Robotique Modélisation et commande des robots manipulateurs - AVR

Robotique
Modélisation et commande des robots manipulateurs
Bernard BAYLE
Télécom Physique Strasbourg

Plan
1 Transformations et des mouvements rigides
Notations et définitions
Rotations
Transformations rigides
Mouvements rigides
2 Description des bras manipulateurs
Chaîne cinématique d’un bras manipulateur
Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Relations géométriques
Relations cinématiques
3 Modélisation des bras manipulateurs
Configuration et situation d’un bras manipulateur
Modèle géométrique direct
Modèle géométrique inverse
Modèle cinématique direct

Plan
1 Transformations et des mouvements rigides
Notations et définitions
Rotations
Transformations rigides
Mouvements rigides
2 Description des bras manipulateurs
Chaîne cinématique d’un bras manipulateur
Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Relations géométriques
Relations cinématiques
3 Modélisation des bras manipulateurs
Configuration et situation d’un bras manipulateur
Modèle géométrique direct
Modèle géométrique inverse
Modèle cinématique direct

Points
Notations
R = (O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la
convention de Gibbs.

Points
Notations
R = (O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la
convention de Gibbs.
Position d’un point M : vecteur m de coordonnées ∈ R 3 :
⎛ ⎞
m x
m = ⎝m y
⎠
m z

Points
Notations
R = (O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la
convention de Gibbs.
Position d’un point M : vecteur m de coordonnées ∈ R 3 :
⎛ ⎞
m x
m = ⎝m y
⎠
m z
Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R 3

Points
Notations
R = (O, x, y, z) repère orthonormé direct cartésien, selon la
convention de Gibbs.
Position d’un point M : vecteur m de coordonnées ∈ R 3 :
⎛ ⎞
m x
m = ⎝m y
⎠
m z
Mouvement d’un point : courbe paramétrée m(t) de R 3
Trajectoire d’un point : support du mouvement

Solides
Solide indéformable : pour toute paire de points de ce
solide de coordonnées m et n :
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)|| = constante

Solides
Solide indéformable : pour toute paire de points de ce
solide de coordonnées m et n :
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)|| = constante
Hypothèse
Les solides considérés seront tous indéformables.

Solides
Solide indéformable : pour toute paire de points de ce
solide de coordonnées m et n :
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)|| = constante
Hypothèse
Les solides considérés seront tous indéformables.
Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de
ses points

Solides
Solide indéformable : pour toute paire de points de ce
solide de coordonnées m et n :
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)|| = constante
Hypothèse
Les solides considérés seront tous indéformables.
Mouvement rigide d’un solide : mouvement de chacun de
ses points
Situation d’un solide : position et orientation dans R d’un
repère lié à ce solide

Transformations rigides
Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide
amenant un solide d’une situation initiale à une situation
finale.

Transformations rigides
Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide
amenant un solide d’une situation initiale à une situation
finale.
Application qui transforme les coordonnées des points du
solide de leur position initiale vers leur position finale.

Transformations rigides
Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide
amenant un solide d’une situation initiale à une situation
finale.
Application qui transforme les coordonnées des points du
solide de leur position initiale vers leur position finale.
Application = transformation rigide Ssi elle conserve à la
fois les distances et l’orientation.

Transformations rigides
Transformation rigide : résultat d’un mouvement rigide
amenant un solide d’une situation initiale à une situation
finale.
Application qui transforme les coordonnées des points du
solide de leur position initiale vers leur position finale.
Application = transformation rigide Ssi elle conserve à la
fois les distances et l’orientation.
Conséquence
Un repère orthonormé direct reste orthonormé direct par
application d’une transformation rigide.

Matrices de rotation
Notations
R ′ = (O, x ′ , y ′ , z ′ ) orthonormé direct
x ′ , y ′ , z ′ : coordonnées de x ′ , y ′ et z ′ dans R :
⎛
x ′ ⎞ ⎛
.x
y ′ ⎞ ⎛
.x
z ′ ⎞
.x
x ′ = ⎝x ′ .y⎠ , y ′ = ⎝y ′ .y⎠ et z ′ = ⎝z ′ .y⎠ .
x ′ .z
y ′ .z
z ′ .z

Matrices de rotation
Notations
R ′ = (O, x ′ , y ′ , z ′ ) orthonormé direct
x ′ , y ′ , z ′ : coordonnées de x ′ , y ′ et z ′ dans R :
⎛
x ′ ⎞ ⎛
.x
y ′ ⎞ ⎛
.x
z ′ ⎞
.x
x ′ = ⎝x ′ .y⎠ , y ′ = ⎝y ′ .y⎠ et z ′ = ⎝z ′ .y⎠ .
x ′ .z
y ′ .z
z ′ .z
Définition
R = (x ′ y ′ z ′ ) de dimension 3 × 3 est appelée matrice de
rotation du repère R vers le repère R ′ .
. . . ou encore matrice de passage ou matrice de changement de base.

Matrices de rotation
Intérêts :

Matrices de rotation
Intérêts :
rend compte du changement de base des coordonnées
d’un point
z ′
z
O
y ′
y
x
M
x ′

Matrices de rotation
Intérêts :
rend compte du changement de base des coordonnées
d’un point
rend compte de la rotation d’un repère lié à un solide de R
en R ′
z ′
z
x
O
M
x ′
y ′
y

Rotation d’un point appartenant à un solide
Notations
m = (m x m y m z ) T et m ′ = (m ′ x m ′ y m ′ z) T : coordonnées de M
respectivement dans R et R ′ .

Rotation d’un point appartenant à un solide
Notations
m = (m x m y m z ) T et m ′ = (m ′ x m ′ y m ′ z) T : coordonnées de M
respectivement dans R et R ′ .
Alors :
m = m ′ xx ′ + m ′ yy ′ + m ′ zz ′

Rotation d’un point appartenant à un solide
Notations
m = (m x m y m z ) T et m ′ = (m ′ x m ′ y m ′ z) T : coordonnées de M
respectivement dans R et R ′ .
Alors :
m = m xx ′ ′ + m yy ′ ′ + m zz ′ ′
⎛
= ( x ′ y ′ z ′) m ′ ⎞
x
⎝m y
′ ⎠
m z
′

Rotation d’un point appartenant à un solide
Notations
m = (m x m y m z ) T et m ′ = (m ′ x m ′ y m ′ z) T : coordonnées de M
respectivement dans R et R ′ .
Alors :
m = m xx ′ ′ + m yy ′ ′ + m zz ′ ′
⎛
= ( x ′ y ′ z ′) m ′ ⎞
x
⎝m y
′ ⎠
m z
′
Conséquence
Formule de changement de base (rotation) : m = Rm ′

Rotation d’un point appartenant à un solide
z ′
z
x
O
M
x ′
y ′
y
Première analyse
Changement de repère des
coordonnées du point
x
z ′
O
z
y ′
y
x ′
M
Seconde analyse
Rotation d’un solide S autour de O,
de matrice R
. . . alors m ′ = coordonnées initiales de M dans R
et m =coordonnées finales dans R.

Rotation d’un point appartenant à un solide
Exemple
M
y
x ′
y ′ θ
O z = z ′
x
M de coordonnées initiales ( √ 3 0 1) T .
Coordonnées du point transformé par une rotation
R(z, θ)

Rotation d’un point appartenant à un solide
Solution
⎛
⎞ ⎛√ ⎞ ⎛√ ⎞
cos θ − sin θ 0 3
√ 3 cos θ
m = ⎝ sin θ cos θ 0⎠
⎝ 0 ⎠ = ⎝ 3 sin θ ⎠ .
0 0 1 1
1
Application numérique : à titre d’exemple, pour θ = π 3
, on trouve
√
m = ( 3 3
2 2 1)T .

Rotation d’un vecteur
Remarque
Coordonnées d’un vecteur = différence des coordonnées de
deux points de R 3 .
On peut appliquer la rotation à un vecteur de coordonnées
v = m − n dans R :
soit, en posant v ′ = m ′ − n ′ :
m − n = Rm ′ − Rn ′ = R(m ′ − n ′ ),
v = Rv ′ .

Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.

Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.
Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.

Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.
Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.
Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.

Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.
Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.
Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.
Inverse unique : R −1 = R T .

Propriétés des rotations
Notation
Les matrices identités, quel que soit leur ordre sont notées I.
Orthogonalité : R T R = I et det R = 1.
Elément neutre : matrice identité d’ordre 3.
Inverse unique : R −1 = R T .
Combinaison de deux rotations successives R 1 et R 2 :
rotation R 1 R 2 .

Combinaison de rotations
Notations
Soient R ′ et R ′′ les repères résultant des deux rotations
successives R 1 et R 2 du repère fixe R.
Non-commutativité de la rotation
R 1 R 2 ≠ R 2 R 1 .
Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :

Combinaison de rotations
Notations
Soient R ′ et R ′′ les repères résultant des deux rotations
successives R 1 et R 2 du repère fixe R.
Non-commutativité de la rotation
R 1 R 2 ≠ R 2 R 1 .
Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :
seconde rotation par rapport au repère résultant de la
première rotation : (R ′′ résulte de la rotation de R ′ autour
d’un axe lié à R ′ )

Combinaison de rotations
Notations
Soient R ′ et R ′′ les repères résultant des deux rotations
successives R 1 et R 2 du repère fixe R.
Non-commutativité de la rotation
R 1 R 2 ≠ R 2 R 1 .
Deux cas se présentent pour combiner deux rotations :
seconde rotation par rapport au repère résultant de la
première rotation : (R ′′ résulte de la rotation de R ′ autour
d’un axe lié à R ′ )
seconde par rapport au même repère, fixe (R ′′ résulte de
la rotation de R ′ autour d’un axe lié à R)

Premier cas
Problème de changement de base
Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première
rotation : problème de changement de base.
Notations
M de coordonnées respectives m, m ′ , m ′′ dans R, R ′ et R ′′
Combinaison : premier cas
Comme m = R 1 m ′ et m ′ = R 2 m ′′ , alors :
m = R 1 R 2 m ′′ .

Premier cas
Problème de changement de base
Seconde rotation par rapport au repère résultant de la première
rotation : problème de changement de base.
Notations
M de coordonnées respectives m, m ′ , m ′′ dans R, R ′ et R ′′
Combinaison : premier cas
Coordonnées m de M dans R = résultat des deux rotations
successives appliquées à un point de coordonnées initiales m ′′

Premier cas
Exemple
z z ′
M
π
x ′′
y ′
O
x ′
x
π
4
z ′′
m ′′ = ( √ 2 0 0) T dans R ′′ : coordonnées de M dans R

Premier cas
Solution
⎛ √ √ ⎞
2
⎜
2
− 2
⎛
⎞ ⎛√ ⎞ ⎛ ⎞
2
0 −1 0 0
√ √ 2 −1
m = ⎝ 2 2
⎟
2 2
0⎠
⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ = ⎝−1⎠ .
0 0 1 0 0 −1 0 0
Soit la combinaison des deux rotations suivantes :
une première rotation d’un angle π 4
autour de z
une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y ′

Second cas
Rotations successives
Problème de rotations successives d’un point : la
transformation d’un point de coordonnées initiales m ′′ dans R
donne un point intermédiaire, qui, transformé par la seconde
rotation donne un point de coordonnées m dans R par R 2 .
Notations
M de coordonnées respectives m, m ′ , m ′′ dans R, R ′ et R ′′
Combinaison : second cas
Conséquence :
m = R 2 (R 1 m ′′ )

Second cas
Exemple
z z ′
O
x ′
y
x ′′
π
M
x
π
4
z ′′
m ′′ = ( √ 2 0 0) T dans R ′′ : coordonnées de M dans R

Second cas
Solution
⎛
⎞ ⎛ √ √ ⎞
−1 0 0 2
m = ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎜
2
− 2
⎛√ ⎞ ⎛ ⎞
2
0
√ √ 2 −1
⎝ 2 2
⎟
2 2
0⎠
⎝ 0 ⎠ = ⎝ 1 ⎠ .
0 0 −1 0 0 1 0 0
Soit la combinaison des deux rotations suivantes :
une première rotation d’un angle π 4
autour de z
une seconde rotation d’un angle π autour de l’axe y

Orientation d’un solide dans l’espace
Matrice de rotation et cosinus directeurs
Notation
Rotation d’un repère R vers un repère R ′ de matrice de
rotation R, de dimension 3 × 3, à valeurs dans R.
Définition
⎛ ⎞
x x y x z x
R = ⎝x y y y z y
⎠
x z y z z z
Eléments de R=cosinus directeurs . . . ils représentent les coordonnées
des trois vecteurs de la base R ′ exprimés dans R.

Orientation d’un solide dans l’espace
Cosinus directeurs incomplets
Remarque
Les colonnes de R sont orthogonales entre elles et par
conséquent la connaissance de deux colonnes suffit :
⎛ ⎞
x x ∗ z x
R = ⎝x y ∗ z y
⎠ .
x z ∗ z z
Définition
Six paramètres restants = cosinus directeurs incomplets.

Orientation d’un solide dans l’espace
Repérage minimal
Remarque
Six paramètres liés entre eux par trois relations :
x x z x + x y z y + x z z z = 0
xx 2 + xy 2 + xz 2 = 1
zx 2 + zy 2 + zz 2 = 1
Conclusion
Jeu de trois paramètres : angles d’Euler, angles de roulis,
tangage, lacet, etc.

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles d’Euler classiques
Définition
Angles d’Euler classiques = trois rotations successives :
R(z, ψ), R(x ψ , θ) puis R(z θ , ϕ)
avec ψ, θ et ϕ : précession, nutation et rotation propre.
z
z ψ
z θ
ψ
y y ψ
y θ
ϕ
z ϕ
y ϕ
x ϕ
x
x ψ
θ
x θ

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles d’Euler classiques
Chaque nouvelle rotation effectuée par rapport à un repère
ayant tourné :
R = R(z, ψ) R(x ψ , θ) R(z θ , ϕ)
soit :
R =
=
⎛
⎞ ⎛
cos ψ − sin ψ 0
⎝ sin ψ cos ψ 0⎠
⎝ 1 0 0
⎞ ⎛
⎞
cos ϕ − sin ϕ 0
0 cos θ − sin θ⎠
⎝ sin ϕ cos ϕ 0⎠
0 0 1 0 sin θ cos θ 0 0 1
⎛
⎞
cos ψ cos ϕ − sin ψ cos θ sin ϕ − cos ψ sin ϕ − sin ψ cos θ cos ϕ sin ψ sin θ
⎝sin ψ cos ϕ + cos ψ cos θ sin ϕ − sin ψ sin ϕ + cos ψ cos θ cos ϕ − cos ψ sin θ⎠
sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles d’Euler classiques
Transformation inverse = angles d’Euler à partir des cosinus
directeurs :
si z z ≠ ±1 :
si z z = ±1 :
ψ = atan2(z x , −z y )
θ = acos z z
ϕ = atan2(x z , y z )
θ = π(1 − z z )/2
ψ + z z ϕ = atan2(−y x , x x )
et donc ψ et ϕ sont indéterminés.

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles de roulis, tangage et lacet
Définition
Angles de roulis, tangage et lacet : trois rotations successives :
R(x, γ), R(y, β) puis R(z, α)
avec γ, β, et α angles de roulis, tangage et lacet.
z
α
x
γ
y
β

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles de roulis, tangage et lacet
Chaque nouvelle rotation étant effectuée par rapport à un axe
du repère fixe R :
R = R(z, α) R(y, β) R(x, γ)
soit :
R =
=
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
cos α − sin α 0 cos β 0 sin β
⎝ sin α cos α 0⎠
⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 1 0 0
⎞
0 cos γ − sin γ⎠
0 0 1 − sin β 0 cos β 0 sin γ cos γ
⎛
⎞
cos α cos β − sin α cos γ + cos α sin β sin γ sin α sin γ + cos α sin β cos γ
⎝ sin α cos β cos α cos γ + sin α sin β sin γ − cos α sin γ + sin α sin β cos γ⎠
− sin β cos β sin γ cos β cos γ

Orientation d’un solide dans l’espace
Angles de roulis, tangage et lacet
Transformation inverse = angles de roulis, tangage et lacet à
partir des cosinus directeurs :
si β ≠ ± π 2 : α = atan2(x y , x x
√
)
β = atan2(−x z , xx 2 + xy 2 )
γ = atan2(y z , z z )
si β = ± π 2 : α − signe(β) γ = atan2(z y , z x )
ou α − signe(β) γ = −atan2(y x , y y )
et donc α et γ sont indéterminés.

Matrices de passage homogènes
Définition
Transformation rigide : combinaison d’une paire (p, R) avec p
la translation de l’origine du repère lié au solide S en
mouvement et R la rotation d’un repère lié à ce solide.
z ′ y ′
z
x
O
y
p
O ′
x ′
M

Matrices de passage homogènes
Notations
Soient m = (m x m y m z ) T et m ′ = (m ′ x m ′ y m ′ z) T les
coordonnées d’un point M respectivement dans R et R ′ .
Expression de la transformation
Transformation rigide : translation p du repère R, puis rotation
R du repère obtenu vers R ′ :
m = p + Rm ′

Matrices de passage homogènes
Définition
Pour représenter la transformation rigide sous forme linéaire,
on introduit les coordonnées homogènes du point M :
¯m = (m x m y m z 1) T = (m 1) T .
( ) m
=
1
( R p
0 1
) ( ) m
′
1
Conséquence
¯m = T ¯m ′ avec T =
( ) R p
0 1
La matrice T est dite matrice de passage homogène.

Propriétés des transformations rigides
Notations
Soient T , T 1 et T 2 représentant les transformations rigides
(p, R) (p 1 , R 1 ) et (p 2 , R 2 ).

Propriétés des transformations rigides
Notations
Soient T , T 1 et T 2 représentant les transformations rigides
(p, R) (p 1 , R 1 ) et (p 2 , R 2 ).
Combinaison : T 1 T 2 =
( )
R1 R 2 R 1 p 2 + p 1
.
0 1

Propriétés des transformations rigides
Notations
Soient T , T 1 et T 2 représentant les transformations rigides
(p, R) (p 1 , R 1 ) et (p 2 , R 2 ).
Combinaison : T 1 T 2 =
( )
R1 R 2 R 1 p 2 + p 1
.
0 1
Elément neutre : matrice identité d’ordre 4.

Propriétés des transformations rigides
Notations
Soient T , T 1 et T 2 représentant les transformations rigides
(p, R) (p 1 , R 1 ) et (p 2 , R 2 ).
Combinaison : T 1 T 2 =
( )
R1 R 2 R 1 p 2 + p 1
.
0 1
Elément neutre :
(
matrice identité d’ordre 4.
R
Inverse : T −1 T
−R
=
T )
p
.
0 1

Vecteur vitesse de rotation
Définition
Prise en compte du temps : mouvement rigide. Vecteur vitesse
de rotation Ω porté par l’axe instantané de rotation du solide S,
dirigé suivant le principe du tire-bouchon
Ω
z ′
z
x
O
OM
x ′
y ′
y
v M
M

Vitesse d’un point lié à un solide
Rotations pures
Soit Ω le vecteur vitesse de rotation du solide S et v M la vitesse
de M appartenant à S, de coordonnées v M .
Expression de la vitesse
v M = Ω × OM,
soit v M = Ω × m = ˆΩ m,
avec :
⎛
⎞
0 −Ω z Ω y
ˆΩ = ⎝ Ω z 0 −Ω x
⎠
−Ω y Ω x 0

Vitesse d’un point lié à un solide
Cas général
Mouvement rigide : combinaison d’une translation et d’une
rotation.
Expression de la vitesse
v M = ṗ + ˆΩ m.

Plan
1 Transformations et des mouvements rigides
Notations et définitions
Rotations
Transformations rigides
Mouvements rigides
2 Description des bras manipulateurs
Chaîne cinématique d’un bras manipulateur
Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Relations géométriques
Relations cinématiques
3 Modélisation des bras manipulateurs
Configuration et situation d’un bras manipulateur
Modèle géométrique direct
Modèle géométrique inverse
Modèle cinématique direct

Types de bras manipulateurs considérés
Hypothèse
On ne considère ici que les systèmes mécaniques composés
de chaînes cinématiques polyarticulées ouvertes, appelés bras
manipulateurs série.

Description des chaînes cinématiques ouvertes
Définition
Bras manipulateur : n corps mobiles rigides reliés par n liaisons
rotoïdes et prismatiques
corps corps corps corps
C 1 C 2 C n−1 C n
bâti
(corps C 0)
liaison liaison liaison liaison liaison
L 1 L 2 L 3 L n−1 L n

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Notations
i-ème corps : repère R i = (O i , x i , y i
, z i ), avec
i = 0, 1, . . . , n.
αi−1
z i
x i
Oi
z i
z i−1
ri
Oi−1
x i−1
z i
ai−1
Ωi−1
x i−1
x i
θi
axe liaison
Li−1
axe liaison
Li

Placement des repères R 1 à R n−1
αi−1
z i
x i
Oi
z i
z i−1
ri
Oi−1
x i−1
z i
ai−1
Ωi−1
x i−1
x i
θi
axe liaison
Li−1
axe liaison
Li
O i−1 est le pied de la perpendiculaire commune à L i−1 et L i sur
L i−1 (axes parallèles, choix arbitraire de la perpendiculaire
commune).

Placement des repères R 1 à R n−1
αi−1
z i
x i
Oi
z i
z i−1
ri
Oi−1
x i−1
z i
ai−1
Ωi−1
x i−1
x i
θi
axe liaison
Li−1
axe liaison
Li
x i−1 : vecteur unitaire de la perpendiculaire commune, orienté
de L i−1 vers L i (axes concourants ou confondus : orientation
arbitraire).

Placement des repères R 1 à R n−1
αi−1
z i
x i
Oi
z i
z i−1
ri
Oi−1
x i−1
z i
ai−1
Ωi−1
x i−1
x i
θi
axe liaison
Li−1
axe liaison
Li
z i−1 : vecteur unitaire de L i−1 , librement orienté (débattements
positifs et symétriques).

Placement des repères R 1 à R n−1
αi−1
z i
x i
Oi
z i
z i−1
ri
Oi−1
x i−1
z i
ai−1
Ωi−1
x i−1
x i
θi
axe liaison
Li−1
axe liaison
Li
y i−1
: tel que le repère R i−1 soit orthonormé direct.

Placement des repères R 0 et R n
Convention
Repère R 0 : libre, en suivant des considérations de
simplicité.
r n+1
z
O
y
z n
O n
O n+1
x n
a n
x

Placement des repères R 0 et R n
Convention
Repère R 0 : libre, en suivant des considérations de
simplicité.
Point O n+1 : associé à l’organe terminal (OT).
r n+1
z
O
y
z n
O n
O n+1
x n
a n
x

Placement des repères R 0 et R n
Convention
Repère R 0 : libre, en suivant des considérations de
simplicité.
Point O n+1 : associé à l’organe terminal (OT).
Repère R n : tel que O n+1 ∈ (O n , x n , z n ).
r n+1
z
O
y
z n
O n
O n+1
x n
a n
x

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
α i−1
z i
α i−1 : angle algébrique entre z i−1
et z i , mesuré autour de x i−1 .
z i
z i−1
O i
x i
r i
O i−1
Ω i−1
L i
x i−1
z i
a i−1
x i
x i−1
θ i
axe liaison
L i−1
axe liaison

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
z i
α i−1
z i−1
x i−1
z i
O i
r i
z i
x i
α i−1 : angle algébrique entre z i−1
et z i , mesuré autour de x i−1 .
a i−1 : distance arithmétique de la
perpendiculaire commune aux
axes des liaisons L i−1 et L i
mesurée le long de x i−1 .
O i−1
Ω i−1
L i
a i−1
x i
x i−1
θ i
axe liaison
L i−1
axe liaison

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
z i
α i−1
z i−1
x i−1
z i
a i−1
O i
r i
z i
x i
x i−1
x i
θ i
α i−1 : angle algébrique entre z i−1
et z i , mesuré autour de x i−1 .
a i−1 : distance arithmétique de la
perpendiculaire commune aux
axes des liaisons L i−1 et L i
mesurée le long de x i−1 .
θ i : angle algébrique entre x i−1 et
x i , mesuré autour de z i .
O i−1
Ω i−1
L i
axe liaison
L i−1
axe liaison

Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
z i
α i−1
z i−1
z i
O i
r i
O i−1 x i−1
z i
a i−1
x i
x i−1
θ i
axe liaison
L i−1
axe liaison
L i
Ω i−1
x i
α i−1 : angle algébrique entre z i−1
et z i , mesuré autour de x i−1 .
a i−1 : distance arithmétique de la
perpendiculaire commune aux
axes des liaisons L i−1 et L i
mesurée le long de x i−1 .
θ i : angle algébrique entre x i−1 et
x i , mesuré autour de z i .
r i : distance algébrique du point
O i à la perpendiculaire, mesuré
le long de z i .

Exemple
Ici commencent les travaux dirigés. . .

Tansformation rigide
Transformation rigide paramétrée :
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 0 1 0 0 a i−1 cos θ i − sin θ i 0 0 1 0 0 0
T i−1, i = ⎜0 cos α i−1 − sin α i−1 0
⎟ ⎜0 1 0 0
⎟ ⎜ sin θ i cos θ i 0 0
⎟ ⎜0 1 0 0
⎟
⎝0 sin α i−1 cos α i−1 0⎠
⎝0 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1 0⎠
⎝0 0 1 r i
⎠
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
} {{ } } {{ } } {{ } } {{ }
R(x i−1 , α i−1 )
translation de a i−1 x i−1
R(z i , θ i )
translation de r i z i
soit :
⎛
⎞
cos θ i − sin θ i 0 a i−1
T i−1, i = ⎜cos α i−1 sin θ i cos α i−1 cos θ i − sin α i−1 −r i sin α i−1
⎟
⎝ sin α i−1 sin θ i sin α i−1 cos θ i cos α i−1 r i cos α i−1
⎠
0 0 0 1

Tansformation rigide
Transformation rigide paramétrée :
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
1 0 0 0 1 0 0 a i−1 cos θ i − sin θ i 0 0 1 0 0 0
T i−1, i = ⎜0 cos α i−1 − sin α i−1 0
⎟ ⎜0 1 0 0
⎟ ⎜ sin θ i cos θ i 0 0
⎟ ⎜0 1 0 0
⎟
⎝0 sin α i−1 cos α i−1 0⎠
⎝0 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 1 0⎠
⎝0 0 1 r i
⎠
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
} {{ } } {{ } } {{ } } {{ }
R(x i−1 , α i−1 )
translation de a i−1 x i−1
R(z i , θ i )
translation de r i z i
qui prend la forme :
T i−1, i =
( )
Ri−1, i p i−1, i
0 1
où R i−1, i représente la rotation entre les repères R i−1 et R i et
p i−1, i la translation entre ces mêmes repères.

Liaison prismatique
ṗ i
= ˙q i z i
O n
˙q i z i
O i
axe liaison
L i
Vitesse du point O n et vitesse de rotation de R n :
ṗ i
= ˙q i z i ,
Ω i = 0.

Liaison rotoïde
p i
= ˙q i z i × p i,n
O n
p i,n
Ω i = ˙q i z i
O i
axe liaison
L i
Vitesse du point O n et vitesse de rotation de R n :
ṗ i
= ˙q i z i × p i,n
,
Ω i = ˙q i z i .

Relations cinématiques, cas général
Notations
Liaison identifiée par le paramètre σ i et son complément à 1 ¯σ i :
{
0, pour une liaison rotoïde,
σ i =
1, pour une liaison prismatique.
Vitesses du repère de l’organe terminal en O n
ṗ i
= (σ i z i + ¯σ i z i × p i,n
) ˙q i ,
Ω i = (¯σ i z i ) ˙q i .

Plan
1 Transformations et des mouvements rigides
Notations et définitions
Rotations
Transformations rigides
Mouvements rigides
2 Description des bras manipulateurs
Chaîne cinématique d’un bras manipulateur
Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiés
Relations géométriques
Relations cinématiques
3 Modélisation des bras manipulateurs
Configuration et situation d’un bras manipulateur
Modèle géométrique direct
Modèle géométrique inverse
Modèle cinématique direct

Configuration
Définition
Configuration d’un système mécanique : repère la position de
tous ses points dans un repère donné.
Cas d’un bras manipulateur
Configuration d’un bras manipulateur : vecteur q de n
coordonnées indépendantes appelées coordonnées
généralisées, appartenant à l’espace des configurations N .
Coordonnées généralisées : angles de rotation pour les
liaisons rotoïdes, valeurs des translations pour les liaisons
prismatiques.

Situation
Définition
Situation d’un solide : position et orientation de ce solide dans
un repère donné.
Cas d’un bras manipulateur
Situation de l’OT du bras manipulateur : vecteur x de m
coordonnées opérationnelles indépendantes appartenant à
l’espace opérationnel M, de dimension m 6. Définition de la
situation selon le problème (plan, positionnement seul . . .) et le
paramétrage choisi (orientation notamment).

Modèle géométrique direct
Définition
Modèle géométrique direct (MGD) d’un bras manipulateur :
situation de son OT en fonction de sa configuration :
f : N −→ M
q ↦−→ x = f (q).
Cas général
On exprime x = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 ) T , avec (x 1 x 2 x 3 ) T
coordonnées de position dans R 0 et (x 4 x 5 x 6 ) T coordonnées
d’orientation, en fonction de q = (q 1 q 2 . . . q n ) T .
. . . souvent on s’arrête aux cosinus directeurs incomplets

Calcul du MGD
Orientation extraite de la matrice de rotation entre les
repères bâti et OT.

Calcul du MGD
Orientation extraite de la matrice de rotation entre les
repères bâti et OT.
Position (x 1 x 2 x 3 ) T du point O n+1 déduite de la position
(p x p y p z ) T du point O n dans R 0 , compte tenu des
coordonnées (a n 0 r n+1 ) T de O n+1 dans R n :
x 1 = p x + a n x x + r n+1 z x
x 2 = p y + a n x y + r n+1 z y
x 3 = p z + a n x z + r n+1 z z

Règles pratiques
Calcul de la position de O n et des cosinus directeurs
incomplets :
T 0,n (q) = T 0,1 (q 1 ) T 1,2 (q 2 ) . . . T n−1,n (q n ).
Règles
On note, pour i, j, . . . compris entre 1 et n :
S i = sin q i
C i = cos q i
S i+j = sin (q i + q j )
C i+j = cos (q i + q j )

Règles pratiques
Calcul de la position de O n et des cosinus directeurs
incomplets :
T 0,n (q) = T 0,1 (q 1 ) T 1,2 (q 2 ) . . . T n−1,n (q n ).
Règles
Chaque nouvelle opération : une variable intermédiaire.

Règles pratiques
Calcul de la position de O n et des cosinus directeurs
incomplets :
T 0,n (q) = T 0,1 (q 1 ) T 1,2 (q 2 ) . . . T n−1,n (q n ).
Règles
Calcul du produit à rebours : pas de calcul de la seconde
colonne des différentes matrices.

Règles pratiques
Calcul de la position de O n et des cosinus directeurs
incomplets :
T 0,n (q) = T 0,1 (q 1 ) T 1,2 (q 2 ) . . . T n−1,n (q n ).
Règles
Deux transformations se composent aisément : on effectue tout
d’abord leur produit (exemple : deux rotations successives
d’axes parallèles).

Exemple
Suite des travaux dirigés. . .

Modèle géométrique inverse
Définition
Modèle géométrique inverse (MGI) : la ou les configurations
correspondant à une situation de l’OT donnée :
f −1 : M −→ N
x ↦−→ q = f −1 (x).
Résolubilité
Existence d’un nombre fini de solutions :
Si n < m : pas de solution.
Si n = m : nombre fini de solutions (en général).
Si n > m : infinité de solutions.

Calcul
Résolution du MGI
Pas de méthode analytique systématique pour calculer le MGI.
Le mieux est de reprendre les équations du MGD et de mener le
calcul à l’envers. Dans le cas où n = 6, l’existence d’un poignet
sphérique permet de débuter la résolution par :
p x = x 1 − a n x x − r n+1 z x ,
p y = x 2 − a n x y − r n+1 z y ,
p z = x 3 − a n x z − r n+1 z z .
Ensuite résolution au cas par cas pour exprimer les q i , pour
i = 1, 2, . . . , n en fonction de p x , p y , p z et des cosinus
directeurs.

Exemple
Suite des travaux dirigés. . .

Modèle cinématique direct
Définition
Modèle cinématique direct (MCD) : relation entre les vitesses
opérationnelles ẋ et les vitesses généralisées ˙q :
ẋ = J ˙q
où J est matrice jacobienne de la fonction f , de dimension
m × n :
J : T q N −→ T x M
˙q ↦−→ ẋ = J ˙q, où J = ∂f
∂q .

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de R n
ṗ =
Ω =
n∑
(σ i z i + ¯σ i z i × p i,n
) ˙q i ,
i=1
n∑
(¯σ i z i ) ˙q i .
i=1

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de R n
Sous forme vectorielle :
(ṗ )
= J
Ω g ˙q
( )
σ1 z
J g = 1 + ¯σ 1 z 1 × p 1,n
σ 2 z 2 + ¯σ 2 z 2 × p 2,n
. . . σ nz n + ¯σ nz n × p n,n
¯σ 1 z 1 ¯σ 2 z 2 . . . ¯σ nz n

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Premier temps : vitesse de O n et vitesse de rotation de R n
Dans R 0 : (ṗ )
= J
Ω g ˙q

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Second temps : calcul de la vitesse du point O n+1 et des
dérivées des paramètres d’orientation du repère R n
Position de O n+1 :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 p x x x
z x
⎝x 2
⎠ = ⎝p y
⎠ + a n
⎝x y
⎠ + r n+1
⎝z y
⎠
x 3 p z x z z z

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Second temps : calcul de la vitesse du point O n+1 et des
dérivées des paramètres d’orientation du repère R n
Vitesse de O n+1 :
⎛
⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
ṗ x Ω x
x x
z x
⎠ = ⎝ṗ y
⎠ + ⎝Ω y
⎠ × ⎝a n
⎝x y
⎠ + r n+1
⎝z y
⎠⎠
ṗ z Ω z x z z z
⎞
ẋ 1
ẋ2
ẋ3

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Second temps : calcul de la vitesse du point O n+1 et des
dérivées des paramètres d’orientation du repère R n
⎛
⎝
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ṗ x Ω x
⎠ = ⎝ṗ y
⎠ + D ⎝Ω y
⎠
ṗ z Ω z
⎞
ẋ 1
ẋ2
ẋ3
avec :
⎛
0 a n x z + r n+1 z z
⎞
−a n x y − r n+1 z y
D = ⎝−a n x z − r n+1 z z 0 a n x x + r n+1 z x
⎠ .
a n x y + r n+1 z y −a n x x − r n+1 z x 0

Modèle cinématique direct
Calcul
Dérivation du MGD pour les structures simples sinon . . .
Second temps : calcul de la vitesse du point O n+1 et des
dérivées des paramètres d’orientation du repère R n
Dérivées des paramètres d’orientation du repère R n :
⎛ ⎞
ẋ 4
⎛ ⎞
⎜ ẋ5
Ω x
⎟
⎝. . . ⎠ = C ⎝Ω y
⎠
Ω
ẋ z
m

Modèle cinématique direct
Finalement :
MCD :
( ) (ṗ )
I D
ẋ =
=
0 C Ω
matrice jacobienne :
J =
( ) I D
J
0 C g .
( ) I D
J
0 C g ˙q,

Règles pratiques
Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :
J g =
( ) ( ) ( ) ( )
R0,1 0 R1,2 0 Rk−1,k 0 I −ˆpk+1,n |
. . .
Rk
J
0 R 0,1 0 R 1,2 0 R k−1,k 0 I
k+1 | Rk
avec :

Règles pratiques
Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :
J g =
( ) ( ) ( ) ( )
R0,1 0 R1,2 0 Rk−1,k 0 I −ˆpk+1,n |
. . .
Rk
J
0 R 0,1 0 R 1,2 0 R k−1,k 0 I
k+1 | Rk
avec :
k = Ent( n 2
) : indice préférentiel

Règles pratiques
Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :
J g =
( ) ( ) ( ) ( )
R0,1 0 R1,2 0 Rk−1,k 0 I −ˆpk+1,n |
. . .
Rk
J
0 R 0,1 0 R 1,2 0 R k−1,k 0 I
k+1 | Rk
avec :
k = Ent( n 2
) : indice préférentiel
robot à poignet sphérique : ˆp 4,6 = 0

Règles pratiques
Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :
J g =
( ) ( ) ( ) ( )
R0,1 0 R1,2 0 Rk−1,k 0 I −ˆpk+1,n |
. . .
Rk
J
0 R 0,1 0 R 1,2 0 R k−1,k 0 I
k+1 | Rk
avec :
k = Ent( n 2
) : indice préférentiel
robot à poignet sphérique : ˆp 4,6 = 0
ˆp k+1,n | Rk : matrice anti-symétrique associée à la projection
de p k+1,n dans R k

Règles pratiques
Pour les calculs analytiques, on utilise (sans le montrer) :
J g =
( ) ( ) ( ) ( )
R0,1 0 R1,2 0 Rk−1,k 0 I −ˆpk+1,n |
. . .
Rk
J
0 R 0,1 0 R 1,2 0 R k−1,k 0 I
k+1 | Rk
avec :
k = Ent( n 2
) : indice préférentiel
robot à poignet sphérique : ˆp 4,6 = 0
ˆp k+1,n | Rk : matrice anti-symétrique associée à la projection
de p k+1,n dans R k
J k+1 | Rk : projection dans R k de
J k+1 =
(
σ1 z 1 + ¯σ 1 z 1 × p 1,k+1
σ 2 z 2 + ¯σ 2 z 2 × p 2,k+1
. . . σ nz n + ¯σ nz n × p n,k+1
¯σ 1 z 1 ¯σ 2 z 2 . . . ¯σ nz n
)

Exemple
Fin des travaux dirigés.

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Problèmes point-à-point
Tâche
Atteindre une position et une orientation désirées x f , à
partir d’une configuration de départ q 0 .

Problèmes point-à-point
Tâche
Atteindre une position et une orientation désirées x f , à partir
d’une configuration de départ q 0 =
Génération de mouvements dans l’espace articulaire.
x f
MGI
q f
génération
de mouvement
q r (t)
variateur
robot
q 0
q(t)
capteur

Problèmes point-à-point
Avantages
Moins de calculs en ligne car pas besoin des modèles
Aucun problème au passage des configurations singulières
Contraintes butées/vitesses/accélérations maximales
prises en compte lors de la génération de la consigne
x f
MGI
q f
génération
de mouvement
q r (t)
variateur
robot
q 0
q(t)
capteur

Problèmes point-à-point
Inconvénients
Prise en compte des contraintes géométriques impossible
Gestion des collisions

Problèmes à mouvement opérationnel imposé
Tâche
Calcul des commandes articulaires du robot permettant de
suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps.

Problèmes à mouvement opérationnel imposé
Tâche à mouvement opérationnel imposé
Calcul les commandes articulaires du robot permettant de
suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps =
x r (t) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche,
puis calcul de q r (t) par inversion de modèle.
x f
génération
de mouvement
x 0
x r (t)
+
x(t)
−
cinématique
inverse
MGD
q r (t)
variateur robot
q(t)
capteur

Problèmes à mouvement opérationnel imposé
Avantages
Réaliser des tâches plus complexes
Reformuler les problèmes de commande selon une
approche référencée capteur

Problèmes à mouvement opérationnel imposé
Inconvénients
Difficile de prendre en compte des contraintes telles que
butées, limites de vitesse, évitement des obstacles, . . .
Requiert les modèles du robot
Problème en cas configuration singulière
x f
génération
de mouvement
x 0
x r (t)
+
x(t)
−
cinématique
inverse
MGD
q r (t)
variateur robot
q(t)
capteur

Système de commande d’un robot Adept Viper s650
Système de commande d’un robot
Synoptique
Puissance : alimentation/asservissement des actionneurs
Contrôle : consignes, supervision, communication

Contrôleur de robot
Module Adept SmartController CX
Génération et supervision du mouvement
Système d’exploitation dédié, langage programmation
Connectique importante
Générique

Contrôleur de robot : programmation
; Define a simple transformation
SET loc_a = TRANS(300,50,350,0,180,0)
; Move to the location
MOVE loc_a
BREAK
; Move to a location offset -50mm in X, 20mm in Y,
; and 30mm in Z relative to "loc_a"
MOVE loc_a:TRANS(-50, 20, 30)
BREAK
; Define "loc_b" to be the current location relative
; to "loc_a"
HERE loc_a:loc_b ;loc_b = -50, 20, 30, 0, 0, 0
BREAK
; Define "loc_c" as the vector sum of "loc_a" and "loc_b"
SET loc_c = loc_a:loc_b ;loc_c = 350, 70, 320, 0, 180, 0
; Once this code has run, loc_b exists as a
; transformation that is completely independent
; of loc_a. The following instruction moves the
; robot another -50mm in the x, 20mm in the y,
; and 30mm in the z direction (relative to loc_c):
MOVE loc_c:loc_b

Contrôleur de robot : communication
Communications Adept SmartController CX
IEEE 1394 (FireWire) privilégiée : transferts à hauts débits
(800 Mb/s), cadencée à 8kHz, temps-réel
Fast Ethernet, DeviceNet=bus terrain CAN, liaisons séries
RS-232, XDIO=entrées/sorties tout ou rien, etc.
Fonctionnalités dédiées : commande par vision, pilotage
coordonné avec automate

Contrôleur de robot : communication
Communications Adept SmartController CX
Connecteur XMPC : boîtier de commande manuelle
Apprentissage : enregistrement des variables utilisables
dans les programmes
Sécurité : arrêt d’urgence/interrupteur puissance

Variateur de vitesse
Fonctionnalités principales du variateur MotionBlox-60R
Alimentation des moteurs par une tension variable
Asservissement courant/vitesse/position des axes
Autres fonctionnalités :
Communications avec le contrôleur pour la supervision du
robot (à 1kHz : références, valeurs codeurs, statuts)
Diagnostic du bon fonctionnement des moteurs : statuts,
erreur d’asservissement, chauffe moteur
Contrôle des freins des axes : électrique/manuel
Arrêt d’urgence pour couper la puissance du robot
Puissances mises en jeu
Variables, fonctions des masses en mouvement et des vitesses.
Viper s650 : 2kW max pour 5 kg utiles.

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Motorisation
Commande d’axe
Mécanique : association moteur+réducteur de vitesse
Capteur de position/vitesse
Electronique de puissance : variateur de vitesse
Moteurs électriques pour la robotique
Moteurs dédiés à la robotique = moteurs à courant continu,
avec ou sans balais.
Quelques cas plus exotiques : asynchrones, pneumatiques,
hydrauliques, piézoélectriques, pas à pas, . . .

Moteurs à courant continu (avec balais)

Moteurs à courant continu (avec balais)
Avantages
Simple et très répandu
Commande très simple
Electronique peu coûteuse
Inconvénients
Usure des balais
Vitesse limitée
Etincelles

Moteurs à courant continu sans balais
Principe
Moteurs synchrones auto-pilotés, commande basée sur
l’analogie avec le moteur à courant continu.
Avantages
Meilleur rendement, meilleures propriétés mécaniques
Meilleur couple massique
Vitesse de rotation maximale plus grande
Moins de bruit de commutation, pas d’étincelles
Inconvénients
Plus cher
Electronique plus complexe (numérique)
Effets d’ondulation de couple aux basses vitesses

Réducteurs
Intérêt
Moteur adapté à des vitesses de rotation élevées
Augmentation du couple
Inconvénients
Augmentation de l’inertie de l’axe, et surtout des frottements. . .

Réducteurs conventionnels et planétaires
Réducteurs à dentures droites ou hélicoïdales
Réducteurs à étages ou train épicycloïdal

Réducteurs planétaires
Principe
Deux arbres coaxiaux : les planétaires (extérieur=couronne) +
des satellites qui engrènent avec les planétaires, reliés entre
eux par un porte-satellites.

Réducteurs Harmonic Drive
Principe
Utilisation d’une cloche déformable, entrainée par une partie
mobile légèrement elliptique, qui engrène sur une couronne
circulaire possédant deux dents de plus que la cloche.

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Capteurs
Intérêt
Mesure de la position ou de la vitesse de l’arbre moteur
Asservissement
Inconvénients
Pas mal de défauts potentiels. . .

Codeurs incrémentaux
Principe
Emission de lumière par une photodiode : signaux lumineux qui
perçus sur les récepteurs donnent des signaux logiques
déphasés A, B et le signal d’index I (ou Z).

Codeurs incrémentaux
Avantages
Bonne résolution, de loin la solution la plus classique
Signaux Ā, ¯B pour la redondance
Très bonne compacité du capteur
Inertie négligeable, pas de frottement
Inconvénients
Quantification (basses vitesses, dérivation)
Pas de position absolue de l’axe

Recepteur de ligne
Circuits utilisables:
- MC 3486
- SN 75175
-AM26LS32
244 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées
Codeur
Line Driver
DS26LS31
Canal
Canal A
Canal
Canal B
Canal
Canal I
R
R
Codeur HEDL 5540, 500 impulsions, 3 canaux, avec Line Driver RS 422
maxon tacho
R
Programme Stock
Numéros de commande
Programme Standard
Programme Spécial (sur demande!)
110512 110514 110516 110518
Type
Nombre d'impulsions par tour 500 500 500 500
Nombre de canaux 3 3 3 3
Fréquence impulsionnelle max. (kHz) 100 100 100 100
Diamètre de l'arbre (mm) 3 4 6 8
longueur totale
longueur totale
Combinaison
+Moteur Page + Réducteur Page +Frein Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur
RE 25, 10 W* 77 75.3
RE 25, 10 W* 77 GP 26, 0.5 - 2.0 216 ●
RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●
RE 25, 10 W* 77 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 25, 20 W* 78 75.3
RE 25, 20 W* 78 ●
RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●
RE 25, 20 W* 78 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 26, 18 W* 79 77.2
RE 26, 18 W* 79 ●
RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0.75 - 6.0 Nm 218/220 ●
RE 26, 18 W* 79 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 35, 90 W* 81 91.9
RE 35, 90 W* 81 ●
RE 35, 90 W* 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●
RE 35, 90 W* 81 AB 40 279 124.1
RE 35, 90 W* 81 AB 40 279 ●
RE 35, 90 W* 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 AB 40 279 ●
RE 36, 70 W* 82 92.2
RE 36, 70 W* 82 ●
RE 36, 70 W* 82 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 36, 70 W* 82 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●
RE 40, 150 W* 83 91.7
RE 40, 150 W* 83 ●
RE 40, 150 W* 83 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227 ●
RE 40, 150 W* 83 AB 40 279 124.2
RE 40, 150 W* 83 AB 40 279 ●
RE 40, 150 W* 83 GP 42, 4.0 - 30 Nm 227 AB 40 279 ●
RE 75, 250 W 84 241.5
RE 75, 250 W 84 ●
RE 75, 250 W 84 AB 75 282 281.4
RE 75, 250 W 84 AB 75 282 ●
*Connectique voir page 245
Données techniques Connectique pour moteur RE 75 Exemple de connexion
Tension d'alimentation 5 V 10 %
Connectique
Signal de sortie EIA Standard RS 422
Type SOURIAU 8GM-QL2-12P
Drives utilisée:
DS26LS31
1 VCC
Déphasage (nominal) 90°e
2 N.C. (non utilisé)
Distance entre flancs s min. 45°e
3 GND
4 N.C. (non utilisé)
Tempsdemontéedusignal
5 Canal I (Index)
(typique avec CL =25pF,RL =2.7k, 25°C) 180 ns
6 Canal I
Tempsdedescentedusignal
7 Canal B
(typique avec 8 Canal B
CL =25pF,RL =2.7k, 25°C) 40 ns
9 Canal A
Largeur (nominale) d'impulsion d'index 90°e
10 Canal A
Plage de températures
0 ... +70°C
11 N.C. (non utilisé)
Moment d'inertie du disque 0.6 gcm 2
12 N.C. (non utilisé)
Connecteurs connseillés
Accélération angulaire max. 250 000 rad s -2
Type SOURIAU 8GM-DM2-12S
Courant par canal
min. -20 mA, max. 20 mA
(métal sortie droite:
Option
1000 impulsions, 2 canaux
maxon Art. No. 2675.538) ou
8G-V2-12S ((plastique, angle à 90°:
maxon Art. No. 2675.539)
Résistance terminale R = typique 100

Génératices tachymétriques et résolveurs
Génératrice tachymétrique = machine à courant continu utilisée
en génératrice :
mesure continue et absolue de la vitesse de l’axe
plus encombrant, beaucoup plus coûteux
Résolveur = dispositif avec un bobinage primaire tournant, et
deux bobinages secondaires diphasés, dont le couplage
dépend de la position du rotor :
robustesse et longue durée de vie
signaux mesurés transmis sans perturbations
fournit potentiellement position et vitesse

252 maxon tacho Edition Juillet 2005 / Modifications réservées
Génératrice DCT 22, 0.52 Volt
maxon tacho
Informations importantes
● Génératrice équipée du rotor sans fer maxon.
● Génératrice avec commutation en métaux précieux.
● Inertie du système = inertie rotor moteur + inertie
rotor génératrice.
● Le rotor génératrice tourne dans le même sens
que le rotor moteur (la rotation du moteur en sens
horaire, vu en bout d’axe, fournit une tension positive
sur la cosse marquée +).
● Il est recommandé d’utiliser un amplificateur à haute
impédance d’entrée.
● La génératrice ne doit pas être trop chargée en
courant.
● La fréquence de résonance donnée provient des
systèmes rotor-moteur et rotor-TG.
Programme Stock
Numéros de commande
Programme Standard
Programme Spécial (sur demande!)
118908 118909 118910
Type
Diamètre de l'arbre (mm) 2 3 4
longueur totale
longueur totale
Combinaison
+Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur
RE 25, 10 W 77 76.8
RE 25, 10 W 77 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●
RE 25, 10 W 77 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●
RE 25, 10 W 77 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●
RE 25, 10 W 77 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 25, 20 W 78 76.8
RE 25, 20 W 78 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●
RE 25, 20 W 78 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●
RE 25, 20 W 78 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●
RE 25, 20 W 78 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 26, 18 W 79 79.8
RE 26, 18 W 79 GP 26, 0.5 - 2.0 Nm 216 ●
RE 26, 18 W 79 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 218 ●
RE 26, 18 W 79 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●
RE 26, 18 W 79 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 35, 90 W 81 89.0
RE 35, 90 W 81 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●
RE 35, 90 W 81 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●
RE 35, 90 W 81 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●
RE 36, 70 W 82 89.3
RE 36, 70 W 82 GP 32, 0.75 - 4.5 Nm 219 ●
RE 36, 70 W 82 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 220 ●
RE 36, 70 W 82 GP 32, 0.4 - 2.0 Nm 222 ●
RE 36, 70 W 82 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224 ●
180 W
Données techniques
Exemple de connexion
Tension de sortie par 1000 tr / min 0.52 V Courant max. conseillé 10 mA
Résistance connectée tachymètrique 56.6 Tolérancedelatensiondesortie 15 %
Ondulation moyenne effective crête à crête 6 % Inertie du rotor génératrice < 3 gcm 2
T
1kW
Nombre d'ondulations par tour 14 Fréq. de résonance avec le mot. des p. 77 - 79 > 2 kHz
Linéarité entre 500 et 5000 tr / % avec le moteur des pages 86, 88 > 3 kHz
min à vide 0.2
Linéarité avec résistance de charge de 10 k 0.7 % avec le moteur des pages 81, 82 > 4.5 kHz
Erreur d'inversion 0.1 % Plage de températures -20 ... +65°C
Coefficient de température de la FEM (aimant) -0.02 % /°C
Coefficient de temp. sur résistance d'induit +0.4 % /°C Option: également livrable avec des fils de connexion.
Rippel = x 100 (%)

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon tacho 253
SIN
COS
Résolveur Res 26, 10 Volt
Primaire
rouge / blanc
d30
b30
jaune / blanc
Resolverrotor
b32
jaune
Secondaire
noir
bleu
z32
rouge
d32
U
COS
SIN
z30 360°e
Angle
rotor
maxon tacho
Programme Stock
Numéros de commande
Programme Standard
Programme Spécial (sur demande!)
166488 133405 268912 216287
Type
Diamètre de l'arbre (mm) 4 6 6 6
longueur totale
longueur totale
Combinaison
+Moteur Page + Réducteur Page Longueur totale [mm] / voir: + Réducteur
EC 32, 80 W 159 80.1
EC 32, 80 W 159 GP 32, 0.75 - 219
4.5 Nm
EC 32, 80 W 159 GP 32, 1.0 - 6.0 Nm 221
EC 40, 120 W 160 96.6
EC 40, 120 W 160 GP 42, 3.0 - 15 Nm 224
EC 40, 120 W 160 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227
EC 45, 150 W 161 111.2
EC 45, 150 W 161 ●
EC 45, 150 W 161 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227
EC 45, 250 W 162 144.0
EC 45, 250 W 162 ●
EC 45, 250 W 162 GP 52, 4.0 - 30 Nm 227
EC 45, 250 W 162 GP 62, 8.0 - 50 Nm 229
EC 60, 400 W 165 177.3
EC 60, 400 W 165 ●
Données techniques
Tension d'entrée 10 V peak, 10 kHz Moment d'inertie du rotor 6 gcm 2
Transformation 0.5 Poids 40 g
Erreur électrique 10 minutes Plage de températures -55 +155°C

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Variateurs de vitesse
Objectifs et hypothèses
principe de fonctionnement des variateurs de vitesse

Variateurs de vitesse
Objectifs et hypothèses
principe de fonctionnement des variateurs de vitesse
cas du moteur à courant continu (mcc)

Variateurs de vitesse
Objectifs et hypothèses
principe de fonctionnement des variateurs de vitesse
cas du moteur à courant continu (mcc)
bibliographie : Techniques de l’Ingénieur

Variateurs de vitesse
Objectifs et hypothèses
principe de fonctionnement des variateurs de vitesse
cas du moteur à courant continu (mcc)
bibliographie : Techniques de l’Ingénieur
Définition
Variateur de vitesse : dispositif permettant de réaliser
l’alimentation et la commande d’un moteur.

Schéma de principe
FIGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :
redresseur (conversion alternatif/continu)

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :
redresseur (conversion alternatif/continu)
hacheur (conversion continu/continu).

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :
redresseur (conversion alternatif/continu)
hacheur (conversion continu/continu).
différents cas

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :
redresseur (conversion alternatif/continu)
hacheur (conversion continu/continu).
différents cas
source d’énergie : monophasé, triphasé

Principe et modélisation du convertisseur statique
Convertisseurs statiques
Alimentation du moteur à partir d’un réseau électrique
alternatif :
redresseur (conversion alternatif/continu)
hacheur (conversion continu/continu).
différents cas
source d’énergie : monophasé, triphasé
technologie des convertisseurs statiques : pont redresseur
commandé ou non ; hacheur 1, 2 ou 4 quadrants

Cas triphasé, redresseur non commandé, hacheur 4Q
FIGURE: Schéma du convertisseur statique [Louis2002]

Choix pour la variation de vitesse
Alimentation
source d’alimentation : dépend des besoins en termes de
puissance
systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par
des batteries

Choix pour la variation de vitesse
Alimentation
source d’alimentation : dépend des besoins en termes de
puissance
systèmes embarqués : (réseau+redesseur) remplacé par
des batteries
Hacheur
choix le plus important pour la variation de vitesse
hacheur 4Q : fonctionnement possible dans les différents
modes moteur, freinage (attention à la réversibilité de la
source)

FIGURE: Fonctionnement 4 quadrants du hacheur [Louis2002]

Modèle du hacheur
Aspect échantillonné
Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable par
le biais de son rapport cyclique α ∈ [0 1] : système
échantillonné.
Fréquence de commutation élevée en faibles puissances
(typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).

Modèle du hacheur
Aspect échantillonné
Le hacheur fournit une tension de valeur moyenne réglable par
le biais de son rapport cyclique α ∈ [0 1] : système
échantillonné.
Fréquence de commutation élevée en faibles puissances
(typiquement 50 kHz pour P < 1kW ).
Modèle en continu
Première approximation : source de tension continue de valeur
réglable :
relation tension d’alimentation du moteur/tension de
commande du rapport cyclique = simple gain.

Modélisation du mcc
i
v
c
B
ω
i
R
L
v
e
Equations
V = Ri + L di
dt + e,
e = K e Ω,
J dΩ
dt
= c − c 0 − f Ω,
c = K m i.

Mise en équation du mcc
i
v
c
B
ω
i
R
L
e
v
Equations
V (s) = (R + Ls)I(s) + E(s),
E(s) = K e Ω(s),
JsΩ(s) = C(s) − C 0 (s) − f Ω(s),
C(s) = K m I(s).
Remarque : K e ≃ K m . On pose K em = K e = K m .

Schéma-bloc
Analyse
mcc = système à contre-réaction
V (s)
+
E(s)
−
1
R + Ls
I(s)
K em
C(s) +
C 0 (s)
−
1
B + Js
Ω(s)
K em
FIGURE: Schéma de principe d’un moteur à courant continu

Modèle
En combinant les équations :
R
(f Ω(s) + JsΩ(s))+ L (
)
fsΩ(s) + Js 2 Ω(s) +K em Ω(s) = V (s).
K em K em
Fonction de transfert en vitesse
ordre 2, classe 0
G(s) = Ω(s)
V (s) =
K em
LJ
s 2 + ( R L + f J )s + Rf +K 2 em
LJ
.

Modèle en vitesse d’ordre un
Hypothèse
On néglige l’influence de l’inductance d’induit.
Fonction de transfert en vitesse
G(s) = Ω(s)
V (s) =
K
1 + τ em s ,
avec la constante de temps électromécanique du système et le gain
statique :
RJ
K em
τ em =
Rf + Kem
2 etK =
Rf + Kem
2 .
ordre 1, un pôle stable p = −1/τ em

Modèle en vitesse d’ordre deux
Première expression
G(s) =
K em
LJ
s 2 + ( R L + f J )s + Rf +K 2 em
LJ
Identification de la forme canonique :
.
G(s) =
K Ω 2 n
s 2 + 2ξΩ n s + Ω 2 .
n

Modèle en vitesse d’ordre deux
Seconde expression
G(s) =
K
1 + (τ em + µτ el )s + τ el τ em s 2 ,
avec la constante de temps électrique du système : τ el = L R .

Modèle en vitesse d’ordre deux
Seconde expression
G(s) =
K
1 + (τ em + µτ el )s + τ el τ em s 2 ,
avec la constante de temps électrique du système : τ el = L R .
Comme µ =
Rf
Rf +K 2 em

Modèles en position
Bien évidemment. . .
G(s) = Θ(s)
V (s) =
K
s(1 + τ el s)(1 + τ em s) .
Le système possède trois pôles p 1 = 0, p 2 = −1/τ el et
p 3 = −1/τ em .

●
●
●
●
Plages d'utilisation Légende Explications page 49
RE 36 36 mm, Commutation Graphite, 70 Watt
maxon DC motor
M 1:2
Programme Stock
Programme Standard
Programme Spécial (sur demande!)
Numéros de commande
118797 118798 118799 118800 118801 118802 118803 118804 118805 118806 118807 118808 118809 118810
Caractéristiques moteur
1 Puissance conseillée W 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70 70
2 Tension nominale Volt 18.0 24.0 32.0 42.0 42.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0 48.0
3 Vitesse à vide tr / min 6610 6210 6790 7020 6340 6420 5220 4320 3450 2830 2280 1780 1420 1180
4 Couple de démarrage mNm 730 783 832 865 786 785 627 504 403 326 258 198 158 127
5 Pente vitesse / couple tr / min / mNm 9.23 8.05 8.27 8.19 8.14 8.25 8.41 8.65 8.67 8.80 8.96 9.17 9.21 9.51
6 Courant à vide mA 153 105 89 70 61 55 42 33 25 20 15 12 9 7
7 Courant de démarrage A 28.6 21.5 18.7 15.3 12.6 11.1 7.22 4.80 3.06 2.04 1.30 0.784 0.501 0.334
8 Résistance aux bornes Ohm 0.628 1.11 1.71 2.75 3.35 4.32 6.65 10.00 15.7 23.5 36.8 61.3 95.8 144
9 Vitesse limite tr / min 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200 8200
10 Courant permanent max. A 3.18 2.44 1.99 1.59 1.44 1.27 1.03 0.847 0.679 0.556 0.445 0.346 0.277 0.226
11 Couple permanent max. mNm 81 88.8 88.5 89.8 90.4 90.1 89.8 89.0 89.2 88.8 88.1 87.3 87.2 85.8
12 Puissance max. fournie à la tension nom. W 123 125 146 157 129 131 84.9 56.4 36.0 23.9 15.2 9.09 5.78 3.82
13 Rendement max. % 84 85 86 86 86 86 85 84 82 81 79 77 75 72
14 Constante de couple mNm / A 25.5 36.4 44.5 56.6 62.6 70.7 86.9 105 131 160 198 253 315 380
15 Constante de vitesse tr / min / V 375 263 215 169 152 135 110 90.9 72.7 59.8 48.2 37.8 30.3 25.1
16 Constante de temps mécanique ms 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
17 Inertie du rotor gcm2 60.2 67.7 65.2 65.4 65.6 64.6 63.3 61.5 61.3 60.3 59.2 57.8 57.5 55.7
18 Inductivité mH 0.10 0.20 0.30 0.49 0.60 0.76 1.15 1.68 2.62 3.87 5.96 9.70 15.10 21.90
19 Résistance therm. carcasse / air ambiant K / W 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4 6.4
20 Résistance therm. rotor / carcasse K / W 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4 3.4
21 Constante de temps thermique du bobinage s 38 43 41 41 41 41 40 39 39 38 37 36 36 35
Spécifications
● Jeu axial 0.05 - 0.15 mm n [tr / min]
Plage de puissance conseillée
Charge maximum des roulements
9000
axiale (dynamique)
70 Watt
Plage de fonctionnement permanent
non pré-contraint
5.6 N 7000
Compte tenu des resistances thermiques (lignes 19
pré-contraint
2.4 N
et 20) la température maximum du rotor peut être
radiale (à 5 mm de la face)
28 N
atteinte au valeur nominal de couple et vitesse et à
Force de chassage (statique)
110 N 5000
la température ambiante de 25°C.
(statique, axe soutenu)
1200 N
= Limite thermique.
● Jeu radial avec roulements 0.025 mm 3000
Fonctionnement intermittent
● Température ambiante -20 ... +100°C
La surcharge doit être de courte durée.
● Température rotor max. +125°C 1000
● Nombre de lames au collecteur 13
100 200 300 M [mNm]
● Poids du moteur 350 g
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 I [A]
118804 Moteur avec bobinage à haute résistance
Aimant permanent à 2 pôles
118797
Les caractéristiques moteur du tableau sont des
Moteur avec bobinage à basse résistance
2 4 6 8 10 12 I [A]
valeurs nominales.
Voir en page 43 les plages de tolérances.
Construction modulaire maxon Aperçu à la page 17 - 21
Des informations détaillées se trouvent sur le
maxon selection program du CD-ROM ci-joint. Réducteur planétaire
Codeur MR
Pour ce moteur, les tolérances diffèrent de celles 32 mm
256 - 1024 imp.,
qui figurent dans notre spécification standard. 0.75 - 4.5 Nm
3 canaux
Voir page 219
Voir page 239
Réducteur planétaire
Codeur HEDS 5540
32 mm
500 imp.,
1.0 - 6.0 Nm
3 canaux
Voir page 220
Voir page 242
Réducteur planétaire
Codeur HEDL 5540
32 mm
500 imp.,
0.4 - 2.0 Nm
Electronique recommandée:
3 canaux
Voir page 222
ADS 50/5 page 259
Voir page 244
Réducteur planétaire
ADS 50/10 259
Génératrice DCT
42 mm
ADS_E 50/5, 50/10 260
22 mm
3 - 15 Nm
EPOS 24/5 271
0.52 V
Voir page 224
MIP 50 273
Voir page 252
Informations 17
82 maxon DC motor Edition Juillet 2005 / Modifications réservées

Vitesse [tr / min]
12000
10000
8000
6000
4000
2000
Domaine de fonctionnement
intermittent
Fonctionnement continu
Plage de puissance conseillée
20 40 60 80 Couple [mNm]
0.5 1.0 1.5 2.0
1 2 3 4 5 6
Courant permanent max.
Courant [A]
Courant [A]
ON
cont
ON
Explications sur les pages 50 - 146
Dessin dimensionnel
Sur le CD-ROM, les croquis de dimension sont Ligne 5 Pente vitesse/couple
Ligne 13 Rendement max. max [%]
disponibles en format DXF en vue de leur importation
dans n’importe quel système CAD. La pente vitesse / couple indique la force du moteur. (voir page 35 «Caractéristique de rendement»).
n /M [tr/min/mNm]
Le rendement dépend du courant ou de la vitesse
Présentation des vues conforme à la méthode E Plus cette courbe est plate, moins la vitesse est Le rendement maximal est dérivé de la relation
(ISO).
sensible aux variations de la charge. La pente vitesse
/ couple est calculée à une température de
entre la marche à vide et le courant de démarrage.
Toutes les dimensions sont exprimées en [mm].
bobinage de 25°C.
Ligne 14 Constante de couple k M [mNm / A]
Taraudage de montage dans le plastique
La constante de couple, ou couple spécifique, est le
Ligne 6 Courant à vide I
La réalisation de connexions vissées sur des flasques
plastiques nécessite une attention spéciale.
o [mA]
quotient du couple fourni et du courant s’y rapportant.
C’est le courant qui s’établit lorsque le moteur est à
vide. Il dépend du frottement des balais et du frottement
à l’intérieur des paliers, il se modifie légère-
Ligne 15 Constante de vitesse k n [tr/min/V]
Couple de serrage maximal [Ncm]
Un tournevis automatique doit être ajusté à cette
ment avec la vitesse.
Elle indique la vitesse spécifique par Volt de la tension
appliquée, sans tenir compte des pertes par
valeur d’étalonnage.
Ligne 7 Courant de démarrage
frottement. La valeur inverse de la constante de vitesse
est la constante de tension, aussi appelée
Profondeur active de vissage [mm]
I A [mA], [A]
La relation entre la profondeur de vissage et le diamètre
du pas de vis doit être au moins de 2 : 1.La profon-
C’est le rapport de la tension nominale (tension aux constante FEM.
bornes) et de la résistance du moteur. Il est obtenu
deur de vissage ne doit en aucun cas dépasser la longueur
utile de taraudage!
m [ms]
au couple de blocage.
Ligne 16 Constante de temps mécanique
Ligne 8 Résistance aux bornes R[] C’est le temps nécessaire au rotor (sans charge extérieure),
pour passer de la vitesse 0à63%desa
C’est la résistance mesurée à 25°C aux bornes
de connection. Elle détermine, sous une tension vitesseàvide.
Caractéristiques
U donnée, le courant de démarrage. Dans le cas
de balais en graphite, la résistance de contact Ligne 17 Moment d’inertie du rotor J R [gcm 2 ]
Ligne 1 ● Puissance conseillée P 2T [W] varie en fonction de la charge.
C’est le moment d’inertie de masse du rotor, basée
C’est la puissance max. fournie, dans la plage de
sur l’axe de rotation.
puissances conseillée. Elle dépend des types et
Ligne 9 Vitesse limite n max [tr / min]
correspond à la représentation du Guide de Sélection
(voir également pages 50-146 «Plages d’utilionnement
normal, un dépassement intempestif C’est l’inductivité du bobinage lorsque le rotor est à
La vitesse limite ne doit pas être dépassée en foncti-
Ligne 18 Inductance terminale L[mH]
sation»).
endommagerait la commutation, mettant ainsi le l’arrêt, mesurée à l’aide d’une tension sinusoïdale
moteur en panne.
à1kHz.
Ligne 2 Tension nominale U[Volt]
C’est la tension à laquelle se réfèrent toutes les valeurs
nominales (lignes 3, 4, 6, 7, 12, 13).Elle est fixée
Ligne 10 Courant permanent max.
Ligne 19 Résistance thermique
I cont [mA], [A]
R th2 [K / W]
pour que la vitesse à vide ne dépasse pas la vitesse C’est le courant qui, à une température ambiente de C’est la résistance thermique entre la carcasse et
maximale admissible. Mais l’utilisation du moteur 25°C, fait monter la température du rotor à sa limite l’air ambiant. Valeur théorique sans aucun refroidisseur
additionnel. L’addition des lignes 19 et 20
n’est pas limitée par cette tension. Pour atteindre la max. admissible.
puissance assignée (ligne 1), il est possible d’utiliser
permet de définir la puissance dissipée max.
une tension de service plus haute. La puissance Ligne 11 Couple permanent max.
Admissible. Sur les moteurs à flasque métallique,
maximale de sortie est alors plus élevée (ligne 12).
M cont [mNm]
la résistance thermique R th2 peut être réduite jusqu'à
50 %, à condition que le moteur soit couplé
C’est le couple délivré en permanence ou en valeur
Ligne 3 Vitesse à vide n o [tr / min]
moyenne, qui élève la température du bobinage jusqu’à
sa valeur max. admissible. On se base sur une tallique) au lieu d'une plaque en matière synthéti-
directement à un bon conducteur thermique (mé-
C’est la vitesse atteinte par le moteur sans charge
additionnelle et alimenté à la tension nominale. Elle température ambiante de 25°C.
que.
est pratiquement proportionnelle à la tension appliquée.
Ligne 12 Puissance max. fournie
Ligne 20 Résistance thermique
P max [mW], [W]
R th1 [K / W]
Ligne 4 Couple de démarrage M H [mNm] C’est la puissance max. disponible à la tension nominale
et à une température rotor de 25°C. Les va-
Idem entre rotor et carcasse.
Ce couple est appliqué sur l’arbre pour obtenir
l’arrêt à tension nominale. La croissance rapide de leurs d’utilisation se situent en-dessous de cette
Ligne 21 Constante de temps thermique du
bobinage
la température du moteur provoque la baisse du puissance (voir «courant max. permanent» et «vitesse
limite»).
C’est le temps nécessité par le bobinage pour modi-
w [s]
couple de démarrage (Voir page 38 «Comportement
thermique»).
fier sa température.
maxon DC motor
Plages d'utilisation Légende Exemple de la page 78
Plage de puissance conseillée
Plage de fonctionnement permanent
Compte tenu des resistances thermiques
(lignes 19 et 20) la température maximum du
rotor peut être atteinte au valeur nominal de
couple et vitesse et à la température ambiante
de 25°C = Limite thermique.
Fonctionnement intermittent
La surcharge doit être de courte durée
(voir page 36).
118757 Moteur avec bobinage à haute résistance (Ligne 8)
118749 Moteur avec bobinage à haute résistance (Ligne 8)
Fonctionnement intermittent
T
5
4
Temps
3
2
1
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 ON%
Le diagramme du domaine de fonctionnement décrit
la plage de puissance mécanique livrable par le bobinage.
Il illustre les points de fonctionnement possibles
en fonction de la vitesse et du couple.Pour deux
bobinages sélectionnés, l’un à faible, l’autre à forte
résistance, le couple figure en échelle de puissance
(Ligne 8).
ON Moteur en service
OFF Moteur stationnaire
ÎON Courant de pointe max.
Icont Courant max. admissible en service continu (Ligne 10)
tON Temps d’enclenchement, à ne pas dépasser w (Lg. 21)
T Temps de cycle tON +tOFF [s]
tON% Temps d’enclenchement en % du temps de cycle
Pendant une durée d’enclenchement de X %, le moteur peut
être surchargé dans le rapport ION /Icon
Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon DC motor 49
I
I
t
T

Nécessité d’un asservissement de courant
Fonction de transfert en courant
2 pôles, 1 zéro
G I (s) = I(s)
V (s) =
Js + f
LJs 2 + (RJ + Lf )s + Rf + Kem
2 .
FIGURE: Réponse en boucle ouverte du mcc (non chargé)

Nécessité d’un asservissement de courant
Risque
Dépassements de courant dans le hacheur, dans le circuit
d’induit du mcc = effets destructeur. Besoin :
d’asservir le courant pour avoir la maîtrise des
dépassements ;
de limiter le courant maximum pour protéger le moteur
dans tous les cas.

Synthèse de l’asservissement de courant
Approches
utilisation de G I (s)

Synthèse de l’asservissement de courant
Approches
utilisation de G I (s)
raisonnement approché : fém variant
lentement=perturbation d’où :
G I (s) =
1
R + Ls = 1 1
R 1 + τ e s

Synthèse de l’asservissement de courant
Ordre 1, classe 0, correction PI : CI(s) = K p (1 + 1
τ i s ) :
C I (s)G I (s) = K p 1 + τ i s
Rτ i s(1 + τ e s) .
Réglage
Compensation du pôle électrique, d’où BF :
G IBF (s) = 1 k i
1
1 + Rτ i
K pk i
s
avec k i gain du capteur assurant la mesure de courant.
Temps de réponse de la boucle de courant = fonction de K p .

Remarques sur l’asservissement de courant
Remarque 1
Hacheur=gain occulte le retard introduit par le hacheur
Remarque 2
Asservissement de courant analogique : coût et performances

Asservissements de vitesse et position
Préalable
Boucle de courant réglée, asservissement avec boucles
imbriquées ou asservissement cascade
V r (s)
+
C Ω (s)
+
C I (s)
V (s)
mcc
Ω(s)
−
−
K i
I(s)
V Ω (s) = K ωΩ(s)
K ω
FIGURE: Asservissement de vitesse d’un moteur à courant continu

Synthèses
Synthèse de l’asservissement de vitesse
Réécriture des équations dynamiques du mcc asservi en
courant.
Modèle d’ordre deux et de classe 0 : correction PI.
Synthèse de l’asservissement de position
Idem.
Modèle d’ordre trois et de classe 1 : correction avance de
phase.

Remarques
Analogique ou numérique
Choix dépend du type de moteur
mcc=commande analogique suffisante (coût)
moteurs à courants continus sans collecteur= commande
numérique : réalisation des asservissements nécessite
des fonctions non linéaires (processeur)

Protection en courant
FIGURE: Schéma général d’un variateur de vitesse [Louis2002]
Limitation de courant
Saturation de la commande de la boucle de courant par une
tension égale à ±k i I M

Mise en garde
Attention !
Un certain nombre de protections ne sont pas présentes sur un
variateur de vitesse :

Mise en garde
Attention !
Un certain nombre de protections ne sont pas présentes sur un
variateur de vitesse :
mise en court-circuit de la sortie du variateur : destruction
du variateur

Mise en garde
Attention !
Un certain nombre de protections ne sont pas présentes sur un
variateur de vitesse :
mise en court-circuit de la sortie du variateur : destruction
du variateur
pas de protection en général contre une inversion des
tensions d’alimentation.

Le programme des asservissements de
--
--
--
maxon motor control
Technique – sans détour
moteurs maxon contient une gamme de servoamplificateurs
pour commander les moteurs
DC et EC hautement dynamique.
Grandeurs commandées
Vitesse
La tâche d’un servoamplificateur pour régulation
de vitesse consiste à maintenir la vitesse
de rotation aussi constante que possible quelles
que soient les variations de couple demandées
au moteur. Pour atteindre ce but,
l’électronique de régulation du servoamplificateur
compare en permanence la valeur de consigne
(vitesse desirée) avec la valeur réelle
instantanée (vitesse effective). La différence
entre les deux valeurs sert à piloter l’étage de
puissance du servoamplificateur de telle manière
que le moteur amenuise la différence de
vitesse. On dispose ainsi d’un circuit de régulation
de vitesse en boucle fermée.
Position
Le régulateur de position s’efforce de faire
coïncider la position actuelle mesurée avec la
position désirée - de la même manière que le
régulateur de vitesse - en donnant au moteur
les valeurs de correction. L’information sur la
position est généralement délivrée par un
codeur digital.
Courant
Le régulateur de courant alimente le moteur
avec une intensité proportionnelle à la valeur
de consigne. Ainsi le couple du moteur est proportionnel
à la consigne.
Le régulateur de courant améliore aussi la dynamique
d’un circuit de régulation de position
ou de vitesse supérieur.
Régulation par codeur digital
Le moteur est équipé d’un codeur digital
qui délivre un nombre donné d’impulsions à
chaque tour du rotor. Les impulsions rectangulaires
des canaux A et B sont décalées de
90° pour permettre de déterminer le sens de
rotation.
Les codeurs digitaux sont surtout utilisés
pour assurer le positionnement et pour
détecter un déplacement angulaire.
Les codeurs digitaux ne sont soumis à
aucune usure.
En liaison avec un régulateur digital, ils ne
provoquent aucun effet de dérive.
Principe: Régulation par codeur
Valeur de consigne
maxon motor control
-
Valeur réelle
M
E
n
Compensation R x I
Une tension proportionnelle à la valeur de consigne
est appliquée au moteur. Si la charge
augmente, la vitesse de rotation diminue. Le
circuit de compensation augmente alors la tension
de sortie, avec un accroissement du courant
dans le moteur. Cette compensation doit
être ajustée à la résistance interne du moteur.
Cette résistance varie avec la température et
avec la charge appliquée.
La précision du réglage de la vitesse que l’on
peut obtenir dans de tels systèmes est de l’ordre
de quelques pour cents
Économie en prix et en place
Pas de génératrice DC ou de
codeur nécessaire
Régulation peu précise en cas de forte variation
de la charge
Régulation de vitesse uniquement
Idéal pour les applications «Low Cost» qui
n’exigent pas une vitesse très précise
Principe: Compensation R x I
Valeur de consigne
maxon motor control
-
I
M
U
Valeur réelle
Schéma d’un circuit de régulation
Valeur de consigne
maxon motor control
Déviation du système
Contrôleur
-
étage de puissance
(actuateur)
Moteur
n
Valeur réelle
Capteur
32

Edition Juillet 2005 / Modifications réservées maxon motor control 259
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
4-Q-DC Servoamplificateur ADS en boîtier modulaire
Données électriques
● Tension de service VCC 12 - 50 VDC
ondulation résiduelle < 5 %
● Tension de sortie max. 0.9 x VCC
Courant de sortie Imax:
ADS 50/10 POWER
20 A
ADS 50/5 STANDARD
10 A
Courant de sortie continu Icont:
ADS 50/10 POWER
10 A
Power
ADS 50/5 STANDARD
5 A
Alimentation
● Cadence de l’étage final 50 kHz
● Connexions du moteur
Rendement max. 95 %
●
LED
Largeur de bande de réglage 2.5 kHz
Indicateur de l'état
Self interne du moteur:
ADS 50/10 POWER 75 H /10A
Signal
ADS 50/5 STANDARD 150 H /5A
Connexion pour les entrées
Connexion pour les sorties
Entrées
Connexion génératrice tachymétrique
● Valeur de consigne «Set value» -10 ... +10 V
Encoder
(Ri =20k)
Connexion codeur digital
● Circuit libre «Enable» +4 ... +50 V
Commutateur DIP
(Ri =15k)
Choix du mode de réglage
Génératrice DC
min. 2 VDC, max. 50 VDC (Ri =14k)
Potentiomètres
Signaux codeurs
Ajustement de l'équilibrage
Canal A, A\, B, B\, max. 100 kHz, TTL
maxon motor control
Dimensions en [mm]
Sorties
Moniteur courant «Monitor I», protégé contre
les courts-circuits
-10 … +10 VDC
(Ro = 100 )
Moniteur vitesse «Monitor n», protégé contre
les courts-circuits
-10 … +10 VDC
(Ro = 100 )
Message de surveillance «READY»
Open collector
max. 30 VDC
(IL

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Principe de la génération de mouvement
Tâche
Atteindre une position et une orientation désirées x f , à partir
d’une configuration de départ q 0 =
Génération de mouvements dans l’espace articulaire.
x f
MGI
q f
génération
de mouvement
q r (t)
variateur
robot
q 0
q(t)
capteur

Principe de la génération de mouvement
Mouvement articulaire
En toute généralité :
q(t) = q 0 + (q f − q 0 )P(t), ∀0 t t f
P(t)= fonction d’interpolation, t.q. P(0) = 0 et P(t f ) = 1
1- Conditions aux limites :
q(0) = q 0 , q(t f ) = q f , ˙q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0, ¨q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0
2- Contraintes :
| ˙q(t)| ω m , |¨q(t)| γ m , ∀0 t t f
avec ω m / γ m : vitesses/accélérations articulaires maximales :
ω m dépend de la vitesse admissible pour le moteur/la transmission
γ m = (grossièrement) rapport du couple maximum sur l’inertie de l’axe

Interpolation polynomiale de degré cinq
Polynôme interpolateur
Autant de degrés de liberté qu’il y a de contraintes : ordre 5.
Mouvement C 2 en position, vitesse et accélération, vérifiant :
q(0) = q 0 , q(t f ) = q f , ˙q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0, ¨q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0
Avec P(t) = p 0 + p 1 t + p 2 t 2 + p 3 t 3 + p 4 t 4 + p 5 t 5 :
p 0 , p 1 , p 2 = 0
P(t) = 10
(
t
t f
) 3
− 15
(
t
t f
) 4
+ 6
(
t
t f
) 5,
d’où q(t)
Vitesse / accélération maximale pour la i−ème
articulation :
ω mi = 15|q i(t f ) − q i (0)|
8t f
, γ mi = 10|q i(t f ) − q i (0)|
√
3t
2
f
ω mi et γ mi imposés calcul de t f minimal
A faire pour l’ensemble des articulations (2n contraintes)

Interpolation polynomiale de degré cinq
Cas q 0 = 0, q f = π 2 , ω m = 4 rad.s −1 et γ m = 1, 5 rad.s −2 .
t f résulte alors de la contrainte d’accélération : t f = 1, 74 s.

Loi Bang-bang
Commande Bang Bang
Mouvements à temps minimal : accélération = ±γ m .
Mouvement C 2 en position et vitesse seulement :
q(0) = q 0 , q(t f ) = q f , ˙q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0
Mouvement :
( ) t 2
q(t) = q 0 + 2 (q
t f − q 0 ), pour 0 t t f
f 2
( ( ) ( ) )
t t
2
q(t) = q 0 + −1 + 4 − 2 (q
t f t f − q 0 ), pour t f
f 2 t t f

Loi Bang-bang
Commande Bang Bang
Mouvements à temps minimal : accélération = ±γ m .
Mouvement C 2 en position et vitesse seulement :
q(0) = q 0 , q(t f ) = q f , ˙q(0) = 0, ˙q(t f ) = 0
On peut montrer que, pour la i−ème articulation :
ω mi = |q i(t f ) − q i (0)|
, pour 0 t t f
t f
2
γ mi = 4|q i(t f ) − q i (0)|
tf
2 , pour t f
2 t t f
ω mi et γ mi imposés calcul de t f minimal
A faire pour l’ensemble des articulations (2n contraintes)

Loi Bang-Bang
Cas q 0 = 0, q f = π 2 , ω m = 4 rad.s −1 et γ m = 1, 5 rad.s −2 .
t f résulte alors de la contrainte d’accélération : t f = 1, 44 s.

Loi trapézoïdale en vitesse
Principe
Loi Bang-Bang : commutations instantanées fréquentes.
Loi trapézoïdale en vitesse, avec paliers à vitesse constante.

Loi trapézoïdale en vitesse
Principe
Loi Bang-Bang : commutations instantanées fréquentes.
Loi trapézoïdale en vitesse, avec paliers à vitesse constante.
On peut montrer que, pour la i−ème articulation :
q i (t) = q i (0) + 1 2 ε it 2 γ mi , pour 0 t τ i
(
q i (t) = q i (0) + ε i t − τ )
i
ω mi , pour τ i t t
2
f − τ i
q i (t) = q i (t f ) − 1 2 ε i (t f − t) 2 γ mi , pour t f − τ i t t f
avec ε i = signe(q i (t f ) − q i (0)) et τ i = ωm
γ m
.

Loi trapézoïdale en vitesse
Principe
Loi Bang-Bang : commutations instantanées fréquentes.
Loi trapézoïdale en vitesse, avec paliers à vitesse constante.
Temps minimal pour une articulation :
t f = τ i + |q i(t f ) − q i (0)|
ω mi
(1)
Besoin de synchroniser les articulations : même t f et τ i
Pour en savoir plus [Khalil-2013].

Plan
4 Génération de mouvements
Les différents problèmes
Système de commande d’un robot
5 Technologie
Motorisation
Mesure de position
Variateurs de vitesse
6 Commande
Commande point-à-point
Commande à mouvement opérationnel imposé

Position du problème

Problèmes à mouvement opérationnel imposé
Tâche à mouvement opérationnel imposé
Calcul les commandes articulaires du robot permettant de
suivre une trajectoire opérationnelle au cours du temps =
x r (t) résulte d’une génération, ou bien est défini par la tâche,
puis calcul de q r (t) par inversion de modèle.
x f
génération
de mouvement
x 0
x r (t)
+
x(t)
−
cinématique
inverse
MGD
q r (t)
variateur robot
q(t)
capteur

Problème à mouvement opérationnel imposé
Position du problème
Calculer les consignes pour le variateur, afin que x(t)
corresponde à x r (t) désirée, i.e. réguler à zéro :
Données du problème :
q 0 , qui est mesurée
e(t) = x r (t) − x(t)
mouvement de consigne x r (t)
modèle cinématique : ẋ = J(q) ˙q
Deux types de problèmes :
1 quand e(0) = x r (0) − x 0 = 0 : suivi
2 quand e(0) = x r (0) − x 0 ≠ 0 : poursuite

Solution (cinématique) en boucle fermée
Loi de commande (robot non redondant)
Loi cinématique :
˙q(t) = J −1 (t) (ẋ r (t) + W (x r (t) − x(t)))
avec W définie positive
d
dt
ẋ r (t)
génération
de mouvement
x r (t)
+
x(t)
−
W
+
+
J −1
variateur
q(t)
robot
MGD
capteur

Quelques remarques
Modèle géométrique inverse numérique
Situation désirée obtene itérativement : utilisable pour trouver
une solution numérique au modèle géométrique inverse.
Commande référencée capteur
Asservissement sur des informations donnant une image de la
situation de l’organe terminal.
Typiquement : position dans l’image d’une caméra d’indices
visuels (points, droites, etc.), que l’on cherche à placer de
manière à positionner l’organe terminal indirectement.
Modèle d’inversion à adapter....