Fractales de Koch et Mandelbrot - Ensiwiki - Ensimag

Ensimag 1A – Projet C - Préparation 2012 - Exercice Fractales
3 Programme : Fractales de Mandelbrot
3.1 Principe général
Le fonctionnement de calcul pour ce type de fractale est le suivant :
• On définit un plan complexe associant à chaque point (i, j) de l’image un nombre complexe z 0 .
• On définit une fonction complexe f(z) ainsi que la suite associée z n+1 = f(z n )
• Pour chaque point (i, j) de l’image, on prend le z 0 associé dans le plan (ex : pour le point (0,1), la valeur
complexe 0 + 1i)
• On calcule ensuite les termes z n de la suite jusqu’à ce que |z n | atteigne une valeur de sortie choisie, ou que n
atteigne une certaine profondeur donnée
• Si la profondeur est atteinte, la suite converge ; tandis que si la valeur du module de sortie est atteinte, la
suite diverge
• Pour colorier l’image, on affiche pour chaque point divergeant une couleur associée à la profondeur atteinte
3.2 Fractale de base de Mandelbrot
On se propose tout d'abord de tracer une image représentant une partie de l’ensemble de Mandelbrot avec la
fonction f(z) = z 2 + z 0
Autrement dit, cet ensemble de Mandelbrot est l’ensemble des points c du plan complexe tels que la suite : z n+1 =
z n
2 + c et z 0 = 0 converge vers un point de C.
Dans cette partie, on demande de produire une image en noir et blanc de l’ensemble : un point est colorié en noir
s’il appartient à l’ensemble, et en blanc sinon. Les intervalles à utiliser sont [−2.2; 0.8] pour les abscisses, et [−1.5;
1.5] pour les ordonnées. L’image fournie devra être aux dimensions 300*300 pixels.
Pour déterminer si un point diverge ou converge, il est possible de s’arrêter après 1000 itérations.
Enfin, on pourra remarquer que si R(z) 2 + I(z) 2 ≥ 4, alors la suite diverge.
3.3 Tracé d’autres fractales de Mandelbrot
On souhaite désormais pouvoir spécifier d’autres valeurs pour le sous-ensemble à visualiser, ainsi que pouvoir
fournir des tailles d’images différentes. Comme on souhaite ne pas avoir de déformation dans l’image, les
paramètres sont les suivants :
• Résolution horizontale (RESOL_X) et résolution verticale (RESOL_Y) de l’image
• Coordonnées X et Y du centre du sous-ensemble (centre = CENTRE_X + i CENTRE_Y )
• Intervalle horizontal du sous-ensemble (SPAN_X)
• Nombre d’itérations maximal (NB_ITER_MAX)
Le nombre d’itérations maximal ne peut pas être connu à l’avance, mais est dépendant soit du zoom sur le sousensemble,
soit de l’intervalle horizontal représenté. Quelques exemples d’images sont donnés dessous (Tab. 1). Si
vous voulez en faire d’autres, à vous de trouver une valeur suffisamment grande, mais pas trop pour ne pas alourdir
inutilement le calcul.
Modifier votre code précédent pour prendre en compte ces paramètres. L’utilisation du programme s'effectuera
sous la forme : ./mandelbrot
On lira les paramètres dans le fichier de configuration config_file. Le fichier outfile est le nom du fichier contenant
l’image à créer.
Plusieurs fichiers de configurations sont fournis dans le répertoire « configs ». Les fichiers intitulés
« config_fractale_1_nx.txt » correspondent aux fractales de Mandelbrot étudiées dans cette partie.
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