79 inégalités de type faible pour l'opérateur maximal fractionnaire ...

italian journal of pure and applied mathematics – n. 28−2011 (79−90) 79
INÉGALITÉS DE TYPE FAIBLE POUR L’OPÉRATEUR MAXIMAL
FRACTIONNAIRE DANS LES ESPACES DE MORREY
PAR RAPPORT À LA CAPACITÉ DE HAUSDORFF
Modeste Essoh
Ibrahim Fofana
Konin Koua
UFR de Mathématiques et Informatique
Université de Cocody
22 bp 582 Abidjan 22
Côte d’Ivoire
e-mail: birilowe@yahoo.fr
fofana ib math ab@yahoo.fr
kroubla@yahoo.fr
Abstract. We prove a boundedness property for the fractional maximal operator in
the Morrey type spaces with respect to the Hausdorff content. As an application of this
result, we obtain a Fefferman-Stein inequality.
1. Introduction
Soit n un entier positif non nul.
Sauf mention spécifique, α, λ, δ et p sont des nombres réels vérifiant:
0 ≤ α < n ; 0 < δ ≤ n ; 0 ≤ λ ≤ δ ; 1 ≤ p < +∞.
On appellera cube, tout cube Q de R n dont les côtés sont parallèles aux axes
de coordonnées.
Si Q est un cube, alors l(Q) et Q ◦ désignent respectivement la longueur de ses
côtés et son intérieur.
Si E est un sous-ensemble de R n alors |E| est sa mesure de Lebesgue et χ E
sa fonction caractéristique.
Soit E un sous-ensemble de R n .
La δ-capacité de Hausdorff H δ (E) de E est
{ ∑
(1) H δ (E) = inf l(Q) δ , E ⊂ ⋃ }
Q i
(Q i ) i
i
i

80 m. essoh, i. fofana, k. koua
où l’infinimum est pris sur tous les recouvrements dénombrables (Q i ) i de E, Q i
étant un cube pour tout i.
Si dans l’expression (1) on prend l’infinimum sur tous les recouvrements
dénombrables de E par des cubes dyadiques, on obtient la δ-capacité dyadique de
Hausdorff H△(E) δ de E.
Soit f une fonction localement intégrable de R n .
• La fonction maximale fractionnaire d’ordre α de f est
∫
1
M α f(x) = sup |f(y)|dy
Q |Q| 1− α n Q
Q∋x
où le supremum est pris sur tous les cubes Q contenant x.
Bien entendu, lorsque α = 0, M 0 = M est l’opérateur maximal de Hardy-
Littlewood.
• On rappelle que f appartient à l’espace de Morrey classique L p,λ (dx) si et
seulement si la quantité
[
‖f‖ L p,λ (dx) = sup
Q
1
l(Q) λ ∫Q
] 1
|f(y)| p p
dy est finie ;
et f appartient à l’espace de Morrey de type faible L p,λ
∗ (dx) si et seulement si la
quantité
‖f‖ L
p,λ
∗
(dx) = sup
t>0
Q
t [| {x ∈ R n / |f(x)| > t} ∩ Q|] 1 −λ
p l(Q)
p
est finie.
Par analogie, on dit que f appartient à l’espace faible de Morrey L p,λ (H δ ) par
rapport à la δ-capacité de Hausdorff, si et seulement si la quantité
‖f‖ L
p,λ
∗
(H δ ) = sup
t>0
Q
t [ H δ ({x ∈ R n / |f(x)| > t} ∩ Q} ] 1 p
l(Q) −λ
p
est finie.
On remarquera que L p,0 (H δ ) et L p,0
∗ (H δ ) sont respectivement l’espace (fort)
de Lebesgue L p (H δ ) et l’espace faible de Lebesgue L p ∗(H δ ) par rapport à la δ-
capacité de Hausdorff étudiés par de nombreux auteurs comme D.R. Adams ([1]
et [2] par exemple), J. Orobitg et J. Verdera ([6] par exemple).
Enfin C désigne une constante dont la valeur peut changer d’une proposition
à une autre.
Dans [5], Kuznetsov a montré l’inégalité suivante:
( ∞
) 1
p
∑
(2)
(M α f i ) p ∥ ≤ C
p ∞∑
‖f i ‖ L
∥
p − 1
1 (dx),
i=1
∥
L 1 ∗ (H n−α )
où {f i } i est une famille de fonctons et 1 < p < +∞.
i=1

inégalités de type faible pour l’opérateur maximal fractionnaire...81
(3)
Dans la preuve de (2), l’inégalité suivante de type Fefferman-Stein:
( ∞
) 1
p
∑
f p i ∥ ≤ C
p ∞∑
‖f i ‖
∥
p − 1
L 1 ∗ (H δ )
i=1
∥
L 1 ∗ (H δ )
i=1
a joué un role central. En effet dans [2], D.R. Adams a montré que pour toute
fonction f et δ ≥ d (n − α) on a l’inégalité
n
(4) ‖M α f‖
Il est clair que (4) équivaut à
(5) ‖M α f‖
δ
n−α
L∗ (H δ )
δ
n−α
L∗ (H δ )
≤ C‖f‖ L
d
n (H d ) .
≤ C‖f‖ L 1 (dx) avec δ ≥ n − α.
Il suffit de prendre dans (4) d = n pour avoir (5).
Réciproquement, comme pour toute fonction positive f et tout réel d tel que
0 < d ≤ n on a
∫
R n f(x)dx ≤ n d
(∫
R n f d n dH
d
(voir [6], Lemme 3), de (5) on obtient (4) car d n ≤ 1.
En prenant δ = n − α et en écrivant (3) pour M α f i au lieu de f i puis en
utilisant (5), on obtient (2).
L’inégalité (5) exprime le fait que: si une fonction f appartient à l’espace
de Lebesgue L 1 (dx) alors sa fonction maximale fractionnaire M α f appartient à
l’espace L 1,0
∗ (H δ ).
Celà nous amène à la question suivante: à quelle classe de fonctions appartient
la fonction maximale fractionnaire M α f lorsque f appartient à l’espace de Morrey
L 1,λ (dx)
Remarquons qu’il existe bien des fonctions appartenant à L 1,λ (dx) mais qui
n’appartiennent pas à L 1 (dx). Il suffit, par exemple, de considérer la fonction
) n
d
f(x) =
n∏
|x i | λ n −1 .
i=1
Le théorème 1 suivant donne une réponse à cette question.
Théorème 1. Supposons que 0 ≤ α < n, δ ≥ λ ≥ 0, δ ≥ n − α et posons
µ = λ (n − α). Alors il existe une constante C > 0 telle que pour toute fonction
δ
f ∈ L 1,µ (dx) on ait
‖M α f‖ δ ≤ C‖f‖ L 1,µ (dx).
n−α
L
,λ
∗ (H δ )
Le théorème suivant généralise l’inégalité (2).

82 m. essoh, i. fofana, k. koua
Théorème 2. Soient 0 ≤ α < n, λ ≤ δ = n − α et 1 < p < +∞. Alors il existe
une constante C > 0 telle que pour toutes fonctions {f i } i=1, ..., ∞ , on ait
( ∞
) 1
p
∑
(M α f i ) p ∥ ≤ C
p ∞∑
‖f i ‖
∥
p − 1
L (dx).
1,λ
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ )
Il s’obtient par une argumentation similaire à la preuve de l’inégalité (2) figurant
dans [5], moyennant l’utilisation de la généralisation suivante de l’inégalité (3).
Théorème 3. Soient 1 < p < +∞, 0 < δ ≤ n, 0 ≤ λ ≤ n et soit {f i } i=1, ..., ∞ des
∞∑
fonctions positives telles que ‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ )
< ∞. Alors il existe une constante
i=1
C > 0 indépendante des f i telle que:
( ∞
) 1
p
∑
f p i ∥
∥
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ )
≤ C
p
p − 1
∞∑
i=1
i=1
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ ) .
2. Preuve du Théorème 1
Afin de prouver ce théorème, on montre d’abord le lemme suivant:
Lemme 1. Soient Q et P deux cubes vérifiant:
◦
⌢
Alors Q ⊂ 9P ou 3P ⊂ 3Q.
◦
◦ ⌢
Q ∩ 3P = ∅ et (3P ) ∩ Q ≠ ∅.
Preuve. Supposons que l(3P ) ≥ l(Q). Alors Q ⊂ 3(3P ) = 9P.
Supposons maintenant que l(3P ) < l(Q). Soit u un élément de l’intersection
des frontières des cubes 3P et Q. ∀k ∈ {1, 2, ..., n} , on a
|x P,k − u k | ≤ l(3P ) et |u
2 k − x Q,k | ≤ l(Q)
2
où x P,k et x Q,k sont les k-ièmes coordonnées respectives des centres x P et x Q des
cubes P et Q. Donc
|x P,k − x Q,k | ≤ l(3P )
2
Soit x ∈ 3P . On a:
c’est à dire x ∈ 3Q. D’où 3P ⊂
+ 1 l(Q) < l(Q).
2
|x k − x Q,k | ≤ |x k − x P,k | + |x P,k − x Q,k |
< l(3P ) + l(Q) < l(3Q)
2 2
◦
⌢
3Q.
Rappelons également quelques propriétés de la capacité de Hausdorff essentielles
dans la preuve du Théorème 1.

inégalités de type faible pour l’opérateur maximal fractionnaire...83
Proposition 1. (voir [1] page 117) Soit 0 < δ ≤ n.
P1: H δ △ et H δ sont comparables c’est-à-dire qu’il existe des constantes A et B
telles que
H δ △(E) ≤ AH δ (E) ≤ BH δ △(E)
pour tout E ⊂ R n .
P2: H δ △ est continue pour les suites croissantes c’est-à-dire si (E j ) j est une suite
croissante de sous-ensembles de R n telle que E = ∪E j alors
lim
j→∞ Hδ △(E j ) = H△(E).
δ
Preuve du Théorème 1. Soit Q un cube de R n . Fixons t > 0 et posons
Ω t = {x ∈ Q/M α f(x) > t} = Q ∩ {x ∈ R n /M α f(x) > t}
Étape 1: Soit k l’unique entier de Z tel que 2 −k−1 < l(Q) ≤ 2 −k . Alors Q rencontre
au moins un cube et au plus 2 n cubes dyadiques d’ordre k. Plus
précisément, on a: Q ⊂ ∪ Q j avec card(J) ≤ 2 n , où les Q j sont des cubes
j∈J
dyadiques d’ordre k rencontrant Q et Q ⊂ 3Q j .
Posons maintenant, pour tout j ∈ J, Ω j t = {x ∈ Q j /M α f(x) > t} . On a:
D’où Ω t ⊂ ∪
j∈J
Ω j t et donc
x ∈ Ω t ⇔ x ∈ Q et M α f(x) > t
⇒
∃j ∈ J, x ∈ Q j , M α f(x) > t
⇒ ∃j ∈ J, x ∈ Ω j t.
H δ (Ω t ) ≤ ∑ j∈J
H δ (Ω j t).
Soit j 0 un élément de J pour lequel H δ (Ω j 0
t ) réalise le maximum des H δ (Ω j t).
Ainsi donc H δ (Ω t ) ≤ 2 n H δ (Ω j 0
t ) avec l(Q) < l(Q j0 ) ≤ 2l(Q). D’où
t [ H δ (Q ∩ {x ∈ R n /M α f(x) > t}) ] n−α
δ
≤ 2
n−α
(n+λ)( δ
n−α
−λ
l(Q) δ
) t [ H δ (Q j0 ∩ {x ∈ R n /M α f(x) > t}) ] n−α
δ
n−α
−λ
l(Q j0 ) δ .
Pour cette raison on peut supposer dans la suite que le cube Q est dyadique.
Étape 2: Supposons que f est bornée et à support compact.
Il existe alors une famille {Q i } i∈I de cubes dyadiques maximaux (pour
l’inclusion) vérifiant:
pour tout i ∈ I
∫
1
|f(y)|dy > C
|Q i | 1− α n,α t
n Q i
et {x ∈ R n /M α f(x) > t} ⊂ ⋃ i∈I
3Q i

84 m. essoh, i. fofana, k. koua
(voir [4], page 137 et [3] Lemme 2-1 ) où C n,α = 2 α−2n est une constante qui
ne dépend pas de f.
Alors tout cube Q i de la famille {Q i } i∈I est tel que:
(6)
On a:
l(Q) ≤
( ∫ ) 1
1
n−α
|f(y)|dy .
C n,α t Q i
Par suite
Ω t = Q ∩ {x ∈ R n /M α f(x) > t} ⊂ ∪ (3Q i ) ∩ Q
i∈I
⊂
⋃
(3Q i ∩ Q) ∪ ⋃
(3Q i ∩ Q) ∪
⋃
(3Q i ∩ Q)
Q i Q
Q⊂Q i
⊂
∪
Ω t ⊂ ⋃
∪
⊂
∪
⋃
Q i Q
⋃
◦
◦ ⌢
Q∩3Q i =∅
◦
Q∩Q ◦ i =∅
Q i Q
(3Q i ∩ Q) ∪ ⋃
(3Q i ∩ Q) ∪ ⋃
(3Q i ∩ Q) ∪ ⋃
⋃
◦
◦ ⌢
Q∩3Q i ≠∅, l(3Q i )

inégalités de type faible pour l’opérateur maximal fractionnaire...85
Par le Lemme 1, on obtient
Ω t ⊂
⋃
3Q i ⊂3Q
3Q i ∪
⋃
Q⊂9Q i
3Q i .
Supposons qu’il existe i 0 tel que Q ⊂ 9Q i0 . Comme Ω t ⊂ Q, on a:
H δ (Ω t ) ≤ l(Q) δ
H δ (Ω t )l(Q) −λ ≤ l(Q) δ−λ ≤ 9 δ−λ l(Q i0 ) δ−λ ,
et par suite, d’après l’inégalité (6),
H δ (Ω t )l(Q) −λ ≤ 9 δ−λ l(Q i0 ) −λ (C n,α t) − δ
n−α
( ∫
Q i0
|f(y)|dy
) δ
n−α
,
c’est-à-dire:
t [ H δ (Ω t ) ] n−α
δ
n−α
−λ
l(Q) δ ≤ C
[
∫
1
l(Q i0 ) µ
Supposons que {i/ Q ⊂ 9Q i } = ∅. Alors Ω t ⊂ ⋃
utilisant l’inégalité (6) et ensuite
H δ (Ω t ) ≤ 3 δ ∑
t [ H δ (Ω t ) ] n−α
δ
Dans tous les cas on a
3Q i ⊂3Q
δ
n − α
l(Q i ) δ
≤ 3 δ (C n,α t) − δ
n−α
≤ 3 δ (C n,α t) − δ
n−α
≤ 3 δ (C n,α t) − δ
n−α
≤ 3 δ (C n,α t) − δ
n−α
Q i0
|f(y)|dy
3Q i ⊂3Q
≥ 1, on obtient:
∑
3Q i ⊂3Q
( ∑
⎛
∫
⎝
(∫
3Q i ⊂3Q
[
n−α
−λ
l(Q) δ ≤ C
(∫
∫
∪
3Q i ⊂3Q Q i
|f(y)|dy
3Q
1
Q i
|f(y)|dy
Q i
|f(y)|dy
|f(y)|dy⎠
l(3Q) µ ∫3Q
]
.
3Q i et donc, en
) δ
n−α
) δ
n−α
⎞
) δ
n−α
.
δ
n−α
]
|f(y)|dy .
(7)
t [ H δ (Ω t ) ] n−α
δ
n−α
−λ
l(Q) δ ≤ C‖f‖ L 1,µ (dx).

86 m. essoh, i. fofana, k. koua
Étape 3: Revenons au cas général où f est une fonction localement intégrable.
Posons pour tout entier positif non nul k,
f k = min{k, |f|χ B(0,k) } et Ω k,t = {x ∈ Q, M α f k (x) > t} ,
où B(0, k) est la boule de centre 0 et de rayon k. On a:
f k ↑ |f| et Ω k,t ↑ ∪ k Ω k,t = Ω t .
De plus, (7) est vraie pour f = f k et Ω t = Ω k,t et on a
t [ H δ (Ω k,t ) ] n−α
δ
n−α
−λ
l(Q) δ ≤ C‖f k ‖ L 1,µ (dx) ≤ C‖f‖ L 1,µ (dx).
En vertu de la Proposition 1, H δ △ et H δ sont comparables et
Par conséquent,
lim
k→+∞ Hδ △(Ω k,t ) = H△(Ω δ t ).
t [ H δ (Ω t ) ] n−α
δ
n−α
−λ
l(Q) δ ≤ A −1 Bt [ H△(Ω δ t ) ] n−α
n−α
δ −λ
l(Q) δ
[
= A −1 Bt lim H
δ
△ (Ω k,t ) ] n−α
n−α
δ −λ
l(Q) δ
k→∞
≤
≤
[
A −1 BAt lim H δ (Ω k,t ) ] n−α
n−α
δ −λ
l(Q) δ
k→∞
A −1 BAC‖f‖ L 1,µ (dx).
D’où
‖M α f‖
δ
n−α
L
,λ
∗ (H δ )
≤ C‖f‖ L 1,µ (dx).
3. Preuve des Théorèmes 3 et 2
La démonstration reprend dans les grandes lignes la preuve du Corollaire 5.2.3 de
[5] avec quelques aménagements.
Preuve du Théorème 3. Nous montrons ce résultat pour H δ △ au lieu de H δ
puisque H δ △ et H δ sont comparables.
• Soit N un entier positif, on suppose que
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H△) δ
:= sup H△ δ ({x ∈ R n /|f i (x)| > t} ∩ Q) l(Q) −λ = 1
t>0
Q
pour tout i = 1, . . . , N et {α i } i=1, ..., N des nombres réels positifs tels que
N∑
α i = 1.
i=1

inégalités de type faible pour l’opérateur maximal fractionnaire...87
On montre qu’il existe une constante C indépendante des f i telle que
(8)
( N
) 1
p
∑
(α i f i ) p ∥
∥
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ △)
En effet, (8) est trivial pour N = 1.
Si N ≥ 2, on pose
(
∑ N
F = (α i f i ) p )
i=1
≤ C
p
p − 1 .
) 1
p
Pour tout cube Q et pour tout t > 0, on considère les ensembles
Ω t,i = {x ∈ Q; α i f i (x) > t} ∀ i,
{
}
N⋃
˜Ω t = x ∈ Q\ Ω t,i / F (x) > t
˜Ω t,i =
i=1
{
x ∈ Q; t ≥ α i f i (x) >
.
t
N 1 p
et
}
∀ i.
On a
Et
{x ∈ Q / F (x) > t} ⊂
˜Ω t
⊂
(
⋃ N
)
Ω t,i ∪ ˜Ω t et
i=1
N⋃
˜Ω t,i .
i=1
(9)
tH δ △ ({x ∈ Q\ F (x) > t}) l(Q) −λ
≤ tH δ △
≤ tH δ △
(˜Ωt
)
l(Q) −λ +
N∑
i=1
(˜Ωt
)
l(Q) −λ + 1.
α i ‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △)
(10)
H δ △
(˜Ωt
)
≤
≤
H δ △
N∑
i=1
(
⋃ N
)
˜Ω t,i
i=1
H δ △
({
x ∈ Q; α i f i (x) >
t
N 1 p
})
≤
N 1 p
t l(Q)λ .

88 m. essoh, i. fofana, k. koua
Puisque F (x) > t pour tout x ∈ ˜Ω t , on a
) ∫ +∞
({
t p H△
(˜Ωt δ ≤ H△ δ x ∈ Q / F (x) (x) > s }) ds
pχ˜Ωt
∫0
:= (F (x)) p (x)dH χ˜Ωt △
δ
(11)
≤
C
Q
N∑
∫
i=1
Q
(α i f i (x)) p χ˜Ωt
(x)dH δ △.
Comme pour tout x ∈ ˜Ω t α i f i (x) ≤ t, on a:
∫
∫ t p
(α i f i (x)) p ({
(x)dH χ˜Ωt △ δ = H△ δ x ∈ Q / (αi f i (x)) p (x) > s }) ds
χ˜Ωt
Q
≤
0
∫ t p
αi 1
N p
H△
δ
0
∫ t p
+
t
α p
i 1
N p
(˜Ωt
)
H δ △ ({x ∈ Q / (α i f i (x)) p > s}) ds
≤ C α i t p−1 p
p − 1 l(Q)λ d’après (10).
En utilisant (9) et l’inégalité ci-dessus on obtient:
tH△ δ ({x ∈ Q / F (x) > t}) ≤ C
p
p − 1 .
D’où
Supposons maintenant que
∥ ∥∥∥∥∥ (
∑ N
) 1
p
(α i f i ) p ∥
i=1
En considérant les fonctions
et les réels
on a d’après ce qui précède que
( N
) 1
p
∑
f p i ∥
∥
i=1
N∑
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ △)
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △) < ∞.
f i
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △)
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △)
N∑
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ △)
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △)
≤ C
p
p − 1
≤ C
p
p − 1 .
,
N∑
i=1
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △) .

inégalités de type faible pour l’opérateur maximal fractionnaire...89
• Pour le cas général où
∞∑
i=1
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ )
< ∞, on a
( N
) 1
p
∑
g N = (f i ) p
i=1
( +∞
) 1
p
∑
↑ (f i ) p
i=1
= g.
La propriété P2 de la Proposition 1 assure que
tH δ △ ({x ∈ Q / g(x) > t}) l(Q) −λ = lim
N→+∞ tHδ △ ({x ∈ Q / g N (x) > t}) l(Q) −λ
≤
≤
lim
N→+∞ ‖g N‖ L
1,λ
∗ (H δ △)
lim C p
N→+∞ p − 1
N∑
i=1
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △) .
Et donc
∥ ∥∥∥∥∥ ( ∞
∑
i=1
f p i
) 1
p
∥
∥
L
1,λ
∗ (H δ △)
≤ C
p
p − 1
∞∑
i=1
‖f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ △) .
Preuve du théorème 2. Sous les hypothèses du Théorème 2, le Théorème 3
donne pour tout i,
‖M α f i ‖ L
1,λ
∗ (H δ ) ≤ C‖f i‖ L (dx).
1,λ
Et,
( ∞
) 1
p
∑
(M α f i ) p ∥ ≤ C p ∞∑
‖M α f i ‖
∥
p − 1
L 1,λ (dx)
i=1
∥
L
1,λ
∗ (H δ )
≤ C p
p − 1
i=1
∞∑
‖f i ‖ L (dx).
1,λ
i=1
Il est clair que, pour λ = 0, on obtient l’inégalité (2).
References
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in Math., 1302, Springer–Verlag, 1988, 115-184.
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no. 1, 3-66.

90 m. essoh, i. fofana, k. koua
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Department of Mathematic Lule ◦ a; University of Technology SE–97187 Lule ◦ a;
Sweden.
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the Hardy-Littlewood maximal operator, Bull. London Math. Soc., 30
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Accepted: 09.04.2009