meilleure présentation, effectuer soi-même ces césures. Ainsi
dans l'exemple suivant la première ligne se termine par un Majuscule(Shift)-Return, permettant
le passage à la ligne suivante sans lancer l'exécution. MAPLE attend la suite de l'expression qui
se termine par Return. Des espaces peuvent permettre d'améliorer la lisibilité, mais on devra être
attentif à certaines erreurs et ambiguïtés (voir les remarques ci-dessous à propos de la
multiplication)
2

K 32$2
64K4$8 K 3 C 7 $ 5 K 3 C 2 K 6K4
2
K 121K81
2
C 3
5
2 C 3 2
C 720
5$6
K5
3
(1.1.1.7)
Si la ligne de commande se termine par " : " puis par Return, elle est exécutée mais aucun
résultat n'est affiché. Nous aurons l'occasion de revenir sur l'utilité de cette écriture qui peut
paraître étrange dans ce contexte (voir par exemple § 5.2.2 dans ce chapitre).
1 K 4$2 :
1.1.1.1 Remarques importantes sur la modification et la ré-exécution des commandes
On peut toujours, à l'aide de la souris, positionner le pointeur sur une commande déjà
exécutée, la modifier (ou non) et l'exécuter à nouveau. Il faut alors noter les deux points
suivants:
- L'état de MAPLE n'est pas nécessairement celui qui est affiché par la feuille de
calcul...! Deux exemples d'illustration très simples sont donnés aux § 8.3.1 et § 8.3.2.
- Pour exécuter une commande, le pointeur peut se trouver n'importe où sur la commande
quand on tape Return (sauf sur un label [une étiquette], voir § 1.2). Après la correction d'une
commande il est inutile de perdre son temps à déplacer ce pointeur en fin de ligne avant de
taper Return comme on voit le faire souvent chez les débutants.
1.1.1.2 Remarques à propos de la multiplication
Il est possible, pour des opérations n'impliquant que des nombres, d'utiliser la palette
"Operators" pour remplacer l'astérisque par × ou forcer son écriture avec ∗, etc. On peut
aussi utiliser un ou des espaces entre les deux groupes de parenthèses.
1 C 4)2 C K3 C 1 # 20K1 C 8 C 3 K 1 1 C 7
K5
Néanmoins, un espace (ici après le 2) n'est pas toujours nécessaire... (voir § 8.2)
2 3 C 1
8
(1.1.1.2.1)
(1.1.1.2.2)
ATTENTION : ne rien écrire entre deux facteurs mis entre parenthèses a une autre
signification (voir § 8.2-4 , )
1 C 3 2 C 5
28
(1.1.1.2.3)
1 C 3 2 C 5
4
(1.1.1.2.4)
Si des espaces peuvent être aussi introduits dans les formules pour améliorer la présentation,
ils ne peuvent pas servir pour indiquer une multipication entre deux nombres
4 2
Error, missing operation
4 2
et en conséquence, ne peuvent pas être utilisés pour améliorer la présentation d'un nombre
pour séparer les triades de 0
250 C 3$1 000
Error, missing operation
250 C 3$1 000
La multiplication peut aussi être introduite par un "." entré au clavier. Si cette écriture

alternative n'a pas de conséquence pour le calcul d'une expression avec des nombres, il peut
en être tout autrement avec d'autres types d'objets (voir § 5.9 et Ch. 2, § 2.1).
K3 C 1 . 4K1 C 8
2
(1.1.1.2.5)
Evidemment, cette écriture ne convient pas pour la multiplication de nombres car elle est
utilisée pour l'écriture des décimaux (voir § 5)
1 K 4.2
K3.2
(1.1.1.2.6)
Pour résumer ces remarques, mieux vaut s'en tenir à un usage systématique de la touche
"astérisque" pour désigner la multiplication.
ATTENTION
Le doublement de l'opérateur de multiplication est interprété comme une exponentiation et il
est facile d'introduire cette opération dans une expression par une erreur de frappe
1 C 3 $ 2 C 3
20
1 C 3 2 C 3 1024
1 C 3 $$ 2 C 3
1024 (1.1.1.2.9)
Digression : en typographie on ne dit pas "un espace", mais "une espace". Nous
n'utiliserons pas cette métonymie.
1.1.2 Groupes d'exécution.
En cliquant sur le bouton-icône de la barre d'outils on crée ce que l'on nomme un groupe
d'exécution qui se remarque par un "prompt" > ("une invite" en français) qui attend la
commande. Un "[" extensible à gauche regroupe la commande et son résultat. Le mode d'entrée
par défaut est 2D Math Notation...
O 7 C 3 2
17
(1.1.2.1)
2
Un groupe d'exécution fait clairement ressortir du document le couple commande-résultat et
on l'utilisera désormais systématiquement.
1.1.3 Commandes en mode "Text" [*]
Dit aussi "Input Maple notation" ou "1-D Math Input". On introduit ce mode avec le menu
Insert[Intertion]/Maple Input[Entrée Maple] ou le racourci clavier Ctrl-M sous
Windows/Linux (Cmd-M sous Mac) ou avec le bouton . La différence principale
avec le mode "Math", hormis l'affichage, est que la ligne de commande doit se terminer par un
";" (ou ":") puis par Return qui lance l'exécution (comme pour le mode "Math", si la ligne se
termine par " : " puis par Return, elle est exécutée mais aucun résultat n'est affiché).
O (3*(3+1)^3)/5;
4
(1.1.3.1)

192
(1.1.3.1)
5
Il est fréquent, surtout au début, d'oublier le ; (semicolon) ou le : devant terminer une
commande. MAPLE renvoie un message d'avertissement, mais exécute néanmoins la
commande. Pour effacer ce message, rajouter le ; ou le : à la fin de la commande avant de la
relancer. On répète aussi ce qui a déjà été dit : inutile de déplacer le pointeur en fin de ligne pour
exécuter une commande que l'on vient de corriger.
O (-3+1)*(4-1)+8
Warning, inserted missing semicolon at end of statement
2
Error, control character unexpected
Remarque : le prompt > peut être changé (voir par exemple § 8.3.8).
L'écriture des commandes en mode "Text" est sans doute moins naturelle et moins
esthétique, mais présente l'avantage de montrer précisément les détails des caractères entrés au
clavier pour composer les commandes. Elle est également moins gourmande en mémoire.
Suivant les nécessités des explications on utilisera l'une ou l'autre de ces deux écritures pour la
rédaction de ce manuel. Les deux écritures donnent de toutes façons accès à toutes les
fonctionnalités de MAPLE.
1.2 Numérotation des résultats, dito et commentaires [*]
1.2.1 Numérotation des résultats
Par défaut MAPLE affiche à droite du résultat un numéro, dit Label[Etiquette], sous la
forme (n) ou (n.m.k...). On peut faire référence dans une commande à un résultat déjà calculé en
utilisant ces numéros. Des informations complémentaires sur la gestion de cet affichage sont
données au § 8.4.8.3. L'insertion de ces numéros dans une commande ne se fait pas directement,
mais à l'aide du menu Insert[Intertion]/Label...[Etiquette...] qui ouvre une fenêtre dans laquelle
on donne le numéro. Il est très utile de connaître le raccourci clavier permettant l'insertion d'un
numéro sans utiliser le menu : Ctrl-L (Windows ou Linux) ou Cmd-L (Mac). Pour changer un
numéro, double-cliquer dessus (l'effacer en mode "Text") puis en définir un nouveau avec un
Ctrl/Cmd-L.
A chaque exécution d'une commande, MAPLE re-numérote entièrement la feuille de calcul,
y compris dans les commandes et même dans le texte (à condition que ces numérotations y
soient introduites comme indiqué ci-dessus et non par recopie au clavier). Donc, si on insère ou
si on supprime une ou plusieurs instructions (exécutées) n'importe où dans la feuille, les
numéros seront automatiquement changés partout et feront toujours référence aux bons résultats,
mais attention, si la valeur d'un résultat associé à l'un des labels a été modifié, le nouveau
résultat ne sera recalculé que si la commande est re-exécutée.
Généralement on utilise moins de niveaux de sections et les numéros sont plus simples à
introduire que ceux de ce document. De plus il existe un mode numérotation séquentielle simple
qui ne tient pas compte des numéros de section (voir § 8.4.8.3).
4 2 (1.1.1.2.5) K (1.1.1.7)
O K
9
K4
(1.2.1.1)
Bien entendu ceci, comme tout ce qui suit, est aussi valable pour le mode "1-D Math Imput"
O -4*(2*(1.1.1.2.5)-(1.1.1.7))/9;
K4
(1.2.1.2)
5

"^" est admise
O
O
1.2.2 Dito
Le symbole % ou dito (avec deux t dans MAPLE comme souvent en anglais) désigne le
résultat de la dernière instruction exécutée dans l'ordre chronologique et peut être utilisé dans
une expression. Les exemples et les remarques sont rassemblés au § 1.2.3. Le double symbole
%% et le triple symbole %%% désignent les résultats précédents.
Digression : le caractère typographique % s'appelle "Pourcent". Le mot "dito" est d'origine
commerciale et désigne "ce qui vient d'être cité", évitant ainsi la répétition.
1.2.3 Commentaires sur une ligne de commande
On peut écrire un commentaire à la fin de la ligne de commande (après le : ou le ; ou
directement après la commande en mode "Math") en le faisant précéder du caractère #.
O 2 $% # %=-4
O
O
K8
3*%%; # %%=-4, %=-8
K12
-3*(%%%/2-1)-1; # %=-12, %%=-8 et %%%=-4
8
6
(1.2.3.1)
(1.2.3.2)
(1.2.3.3)
Attention : les symboles dito sont d'un usage très commode, mais doivent être manipulés avec
précautions en raison de leur caractère chronologique. Pour un usage systématique on préférera
la méthode utilisant les numéros des résultats sauf pour des commandes groupées (voir
l'exemple à propos des affichages multiples, § 1.3). Par exemple, le résultat de la commande
suivante peut sembler curieux et on s'attend plutôt à 8/2 = 4. Mais ce que ne peut pas montrer ce
texte, c'est que la commande associée au résultat (1.2.1.1) a été ré-exécutée immédiatement avant
O %/2;
K2
(1.2.3.4)
1.3 Affichages et commandes multiples [*]
On peut construire une série de commandes groupées qui renverront plusieurs résultats : la
première ligne se termine par un Majuscule-Return, permettant le passage à la ligne sans lancer
l'exécution, la deuxième par Return. Chaque expression se termine par un ; ce qui entraînera
l'évaluation de chacune et l'affichage sur des lignes séparées. Les symboles % et %% sont ici non
ambigus puisqu'ils font référence à des résultats qui ne peuvent être que calculés immédiatement
avant (%=32, %%=16). On remarquera aussi que la notation "**" (syntaxe Fortran) à la place de
(1.2.3.1)*(-4) ; (-%+28)**2 ;
-10/(-2); (1/%%)^(-2); # Les parenthèses sont nécessaires
32
16
5
256
En mode "Math" les ";" redeviennent nécessaires pour séparer les commandes
(1.2.3.1)$ K4 ; K% C 28 2 ; K 10 ;
K2
32
16
5
256
1
%%
K2
(1.3.1)
(1.3.2)

Si on termine chaque expression par une virgule et la dernière par point-virgule on obtiendra
aussi des résultats, mais qui s'afficheront sur la même ligne. Cette façon de faire permet
d'économiser de l'espace d'affichage mais ce résultat est une objet MAPLE unique appelé suite
que nous examinerons au chapitre 3, Intervalles, Listes, Suites, Ensembles. On remarquera que le
label (1.3.2) ne fait référence qu'au dernier résultat (256) de la série précédente.
Attention : il ne s'agit pas ici de commandes groupées, mais d'une commande unique construisant
une suite (un seul ;). On ne peut donc pas considérer comme précédemment que les calculs des
expressions sont fait séquentiellement. En conséquence une expression de la suite ne peut pas se
servir d'un de ses éléments précédents dans son calcul. Par exemple % ne fait pas référence à 32
mais au dernier résultat calculé dans le groupe précédent, c'est-à-dire 256. De même %%=5.
O
-(1.3.2)/(-8) , -%/(-2) ,
(-3+1)^2 , (1/%%)^(-2);
32, 128, 4, 25
(1.3.3)
Pour MAPLE cette suite est un "objet" unique et le label fait référence à ce résultat pris comme un
tout.
O 2*((1.3.3)+1);
64, 256, 8, 50 C 2
(1.3.4)
Sa manipulation relève donc de celle des suites (voir chapitre 3) et il est possible de faire référence à
un des résultats en indiquant son numéro d'ordre avec la notation [n]
(1.3.3) 3 C 1
O %%[3]/2 , (1.3.3)[3] ,
2
2, 4,
Il existe encore d'autres façons d'obtenir des affichages multiples que l'on aura l'occasion de
rencontrer (fonction print, Listes, Tableaux...).
7
5
2
(1.3.5)
1.4 Assignation
On peut affecter, on dit aussi assigner, un nombre à un nom en utilisant la notation : =. Cette
commande sera étudiée en détail au Ch. 2, § 1. Les règles de syntaxe définissant les noms sont
décrites au § 8.1.
Attention: le signe = seul a une autre signification sur laquelle nous reviendrons (définition d'une
équation, voir par exemple § 8.2 et plus généralement le chapitre 14)
O n:=2^79-1;
n d 2 79 K 1
n := 604462909807314587353087
n := 604462909807314587353087
(1.4.1)
1.5 Fonctions relatives aux entiers
On peut se poser la question " n est-il premier ? " en utilisant la fonction isprime (comprendre is
prime ? ; cette fonction accepte aussi des arguments permettant de fixer la méthode de calcul et des
options). La réponse false signifiant "faux", la réponse est "non"
O isprime n
false
(1.5.1)
On obtient sa décomposition en facteurs premiers avec la fonction ifactor (integer factorization)
O ifactor n
202029703 1113491139767 2687
(1.5.2)
Autre exemple de fonction sur les nombres entiers: les coefficients du binôme

p n!
C n =
p! n K p !
sont donnés par la fonction binomial(n, p). On peut par exemple vérifier la relation entre les
coefficients du binôme
p C 1
C n C 1 =
p Cn C
p C 1 Cn
en prenant des valeurs particulières pour n et p (MAPLE peut le faire pour n et p quelconques, mais
on sortirait du cadre de ce chapitre)
O
n := 4;
p := 2;
binomial n C 1, p C 1 = binomial n, p C binomial n, p C 1
n := 4
p := 2
10 = 10
(1.5.3)
MAPLE sait aussi calculer avec une arithmétique modulaire
O 7 C 6 mod 5;
3
(1.5.4)
5 C 6
O mod 3;
8
1
(1.5.5)
O 12^(5+2 mod 3)+1 mod 7;
6
(1.5.6)
On ne détaillera pas dans ce manuel toutes les fonctions de MAPLE relatives aux calculs sur les
nombres entiers pas plus que bien d'autres fonctions. Celles-ci peuvent être découvertes dans l'aide
en ligne (help), c'est-à-dire directement à l'aide du logiciel (voir § 2). Il faut aussi savoir que toutes
les fonctions ne sont pas utilisables au moment du lancement de MAPLE. Elles ne le seront qu'après
les avoir rendues accessibles dans des bibliothèques (voir § 8.3.5).
1.6 Elision [**]
Le nombre maximal de chiffres autorisés pour un entier, bien que très grand, est limité et sa
valeur dépend de l'ordinateur utilisé. On peut l'obtenir avec la commande
O kernelopts maxdigits
268435448
(1.6.1)
Ce résultat indique que les entiers peuvent contenir plus de 268 millions de chiffres ! MAPLE est en
effet capable de travailler avec de tels nombres grâce à la librairie d'algorithmes GMP (GNU
Multiple Precision). La valeur maximale d'un entier que peut contenir une mot mémoire simple est
seulement de (ici 2 32 K 2 K 1
1073741823
(1.6.2)
pour une machine 32 bits ; 2 64 K 2 K 1 pour une machine 64 bits)
O kernelopts maximmediate
1073741823
(1.6.3)
On peut également contruire des entiers signés ou non signés sur 8, 16, 32 ou 64 bits à l'aide de la
bibliothèque MTM (boîte à outils MATLAB)
O ?MTM/integer
Si le nombre est très grand MAPLE n'affichera pas tous les chiffres, mais seulement les valeurs
fixées par défaut dans le menu d'initialisation (voir § 8.3.7) Maple 12/Préférences... (Mac) ou
Tools/Options... (Windows ou Linux), onglet Precision sous la forme nm[...d digits...]ijk (voir ci-
8

dessous). Le mécanisme, dit d'élision (en syntaxe française, "l(a)'élision est une élision"), va
s'appliquer dès que le nombre contient un nombre de chiffres plus grand que ("threshold" signifiant
"seuil"). Il s'agit ici de la valeur par défaut.
O interface elisionthreshold
10000
(1.6.4)
Même si les nombres entiers sur lesquels on travaille sont moins grands, l'affichage peut devenir
vite encombrant et on peut diminuer cette valeur. La première des commandes suivantes fixe le
nombre de chiffres à partir duquel le mécanisme s'applique (=40). Les deux autres fixent le nombre
de chiffres ("digits") qui doivent précéder (=3) et suivre (=6). La fonction interface affiche la valeur
existant avant la modification, ce qui est pratique pour mémoriser par assignation (eth:=...) cette
ancienne valeur.
Remarque : ce mécanisme d'affichage est dynamique dans le sens suivant : quand on ouvre une
feuille de calcul enregistrée, les résultats déjà calculés s'affichent avec les valeurs par défaut tant que
les commandes qui fixent les paramètres d'élision ainsi que les commandes de calcul n'ont pas été
exécutées. Si on veut obtenir un affichage immédiat tenant compte de valeurs d'élision définies par
l'utilisateur, il faut, soit fixer avant l'ouverture du document les paramètres de MAPLE dans le menu
d'initialisation comme indiqué ci-dessus, soit introduire les commandes dans le fichier d'initialisation
de MAPLE (voir § 8.3.8) ou plus simplement par initialisation de la feuille de calcul, (voir le
Startup code[Code de démarrage], § 8.4.3-1).
O
O
O
m := 40! K 6 36 ;
m := 815915283247897734335296844797625358725828050944
eth d interface elisionthreshold = 40 :
interface elisiondigitsbefore = 3 :
interface elisiondigitsafter = 6 :
m
2
407[...39 digits...]025472
9
(1.6.5)
(1.6.6)
On "annulera" l'élision en posant un seuil élevé ou comme ici en restituant la valeur par défaut qui a
été mémorisée avec eth (on peut aussi poser infinity qui supprime totalement le mécanisme, mais
une telle nécessité est hautement improbable !).
O interface elisionthreshold = eth :
Malgré le mécanisme d'élision, un nombre peut être estimé trop grand par MAPLE pour être affiché.
C'est le temps de conversion binaire ⇒ décimal qui pose problème.
2 43112609 K 1
...Integer too large for display...
Remarque : l'élision peut aussi s'appliquer sur des expressions mathématiques (voir Ch. 13).
2 Aide MAPLE
(1.6.7)
L'aide en ligne de MAPLE est très développée et peut être obtenue de nombreuses façons (souvent
redondantes) dont :
1) Par commande en faisant précéder le mot clé recherché d'un ? (le ; final n'est pas nécessaire). Par
exemple

O ?binomial
Un double ?? ouvre la fenêtre avec les sections fermées, transformant la page en une table des matières.
On peut ensuite ouvrir les sections de sont choix. Un triple ??? affiche la page avec seule la section des
exemples ouverte (équivalent à la commande > example(binomial))
On peut aussi utiliser la syntaxe
O help binomial
Certaines commandes doivent être combinées pour préciser la demande (on peut utiliser indifféremment
une "," ou un "/")
O ?index / package
O ?index , function
ou faire une recherche dans une bibliothèque particulière (on utilisera le terme de "bibliothèque" ou
indifféremment "librairie" pour traduire le mot "package").
O ?LinearAlgebra/Determinant
2) Le menu Help[Aide]/Maple help[Aide Maple] ou l'icône-bouton ouvre une fenêtre dont
l'utilisation est évidente. On n'oubliera pas d'explorer les différentes Resources : All, Help Pages,
Tasks,..., Manuals (voir ci dessous). On notera que les titres de rubriques sont précédées d'icônes :
indiquant une page d'aide, une page de définition, un document MAPLE (WS pour
WorkSheet) de démonstration, des pages du manuel interne (voir ci dessous) ou pour des
"Tasks template", c'est à dire des pages prédéfinies pour réaliser des calculs classiques et simples. Ces
dernières pages sont accessibles par le menu Tools[Outils]/Tasks[Tâches]/Browse...[Naviguer...] ou
FileFichier]/New[Nouveau]/Templates...[Gabarit de tâches...]
3) A chaque ouverture d'un nouveau document une fenêtre d'aide "rapide" s'ouvre. Pour ne plus faire
apparaître cette fenêtre qui s'ouvre à chaque nouveau document, cliquer sur l'onglet Interface de la
fenêtre d'initialisation (voir le § 8.3.7) et décocher Quick Help popup on new documents[Fenêtre
d'aide rapide lors de nouveaux documents].
4) Quand on tape, en mode "Entrée-Math-1D", les premiers caractères d'un nom, qu'il soit prédéfini
par MAPLE ou créé par l'utilisateur par une assignation, et dès que le nombre de caractères entrés est
suffisant pour lever toute ambiguïté, un mécanisme de complémentation automatique (automatic
completion) affiche un nom complet que l'on valide éventuellement en tapant Return. Pour que ce
mécanisme fonctionne il faut que la case Automatic command completion[Complétage automatique de
commande], onglet Interface dans le menu d'initialisation (voir § 8.3.7) Tools/options (Windows ou
Linux) ou Maple 14/Préférences (Mac) soit cochée.
En mode "Entrée-Math-2D", il faut solliciter l'aide en utilisant la touche "Escape".
O ?worksheet/expressions/completecommand
5) Le menu très important Help/Help on Context. Lorsque le pointeur est positionné sur un mot, par
exemple binomial, l'item du menu se transforme en Help on binomial [Aide sur binomial] et par un
"clic" ouvre la page d'aide correspondante.
6) Les pages d'aide contiennent des hyperliens
- en vert souligné qui renvoient sur des pages d'aide associées par leurs sujets.
- en rouge souligné qui renvoient sur des pages d'un dictionnaire contenant de l'ordre de 5000
références ( ): définitions mathématiques, mathématiciens, etc.
10

7) Pour MAPLE 13/14, les messages d'erreurs (en rose) ou de simple avertissement (en bleu) sont
des hyperlinens qui renvoient vers des pages d'aide sur le site de Maplesoft. Pour l'instant, ces
nouvelles pages d'aide sont souvent sommaires et sont sans doute destinées à être complétées.
O 1 C= 2
Error, invalid sum/difference
1 C= 2
O 1+(-2)
Warning, inserted missing semicolon at end of statement
K1
(2.1)
8) MAPLE contient un manuel utilisateur interne accessible avec la commande
O ?UserManual
mais également par le menu Help/Manuals, Dictionary, and more.../Manuals ou avec la rubrique
Ressource : Manuals dans la page d'aide (voir ci-dessus, 1).
On trouvera une feuille de calcul d'initiation en mode "Document" avec
O ?MaplePortal
ou contenant des exemples traités (souvent avancés) parmi les principaux sujets que l'on peut
rencontrer
O ?examples,index
ou pour un sujet particulier contenu dans ce document, par exemple
O ?examples,BranchCuts
9) Le menu Tools[Outils] propose un certains nombre d'outils pré-développés sous forme de guides
interactifs, de "Maplets" (applets MAPLE) ou de "Tasks template" ["Gabarit de tâche"] déjà cités.
10) Il existe aussi d'autres possibilités par commande qui explore des bibliothèques de propriétés
mathématiques telles MathematicalFunctions ou FunctionAdvisor (voir Ch.13). Dans l'exemple
suivant DE est mis pour Differential Equation, autrement dit on demande quelle est l'équation
différentielle qui a pour solution un sinus hyperbolique, sous-entendu bien sûr que les deux conditions
initiales soient appropriées.
O MathematicalFunctions:-Get definition, sinh
sinh z = 1 (2.2)
2 ez K 1 , with no restrictions on z
z
2 e
O FunctionAdvisor DE, sinh
11
d 2
f z = sinh z ,
(2.3)
dz 2 f z = f z
Ces d'informations peut aussi être donné par le menu Tools[Outils]/Assistants/Special Functions...
ainsi que d'autres outils.
11) On trouvera également des informations sur le site Internet de MAPLE par le menu Help]/On the
Web .
Tout n'a pas été mentionné sur l'aide en ligne dans ce paragraphe, mais envisager une lecture
exhaustive serait une idée déraisonnable. On recommande cependant de compléter ces
informations de base par une exploration des possibilités de l'aide en ligne que l'on trouvera dans
Help/Manuals, Dictionary, and more...[Manuels, Dictionnaire et plus...]/Using the Help System
[Utiliser le système d'aide].

On trouvera des informations complémentaires sur les entiers et les rationnels au Ch. 2, § 2.3.1 et §
2.3.2.
3 Nombres irrationnels
Comme pour les nombres rationnels, les nombres irrationnels sont conservés en tant que tels, c'est-àdire
sous une forme symbolique, s'ils ne sont pas simplifiables. Par exemple, pour une racine carrée
d'un nombre non carré on obtient avec la fonction sqrt (square root) :
O a d sqrt 3 ;
a := 3
(3.1)
Que se soit en mode "Entrée Math 1-D" ou en mode "Entrée Math 2-D" on peut aussi utiliser le gabarit
a de la palette "Expressions" (voir pour plus de détails sur x 1/2 , sqrt x et x , voir Ch. 2, §
2.2.3.1).
O
a d 3
a := 3
Le nom a est ici associé, non pas à une approximation numérique, mais à un nombre symbolique
positif dont le carré vaut 3 exactement par définition.
O a^2;
a 2 3
3
4 Nombres remarquables (π), nombres indéfinis
(3.2)
(3.3)
4.1 Nombres remarquables
MAPLE connaît, au sens de leurs propriétés et pas seulement par leurs approximations
numériques, quelques nombres remarquables comme par exemple Pi = p. Attention: notez la lettre
majuscule P et la minuscule i obligatoires. Sinon, avec la syntaxe pi la lettre p s'affichera aussi
comme résultat, mais désignera un simple nom, pas le nombre. De même PI désigne seulement la
lettre grecque majucule P. Avec cette définition symbolique du nombre, MAPLE peut exprimer
certains résultats classiques de fonctions qui sont, si possible, évaluées automatiquement.
GAMMA est la fonction eulérienne G (voir exercices 2.1 à 2.4). Noter que seuls GAMMA au
clavier et G de la palette "Grecque" sont associés à cette fonction, le nom Gamma étant associé à un
nom symbolique indéfini (§ 8.1/5).
O Pi;
Pi
cos ;
4
GAMMA 1 2
, Gamma
1
2
, G 1 2
1
2
p
p , G 1 2
2
, p
(4.1.1)
12

Sum 1 n! , n = 0 ..N : % = value % e 2
En mode "Entrée Math 2-D", les lettres extraites en cliquant dans les palettes "Symboles courants"
et "Grecque" correspondent prioritairement aux symboles standard des nombres ou des fonctions :
(voir aussi le § 8.1-5). Ici ζ est la fonction Zeta de Riemann
p
O cos , z 2
4
1
2 ,
2
Pour illustrer la remarque sur la syntaxe de p
O
O
O
cos Pi ;
cos pi , cos P
1
6 p2
K1
cos p , cos P
(4.1.2)
(4.1.3)
Certaines valeurs que MAPLE sait calculer (ce n'est pas toujours le cas) ne le sont cependant pas et
il faut forcer l'évaluation (voir convert, Chapitre 13, Simplifications, Manipulations...)
cos
p
5
;
convert cos
p
5
, radical
1
cos
5 p
1
4 C 1 4
5
A propos de e
(4.1.4)
La base e des logarithmes népériens n'est pas une constante prédéfinie (elle l'était sous la forme
E avec d'anciennes versions de MAPLE). Elle est seulement exprimée de façon particulière lors
de l'affichage
e 2 ;
N
1
n!
>n = 0
=e
(4.1.5)
Attention: Le symbole e (non italique) affiché ci-dessus n'a aucun rapport avec le nom e d'une
variable entrée au clavier. Ici, e n'est qu'un nom indéfini. On notera que, contrairement au
nombre, la variable s'affiche en italique.
O e , ln e
e, ln e
Cependant, si on utilise la palette "Symboles courants" pour entrer e, on fera bien référence à la
base des logarithmes népériens (voir § 8.1-5). En mode "Entrée Math-1D" cette opération est
convertie automatiquement en exp(1). En mode "Entrée Math-2D", cela donne
O e , ln e
e, 1
13
(4.1.6)

O
(4.1.6)
Malgré ces remarques, le nombre e n'est pas considéré par MAPLE comme une constante
prédéfinie (voir la commande en fin de paragraphe).
MAPLE est capable de reconnaître (quelquefois après simplification) l'équivalence de deux
expressions comme par exemple exp(1/2) et e .
O exp(1/2)-sqrt(exp(1));
0
(4.1.7)
Rappel : pour entrer l'exposant, utiliser la touche "^". Pour sortir du dénominateur 2 puis de
l'exposant, utiliser la touche "→".
1
2
O e K e
0
(4.1.8)
MAPLE ne connaît que deux autres nombres réels remarquables prédéfinis (e n'est pas dans la
liste) et que nous rencontrerons : la constante d'Euler-Mascheroni g (voir exercice 2.2) et la
constante de Catalan (voir exercice 2.7). A condition de prendre certaines précautions, on peut
ajouter des constantes à cette liste (voir Ch. 2, § 3.3.2.3)
O constants
false, g, N, true, Catalan, FAIL, p
On ne peut rien assigner à ces noms qui sont protégés.
O
p d 22 7 ;
g d 3.14
Error, attempting to assign to `Pi` which is protected
Error, attempting to assign to `gamma` which is protected
Exercice : Avec l'aide en ligne, trouver une définition de la constante de Catalan.
4.2 Nombres indéfinis
MAPLE connaît également la notion de nombre indéfini avec le mot clé undefined. La
"constante" ∞ peut s'écrire infinity et
O 0$N ; N K N
O
undefined
undefined
Ce mot clé peut apparaître en de nombreuses circonstances (calcul de limite par exemple) et se
manipule de façon conforme à sa définition.
e undefined ; 1 K undefined
undefined
(4.2.1)
undefined
undefined
La division par 0 provoque une erreur même pour la forme indéterminée 0/0.
0
O
0
Error, numeric exception: division by zero
Il faut noter également que
(4.2.2)
14

O
0 0 1
5 Nombres décimaux
(4.2.3)
Les nombres décimaux sont dits "à virgule flottante" pour exprimer le fait que la virgule décimale
(syntaxe numérique française) de la mantisse peut prendre n'importe quelle place (souvent après le
premier chiffre significatif), la magnitude réelle étant définie par l'exposant. Avec la syntaxe numérique
anglaise le "point" remplace la "virgule" et on parle de "floating point numbers".
Il existe deux formes de décimaux (voir § 5.2.3), mais on ne présentera dans un premier temps que
les "classiques". Ils sont créés de façon standard (avec un point) et ne doivent pas, comme pour les
entiers, contenir d'espaces (les espaces entourant le + de l'addition sont par contre autorisés).
O K1.2 C 0.035
K1.165
Il existe trois façons de définir des nombres avec des puissances de 10, la plus simple utilisant la
notation scientifique (indifféremment e ou E). Dans le deuxième cas le résultat affiché est celui résultant
d'une multiplication ( -13.345 par le rationnel 1/10 27 ). Il en résulte l'apparition de zéros (voir § 5.1 et §
5.2.2)
O K13.345e-27,K13.345$10 K27 , Float K13.345, K27
K1.3345 10 -26 , K1.334500000 10 -26 , K1.3345 10 -26
Attention : on ne devra pas laisser le point décimal seul devant e ou E (voir § 5.9)
O 45.e6;
Error, missing operator or `;`
O 45.e6
Error, incorrect syntax in parse: missing operator or `;` (near
6th character of parsed string)
45.e6
(5.1)
(5.2)
Il faudra écrire (sans caractère d'espacement)
O 45.0e6;
45.0e6
ou plus simplement encore
O 45e6;
45e6
4.50 10 7
4.50 10 7
4.5 10 7
4.5 10 7
On trouvera aussi des informations complémentaires aux § 5.6, 5.7, 5.8 et 5.9 ainsi qu'au Ch. 2, §
2.3.3, § 2.5.5.2.
5.1 Mode de calcul : évaluation décimale implicite.
Le mélange dans une expression de nombres exprimés en notation décimale avec des nombres
entiers ou rationnels entraîne l'évaluation en valeur décimale. Pour la précision des calculs on se
reportera au § 5.2.2
(5.3)
(5.4)
O
0.5 C 1 3 C 1
15
(5.1.1)

1.833333333
alors que
1
O
2 C 1 3 C 1 11
6
Un autre exemple :
O
(5.1.1)
(5.1.2)
O 1. / 7 $10 K10 , 1 / 7 $10 K10 ;
1.428571429 10 -11 1
,
(5.1.3)
70000000000
Lorqu'une fonction est invoquée avec un argument décimal ou un mélange conduisant à un calcul
décimal, la fonction est calculée sous une forme décimale
0.7046880897, e K 7 20
(5.1.4)
Par contre, priorité est toujours donnée aux calculs symboliques et MAPLE ne prendra pas
O
e 0.4 K 3 4
, e
2
5 K 3 4
l'initiative de remplacer p ou
evalf).
De même
1. C 2 , p C 5.3
2 par leurs valeurs décimales approchées (voir § 5.2.1 et la fonction
1. C 2 , p C 5.3
(5.1.5)
O
cos 1. C p 4
, e 1. K 2 cos 1. C 1 4 p , e1. K 2
(5.1.6)
Exercice : Comparer ces trois exemples et expliquer les différences sachant que l'argument est
évalué avant d'appeler la fonction. Le troisième exemple est moins évident car il semble
contradictoire avec ce qui vient d'être dit... (indication : remplacer 5.3 par α en gardant π, puis π par
π/4 en gardant 5.3 et en déduire le résultat).
O
e 1. C 2 , e 1 C 2. , cos p C 5.3
e 1. C 2 , 11.18097376, K0.5543743362
5.2 Evaluation décimale explicite et fonction evalf
16
(5.1.7)
5.2.1 Fonction evalf
MAPLE est avant tout un calculateur symbolique mais on peut toujours obtenir une
approximation décimale d'une expression numérique avec la fonction evalf (contraction de
"Floating-Point Evaluation")
5
O evalf ;
6
evalf 100!
0.8333333333
(5.2.1.1)

9.332621544 10 157
MAPLE ne dit rien sur l'évaluation de exp(1/2). Une évaluation décimale passe par la
fonction evalf
O
O
O
O
1
2 ;
a := e
evalf a ;
evalf
e
Il peut sembler équivalent d'écrire...
evalf
cos
cos evalf
p
4
p
4
;
;
17
1
2
a := e
1.648721271
1.648721271
0.7071067810
0.7071067811
(5.2.1.1)
(5.2.1.2)
(5.2.1.3)
...mais MAPLE reste avant tout un calculateur symbolique et va, dans le premier cas, d'abord
chercher à évaluer la ligne trigonométrique sous une forme symbolique et ensuite seulement
appliquer la fonction evalf, c'est-à-dire calculer :
cos
p
4
;
2
evalf
2
1
2
2
0.7071067810
(5.2.1.4)
Alors que dans le second cas, la valeur décimale de l'argument est d'abord évaluée puis la ligne
trigonométrique calculée en mode décimal.
p
evalf ;
4
cos 0.7853981635
0.7853981635
0.7071067811
(5.2.1.5)
Ce genre de détails doit être présent à l'esprit quand on manipule des calculs lourds. On doit faire
un bilan (à l'aide de tests séparés) de la part de temps occupée par chacun des calculs
symboliques et numériques afin de faire les bons choix.
On se reportera toutefois à la remarque du § 5.2.2 car cette règle d'évaluation préalable des
arguments n'est pas respectée (et à bon escient) dans un cas précis.
Quand evalf est appliquée sur une expression, elle reconstruit cette expression en explorant
tous les coefficients numériques qu'elle transforme en décimaux à l'exception des exposants
purement entiers ou rationnels positifs ou négatifs. On constate que l'exposant -n/2 n'est pas

considéré de ce type (voir § 8.1-8 ; [***] une explication plus détaillée est donnée au Ch. 2, §
2.4.1). Pour le calcul du coefficient de x 2 , voir l'exemple précédent. Pour γ, voir § 4.1.
3
p
O evalf cos x 2 K n 2
C y C z
2 C ln g a
4
0.7071067810 x 2 C y 3 / 2 C z K0.5000000000 n C ln 0.5772156649 a
(5.2.1.6)
La fonction peut s'appliquer sur d'autres type d'objets, comme ici une liste.
O evalf e K2 3 x
, ln , 3 x 2 C 1
2
0.1353352832, ln 1.500000000 x , 3. x 2 C 1.
(5.2.1.7)
On reviendra souvent dans ce manuel sur cette fonction et son utilisation.
5.2.2 Précision des calculs et variable Digits
Le nombre de chiffres significatifs utilisés pour les calculs est fixé par défaut à 10 (voir la
fin de ce paragraphe ainsi que § 8.3.8 et § 8.4.3) par la variable d'environnement prédéfinie
Digits (pour le sens de l'expression "variable d'environnement", voir Ch. 19, Procédures).
O Digits
10
(5.2.2.1)
Le nombre n de chiffres significatifs des calculs de x peut être ponctuellement fixé en utilisant
la syntaxe evalf[n](x). Ceci n'affecte que le calcul demandé et ne modifie pas la valeur de la
variable Digits. L'affichage s'adapte à cette valeur, mais on peut modifier ce comportement (voir
§ 5.8). Notez le "\" à la fin de la première ligne qui indique que l'affichage du nombre se
poursuit.
O
evalf 100
p
2 K 1
0.570796326794896619231321691639751442098584699687552910487472296153\
908203143104499314017412671058534
(5.2.2.2)
O evalf 30 e K3 $ln 2
0.0345097660675301301020324590401
(5.2.2.3)
On peut aussi utiliser l'écriture indicée suivante. Pour écrire en mode indice utiliser la touche "_",
puis "40", puis la touche "→" pour sortir du mode indice.
O evalf 40
e K3 K p
K3.091805585221929295483300967629441107565
(5.2.2.4)
O Digits
10
(5.2.2.5)
Il existe aussi une autre forme, evalf(x,n), utilisée dans les précédentes versions et encore
valable. La forme evalf[n](x) ou evalf n
x est maintenant recommandée.
Attention : conformément aux remarques du § 5.2.1, evalf cherche à évaluer au préalable et
dans la mesure du possible, les arguments pour les simplifier. La conséquence a une importance
capitale
O
evalf 30
1 C 1 3
;
18
(5.2.2.6)

O
evalf 30
1 C 1
3.0
1.33333333333333333333333333333
1.333333333
(5.2.2.6)
On comprend évidemment l'origine de cette différence... Le premier résultat est l'évaluation
décimale de 4/3. Le second à celui obtenu par 1+1/3.0 évalué avec Digits=10, evalf 30
ne pouvant
alors que renvoyer une évaluation identique
O w d 1 C 1
3.0 ;
evalf 30
w
w := 1.333333333
1.333333333
(5.2.2.7)
Exercice : La différence ne saute pas forcément aux yeux si les nombres n'ont pas une
représentation décimale évidente. Quel est le résultat correct ?
O evalf 30
e 1 C 1 3
; evalf 30
e 1 C 1
3.0
3.79366789468317773539630436049
3.79366789341862177071267110950
(5.2.2.8)
On peut aussi changer par assignation la valeur de Digits pour une série de calculs puis
revenir si on le souhaite à la valeur standard. La valeur maximale de Digits est donnée par
O kernelopts maxdigits
268435448
(5.2.2.9)
(valeur pour une machine 32 bits ; 38 654 705 646 pour une machine 64 bits !). Pour travailler
avec une telle précision, MAPLE utilise la librairie d'algorithmes GMP (GNU Multiple
Precision). On notera que certaines des commandes suivantes se terminent par ":". En effet
l'affichage des résultats ne présente aucun intérêt (ou peut même, pour des affichages longs,
encombrer inutilement la lecture)
O Nb_digits := Digits :
Digits := 50 :
1
1
2 , evalf e
2
O
e
; p 5 , evalf p
5
1
2
e , 1.6487212707001281468486507878141635716537761007101
1
p, 0.62831853071795864769252867665590057683943387987502
5
Digits := Nb_digits :
evalf
e
1
2
; evalf p
5
;
1.648721271
0.6283185308
(5.2.2.10)
(5.2.2.11)
ATTENTION
19

Le nombre de chiffres qui définit un nombre, celui qui définit la précision des calculs et
celui qui est utilisé pour l'affichage (§ 5.8), sont distincts.
La valeur de Digits n'intervient que dans le calcul des nombres (affecte seulement GMP), mais
n'effectue pas de troncature sur leurs définitions qui restent préservées. Noter que les 0 décimaux
de fin sont significatifs et préservés
O X d 1.23456789057342980000;
X / 3; # Nombre de chiffres = Digits
e X ;
X
# Nombre de chiffres = Digits
# Nombre de chiffres = celui de la définition
X := 1.23456789057342980000
0.4115226303
3.436893087
1.23456789057342980000
(5.2.2.12)
Le nombre Y est calculé avec 20 chiffres significatifs et, malgré la valeur de Digits égale à 10,
conserve toute sa précision.
5
O Y := evalf 20
;
Digits;
Y
7
Y := 0.71428571428571428571
10
0.71428571428571428571
(5.2.2.13)
Suivant l'option choisie (voir § 5.8), l'affichage peut ne pas refléter la précision des calculs, mais
ce n'est pas le cas par défaut (comme ici).
L'application de evalf sur X produit un nouveau nombre dont la précision résulte de la valeur de
Digits.
O Z d evalf X
Z := 1.234567891
(5.2.2.14)
Cette soustraction produit 0.0 car le calcul est fait avec Digits=10 chiffres et le nombre de
chiffres qui définit X n'y change rien.
O X K Z
0.
(5.2.2.15)
Par contre...
O evalf 20
X K Z
K4.265702000 10 -10
(5.2.2.16)
Exercice : expliquer...
O
A d evalf 18
2
7
B d evalf 18
2
7
;
A := 0.5345224838
B := 0.534522483824848769
20
(5.2.2.17)

O
B K A
0.
(5.2.2.18)
ATTENTION
Que ce soit avec MAPLE ou avec tout autre langage (C, C++, Fortran, Java...), les calculs
numériques décimaux (dits en "virgule flottante") doivent être menés avec la plus grande
prudence (on trouvera des illustrations de ces difficultés au chapitre 4 Vecteurs, Matrices et
Algèbre linéaire § V §§ Erreurs numériques, ou avec les exercices 3.8 et 3.9). L'algèbre
informatique des décimaux, quelque soit le langage, peut même se révéler non commutative
et/ou non distributive !
O
5 evalf
1
7
K evalf
5
7
2. 10 -10 (5.2.2.19)
Augmenter la précision peut ne rien changer quand on s'y prend mal...
O
5 evalf 20
1
7
K evalf 20
5
7
2. 10 -10 (5.2.2.20)
La valeur par défaut de Digits peut aussi être changée à l'aide du menu d'initialisation (voir §
8.3.7) Tools[Outils]/Options (Windows-Linux) ou Maple 14/Préférences (Mac) qui ouvre une
fenêtre d'initialisation. Cliquer ensuite sur l'onglet Precision et affecter la valeur souhaitée à la
rubrique "Round calculation to [Arrondir le calcul à]" (Attention: ne pas confondre avec la
rubrique "Round screen display to[Arrondir l'affichage de l'écran à]"). Pour effectuer le
changement de la valeur de Digits on peut aussi utiliser un fichier d'initialisation de MAPLE,
(voir § 8.3.8) ou plus simplement une modification attachée seulement à la feuille de calcul avec
le Startup code (§ 8.4.3-1).
5.2.3 Fonction evalhf (arithmétique "cablée" ou "hardware") [**]
5.2.3.1 Les décimaux "software" et "hardware"
Il existe deux façons dans MAPLE de définir des nombres décimaux et pour deux raisons
précises.
1) Les nombres décimaux "classiques" sont ceux dont il était question précédemment et
qui sont définis par défaut. Ils ont un nombre de chiffres significatifs qui peut atteindre
268435448 (valeur pour une machine 32 bits ; voir § 5.2.2). L'arithmétique qui gère ces
nombres est traitée par des bibliothèques d'algorithmes (GMP) et, comme on peut s'en
douter, les temps de calcul croissent avec le nombre de chiffres significatifs. C'est le mode de
calcul par défaut des décimaux sous MAPLE. La précision des calculs est définie par la
variable Digits (on rappelle que la précision de la définition des nombres et la précision des
calculs sont des notions distinctes). En raison de cette gestion des calculs par algorithmes on
parle de décimaux et d'arithmétique "émulés" ou "software" ("software floating numbers").
2) Les langages de programmation comme Fortran, C, C++, etc. travaillent (sauf
utilisation de bibliothèques spécialisées telle GMP) avec une précision fixe (6 à 7 chiffres en
simple précision et 15 à 16 chiffres en double précision pour un ordinateur avec mots de 32
21

its). Pour la double précision, les nombres sont stockés selon la norme IEEE sur 64 bits
(signe, mantisse et exposant). Leur arithmétique est traitée par le processeur et son cablage
électronique. C'est en raison de cette gestion que l'on qualifie ces nombres de "hardware
numbers" que l'on peut traduire littéralement par "nombres de quincaillerie"... mais que l'on
traduira plutôt par décimaux et arithmétique "cablés" ou "hardware".
L'inconvénient des nombres "hardware" est que leur précision est fixe. Mais la rapidité
des calculs est beaucoup plus grande et MAPLE permet de définir des nombres de ce type
et de faire des calculs dans ce mode.
Il n'en demeure pas moins, malgré cette possibilité, que l'on travaille avec MAPLE
dans un environement de calcul symbolique qui reste très gourmand en mémoire et en
temps de calcul. MAPLE ne saurait donc remplacer les langages de calcul numériques
pour les très gros volumes de calculs (modélisation). Il faut cependant noter que MAPLE
intègre dans ses algorithmes numériques (résolution de systèmes linéaires, intégrations,
etc.) des méthodes robustes utilisant des bibliothèques numériques éprouvées (NAG).
Remarque : il faut garder à l'esprit, même si cela ne sert à rien dans la pratique, que quelque
soit leur nature, les décimaux (comme d'ailleurs les entiers et tous les concepts virtuels d'un
ordinateur) ne sont au final que des suites de 0 et de 1 (physiquement des suites de deux
tensions électriques). Les deux types de nombres décimaux ne diffèrent que par la façon dont
sont organisées ces suites en mémoire et la façon dont on les traite.
L'affichage de ces deux types de nombres ne permet pas de les distinguer et c'est même
souvent une source de confusion. Aussi, on propose pour les besoins des paragraphes
suivants, de créer une fonction qui permettra de les distinguer (cette écriture ne pourra être
comprise qu'après la lecture du Ch. 2 § 2.1 et § 2.3.3 et du Ch. 7, et on demande au lecteur
de l'admettre telle quelle). D'autres moyens existent et on en présentera deux à la fin du
paragraphe.
O t := x::float/op 0, x
t := x::float/op 0, x
(5.2.3.1.1)
Les décimaux "software" sont créés par défaut avec MAPLE. Ils ont comme
caractéristique rendue par la fonction t le terme "Float", soit implicitement "software Float".
O t 3.5
Float
(5.2.3.1.2)
7
O a d evalf 15
;
2
t a
a := 3.50000000000000
Float
(5.2.3.1.3)
O t 300. , t K0.50
Float, Float
(5.2.3.1.4)
La fonction evalf permet de transformer les autres formes de nombre en décimaux
"software"
O
t evalf 3 , t evalf p ;
t evalf K 3 , t evalf
7
2
Float, Float
22
(5.2.3.1.5)

Float, Float
(5.2.3.1.5)
Pour créer un décimal "hardware" stocké en mémoire sur 64 bits, il faut utiliser
explicitement le constructeur HFloat. La fonction t renvoie alors "HFloat" qui caractérise ces
nombres. On peut constater, en comparant avec (5.2.3.1.3), que l'affichage seul des nombres
a et h ne permet pas de faire la distinction entre les deux types.
O
O
O
O
h d HFloat 3.5 ;
t h
h := 3.50000000000000
HFloat
(5.2.3.1.6)
L'argument de HFloat doit être soit un entier, soit un décimal (ou un complexe sous les
mêmes réserves ; voir § 6).
7
O HFloat
2
Error, invalid argument for HFloat constructor
Il suffit donc d'écrire, par exemple,
7.
O HFloat
2
3.50000000000000
(5.2.3.1.7)
Un décimal de type "hardware" pouvant accepter 16 à 18 chiffres significatifs, on prendra
toujours soin de créer un décimal suffisamment précis si nécessaire (pour le cas précédent,
c'était inutile). La valeur de Digits étant égale à 10 par défaut, l'utilisation de evalf seule est en
général insuffisante. On écrira plutôt (voir § 5.2.2).
HFloat evalf 18
5
7
0.714285714285714
que l'on pourra comparer avec
5
O HFloat evalf
7
0.714285714300000
De même pour des nombres symboliques
HFloat 2 ;
HFloat
p
2
HFloat evalf 18
2 ;
HFloat evalf 18
p
2
HFloat 2
HFloat
1
2 p
1.41421356237310
1.57079632679490
23
(5.2.3.1.8)
(5.2.3.1.9)
(5.2.3.1.10)
(5.2.3.1.11)
Mais on pourra aussi utiliser la fonction evalhf (§ 5.2.3.2 ). On remarquera que le nombre de
chiffres affichés n'est pas une indication sur la nature "software" ou "hardware" des
nombres.

Le constructeur HFloat admet des quantités indéfinies (x) comme argument. Il ne peut
bien sûr produire dans ce cas aucun nombre décimal...
O
u := HFloat 2 x
v := HFloat 1.41421356237309505 x
(5.2.3.1.12)
... et se comporte alors comme une fonction dont les arguments suivent les règles d'évaluation
décrites au Ch. 2. En particulier le calcul décimal de l'argument, seulement possible pour v
quand on pose x = 3, se fait dans le mode "software" par défaut avec Digits=10 chiffres,
expliquant la réduction du nombre final de chiffres rendus par HFloat. La raison qui induit ce
mode de calcul est que 1.4142... est, malgré ses 18 chiffres, un nombre de type "software"
(voir § 5.2.3.2).
O x d 3 : u; v; t v
O
u d HFloat 2 x ;
v d HFloat evalf 18
2 x
HFloat 3 2
4.24264068600000
HFloat
24
(5.2.3.1.13)
Il existe d'autres façons que celle utilisée par la fonction t pour distinguer ces nombres.
Par exemple, les commandes suivantes montrent que a est du type sfloat (software float) et
que h est un décimal de type float 8
stocké sur 8 octets (8×8 bits ; hardware float).
a, h;
NumericClass a ;
NumericClass h
3.5, 3.50000000000000
And sfloat, positive, numeric
And float 8
, positive, numeric
(5.2.3.1.14)
On peut aussi utiliser la notion de type décrite au Ch. 2, § 3. On demande si a ou h sont du
type précisé (vrai=true, faux=false).
O type a, sfloat , type h, hfloat ;
type a, hfloat , type h, sfloat
true, true
false, false
(5.2.3.1.15)
Ou encore...
O type h, float 8
true
(5.2.3.1.16)
Mais la réponse peut sembler fausse si on s'en tient à une connaissance superficielle...
O type h, float
(5.2.3.1.17)
true
...car le type float englobe les types sfloat et hfloat.
Des informations complémentaires sont données au Ch. 2, § 2.3.3, § 2.4.1 et § 3.
5.2.3.2 Modes de calcul induit par les décimaux "hardware", fonction evalhf
Rappelons (§ 5.1) que pour qu'un calcul décimal soit déclenché, il suffit qu'une seule des
opérandes soit de cette nature et que les autres nombres ne soient pas symboliques.

22.0
O K p;
7
22
7 K 3.141592654 3.142857143 K p
0.001264489
Le résultat par défaut a la caractéristique des décimaux "software".
O t %
Float
O
(5.2.3.2.1)
(5.2.3.2.2)
Si des opérandes symboliques comme π ou 2 sont présentes, il faudra faire appel à la
fonction evalf pour effectuer le calcul (§ 5.2.1 et § 5.2.2).
p$5
2 $ 2 ;
p$5.0$ 2
2
evalf
;
p$5 2
2
5
2 p 2
2.500000000 p 2
11.10720734
(5.2.3.2.3)
La fonction evalf travaille en mode "software" et le résultat a encore la caractéristique des
décimaux "software".
O t %
Float
(5.2.3.2.4)
Il est cependant possible de demander à ce que ce calcul soit effectué en mode "hardware",
c'est à dire avec une "arithmétique cablée" en utilisant la fonction evalhf. La vitesse
d'exécution est beaucoup plus rapide, mais la précision et fixée à 18 chiffres.
Evidemment cette fonction n'a vraiment un intérêt que pour les gros volumes de
calculs numériques.
O
evalhf(Pi*7/22*sqrt(2));
1.41364457123220744
(5.2.3.2.5)
ATTENTION
Malgré le mode de calcul et les 18 chiffres significatifs, le résultat de evalhf est un
nombre de type "software".
O t(%);
Float (5.2.3.2.6)
L'oubli de cette caractéristique est souvent la source de beaucoup de confusions...
Avec evalhf on ne pourra pas se fier au dernier ou deux derniers chiffres affichés (en raison
des approximations dues aux conversions "représentation binaire" ⇔ "représentation
décimale".
O evalhf(7/3);
25
(5.2.3.2.7)

O
evalf[18](7/3);
ou encore
O evalhf(7/5);
evalf[18](7/5);
2.33333333333333348
2.33333333333333333
1.39999999999999990
1.40000000000000000
(5.2.3.2.7)
(5.2.3.2.8)
On notera aussi que Digits est une variable très particulière relativement à la fonction
evalhf et que le résultat, bien que cohérent, peut surprendre ! Même si le nombre de chiffres
affichés est de 18, MAPLE considère que la précision effective des calculs est de 15 chiffres,
et évidemment quelque soit la valeur de Digits.
O
Digits;
evalhf(Digits); # 10 devient 15.
trunc(evalhf(Digits)); # voir § 5.3
10
15.
15
26
(5.2.3.2.9)
La présence d'un décimal HFloat ("hardware") dans une expression arithmétique entraîne
en général des calculs et un résultat en mode "hardware"...
O a d HFloat 2 ;
t a
a := 2.
HFloat
(5.2.3.2.10)
O 3 a 2 C 1 ;
7
t %
12.4285714285714
HFloat
(5.2.3.2.11)
... sauf si Digits R evalhf Digits , auquel cas les calculs sont faits en mode "software" et le
résultat est forcément en mode "software".
O Digits d 30 :
3 a 2 C 1 ;
7
t % ;
Digits d 10 :
12.4285714285714285714285714286
Float
(5.2.3.2.12)
De même, une fonction est évaluée dans le mode décimal de son argument (si possible ; voir
la fin du paragraphe)...
O
exp a ;
t %
7.38905609893065
HFloat
... avec la même condition sur la prescription du nombre de chiffres significatifs
O Digits d 30 :
(5.2.3.2.13)

O
exp a ;
t % ;
Digits d 10 :
7.38905609893065022723042746058
Float
(5.2.3.2.14)
Cette logique est contrôlée par la variable d'environnement...
O UseHardwareFloats
deduced
(5.2.3.2.15)
... et MAPLE déduit de la précision demandée le mode de calcul qu'il va utiliser. On peut
assigner true ou false à cette variable pour imposer ou empêcher l'un ou l'autre mode, mais
mieux vaut savoir ce que l'on fait !...
Suivant la façon dont sont écrites les expressions, la logique induite des modes de calcul
peut varier. L'expression 3 a 2 C 1 7
comme
O t a ;
3 a 2 C 3 7 ;
est interprétée par MAPLE (voir Ch. 2, § 2.2.2)
t %
HFloat
12.4285714285714
HFloat
et les calculs sont faits en mode "hardware" avec la bonne précision.
(5.2.3.2.16)
O %% K evalf 18
12 C 3 7
0.
(5.2.3.2.17)
Maintenant, par le simple fait d'utiliser le décimal "software" 1.0, on force le calcul de 1.0 a
7
être fait en mode "software" avec seulement Digits=10 chiffres significatifs, occasionnant
une perte de précision :
O 3 a 2 C 1.0 ;
7
t % ;
%% K evalf 18 12 C 3 7
12.4285714287000
HFloat
1.28570931678951 10 -10
L'expression est interprétée comme
O 3 a 2 1.0
C 3$
7
12.4285714287000
On peut décomposer ce calcul en
O
A d 3 HFloat 2 2 ;
t A ;
27
(5.2.3.2.18)
(5.2.3.2.19)

O
puis
O
O
O
B d 3$ 1.0
7 ;
t B
A C B;
t %
A := 12.
HFloat
B := 0.4285714287
Float
12.4285714287000
HFloat
(5.2.3.2.20)
(5.2.3.2.21)
On comprend pourquoi une partie de la précision a été perdue au cours du calcul et l'usage de
evalhf ne résout rien car l'écriture décimale 1.0 force toujours le calcul de la fraction en mode
"software" :
O evalhf 3 a 2 C 1.0 ;
7
12.4285714286999998
(5.2.3.2.22)
Si on veut, on peut pour récupérer la précision, écrire ce qui suit, mais pourquoi faire
compliqué quand on peut écrire simplement 1 (voir (5.2.3.2.11)). L'exemple est seulement à
vocation pédagogique...
O 3 a 2 HFloat 1.0
C
7
12.4285714285714
... sauf si le numérateur doit être un décimal différent d'un entier.
O 3 a 2 HFloat 1.569
C
7
12.6724285714286
(5.2.3.2.23)
(5.2.3.2.24)
Comme pour les décimaux standard (software), MAPLE donne la priorité aux calculs
symboliques (voir (5.1.5) et (5.1.6)).
3 a 2 C 2
7
;
12. C 3 7
2
(5.2.3.2.25)
Une fonction (ici ) est évaluée ci-dessous dans le mode décimal de son argument (sauf
contrôle par UseHardwareFloats). Comme pour 1.0 dans (5.2.3.2.19), 2.0 est calculée
7
en mode "software" avec 10 chiffres significatifs, la somme calculée en mode "hardware"
(celui de a) et le résultat est un décimal "hardware". On a donc encore une perte de précision..
.
3 a 2 C 2.0
7
t % ;
;
28
(5.2.3.2.26)

O
%% K evalf 18 12 C 3 2
7
12.6060915265714
HFloat
K1.59896984541774 10 -10
... et on écrira plutôt...
O
3 a 2 C evalhf 2
7
t % ;
%% K evalf 18 12 C 3 2
7
12.6060915267313
HFloat
0.
... qui est interprétée comme
;
(5.2.3.2.26)
(5.2.3.2.27)
O
3 a 2 C 3 7 evalhf 2 12.6060915267313
(5.2.3.2.28)
Certes le résultat de evalhf est un nombre "software", mais avec la précision suffisante pour
produire un calcul correct en mode "hardware". On peut aussi écrire...
O 3 a 2 evalf 18 2
C
7
12.6060915267313
...mais le calcul précédent est plus rapide.
Exercice : pourquoi obtient-on le même résultat imprécis que pour (5.2.3.2.26) ?
O
O
3 a 2 C evalhf 2
7
;
12.6060915265714
Exercice : Quelle est la raison de cette différence ?
evalhf
evalhf
3
2 p
3
2 p
;
(5.2.3.2.29)
(5.2.3.2.30)
2.09439510239319526
2.094395102
(5.2.3.2.31)
[**]Certaines fonctions de MAPLE ne sont pas (encore) calculables avec evalhf (voir
aussi le § 6 relatif aux nombres complexes)
O
evalf G 2.3 ;
evalf G 1.2, 2.3 ;
evalf BesselJ 1, 2.7
29
(5.2.3.2.32)

O
O
O
O
O
1.166711905
0.1265378441
0.4416013791
O evalhf G 2.3 ;
t % ;
evalhf G 1.2, 2.3 ;
evalhf BesselJ 1, 2.7
1.16671190519816025
Float
Error, unsupported type `complex(float)` in evalhf
Error, unsupported type `('complex')('float')` in evalhf
Le calcul suivant n'est pas de type "hardware", mais "software".
G HFloat 1.2 , HFloat 2.3 ;
t %
0.126537844091784
HFloat
On trouvera la liste des fonctions calculables avec
O ?evalhf/fcnlist
5.3 Décimaux, entiers et rationnels [*]
On obtient respectivement la partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre avec les
fonctions trunc et frac
O a := 1.648;
trunc Ka ;
frac Ka
a := 1.648
K1
K0.648
30
(5.2.3.2.32)
(5.2.3.2.33)
Il n'est pas nécessaire de forcer au préalable l'évaluation décimale de l'argument qui peut être un
nombre symbolique. On notera que la priorité est toujours donnée aux expressions exactes
trunc Kp ;
frac Kp
frac 3 2 ;
evalf frac 3 2
L'entier le plus proche est donné par
K3
Kp C 3
3 3 K 4
1.196152424
round Ka , round e , round 3 2
K2, 3, 4
Les entiers immédiatement inférieurs et supérieurs sont respectivement donnés par (ceil pour
"ceiling" = "plafond" et "floor" = "sol")
floor p , ceil p
(5.3.1)
(5.3.2)
(5.3.3)
(5.3.4)
(5.3.5)

O floor Kp , ceil Kp
K4, K3
(5.3.6)
Il est possible de convertir un nombre décimal en nombre rationnel. MAPLE renvoie alors une
fraction réduite au plus petit dénominateur (approximation par fraction continue)
O
r_Pi := convert evalf p , rational ;
ifactor %
3, 4
31
(5.3.5)
r_Pi := 104348
33215
1373
(5.3.7)
73
On peut récupérer le reste de la division de deux entiers avec la fonction irem (–33 = –4×7–5)
O irem 9, 3 , irem K33, 7 , irem 3, 5
0, K5, 3
(5.3.8)
La même fonction permet, en respectant la syntaxe (expliquée au Ch. 2, § 1.1), de récupérer le
quotient avec un troisième argument ( ' est une apostrophe et non un accent grave)
O
irem K33, 7 , 'q1' ;
q1
O irem 3, 5 , 'q2' ;
q2
3
0
Pour des conversion plus spécialisées vers des entiers on se reportera à la bibliothèque
O ?MTM/integer
K5
K4
(5.3.9)
(5.3.10)
5.4 Troncature [**]
Cette gestion concerne aussi, et de façon particulière, les nombres complexes. Le sujet est donc
reporté au § 7.3 avec la fonction fnormal après la présentation des nombres complexes.
5.5 Gestion des erreurs [**]
On peut traiter suivant son choix les "accidents" de calcul comme des divisions par 0, les
dépassement de capacité mémoire, etc. Le sujet dépasse le cadre de ce chapitre et on trouvera
quelques éléments d'information au Ch. 19. On pourra aussi visiter l'aide en ligne, par exemple
O ?NumericEvent
O ?NumericEventHandler
O ?NumericStatus
5.6 Représentations extrêmes ou indéfinies des décimaux [*]
La représentation des nombres décimaux est limitée en magnitude. Ici la valeur vraie est certes
très petite, mais n'est pas nulle. Cependant
O exp(-2.0e10);
e K2.0e10 0.
0.
(5.6.1)

Les valeurs décimales n'étant pas exactes, MAPLE adopte une écriture semblable à celle des limites
en donnant un "signe" au 0 décimal.
O Kexp K2.0e10
K0.
(5.6.2)
Le "signe" du zéro décimal peut dépendre de la façon dont est fixé le calcul des arrondis (§ 5.7)
O 179 K 179.0 ;
Rounding dKinfinity :
179 K 179.0 ;
Rounding d nearest :
Voir aussi l'aide en ligne
O ?DefaultUnderflow
0.
K0.
(5.6.3)
MAPLE crée des nombres décimaux infinis (voir le type extended_numeric au Ch. 2, § 3). Ils
ont la caractéristique Float des nombres décimaux (on rappelle que la fonction t a été construite en
(5.2.3.1.1) et donne le type du nombre).
O
e 1.0 1030 ;
t %
ou encore
O evalf KN ;
t %
Voir aussi l'aide en ligne
O ?DefaultOverflow
Exercice : comparer et expliquer
O Kexp KN , Kexp KFloat N
Float N
Float
KFloat N
Float
0, K0.
(5.6.4)
(5.6.5)
(5.6.6)
MAPLE crée également des décimaux indéfinis (voir le type extended_numeric au Ch. 2, § 3).
Ils ont la caractéristique Float des nombres décimaux
O exp K1.0e29 $exp 1.0e30 ;
t % ;
Float undefined
Float
(5.6.7)
Les décimaux infinis ou indéfinis ne sont évidemment pas représentables en mode décimal mais, par
exemple, un calcul numérique ne sera pas arrêté par un nombre qui prend pour une raison
quelconque une valeur infinie, alors que le résultat final a une valeur finie au sens d'une limite.
O
x d ln 0.0 ;
exp 1 C x
x := KFloat N
0.
32
(5.6.8)

Ces remarques valent pour les décimaux "hardware"
O
O
Ke HFloat K2.0 1010 ;
t %
e HFloat 1.0 1030 ;
K0.
HFloat
(5.6.9)
e HFloat K1.0 1029 e HFloat 1.0 1030 HFloat N
HFloat undefined
Attention : le résultat est ici du type Float et non HFloat ; voir (5.2.3.2.6)
O
evalhf KN ;
t %
KFloat N
Float
(5.6.10)
(5.6.11)
La fonction NextAfter permet de déterminer quel est le nombre décimal représentable le plus
proche d'un nombre donné mais différent pour la précision compatible avec la valeur définie par
Digits. Un deuxième argument, sous la forme d'un nombre sur la droite réelle achevée, indique la
direction vers laquelle le résultat doit être cherché
O NextAfter 0, 1 , NextAfter K1, 0 , NextAfter K1.0,KN
1. 10 -11 , K0.9999999999, K1.000000001
(5.6.12)
Ce deuxième argument n'a pas de valeur précise, sinon sa position relative sur la droite réelle par
rapport au premier argument
O NextAfter K1.0,KN , NextAfter K1.0,K2
K1.000000001, K1.000000001
(5.6.13)
Ainsi NextAfter(1,–∞) et NextAfter(1,2) sont les nombres décimaux les plus proches de 1 tels que la
différence ne soit pas nulle...
O 1 KNextAfter 1,KN , 1 K NextAfter 1, 2
1. 10 -10 , K1. 10 -9
(5.6.14)
... résultat bien entendu fonction de la valeur de Digits
O Digits d 30 :
1 KNextAfter 1,KN , 1KNextAfter 1, 2 ;
Digits d 10 : # Retour à la valeur standard
1. 10 -30 , K1. 10 -29
(5.6.15)
Le plus grand et le plus petit nombre décimal "software" strictement positif que peut représenter
MAPLE en arithmétique émulée sont donnés par
O Maple_floats MAX_FLOAT , Maple_floats MIN_FLOAT
1. 10 2147483646 , 1. 10 -2147483646
(5.6.16)
On trouvera des compléments d'information dans l'aide en ligne
O ?Maple_floats
Pour les nombres "hardware"
O evalhf DBL_MAX , evalhf DBL_MIN ;
33
(5.6.17)

9.9999999000000002 10 307 , 1.00000010000000001 10 -307
On trouvera des compléments d'information dans l'aide en ligne
O ?evalhf/constant
(5.6.17)
5.7 Calculs des arrondis [**]
Les calculs d'arrondis sont contrôlés par la variable d'environnement Rounding. Suivant sa
valeur, l'arrondi est calculé ainsi
- nearest (par défaut) : au plus près (la plus petite distance).
- 0 : vers 0.
- ±∞ : dans la direction correspondante.
Le schéma illustre les significations de ces possibilités :
- en bleu sur l'axe réel, un nombre positif ou négatif
- en rouge, les arrondis possibles.
- en vert les arrondis calculés en fonction de la valeur de Rounding.
0
nearest
0
+ ∞
- ∞
Attention : nearest n'est pas un nom protégé (il devrait l'être ; voir Ch. 2, § 1.4) et est assignable (il
ne devrait pas l'être).
Le rationnel 1/7 est représenté par une suite périodique de décimaux 0.142857 142[857...] dont les
arrondis possibles sont 0.142857 142[9 ou 8]
O Rounding := nearest;
O
O
evalf K 1 , evalf C 1 7
7
Rounding := nearest
K0.1428571429, 0.1428571429
Rounding := 0;
evalf K 1 , evalf C 1 7
7
Rounding := 0
K0.1428571428, 0.1428571428
Rounding := N;
(5.7.1)
(5.7.2)
evalf K 1 7
, evalf C 1 7
Rounding := N
K0.1428571428, 0.1428571429
34
(5.7.3)

O
Rounding := KN;
evalf K 1 , evalf C 1 7
7
Rounding := KN
K0.1428571429, 0.1428571428
On restitue la valeur par défaut
O Rounding d nearest :
5.8 Affichage des nombres décimaux [**]
35
(5.7.4)
5.8.1 Nombre de chiffres significatifs affichés [**]
L'affichage des nombres décimaux est piloté par une variable d'interface displayprecision.
Elle vaut -1 par défaut et permet l'adaptation automatique de l'affichage en fonction de la valeur
des nombres (et pas seulement de Digits qui n'intervient que dans les calculs ; voir § 5.2.2).
O interface displayprecision
K1
(5.8.1.1)
Mais on peut forcer un nombre fixe n 2 0, 100 de chiffres affichés. La fonction interface
(displayprecision=n) renvoie la valeur avant la modification, ce qui permet de la mémoriser
simplement (voir ci-dessous dp:=...)
Pour obtenir l'affichage souhaité on peut aussi modifier avant l'ouverture du document les
paramètres de MAPLE par le menu d'initialisation (onglet Precision, Round screen display to ;
voir § 8.3.7). On peut également introduire les commandes interface dans le fichier
d'initialisation de MAPLE (voir § 8.3.8) ou plus simplement encore dans le Startup code de la
feuille de calcul (voir § 8.4.3).
O dp := interface displayprecision = 5 ;
X := 1.2345678901234567890;
Y := X;
X
Z :=
7. 10 10 dp := K1
X := 1.23457
Y := 1.23457
Z := 1.76367 10 -11
(5.8.1.2)
Cette modification ne concerne que l'affichage et le retour au mode automatique montre bien
que les nombres ne sont pas modifiés. Le nombre Z résulte d'un calcul et ne possède donc que
Digits=10 chiffres significatifs (voir § 5.2.2).
O
interface displayprecision = dp ;
X;
Y;
Z
5
1.2345678901234567890
1.2345678901234567890
1.763668415 10 -11
(5.8.1.3)
Il est déconseillé de faire l'opération dans le sens d'une réduction comme précédemment (=5) et
on préférera toujours choisir displayprecision>Digits...
O Digits;

O
interface displayprecision = 25 :
X;
Z
10
1.2345678901234567890
1.763668415 10 -11
(5.8.1.4)
mais finalement la meilleure solution, sauf besoins particuliers, est encore de conserver le mode
automatique -1
O interface displayprecision = dp :
5.8.2 Affichages spéciaux [***]
Dans le menu général de MAPLE on trouvera aussi, pour des situations particulières, l'item
Format/Numeric Formating... qui ouvre une fenêtre permettant de choisir certains modes
d'affichage des résultats numériques. On notera que
- ces modes d'affichage peuvent s'appliquer aussi aux entiers si la case Apply to Integer
[Appliquer aux entiers] est cochée.
- le séparateur décimal n'est plus "." mais ","
- le mode peut s'appliquer sur un résultat déjà affiché sans avoir à relancer le calcul. On
clique quelque part dans le groupe d'exécution, on fixe avec le menu le mode et l'affichage des
résultats est modifié.
- quand un mode est fixé il se conserve pour les affichages suivants, mais chaque groupe
conserve son mode.
- quand un tel mode est actif, une icône s'affiche à gauche de chaque groupe d'exécution.
Elle n'apparaît que sur la feuille de calcul (si l'option Markers[Balises] dans le menu View
[Affichage] de MAPLE est cochée), mais pas sur le document imprimé, d'où son absence ici.
On en donne seulement trois exemples:
- Fixed, Decimal places = 3, la case Apply to Integer est cochée
O X;
Z;
1234567890
1,235
,000
1234567890,000
(5.8.2.1)
- Scientific, Decimal places = 5, Minimum Exponent Digits = 2, Show + pour les
exposants positifs ou nuls, la case Apply to Integer est décochée.
O
X;
Z;
1234567890
1,23457 # 10 C 00
1,76367 # 10 - 11
1234567890
(5.8.2.2)
- Custom[Personnalisé] avec une chaîne fixant le format. Pour plus d'information sur ce
mode, voir l'aide en ligne
O ?worksheet/expressions/numericformatting
Conseil : il est recommandé d'essayer la chaîne sur une feuille MAPLE séparée si on n'est pas
36

sûr de soi...
Exercice[***] : quelle chaîne peut produire un tel format d'affichage !?
O
e K100.0 , ln 12.56 , 1.0 10 12 ,Kevalf e
Petit, Moyen, Grand, KPetit
1 p
4
(5.8.2.3)
O
O
- None revient à l'affichage standard.
X, Z
1.2345678901234567890, 1.763668415 10 -11
5.9 A propos du point décimal et de l'opérateur "." [**]
On a vu que laisser le point décimal seul devant e ou E engendrait une erreur (voir § 5).
O 2.e6;
Error, missing operator or `;`
O 2.e6
Error, incorrect syntax in parse: missing operator or `;`
(near 5th character of parsed string)
2.e6
La raison vient de ce que "." peut être compris par MAPLE, contrairement à "∗", comme un
opérateur de multiplication non commutatif
O y*x-x*y;
y.x-x.y;
y$x K x$y;
y.xKx.y;
0
y.x K x.y
0
y.x K x.y
(5.9.2)
Lorsqu'il peut exister une ambiguïté le "." doit être obligatoirement précédé d'un espace pour être
compris comme opérateur de multiplication
O 4.5 , 4 .5 , 4 . 5;
4.5, 20, 20
(5.9.3)
O 4.5 , 4 .5 , 4 . 5;
Error, missing operation
4.5 , 4 .5 , 4 . 5;
O 4 . 5
4.5
(5.9.4)
Ici MAPLE comprend "45 × 0.". On se doute qu'une telle faute de frappe peut avoir des
conséquences redoutables dans une expression plus compliquée !
O 45 .0e6;
0.
(5.9.5)
O 45 .0e6
Error, missing operation
45 .0e6
Maintenant MAPLE détecte une erreur
O 45. 0e6;
Error, unexpected real number
37
(5.8.2.4)
(5.9.1)

L'effet peut aussi se produire avec une césure lors d'un retour à la ligne . Dans cet exemple on a fait
suivre le chiffre 1 de Shift-Return, provoquant ainsi une césure volontaire. MAPLE calcule alors
cos(1×0.0).
O
cos(1.0e0); cos(1
.0e0);
0.5403023059
1.
O e ip K 3j C I
K1 K 2 I
Bien sûr, entrer i ou j au clavier ne fonctionne pas
38
(5.9.6)
On ne saurait trop recommander de réserver l'usage de cet opérateur aux seules opérations non
commutatives comme par exemple les produits de matrices (voir Ch. 4, Vecteurs, Matrices et
Algèbre linéaire).
6 Nombres complexes
Les nombres complexes, mis sous une forme algébrique, s'écrivent a C b$I. Le symbole prédéfini I
désigne
K1 (voir Ch. 2, § 2.2.3). Noter la majuscule obligatoire pour I pour une entrée au clavier.
1
2 ;
O sqrt K1 , K1 , K1
z d 3 C 2$I
I, I, I
z := 3 C 2 I
(6.1)
Ce symbole est protégé contre toute assignation. En réalité, MAPLE ne le considère pas comme un
nom, mais comme un nombre (voir également Ch. 2, § 1.4)
O I := 3
Error, illegal use of an object as a name
I := 3
Remarques :
a) Le symbole I peut être introduit dans les commandes avec "i", "j" ou "I" de la palette "Symboles
courants". En réponse le symbole sera néanmoins I. On utilisera souvent dans ce manuel le "i" de la
palette.
(6.2)
O e ip K 3 j C 1
e ip K 3 j C 1
(6.3)
b) [**] La notation I n'est pas figée. On peut la changer en utilisant la commande suivante et en
choisissant une autre lettre (ici i) ou un nom quelconque valide comme par exemple j ou Img (éviter Im
qui est le nom de la fonction d'extraction de la partie imaginaire). La réponse qu'afficherait la commande
suivante correspondrait au symbole utilisé avant le changement (ici I).
> interface(imaginaryunit=i)
Le nom i deviendrait protégé et on ne pourrait plus lui assigner une valeur (i.e. i:=2 deviendrait interdit ;
voir aussi Ch. 2 § 4) ou l'utiliser pour indexer une boucle. Réciproquement I deviendrait un nom
ordinaire. Ce changement ne vaudrait que pour la session en cours ou serait annulé après un ordre
restart (voir § 8.3.4, § 8.3.8 et § 8.4.3).
Si la partie réelle ou complexe est sous la forme décimale, les deux parties sont automatiquement
converties dans ce mode. Ici l'expression e ip /2 est évaluée symboliquement et vaut donc exactement

K1/2, mais elle est ensuite convertie en K0.50... en raison de la présence du décimal 3.0. Inversement
pour Y.
O
X d 3.0 C
Y d 3 2
C 1.$ i;
X
e i$p
2 $ I;
:= 3.0 K 0.5000000000 I
Y := 1.500000000 C 1. I
(6.4)
Les décimaux d'un nombre complexe peuvent aussi être du type "hardware floating number" décrits
au § 5.2.3.1.
O
X := HFloat 3.0 C eip
2 $i ;
type X, complex sfloat ; # voir Ch. 2, § 3.xxx
type X, complex hfloat
X := 3. K 0.500000000000000 I
false
true
Les restrictions sont les mêmes que pour les décimaux réels.
3
O HFloat
2 C 2 I
Error, invalid argument for HFloat constructor
et il suffit donc d'écrire, par exemple,
Les arguments et les images des fonctions numériques de MAPLE ne sont pas restreintes aux
réels (se reporter sinon à la bibliothèque RealDomain, § 8.3.5-d). On peut demander d'évaluer une
expression complexe sous sa forme algébrique a + b*I avec la fonction evalc (evaluate as complex)
39
(6.5)
3.
O HFloat
2 C 2 I 1.50000000000000 C 2. I
(6.6)
On sera aussi attentif à utiliser une précision suffisante pour les nombres introduits comme argument de
HFloat (§ 5.2.3.1, § 5.2.3.2).
Un nombre qui possède une partie imaginaire décimale nulle reste sous sa forme complexe, mais
on pourra utiliser simplify pour éliminer ce terme. Ce comportement est délibéré et n'est pas une
anomalie de fonctionnement (homogénéité des types pour les calculs numériques). Mieux, il n'est en
général pas souhaitable de faire cette simplification tant que des calculs numériques sont en cours (voir
la fonction fnormal au § 7.3 et l'exercice 3.3.1 à propos de la matrice des vecteurs propres ; voir aussi
au Ch. 2, § 3.3.2.4 le type embedded_real).
O
X := 3 C 0. I;
Y := 3. C 0 I;
X K Y;
simplify X
X := 3. C 0. I
Y := 3.
0. C 0. I
3.
(6.7)

O z; c :=Ke z ; # ou c dQ exp z
3 C 2 I
c := Ke 3 C 2 I
O evalc c ;
evalc ln z
Ke 3 cos 2 K I e 3 sin 2
1
2 ln 13 C I arctan 2 3
1
O Q d evalc
K2 C I
Q := 1 K4 C 2 5 5 K 1 10
10 I 4 C 2 5 5
On peut également demander une approximation décimale
O evalf Q
0.1536450380 K 0.6508508258 I
Bien sûr, une représentation algébrique symbolique n'est pas toujours possible
O ?evalc/functions
mais une représentation décimale peut être calculée avec le nombre de chiffres significatifs souhaités.
O
evalc z z C 1 ;
evalf 20
z z C 1
z 4 C 2 I
0.99793259523003576331 K 0.071461016424093086313 I
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Important
Quand evalc rencontre des variables indéfinies (ici u et v) il les considère toujours comme des
quantités réelles
O evalc cos u C I$v
cos u cosh v K I sin u sinh v (6.13)
On peut extraire les parties réelles et imaginaires avec
O Re c , Im e Kz2 Ke 3 cos 2 , Ke K5 sin 12
On pourra aussi utiliser les symboles de la palette "Symboles courants"
(6.14)
O R c , I e Kz2 Ke 3 cos 2 , Ke K5 sin 12
(6.15)
Contrairement à evalc, R et I ne considèrent pas par défaut les variables inconnues comme réelles
O R cos u C I$v , I cos u C I$v
R cos u C I v , I cos u C I v
(6.16)
Exercice : interpréter ces deux résultats
O
I 1 C I e Kt2
40
(6.17)

R e Kt2
(6.17)
O
R 1 C I e Kt2
1 K I e Kt2
(6.18)
Exercice : comparer avec (6.16) et expliquer
O evalc R cos u C I$v , evalc I cos u C I$v
cos u cosh v , Ksin u sinh v
O
On peut aussi chercher la représentation polaire d'un nombre
polar c ; polar s ; polar Q
polar e 3 , 2 K p
polar s , argument s
1
polar
5 53 / 4 4 C 2 5
, Karctan
K4 C 2 5
dans laquelle on reconnaît le module (valeur absolue) et l'argument
O abs c , argument c ;
abs s , argument s ;
abs Q , argument Q ;
(6.19)
(6.20)
e 3 , 2 K p
s , argument s
La valeur absolue peut aussi s'écrire
O c , K2
1
5 53 / 4 , Karctan
e 3 , 2
4 C 2 5
K4 C 2 5
(6.21)
(6.22)
O
On peut donc construire un complexe sous forme algébrique à partir de cette représentation polaire
W := evalc polar x C y,
p
4
W := 1 x C y 2 C 1 (6.23)
2
2 I x C y 2
Attention : dire que x C y est le module de W n'est pas exact. Il faut pour cela faire l'hypothèse que
x R 0 et y R 0 et MAPLE ne s'y trompe pas !
O W
1
x C y 2 C 1 (6.24)
2
2 I x C y 2
Il est possible de faire ce genre d'hypothèses (voir Ch. 13 ; "assuming"="en supposant que")
O W assuming x R 0, y R 0
x C y
(6.25)
Pour obtenir une expression conjuguée on écrira
41

O conjugate c
Ke 3 K 2 I
On peut aussi écrire, en utilisant dans la palette "Accents" le gabarit A (voir § 8.1/10)
O c
Ke 3 K 2 I
O x K y C 1 $c
Ke 3 K 2 I 1 C x K y
(6.26)
(6.27)
(6.28)
Exercice = ici encore, il ne faut pas oublier que MAPLE fait, par defaut (§ 8.3.5), l'hypothèse que les
nombres ∈ C. Expliquer la diférence entre les résultats :
O
O
O
O
W
1
x C y 2 C 1 2
2 I x C y 2
W assuming x T real, y T real
1
x C y 2 K 1 2
2 I x C y 2
(6.29)
(6.30)
On retrouve, comme pour les réels, les mêmes règles générales d'évaluation des expressions quand
les décimaux sont mélangés aux entiers et aux rationnels.
3
O 1 C 2$I K sin
2 C 2.0$I K2.752771340 C 1.743446044 I
(6.31)
Pour le traitement des petites valeurs résiduelles dans un calcul voir la fonction fnormal au § 7.3
e KI p ;
E := e K1.0 I p
evalc E ;
evalf E
K1
E := e K1.0 I p
K1
K1. C 4.102067615 10 -10 I
(6.32)
(6.33)
O
Le "signe" d'un nombre est donné par la fonction signum définie par signum x = x x
x réels la réponse ne peut être que ±1
O signum K3 , signum 3K p , signum K3.256e3
K1, 1, K1
Pour les complexes, il va bien sûr différemment en raison de la définition de la fonction
x dK1 C I$ 2 ;
x ;
signum x
x := K1 C I 2
3
. Pour les
(6.34)
42 (6.35)

1
K1 C I 2 3
(6.35)
3
Il existe aussi une fonction, csgn, qui détermine un signe ±1 en fonction de la localisation de l'affixe du
nombre dans le plan complexe. La valeur +1 est attribuée pour les complexes dont la partie réelle est
strictement positive et –1 réciproquement. Pour les imaginaire purs, le signe est simplement celui du
nombre
Q1
I(x)
+1
csgn x
Q1
+1
R(x)
O
(6.36)
0, 0
(6.42)
Il est également possible de fixer ponctuellement cette valeur sans changer la valeur de _Envsignum0 et
en utilisant une syntaxe à trois arguments, le premier étant obligatoirement mis à 0
O
csgn K3 , csgn ln 3
K1, 1
O csgn 1K2$I , csgn K1 C 2 I
1, K1
(6.37)
O csgn 2$ I , csgn K3$ I
1, K1
(6.38)
Aussi bien pour signum que pour csgn, la valeur en 0 est définie par la variable d'environnement
_Envsignum0. Elle est non assignée par défaut
O _Envsignum0
_Envsignum0
(6.39)
et le "signe" prend alors la valeur 0
O signum 0 , csgn 0
0, 0
(6.40)
Pour convenance ou pour l'homogénéité de certains calculs, on peut vouloir choisir la valeur prise en 0
en assignant une valeur quelconque à cette variable
O _Envsignum0 dK1 :
signum 0 , csgn 0
K1, K1
(6.41)
Pour revenir à la valeur par défaut, il suffira de "désassigner" cette variable (voir Ch. 2, § 1.2)
O _Envsignum0 d'_Envsignum0':
signum 0 , csgn 0
csgn 0, cos
p
2
,C 1 , csgn 0, sin p ,K1 , csgn 0, cos
signum 0, sin p ,C 1 , signum 0, cos
p
2
p
2
,K1 , signum 0, cos
, 0 ;
p
2
, 0 ;
43
(6.43)

1, K1, 0
1, K1, 0
(6.43)
Les fonctions signum et csgn sont formellement dérivables et prennent la notation suivante (la dérivée
n-ième se ramème à la dérivée première)
d
O
d t csgn t , d 2
d t 2 signum t , csgn 3, t
csgn 1, t , signum 1, t , csgn 1, t
(6.44)
Par extention de la notation, à la valeur 0 correspond la fonction elle-même, d'où l'origine de la notation
à trois arguments qui permet de lever toute ambiguïté.
O csgn 0, t , signum 0, t
csgn t , signum t
(6.45)
On trouvera des informations complémentaires sur les nombres complexes au Ch. 2, § 2.3.4.
7 Divers
7.1 Autres fonctionalités de MAPLE à propos des nombres
MAPLE révèle encore de nombreuses ressources que l'on ne pourra pas toutes présenter!
O convert MDXV, arabic
1515
(7.1.1)
O convert 3.265, binary , convert 207, octal
11.01000011, 317
(7.1.2)
Corps p-adiques Q p
(décomposition canonique de Hensel de K3 en diadique ; attention : Digitsp)
O Digitsp d 8 : padic evalp K3, 2
1 C 2 2 C 2 3 C 2 4 C 2 5 C 2 6 C 2 7 C 2 8 C O 2 9
Nombres de Bernoulli, d'Euler, de Mersenne, de Bell, pseudo-aléatoires...
O bernoulli 2 5 , euler 10 , numtheory mersenne 7 , combinat bell 5 , rand
K 7709321041217 , K50521, 524287, 52, 395718860534
510
Pour plus d'informations sur les calculs avec unités physiques (voir Ch. 13).
O simplify 3.0 mile 2 2
C 4.5 ft K 2 m
2
2787.465291 m
(7.1.5)
MAPLE possède une vaste base de donnée de constantes physico-chimiques (m e
désigne ici la
masse de l'électron ; voir Ch. 13)
O m e
:= evalf ScientificConstants:-Constant 'm e
', system = CGS, units
m e
:= 9.109381882 10 -28
ainsi que bien d'autres possibilités...
O Sockets:-Address "www.obs.u-bordeaux1.fr"
"147.210.44.105"
O cat `En l'an de grâce ` ,
convert parse StringTools:-FormatTime "%Y" , roman ,
", le logiciel MAPLE 14..."
En l'an de grâce MMXI, le logiciel MAPLE 14...
44
g
(7.1.3)
(7.1.4)
(7.1.6)
(7.1.7)
(7.1.8)

O
3 p Ke
On complètera ces informations très succintes avec l'aide en ligne.
O ?identify
(7.2.1)
1
(7.2.2)
3 C 2 p
Ce résultat conforte notre intuition et tend à montrer que nos calculs pourraient peut-être avoir un
résultat symbolique exact, ce qui reste à vérifier.
Attention à un mythe très répandu parmi certains étudiants: tout problème
mathématique formulé exactement n'a pas nécessairement, si elle existe, sa (ou toutes ses) solution
exprimable exactement en termes de combinaisons de symboles connus (entiers, rationnels,
radicaux, constantes spéciales connues, valeurs de fonctions élémentaires ou spéciales, etc. comme
ci-dessus). Par exemple la solution d'une équation aussi simple que cos x = x est réputée pour ne
pas être exprimable exactement... Seule une forme numérique, aussi précise que l'on souhaite, peut
être obtenue : x = 0.7390851332... (voir Ch. 14). Nombre d'intégrales, de solutions d'équations
différentielles, etc. ne peuvent être calculées que numériquement.
Si le résultat renvoyé est le nombre lui-même, aucune identification n'a été obtenue. Mais une
réponse négative n'est pas absolue
O identify 2.599079725
2.599079725
(7.2.3)
Il existe en effet une infinité de combinaisons possibles et il peut être nécessaire d'aider identify en
lui communiquant notre intuition.
O
restart # voir § 8.3.4
7.2 Identification des nombres décimaux [*]
Supposons qu'après de laborieux calculs numériques d'intégrales, de résolutions d'équations ou
autres, nous ayons obtenu la valeur suivante
O x := 3.878241035
x := 3.878241035
On suspecte néanmoins que tous nos calculs pourraient avoir pour résultat une valeur symbolique
exacte qu'on a pas sû calculer. La fonction identify peut nous donner une indication sur la validité
de notre intuition. Evidemment cette identification n'a de sens que dans la limite de la précision du
nombre décimal proposé (voir exercice 6.6 ou la fin de 6.7.4).
O identify x
identify 2.599079725, BasisSumConst = 1, p, p , ln 2 ,e, ln p
(7.2.4)
7.3 Fonction fnormal : troncature des nombres décimaux et
complexes et valeurs assimilables à 0 [**]
Cette fonction trouve ses applications notamment avec les calculs numériques (voir par exemple
l'exercice 3.3). Appliquée sur un nombre x, fnormal(x,n,ϵ) effectue une troncature de x pour
conserver n chiffres significatifs avec calcul de l'arrondi sur le dernier chiffre (calculé suivant la
valeur de Rounding, voir § 5.7).
O x d 1.234567890123456789e-10;
y d fnormal x, 6, 1e-11 # Pour e = 1e-11, voir 7.3.3
x := 1.234567890123456789 10 -10
45
(7.3.1)

y := 1.23457 10 -10
Ceci est indépendant de la valeur de Digits (voir § 5.2.2)
O Digits;
x, y;
O
x
2 , y
2
10
1.234567890123456789 10 -10 , 1.23457 10 -10
6.172839450 10 -11 , 6.172850000 10 -11
Si |x| < ϵ (e doit toujours être > 0) , fnormal renvoie la valeur 0 (pour –0., voir § 5.6).
fnormal x, 6, 1. 10 -10 ,
x
fnormal
2 , 6, 1. 10-10 ,
(7.3.1)
(7.3.2)
fnormal K x 2 , 6, 1. 10-10 1.23457 10 -10 , 0., K0.
Si l'argument ϵ est absent le mécanisme s'applique néanmoins pour e = 10 Kn C 2 .
O fnormal x, 12 , #` ` 0 e = 10^ K12 C 2 = 10^ K10
fnormal x, 11 #` ` 0 e = 10^ K11 C 2 = 10^ K9
1.23456789012 10 -10 , 0.
Si seul x est présent, alors n = Digits et e = 10 KDigits C 2 .
O fnormal x , #` ` 0 e = 10^ KDigits C 2 = 10^ K8
fnormal 10$x ,
fnormal 100$x
0., 0., 1.234567890 10 -8
(7.3.3)
(7.3.4)
(7.3.5)
Appliquée à une expression, la fonction agit sur tous les nombres (non symboliques).
O
a d p$ 1.23456789012356e-2 C 1.2345e-4$i $t C
exp K0.1234567890123e-4$ p 5 $t 2 ;
fnormal a, 3, 1e-5 ;
a := 0.0123456789012356 C 0.00012345 I p t C e K0.00001234567890123 p5 / 2 t 2
0.0123 C 0.000123 I p t C e K0.0000123 p5 / 2 t 2
(7.3.6)
Attention : il faut rester prudent car cette opération peut changer une expression, soit en supprimant
des termes, soit en changeant leur nature.
O fnormal a, 6
0.0123457 C 0.00012345 I p t C 1.
(7.3.7)
Exercice : comparer avec le résultat précédent et expliquer...
O fnormal evalf a , 6
K0.000215968 t2
0.0387851 C 0.000387830 I t C e
(7.3.8)
46

Un nombre complexe pour lequel la partie imaginaire est considérée comme nulle par fnormal
conserve sa forme complexe A+0.*I (voir § 6).
O fnormal a, 5
0.012346 C 0. I p t C 1.
(7.3.9)
8 A propos du fonctionnement de MAPLE
8.1 Syntaxe des noms et des expressions
1) Les noms dans MAPLE créés par l'utilisateur (noms de variables, d'expressions, de
fonctions, etc.) doivent commencer par une lettre, mais peuvent contenir des chiffres ainsi que le
caractère de soulignement "_" (voir aussi l'alinéa 9 de ce paragraphe). En mode "Entrée Math 2_D"
on obtiendra "_" en composant successivement "\" puis "_", le caractère "_" utilisé seul provoquant
une écriture en indice (voir alinéa 6 dans ce paragraphe).
2) En mode "Entrée Math 1_D" les caractères d'espacement sont autorisés pour séparer les
éléments d'une commande afin d'améliorer la présentation, mais ils ne sont pas admis dans l'écriture
d'un nombre ou d'un nom (voir cependant Ch. 18, le § Symboles et chaînes de caractères). En
mode "Entrée Math 2_D" la règle est la même, sauf que les produits, tel a x, peuvent s'écrire avec la
touche "*" ou la touche "espace". Ne rien écrire entre a et x revient à créer le nom ax et ne pas
insérer d'espace (ou "*") entre b et x 2 revient à créer le nom bx élevé au carré.
3) MAPLE fait la distinction entre majuscules et minuscules (on dit en termes de typographie
"sensible à la casse"). Ainsi le nom a_1b est différent de A_1b ou de a_1B. On pourra même
rencontrer une distinction entre écriture "droite" et "italique". Par exemple i (ou j ou I) pris dans la
palette "Symboles courants" (voir alinéa 10) se distingue de i écrit au clavier : le premier correspond
au symbole des imaginaires et s'affichera I dans les résultats, le second est un simple nom qui
restera sous la forme i. On rappelle que pour entrer le symbole des imaginaires au clavier on utilise
le I majuscule (§ )
4) On peut aussi créer des noms commençant par un "_", mais ceci est très vivement déconseillé
car MAPLE génère lui-même de tels noms de façon automatique (constantes d'intégration d'une
équation différentielle par exemple) ou sont réservés à des noms particuliers comme ceux des
variables d'environnement (_Envxxx). Même si généralement MAPLE l'en protège, l'utilisateur qui
utiliserait cette syntaxe sans précaution risque de subir les conséquences d'interférences difficiles,
voire très difficiles à détecter dans certains cas.
5) S'ils sont correctement orthographiés, les noms de variables grecs tels alpha, beta, theta, phi,
rho, etc. seront affichés avec l'alphabet grec. Si seule la première lettre est une majuscule la lettre
grecque sera majuscule à l'exception de Pi qui s'affichera π et désignera le nombre lui même alors
que pi ne désignera que la lettre mais s'affichera de façon identique (§ 4.1). Ceci explique
pourquoi PiK pi 0 p K p s 0. Pour écrire Π écrire PI.
O restart
O alpha K beta K PiC pi;
cos Pi , cos pi ;
PsiK Phi K PI;
a K b K p C p
47
(8.1.1)

O
O
48
(8.1.1)
O
K1
(8.1.2)
On pourra aussi utiliser la palette de l'alphabet grec ("Grecque" dans la colonne latérale de la fenêtre
MAPLE ; voir alinéa 10) de ce paragraphe).
O
e ip
a K b K 4;
Y K F K P
K1, cos p
Y K F K P
a K b K 4
Y K F K P
Attention : au nom phi correspond f et non ϕ. Les lettres f et ϕ correspondent à des noms
différents.
O f K f;
f K 4
0
f K 4
De même avec ϵ et ε, ρ et ϱ, θ et ϑ et σ et ς
e K e ;
r K 9 ;
q K w ;
s K 2
e K e
r K 9
q K w
s K 2
(8.1.3)
(8.1.4)
(8.1.5)
[***] Il est possible, en utilisant une construction façon HTML, de créer en mode "Math 1-D" ces
caractères, mais leur utilisation devient vite pénible... Néanmoins, en mode programmation cela peut
s'avérer utile, voire nécessaire dans les zones d'édition de code. Pour l'utilisation de l'écriture `...`,
voir alinéa 9.
O
phi;
`&varphi;`;
f
4
(8.1.6)
O `&vartheta;` - theta;
w K q
(8.1.7)
Attention : certaines lettres grecques majuscules peuvent produire un affichage ambigu (les lettres
grecques ne sont pas affichées en italique). La première lettre de la première commande est "α
majuscule" prise dans la palette "Grecque" et la deuxième, entrée au clavier, est un A majuscule. La
deuxième commande est "Omicron – O" alors que la troisième est "O – O"
A K A;
O K O;
O K O
A K A
O K O
(8.1.8)

0
En mode "Entrée Math 1-D" la transcription des symboles usuels pris dans les palettes sera
automatique (p donnera Pi et e donnera exp(1)). En mode "Entrée Math 2-D" on pourra
rencontrer quelques ambiguïtés et il faut savoir que les lettres puisées dans ces palettes font
référence prioritairement aux notations standard utilisées pour désigner les constantes ou les
fonctions habituelles
O
O
cos p , cos Pi , cos pi # voir § 4.1
K1, K1, cos p
G 1 , GAMMA 1 1
, Gamma
2
2
2
# voir § 4.1
(8.1.8)
(8.1.9)
p , p , G 1 (8.1.10)
2
Ici le premier e est puisé dans la palette "Symboles courants" alors que le deuxième est entré au
clavier et ne fait référence qu'à un nom
O evalf e , evalf e
2.718281828, e
De même la fonction exponentielle peut s'écrire de façon équivalente sous les deux formes, e étant
pris dans la palette.
O exp x , e x
e x , e x
Ici Zeta désigne la fonction de Riemann alors que zeta est indéfinie
O Zeta 2 , zeta 2
1
6 p2 , z 2
A la lettre prise dans la palette correspond la fonction
O z 2
1
6 p2
(8.1.11)
(8.1.12)
(8.1.13)
(8.1.14)
6) [*] En mode "Entrée Maple 1-D" on peut créer des noms indicées à l'aide de crochets.
Cependant cette écriture représente une opération particulière et réclame quelques précautions (voir a
et Ch. 3, 4 et 5).
O
Phi[mu+j]:=rho*alpha[mu]*cos(theta[mu+j]);
F µ C j
:= r a µ
cos q µ C j
(8.1.15)
En mode "Entrée Maple 2-D" les noms indicées peuvent prendre deux significations distinctes :
a) Les nom indicées en tant que composantes d'un objet comme une suite, un vecteur, une
matrice, une table, etc. Pour obtenir cette écriture indicée on pourra utiliser soit les crochets (comme
ci-dessus), soit le gabarit a n
de la palette "Expressions" (attention : pas le gabarit a )
), soit faire
précéder l'écriture des indices par le caractère "_" (voir § 8.1/1). Pour sortir du mode indice on
utilisera la touche "→" (pour le mode exposant, utiliser "^").
O
L i C j
d re q cos f i , j
L i C j
:= r e q cos f i, j
(8.1.16)
Par exemple, considérons une suite s. On pourra extraire les éléments de cette suite avec cette
49

écriture indicée
O
s d a, 0, Z, 1, x 2 C 1;
s 2
, s 5
s := a, 0, Z, 1, x 2 C 1
ou bien avec des crochets
O s 1 , s 3
O
O
O
O
second (b).
O k B
d 1.3806504e-23;
O
0, x 2 C 1
(8.1.17)
a, Z
(8.1.18)
Cette écriture réclame quelques précautions en raison d'un conflit entre la notion de nom de variable
libre et nom de table (voir Ch. 5). En effet, l'assignation à un nom indicé, tel L i C j
:=... (ou
Phi mu C j :=), a créé automatiquement une table de nom Λ contenant un seul élément L i C j
. De
même les deux assignations suivantes créent une table de nom l à deux éléments l 0
et l max
:
l 0
d 2 : l max
d 5 :
l 0
, l max
2, 5
eval l ;
eval L
table 0 = 2, max = 5
(8.1.19)
table i C j = r e q cos f i, j
(8.1.20)
Mais une assignation à λ entraîne automatiquement la destruction de la table et λ redevient un nom
de variable ordinaire.
l d 3;
l 0
, l max
l := 3
3 0
, 3 max
b) Les noms pour lesquels l'indice a une fonction purement mnémotechnique (B dans
l'exemple suivant évoque "Boltzmann"). L'indice n'est plus une "variable" susceptible de prendre
plusieurs "valeurs" (noms, nombres, expressions) comme précédemment. Pour obtenir cette
écriture on utilisera le gabarit a )
de la palette "Expressions" ou son "raccourci clavier" (pas le
gabarit a n
).
Attention : les deux écritures peuvent s'afficher de façon strictement identique (avec ou non des
couleurs différentes), mais n'ont aucun rapport entre elles : ici k B
est du premier type (a) et k B
du
k B
:= 1.3806504 10 -23
k B
, k B
k B
, 1.3806504 10 -23
(8.1.21)
(8.1.22)
(8.1.23)
Ceci remédie au problème posé par l'écriture a). Si on assigne une valeur à k B
ou à k, l'assignation à
50

k B
n'est plus affectée. Bien que très pratique, voire indispensable dans certaines circonstances (voir
la notion de table au Ch. 5), cette écriture peut être source de confusions. En reprenant la séquence
décrite en a) on pourra comparer les deux comportements. Les assignations µ 0
d 2 et
µ max
d 5 ne créent plus une table de nom µ :
O
O
µ 0
d 2 : µ max
d 5 :
µ 0
, µ max
;
µ d 3;
µ 0
, µ max
2, 5
µ := 3
2, 5
51
(8.1.24)
Ces deux formes de noms indicés n'ont pas le même type (Ch.2, § 3.3.1). En mode "Entrée Maple 1
-D" présenté au début du paragraphe, la variable indicée est du type (a).
7) Un grand nombre de noms sont prédéfinis et protégés contre les assignations (certains,
comme Digits, sont prédéfinis, sans être pour autant protégés). Ici γ est la constante d'Euler-
Mascheroni (voir exercices 2.2) et O (O majuscule entrée au clavier) est réservée pour la syntaxe
des développements en séries (Ch. 11).
p d 3;
z d 1;
g := 3;
O := 1
Error, attempting to assign to `Pi` which is protected
Error, attempting to assign to `Zeta` which is protected
Error, attempting to assign to `gamma` which is protected
Error, attempting to assign to `O` which is protected
Néanmoins... : Ο (omicron majuscule) est ici pris dans la palette "Grecque"
O
Omicron d 1
O d 1
O := 1
O := 1
(8.1.25)
Beaucoup de noms sont aussi réservés par les fonctions (Si = Sinus intégral, Int = Intégrale, D
opérateur de dérivation des fonctions).
O
cos := 3;
Si := 4;
Int := 0;
D := 0
Error, attempting to assign to `cos` which is protected
Error, attempting to assign to `Si` which is protected
Error, attempting to assign to `Int` which is protected
Error, attempting to assign to `D` which is protected
O ?functions/index
Attention : on peut par contre écrire cos(0):=0, ce qui conduirait à des calculs aberrants. Cette
possibilité est délibérée mais évidemment pour des raisons utiles en choisissant un autre exemple !

(voir Ch. 7, § Table remember).
Certains sont des mots réservés, comme ceux utilisés en programmation. Par exemple une boucle de
calcul utilise les mots clé for... from... to... by... do... end do. Comme le dit le message d'erreur,
l'analyseur syntaxique n'attend pas d'assignation après ce mot (la lettre grecque τ s'écrit "tau")
O to:=0;
Error, `:=` unexpected
O tod 0
Error, invalid to part
tod 0
O ?keyword
Enfin il existe des mots clé, comme les noms des types (environ 200 mots) (Ch. 2, § 3.3.1) qui sont
protégés.
O name d 3 ; integer dK3
Error, attempting to assign to `name` which is protected
Error, attempting to assign to `integer` which is protected
O ?type
8) Dans l'écriture habituelle des expressions mathématiques il existe une habitude consacrée par
l'usage qui veut que l'on désigne plutôt par a, b, c, etc. les coefficients d'une formule, par m, n, etc.
des entiers et par x, y, z, u, v, etc. les variables. Quand on lit une expression comme a x n C b x C c
on l'interprètera intuitivement, si aucune information n'est fournie, comme un polynôme de degré n
de la variable x dont les coefficients sont a, b, c, alors que x y n C z y C u sera plutôt vue comme un
polynome de degré n+1 des variables x, y, z et u. Evidemment il n'existe aucune règle de ce genre
avec MAPLE pour qui les deux expressions sont strictement de même nature et ne seront même pas
vues comme des polynômes puisque n n'est pas considéré a priori comme un entier positif ou nul.
On s'apercevra de temps en temps qu'il n'est pas toujours facile de se débarrasser de ses réflexes...
9) [**] Il est possible de créer des noms composés en entourant une suite de caractères par deux
accents graves ` (sur un clavier français on obtient généralement ce caractère seul en apuyant sur la
touche correspondante puis sur "espace"). On constate sur l'exemple suivant que l'on peut ainsi
construire toutes sortes de noms en s'affranchissant des contraintes imposées par l'écriture standard.
O `1Ker a C 2Kieme b` d 4;
p
cos
`1-er a C 2-ieme b`
1-er a C 2-ieme b := 4
1
2
(8.1.26)
2
Cependant cette écriture peut rapidement devenir très lourde ou même confuse comme le montre cet
exemple caricatural...
O
`1` d 2 :
`1C1` = `1` C `1`
1C1 = 4
Un nom créé avec les conventions standard et mis entre ` est identique au nom standard.
O
`Xyz1` d 3;
Xyz1, `Xyz1`
(8.1.27)
52
(8.1.28)

O
Xyz1 := 3
3, 3
53
(8.1.28)
MAPLE utilise cette écriture pour nommer certains objets comme par exemple les fonctions
arithmétiques de sommation, produit ou exponentiation qui peuvent servir à construire des
expressions (voir Ch. 2, § 2.1/1&2&3)
O `C` 1, 2 , `*` 2, x,K1 , `^` 3, n
3, K2 x, 3 n
(8.1.29)
Les commandes suivantes montrent que, comme xYz, `+` est bien un nom (voir la notion de type au
Ch. 2, § 3)
O
type xYz, name , type `C`, name
true, true
alors que le symbole + seul, vu comme un opérateur, provoque une erreur de syntaxe
O type C, name
Error, invalid sum/difference
type C, name
(8.1.30)
Il existe également un "nom vide" défini par deux caractères ` accolés et dit "empty symbol" dont
on trouvera une utilisation au Ch. 2 § 2.4.1/3 à partir de l'exemple de la fonction ifactor. Il est
évidemment vivement déconseillé de l'utiliser sans raison valable (ou de même avec des noms
construits avec des blancs) sous peine de voir s'afficher des bizarreries... (le calcul suivant est
néanmoins juste ; c'est l'affichage qui prête à confusion ! )
O
`` d 3 : ` ` d 4 :
' 2$`` C 3$` ` ' = 2$`` C 3$` `
2 C 3 ` ` = 18
z , `` z # voir en § 8.2/4 pour l'explication de ce curieux résultat
z, 3
(8.1.31)
(8.1.32)
10) Gestions des palettes d'édition. MAPLE dispose de palettes d'édition permettant
d'introduire, dans du texte ou dans des commandes, toutes sortes de caractères en usage en
mathématique ainsi que des gabarits de formules et des termes composés. Il faut savoir que :
a) toutes les palettes ne sont pas affichées par défaut. Pour afficher (ou retirer) une palette il
suffit d'un "clic droit" sur une zone quelconque de la palette qui ne soit pas un élément de celle-ci
puis de choisir "Afficher la palette" qui fait apparaître leur liste complète sur laquelle on fait sa
sélection.
b) les palettes sont déplaçables par un "glisser-déposer" du titre et peuvent être disposées de
part et d'autre de la feuille MAPLE. Elles peuvent être ouvertes ou fermées et/ou totalement
masquées (voir le petits triangles en haut des barres verticales de séparation) ainsi que
redimensionnées.
c) il existe une palette "Favoris" qui peut être remplie par l'utilisateur à sa convenance. Un clic
droit sur un élément choisi et un menu s'ouvre pour demander si on désire le recopier dans la palette
"Favoris".
Des informations supplémentaires (convertion de chaînes de caractères en noms, concaténation
de noms, etc.) seront données au Ch. 18.
8.2 Les "fausses" erreurs de syntaxe
L'analyseur syntaxique de MAPLE détecte certaines erreurs dans la frappe d'une commande

comme par exemple l'oubli ou le surnombre de parenthèses ouvrantes ou fermantes. Il peut
cependant être utile d'être capable de distinguer les erreurs de syntaxes des erreurs de cohérences
(voir Ch.2 , § 1.7). Mais il existe des erreurs assez fréquentes qui ne peuvent pas être détectées car
ce sont des erreurs pour l'utilisateur, mais pas pour MAPLE qui est un calculateur symbolique. En
voici quatre exemples.
1) On a déjà rencontré l'opérateur d'assignation := (§ 1.4). Si l'utilisateur écrit par exemple
O x_min = 2
x_min = 2
(8.2.1)
il aura peut-être voulu assigner le nombre 2 au nom x_min. Il a écrit en réalité une équation dont la
syntaxe est parfaitement correcte (voir Ch. 14). Aucune erreur ne peut donc être signalée et aucune
assignation n'est effectuée.
O x_min
x_min
(8.2.2)
2) On peut faire une erreur dans l'orthographe d'un nom. Par exemple on attend a:=2, mais
O x1 := 1 :
a := X1 C 1
a := X1 C 1
(8.2.3)
Il ne peut pas y avoir d'erreur détectée car X1 est différent de x1. Le nom X1 est alors compris
comme un nouveau nom symbolique de valeur indéfinie.
3) De même, lorsque le nom d'une fonction est mal orthographié, MAPLE se contente de le
renvoyer à l'identique. Il considère cette fonction comme symbolique et non définie et par
conséquent ne signale aucune erreur, ce qui est un comportement normal et même indispensable
pour un calculateur symbolique. Par exemple on obtiendra :
O
3! cosinus p
3
Alors que l'on attend
C 2
2 cosinus p C 2
54
(8.2.4)
3! cos p
O
C 2
3
0
(8.2.5)
Cette erreur est assez fréquente pour des fonctions moins habituelles. Elle est source de confusions,
l'utilisateur non averti cherchant l'erreur ailleurs ou pensant qu'il ne sait pas se servir de la fonction.
Un exemple fréquent est celui des calculs de limites avec la fonction de MAPLE qui s'écrit limit et
non lim comme habituellement : lim e t = 1
t / 0
O lim exp t , t = 0 ;
limit exp t , t = 0
lim e t , t = 0
1
(8.2.6)
Encore une variante avec un L majuscule dont on trouvera l'explication et l'utilité au Ch. 9 : la
fonction est bien comprise, mais aucun calcul n'est effectué
O Limit exp t , t = 0
lim
t/0 et
(8.2.7)

Ceci est aussi vrai pour une fonction dont la syntaxe est correcte mais qui n'est pas automatiquement
accessible par MAPLE au moment de son lancement (voir § 8.3.5).
4) Le terme a x, avec un espace entre a et x, désigne le produit de a par x (voir § 1.1.1.2), alors
que le terme ax désigne un nouveau nom. Si l'erreur saute ici aux yeux, elle peut être beaucoup
moins visible dans une formule complexe.
O
a d 2;
a x;
ax
a := 2
2 x
ax
(8.2.8)
On évitera ce genre d'erreur en utilisant systématiquement la touche "*" (et non "." qui a une autre
signification ; voir § 1.1.1.2) et qui s'affiche sous la forme
O a$x
2 x
(8.2.9)
En mode "Entrée Math 1-D" il n'y a aucune ambiguïté possible
O a*x; ax;
2 x
ax
(8.2.10)
O a x;
Error, missing operator or `;`
Par contre, en mode "Entrée Math 2-D" on peut ne rien écrire entre 3 et x pour écrire 3x. En effet, un
nom de variable ne pouvant pas commencer par un chiffre, il n'y a aucune ambiguïté.
O 3x
3 x
(8.2.11)
Certaines "erreurs" relèvent d'une interprétation, disons... plus subtile. On a ici oublié l'astérisque de
multiplication (commande en mode "Entrée Math-1D") comme on le fait avec une écriture standard
et le résultat est manifestement faux.
O 1+5(3+2);
6
(8.2.12)
En fait, l'expression 5(3+2) est interprétée comme une fonction constante de valeur 5 et d'argument
3+2. D'ailleurs...
O 1+5(x);
6
(8.2.13)
O 1+(1+4)(x);
(8.2.14)
6
Ceci est délibéré et n'est pas considéré par MAPLE comme une erreur.
Par contre l'interprétation est un peu différente en mode "2-D Math Input" [Intertion/Math 2-D]
O 1 C 5 3 C 2
26
O 1 C 5 t
1 C 5 t
Encore que...
O 1 C 4 C 1 3 C 2
6
55
(8.2.15)
(8.2.16)
(8.2.17)

O 1 C 4 C 1 t
6
Comme indiqué au § 1.1.1, un espace entre les parenthèses (ou un point ou un astérisque)
transforme cette interprétation de type "fonction" en un produit.
O 1 C 4 C 1 t
1 C 5 t
Il devrait être possible d'améliorer les choses...!
(8.2.18)
(8.2.19)
Pensez toujours à vérifier la syntaxe de vos commandes et assurez-vous que les fonctions
utilisées sont bien connues de MAPLE (voir § 2-3) avant de vous poser des questions inutiles !
Exercice : interpréter et corriger
4! cos pi
O
C 2
3
8 cos p C 2
(8.2.20)
Exercice : sans rien savoir du calcul des limites, déterminer l'origine de ce message d'erreur et
modifier la commande en conséquence (utiliser le gabarit x
lim / a
f de la palette "Expressions" pour
entrer la formule). Indication : voir § 8.1/7.
O lim
g / 0
eKg $ sin g
g
Error, (in limit) invalid limiting point
8.3 Etats de MAPLE
Au lancement, le programme MAPLE se charge dans la mémoire de la machine : c'est ce qui va
réaliser les opérations de calcul. En même temps une zone mémoire, extensible au fur et à mesure
des besoins, va être créée pour stocker l'environnement propre à l'utilisateur (noms des variables,
expressions, valeurs numériques etc.) pendant la période d'utilisation (appelée session): c'est ce
qu'on appelle le noyau (kernel) ou le serveur.
ATTENTION
L'aspect de la feuille de calcul et l'état interne du noyau de MAPLE sont deux choses distinctes
comme on va le voir sur deux exemples simples. C'est un point capital à comprendre !
8.3.1 Modification et ré-exécution d'une commande
On peut « cliquer » sur une commande déjà calculée, la modifier et presser sur Return pour
l'exécuter à nouveau. Il faut alors faire très attention au fait que les résultats affichés ne sont plus
nécessairement corrects car ceux des autres commandes ne sont pas modifiés en conséquence.
Supposons une feuille de calculs dont les résultats devraient paraître normaux à l'utilisateur (dans
le cas contraire on lui suggère de faire autre chose que d'apprendre à utiliser MAPLE...;-)
O ...
O a := 1
a := 1
(8.3.1.1)
O ...
56

O a C 1
2
(8.3.1.2)
O ...
Maintenant on clique sur la commande > a := 1 , on la modifie en écrivant > a := 2 puis on
l'exécute. La feuille de calcul aura alors l'aspect suivant
O ...
O a := 2
a := 2
(8.3.1.3)
O ...
O a C 1
2
(8.3.1.4)
Tant que la commande > a + 1 n'aura pas été ré-exécutée le résultat affiché ne sera pas modifié.
Si vous sauvez la feuille de calcul telle quelle ou si vous l'imprimez, un doute risque de germer
dans votre esprit : "MAPLE sait-il réellement faire des calculs ?". Cet exemple de principe est
trivial, mais il est loin d'en être toujours ainsi.
L'utilisation du dito (%, %% ou %%%) peut conduire aux mêmes types d'ambiguïtés car ce
symbole désigne le résultat de la dernière opération effectuée chronologiquement et non
nécessairement le résultat de la commande située sur la ligne précédente, ce que l'on a
généralement tendance à penser en lisant les feuilles de calculs (voir § 1.2.3, le résultat (1.2.3.4)).
8.3.2 Ouverture d'une feuille de calcul enregistrée
Lorsque l'on ouvre une feuille de calculs enregistrée, celle-ci s'affiche à l'écran, mais le noyau
(ou kernel, moteur, serveur] de MAPLE est vide. Pour retrouver l'intégralité du noyau il faut
ré-exécuter la totalité des commandes. Ainsi, supposons que la feuille de calcul que l'on vient
de charger se résume à la seule ligne
> a := 2
a:=2
>
En entrant directement la commande a + 1 sur le prompt final libre on obtiendra
> a := 2
a:=2
> a C 1
a+1
car 2 n'aura pas été automatiquement assigné à la variable a au chargement de la feuille de calcul.
Pour obtenir 3 il faudra d'abord ré-exécuter : a := 2
Pour exécuter la totalité d'une feuille de calcul on pourra utiliser Edit/Execute/Worksheet
[Edition/Exécuter/Feuille de travail] ou le bouton icône de la barre d'outils (attention : lire
§ 8.3.4).
8.3.3 Arrêt d'un calcul
Pour arrêter un calcul en cours que l'on croit erroné ou qui paraît anormalement long,
utiliser le bouton icône de la barre d'outils. L'effet n'est pas nécessairement immédiat (voire
même interminablement long à venir...!).
8.3.4 L'ordre restart.
Cette commande réinitialise le noyau. On peut recommander d'entrer systématiquement (bien
57

que ce ne soit pas une nécessité absolue), l'ordre restart comme première commande de la
feuille de calcul. Compte tenu de ce qui a été dit précédemment on peut comprendre qu'elle
puisse être placée et exécutée n'importe où dans la feuille et les commandes ré-exécutées à partir
du début. Mais vous risquez alors de repasser sur l'ordre restart par inadvertance et ainsi vider
malencontreusement le noyau [le moteur, le serveur] (ceci est particulièrement vrai si on exécute
la totalité de la feuille par le menu Edit/Execute/Worksheet [Edition/Exécuter/Feuille de
travail] ou avec le bouton icône de la barre d'outils).
On peut par contre introduire autant d'ordres restart que l'on souhaite dans une feuille de
calcul pour séparer des calculs indépendants (voir la fin du § 7.1).
Il est également possible d'effectuer cette action avec le bouton-icône
58
de la barre d'outils.
Si plusieurs feuilles de calculs sont ouvertes simultanément, l'ordre restart s'applique à la
feuille (au serveur) le contenant ainsi qu'aux serveurs qui lui sont reliés et seulement à eux
(voir § 8.3.6).
8.3.5 Accès aux fonctions des bibliothèques (packages)
Certaines fonctions appartiennent à des bibliothèques qui ne sont pas automatiquement
accessibles au lancement ou après un ordre restart (sauf utilisation d'un fichier d'initialisation,
voir § 8.3.8 ou § 8.4.3-1). Pour pouvoir accéder à ces fonctions, on utilisera soit
a) la syntaxe dite « longue » qui permet d'utiliser ponctuellement une fonction dans une
instruction sans avoir un accès permanent aux fonctions de la bibliothèque. Elle peut prendre
deux formes
• Bibliothèque:-Fonction(arguments). Cette écriture correspond aux
bibliothèques récentes de MAPLE (bibliothèques de modules, voir Ch. 19).
• Bibliothèque[Fonction](arguments). Identique à la précédente et pour
toutes les bibliothèques, les anciennes(construites par tables) et les nouvelles(construites par
modules).
b) avec l'opérateur with
• qui donne un accès permanent à toute la bibliothèque.
> with(Bibliothèque):
• qui donne un accès permanent seulement à une ou plusieurs fonctions de cette
bibliothèque
> with(Bibliothèque,Fonction_1,Fonction_2,...):
On trouvera de nombreux exemples d'utilisation aussi bien dans ce manuel que dans les
exercices (par exemple, chapitre 4 Vecteurs, Matrices,... , § IV Algèbre Linéaire : bibliothèque,
LinearAlgebra §§ Accès aux fonctions de LinearAlgebra). La forme "longue" est celle qui doit
être utilisée dans les procédures (voir Ch. 19).
c) avec le menu Tools/Load Package [Outils/Charger un package], on pourra aussi accéder
et charger certaines bibliothèques, mais pas toutes...
La liste de toutes les bibliothèques pourra être obtenue avec
O ?index/package
ou avec le menu Tools/Load Package/List All Packages... [Outils/Charger un package/Lister
tous les Packages...]. On notera également que certaines bibliothèques (comme linalg), bien que
toujours présentes pour des raisons de compatibilité, sont déclarées obsolètes et remplacées par
de nouvelles (LinearAlgebra).
d) Les noms de certaines fonctions des bibliothèques peuvent être identiques à ceux définis
par défaut, c'est-à-dire à ceux des fonctions dites "de niveau supérieur" ("top level"). Ceci peut

provoquer une difficulté d'accès. Prenons par exemple le calcul du logarithme népérien de –2
O ln K2
ln 2 C I p
(8.3.5.1)
Le calcul par défaut est effectué dans le corps des complexes. On veut restreindre ce calcul aux
nombres réels grâce à la librairie (construite par modules) RealDomain
O RealDomain:-ln K2
undefined
(8.3.5.2)
Si l'on redéfinit la fonction avec with pour alléger l'écriture
O with RealDomain, ln
ln
(8.3.5.3)
la fonction ln par défaut devient celle définie par RealDomain et
O ln K2
undefined
(8.3.5.4)
Pour accéder maintenant à la fonction "top level" on devra écrire
O :-ln K2
ln 2 C I p
(8.3.5.5)
On peut supprimer l'accès par défaut aux noms de RealDomain en utilisant
O unwith RealDomain :
et on revient à la situation initiale (on pourra aussi utiliser le menu [Tools-Outils/Unload-
Décharger un package...])
O ln K2
ln 2 C I p
(8.3.5.6)
Attention : Ce qui vient d'être dit ne vaut que pour les bibliothèques construites par modules.
Pour les autres (celles construites par tables) seul un ordre restart peut résoudre le conflit.
Toutes les bibliothèques de MAPLE devraient être, à terme, transformées progressivement en
bibliothèques de modules avec l'évolution du logiciel.
Pour connaître les librairies en cours d'utilisation on écrira (ici la liste [ ] est vide puisqu'il n'y en
a plus)
O packages
(8.3.5.7)
[**] Pour savoir si une librairie est construite par modules on écrira (la librairie intrans contient
des transformations intégrales : Fourier, Laplace, Mellin, etc ; voir le chapitre 10 ; elle est encore
construite par table). La fonction type sera définie au Ch. 2, § 3.
O
type RealDomain, '`module`' ;
type intrans, '`module`'
true
false
59
(8.3.5.8)
8.3.6 Gestion des serveurs [noyaux, moteurs, kernels] [*]
On peut ouvrir plusieurs feuilles de calcul simultanément avec le menu File/New
[Ficher/Nouveau] (voir § 8.4.7). Chaque feuille possède son propre serveur (noyau, moteur,
kernel), mais on pourra gérer leurs dépendances. On utilisera pour cela le menu Tools/Options..
. (Windows-Linux) ou MAPLE 12/Preference... (Mac OS). L'onglet General propose deux

options et pour pouvoir choisir on doit connaître les significations suivantes:
• New engine for each document [Nouveau moteur pour chaque document] : les
serveurs sont indépendants. Si on entre > a:=2; dans une feuille de calcul, on obtiendra a+1 en
exécutant > a+1; dans une autre car les deux a s'ignorent et sont considérés comme des objets
différents.
• Shared one engine among all documents [Partager un seul moteur parmi tous les
documents] : tous les serveurs partagent les données. Si on entre > a:=2; dans une feuille de
calcul, on obtiendra 3 en exécutant > a+1; dans une autre.
• On notera également l'option donnant la possibilité de poser la question (Ask each time
[Demander chaque fois]) à chaque ouverture d'un nouveau document. On devra préciser dans
une fenêtre à chaque ouverture le numéro du serveur (noyau) avec lequel il partage les données.
Les numéros des serveurs sont indiqués soit en bas à droite de la fenêtre MAPLE, soit dans la
barre de titre de fenêtre. Pour le cas ou l'on ne veut pas de partage, sélectionner (create new
engine).
Sauvegarder avec le bouton Apply Globally ou Apply to Session (voir § 8.3.7).
8.3.7 Initialisation de MAPLE par menu [**]
On a souvent mentionné dans ce chapitre la possibilité de paramétrer MAPLE au moment de
son lancement ou après un ordre restart à l'aide du menu Tools/Options [Outils options]
(Windows-Linux) ou Maple 12/Préférences (Mac) qui ouvre une fenêtre d'initialisation. On ne
résumera pas ici toutes les possibilités et le lecteur se reportera aux divers paragraphes de ce
chapitre qui y font mention. On rappelle seulement que les paramètres ainsi définis ne seront
sauvegardés que pour la session en cours avec le bouton Apply to Session (i.e. : jusqu'à la
fermeture de MAPLE) ou de façon permanente avec Apply Globally.
Pour ne plus faire apparaître la fenêtre d'aide rapide qui s'ouvre à chaque nouveau document,
cliquer sur l'onglet Interface de la fenêtre d'initialisation (des préférences) et décocher Quick
Help popup on new documents[Fenêtre d'aide rapide lors de nouveaux documents]
8.3.8 Initialisation de MAPLE par fichier [**]
Remarque : il faut savoir que l'on peut aussi initialiser individuellement les feuilles de calcul de
façon similaire sans avoir à initialiser globalement MAPLE de la façon décrite ici (voir § 8.4.3-1)
.
On peut prédéfinir l'état initial de MAPLE (au lancement et valable pour chaque ouverture
d'un nouveau document et/ou chaque ordre restart) et réaliser des options que ne permet pas le
menu précédent en plaçant dans le répertoire d'entrée de l'utilisateur un fichier contenant des
ordres d'initialisation.
Attention : le fichier doit être en ASCII simple sans formatage (format "texte", pas de formats
du genre .doc ou .rtf). On utilisera donc pour le créer un éditeur capable d'enregister un mode
texte seul (avec Word sous Windows utiliser le format Texte brut puis MS-Dos, sous Mac le
format Texte seulement).
Le nom du fichier dépend du système d'exploitation : maple.ini sous Windows et
.mapleinit sous Mac ou Linux. Le répertoire dans lequel doit être sauvegardé ce fichier sera
obtenu avec la commande
O kernelopts homedir
Pour plus de détails, on se reportera à l'aide en ligne
O ?worksheet,reference,initialization
Un tel fichier contiendra simplement des ordres MAPLE valides qui seront exécutés de façon
60

automatique à chaque ouverture de document. Suivant la ponctuation finale (; ou : ) les résultats
d'exécution apparaîtront ou non. On montre un exemple de contenu de ce type de fichier dont
l'exécution se fera sans affichage en raison de la terminaison par : de tous les ordres.
Digits:=6: e:=exp(1): protect('e'):
with(LinearAlgebra,LinearSolve): # voir § 8.3.5
interface(imaginaryunit=j):
interface(prompt="$:"):
On demande donc avec ce fichier
• de travailler avec 6 chiffres significatifs par défaut (valeur qui peut aussi être aussi
définie avec la fenêtre d'initialisation, onglet Precision/Round calculation to[Arrondir le calcul
à])
• d'assigner la base des logarithmes népériens au nom e et de protéger ce nom contre toute
autre assignation (voir Ch. 2)
• de pouvoir accéder automatiquement au solveur de systèmes linéaires LinearSolve de la
bibliothèque LinearAlgebra, (ce qui n'est pas le cas par défaut ; voir § 8.3.5)
• de fixer la syntaxe des nombres complexes comme a+j*b et non a+I*b (voir § 6)
• que le "prompt" des groupes d'exécution (l'invite) ne soit plus > , mais $:
8.3.9 Interopérabilité [***]
Les langages de programmation C, Java et Visual Basic peuvent appeler des applications
MAPLE grâce à des API.
O ?OpenMaple
Inversement MAPLE peut accéder à des routines écrites en C, Fortran ou Java
O ?ExternalCalling
MAPLE peut aussi interagir avec MATLAB
O ?Matlab
ou communiquer avec des bases de données (SQL via JDBC).
O ?Database
MAPLE peut également utiliser directement la librairie de calculs numériques NAG
O ?NAG
8.3.10 Perte de connexion au noyau
MAPLE peut perdre sa connexion au noyau, soit par interdiction d'utiliser un port de
communication, soit par un défaut de fonctionnement. Dans ce second cas, il s'agit généralement
soit d'une pile de récursion trop grande (à l'utilisateur de gérer le problème), soit d'un défaut
interne d'adressage mémoire (rarissime ; voir cependant Ch. 2, § 2.4.1/1). L'utilisateur peut, s'il
peut systématiquement reproduire le défaut, faire un signalement à Maplesoft en fournissant la
feuille de calcul en cause. Dans tous les cas une fenêtre s'affiche donnant un diagnostic et la
marche à suivre.
Il est important de noter que cette perte de connexion n'empêche pas la sauvegarde du
travail en cours avant de quitter MAPLE et de le relancer.
61

8.4 Gestion des feuilles de calcul
8.4.1 "Document mode" et "Worksheet mode"[Feuille de travail]
Comme indiqué dans l'introduction, MAPLE propose deux formes de présentation des
feuilles de calcul : le "Document mode" et le "Worksheet mode" (voir § 8.4.8.1 pour quelques
détails caractéristiques). On pourrait dire de façon simplifiée que le mode "Worksheet" est plutôt
orienté vers un "document de travail" et le mode "Document" vers un "document scientifique"
avec une présentation plus habituelle des commandes de calculs. Ce mode "Document" semble
être celui que tente de promouvoir Maplesoft, mais le mode "Worksheet" présente aussi des
avantages de simplicité et de clarté d'utilisation pour un travail courant ainsi que des ressources
mémoire moins importantes.
Le mode par défaut du document ouvert (lancement de MAPLE ou utilisation du boutonicône
de la barre d'outils pour ouvrir un nouveau document) est défini par le choix effectué
dans le menu d'initialisation (voir ci dessous). Mais il est toujours possible, à l'aide du menu File
(Fichier)/New[Nouveau]/Worksheet ou Document Mode, de faire un choix différent.
Pour le travail courant on conseillera plutôt le "Worksheet mode" avec entrée des
commandes en mode 1D (dit "Maple Notation" ou "1-D Math Input" ; caractères rouges, voir
ci-dessous). C'est le mode traditionnel de MAPLE. Il présente aussi l'avantage d'enchaîner
naturellement les commandes de calcul : quand une commande est exécutée le curseur saute
automatiquement sur la commande suivante. On choisira le "Document mode" pour l'édition
de documents scientifiques et dynamiques (c'est celui des feuilles de ce manuel).
Pour obtenir par défaut l'ouverture d'un nouveau document dans l'un de ces deux modes, on
ouvrira la fenêtre des réglages d'initialisation avec Tools/Options... (Windows-Linux) ou
MAPLE 12/Préférences... (Mac OS). Cliquer ensuite sur l'onglet Interface puis sélectionner
Document ou Worksheet [Feuille de travail] dans la rubrique Default format for new
worksheet [Format par défaut pour les nouvelles feuilles de travail]. Valider la commande en
cliquant sur Apply Globally (définition permanente) ou Apply to Session.
[**] Pour que l'entrée des commandes dans une feuille au format Worksheet (ou dans
d'éventuels groupes d'exécution introduits dans une feuille en mode Document) se fasse par
défaut en mode caractères (dit "1D Math Input" ou "Maple Notation", en caractères rouges)
ouvrir la fenêtre des réglages d'initialisation, cliquer sur l'onglet Display [Affichage] et
sélectionner Maple Notation dans la rubrique Input Display [Affichage de l'entrée]. On
62

appelle qu'il sera toujours possible d'entrer ou de convertir une commande en mode 2D-Math
(écriture standard) par basculement (voir § 8.4.8.1).
[**] Il existe aussi plusieurs types de formats d'écriture pour l'affichage des résultats. On
pourra les expérimenter avec l'onglet Display [Affichage], option Output display [Affichage de
la sortie] de la fenêtre d'initialisation ou encore avec la commande interface(prettyprint=n).
Voici trois exemples sachant que le mode par défaut est n=3. Noter que restart ne réinitialise
pas la valeur par défaut et que la commande interface(prettyprint=n) renvoie la valeur qui
précède le changement (voir un exemple similaire au § 5.8.1).
1) 2D-Math Notation.
O
Int x$sin x 2 , x = 0 ..p : % = value %
0
p
x sin x 2
dx = 1 2 K 1 2
2) Character Notation (la valeur rendue/affichée par interface est la valeur précédente, ce
qui facilite une mise en mémoire simultanée au changement)
O pty d interface prettyprint = 1 ;
Int x$sin x 2 , x = 0 ..p : % = value %
pty := 3
/Pi
| / 2\ 1 1 / 2\
| x sin\x / dx = - - - cos\Pi /
| 2 2
/0
On revient à la valeur par défaut (n=3) avec la valeur mise en mémoire dans pty
O interface prettyprint = pty ;
Int x$sin x 2 , x = 0 ..p : % = value %
0
63
cos p2
3) Maple Notation
O interface prettyprint = 0 :
Int x$sin x 2 , x = 0 ..p : % = value %
Int(x*sin(x^2), x = 0 .. Pi) = 1/2-(1/2)*cos(Pi^2)
0
p
x sin x 2
dx = 1 2 K 1 2
cos p2
(8.4.1.1)
(8.4.1.2)
Certes les modes CharacterNotation ou Maple Notation sont moins esthétiques, mais sont
aussi beaucoup moins gourmands en mémoire. Ils permettent également d'autres options comme
l'étiquetage (voir la commane interface(labelling=true/false) très utile pour afficher des
expressions longues et encombrantes. Par ailleurs ils sont quelquefois indispensables (écriture
dans un fichier) et/ou sont basculés automatiquement par MAPLE (voir § 8.4.5).
8.4.2 Enregistrement et sauvegarde des documents
L'enregistrement des documents se fait de façon habituelle par Fichier(File)/Save
[Enregistrer] ou Save As... Noter sur Mac une notation qui peut prêter à confusion : l'option
Save As... sert à enregistrer une feuille sous un autre nom, mais le menu mentionne Save As
Worksheet... Le mot Worksheet signifie en fait "Standard Worksheet" et ne signifie pas que l'on
sauvera une feuille MAPLE écrite en mode "Document" dans le mode "Worksheet" (voir §
8.4.1), mais simplement dans le mode en cours.

MAPLE dispose d'un mécanisme de sauvegarde automatique des documents qui se lance de
façon périodique et discrète pendant le travail. L'accès à MAPLE est néanmoins interrompu
durant cette opération et la mention "Autosaving Worksheet..." ["Enregistrement automatique de
la feuille de travail..."] s'affiche dans le coin en bas à gauche de la fenêtre). Un document portant
le nom XYZ.mw est alors automatiquement enregistré sous le nom XYZ_MAS.bak (Maple
Auto Saving bakup) dans le même répertoire et est périodiquement remis à jour. Ce fichier
disparaît dès que l'on provoque une sauvegarde volontaire. Pour que ce mécanisme fonctionne il
faut que dans la fenêtre d'initialisation (voir § 8.3.7), onglet General, la case Auto save every
[Sauvegarde automatique à chaque] soit cochée et la période de sauvegarde automatique fixée.
En cas d'anomalie de fonctionnement de l'ordinateur interrompant inopinément le
fonctionnement de MAPLE sans enregistrement effectué, relancer MAPLE en cliquant sur le
document XYZ.mw. Pour restituer la dernière sauvegarde automatique qui précéde la panne,
sélectionner Fichier(File)/Open Recent/Restore Backup [Fichier/Ouvrir les récents/Restituer
la sauvegarde].
Recommandation : dès que l'on ouvre un nouveau document, le sauver, même vide ou avec
son ordre restart en tête (voir § 8.3.4), en lui donnant un nom. On pourra ensuite sauver
régulièrement le document en cours de construction par une simple pression sur le boutonicône
de la barre d'outils et éviter ainsi la perte partielle du travail en cas d'anomalie de
fonctionnement de l'ordinateur. En matière de sauvegarde, aucune précaution n'est superflue...
8.4.3 Initialisation des feuilles de calcul, groupes autoexécutables [**]
1) Initialisation des feuilles de calcul. Une feuille de calcul peut contenir un groupe "caché"
de commandes, dit Startup code [Code de démarrage], qui seront exécutées lors de son
ouverture ou après un ordre restart. Contrairement à l'initialisation vue au § 8.3.8 qui s'applique
au logiciel MAPLE dans sa globalité et si plusieurs feuilles sont ouvertes simultanément, le
Startup code ne vaut que pour la feuille en question (attention néanmoins aux moteurs partagés ;
voir § 8.3.6). Pour éditer ou modifier ces commandes et/ou procédures, il suffit de cliquer sur le
bouton-icône de la barre d'outils ou d'utiliser le menu Edit [Edition]/Startup Code [Code de
démarrage] et d'écrire dans la fenêtre qui s'ouvre. Cette édition est passive puisqu'un Return ne
déclenche ni une exécution de l'ordre donné, ni une analyse syntaxique des erreurs. Pour obtenir
cette dernière on utilisera le bouton "Syntax" ou le menu Syntax/Check syntax now [Vérifier la
syntaxe maintenant]. Cette opération sera systématiquement effectuée avant la sauvegarde si
l'option Syntax/Check syntax before saving [avant d'enregistrer] est cochée (le défaut). Les
ordres de l'exemple du § 8.3.8 pourraient être introduits comme Startup code. Après avoir
sauvegardé avec le bouton "Save" ["Enregistrer"] ou le menu File/Save [Fichier/Enregistrer],
lancer un ordre restart ou réouvrir la feuille, autoriser si nécessaire (voir ci-dessous) l'exécution
du Startup code et vérifier que tout est conforme (en exécutant par exemple ln(e) ou un evalf
pour vérifier la valeur de Digits d'après l'exemple donné au § 8.3.8). A la différence de
l'exécution du fichier du § 8.3.8, l'exécution est ici toujours transparente quelque soient les
terminaisons des ordres (";" ou ":"). Pour ne pas enregistrer les modifications faites, fermer
directement la fenêtre ou utiliser le menu File/Exit. Pour supprimer le Startup code, vider son
contenu et sauvegarder.
Si un Startup code est présent, les roues de l'icône se remplissent et deviennent .
O ?worksheet,documenting,startupcode
Si on souhaite une exécution automatique du Startup code sans demande d'autorisation
préalable, on fixera dans la fenêtre d'initialisation de MAPLE (voir § 8.3.7), onglet Security,
l'option Autoexecute security level [Niveau de sécurité de l'auto-exécution] à Don't warm
64

efore autoexecution [Ne pas avertir avant l'auto-exécution].
ATTENTION : certains ordres de MAPLE, tels system ou ssystem (exécution d'une
commande du système d'exploitation), mkdir (création d'un répertoire), rmdir (effacement d'un
répertoire vide) ou fremove (effacement d'un fichier), ainsi que les outils de la bibliothèque
FileTools peuvent être directement exécutés par le Startup code et sont potentiellement
dangereux s'ils sont utilisés de façon maladroite ou malveillante. Egalement, ces commandes
pourraient être introduites dans des procédures définies par le Startup code et exécutées
ultérieurement dans la feuille de calcul à l'insu de l'utilisateur. Aussi, avant d'ouvrir un
document d'origine douteuse, il est préférable de configurer MAPLE en mode sécurisé (i.e.
l'état de configuration par défaut : Autoexecute security level [Niveau de sécurité de l'auto
exécution] mis à Warm once for each Worksheet [Feuille de travail] dans les préférences ;
voir § 8.3.7), de répondre "non" à l'autorisation d'exécution du Startup code s'il existe et de
vérifier son contenu. Le menu d'initialisation permet également d'activer un mécanisme de
contrôle (cocher la case Enable engine security) qui permet à l'utilisateur de contrôler les actions
de MAPLE, en particulier celles de lecture/écriture des fichiers de l'ordinateur.
2) Groupes autoexécutables. Les feuilles de calcul peuvent également contenir des
commandes ou groupes de commandes (voir § 1.3) qui seront visibles et exécutables
automatiquement à l'ouverture du document ou après un ordre restart. Pour rendre
autoexécutable une commande ou un groupe de commandes, il suffit de cliquer dessus puis
d'activer le menu Format/Autoexecute/Set [Auto-exécution/Fixer]. Si l'option View/Markers
[Affichage/Balises] est cochée, une icône apparaît à gauche indiquant que le groupe est
autoexécutable. Pour annuler cet état on utilisera de même Format/Autoexecute/Clear [Vider].
Le contrôle d'autorisation d'exécution se définit comme pour les ordres du Startup Code.
8.4.4 Sauvetage d'un document corrompu [**]
Il est possible, lors de manipulations peu orthodoxes, que la feuille de calcul enregistrée soit
corrompue (c'est heureusement rarissime). On est catastrophé de voir qu'à l'ouverture du
document une partie semble manquer de façon incompréhensible. Elle est en réalité probablement
présente, mais ne peut être lue car un "groupe" corrompu bloque la lecture. Il est néanmoins
possible de tenter une manoeuvre de récupération.
ATTENTION : L'opération n'est pas forcément évidente et on travaillera toujours avec une
copie du document corrompu.
Les documents MAPLE sont au format XML et par conséquent peuvent être lus avec
n'importe quel éditeur. XML est un langage à balises (dites aussi étiquettes, tags,...)
reconnaissables par leurs formes classiques .... Les curieux pourront visiter l'aide
en ligne, mais sans que ce soit indispensable...!
O ?Worksheet
ou
O ?XMLTools
Si on ouvre un document MAPLE avec un éditeur on voit, après un long préambule définissant
les caractéristiques générales du document, apparaître les groupes générés par l'utilisateur entre
les tags .... Par exemple :
... (long préambule)
65

...
...
display="LUklbXJvd0c2Iy9JK...
...
...
Dans les zones "Input" des documents au format "2-D Math Input" et dans les zones "Output"
en général, les suites de caractères du genre display="LUklbXJ..." sont des codages qui ne
sont interprétables que par MAPLE et qui sont utilisés pour dessiner les expressions en mode
2D. Il est néanmoins possible de repérer le groupe corrompu par le (ou les) texte de la
commande qui apparaît en clair d'une façon ou d'une autre dans la zone Input. En mode "2-D
Math Input", c'est un peu plus difficile car une commande telle a d 1 s'écrit input-equation=
"`:=`(a, 1)". Le groupe corrompu est certainement celui qui suit le dernier qui s'affiche quand
on ouvre la feuille. Il suffit de l'effacer en supprimant les lignes correspondantes
...
d'enregistrer la feuille en mode texte (pas de formats du type .rtf ou .doc) puis de l'ouvrir à
nouveau avec MAPLE. On devrait retrouver l'intégralité du document à l'exception bien sûr du
groupe supprimé. La méthode devra être adaptée pour les feuilles au format "Document".
8.4.5 Exportation des documents [**]
Les feuilles de calculs peuvent être exportées dans divers formats comme HTML ou LaTeX
avec le menu Fichier(File)/Export As [Exporter en]. Nous ne détaillerons pas ces procédures et
nous renvoyons le lecteur sur l'aide en ligne de MAPLE. Pour la création d'un pdf, utiliser une
option d'impression (§ 8.4.6).
O ?worksheet/managing/export
Les feuilles de calcul peuvent être présentées comme des diapositives plein écran (à la façon
PowerPoint, Keynote ou Impress) avec le menu View/Slideshow[Diaporama].
Noter aussi la commande suivante qui compose une expression LaTeX en basculant
automatiquement le format d'écriture du résulat (voir la fin de § 8.4.1). Un simple copier-coller
du résultat sera alors possible pour une insertion dans un document LaTeX.
O latex Int sin x 2 $x, x = 0 ..Pi
\int _{0}^{\pi }\!x\sin \left( {x}^{2} \right) {dx}
Cette insertion directe dans un document est possible en donnant en deuxième argument le nom
du fichier (voir Ch. 20).
Il existe également la possibilité de coder automatiquement des expressions dans un langage
comme C, Fortran, Java, Matlab ou VisualBasic (le transcodage Fortran de MAPLE, bien que
correct, est désuet par rapport à la norme actuelle de ce langage). Voir aussi le § 8.3.9.
O CodeGeneration:-Java s_x = sin x 2 C 1 $x, z = s_x K 3
s_x = Math.sin((double) (x * x + 1)) * (double) x;
z = s_x - 0.3e1;
8.4.6 Impression des documents. Numérotation des pages
66

L'impression des feuilles de calcul se fait simplement à l'aide du menu Fichier(File)/Print
Néanmoins, le passage à l'impression peut être source de difficultés en raison de l'absence de
relation entre la largeur de la mise en page à l'écran de la feuille de calcul et celle de la feuille
papier. Lors d'une impression, MAPLE opère des modifications de mise en page et des
compressions automatiques des graphiques qui ne sont pas effectuées sur les légendes, textes et
expressions mathématiques (par exemple § 8.4.8.4-7-c). Ceci provoque des modifications
d'aspect, voire des troncatures, peu esthétiques. On ne peut que recommander, avant tout travail
nécessitant une mise en page précise, de déterminer empiriquement une largeur virtuelle à l'écran
de la feuille de calcul qui soit proche de la largeur réelle imprimée sur le papier afin d'éviter au
maximum les mauvaises surprises au moment de l'impression. Pour obtenir ce résultat on peut
proposer la recette suivante :
1) Ecrire un texte d'au moins dix à quinze lignes sur la feuille de calcul (en mode "Text") et
dans lequel on n'introduira pas de retour à la ligne (utiliser un copier-coller d'un texte quelconque
et supprimer éventuellement les retours à la ligne non automatiques).
2) S'assurer de la justification à gauche ( dans la barre d'outils).
3) Effectuer une prévisualisation ou imprimer le texte ou créer un pdf.
4) Vérifier que l'option Markers [Balises] du menu View [Affichage] n'est pas cochée.
5) Ajuster à l'écran la largeur de la fenêtre MAPLE de façon à ce que les mêmes mots du
texte terminent toutes les lignes dans la page à l'écran et la page imprimée. Plus le nombre de
lignes est important, plus la relation de la largeur de mise en page sera précise par effet
statistique. Normalement MAPLE conserve la taille de la fenêtre ainsi définie d'un lancement à
l'autre.
Il est possible d'insérer des sauts de page avec le menu Insert/Page Break [Intertion/Page
suivante].
Pour numéroter les pages imprimées, on utilisera le menu View/Header Footer...
[Affichage/En-tête et bas de page...] qui permet aussi de choisir différents formats avec la
possiblité d'inclure des dates, des logos, etc. La numérotation n'est effective que lors d'une
prévisualisation, de la création d'un fichier pdf ou d'une impression.
8.4.7 Ouvertures simultannées de plusieurs feuilles de calculs [*]
On peut ouvrir plusieurs feuilles de calcul simultanément (File[Fichier]/New[Nouveau]) et
chacune dans le mode souhaité (Document ou Worksheet ; voir § 8.4.1). On notera les deux
points suivants:
- L'affichage peut apparaître soit dans des fenêtres MAPLE séparées (New Window
[Nouvelle fenêtre]), soit dans la même fenêtre avec un sélection des feuilles par onglet (New
Tab [Nouvel onglet]). Pour obtenir un de ces choix (mis par défaut) on ouvrira la fenêtre des
réglages d'initialisation (voir § 8.3.7), on cliquera sur l'onglet Interface puis on choisira à la
rubrique Open worksheets in : [Ouvrir une feuille de calcul dans :], soit New Window soit
New Tab.
- La gestion de la dépendance entre les données des feuilles de calcul (des noyaux, des
serveurs, des moteurs) ainsi ouvertes sera gérée suivant la méthode décrite au § 8.3.6.
8.4.8 Structures et éléments des feuilles de calculs
8.4.8.1 Document blocks et Execution groups, Math et Texte
On lira au préalable le § 8.4.1. Une feuille de calcul en mode Document est essentiellement
structurée en "documents blocks" marqués à gauche (si l'option du menu View/Markers
[Affichage/Balises] est cochée) par les symboles et et une feuille de calcul en mode
67

Worksheet, en "groupes d'exécution" marqués par un prompt > et un crochet extensible à
gauche [. Les deux modes ont en commun le langage XML (voir § 8.4.4) et en réalité ne
s'excluent pas l'un l'autre car les éléments standard de l'un peuvent être introduits dans l'autre.
On a vu avec la structure de ce chapitre que l'on pouvait introduire des "groupes
d'exécutions" dans un mode Document, mais on peut aussi introduire des "documents
blocks" dans un mode Worksheet avec le menu Format/Create Document Block. On peut
aussi, pour écrire du texte utiliser le menu Insert/Paragraph/Before-After Cursor
[Insertion/Groupe d'exécution/Avant-Après le curseur] (voir aussi le bouton-icône de
la barre d'outils), etc. On notera toutefois que trop de mélange peut rendre la gestion d'un
document confuse et difficile.
Un Return crée un nouveau block ou un nouveau groupe d'exécution alors qu'un Shift-
Return fait seulement passer à la ligne. On rappelle que l'on peut passer du mode "Math" au
mode "Text"
- à l'aide du bouton et bien sûr réciproquement avec .
- à l'aide de la touche F5 (fn-F5 pour certains claviers).
- à l'aide du menu Edit/Switch to Text Mode (et réciproquement, l'item changeant
automatiquement de nom, avec Edit/Switch to Math Mode).
- on peut convertir une commande écrite en "1-D Math Input" (caractères rouges) en
mode "Math" avec Format/Convert To [Convertir en]/2-D Math Input (attention : ne pas
choisir l'option "2-D Math"-"tout court" pour convertir une commande). On peut bien sûr
faire l'opération réciproque avec Format/Convert To/1-D Math Input.
- on peut convertir une formule incluse dans un texte et écrite en mode "Text" vers le
mode "Math" (par exemple sin(Pi*x)/(Pi*x) / sin p x ) en sélectionnant le texte de la
p x
formule puis en utilisant le menu Format/Convert To [Convertir en]/2-D Math [Math 2-D]
("tout court" et non 2-D Math Input [Entrée Math 2-D] réservé à l'entrée des commandes).
Pour effacer un élément (paragraphe de texte, commande, résultat...) on clique sur cet
élément puis on utilisera le menu Edit/Delete Element [Edition/Supprimer l'élément] ou son
raccourci clavier associé que l'on pourra lire sur le menu (à droite). Si le block ou le groupe
est vide il sera effacé.
On a renoncé à présenter toutes les fonctionnalités de ces deux modes en raison de leur
trop grand nombre. Signalons simplement les actions par menus contextuels en mode
Document : un clic droit sur une expression entrée en mode "Math" permet d'accéder à de
nombreuses opérations de base que MAPLE peut effectuer. Par exemple, après avoir entré
l'expression à gauche (en mode Math), un clic droit dessus (Ctrl-clic sur un Mac non équipé
d'une souris trois boutons) ouvre un menu ou on a choisi Differentiate/x [Dériver/x] ”
(MAPLE reconnaît les variables libres x et y ; en Maple 12 : "w.r.t." = "with respect to" =
"par rapport à").
dériver par rapport à x
2$cos x 2 C sin x
K2 sin x 2 C sin x 2 x C cos x
Attention : certaines des opérations du menu n'affiche rien en mode de sortie "Notation
MAPLE" ou "Notation de Caractère" (voir § 8.4.1).
Il pourra de même, avec un clic droit sur le résultat, faire une autre opération, comme par
exemple un tracé. Si on modifie l'expression initiale, on pourra ré-exécuter la commande en
cliquant sur le bouton-icône de la barre d'outils. On notera aussi la fonction Explore de ce
menu contextuel. On pourra reproduire l'exemple suivant : après avoir entré l'expression sur
laquelle on effectuera un clic droit, on choisit Explore dans le menu et on coche "skip"
68

(sauter) pour x (expliquer pourquoi après avoir essayé).
factor 1 C x a
Un peu d'expérimentation empirique pour dégrossir le terrain peut être une bonne méthode
pour débuter, mais elle devra être suivie d'une lecture attentive de l'aide en ligne pour éviter de
manquer les nombreuses fonctionnalités disponibles. Pour une première présentation
générale on recommande la lecture de
O ?MaplePortal
ou de
O ?UserManual
8.4.8.2 Division en sections et sous-sections
Quelque soit le format de la feuille de calcul (Document ou Worksheet), il est possible,
comme il a été fait pour ce manuel, de la découper en Sections et Sous-sections avec le menu
Insert Section et Insert Subsection ( ). Ceci est très utile pour s'obliger à structurer un
document correctement. De plus, chacune des sections peut-être ouverte ou fermée ( )
masquant ainsi son contenu et ne laissant apparaître que son titre. Il suffit de cliquer sur le
triangle ou sur la barre latérale. On pourra aussi utiliser les boutons-icônes de la
barre d'outils pour gérer ces divisions.
Les numérotations qui apparaissent sur les sections de ce manuel ne sont pas
automatiques et ont été introduites au clavier.
8.4.8.3 Numérotation des résultats des commandes
La numérotation des résultats introduite au § 1.2.1 est une option dont on choisit le défaut
dans la fenêtre d'initialisation (voir § 8.3.7), onglet Display [Affichage], option Show
equation labels [Afficher les étiquettes des équations]. En fait, quelque soit le choix par
défaut, il est toujours possible de le modifier avec le menu Format/Labels [Etiquettes].
L'option Label Display... [Affichage des étiquettes...] de cet item permet d'introduire un
préfixe à la numérotation (par exemple "Ch I-" pour désigner le chapitre I) et d'activer soit
une numérotation incrémentale simple, soit une numérotation qui prend en compte le
découpage des sections/sous-sections (comme dans ce dodument).
On peut également supprimer la numérotation automatique et l'introduire à la demande sur
quelques résultats avec le menu Format/Labels et avec l'option Execution Group (l'option
Worksheet numérotant tous les résultats).
8.4.8.4 Autres éléments des feuilles de calculs
Les feuilles de calcul peuvent contenir divers autres types d'objets. Ne perdant pas de vue
que MAPLE est avant tout destiné à faire des calcul, on se contentera de très brèves
descriptions...
1. Des listes numérotées automatiques comme celle-ci ou à puces (,) introduite par les
boutons-icônes de la barre d'outils.
2. Des représentations graphiques des fonctions mathématiques en 2D ou 3D. Ce sujet, en
raison de son importance, fait l'objet des deux chapitres 16 et 17.
69

3. Des interfaces graphiques. On en trouve de trois sortes
a) Les composantes graphiques (Components [Composantes]) qui permettent la
construction d'applications (Ch. 19) par insertion dans la feuille de calcul (modes Worsheet
ou Document) d'objets graphiques (voir l'exemple ci-dessous et la palette
"Components[Composantes]" dans la colonne gauche de la fenêtre MAPLE) associés à des
actions programmées. Pour la disposition en deux colonnes des éléments de cet exemple, voir
le § 8.4.8.4-7.c.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Des fenêtres réservées à l'édition de procédures, dites Code Edit Region [Région
d'édition de codes] (voir chapitre 19). Elles sont insérées avec le menu Insert/Code Edit
Region [Insertion/Région d'édition de code]. Ces zones peuvent être fermées pour masquer
le texte (voir l'icône ci-dessous) avec le menu View/Collapse Code Edit Region ou ouvertes
pour la lecture et l'édition avec View/Expand Code Edit Region [Affichage/Réduire-
Développer la région d'édition de codes]. Ces deux actions sont aussi accessibles par un
menu contextuel ouvert avec un "clic droit". Les dimensions en pixels de la fenêtre peuvent
être fixées avec ce menu contextuel Component Properties... [Propriétés des composantes]
Ma_procedure
:=proc(x)
x+1:
end proc:
La même fenêtre, mais fermée
Ma_procedure
c) Les Maplets : se sont des applications présentées dans des fenêtres indépendantes et
écrites dans un langage spécifique à MAPLE (Ch. 19).
70

4. Des schémas introduits par le menu Insert/Canvas (voir par exemple le § 5.7). Les
possibilités de dessin sont assez restreintes mais on peut y introduire aisément des formules
mathématiques. Pour plus de détails sur l'utilisation de ces outils on se reportera à l'annexe 1
du chapitre 16. Il est aussi possible de créer des graphiques ayant pour base une
représentation graphique mentionné ci-dessus en 2. (voir un exemple à la fin de ce
paragraphe) ou un graphique importé puis complété (voir 5.).
La taille des mailles de la grille de dessin peuvent être fixée avec le bouton-icône
qui apparaît quand on clique dans le cadre du dessin. Pour faire disparaître la grille
(comme ci-dessous) il suffit, toujours avec ce bouton, de lui donner la même couleur (Line)
que celle du fond (Canvas).
E
f est injective
F
c x, y 2 E 2 ,
x s y 0 f x s f y
5. Des images ou des graphiques créés avec d'autres logiciels et importés avec le menu
Insert/Image...
Bonjour de
Les images sont sommairement éditables (voir Annexe 1, Ch. 16) dans le sens où l'on
peut, après importation, leur superposer des éléments de dessin MAPLE comme, par
exemple, l'ajout du texte "Bonjour de" sur l'image ci-dessus.
Les formats acceptés sont (pas de format eps)
- jpe, jpeg, jpg (Joint Photographic Experts Group)
- gif (Graphics Interchange Format)
- png (Portable Network Graphics)
71

- tiff, tif, jfx (Tagged Image File Format)
- pnm (Portable aNyMap)
- bmp (Bitmap Graphics)
- fpx (Kodak FlashPiX bitmap image).
ATTENTION : MAPLE effectue un codage des images ("lisible" en ASCII ; voir
éventuellement § 8.4.4) et toutes les informations qui les définissent seront incluses dans la
feuille de calcul. Il en résulte qu'il faut être très attentif à ne pas insérer des images de grandes
tailles ou à haute définition, sous peine de voir le fichier de la feuille de calcul prendre une
taille ingérable et des temps de sauvegarde et d'auto-sauvegarde (voir § 8.4.2) très longs... !
Pour pallier les carences des outils de dessin de MAPLE, il est aussi possible d'importer
des graphiques construits avec un autre logiciel (ci-dessous xfig) et utiliser, par
superposition, les possibilités graphiques de MAPLE et surtout l'écriture mathématique (voir
chapitre 16) qui est souvent absente des logiciels de dessin.
C
f z dz = 0
C
W
6. Des feuilles de tableur avec le menu Insert/Spreadsheet... La gestion se fait par le menu
Spreadsheet et/ou par un clic droit sur la feuille de tableur et qui fait apparaître un menu
contextuel. L'exemple montre des calculs symboliques, mais les tableurs gèrent, bien entendu,
aussi les calculs numériques. On peut voir en D1 un exemple de construction avec une
référence à la cellule A1 et notée ~A1 (l'expression est une intégration double, voir chapitre
10). La colonne D peut ensuite être remplie automatiquement (menu Spreadsheet/Fill
[Feuille de calcul/Remplir]) pour établir les mêmes calculs pour tous les A i
.
On se reportera pour tous les détails à l'aide en ligne
72

O
?SpreadSheet
7. Des tables que l'on introduit avec le menu Insert/Table... et que l'on gère simplement avec
le menu Table. Pour tous les détails on se reportera à l'aide en ligne
O ?worksheet/documenting/table
Attention : > ? table renvoie à un autre concept (voir Ch. 5).
Fonctions
x n , n sK1
1
x
Primitives
x n C 1
n C 1 C Cte
ln x C Cte
... ...
Remarques à propos des tables :
a) On peut agir à l'intérieur de chaque cellule comme dans une feuille de calcul (les
cellules sont ouvertes dans le mode Document ou Worksheet, le même que celui de la feuille
de calcul) On peut introduire tout type d'élément dans les cellules : des blocks, des groupes,
des graphiques, des tracés de courbes, images, etc., y compris d'autres tables.
b) Les encadrés que l'on trouve dans le texte de ce manuel ne sont que des tables à une
colonne et une ligne...
c) Une table peut aussi permettre d'effectuer des mises en forme de textes, d'illustrations
ou d'applications à interface graphique (§ 8.4.8.4-3a). La première partie du texte sur
l'intégration ci-dessous qui accole du texte (colonne de gauche) avec un graphique est
obtenue avec une table à une ligne et deux colonnes pour laquelle, à l'aide du menu
Table/Properties... [Propriétés...], on a supprimé les bordures intérieures et extérieures
(Exterior Borders et Interior Borders mis à None). Le dessin a pour base une commande
plot pour tracer la courbe (options color=black, axes=none ; voir Ch. 16) introduite dans la
case de droite. Cette commande a été masquée en décochant l'option Show input [Afficher
l'entrée] toujours dans la fenêtre du menu Table/Properties... Le graphique a ensuite été
illustré avec les outils de dessin comme indiqué au Ch. 16, Annexe 1. Les intégrales et les
formules ont été écrites en utilisant les gabarits de la palette Expression et la lettre A avec la
palette "Script" .
Si la feuille doit être imprimée, il est recommandé de suivre la recette de mise en page
indiquée au § 8.4.6.
_____________________________________________________________________
Ce texte est une illustration de la dernière des remarques faites à propos des tables
(§ 8.4.8.4-7.c)
L'intégrale d'une fonction f est une
mesure algébrique de l'aire située entre
la courbe représentative de la fonction
Intégrale : aire algébrique et aire géométrique
73

et l'axe des abscisses. Avec les
notations du dessin ci-contre on écrit,
en utilisant la relation de Chasles
f
O
a
a
b
f
x dx = A C
K A K
A +
c A -
b
x
a
b
f x dx =
a
c
f
x dx C
c
b
f
x dx
Chacune des intégrales est une mesure
algébrique de l'aire correspondante
a
c
f x dx = A C
O 0 et
c
b
f x dx = A K
! 0
Si l'on souhaite calculer l'aire géométrique entre a et b on écrira donc, toujours avec le schéma de principe
du dessin ci dessus
c
b
A = f x dxK f x dx
a
c
_____________________________________________________________________
74