ANALYSE FONCTIONNELLE : séance 2

Analyse Fonctionnelle 1
ANALYSE FONCTIONNELLE : séance 2
ECP 3 ème année
Option Mathématiques appliquées
Introduction aux espaces de Hilbert.
Objectifs
Programme de la séance 2
• Espace normé, espace préhilbertien, espace de Banach et de Hilbert.
• Le théorème de projection sur un convexe fermé. Projection sur un sous espace fermé ; si V ⊂ H
est fermé, alors H = V ⊕ V ⊥ .
• Le théorème de Riesz, l’existence d’une base dans un espace de Hilbert séparable.
• Introduction à la convergence faible.
Exercices corrigés en cours
Question 1
Théorème de Riesz : version constructive.
Soit H un espace de Hilbert séparable et L(v) une forme linéaire continue sur H. On veut montrer
qu’il existe u ∈ H, unique, tel que
∀v ∈ H 〈u, v〉 = L(v)
• En utilisant l’existence d’une base orthonormée (e k , k = 1, ..., ∞), montrer que
u = ∑ k
L(e k )e k
si la série converge.
• Montrer ł’inégalité de Bessel : si u N = ∑ N
k=1 L(e k)e k alors
En déduire
et donc la convergence de la série ∑ k L(e k)e k .
‖u N ‖ ≤ ‖L‖
∑
L(e k ) 2 < +∞
k
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Option Mathématiques Appliquées

Analyse Fonctionnelle 2
Question 2
Convergence faible des séries de Fourier
Soit V 0 l’espace des fonctions continue 2π périodiques et V 1 = C 1 (R) ∩ V 0 , ces deux espaces étant
muni du produit scalaire de L 2 ([0, 2π])
〈u, v〉 =
∫ 2π
0
uv dx
On définit pour u ∈ V 0
c k (u) = 1 ∫ 2π
2π 0
Et
Rappel : pour u ∈ V 1 on montre que
S N (u)(x) =
u(x) exp (−ikx) dx
N∑
k=−N
c k exp (ikx)
lim ‖S N(u) − u‖ ∞ = 0
N→∞
mais ce résultat est faux pour u ∈ V 0 .
• Montrer que pour u ∈ V 0 et v ∈ V 1 , 〈S N (u), v〉 converge vers 〈u, v〉.
• Montrer que pour u ∈ V 0 que la suite S n (u) est bornée (pour produit le scalaire de L 2 ([0, 2π])) et
en déduire que S n (u) converge faiblement vers u dans l’espace préhilbertien V 0 .
(En fait il serait plus simple de se placer dans L 2 ([0, 2π]), mais nous ne l’avons pas encore introduit !)
Exercices
Question 3
Base orthogonale
On considère l’espace préhilbertien V des fonctions continues C 1 par morceaux sur [0, 1] muni du
produit scalaire
〈u, v〉 =
∫ 1
0
u ′ v ′ dx
On considère la fonction φ(x) définie sur R par φ(x) = 1 − |x| si x ∈ [−1, 1] et 0 sinon. Nous
définissons sur [0, 1] les fonctions ψ k,n pour n ∈ N et 0 ≤ k ≤ 2 n − 1 par
ψ k,n (x) = φ(2 n+1 (x − 2k + 1 ))
2n+1 • Montrer que les fonctions ψ k,n forment une base orthogonale de V .
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Option Mathématiques Appliquées

Analyse Fonctionnelle 3
Question 4
Théorème de Lax-Milgram
On veut démontrer
Théorème 1 Soit H un espace de Hilbert, de produit scalaire 〈·, ·〉. Soit a(u, v) une forme bilinéaire
continue (i.e. ∃M / |a(u, v)| ≤ M‖u‖‖v‖) et coercive (i.e. ∃α < 0 / |a(u, u)| ≥ α‖u‖ 2 ), L(v) une
forme linéaire continue. Il existe u ∈ H unique tel que
• Montrer que il existe b ∈ H tel que
∀v ∈ H a(u, v) = L(v)
∀v ∈ H 〈b, v〉 = L(v)
• Montrer qu’il existe une application linéaire T (u) de H dans lui-même telle que
∀u, v ∈ H a(u, v) = 〈T (u), v〉
Pour achever la démonstration nous allons montrer que l’équation T (u) = b admet une solution,
autrement dit que T est surjective. On va utiliser un argument de point fixe appliqué à
u → f(u) = u − ρ(T (u) − b)
• Montrer que l’application u → T (u) est continue et fortement monotone
∀u ∈ H 〈T (u), u〉 ≥ α‖u‖ 2
• Calculer 〈f(u) − f(v), f(u) − f(v)〉 et en déduire que, pour ρ assez petit, l’application f(u) est
lipschitzienne de constante k < 1 pour la norme ‖v‖ = √ 〈v, v〉. En déduire le résultat.
• Application (résumée) : L’équation de convection diffusion
{
−k ∆u + c ∇ . (uV ⃗ ) = f sur Ω
u = 0
sur ∂Ω
(1)
On pose ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
a 0 (u, v) =
b(u, v) =
L(v) =
L’équation de convection diffusion est équivalente 1 à
∫
∫
∫
Ω
Ω
Ω
k ∇u ∇v dΩ
c ∇ . (u ⃗ V )v dΩ
fv dΩ
u ∈ H 1 0 (Ω) et ∀v ∈ H 1 0 (Ω) a 0 (u, v) + b(u, v) = L(v) (3)
On montre par Stokes que b(v, v) = 0. Les conditions d’application du théorème de Lax-Milgram
sont vérifiées sur H 1 0 (Ω) avec a(u, v) = a 0(u, v) + b(u, v).
1. Rappel : Tout est simple dans le cadre de C 1 0 (Ω), mais comme cet espace n’est pas complet pour la norme ‖v‖ H 1
0
=
‖∇v‖ 2, il faut se placer dans le complété H 1 0 (Ω) de C 1 0 (Ω) pour cette norme, espace beaucoup plus problématique que
nous définirons à la séance 4. Pour la continuité de b(u, v) on a besoin de l’inégalité de Poincaré : ‖v‖ 2 ≤ Cte‖∇v‖ 2.
(2)
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Option Mathématiques Appliquées

Analyse Fonctionnelle 4
Question 5
Une interprétation de la convergence faible
Soit H un espace de Hilbert muni de la norme du produit scalaire. Rappelons que, par définition, si
r n est une suite de nombres réels
lim inf r n = lim inf r n
p n>p
Soit x n ∈ H une suite qui converge faiblement vers un point x.
• Soit V i une suite croissante de sous-espaces dont la réunion est dense dans H et Π i la projection
orthogonale sur V i . Montrer que x est la limite forte de Π i (x) quand i → ∞ et que Π i (x) est la limite
forte de la suite Π i (x n ) quand n → ∞.
• Montrer que si une suite x n ∈ H converge faiblement, sa limite faible x est caractérisée par la
propriété
∀y ∈ H, lim inf ‖x − x n ‖ < lim inf ‖y − x n ‖
(Indic. : Exprimer ‖y − x n ‖ 2 ).
Pour une application voir le contrôle 2006, question 3.
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