Chapitre 11 : Fonctions : comportement asymptotique.

CH11 - Fonctions : comportement asymptotique.
Chapitre 11 : Fonctions : comportement asymptotique.
I
Notion de limites en +∞ et −∞
f est une fonction défnie au moins sur un intervalle ]a; +∞[.
Chercher la limite de f(x) quand x tend vers +∞, c’est étudier le comportement des images f(x) quand on
prend pour x des valeurs aussi grandes que l’on veut.
On a pu voir dans l’introduction que trois cas peuvent se présenter :
1 Limite réelle à l’infini
• 1er cas : les nombres f(x) sont aussi proches d’un réel l que l’on veut.
Définition 1
On dit que "f a pour limite l en +∞" lorsque les valeurs de f(x) sont aussi proches de l que l’on veut dès
que x est assez grand.
On écrit :
lim
x→+∞ f(x) = l
et on lit "la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est l".
Interprétation graphique :
La courbe représentative C f de f finit par être dans n’importe quelle bande délimitée par les droites d’équations
y = l − β et y = l + β.
Exemple 1
La fonction f : x ↦→ 1 a pour limite 0 en +∞.
x
Définition 2
Lorsque la limite de f en +∞ est égale à l, on dit que la droite d’équation y = l est asymptote horizontale
à la courbe C f en +∞.
Exemple 2
la courbe représentative de la fonction inverse admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en
+∞.
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2 Limite infinie à l’infini
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• 2 eme cas : Les nombres f(x) deviennent "infiniment grands".
Définition 3
On dit que "f a pour limite + en +∞", lorsque les valeurs de f(x) sont aussi grandes que l’on veut dès que
x est assez grand.
On écrit :
lim f(x) = +∞
x→+∞
et on lit "la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est +∞".
Interprétation graphique :
La courbe représentative C f de f finit par être au-dessus de toute droite horizontale.
Exemple 3
La fonction carré a pour limite +∞ en +∞. En effet, x 2 peut être aussi grand que l’on veut pour des valeurs
de x suffisamment grandes
• 3 eme cas : Les nombres f(x) sont négatifs et deviennent "infiniment grands en valeur absolue".
Définition 4
On dit que "f a pour limite − en +∞", lorsque les valeurs de f(x) sont négatives et de valeurs absolues
aussi garndes que l’on veut dès que x est assez grand.
On écrit :
lim f(x) = −∞
x→+∞
et on lit "la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est −∞".
Interprétation graphique :
La courbe représentative C f de f finit par être en-dessous de toute droite horizontale.
Exemple 4
La fonction f : x ↦→ −x 2 tend vers −∞ quand x tend vers +∞.
Remarque : Limite en moins l’infini
Si f est définie sur ] − ∞; a[, on définit de la même manière des limites quand "x tend vers −∞", c’est-à-dire
quand x prend des valeurs de plus en plus petites. Et de manière analogue, on donne un sens aux expressions :
lim f(x) = +∞ ; lim f(x) = −∞
x→−∞ x→−∞ x→−∞
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3 Limites à l’infini des fonctions de référence
Proposition 1
• La fonction carré :
• La fonction puissance :
lim
x→−∞ x2 = +∞ et lim
x→+∞ x2 = +∞
lim
x→−∞ xn = +∞
−∞
si n pair
si n impair
et
lim
x→+∞ xn = +∞
• La fonction racine carrée :
• La fonction inverse :
√
lim x = +∞
x→+∞
1
1
lim = 0 et lim
x→−∞ x x→+∞ x = 0
Remarque : L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction inverse
en +∞ et en −∞.
II
Limite infinie en un réel a
Activité d’introduction : étude de 1 pour x proche de 0. Dans cette partie, a est un nombe réel qui
x
borne un intervalle ouvert contenu dans l’ensemble de définition de f, et f n’est pas définie en a.
1 Notion de limite infinie en un réel a
Définition 5
f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a signifie que f(x) peut prendre des valeurs aussi grandes que l’on
veut, dès que x est suffisamment proche de a. On écrit alors :
lim f(x) = +∞
x→a
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On définit de même "f(x) tend vers −∞ quand x tend vers a".
Remarque :
On doit parfois distinguer le cas où x tend vers a en restant plus grand que a ("limite à droite") du cas où x
tend vers a en restant plus petit que a ("limite à gauche") car le comportement de f(x) n’est pas le même
suivant les cas. Ceci est le cas pour la fonction inverse en 0 (cf activité d’introduction).
Exemple 5
On considère la fonction f définie sur R − {−3; 2} représentée
ci-contre.
Déterminer les limites de f en −3 ainsi qu’en 2.
lim f(x) = +∞
x→−3
lim f(x) = +∞
x→2
x2
2 Limites de fonctions de référence.
Théorème 1
1
lim
x→0 x
x0
1
= +∞ ; lim
x2 x→0
x>0
1
√ x
= +∞
Définition 6
Lorsque f a pour limite +∞ ou −∞ en a, on dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale
(
à la courbe représentative de f dans un repère O, −→ ı , −→ )
j .
III
Opérations sur les limites
On considère deux fonctions f et g.
Le but de cette partie est de pouvoir déterminer les limites de f + g, fg, f g
α, α désignant +∞ −∞ ou un nombre réel a.
Dans la suite l et l ′ sont des nombres réels.
à partir des limites de f et g en
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1 Limite d’une somme
Limite de f l l l +∞ −∞ +∞
Limite de g l ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Limite de f + g l + l ′ +∞ −∞ +∞ −∞ FI
2 Limite d’une produit
Limite de f l l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 +∞ +∞ −∞ 0
Limite de g l ′ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞
Limite de f × g ll ′ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞ FI
3 Limite d’un quotient
• Cas où le dénominteur g est non nul.
Limite de f l l +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞
Limite de g l ′ ≠ 0 ±∞ l ′ > 0 l ′ < 0 l ′ > 0 l ′ < 0 ±∞
Limite de f g
l
l ′ 0 +∞ −∞ −∞ +∞ FI
• Cas où le dénominteur est nul.
Quand g a une limite nulle, on doit étudier le signe de g.
Limite de f l > 0 ou +∞ l > 0 ou +∞ l < 0 ou −∞ l < 0 ou −∞ 0
Limite de g 0 et positif 0 et négatif 0 et positif 0 et négatifs 0
Limite de f g
+∞ −∞ −∞ +∞ FI
Exemple 6
Déterminer la limite en +∞ et −∞ de la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 + 3x − 3.
• limite en +∞ de f.
• limite en −∞ de f.
lim
x→+∞ x2 = +∞
⎫⎪ ⎬
lim 3x = +∞ Donc
x→+∞
lim −3 = −3 ⎪ ⎭
x→+∞
lim f(x) = +∞
x→+∞
lim
x→−∞ x2 = +∞
⎫⎪ ⎬
lim 3x = −∞ Donc
x→−∞
lim −3 = −3 ⎪ ⎭
x→−∞
lim f(x) est une forme indeterminée
x→−∞
Pour déterminer la limite d’un polynôme en +∞ ou −∞, quand il s’agit d’une forme indétermminée,
on met le terme de plus haut degré en facteur.
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Ici, on met x 2 en facteur, on obtient :
f(x) = x 2 (
1 + 3 x − 3 x 2 )
De plus,
Donc
lim 1 = 1
x→−∞
3
lim
x→−∞ x = 0
lim
x→−∞
− 3
x 2 = 0 car
lim
x→−∞ x2 = +∞
⎫
⎪⎬
donc
⎪⎭
lim
x→−∞ x2 = +∞
lim f(x) = +∞
x→−∞
lim 1 + 3
x→−∞ x − 3 x 2 = 1
Exemple 7
Déterminer la limite en 0 et en +∞ de la fonction g définie sur ]0; +∞[ par g(x) = 1 x (1 − √ x).
• limite en 0 de g.
1
lim
x→0 + x = +∞
lim 1 − √ x = 1
x→0
⎫
⎪⎬
Donc lim g(x) = +∞
⎪⎭
x→0
On peut en déduire que l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentative de g .
• limite en +∞ de g.
⎫
1
lim
x→+∞ x = 0 ⎪⎬
lim 1 − √ x = −∞ ⎪⎭ Donc lim g(x) est une forme indeterminée
x→+∞
x→+∞
Pour déterminer la limite de g en +∞ , on développe l’expression de g.On obtient :
1
lim
x→+∞
lim
x→+∞
x = 0
1
√ = 0 x
g(x) = 1 x − 1 √ x
⎫
⎪⎬
donc
⎪⎭
lim g(x) = 0
x→+∞
On peut en déduire que l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe représentative de g
en +∞.
Exemple 8
Déterminer les limites en 2, en +∞ et en −∞ de la fonction h définie sur R − {2} par h(x) = x2 + 1
2 − x .
• Limite de h en 2.
lim
x→2 x2 + 1 = 5 et lim 2 − x = 0.
x→2
Pour déterminer la limite de h en 2, déterminons le signe de 2 − x.
{ 2 − x > 0 sur ] − ∞; −2[
2 − x < 0 sur ] − 2; +∞[
Donc
lim 2 − x = 0 +
x→2
x2
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On alors :
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lim f(x) = +∞ et lim f(x) = −∞
x→2
x2
lim h(x) est une forme indéterminée
x→+∞
Pour déterminer la limite d’un quotient de polynôme en +∞ ou en −∞, on met en facteur le terme de
plus haut degré au numérateur et au dénominateur. On simplifie ensuite le quotient obtenu.
On obtient ici :
(
x 2 1 + 1 )
x 2
h(x) =
−x
(− 2 x + 1 ) = −x ×
1 + 1 x 2
− 2 x + 1
On a :
De plus,
Donc
De même, en −∞,
lim
x→+∞ 1 + 1 x 2 = 1
⎫⎪ ⎬
donc
lim −2
x→+∞ x + 1 = 1 ⎪ ⎭
lim
x→+∞
lim −x = −∞
x→+∞
lim h(x) = −∞
x→+∞
lim h(x) = +∞
x→−∞
1 + 1 x 2
− 2 x + 1 = 1
IV
Asymptotes obliques
1 Activité
f est la fonction définie sur ]0; +∞[ par f(x) = x + 1 + 1 x .
Dans un repère, C est la courbe représentative de f et d est la droite d’équation y = x + 1.
1. Observations graphiques.
Obtenir à l’écran de la calculatrice, la courbe C et la droite d en appliquant chacune des fenêtres
graphiques suivantes. Que constate-t-on ?
a. 0 ≤ x ≤ 5 et 0 ≤ y ≤ 7.
b. 0 ≤ x ≤ 10 et 0 ≤ y ≤ 12
On observe que la courbe et la droite sont très proches. De plus, quand x devient de plus en plus grand,
la courbe et la droite semblent quasiment confondues.
2. Vers une explication.
x est un réel de ]0; +∞[.
M et P sont deux points d’abscisse x situés respectivement sur la courbe C et la droite d.
a. Quelle est, en fonction de x, l’ordonnée de M ? l’ordonnée de P ?
On note y M et y p les abscisses respectives des points M et P.
Comme M ∈ C, y M = x + 1 + 1 x .
Comme P ∈ d, y P = x + 1.
b. Calculer la distance MP. Que devient cette distance quand x prend de très grandes valeurs?
Comment ceci se traduit-il graphiquement ?
MP=|y M − y P | = |x + 1 + 1 x − x − 1| = 1 x .
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1
Or lim
x→+∞ x = 0.
Donc, quand x prend de très grandes valeurs, la distance MP devient très proche de zéro. Par
conséquent, quand x prend de très grandes valeurs,la droite et la courbe sont très très proches.
2 Asymptote oblique
Définition 7
C est la courbe représentative d’une d’une fonction f.
On dit que la droite d d’équation y = ax + b est asymptote oblique à C en +∞ (ou −∞) lorsque :
lim [f(x) − (ax + b)] = 0 (ou lim
x→+∞
[f(x) − (ax + b)] = 0)
x→−∞
Exemple 9
f est la fonction définie sur R ∗ par f(x) = 2x − 1 + 1 x 2
Dans un repère, C est la courbe représentative de f et d la droite d’équation y = 2x − 1.
Démontrer que d est asymptote oblique à C en +∞ et en −∞.
Calculons f(x) − (2x − 1).
f(x) − (2x − 1) = 2x − 1 + 1 x 2 − 2x + 1 = 1 x 2
1
Or, lim
x→+∞ x 2 = 0.
Donc, comme lim [f(x) − (2x − 1)] = 0, la droite d d’équation y = 2x − 1 est asymptote oblique à C en
x→+∞
+∞. (de même, en −∞).
Exemple 10
On considère la fonction f définie sur ] − ∞; 0] par
f(x) = x2 + x − 6
2x − 2
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout réel x de ] − ∞; 0], on ait f(x) = ax + b + c
2x − 2 .
ax + b +
c
2x − 2 =
(ax + b)(2x − 2) + c
2x − 2
= 2ax2 − 2ax + 2bx − 2b + c
2x − 2
= 2ax2 + x(−2a + 2b) − 2b + c
2x − 2
Comme x 2 + x − 6 = 2ax 2 + x(−2a + 2b) − 2b + c, on obtient par identification :
⎧
⎧
⎨ 2a = 1 ⎪⎨
a = 1 2
−2a + 2b = 1 ⇔
⎩
−2b + c = −6
2b = 1 + 2 × 1 ⎪⎩
2 = 2 Donc b = 1
c = −6 + 2 = −4 donc c = −4
On a alors
f(x) = 1 2 x + 1 − 4
2x − 2
2. En déduire l’existence d’une asymptote oblique d pour la courbe C.
Soit d la droite d’équation y = 1 2 x + 1.
( )
1
2 x + 1
D’après la question précédente, f(x) −
= − 4
2x − 2 .
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Or lim 2x − 2 = −∞. Donc lim − 4
x→−∞ x→−∞
( 2x − 2 = )
0.
1
Par conséquent, comme lim f(x) −
x→−∞ 2 x + 1 = 0, la droite d est asymptote oblique à C en −∞.
3. Etudier la position relative de C et d.
Afin d’étudier la position relative de C et d, on étudie le signe de f(x) −
Comme − 4 > 0 sur ] − ∞; 0], on en déduit que :
2x − 2
C est au-dessus de d sur ] − ∞; 0]
(
1
2 x + 1 )
= − 4
2x − 2 .
−→ j
0 −→ i
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