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1- Logique :<br />
Exercice 01 :<br />
Soient R et S des relations. Donner la négation de<br />
Exercice 02 :<br />
Démontrer que 1 2<br />
2<br />
3<br />
Exercice 03 :<br />
.<br />
Soient les quatre assertions suivantes :<br />
<br />
R S .<br />
a x R ∀y ∈ R x + y > 0; b ∀x ∈ R ∃y ∈ R x + y > 0;<br />
c ∀x ∈ R ∀y ∈ R x + y > 0; cx<br />
R ∀y ∈ R y 2 > x.<br />
1. Les assertions a,b,c,d sont elles vraies ou fausses ?<br />
2. Donner leur négation ?<br />
Exercice 04 :<br />
Soit f une application de R dans R . nier de manière la plus précise possible, les énoncés qui<br />
suivent :<br />
1- Pour tout x ∈ R f x ≤ 1.<br />
2- L’application f est croissante.<br />
3- L’application f est croissante et positive.<br />
4- Il existe x ∈ R + tel que f x ≤ 0.<br />
5- Il existe x ∈ R tel que quel que soit y ∈ R, si x < y alors f x > f y .<br />
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.<br />
Exercice 05 :<br />
Complétez les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : , ,<br />
.<br />
1. x ∈ R x 2 = 4 … … … x = 2.<br />
2. z ∈ C z = z … … … … z ∈ R.<br />
3. x ∈ R x = π … … … … e 2ix = 1.<br />
Exercice 06 :<br />
Ecrire la négation des assertions suivantes où P, Q, R, S sont des propositions :<br />
1. P Q;<br />
2. P et non Q ;<br />
3. P et Q et R ;<br />
1
4. P ou Q et R ;<br />
5. ( P et Q) R<br />
S.<br />
Exercice 07 :<br />
Ecrire la négation des phrases suivantes :<br />
1. <br />
xn<br />
/ x<br />
n.<br />
2. M / nu<br />
M .<br />
3. x 3.<br />
4. 0 x 2.<br />
Exercice 08 :<br />
n <br />
Nier la proposition suivante : « tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagnent<br />
au loto et prendront leur retraite avant 50 ans ».<br />
2- Ensemble :<br />
Exercice 01 :<br />
Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble :<br />
1. ∀A, B ∈ ℘ E A ∩ B = A ∪ B A = B;<br />
2. ∀A, B, C ∈ ℘ E A ∩ B = A ∩ C et A ∪ B = A ∪ C B = C;<br />
Exercice 02 :<br />
Soit A, B deux ensembles, montrer C A ∪ B = CA ∩ CB<br />
et C A ∩ B = CA ∪ CB.<br />
Exercice 03 :<br />
Soient E et F deux ensembles, E → F. Démontrer que :<br />
1. ∀A, B ∈ ℘ E A B<br />
;<br />
f A f B<br />
2. ∀A, B ∈ ℘ E f A ∩ B f A ∩ f B ;<br />
3. ∀A, B ∈ ℘ E f A ∪ B = f A ∪ f B ;<br />
4. ∀A, B ∈ ℘ F f −1 A ∪ B = f −1 A ∪ f −1 B ;<br />
5. ∀A ∈ ℘ F f −1 F\B = E\f −1 A .<br />
6. ∀A, B ∈ ℘ F f −1 A ∩ B = f −1 A ∩ f −1 B ;<br />
Exercice 04 :<br />
A et B sont des parties d’un ensemble E. Montrer que :<br />
1. A∆B = A ∩ B ccc A = B = ;<br />
2. A ∪ B ∩ B ∪ C ∩ C ∪ A = A ∩ B ∪ B ∩ C ∪ C ∩ A ;<br />
3. A∆B = B∆A ;<br />
2
4. A∆B ∆C = A∆ B∆C ;<br />
5. A∆B = A = B;<br />
6. A∆C = B∆C A = B.<br />
3- Absurde, contraposée, Récurrence:<br />
Exercice 01 :<br />
Montrer que :<br />
1. 2Q;<br />
2. n 2 est pair n est pair . ∀n ∈ N .<br />
Exercice 02 :<br />
Montrer :<br />
Exercice 03 :<br />
n<br />
k=1<br />
n<br />
k=1<br />
k 2 =<br />
k =<br />
n n + 1<br />
2<br />
n n + 1 2n + 1<br />
6<br />
Soit la suite u n n∈N définie par u 0 = 4 et u n+1 = 2u n 2 −3<br />
u n +2 .<br />
1. Montrer que : ∀n ∈ N u n > 3.<br />
2. Montrer que : ∀n ∈ N u n+1 − 3 > 3 2 u n − 3 .<br />
∀n ∈ N ∗ .<br />
∀n ∈ N ∗ .<br />
3. Montrer que : ∀n ∈ N u n ≥ 3 2<br />
n<br />
+ 3.<br />
4- Applications :<br />
Exercice 01 :<br />
Soient f: R → R et g: R → R telles que f x = 3x + 1 et g x = x 2 − 1. A-t-on f g = g f?<br />
Exercice 02 :<br />
Les applications suivantes sont elles injectives, surjectives, bijectives ?<br />
1. f: N → N, n n + 1 ;<br />
2. g : Z→ Z, n n + 1 ;<br />
3. : R 2 → R 2 , x, y x + y, x − y ;<br />
4. k : R\ 1 → R, x x+1<br />
x−1 .<br />
3
Exercice 03 :<br />
Soit f: R → R définie par f x =<br />
2x<br />
1+x 2 .<br />
1. f est elle injective, surjective ?<br />
2. Montrer que f R = −1,1 .<br />
3. montrer que la restriction g: −1,1 → −1,1 où g x = f x est une bijection.<br />
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f.<br />
Exercice 04 :<br />
On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f: A → B, g: B → C, : C → D.<br />
Montrer que :<br />
g f injective f injective,<br />
g f surjective f surjective.<br />
(g f et g sont bijectives) f, g, sont bijectives .<br />
Exercice 05 :<br />
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes (f est une application d’un ensemble E dans<br />
lui-même) :<br />
1. f est injective.<br />
X ;<br />
1<br />
2. X<br />
E,<br />
f f X<br />
<br />
2<br />
3. X,<br />
Y E , f X<br />
Y<br />
f X<br />
<br />
f Y<br />
;<br />
2<br />
4. X<br />
, Y E , X Y<br />
f X<br />
<br />
f Y<br />
;<br />
5. X , Y E , Y X <br />
2<br />
f X\Y = f X \f Y .<br />
4