TD1: Fourier et applications - IA

Module AMO – année 2013–2014
TD1: Fourier et applications
Formulaire :
cos(p) + cos(q) = 2 cos( p + q
2 ) cos(p − q
2 )
cos(p) − cos(q) = −2 sin( p + q
2 ) sin(p − q
2 )
sin(p) + sin(q) = 2 sin( p + q
2 ) cos(p − q
2 )
sin(p) − sin(q) = 2 sin( p − q
2 ) cos(p + q
2 )
cos(x) =
exp(ix) + exp(−ix)
2
sin(x) =
exp(ix) − exp(−ix)
2i
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)
sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b)
cos(a) cos(b) = 0.5(cos(a + b) + cos(a − b))
sin(a) sin(b) = 0.5(cos(a − b) − cos(a + b))
sin(a) cos(b) = 0.5(sin(a + b) + sin(a − b))
∫ +∞
X(f) : f ↦→ X(f) = x(t) e −i2πft dt
−∞
∫
∫
IP P : u ′ v = [uv] − uv ′
Exercice 1 – Séries de Fourier
1. Soit E, l’espace vectoriel sur C des fonctions continues de [−π, π[ vers C muni du produit
scalaire :
∫ π
〈f, g〉 = f(t) g(t)dt ¯
−π
Montrer que la famille définie par {cos(nx) | n ∈ N} ∪ {sin(nx) | n ∈ N ⋆ } est orthogonale.
Est-ce une base F, l’espace vectoriel des fonctions 2π périodiques ?
Proposer une base orthonormée de F.
2. La serie de fourier associée à une fonction f peut s’écrire : 1 ∞∑
2 a 0 + a n cos(nx) + b n sin(nx) ou
∞∑
n=−∞
c n e inx . Écrire les coefficient c n en fonction des a n et des b n .
3. Montrer que { exp( 2iπkt
T )} , k ∈ {−∞; +∞} forment une base orthonormée de L 2 ([0, T ])
n=1

Module AMO – page 2
Exercice 2 – Transformée de Fourier
1. Démontrer que TF(x(t − τ)) = e −i2πfτ X(f)
2. Démontrer que x paire (resp. impaire) X(f) paire (resp. impaire).
( )
3. Pour des fonctions x satifaisant lim t→±∞ (x(t)) = 0, démontrer que TF dx(t)
dt
= 2iπfX(f)
Qu’est ce que cela signifie graphiquement sur la TF ? Illustrer votre propos sur un exemple.
4. Montrer que
(
dX(f)
df
)
= −2iπT F [t · x(t)].
Exercice 3 – TF usuelles
Calculer les transformées de Fourier suivantes (après avoir dessiné rapidement la forme de la fonction) :
1. Rect ( {
)
t
1 si |t| ≤
1
T , où Rect(t) est la fonction ”Porte” : Rect(t) = 2
0 sinon
2. f(t) = e −a|t|
√ π
|b| e− π2 f 2
b 2 .
3. soit g(t) = e −b2 t 2 , montrer que G(f) =
— Vérifier que g ′ (t) + 2b 2 tx(t) = 0.
— En déduier que G ′ (f) + 2π2 fG(f) = 0, conclure
b 2
4. k(t) = e −at 1 t≥0
5. z(t) = {t si t ∈] − a, a[, 0 sinon}
Exercice 4 – Résolution fréquentielle et fenêtrage
On considère la fonction sinusoïdale x(t) = cos(2πf 0 t) et la fonction porte r(t) = Rect ( t
L)
.
On rappelle que X(f) = 1 2 · [δ(f − f 0) + δ(f + f 0 )].
1. Calculer T F [x(t) · r(t)]
2. Qu’en concluez-vous sur la résolution fréquentielle ?
Exercice 5 – Transformée de Fourier à fenêtre glissante
Rappel : ST F T [x(t)] = X(f, b) = ∫ +∞
−∞
x(t) ¯w(t − b)e−2iπft dt
Reconstruction du signal On considère la fenêtre w ∈ L 2 ; |ŵ| fonction paire et ||w|| 2 = 1.
— Montrer que X(f) = T F [x(t)] = ∫ +∞
−∞
X(f, b)w(t − b)db
— En déduire l’inversibilité de la STFT par sommation des projections (non trivial)
Résolution temporelle vs fréquentielle
On considère le signal 1d suivant : x(t) = cos(2πf 1 t) · Rect((t − 1 f 1
) f 1
2
) + cos(4πf 1 t) · Rect((t − 3 f 1
) f 1
2
).
— Représenter le signal x(t)
— Calculer et représenter les spectogrammes de x(t) pour des fenêtres temporelles disjointes de
4
2
1
1
taille :
f 1
(1 fenêtre),
f 1
(2 fenêtres),
f 1
(4 fenêtres),
2f 1
(8 fenêtres)
— Avec quelles fenêtres précédentes peut-on correctement séparer les deux composantes fréquentielles
en temps et en fréquence ? Quel est ici le meilleur compromis ?