trodction à la logique. L|-3muX1-3mu(X2-3muX1)

¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
¬∧trod∨ction à la logique.
L |= X 1 =⇒ (X 2 =⇒ X 1 )
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
20 octobre 2014
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
Guillaume RENIER
L1 MPI Semestre 1

Plan du cours
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
1 Enseignement.
Enseignement.
Horaires.
2 Vulgarisation.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
3 Syntaxe.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
4 Sémantique.
5 Lien avec la théorie des ensembles.
6 Calcul des prédicats.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
1 Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les CM
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Le jeudi de 8h30 à 10h00 groupes A, B, C et I.
Le lundi de 10h15 à 11h45 groupes D, E, F, G, H.
Amphi Jean Goguel (à confirmer). Bâtiment A. 2è
étage.
8 séances d’une heure trente (semaines 5-10 et 12-13).
Soit 12 heures de CM.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les TD
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
TD : 12 séances de 1h30 (semaines 6-10 à 12-18.)
Début des TD : semaine du lundi 22 septembre.
Groupe A.
En attente d’enseignant
Mercredi 16h15 - 17h45.
Salle
Groupe B.
Groupe C.
Groupe D.
Groupe E.
Groupe F.
Groupe G.
Groupe H.
Groupe I.

Les TD
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
TD : 12 séances de 1h30 (semaines 6-10 à 12-18.)
Début des TD : semaine du lundi 22 septembre.
Groupe A.
Groupe B.
En attente d’enseignant
Mardi 16h15 - 17h45.
Salle
Groupe C.
Groupe D.
Groupe E.
Groupe F.
Groupe G.
Groupe H.
Groupe I.

Les TD
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
TD : 12 séances de 1h30 (semaines 6-10 à 12-18.)
Début des TD : semaine du lundi 22 septembre.
Groupe A.
Groupe B.
Groupe C.
Guillaume RENIER
guillaume.renier@u-cergy.fr
Lundi 12h45 à 14h15.
Salle .
Groupe D.
Groupe E.
Groupe F.
Groupe G.
Groupe H.
Groupe I.

Les TD
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
TD : 12 séances de 1h30 (semaines 6-10 à 12-18.)
Début des TD : semaine du lundi 22 septembre.
Groupe A.
Groupe B.
Groupe C.
Groupe D.
Diane MANUEL
diane.manuel@u-cergy.Fr
Vendredi 14h30 - 16h00.
Salle .
Groupe E.
Groupe F.
Groupe G.
Groupe H.
Groupe I.

Les TD
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
TD : 12 séances de 1h30 (semaines 6-10 à 12-18.)
Début des TD : semaine du lundi 22 septembre.
Groupe A.
Groupe B.
Groupe C.
Groupe D.
Groupe E.
Diane MANUEL..
diane.manuel@u-cergy.fr
Vendredi 10h15 - 11h45.
Salle
Groupe F.
Tao JEN..
jen@u-cergy.Fr
Lundi 12h30 - 14h00.
Salle
Groupe G.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
1 Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Calcul de la note.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
1 Une note de contrôle terminal (CT ) qui compte pour
50% de la note du module.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Calcul de la note.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
1 Une note de contrôle terminal (CT ) qui compte pour
50% de la note du module.
2 Des notes de contrôle continu (CC n ) qui comptent pour
50% de la note.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Calcul de la note.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
1 Une note de contrôle terminal (CT ) qui compte pour
50% de la note du module.
2 Des notes de contrôle continu (CC n ) qui comptent pour
50% de la note.
Interrogations écrites surprises.
Portant sur des notions vues au cours des TD
précédents.
Reprenant in extenso des exercices corrigés.
Ou des exercices semblables à d’autres corrigés.
Ou reprenant des choses expliquées en TD.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Calcul de la note.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
1 Une note de contrôle terminal (CT ) qui compte pour
50% de la note du module.
2 Des notes de contrôle continu (CC n ) qui comptent pour
50% de la note.
3 La note du module est calculée comme suit :
Note logique = CT + CC 1+···+CC n
n
2
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Règle.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
1 Présence aux CM : non obligatoire.
Néanmoins recommandée.
Des questions du contrôle terminal porteront sur des
contenus abordés au cours du CM et non abordés en
TD.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Règle.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
1 Présence aux CM : non obligatoire.
Le CM n’est pas un bac à sable.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Règle.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
1 Présence aux CM : non obligatoire.
Le CM n’est pas un bac à sable.
2 Présence aux TD obligatoire.
En cas d’absence lors d’une évaluation en TD, la note
zéro sera attribuée
SAUF en cas de justification :
Certificat médical.
Convocation administrative.
La justification sera soumise à l’appréciation exclusive
du chargé de TD et du responsable du module.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
2 Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
Cela pose un premier problème : qui est ce N
−→ Giuseppe PEANO a essayé de répondre à cette
question à la fin du 19è siècle.
−→ On peut aussi définir les ordinaux, ensemble
contenant N et dans lequel il existe un ordinal plus
grand que n’importe quel élément de N !
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
2 Il existe un énoncé VRAI qui n’est pas démontrable.
On parle du premier théorème d’incomplétude de
Goedel.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
2 Il existe un énoncé VRAI qui n’est pas démontrable.
On parle du premier théorème d’incomplétude de
Goedel.
Cela pose un deuxième problème : qu’est ce
Qu’un énoncé,
Que le VRAI,
Que démontrable
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
2 Il existe un énoncé VRAI qui n’est pas démontrable.
On parle du premier théorème d’incomplétude de
Goedel.
3 Cela suppose de définir
Une syntaxe,
Une sémantique,
Une notion de démontrabilité
On parle aussi de système de preuves.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorèmes d’incomplétude de Goedel.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
1 On se place dans l’ensemble des entiers naturels N.
2 Il existe un énoncé VRAI qui n’est pas démontrable.
On parle du premier théorème d’incomplétude de
Goedel.
3 On aura besoin
d’un méta langage.
d’une méta logique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notation héréditaire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Un entier peut s’écrire dans une base quelconque.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notation héréditaire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Par exemple on peut écrire le nombre 65 en base 10 :
65 = 6 × 10 1 + 5 × 10 0 .
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notation héréditaire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Par exemple on peut écrire le nombre 65 en base 2 :
65 = 1 × 2 6 + 0 × 2 5 + · · · + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 1000001 2 .
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notation héréditaire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
A partir de l’écriture en base 2 on définit l’écriture
héréditaire en base 2 : les exposants des puissances de 2
sont aussi écrits en base 2 :
65 = 1 × 2 22 +2 1 + 1 × 2 0 .
Opération recommencée jusqu’à ce que tous les exposants
soient 0 ou 1.
65 = 1 × 2 221 +2 1 + 1 × 2 0 .
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notation héréditaire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On peut obtenir la même chose en base 3,4, 5 ... n.
Par exemple notation héréditaire en base 3 du nombre 136 :
136 = 12001 3 = 3 4 + 2 × 3 3 + 3 0 = 3 31 +3 0 + 2 × 3 31 + 3 0
} {{ }
Notation héréditaire
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Itération de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Lorsqu’un entier n est écrit en notation héréditaire de base
m l’itération de Goodstein consiste à associer à n l’entier n ′
dont la notation héréditaire de base (m + 1) est obtenue à
partir de la notation héréditaire de n en base m en
remplaçant tous les m par m + 1.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Itération de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Par exemple pour l’entier 136 écrit en notation héréditaire
de base 3 :
n = 136 = 3 31 +3 0 + 2 × 3 31 + 3 0 on obtient par l’itération de
Goodstein l’entier :
n ′ = 4 41 +4 0 + 2 × 4 41 + 4 0 = 1537.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Itération de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Par une deuxième itération on obtient :
n ′′ = 5 51 +5 0 + 2 × 5 51 + 4 0 = 21876.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Suite de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
On définit la suite de Goodstein d’un entier n, notée par
(G m (n)) m2 , par l’algorithme suivant :
G 2 (n) = n.
G m+1 (n) =
1 On écrit G m (n) en notation héréditaire de base m.
2 On effectue l’itération de Goodstein.
3 On soustrait 1.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Quelque soit la valeur de n, la suite de Goodstein
(G m (n)) m2 est nulle au delà d’un certain terme.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Quelque soit la valeur de n, la suite de Goodstein
(G m (n)) m2 est nulle au delà d’un certain terme.
Ce théorème est indécidable dans AP : il n’existe pas de
démonstration (ou preuve) de ce théorème ni de sa
négation.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de Goodstein.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Quelque soit la valeur de n, la suite de Goodstein
(G m (n)) m2 est nulle au delà d’un certain terme.
Ce théorème se démontre dans la théorie des ordinaux, en
utilisant simplement ω qui est le premier ordinal plus grand
que tous les nombres entiers.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple de syntaxe 1.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Qu’est ce qu’un nombre premier
Réponse 1 :
Un nombre qui admet exactement deux diviseurs.
Réponse 2 :
Un nombre qui n’est divisible par aucun nombre
strictement inférieur autre que 1.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple de syntaxe 2.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Comment écrire ces définition
Réponse 1 :
p est premier ssi
∃a∃b ≠ a(a|p ∧ b|p ∧ (∀c((c|p) =⇒ (c = a ∨ c = b)))
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple de syntaxe 2.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Comment écrire ces définition
Réponse 1 bis :
p est premier ssi
∃a > 1∃b ≠ a(∀c((c|p) =⇒ (c = a ∨ c = b)))
Car p|p et 1|p.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple de syntaxe 2.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Comment écrire ces définition
Réponse 1 bis :
p est premier ssi
∃a > 1∃b ≠ a(∀c((c|p) =⇒ (c = a ∨ c = b)))
Car p|p et 1|p.
Réponses 1 et 1bis disent-elles la même chose
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple de syntaxe 2.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Comment écrire ces définition
Réponse 2 :
p est premier ssi ∀c < p(c|p =⇒ c = 1)
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de Matiyasevich.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
On appelle équation diophantienne toute équation
polynomiale à coefficients et paramètres entiers.
Par exemple les équations d’inconnue x suivantes sont
diophantiennes :
(E 1 ) : 3x + 8 = 22
(E 2 ) : 4x 2 + 7x − 56 = 98767x 3
(E 3 ) : ∃a, 3x 2 + 3a 2 = a(x + 1)
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de Matiyasevich.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Question : existe-il un algorithme permettant de décider
si une équation diophantienne admet des solutions
Réponse : non.
Problème : définir les choses, les écrire et démontrer
des résultats
Logique et systèmes de preuves apportent une réponse
à ces problèmes.
Logique et systèmes de preuves ne disent pas comment
démontrer.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
2 Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Exemple : que vaut 3 + 2 × 7
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Exemple : que vaut 3 + 2 × 7
17 ou 35
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
On résout le problème en utilisant des parenthèses.
(3 + 2) × 7 = 35 alors que
3 + (2 × 7) = 17.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On résout le problème en utilisant des parenthèses.
(3 + 2) × 7 = 35 alors que
3 + (2 × 7) = 17.
Il n’y a plus de doute.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Se pose la question d’une syntaxe correcte.
Ce sera l’objet du CM de demain.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Ecrire.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Se pose la question d’une syntaxe correcte.
Ce sera l’objet du CM de demain.
On donnera des règles d’écriture et des tests de validité.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démontrer
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Ne fera pas l’objet de séances de CM ou de TD.
C’est un problème difficile.
Mais néanmoins essentiel.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démontrer
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
On utilise la règle du Modus Ponens :
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démontrer
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
On utilise la règle du Modus Ponens :
Lorsque A est VRAIE et si A alors B est VRAIE on
déduit que B est VRAIE.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démontrer
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
On utilise la règle du Modus Ponens :
Lorsque A est VRAIE et si A alors B est VRAIE on
déduit que B est VRAIE.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Une démonstration est une suite (P n ) de formules
logique telle que P n+1 se déduit de (P i ) in par :
Instanciation d’axiomes.
Règle de déduction (Modus Ponens).
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démonstration : exemple.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Montrons que F =⇒ F est un théorème.
Pour cela on utilise un axiome :
A 2 : (X 1 =⇒ (X 2 =⇒ X 3 )) =⇒ ((X 1 =⇒ X 2 ) =⇒ (X 1 =⇒ X 3 ))
Dont on prend l’instance :
(F =⇒ ((F =⇒ F) =⇒ F )) =⇒ ((F =⇒ (F =⇒ F )) =⇒ (F =⇒ F))
On utilise l’axiome A 1 : X 1 =⇒ (X 2 =⇒ X 1 )
Dont on prend l’instance :
F =⇒ ((F =⇒ F) =⇒ F )
Par coupure on obtient :
(F =⇒ (F =⇒ F)) =⇒ (F =⇒ F ).
Enfin on instancie l’axiome A 1 pour obtenir F =⇒ (F =⇒ F ).
Puis à nouveau par coupure on obtient F =⇒ F.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Vérité.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
En complément de la notion de théorème (formule obtenue
par démonstration) on définit :
Une vérité indépendante de la notion de démonstration
Ce sera l’objet de plusieurs CM.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
On a donc deux approches de la notion de formule
VRAIE :
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
On a donc deux approches de la notion de formule
VRAIE :
1 Théorème (formule démontrée).
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
On a donc deux approches de la notion de formule
VRAIE :
1 Théorème (formule démontrée).
2 Tautologie (sémantiquement VRAIE).
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
On démontre que ces deux notions sont équivalentes
dans le cadre de la logique booléenne.
C’est le théorème de complétude.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
On démontre que ces deux notions sont équivalentes
dans le cadre de la logique booléenne.
C’est le théorème de complétude.
Pour cela on démontre :
1 Que tout théorème est une tautologie (consistance).
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On démontre que ces deux notions sont équivalentes
dans le cadre de la logique booléenne.
C’est le théorème de complétude.
Pour cela on démontre :
1 Que tout théorème est une tautologie (consistance).
2 Que toute tautologie est démontrable
(complétude.).
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Comme vu plus haut : ce théorème est faux pour les
nombres entiers.
Les propriétés sur les nombres entiers s’écrivent dans
une logique plus complexe que la logique booléenne.
On parle alors de théorèmeS d’incomplétude.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Comme vu plus haut : ce théorème est faux pour les
nombres entiers.
Les propriétés sur les nombres entiers s’écrivent dans
une logique plus complexe que la logique booléenne.
On parle alors de théorèmeS d’incomplétude.
Il en existe deux :
1 Le premier.
2 Le deuxième.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
2 Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Machines à calculer et problèmes NP.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Exemple : problème de la composition des nombres entiers.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Le problème SAT.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Formule propositionnelle.
Satisfaisabilité ou satisfiabilité.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Enoncé du théorème de Cook-Levin.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Le problème SAT est NP-complet.
Qui sait résoudre SAT est maitre du monde.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
La maison...
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Les variables.
X ij correspond à l’arête i en position j.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
L’arête i est utilisée au moins une fois :
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
.
8∨
j=1
X ij
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
L’arête i est utilisée au moins une fois :
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
.
8∨
j=1
X ij
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Chaque arête est utilisée au moins une fois :
.
8∧
8∨
i=1 j=1
X ij
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Si l’arête i est utilisée au rang j alors elle ne peut être
utilisée à un autre rang :
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜
8∨
⎟⎟
X ij =⇒ ⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠
k=1
k≠j
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Si l’arête i est utilisée au rang j alors elle ne peut être
utilisée à un autre rang :
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜
8∨
⎟⎟
X ij =⇒ ⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠
Même chose quelque soit le rang d’utilisation de l’arête i :
⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞
∧ ⎜ ⎜ ⎜
8∨ ⎟⎟⎟
⎝X ij =⇒ ⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠⎠
1j8
k=1
k≠j
k=1
k≠j
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Si l’arête i est utilisée au rang j alors elle ne peut être
utilisée à un autre rang :
⎛ ⎛ ⎞⎞
⎜ ⎜
8∨
⎟⎟
X ij =⇒ ⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠
1i8
1j8
k=1
k≠j
Même chose quelque soit l’arête i :
⎡ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞⎞⎞⎤
∧
⎢
∧
⎜ ⎜ ⎜
8∨
⎟⎟⎟⎥
⎣ ⎝X ij =⇒ ⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠⎠⎦
k=1
k≠j
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
On impose un ordre d’utilisation des arêtes :
X ij =⇒ ∨
k∈A i
X k(j+1)
Où A i est l’ensemble des indices des arêtes adjacentes à
l’arête i.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
On impose un ordre d’utilisation des arêtes :
X ij =⇒ ∨
k∈A i
X k(j+1)
Où A i est l’ensemble des indices des arêtes adjacentes à
l’arête i.
D’où pour tous les rangs :
⎛
∧
⎝X ij =⇒ ∨ ⎠
1j7
k∈A i
X k(j+1)
⎞
Où A i est l’ensemble des indices des arêtes adjacentes à
l’arête i.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
On impose un ordre d’utilisation des arêtes :
X ij =⇒ ∨
k∈A i
X k(j+1)
Où A i est l’ensemble des indices des arêtes adjacentes à
l’arête i.
Enfin pour toutes les arêtes :
⎡ ⎛
⎤
∧
⎣ ∧ ⎝X ij =⇒ ∨ ⎠⎦
1i8
1j7
k∈A i
X k(j+1)
⎞
Où A i est l’ensemble des indices des arêtes adjacentes à
l’arête i.

Exemple : parcours eulérien.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
Ce qui donne enfin comme conditions d’existence de
parcours eulérien :
Satisfaisabilité en même temps de :
∧
1i8
⎡
⎢
⎣
∧
1i8
∧
1j8
⎡
⎛
⎣ ∧
8∧
8∨
i=1 j=1
⎜
⎝X ij =⇒
1j7
X ij
⎛ ⎛ ⎞⎞⎞⎤
⎜ ⎜
8∨
⎟⎟⎟⎥
⎝¬ ⎝ X ik ⎠⎠⎠⎦
k=1
k≠j
⎛
⎞⎤
⎝X ij =⇒ ∨
X k(j+1)
⎠⎦
k∈A i

OBJECTIF
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Définir la notion de formule propositionnelle.
Définir la syntaxe de la logique booléenne ou logique
propositionnelle.
Obtenir un théorème de lecture unique permettant de
définir définir une sémantique.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
3 Syntaxe.
Formules propositionnelles.
Théorème de lecture unique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Variables propositionnelles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
On considère un ensemble dénombrable d’objets appelés
variables propositionnelles indexé sur les entier naturels.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Variables propositionnelles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Les variables propositionnelles sont souvent notées
X 0 ; X 1 ; . . . ; X n ; . . . .
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les connecteurs.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On considère un ensemble de connecteurs :
̸ : le NON logique.
∨ : le OU logique.
∧ : le ET logique.
=⇒ : le IMPLIQUE logique.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les connecteurs.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Il est parfois utile d’utiliser d’autres symboles :
⇐⇒ : le EQUIVAUT logique.
∣ : le NAND logique ou barre de SCHAEFFER.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les connecteurs.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
A chaque ensemble de connecteur correspond un
ensemble de formule propositionnelles et donc une
logique.
Si on change de connecteur, on change de logique.
La logique Booléenne correspond en général aux
quatre connecteurs : ̸, ∨, ∧, =⇒ .
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les symboles de priorités.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On considère un ensemble de symboles :
(
: la parenthèse ouvrante.
)
: la parenthèse fermante.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les symboles de priorités.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
[ ]
On rajoute parfois les symboles et pour des questions
de lisibilité des formules.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Construction.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
On considère l’ensemble
A = {̸, ∨, ∧, =⇒ , (, ), X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . .
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Construction.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
On considère l’ensemble
A = {̸, ∨, ∧, =⇒ , (, ), X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . . On considère
l’ensemble noté A ∗ de tous les mots formés par la
juxtaposition d’un nombre fini d’éléments de A.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Construction.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
On considère l’ensemble
A = {̸, ∨, ∧, =⇒ , (, ), X 1 , X 2 , . . . , X n , . . . . On considère
l’ensemble noté A ∗ de tous les mots formés par la
juxtaposition d’un nombre fini d’éléments de A. Exemples :
((()
X 1 X 2 (̸ X 13908 =⇒ )(
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
3 Syntaxe.
Formules propositionnelles.
Théorème de lecture unique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
4 Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Affectation
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Evaluation
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Table de vérité
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
4 Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Satisfaisabilité, tautologie.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
On dit qu’une formule P est satisfaisable lorsqu’il existe
une affectation ν pour laquelle eval ν (P) = 1.
On dit aussi satisfiable.
On dit qu’une formule P est une tautologie lorsque pour
toute affectation ν on a eval ν (P) = 1.
On dit que deux formules P et Q sont équivalentes
lorsque pour toute affectation ν on a
eval ν (P) = eval ν (Q).
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Equivalence et tautologie.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On note P ⇐⇒ Q la formule (P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P).
Théorème : deux formules P et Q sont équivalentes si et
seulement si la formule P ⇐⇒ Q est une tautologie.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
4 Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Définitions
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Soit P une formule et (X i ) une suite de variables
propositionnelles apparaissant dans P.
Soit (P i ) une suite finie de formules propositionnelles.
On appelle occurrence de la variable X i dans la formule
propositionnelle P toute utilisation du symbole X i dans
l’écriture de P.
On définit Q = P (Xi →P i ) comme étant la formule dans
laquelle on a remplacé en même temps chaque X i par
P i .
On dit que Q est une instance de P.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Tautologie et instance
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème : toute instance d’une tautologie P est une tautologie.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Instances et équivalences - 1
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème : si P et Q sont deux formules équivalentes alors
les formules P (Xi →P i ) et Q (Xi →P i ) sont équivalentes.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Instances et équivalences - 2
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Théorème : si P et Q sont deux formules équivalentes et
si 5 i ) et (Q i ) sont des formules deux à deux équivalentes
alors les formules P (Xi →P i ) et Q (Xi →Q i ) sont équivalentes.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Simplifications
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Ce résultat est utilisé comme suit :
Soit R une formule propositionnelle.
On exhibe P et (P i ) telles que R = P (Xi →P i )
On choisit des formules (Q i ) équivalentes
respectivement aux (P i ).
On construit la formule S = P (Xi →Q i ) qui est équivalente
à R.
Souvent P = Q.
S est appelée forme simplifiée de R.
Résultat : déterminer la table de vérité de R revient à déterminer
la table de vérité de S.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
5 Lien avec la théorie des ensembles.
Définitions / rappels.
Lien avec le calcul propositionnel.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Relations ensemblistes.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
En théorie des ensemble on utilise les deux relations
suivantes :
L’appartenance d’un élément à un ensemble.
C’est une relation élément/ensemble.
L’inclusion d’un ensemble dans un ensemble.
C’est une relation ensemble/ensemble.
Attention : le mot contient pose problème.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Opérations de la théorie des ensembles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
L’union notée ⋃ .
e appartient à A ⋃ B si et seulement si e appartient à A
ou à B.
L’intersection notée ⋂ .
e appartient à A ⋂ B si et seulement si e appartient à A
et à B.
Le complémentaire de A ⊂ E noté C E A ou c A lorsque
E est implicite.
e appartient à c A si et seulement si e n’appartient pas
à A.
On voit apparaitre le lien avec les connecteurs ∧, ∨, ¬.

Autres opérations.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Il y a d’autres opérations, essentiellement :
Le delta notée ∆.
e appartient à A∆B si et seulement si e appartient A ou
à B sans appartenir à A et à B simultanément.
La soustraction notée −.
e appartient à A − B si et seulement si e appartient à A
sans appartenir à B.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
5 Lien avec la théorie des ensembles.
Définitions / rappels.
Lien avec le calcul propositionnel.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Morphisme.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
On considère un ensemble E.
On considère une famille (E i ) i∈N de sous ensemble de
E.
A toute variable X i on associe le sous ensemble E i .
De manière inductive on associe à toute formule
propositionnelle P une formule ensembliste E P :
A (P ∨ Q) on associe (E P
⋃
EQ )
A (P ∧ Q) on associe (E P
⋂
EQ )
A (P =⇒ Q) on associe ( ( c E P ) ⋃ E Q
)
A (¬P) on associe ( c E P ).
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Théorème important.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Théorème 1 : si P et Q sont deux formules équivalentes
alors E P = E Q .
Théorème 2 : si P =⇒ Q est une tautologie alors E P ⊂
E Q .
Théorème 3 : si pour tout ensemble E et toute famille (E i )
de sous-ensembles de E on a E P = E Q alors P et Q sont
équivalentes.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
6 Calcul des prédicats.
Syntaxe.
Interprétation.
Sémantique.
Démonstration.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Idée
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Les formules de la logique d’ordre 1 sont construites pour
permettre l’utilisation d’un nombre infini de proposition dans
une formule.
En calcul propositionnelle une formule contient un nombre
fini de variables propositionnelles, chacune correspondant à
une proposition.
Pour cela on introduit les deux quantificateurs :
Quelque soit, pour tout : ∀.
C’est le quantificateur universel.
Il exist ∃.
C’est le quantificateur existentiel.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Types de symboles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
On définit les types de symboles suivants :
Les symboles de constantes indexés sur les entiers
naturels, souvent (c i ).
Les symboles de variables indexés sur les entiers
naturels, souvent (x i ).
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Types de symboles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
On définit les types de symboles suivants :
Les symboles d’opérations en nombre fini.
Les symboles ont une caractéristique d’arité.
Lors non évident, on précise l’arité dans un exposant
entre parenthèses.
Les symboles de relations en nombre fini.
Les symboles ont une caractéristique d’arité.
Lors non évident, on précise l’arité dans un exposant
entre parenthèses.
L’égalité de symbole = est une relation.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Types de symboles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
On définit les types de symboles suivants :
Les symboles représentant des connecteurs logiques :
∨, ∧, =⇒ , ¬.
Les mêmes que dans le cas de la logique
propositionnelle.
Les symboles des quantificateurs universel et
existentiel.
L’objectif de la logique d’ordre 1 (ou calcul des prédicats)
est de remplacer dans les formules propositionnelles les
variables propositionnelles par des prédicats formés à partir
des symboles de constantes, variables, opérations,
relations.
On rajoute en plus les quantificateurs.

Les termes.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
La construction inductive des termes se fait à partir des
variables, constantes et symboles d’opérations.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème : il existe un théorème de lecture unique sur les
termes.
Il ne faut pas oublier les parenthèses.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Les formules atomiques.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
La construction des formules atomiques ou prédicats se fait
à partir de n termes et d’un symbole de relation d’arité n.
Théorème : de manière évidente il existe un théorème de
lecture unique sur les prédicats.
Il ne faut pas oublier les parenthèses.
L’objectif du calcul des prédicats est de calculer, d’étudier la
valeur logique des prédicats.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Formule logique d’ordre 1.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.
On construit par induction les formules d’ordre 1 :
Un prédicat est une formule logique d’ordre 1.
Si P est un prédicat, pour toute variable x, la formule
(∀x P) est un prédicat.
Si P et Q sont deux prédicats alors les formules :
(P ∨ Q), (P ∧ Q), (P =⇒ Q)
(¬P)
Sont des prédicats.
Théorème : il existe un théorème de lecture unique sur les
formules d’ordre 1.
Il ne faut pas oublier les parenthèses.

Exemples.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
6 Calcul des prédicats.
Syntaxe.
Interprétation.
Sémantique.
Démonstration.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notion d’interprétation.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
6 Calcul des prédicats.
Syntaxe.
Interprétation.
Sémantique.
Démonstration.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notions de vérité.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Les systèmes de preuves donne une première notion
de la vérité : les formules prouvables.
Les interprétations donnent une deuxième notion :
VRAI ou FAUX.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Tautologies, théorèmes de complétude.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Axiomes et modèles.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Notion de modèle.
Théorème de complétude de Godel : non contradiction et
modèle.
Réciproque.
Système d’axiomes indépendants.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Plan
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
6 Calcul des prédicats.
Syntaxe.
Interprétation.
Sémantique.
Démonstration.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notations.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Notation ∀x ∈ A.
Négation :
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Notations.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Notation ∃x ∈ A.
Négation :
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.

Démonstration.
¬∧trod∨ction
à la logique.
L |= X 1 =⇒
(X 2 =⇒
X 1 )
Enseignement.
Horaires.
Evaluation.
Vulgarisation.
Rien n’est simple.
Problématique.
Théorème de Cook
et Levin.
Syntaxe.
Formules
propositionnelles.
1 Comment démontre-on qu’une formule est VRAIE.
2 Comment démontre-on qu’une formule est FAUSSE.
3 Démonstration par contraposition.
4 Démonstration par l’absurde.
5 Démonstration par récurrence.
Théorème de lecture
unique.
Sémantique.
Valeurs de vérité.
Quelques définitions.
Simplifications.
Lien avec la
théorie des
ensembles.
Définitions / rappels.