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1- Logique :
Exercice 01 :
Soient R et S des relations. Donner la négation de
Exercice 02 :
Démontrer que 1 2
2
3
Exercice 03 :
.
Soient les quatre assertions suivantes :
R S .
a x R ∀y ∈ R x + y > 0; b ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0;
c ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0; cx
R ∀y ∈ R y 2 > x.
1. Les assertions a,b,c,d sont elles vraies ou fausses
2. Donner leur négation
Exercice 04 :
Soit f une application de R dans R . nier de manière la plus précise possible, les énoncés qui
suivent :
1- Pour tout x ∈ R f x ≤ 1.
2- L’application f est croissante.
3- L’application f est croissante et positive.
4- Il existe x ∈ R + tel que f x ≤ 0.
5- Il existe x ∈ R tel que quel que soit y ∈ R, si x < y alors f x > f y .
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.
Exercice 05 :
Complétez les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : , ,
.
1. x ∈ R x 2 = 4 … … … x = 2.
2. z ∈ C z = z … … … … z ∈ R.
3. x ∈ R x = π … … … … e 2ix = 1.
Exercice 06 :
Ecrire la négation des assertions suivantes où P, Q, R, S sont des propositions :
1. P Q;
2. P et non Q ;
3. P et Q et R ;
1

4. P ou Q et R ;
5. ( P et Q) R
S.
Exercice 07 :
Ecrire la négation des phrases suivantes :
1.
xn
/ x
n.
2. M / nu
M .
3. x 3.
4. 0 x 2.
Exercice 08 :
n
Nier la proposition suivante : « tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagnent
au loto et prendront leur retraite avant 50 ans ».
2- Ensemble :
Exercice 01 :
Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble :
1. ∀A, B ∈ ℘ E A ∩ B = A ∪ B A = B;
2. ∀A, B, C ∈ ℘ E A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C B = C;
Exercice 02 :
Soit A, B deux ensembles, montrer C A ∪ B = CA ∩ CB
et C A ∩ B = CA ∪ CB.
Exercice 03 :
Soient E et F deux ensembles, E → F. Démontrer que :
1. ∀A, B ∈ ℘ E A B
;
f A f B
2. ∀A, B ∈ ℘ E f A ∩ B f A ∩ f B ;
3. ∀A, B ∈ ℘ E f A ∪ B = f A ∪ f B ;
4. ∀A, B ∈ ℘ F f −1 A ∪ B = f −1 A ∪ f −1 B ;
5. ∀A ∈ ℘ F f −1 F\B = E\f −1 A .
6. ∀A, B ∈ ℘ F f −1 A ∩ B = f −1 A ∩ f −1 B ;
Exercice 04 :
A et B sont des parties d’un ensemble E. Montrer que :
1. A∆B = A ∩ B ccc A = B = ;
2. A ∪ B ∩ B ∪ C ∩ C ∪ A = A ∩ B ∪ B ∩ C ∪ C ∩ A ;
3. A∆B = B∆A ;
2

4. A∆B ∆C = A∆ B∆C ;
5. A∆B = A = B;
6. A∆C = B∆C A = B.
3- Absurde, contraposée, Récurrence:
Exercice 01 :
Montrer que :
1. 2Q;
2. n 2 est pair n est pair . ∀n ∈ N .
Exercice 02 :
Montrer :
Exercice 03 :
n
k=1
n
k=1
k 2 =
k =
n n + 1
2
n n + 1 2n + 1
6
Soit la suite u n n∈N définie par u 0 = 4 et u n+1 = 2u n 2 −3
u n +2 .
1. Montrer que : ∀n ∈ N u n > 3.
2. Montrer que : ∀n ∈ N u n+1 − 3 > 3 2 u n − 3 .
∀n ∈ N ∗ .
∀n ∈ N ∗ .
3. Montrer que : ∀n ∈ N u n ≥ 3 2
n
+ 3.
4- Applications :
Exercice 01 :
Soient f: R → R et g: R → R telles que f x = 3x + 1 et g x = x 2 − 1. A-t-on f g = g f
Exercice 02 :
Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives
1. f: N → N, n n + 1 ;
2. g : Z→ Z, n n + 1 ;
3. : R 2 → R 2 , x, y x + y, x − y ;
4. k : R\ 1 → R, x x+1
x−1 .
3

Exercice 03 :
Soit f: R → R définie par f x =
2x
1+x 2 .
1. f est elle injective, surjective
2. Montrer que f R = −1,1 .
3. montrer que la restriction g: −1,1 → −1,1 où g x = f x est une bijection.
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f.
Exercice 04 :
On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f: A → B, g: B → C, : C → D.
Montrer que :
g f injective f injective,
g f surjective f surjective.
(g f et g sont bijectives) f, g, sont bijectives .
Exercice 05 :
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes (f est une application d’un ensemble E dans
lui-même) :
1. f est injective.
X ;
1
2. X
E,
f f X
2
3. X,
Y E , f X
Y
f X
f Y
;
2
4. X
, Y E , X Y
f X
f Y
;
5. X , Y E , Y X
2
f X\Y = f X \f Y .
4