AGREG Interne. Lecon 323. Exercices de géométrie résolus `a partir ...

AGREG Interne. Lecon 323. Exercices de
géométrie résolus à partir de nombres complexes
10 décembre 2005
Un plan sur le sujet “application des nombres complexe à la géométrie” pourrait
donner ceci :
1. Traduction des propriétés usuelles des nombres complexes à la géométrie.
– Barycentre, Angles, Distance, etc... en complexe
– Formule de Moivre. Exo 1.
2. Similitudes et nombres complexes.
– “Dictionnaire” similitudes-nombres complexes Exo 2..
– Classification des similitudes.
– Composition de similitudes Exos 3,4..
3. Alignement et cocyclicité.
– Rappel : a, b, c alignés implique a−b ∈ R. Exo 5.
a−c
– Cocyclique équivaut à birapport réel.
– Interpétation : le lieu des points qui intersepte un segment avec un angle θ
modulo π est un cercle. Exo 6.
1 Exercices
Exo 1. Construire à la rêgle et au compas un pentagone régulier. (Indication :
soit z 0 = e 2iπ
5 , montrer que α = z 0 +z0 4 et β = z 0 +Z 2 z0 3 sont les racines du polynôme
X 2 + X + 1 = 0.)
Exo 2. Soit ABCD un parallèlogramme. Sur chacun des ses cotés, on construit
un carré à l’extérieur du parallèlogramme. En utilisant les nombres complexes,
démontrer que les centres P, Q, R, S de ces carrés sont les sommets d’un carré.
Exo 3. Soient A, B, C un triangle non plat. Sur chacun des ses cotés, on construit
un triangle équilatéral à l’extérieur, on appelle A ′ , B ′ , C ′ les sommets de ces triangles,
ou X ′ est sur le côté opposé à X. En utilisant les nombres complexes, démontrer
que
– les segments de droite [AA ′ ], [BB] ′ , [CC ′ ] ont même longueurs,
1

– les droites AA ′ , BB ′ , CC ′ sont concourantes,
– et forment entre elles des angles de 2π 3
Exo 4. Idem evec des triangles rectangles isocèle.
Exo 5. Soit A, B deux points d’un plan Euclidien orienté. Déterminer l’ensemble
des points M du plan tels que M, B, N soient alignés où N est l’image de M par la
rotation de centre A et d’angle π/2.
Exo 6. On appelle inverison l’application z → 1/¯z. Donner uen interprétation
géométrique. Montrer que l’image par une inversion
1. d’une droite passant par l’origine est une droite passant par l’origine.
2. d’une droite ne passant pas par l’origine est un cercle passant par l’origine
(privé de ce point).
3. et réciproquement, que l’image d’un cercle ne passant pas par l’origine est un
cercle ne passant pas par l’origine.
Application.
Soient C 1 , C 2 deux cercles passant par Ω, Soient A, B, C et A ′ , B ′ , C ′ deux triplets
de points tous distincts et tous diffŕents de Ω appartenant à C 1 et C 2 respectivement.
On appelle, étant donnés deux cercles distincts passant par Ω intersection de ces deux
cercles celle de leur intersection qui n’est pas Ω dans le cas où les deux cercles ne
sont pas tangents et Ω s’ils le sont.
On considère les intersections γ, β et α des cercles Ω, A, B ′ et Ω, A ′ , B, des cercles
Ω, B, C ′ et Ω, C, B ′ et des cercles Ω, A, C ′ et Ω, A ′ , C respectivement. Montrer que
les points (Ω, α, β, γ sont colinéaires.
Exo 7. J’aime bien l’exercice suivant. Désolé de ne pas y avoir pensé plus tôt.
Soit z → P (z) un polynôme (resp. l’ inversion z → 1/¯z), a ∈ C un point tel que
P ′ (z) ≠ 0 (resp. différent de zéro). Soient γ 1 (1), γ 2 (t) deux courbes C 1 qui se coupent
au point a pour t = t 0 et admettent des tangentes non nulles en ces points qui font
un angle θ. Montrer que les courbes t → P (γ 1 (1)) et t → P (γ 2 (1)) se coupent en
P (a) (resp. l’images de ces courbes par une inversion), et admettent en ce point des
tangentes non nulles qui font entre elles ce même angle θ (resp. −θ).
Application. Montrer que l’image par une inversion d’une droite verticale et un
cercle dont le centre se trouve sur l’axe horizontal.
Démonstration de cet exercice.
La tangente est donnée par la dérivée en t = t 0 de la fonction qui décrit la courbe.
2

or par (f ◦ g) ′ = f ′ ◦ g × g ′ on a :
d
dt P (γ(t)) = P ′ (γ) dγ
dt
L’application z → Az étant pour tout nombre complexe A une similitude directe,
les angles sont préservés.
Dans le cas d’une inversion on a
d 1
dt ¯γ = − ¯γ ′
¯γ 2
L’application z → Az étant pour tout nombre complexe A une similitude indirecte,
les angles sont inversés.
Pour l’application, il suffit de remarquer que
– l’axe horizontal et la droite verticales se soupent à angle droit
– leurs images aussi,
– or, l’axe horizontal est invarian et.
– l’image de la droite verticale est donc un cercle qui coupe à angle droit l’axe
horizontal.
3