Inégalités - Encadrements

Inégalités - Encadrements
1- Ecrire sous forme d’intervalles les ensembles de nombres réels vérifiants
les inégalités suivantes :
a) −3 ≤ x ≤ 2 c) x ≥ 5 e) x > −2
b) − 3 2 ≥ x ≤ 1 2
d) x ≤ 1 f) x < −5
2- Décrire à l’aide d’une inégalité les intervalles, ensembles des réels x
tels que :
]
a) x ∈] − 3, 2] c) x ∈] − ∞, 6[ e) x ∈ 0, 14 ]
3
b) x ∈ [−5, +∞[ d) x ∈]1, 01; 1, 02[
3- Sans calculatrice, trouver le plus grand parmi les nombres :
-2 ; − 15
8 ; −34 15 ; −53 25 ; −16 9
4- Sans calculatrice, trouver ceux des nombres suivants qui sont compris
entre 0, 8 et 1 :
a = 17
25 ; b = 1 2 + 1 3 ; c = 1 3 + 1 4 ; d = 17
21 ; e = 17
31
5- Sans calculatrice, ranger les nombres suivants du plus petit au plus
grand :
1
0, 99 ;
0, 99 ; 1, 01 ; 1
1, 01 ; 1
Sans calculatrice, ranger leurs carrés et leurs racines carrées.
6- Comparer, sans calculatrice :
a) 7 et 5 √ 2 c) −17 et −12 √ 2
b) 2 √ 30 et 11 d) −18 et −5 √ 13
7- Déterminer, parmi les nombres suivants, ceux qui sont solutions de
l’inéquation : 7x − 22 ≤ 0 :
3,14 ; 3,15 ; 3,1415 ; 3,1416 ; π ; 22
7 ; √ 2 + √ 3 ; 355
113
1

8- Résoudre, et écrire les solutions sous forme d’intervalles :
a) 5x + 1 ≤ 0 c) − 1 (2x + 3) < 0 e) −2x + 7 > x + 10
4
b) 1 − 2 3 x < 0 d) 3x ≥ 0 f) 2 3 x < 1
9-Dresser un tableau de signes pour chaque expression :
a) 2x − 7 3
b) 1 − 4x c) − 7 2 x d) √ 3x + 3
10- Ecrire sous forme de réunions d’intervalles les ensembles de réels tels
que :
a) x ≤ 0 ou x ≥ 1 c) x < −3 ou −1 ≤ x < 5
b) −2 ≤ x ≤ 1 ou x > 3 d) x < −5 ou 0 ≤ x ≤ 4 ou x ≥ 8
11- Résoudre, et écrire sous forme d’une réunion d’intervalles les solutions
:
a) (x − 1)(2x − 3) < 0 e) −x − 2
x + 4 ≤ 0
b) (1 − 3x)(1 + 5x) ≥ 0 f) 2x − 3
1 − x ≥ 0
(2x + 1)(1 − 2x)
c) (2x − 5)(3x + 2) ≥ 0 g) ≥ 0
3 − x
d) (7 − 4x)(4x + 2) ≤ 0
a)
12- Dresser le tableau de signes pour chaque expression :
(11 − 2x)(x + 2)
b) x2 − 4
−x − 5 1 − x
13- Ecrire sous forme de réunions d’intervalles les ensembles de réels x
tels que :
a) |x| ≤ 4 d) |x + 5| ≤ 4 g) |2x − 1| < 1 2
b) |x| > 1 e) |x − 2| ≥ 3 h) |3x + 4| ≥ 2
c) 2 ≤ |x| ≤ 5 f) 1 ≤ |x + 1| < 2 i) 2 < |2x + 3| ≤ 5
14- Trouver les entiers vérifiant 3 − x < 2x + 4 < 5 − x.
15- On donne 11, 2 ≤ a ≤ 11, 4 et 9, 7 ≤ b ≤ 10, 1. Encadrer a+b et a−b.
16- On donne 2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 6. Encadrer x, y et x y .
17- En admettant qu’un Euro vaille entre 1,10 et 1,20 dollar, combien
d’Euros peut-on obtenir avec 500 dollars
2

18- ≪ Tout nombre est plus grand que 1 2 ≫
Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant :
”On a, pour tout x, x − 1 ≤ x, d’où (x − 1) 2 ≤ x 2 , soit, en développant :
x 2 − 2x + 1 ≤ x 2 , d’où −2x + 1 ≤ 0 d’où x ≥ 1 . Donc tout nombre est
2
supérieure à 1 2 ! ! ! ”
19- Encadrer le périmètre et la surface d’un rectangle dont la longueur L
et la largeur l vérifient, en mètre :
15, 6 ≤ L ≤ 15, 8 et 9, 4 ≤ l ≤ 9, 6
20- Un rectangle a une aire de 170 m 2 . Montrer que sa longueur dépasse
13 m. Sa largeur peut-elle dépasser 13 m
21- Un cycliste maintient sa vitesse entre 16 km/h et 32 km/h sur un trajet
de 40 km. Sachant qu’il est parti entre 10h et 10h15mn, encadrer l’heure
de son arrivée.
22- Pierre rejoint, avec sa voiture, des amis qui habitent à 250 km de
chez lui. il part entre 8h30mn et 8h45mn et maintient sur son parcours une
vitesse comprise entre 50 km/h et 100 km/h. Encadrer l’heure de son arrivée.
Est-il sûr d’arriver pour le repas, prévu à 12h30
23- Une voiture a un réservoir d’une contenance de 65 litres, et elle
consomme entre 7 l et 9 l aux 100 km, sur un circuit de 13 km de long.
Combien de tours de circuit peut-elle effectuer avec un réservoir plein
24- Pour faire le patron d’un cube, on a utilisé moins de 96 cm 2 de carton.
Quel est le volume maximal de ce cube
25- Un agriculteur prétend que son champ vérifie les données suivantes :
1. la largeur est au moins de 130 m.
2. l’aire ne dépasse pas 1,685 hectare
Est-il crédible
26- Le diamètre de base d’un récipient cylindrique est plus petit que 10,8
cm. Sachant qu’il contient plus d’un litre, montrer que ce récipient est plus
haut que large.
3

27- Trouver trois entiers consécutifs dont la somme S vérifie :
1998 ≤ S ≤ 2002.
28- Une mère a donné naissance à sa fille à l’âge de 24 ans. Au cours de
leur vie, pendant combien d’années l’âge de la mère sera-t-il compris, au sens
large, entre le triple et le quadruple de celui de la fille
29- Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent 5 m et 7
m à 1 cm près. Encadrer l’aire et le périmètre de ce triangle.
30- Après 200 tours de roue, un vélo a parcouru 440 mètres, à 0,5 m près.
En prenant 3, 14 < π < 3, 15, peut-on connaître à 2 mm près le diamètre de
la roue
31- Trouver un entier n tel que, à 10 −7 près par défaut, on ait :
1
n ≈ 0, 000 199 8 et 1
≈ 0, 000 199 9
n − 1
32- Deux oranges ne coûtent pas plus que trois bananes, cinq bananes
pas plus que quatre poires, et six poires pas plus que cinq oranges. Quel est
le fruit le plus cher
ne dépasse pas 1 (b − a).
64
3. En partant de 4 < √ 17 < 5, donner plusieurs encadrement de √ 17 en
précisant l’amplitude de l’encadrement obtenu (Continuer jusqu’à la 3 e
étape. Conserver des encadrements par des nombres rationnels).
33-
1. Vérifier l’égalité : √ 1
17 = 4 +
4 + √ 17 .
2. Soient 2 réels a et b supérieurs ou égaux à 4, tels que a < √ 17 < b.
Justifier l’encadrement 4 + 1
b + 4 < √ 17 < 4 + 1
a + 4
Calculer l’amplitude de cet encadrement, et vérifier que cette amplitude
34-
1. Vérifier que, pour x ≠ −1,
[
2. Pour x ∈ − 1 2 , 1 2
3) 0 ≤ x2
1 + x ≤ 2x2 4
1
1 + x = 1 − x + x2
1 + x .
]
, démontrer : 1) 0 ≤ x 2 ≤ 1 4 ; 2) 2 3 ≤ 1
1 + x ≤ 2 ;

[
3. En déduire que pour x ∈ − 1 2 , 1 ]
, 1 − x est une valeur approchée par
2
1
défaut de
1 + x à 2x2 près.
4. En déduire des valeurs approchées de
1
1, 004 , 1
0, 9993 , 1
, en indi-
3, 006
quant la précision.
On pourra comparer les résultats obtenus avec ceux de la calculatrice.
5. Soit x = 0, 99 · · · 9 (1998 chiffres égaux à 99). Quels sont, de 1 , le 1998e
x
chiffre après la virgule le 1999 e le 2000 e le 3000 e
35- Résoudre dans R, les systèmes :
{ { 1 − x > 0
1 − 8x ≥ 2 − 3x
a)
d)
3x + 2 ≥ 0
20 − 4x ≥ 8 − 2x
{ 2x − 1 ≤ 3 2
b)
e)
2 − 3x ≤ 5 − x 3 ≤ 1 − x ≤ 3 4
{ {
3x ≥ 0
(3x − 1)(−x − 3) < 0
c)
f) 2
7x − 4 > 0
2 − x ≥ 0
g)
h)
{ 2x(2x + 1)(2 − x) ≥ 0
7 − 4x
{ 1 − x ≥ 0 2
x 2 ≤ 4
1
1 + x ≤ 2
36-
1. Représenter, dans le plan muni d’un repère (O, −→ i , −→ j ), l’ensemble des
points M(x, y) tels que 6x + 10y ≤ 42.
2. Dans une kermesse sont vendues deux sortes de pâtisseries :
un éclair au chocolat coûte 6 F ; un morceau de tarte coûte 10 F.
Babette, petite gourmande, a 42 F en poche. Que peut-elle se payer
avec cet argent
5