Exercices et quelques corrigés

E.N.S.I.L Deuxième Année ELT
EXERCICE
TRAITEMENT DU SIGNAL (FILTRAGE)
1- Nous devons concevoir un filtre pour séparer le signal audio du signal ADSL. Supposons que le signal audio
est un signal passe bas limité jusqu'à 3200 Hz et que le spectre du signal ADSL commence à partir de 20
kHz. Nous tolérons une atténuation maximale de 1 dB pour le signal audio et souhaitons avoir une
atténuation minimale de 50 dB sur le signal ADSL. Donner le H(p) du filtre à réaliser pour les cas suivant :
Filtre Butterworth
- Calculer le n (3,5)
- Tracer le gabarit du filtre prototype
- Donner le Hp(P) du filtre prototype
- Dénormaliser pour obtenir H(p)
- Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm.
Filtre Chebyshev
- Calculer le n (2,83)
- Tracer le gabarit du filtre prototype
- Donner le Hp(P) du filtre prototype
- Dénormaliser pour obtenir H(p)
- Donner le circuit LC du filtre pour les résistances de source et de charge égale à 50 ohm.
Solution
Filtre Butterworth : n=3,5 => 4
A l’aide de la table, le résultat suivant est obtenue :
A p (p) = p 4 + 2,613p 3 + 3,414p 2 + 2,613p + 1
A(p) = A p (p) avec p =
= 4,2*10 -5 p
Où ε = = 0,509 => ε 1/4 = 0,84
A(p) = (4,2*10 -5 ) 4 p 4 + 2,613*(4,2*10 -5 ) 3 p 3 + 3,414(4,2*10 -5 ) 2 p 2 + 2,613(4,2*10 - 5)p + 1
Filtre de Chebyshev :
Amin = 50, Amax = 1, Ω p =1, Ω a = = 6,25 n=2,83 => 3
1

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AdB
50
1
1
6,25
Ω
Ω =
ε = 1 dB => table : A(p) = 2 n-1 ε (p 3 + 0,988p 2 + 1,238p + 0,491)
H(p) = H p (p) où p= =
A(p) = 0,25*10 -12 p 3 + 0,5*10 -8 p 2 + 0,125*10 -3 p + 1
2- Nous allons concevoir un filtre Chebyshev inversé avec les paramètres suivants :
N=2, Ω a =2, Ω p =1, ε=1
Donnez le H(p)
3- Nous avons un signal électrique qui contrôle la sortie d'une source ultrason. Ce signal est contaminé par un
bruit 50 Hz qui se trouve dans l'environnement du travail. Il nous faut donc un filtre coupe bande afin
d'éliminer cette interférence indésirable.
Il nous faut donc au moins 19 dB d'atténuation autours de 50 Hz avec une largeur de bande coupée de 10 Hz
(45-55). Ensuite, dans les bandes passantes, il ne faut pas plus de 2 dB d'atténuation pour les fréquences
inférieures à 35 et supérieur à 100 Hz.
• Tracer le gabarit du filtre désiré.
• Transformer ce gabarit en gabarit d'un filtre prototype
• Calculer l'ordre du filtre pour une approximation Butterworth
• Utilisant le tableau donné en cours, donner la fonction de transfert du filtre prototype
• Dénormaliser cette fonction de transfert pour obtenir la fonction de transfert du filtre réel
• Identifier les éléments du circuit ci-dessous pour réaliser le filtre passe bas prototype
L
Vin
C
R=
50
Vout
• Transformer ce filtre en filtre équivalent coupe-bande réel.
4- Calculer la fonction de transfert des circuits ci-dessous :
2

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V1
R 1
C
V1
R1
R2
V2
Vout
V2
Vout
R 2
R1
Utilisant ces circuits, donner le circuit réalisant les fonctions ci-dessous :
1
1
H ( p)
= et H ( p)
=
2
p
1+
1+
ap + bp
a
5- Utilisant la méthode à base d’intégrateurs, donner le circuit actif qui synthétise la fonction de transfert cidessous
:
H ( p)
=
2
p + 2 p + 2
2
p + 3p
− 5
6- Ci-contre le diagramme des pôles et des zéros du filtre
2
a0 p + a1 p + a2
H ( p)
=
est donné. Quel est le type de ce filtre (passe
3 2
b0 p + b1 p + b2 p + b3
bas, passe haut, passe bande, …) ? Justifier.
×
×
×
jω
2
σ
Quelle est la phase pour f = infinie ? Justifier.
7- Un filtre passe haut est à concevoir. Le gabarit de ce filtre est donné sur la figure ci-dessous.
A(jω)| dB
20 dB
1 dB
500 1500
f(Hz)
a- Normalisez ce gabarit pour obtenir un filtre passe bas prototype. Donner le gabarit du filtre prototype.
b- Nous voulons implanter ce filtre par la méthode Butterworth. Quel sera l'ordre de ce filtre ?
c- Où se trouvent les pôles de la fonction de transfert résultant ?
d- Utilisant le tableau, quelle est la fonction de transfert H(p) de ce filtre prototype ?
e- Dénormalisez le filtre et calculez la fonction de transfert du filtre passe haut réel.
3

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8- (Problème posé à l'examen de l'année 2002-2003) Supposons H(z)=1-0.5z -1 la fonction de transfert d'un
filtre numérique.
1. Donner h(n) (formes mathématique et graphique). Est-ce un filtre causal ?
2. Présenter les pôles et les zéros de cette fonction sur le plan Z. En déduire, de manière qualitative, le
comportement du système dans le domaine des fréquences (passe bas, passe bande, …).
3. Calculer |H(e jω )| et le tracer.
4. Retracer la même fonction de transfert si on suppose une fréquence d'échantillonnage à 10 kHz
(abscisse est la fréquence réelle)
5. Afin de supprimer les bases fréquences, sur le plan Z, où est-ce que l'on doit ajouter un zéro (ou
éventuellement un pôle) à cette fonction de transfert ? Donner la nouvelle fonction de transfert H(z) (il
nous faut toujours un système causal). Est-ce que c'est normal que la somme des coefficients de H(z)
fasse zéro ? Justifier.
6. Donner le nouveau h(n) (formes mathématique et graphique).
9- Dans le problème qui suit, nous cherchons à synthétiser un filtre numérique équivalent à un filtre analogique
passe-bas du premier ordre de constante de temps τ = 1 ms. Nous allons utiliser la méthode d'invariance
impulsionnel.
I) Filtre analogique :
1) Donner l’expression de la fonction de transfert H a (jω) = S(jω)/E(jω). Tracer le diagramme de bode de
H a (jω).
2) Tracer la réponse impulsionnelle h a (t) de cette structure.
C1
R1
R1 = R2 = 1 KΩ
C1 = 1 µF
e(t)
R2
s(t)
II) Synthèse par invariance impulsionnelle.
Nous remplaçons le filtre analogique par un filtre numérique. Celui-ci est contenu dans la chaîne suivante :
fe
e (t) Filtre anti
échantillonner
e (n) FILTRE s CNA
s (t)
(n)
repliement
CAN
numérique
bloquer
Enlève toutes les
composantes spectrales
>= à Fe/2
Nous cherchons une fonction de transfert en Z qui aura la même réponse impulsionnelle que le filtre analogique
à AOP ci dessus.
4

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Filtre à réponse impulsionnelle finie RII.
La période d’échantillonnage est Te = 1 ms.
1) Calculer le h(n)
2) Donner la TZ notée H(z) de h(n).
3) Donner H(e jωTe ) et calculer H(e j0 ). Que constatez-vous ?
4) Est-ce qu'on pouvait utiliser la transformation de cette méthode directement sur le H a (p)?
Si la période d’échantillonnage est Te = 0,5 ms.
5) Donner la TZ notée H(z) de h(n).
6) Calculer et tracer H(e jωTe )
Comment faut-il choisir Fe pour que le filtre numérique ressemble au filtre analogique ? Expliquer d’où vient la
différence des fonctions de transfert entre les filtres numériques et le filtre analogique.
Est-ce que le bloqueur présenté sur le schéma modifie la réponse fréquentielle du système ?
Utilisation MATLAB
Pour tracer le diagramme de bode sous matlab :
Sys=tf(1000,[1 1000]; bode (sys); (trace le digramme de bode de 1000/(p+1000) )
0
Bode Diagram
-5
-10
Magnitude (dB)
-15
-20
-25
-30
-35
-40
0
Phase (deg)
-45
-90
10 1 10 2 10 3 10 4 10 5
5

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fe=10000; B=1000; A=[1 1000];
[Ha,Fa]=freqs(B,A);
[Bz,Az]=impinvar(B,A,fe);
[Hz,Fz]=freqz(Bz,Az);
plot(Fz*fe/pi/2,20*log10(abs(Hz)),'r',Fa/pi/2,20*log10(abs(Ha))); grid;
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
0 500 1000 1500 2000 2500
10- Considérer la fonction de transfert passe bas H(p) suivant :
6
H a
( p)
=
2
p + 5p
+ 6
• Utiliser la méthode invariance impulsionnelle pour transformer ce filtre en numérique.
6

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H a
6 1 6 −6
( p)
=
= +
p + 2 p + 3 p + 2 p + 3
h ( t)
= 6e
a
h(
n)
= Th
−2t
a
u(
t)
− 6e
−3t
( nT ) = 6Te
u(
t)
−2nT
u(
n)
− 6Te
−3nT
u(
n)
H
6T
1−
e z
−6T
1 − e z
( z)
= +
−2T
−1
−3T
− 1
• La méthode invariance impulsionnelle conserve la réponse impulsionnelle. Essayer de conserver la réponse
à échelon (la réponse indicielle) et calculer le H(z).
t
−3t
−2t
−3nT
−2nT
La réponse à un échelon = s(
t)
= ∫ h(
τ ) dτ
= ( 1 + 2e
− 3e
) u(
t)
s(
n)
= ( 1 + 2e
− 3e
) u(
n)
−∞
1 2 3
S ( z)
= + −
−1
−3T
−1
−2T
1
1 − z 1 − e z 1 − e z
−
Pour calculer H(z), on utilise la relation h(n)=s(n)-s(n-1) H(z)=S(z)(1-z -1 ).
−1
−1
2(1 − z ) 3(1 − z )
H ( z)
= 1 + −
−3T
−1
−2T
−1
1 − e z 1 − e z
Réponse à un échelon
Réponse impulsionnelle
Réponse fréquentielle du filtre analogique et du filtre numérique.
11- Supposons que nous disposons d’un signal analogique que nous voulons filtrer par un filtre passe bas
numérique. On veut garder les composantes en dessous de 2 Hz (à 1 dB près) et atténuer les composantes en
dessus de 4 Hz d’au moins 10 dB.
jω
• Tracer le gabarit du filtre analogique désiré |H(jΩ| et le gabarit recherché numérique H ( e ) supposant
une fréquence d’échantillonnage égale à 10 Hz.
dB
7

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Nous procédons de la conception de ce gabarit résultant dans le domaine numérique, en repassant dans le
domaine analogique.
• Transformer ce gabarit dans le domaine analogique et calculer le filtre Chebyshev analogique correspondant
(H a (p)) pour des méthodes suivantes (vous pouvez utiliser les tables pour obtenir le polynôme
correspondant). Pour chaque cas, calculer le H(z) du filtre numérique.
- invariance impulsionnelle
- bilinéaire
• Donner la structure d’implantation du filtre obtenu par la méthode bilinéaire.
Le système devient alors le suivant :
Filtre anti
repliement
CAN
Filtre
numérique
CNA
• Quel est le rôle du filtre anti-repliement ?
• Si on utilisait la méthode Kaiser pour calculer directement le filtre numérique, quel serait l’ordre du filtre.
Solution :
Le gabarit du filtre analogique est le suivant :
Puisqu’il y a une relation linéaire entre le système analogique et le système échantillonné, on peut
ω Ω Ω Ω
écrire = = = T ⇒ ω = ΩT
. C’est à dire : ω
p
= 2 π *2 /10 = 2 π / 5 , ωa
= 2 π *4 /10 = 4 π / 5
2 π Ω 2 π f 2 π
e
e
Le gabarit numérique à satisfaire et le suivant :
Avec la méthode invariance impulsionnelle le gabarit numérique doit être transformé en analogique. Il est plus
simple d’obtenir un filtre analogique prototype. Ainsi on pourra utiliser directement les tables. Pour cela, on fait
2 π / 5
4 π / 5
de telle sorte que Ω’ p =1. Ω ′
p
= = 1 ⇒ T = 2 π / 5 . Alors Ω ′
a
= = 2 . Avec ces valeurs on calcule le
T
2 π / 5
n :
0.1Amin
−1
10 −1
0.1Amax
10 −1
−1
Ωa
Ω
p
cosh
n =
cosh /
=1.86 n=2
8

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Utilisant la table pour le filtre de Chebyshev à 1 dB on a :
2
A( p) = p + 1.098 p + 1.103
1 1
0.1Amax
Alors : H ( p)
= ≈
car ε = 10 −1 ≈ 0.5 .
n−1 2 2
2 ε ( p + 1.098 p + 1.103) p + 1.098 p + 1.103
Il faut maintenant calculer H(z) sachant que
1 T
⇒
p − p 1−
e z −
0
p0T
1
0 1 0
1
( ) A A
A T AT
H p = + ⇒ H ( z)
= + avec T = 2 π / 5 .
a 0 1
1 1
p p0 p p1
1 e
p T −
z 1 e p T −
− − − − z
En remplaçant, on aura :
−1
0.63z
H ( z)
=
1 2
1 −
−
−
0.43z
+ 0.25z
Méthode bilinéaire
Pout obtenir un filtre prototype analogique, on fixe le Ω
p
= 1 et on calcule la valeur de T.
2 ω
p
0.4π
Ω
p
= tan = 1 ⇒ T = 2 tan = 1.45
T 2
2
De la même manière Ω
a
= 4.23 . Avec ces valeurs on peut calculer le n.
On obtient le même H(p) :
Cette fois ci :
0.1Amin
−1
10 −1
0.1Amax
10 −1
−1
Ωa
Ω
p
cosh
n =
cosh /
=1.159 2
1 1
H ( p)
= ≈
n−1 2 2
2 ε ( p + 1.098 p + 1.103) p + 1.098 p + 1.103
0.218 + 0.436 + 0.218
H ( z) = H ( p)
=
−1 −2
z z
−1
2 1−
z
p=
−1 −2
T 1
1 z
−
+ 1− 0.35z
+ 0.33z
Remarque : cette expression peut être obtenue avec matlab utilisant la commande :
[A,B]=bilinear(1,[1 1.098 1.103],1/1.45) ;
Remarque : Utilisant la commande freqz de matlab, dessiner les deux fonctions de transfert. Pourquoi le filtre
résultant de la méthode invariance impulsionnelle ne respecte pas le gabarit souhaité alors que la méthode
bilinéaire le respecte ?
Structure directe II
b = 0.218, b = 0.436, b = 0.218, a = 0.35, a = − 0.33
0 1 2 1 2
9

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Le rôle du filtre anti-repliement est de supprimer les composantes fréquentielles éventuelles du signal analogique
en entrée au-dessus de la fréquence f e /2. Ces fréquences ne respectant pas le critère de Shannon, allaient créer du
bruit dû au recouvrement de spectre.
Utilisation de la méthode Kaiser.
−0.5
20logδ 2
= − 10 ⇒ δ 2
= 10 = 0.31
20log(1 − δ ) = − 1 ⇒ δ1 = 0.1
δ = min{ δ1, δ2} = 0.1⇒ A = 20
Utilisant la fenêtre Kaiser ⇒ β = 0 ⇒ Fenêtre rectangulaire
1
4 − 2 20 −8
∆ ω = 2 π et M = = 4.18 ⇒ 5
10
2.285∆ω
Avec Matlab : [n,wn,beta]=kaiserord( [0.4*pi 0.6*pi] , [1 0] , [0.31 0.1] , 2*pi) ; qui donnera n=5, wn=0.6,
beta=0.
12- Un filtre numérique est à implanter. La fréquence d'échantillonnage est fixée à 8kHz. Idéalement, on veut
supprimer la bande fréquentielle de 1kHz à 2 kHz.
a- Tracez, pour ce filtre idéal, le module de H d (e jω ) (ω varie de -π à π).
b- Si on utilise la méthode d'échantillonnage en fréquence en prenant N points sur cette réponse idéale,
quel serait, approximativement, |H(e jω )| dB (pas de calcul, pas de formule) ? Expliquez-vous.
c- Quelle procédure peut-on envisager pour augmenter l'atténuation dans la bande coupée ?
d- On veut utiliser la méthode Kaiser pour la conception de ce filtre (prenez δ=0.01, largeur de la bande de
transition pour chaque discontinuité 500 Hz). Calculez la taille du filtre ? Calculez le h d (n). Donnez
l'expression de h(n).
Solution :
1
1
ω = ΩT,
alors ω1
= 2π1000 = π / 4 , ω2
= 2π 2000 = π / 2
8000
8000
Si on utilise la méthode d’échantillonnage fréquentielle, on prend quelques points sur la réponse idéal et on
calcule la transformé inverse de Fourier. Ce sui va nous donner un h(n). H(e jω ) la TF de ce H(n), va
effectivement passer par ces points mais en dehors de ces points le comportement du filtre peut dévier du filtre
idéal. Pour améliorer, il faudra prendre plus de points, d’où un filtre plus long.
10

E.N.S.I.L Deuxième Année ELT
Pour augmenter l’atténuation dans la bande coupée, on peut prendre un point dans la bande de transition qui est
différent de 0 ou 1. La valeur de ce point est à optimiser pour maximiser l’atténuation dans la bande coupée. En
contre partie, la bande de transition sera plus large. Voir figure ci-dessous
A=-20log 10 δ=40, ensuite
⎧0.1102(
A −8.7)
A > 50
⎪
1 π
0.4
β = ⎨0.5842(
A − 21) + 0.07886( A − 21) 21≤
A ≤ 50 alors, β = 3.4 , ∆ ω = 2π
500 = , 8000 8
⎪
⎩0.0
A < 21
A −8
M = = 35.66 M=36. La fenêtre Kaiser est connue maintenait :
2.285∆ω
2
I ⎡
0
β (1 [( n a) / a]
⎤
⎢
− −
⎥
w( n) =
⎣
⎦
0 ≤ n ≤ M
I
0
[ β ]
Il faudra juste multiplier cette fenêtre par la réponse idéale du filtre :
1 π
jω
jωn
sin(
hd
( n) = H
d
( e ) e dω
2π
∫ = n π / 4) − sin( n π / 2)
− π
nπ
Alors le h(n) est le suivant
h( n) = h ( n − 18) w( n)
d
13- (Problème posé à l'examen de l'année 2001-2002) Nous avons à notre disposition un système à
microprocesseur qui nous permet de réaliser des filtres numériques. Nous voulons donc implanter le système
suivant :
X(Ω)
CAN H(e jω ) CNA
idéal
Y(Ω)
- Où faut-il ajouter un filtre anti-repliement et quel est son rôle ?
Nous cherchons à satisfaire le gabarit ci-dessous :
20 dB
20log|A(j2πf)|
1 dB
1 5
f(kHz)
a- Sachant que la fréquence d'échantillonnage est de 20 kHz, tracer le gabarit du filtre numérique à satisfaire
b- Utilisant la méthode bilinéaire pour calculer le filtre numérique, retransformer le gabarit numérique obtenu
en gabarit analogique
c- Calculer la fonction de transfert H(p) du filtre Butterworth prototype satisfaisant ce gabarit analogique
d- Dénormaliser ce H(p)
11

E.N.S.I.L Deuxième Année ELT
e- Donner l'expression du filtre numérique résultant (calcul exact de H(z) n'est pas nécessaire)
14- Pour le filtre suivant, calculer H(z).
x(n)
a 1
b 0
z -1
b 1
z -1
y(n)
a 2
b 2
15- Pour un filtre RIF anti-symétrique de taille N, nous avons h(n)=-h(N-1-n). Quelle est la phase de ce filtre
pour 0

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CNA idéal
y(n)
Numérique
vers delta
y T (t)
Filtre passe bas idéal
f c =1/(2T)
y a (t)
∑ ∞
n=
−∞
y ( t)
= y(
n)
δ ( t − nT )
T
Quelle est la relation entre Y a (Ω) et Y(e jω )?
20- Considérer le système ci-dessous :
x a (t)
CAN
idéal
x(n)=
x a (nT)
H(e jω )
y(n)
CNA
idéal
y a (t)
T
T
Quelle la fonction de transfert équivalente du système?
21- Supposons qu'en absence d'un CNA idéal le système ci-dessous est utilisé :
y(n)
Numérique
vers delta
y T (t)
h(t)
1
T
y a (t)
∑ ∞
n=
−∞
y ( t)
= y(
n)
δ ( t − nT )
T
Quelle la fonction de transfert du système ci-dessous :
x a (t)
CAN
idéal
x(n)=
x a (nT)
H(e jω )
y(n)
CNA non
idéal
y a (t)
T
T
−1
−2
1 + 2z
+ z
22- Soit H ( z)
=
,
−1
−2
1−
0.75z
+ 0.125z
- écrire l'équation aux différences,
- donner structures de la réalisation de la forme directe I et II.
23- Supposons que H(z) est un filtre passe bas. Que peut-on dire de H(1/z)? Est-ce que le filtre résultant est
stable?
24- Pour la structure ci-dessous calculer la fonction de transfert. Présenter les pôles et les zéros du système
correspondant sur le plan Z.
13

E.N.S.I.L Deuxième Année ELT
25- Calculer le module et la phase de H(e jω −1
z − 0.54
) de H ( z)
= .
−1
1 − 0.54z
Si cette fonction est réalisée par la structure ci-contre, identifier
les coefficients a, b et c.
26- Pour les systèmes présentés ci-dessous :
• calculer la fonction de transfert
• dessiner la structure transposée
• vérifier si la fonction de transfert du système transposé est équivalente à celle du système initial
27- (examen septembre 2004)
a) Expliquer le théorème de la transposition.
b) Dessiner une structure d'implantation de la fonction de transfert
−1
1−
0.5z
−1
H ( z)
= + (1 − 2z
+ z
−1
−2
1+
0.25z
+ 0.1z
−2
)
c) Utilisant le théorème de la transposition dessiner la structure transposée du circuit ci-dessus.
28- (Examen 2005-2006) Un filtre passe bas est souhaité avec au maximum 1 dB d'atténuation jusqu'à 3 kHz, et
au moins 40 dB d'atténuation dans la bande coupée (à partir de 4 kHz). Ce filtre va être implanté par un
microprocesseur avec une fréquence d'échantillonnage à 24 kHz. Combien de multiplications par seconde
sont nécessaires pour chacune des méthodes suivantes :
a- filtre RII avec la méthode invariance impulsionnelle (le filtre analogique abstrait est de type
Butterworth) (Structure directe II)
b- filtre RII avec la méthode bilinéaire (le filtre analogique abstrait est de type Butterworth) (Structure
directe II)
c- Filtre RIF de type Kaiser (Structure transversale et profitant de la symétrie)
d- Filtre RIF avec l'approximation equi-ondulation (Structure transversale et profitant de la symétrie)
14

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solution
A max = 1dB ; A min = 40dB ; ω p = 3000*2π ; ω a = 4000*2π ; k = 24 kHz
a) Une transformation linéaire :
ω = Ω T ,
2π
3000 π
ω
p
= = ,
24000 4
La méthode invariance impulsionnelle ;
2π
4000 π
ω
a
= =
24000 3
Butterworth : = 18,35 => n = 19
Transformation invariance impulsionnelle :
H a (p) =
Directe II :
19*2=38 multiplications par d’échantillons en sortie
38*fe=38*24000=912000 mult/sec
b) On calcule le gabarit du filtre analogique abstrait :
H(Z) =
T=1 => Ω = => Ω a = = = 1,1547
nc = 15,9 => nc = 16
Ω p = = = 0,8284
H(p) = => H(Z) = H(p) où p=2
H(Z) =
Directe II :
17 + 16=33 multiplications par d’échantillons en sortie
33*fe=38*24000=792000 mult/sec
c) Filtre kaiser :
-20log(1- δ 1 ) = A min => δ 1 = 1-10 -1/20 = 1-0,89 = 0,11
-20logδ 2 = 40 => δ 2 = 0,01 ; ∆ = min(δ 1 , δ 2 ) = 0,01 => A=40
M =
H(Z) = h 0 + h 1 Z -1 + … + h 54 Z -54
Filtre à phase linéaire : il faut 54/2 + 1 = 27 + 1 = 28 mult/éch
28*24000 = 672000 mult/sec
d) Filtre equi-ondulation
N =
Filtre à phase linéaire : 32/2 + 1 = 17 mult/éch
17*24000 = 408000 mult/sec
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29- (Examen 2005- 2006) Le comportement fréquentiel idéal d'un filtre analogique est présenté sur la figure. On
nous a donné un H(P) qui présente approximativement le même comportement fréquentiel. On remplace P
−1
1−
z
par P = 20 pour obtenir un H(z). Tracez H(e jω ) entre (-π,π).
1
−1
+ z
1
0.8
0.5
|H(jΩ)|
2 5 6
Ω
30- La fonction de transfert d’un filtre Bessel d’ordre 3, donnant un retard de T 0 =1 sec, est la suivante :
15
H ( p)
=
( T p) + 6( T p) + 15( T p) + 15
3 2
0 0 0
Si on trace H ( jω ) , on constate que c’est un filtre passe bas avec ω − 3
≃ 1.75 . On souhaite utiliser un filtre de
Bessel d’ordre 3 mais avec f − 3dB
= 3000 kHz. Quelle est la fonction de transfert correspondant ? Quel sera le
retard de ce filtre ?
Le circuit correspondant à la fonction de transfert ci-dessus est le suivant :
dB
Donner le circuit correspondant pour des charges 50 ohm..
Solution :
C’est une transformation passe-bas passe-bas ω − 3dB
≃ 1.75 doit être transformé en 2π
3000 . Alors
2π
× 3000
ωr
= = 10771
1.75
15
H ( p) = H1( p ) =
p=
p/
ω
3 2
r
⎛ T0 p ⎞ ⎛ T0 p ⎞ ⎛ T0
p ⎞
⎜ 6 15 15
10771
⎟ + ⎜ + +
10771
⎟ ⎜
10771
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
Où T
0
= 1 . Le délai de groupe devient τ
g
= = 92.8µs.
10771
Le circuit est le suivant :
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50 L
V in
C 50
1 C 2
1.255 1
0.192 1
c
1
= × = 2.33µF
, c
1
= × = 0.357µF
,
10771 50
10771 50
0.553 1
L = × = 2.57mH
10771 50
31- Utilisant des intégrateurs, synthétiser la fonction de transfert ci-dessous :
2
p + 2 p + 2
H ( p)
=
2
p + 3p
− 5
Solution : On vérifie d’abord si les pôles sont sur le demi-plan gauche (stabilité). Puis :
2 2
Y p + 2 p + 2 1+ 2 / P + 2 / P
H ( p)
= = =
2 2
X p + 3p − 5 1+ 3 / p − 5 / P
1 ⎧
⎨
1
p ⎩ p
On peut donc écrire : Y = X + 2X − 3Y + [ 2X + 5Y
]
1 U 2X 5Y
p
1
= 2 − 3 + , et Y = X + W .
p
= [ + ] et W { X Y U }
⎫
⎬ . On prend
⎭
Avec ce circuit, on a V
out
1 ⎡ X Y ⎤
= − ⎢ + ⎥ . Si on prend C=100µF, R 1 =5 k et R 2 =2 k, on obtiendra V out =-U.
Cp ⎣ R1 R2
⎦
1 W = 2 X − 3 Y + U
p
On peut aussi construire W : { }
Avec R 1 =5k, R 2 =3.33 k et R 3 =10 k. Pour construire Y, on aura donc
On pourra donc connecter tous les signaux manquants.
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Corrigé
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Diagramme pôle et zéro
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Filtre passe haut
SimulationElectronics workbench
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