SUJET DE MATHÃMATIQUES - Concours Geipi Polytech

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EXERCICE II Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 5 On considère la fonction f définie, pour tout réel x de ]1; +∞[, par : f(x) = x √ x 2 − 1 Soit C la courbe représentant f dans un repère (O;⃗ı , ⃗j) orthonormé (1 cm d’unité). II-1-a- 1-b- Déterminer lim f(x) et lim f(x) . x→1 + x→+∞ En déduire que C admet deux asymptotes ∆ 1 et ∆ 2 dont on donnera les équations. II-2-a- Soit g la fonction définie, pour tout réel x de ]1; +∞[ , par : g(x) = √ x 2 − 1 Justifier que sa dérivée g ′ vérifie, pour tout réel x de ]1; +∞[ : g ′ (x) = f(x) 2-b- f ′ désigne la dérivée de f. Justifier que, pour tout réel x de ]1 ; +∞[, on a : f ′ (x) = 2-c- Dresser le tableau des variations de f. 2-d- −1 (x 2 − 1) √ x 2 − 1 Compléter le tableau suivant, en donnant des valeurs approchées à 0, 01 près des images f(x). x 1, 1 1, 25 1, 5 1, 75 2 4 f(x) 2-e- Tracer la courbe C, ∆ 1 et ∆ 2 dans le repère (O;⃗ı,⃗j ) donné. II-3- Soient deux réels a et b tels que 1 < a < b. On définit l’intégrale : J(a, b) = ∫ b 3-a- En utilisant la question II-2-a-, justifier que l’on a : a (f(x) − 1)dx. J(a, b) = √ b 2 − 1 − √ a 2 − 1 − b + a 3-b- Déterminer, en fonction de b, la limite : I(b) = lim a→1 + J(a, b) II-4-a- On admet que, pour tout réel b > 1 , on a : Déterminer la limite K = lim b→+∞ I(b) . √ b 2 − 1 − b = 4-b- Donner une interprétation géométrique de ce que représente K. −1 √ b 2 − 1 + b 4/9 ENI-GEIPI-POLYTECH 2010 MATHEMATIQUES
REPONSES A L’EXERCICE II II-1-a- lim f(x) = x→1 + lim f(x) = x→+∞ II-1-b- ∆ 1 : ∆ 2 : II-2-a- g ′ (x) = f(x) car II-2-b- f ′ (x) = −1 (x 2 − 1) √ x 2 − 1 car : II-2-c- x 1 +∞ | f ′ (x) | || f(x) | | II-2-d- x 1, 1 1, 25 1, 5 1, 75 2 4 II-2-e- f(x) ⃗j O ⃗ı II-3-a- J(a, b) = √ b 2 − 1 − √ a 2 − 1 − b + a car II-3-b- I(b) = II-4-a- K = II-4-b- K représente ENI-GEIPI-POLYTECH 2010 MATHEMATIQUES 5/9
Page 1 and 2: Ne rien inscrire dans ce cadre NOM
Page 3: REPONSES A L’EXERCICE I I-1- ⃗v
Page 7 and 8: REPONSES A L’EXERCICE III III-1-
Page 9: REPONSES A L’EXERCICE IV IV-1-a-

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