TD4: corrigés des exercices 5, 6 et 7 - upmc

UPMC-Sorbonne Universités
LP203
TD4: corrigés des exercices 5, 6 et 7
Ce document comporte le corrigé des exercices 5, 6 et 7 de la feuille de TD4. Dans les 3 exercices,
on considère l’interaction entre une charge ponctuelle et un dipôle, donc le cas d’un dipôle plongé
dans un champ électrostatique non-uniforme. On adoptera les conventions de la figure 1.
B
p
θ )e θ
e r
A
p +
e y
r
e x
Figure 1: Schéma représentant une charge ponctuelle q en A et le dipôle ⃗p
centré en B. Comme le champ créé par la charge q est radial, on travaillera
en coordonnées sphériques. On a également indiqué un repère cartésien (utile
pour l’exercice 6).
Solution de l’exercice 5: interaction charge-dipôle
On appelle e (e > 0) la charge du proton, noté p + , et d’après la figure 1 on a :
⃗e r = ⃗r r = ⃗ AB
AB .
1. L’energie potentielle du proton dans le champ électrostatique créé par la molécule est donnée
par :
= e V (A),
E p+
p
où V (A) est le potentiel électrostatique généré par le dipôle au point A. Comme le dipôle est
éloigné de A, on a (cf. cours) :
Donc
V (A) = − ⃗p · ⃗e r
4πε 0 r 2.
E p+
p
ep cos θ
= −
4πε 0 r 2 . (1)
L’énergie potentielle de la molécule d’eau dans le champ du proton est donnée par :
E H 2O
p = −⃗p · ⃗E(B), (2)
où ⃗ E(B) est le champ électrostatique créé par le proton au point B, qui s’écrit :
⃗E(B) =
1
e
4πε 0 r 2 ⃗e r.

Donc
E H 2O
p
ep cos θ
= −
4πε 0 r 2 . (3)
On constate que E H 2O
p = E p+
p . L’énergie varie comme cos θ à r fixé. Le système va chercher
à minimiser son énergie potentielle. A r fixe (et fini), cela se produit pour θ = 0, donc quand
le moment dipolaire permanent de la molécule est dans le même sens que ⃗e r . L’énergie sera
en revanche maximum si le dipôle est orienté vers le proton, donc pour θ = π.
2. La force dérive de l’énergie potentielle, on a
⃗F
= −∇E ⃗ p
= − ∂E p
⃗e r − 1 ∂E p
⃗e θ
∂r r ∂θ
2ep cos θ ep sin θ
= −
4πε 0 r 3 ⃗e r −
4πε 0 r 3 ⃗e θ. (4)
Remarque : On peut aussi retrouver ce résultat en partant de ⃗ F = q ⃗ E dip , où ⃗ E dip = − ⃗ ∇V (A).
Pour θ = 0 (stabilité du système à r fixé), la force vaut
⃗F θ=0 = −
2ep
4πε 0 r 3 ⃗e r,
elle est attractive, elle tend à rapprocher le dipôle de la charge. Pour θ = π, la force vaut
⃗F θ=π = + 2ep
4πε 0 r 3 ⃗e r,
elle est répulsive , elle tend à éloigner le dipôle de la charge.
Solution de l’exercice 6 : hydratation du lithium
1. Il faut reprendre intégralement la démonstration du cours pour arriver à l’expression suivante,
en coordonnées cartésiennes, de la force s’exerçant sur un dipôle dans un champ électrostatique
non uniforme :
⃗F = (⃗p · ⃗∇) ⃗ E. (5)
On va calculer ⃗ F en considérant que ⃗p est dans le plan (Oxy) : ⃗p = p x ⃗e x + p y ⃗e y . Dans le
repère cartésien (origine au centre du dipôle), les vecteurs ⃗e r et ⃗e θ (voir figure de l’exercice
précédent) s’écrivent :
{ ⃗er = cos α ⃗e x + sin α ⃗e y
⃗e θ = sin α ⃗e x − cos α ⃗e y
avec cos α =
x
√
x 2 + y 2 et sin α =
où α=( ̂⃗e r , ⃗e x ). Ainsi, le champ créé par la charge en O s’écrit :
⃗E =
q
4πε 0 r 2 ⃗e r =
Donc, en appliquant la formule (5), on a :
( )
∂
⃗F = p x
∂x + p ∂
y (E x ⃗e x + E y ⃗e y )
∂y
{[
]
q
= (x 2 + y 2 x
) −3 2 p x − 3
4πε 0 x 2 + y 2(p xx + p y y)
q
4πε 0
(x 2 + y 2 ) −3 2 (x ⃗ex + y ⃗e y ).
2
[
⃗e x +
y
√
x 2 + y 2,
] }
y
p y − 3
x 2 + y 2(p yy + p x x) ⃗e y

Maintenant que les dérivées partielles sont faites, on peut repasser en coordonnées sphériques.
On commence par réintroduire cos α et sin α pour se débarrasser des termes x et y :
q {[
⃗F = px
4πε 0 r 3 − 3 ( p x cos 2 α + p y cos αsin α )] ⃗e x + [ p y − 3 ( p y sin 2 α + p x cos αsin α )] }
⃗e y .
Dans le repère choisi, on a :
Donc
⃗F =
=
⃗F =
{
px = p cos θ cos α − p sinθ sinα
p y = p cos θ sinα + p sin θ cos α
q
4πε 0 r 3 (p x ⃗e x + p y ⃗e y − 3p cos α cos θ ⃗e x − 3p sin α cos θ ⃗e y )
q
4πε 0 r 3 (⃗p − 3p cos θ⃗e r)
q
4πε 0 r 3 (−2p cos θ⃗e r − p sinθ⃗e θ )
On retrouve bien l’expression (4) trouvée à l’exercice 6, en dérivant l’énergie potentielle..
2. Bilan des actions subies par ⃗p : Le dipôle ⃗p subit la force radiale électrostatique déterminée
précédemment. Il subit aussi un couple de torsion, qui s’écrit 1 au premier ordre ⃗p× E ⃗ (même si
le champ n’est pas uniforme, cette expression reste valable car on considère que les variations
du champ au niveau du dipôle sont négligeables) :
⃗
q Γ =
4πε 0 r 2⃗p × ⃗e r
q
=
4πε 0 r 2(−p θ) ⃗e ϕ
=
qp sin θ
4πε 0 r 2 ⃗e ϕ
Ce couple tend à faire tourner le dipôle de telle sorte que ⃗p s’aligne avec ⃗ E. Dans ce cas,
l’angle θ est nul et la force est radiale, elle s’écrit :
⃗F = −
2qp
4πε 0 r 3 ⃗e r. (6)
3. L’énergie d’interaction électrostatique entre q et ⃗p a été calculée dans l’exercice 5, elle vaut :
Cette énergie est minimale pour θ = 0.
4. Application numérique :
E p = −⃗p · ⃗E(A) qp cos θ
= −
4πε 0 r 2 . (7)
|E p | = 1.6 10−19 × 1.855 × 3.336 10 −30
4π × 8.854 10 −12 × (2 10 −10 ) 2
=
1.6 × 1.855 × 3.336
10 −17
16π × 8.854
=
1.855 × 3.336
10 −18
π × 8.854
≃ 2 × 3
3 × 10 10−18
|E p | ≃ 2 10 −19 J
k B T = 1.38 10 −23 × 293
≃
4 10 −21 J
1 La notation×désigne le produit vectoriel.
3

Il existe donc un rapport 50 entre |Ep| et k B T. L’interaction ion-dipôle ets dominante. Les
molécules d’eau au voisinage de Li + s’orientent et l’entourent, et ce en dépit de l’agitation
thermique.
Solution de l’exercice 7: interaction charge ponctuelle - dipôle induit.
1. La charge crée un champ électrostatique qui polarise l’atome en créant un dipôle. Ce dipôle
induit est parallèle à ce champ. Le dipôle est orienté de telle façon que son pôle négatif (resp.
postifif) est situé vers la charge ponctuelle si celle-ci est positive (resp. négative). La force
d’interaction entre la charge et le dipôle est attractive.
2. Le moment dipolaire induit s’écrit :
⃗p = α ⃗ E =
αq
4πε 0 r 2 ⃗e r.
La force d’interaction électrostatique a été calculée dans les deux exercices précédents (cf.
équation 6) :
⃗F = −
2qp
4πε 0 r 3 ⃗e r = −
αq2
8π 2 ε 2 ⃗e 0 r5 r
On pouvait retrouver ce résultat en extrapolant la relation (5) obtenue en coordonnées
cartésiennes pour les coordonnées sphériques. Ceci est valable dans la mesure où la dérivée
par rapport à la coordonnées radiale r est similaire à la dérivée selon une des coordonnées
cartésiennes. Le champ étant E(r) ⃗ = E(r)⃗e r , on a :
(
⃗F ⃗∇)
= ⃗p · ⃗E
(
= αE(r) ⃗ ⃗∇)
· ⃗E(r)
∂E r
= αE r
∂r ⃗e r
= α ∂Er
2
2 ∂r ⃗e r (8)
3. Travail à fournir pour déplacer l’atome de l’infini à une distance r de l’origine dans le champ
⃗E :
W =
∫ r
= −
∞∫ r
⃗F ext · ⃗dl
∞
= αq2
8π 2 ε 2 0
⃗F · ⃗dr
∫ r
∞
= − αq2
32π 2 ε 2 0 r4
r −5 dr
NB: Si on utilise l’équation (8), aucun calcul d’intégrale n’est explicitement nécessaire pour
arriver à l’expression de W.
4. L’énergie potentielle d’interaction entre la charge et le dipôle est égale à W.
4

5. Application numérique :
E p
4.56 10 −40 × 1.6 2 10 −38
= −
32π 2 × 8.854 2 10 −24 × 16 10 −40
4.56 10 −40
= −
2π 2 × 8.854 2 10 −24
4.56
= −
2π 2 × 8.854 2 10−16
1
≃ −
2 × 10 × 2 × 10 10−16
≃ − 1 4 10−18
≃ −2.5 10 −19 J.
5