diffusion de phonons par des impuretes - Université Mouloud ...

10 ième Congrès de Mécanique Oujda, 19-22 Avril 2011
Propriétés de propagation des phonons dans un guide d’ondes quasi-plan comportant des
impuretés interstitielles
M. S. RABIA
Laboratoire de Mécanique, Structure et Energétique,
Université Mouloud Mammeri, Tizi-Ouzou 15000, Algérie.
E-mail : msrabia@mail.ummto.dz
Thème 1
1. Introduction
La présence de défauts réticulaires dans les structures
cristallines affecte substantiellement leurs propriétés
dynamiques, thermodynamiques et cinétiques. Les
phénomènes de résonance induits dans l’étude de telles
structures désordonnées par la diffusion d’ondes élastiques
présente un intérêt considérable du fait que les effets
produits peuvent être observés expérimentalement.
Plusieurs chercheurs [1-8] s’y sont investis, depuis les
années 80, pour comprendre principalement le rôle joué par
le désordre sur les phénomènes de diffusion et de
localisation. Les applications qui en résultent sont
nombreuses, notamment en métallurgie et en électronique.
Dans ce travail, nous analysons le comportement
d’une onde de vibration se propageant dans une double
chaîne atomique comportant deux défauts interstitiels. En
se basant sur la méthode de Landauer pour traiter le
transport électronique, nous nous intéressons en particulier
aux parties transmise et réfléchie de l’onde incidente, aux
déplacements des atomes irréductibles de la région
perturbée et à leur évolution en fonction de la masse de
l’impureté, des constantes de force de liaison avec le réseau
et de la distances séparant les défauts. Le traitement
numérique du problème fait appel à la technique de
raccordement [9,10] dans le cadre de l’approximation
harmonique [11] en utilisant des conditions aux limites de
diffusion.
2. Principe de la méthode
Initiée par Feuchtwang en 1967 puis revisitée par Szeftel et
al. en 1987, la méthode de raccordement a été introduite
pour le calcul de la section de diffusion aux
inhomogénéités. Aussi, elle rend compte de façon
satisfaisante des courbes de dispersion des phonons [9] et
de résonances de surface ; elle permet une analyse plus
transparente du comportement des déplacements au
voisinage de singularités de Van Hove. Son exécution
requiert la subdivision du cristal en trois régions distinctes
G, M et D (Fig. 1) ayant toutes la même périodicité
bidimensionnelle le long de la surface. Comme son nom
l’indique, cette méthode permet de relier les déplacements
des atomes du défaut à ceux des régions parfaites via les
atomes des frontières.
Dans un premier temps, nous étudions les
propriétés dynamiques du réseau parfait. Nous
introduirons, ensuite, les équations régissant la diffusion en
présence de défauts.
2.1 Dynamique du réseau d’onde parfait
La méthode de raccordement a été décrite en détails dans
les références [6,8-10]. Nous reprenons juste les étapes
nécessaires à la compréhension de l’analyse des résultats.
L’équation du mouvement d’un atome localisé au site (l )
est donnée, dans le cadre de l’approximation harmonique
[11], par l’expression :
�
2
m
�l �
u
� 2 �
� �l,
� � �
� �
� � �
�
� � � 2 � � 2 �
�� l,
l'
�u
� , � � � ',
�
2 � l � u�
l � �
� � � � ��
� k
l'�l
�
r
d
r
où � et � indiquent les directions du plan ; m( l)
� m
désigne la masse de l’atome du site (l ) ; r � est la
composante du vecteur position relative entre les
sites (l) et (l ')
, d la distance les séparant et k �l,l '�
la
constante de force de liaison entre les atomes des deux
sites.
y
Onde Onde
�
Onde
Incident réfléchie
transmis
e e
e
-2 -1 0 N N+1….
(G) (M) (D)
Régions de raccordement
Fig. 1 : Guide d’onde quasi-bidimensionnel composé de
deux chaînes atomiques perturbées par un défaut de
interstitiel. La région M représente le défaut, G et D deux
guides d’onde parfaits semi infinis.
L’équation (1) se simplifie en tenant compte des
conditions aux limites pour lesquelles nous obtenons des
solutions d’ondes planes. En prévision du défaut, les
vecteurs déplacement de deux colonnes adjacentes sont
�i�1 �1
�i
reliés par un facteur de phase Z tel que u � Z u (i
désigne le site occupé par l’atome suivant la direction de
propagation). Cette relation est une caractéristique
i qa
essentielle de la méthode de raccordement [6,8]. Z � e
pour des ondes itinérantes. Le problème aux valeurs propres
de l’équation (1) peut alors s’écrire comme
(1)
�i 2 �i
D(
r2
, Z)
u � ��
u
(2)
Où
2 2
� � m� k1
est la fréquence normalisée, sans
dimension, et D ( r2
, Z)
la matrice dynamique ( 4�
4)
du
réseau parfait (région G ou D de la fig. 1) contenant des
termes en Z et 1 Z . r2 � k2
k1
représente le rapport
entre les constantes de force des deuxième et premier
voisins du réseau
La résolution de l’équation (2) pour
i q
Z � e (a=1) fixé
permet d’obtenir les fréquences propres de vibration � �
ainsi que les vecteurs propres u� � qui leur sont associés. La
figure 2 présente l’allure des courbes de dispersion (q) �
� .
x

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Fréquence.
�
En plus des modes propageant Z � � 1 définis
précédemment, la diffusion en présence de défauts
nécessite la connaissance les solutions évanescentes du
système. En d’autres termes, pour une fréquence �
donnée, nous avons besoin de toutes les solutions Z � � 1 .
La résolution du système donne 4 valeurs propres Z � et 4
vecteurs propres u� � associés.
Pour avoir une vision complète des courbes de dispersion, il
est intéressant de représenter à 3D les trajectoires des
facteurs d’atténuation Z � en fonction de la fréquence �
(Fig. 3). Les points communs sont indiqués dans les deux
représentations. La projection des courbes sur le plan
complexe montre que les solutions propageantes sont
disposées suivant des cercles de rayon unité, égal au
module de Z ; alors que les solutions évanescentes
correspondent aux courbes contenues à l’intérieur des
cercles. De plus, le phénomène de non croisement des
modes symétriques 1 et 3 contraint les phonons à emprunter
des chemins évanescents pour sauter d’une branche
acoustique à une branche optique dans la zone
d’interaction, entourée d’un cercle sur la figure 2 [6,7].
Freq. �
f
c
’
c’
real (Z)
e
k
f
b
d
’
d’
a
Fig. 2 : Branches de dispersion des modes propageants du
guide d’onde quasi-plan représenté par une double chaîne
atomique infinie.
a
d
imag (Z)
Fig. 3: Comportements fonctionnels Ω(Z) des modes de
vibration de la double chaîne. Les modes propageants
suivent le cercle |Re(Z)| 2 +|Im(Z)| 2 =1 alors que les modes
évanescents sont intérieurs au cercle.
g
h
d
Vecteur d’onde q
g
h
c
4
2
3
1
e
k
b
2.2 Diffusion par les défauts
Comme les guides d’ondes parfaits ne couplent pas
différents modes propres de vibration, nous pouvons traiter
le problème de diffusion pour chaque mode séparément.
Pour une onde venant de la gauche (Fig. 1) dans le mode
propre � ,
�
i i �
Vin
� ( Z�
) u�
, i � �1
(3)
où Z � est le facteur de phase du mode entrant, u� � son
vecteur propre. i désigne l’abscisse du site occupé par
l’atome.
Les ondes diffusées résultantes, composées d’une
partie réfléchie et d’une autre transmise, engendrent des
déplacements ur � et ut � dans les régions G et D qui peuvent
être exprimés comme une combinaison des modes propres
du guide d’onde à la même fréquence :
�
i
i � �1�
� �1
ur
�� r��
Z ( )
��
� u
��
� Z�
, i � �1
(4)
�
�i u t��
�Z� � i �
t � � u�
( Z�
) , i � 2
(5)
�
où r ��
et t ��
se rapportent aux coefficients de réflexion
et de transmission normalisés préalablement par les vitesses
de groupe de l’onde plane.
En utilisant les définitions (4) et (5), nous pouvons
réécrire les équations dynamiques des masses irréductibles
et de celles des colonnes frontalières (� 1)
et ( 2).
Pour deux degrés de liberté par site, le système d’équations
comportera 18 inconnues : les dix déplacements u � de la
région du défaut M et les huit coefficients de
transmission t ��
et de réflexion r ��
. En isolant les termes
décrivant l'onde incidente, le système se met sous la forme :
�
�
�D f ( �, r2
, � , Z)
� �R� X � ��D
f ( �,
r2
, Z)
�Vin , (6)
où D f ( � , r2
, �,
Z)
désigne la matrice dynamique du
défaut, X � le vecteur regroupant les inconnues du
problème, in V� le vecteur incident et R la matrice de
raccordement.
3. Résultats et discussions
La diffusion des phonons par le défaut est analysée
relativement à un phonon incident venant de la gauche (Fig.
1) avec une amplitude unité et un déphasage nul sur la
colonne d’atomes (� 1)
.
Sur la figure 4 sont présentés les coefficients de
transmission en fonction de la fréquence dans le mode 1
pour deux défauts interstitiels séparés par une distance
variable � (voir Fig.1). Lorsque � � 2 a , la transmission
adopte un comportement inédit dans la limite � � 0 pour
laquelle 11 1 2 � t . Ce phénomène semble contraire à
l’intuition physique selon laquelle un défaut d’étendue
limitée n’a pas d’effet dans cette limite. Pour l’expliquer, il
va falloir tenir compte des irrégularités des courbes de
dispersion incluant les modes atténués. Comme le montre la
Fig. 3, les modes 1 et 3 sont dégénérés à � � 0 . Pour une

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fréquence légèrement supérieure, ils restent très proches ;
mais le mode 1 est propageant tandis que le mode 3 est
atténué. Le couplage de ces modes se fait aussi fortement
que la moitié de la vibration propageante est vue comme
une vibration atténuée. Le coefficient de transmission ne
peut donc dépasser 1 2 même quand la réflexion dans ce
mode est nulle. Seulement en y regardant de plus près,
l’intuition physique reprend ses droits : le mode 3 dans
lequel la moitié de l’onde incidente est transmise, est certes
atténué mais il s’étend sur une très grande longueur puisque
le facteur de phase Z est juste inférieur à 1. Un détecteur
placé à une distance limitée derrière le défaut mesurera
donc une amplitude de vibration totale quasi égale à celle
du mode d’entrée ; il faudrait le mettre à une distance
importante du défaut pour mesurer la valeur 1 2
correspondant à l’onde transmise dans le mode 1.
Coefficient de transmission t11
δ=2a
δ=5a
δ=8a
Fréquence Ω
Fig. 4 : Coefficient de transmission dans le mode
acoustique 1 en fonction de la fréquence pour différentes
distances � séparant deux défauts interstitiels. La courbe
en tirets se rapporte à un défaut interstitiel isolé.
Par ailleurs, le spectre de transmission présente des
oscillations Pérot-Fabry, dues aux interférences entre les
multiples ondes diffusées dans la région perturbée,
auxquelles se superpose des résonances de type Fano issues
du couplage continuum-états discrets du défaut. Comme
attendu, le nombre d’oscillations Pérot-Fabry correspond
toujours au nombre N de paramètres de réseau contenu dans
la distance inter défauts. Ces structures remarquables
contiennent une information détaillée sur la structure du
système. De ce fait, La forme des courbes de transmission
prouve l’importance des réflexions multiples dans la zone
des défauts.
3. Conclusion
Quand des phonons se propagent à travers un guide d’onde
comportant un double défaut interstitiel, le spectre de
transmission en fonction de la fréquence comporte une série
de pics résonnants et de creux ; les ondes phononiques
interfèrent entre elles dans la région perturbée et donnent
lieu à des ondes résultantes, avec des longueurs d'ondes
particulières, dues aux réflexions multiples par les limites
des défauts et du guide d’ondes. Les coefficients de
transmission dépendent sensiblement de la distance �
séparant les deux défauts. Lorsque � � 2 a , la
transmission adopte un comportement inédit dans la
limite � � 0 pour laquelle 11 1 2 � t . Quand les défauts
sont rapprochés, le phonon incident se propage dans le
guide d’ondes avec les fréquences qui doivent être plus
grandes que la fréquence de seuil. Ces effets, qui pourraient
être bien utiles dans le design d'appareils phononiques, sont
par ailleurs exploités pour les performances et la conception
des transducteurs ainsi que le contrôle du bruit [14].
D’autre part, des résonateurs appelés Fabry-Pérot, par
analogie aux cavités résonantes optiques, peuvent être
fabriqués.
References
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