BIMA - Examen session 2 - IA

Bases de l’imagerie
Spécialité IMAgerie
BIMA - Examen session 2
30 Janvier 2012
Le barème, sur 40, donné à titre indicatif, est susceptible d’être modifié. Aucun document ni machine électronique
ne sont autorisés. Durée de l’examen : 2h.
Exercice 1 — Questions de cours (8 points)
1. Quel est le critère optimisé dans le SVM Est ce le même que dans la LDA (3 lignes max).
2. Donner une méthode pour déterminer l’orientation du texte sur une image de document où le texte est
supposé écrit selon une direction unique (3 lignes max).
3. Le descripteur SIFT est-il invariant à la rotation Justifier (3 lignes max).
4. Quel est l’intérêt de la représentation couleur dans l’espace HSV par rapport à l’espace RGB (2 lignes
max).
Exercice 2 — Traitement d’images (10 points)
On considère l’image ci-dessous :
1. Quel est le nombre P de pixels dans l’image I Quel est le niveau de gris minimal k min et le niveau de
gris maximal k max Quelle est la dynamique L de l’image
2. Calculer et tracer l’histogramme de cette image, pour les valeurs de k ∈ {k min ; k max }.
3. Calculer et tracer l’histogramme cumulé H c (k).
4. On considère le filtre dérivatif ⎡ de Sobel, ⎤de réponse⎡impulsionnelle définie ⎤ par les masques de convolution
1 0 −1
1 2 1
discrets suivants : S x = ⎣ 2 0 −2 ⎦ et S y = ⎣ 0 0 0 ⎦. Donner le résultat du filtrage de
1 0 −1
−1 −2 −1
l’image par ces masques.
N.B. : on suppose ici qu’on effetue un padding ”miroir” avant l’application du filtre.
5. Proposer une méthode pour isoler chacune des zones homogène dans l’image de départ.
Université Pierre et Marie Curie 1 Master 1 Informatique

Exercice 3 — Filtrage spatial et fréquentiel (8 points)
On considère les 4 filtres discrets f i,i∈{1;4} , suivants définis par leurs réponses impulsionnelles h i,i∈{1;4} :
⎛
⎝
h 1 h 2
⎞
⎛
0 1 0
1 −4 1
0 1 0
⎠
⎜
⎝
1.1 1 4.5 −15.1 −18 5.9 21.7
10.4 4.6 −15.4 −18.6 6.2 23 5.9
4.5 −15.4 −18.8 6.4 23.9 6.2 −18
−15.1 −18.6 6.4 24.2 6.4 −18.6 −15.1
−18 6.2 23.9 6.4 −18.8 −15.4 4.5
5.9 23 6.2 −18.6 −15.4 4.6 10.74
21.7 5.9 −18 −15.1 4.5 10.4 1.1
⎞
⎟
⎠
1
9
⎛
⎜
⎝
h 3
⎞
h 4
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
0.0020 0.0239 0.1072 0.1768 0.1072 0.0239 0.0020
0.0239 0.2915 1.3064 2.1539 1.3064 0.2915 0.0239
0.1072 1.3064 5.8550 9.6532 5.8550 1.3064 0.1072
0.1768 2.1539 9.6532 15.9155 9.6532 2.1539 0.1768
0.1072 1.3064 5.8550 9.6532 5.8550 1.3064 0.1072
0.0239 0.2915 1.3064 2.1539 1.3064 0.2915 0.0239
0.0020 0.0239 0.1072 0.1768 0.1072 0.0239 0.0020
⎞
⎟
⎠
Les fonctions de transfert H j,j∈{1;4} , i.e. les transformées de Fourier de la réponse impulsionnelle de chacun
des filtres, sont données (dans le désordre) ci-dessous :
H 1 H 2 H 3 H 4
Pour chacun des quatre filtres :
1. Associer, en le justifiant, h i à H j et donner le nom de filtre.
2. Préciser le type de filtrage fréquentiel effectué (e.g. passe-bas). Le filtrage est-il idéal Justifier.
2

Exercice 4 — Convolution et Matrices de Toeplitz (8 points)
On considère un signal 1d discret de taille n : x(k) k∈{0;n} . On veut convoluer ce signal par un filtre dont le
symétrique de la réponse impulsionnelle est h, de taille d = 2t + 1 impaire. On rappelle que la formule de la
convolution qui produit y à partir d’un signal x et d’un masque h, est la suivante :
y(k) =
t∑
x(k + l)h(l) (1)
1. Expliciter y(0).
N.B. : on supposera qu’on effectue ici du zero-padding, i.e. x(l) = 0 pour l < 0.
l=−t
2. Montrer que y(0) peut être calculé comme y(0) = x p × c, avec :
– x p est un vecteur ligne de taille 1 × n + 2t, dans lesquelles les valeurs du vecteur x sont bordés de t 0
(à gauche et à droite).
– c est un vecteur colonne de taille n + 2t × 1, à expliciter.
3. Généralisation : montrer que le kème élément y(k) peut s’écrire y(k) = x p × c k , où c k est un vecteur
colonne de taillee n + 2t × 1, à expliciter.
4. Montrer que le vecteur global résultant de la convolution du signal x par le filtre de réponse impulsionnelle
h peut s’écrire : y = x p × T , où T est une matrice de taille n + 2t, n. Expliciter T .
– La matrice T est appelée matrice de Toeplitz. Elle permet d’effectuer le calcul de produit de convolution
par un produit matriciel. Expliquer l’intéret de cette formulation.
Exercice 5 — Pyramides multi-résolution et Aliasing (6 points)
On considère la fonction 2D suivante (sinus cardinal 2D) :
sinc 2d (x, y) = sin(2πf ox)
2πf o x
· sin(2πf oy)
2πf o y
( ) (
La transformée de Fourier de sinc 2d (x, y) s’écrit : T F [sinc 2d (x, y)] = S(u, v) = 1
u
Rect
f0 2 2f o
Rect
Rappel : la fonction Rect(t) est la fonction ”Porte” :
v
2f o
).
(2)
Rect(t) =
1. sinc 2d (x, y) est-il un signal à bande limitée
(a) Quelle est sa fréquence de coupure
(b) Représenter graphiquement S(u, v).
2. On échantillonne sinc 2d avec f e = f o .
{
1 si |t| ≤
1
2
0 sinon
(a) Le signal est-il échantillonné de sorte à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation (théorème
de Shannon)
(b) Quelle est la fréquence de coupure limite f l e
(c) Représenter graphiquement le spectre du signal échantillonné pour f e = 4f o .
(3)
3