SUJET DE MATHÃMATIQUES - Concours Geipi Polytech

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EXERCICE IV Donner les réponses à cet exercice dans le cadre prévu à la page 9 On considère la suite (u n ) n∈N définie, pour tout entier n de N, par : u n = e −n IV-1-a- Justifier que la suite (u n ) n∈N est décroissante. 1-b- Montrer que, pour tout entier n de N, on a : 0 < u n ≤ 1 IV-2- Etudier le signe de la fonction h définie, pour tout réel t de ]0; +∞[, par : h(t) = 1 − ln(t) IV-3- Soit la fonction g définie, pour tout réel t de ]0; +∞[, par : g(t) = t (2 − ln(t)) 3-a- Déterminer g ′ (t) où g ′ est la dérivée de g. On détaillera le calcul. 3-b- En déduire la primitive H de la fonction h qui s’annule en e 2 . On justifiera la réponse. IV-4- On considère maintenant la suite (v n ) n∈N définie, pour tout entier n de N, par : v n = ∫ e − n e −(n+1) (1 − ln(t)) dt 4-a- Justifier que, pour tout entier n de N, on a : v n ≥ 0 4-b- A l’aide de la question IV-3-b-, calculer v n en fonction de n. On détaillera le calcul. 4-c- Déterminer alors lim n→+∞ v n . IV-5- Pour tout entier n de N, on pose : S n = v 0 + v 1 + · · · + v n 5-a- Exprimer S n en fonction de n. 5-b- Déterminer alors lim S n . n→+∞ 8/9 ENI-GEIPI-POLYTECH 2010 MATHEMATIQUES
REPONSES A L’EXERCICE IV IV-1-a- (u n ) n∈N est décroissante car IV-1-b- Pour tout n ∈ N, 0 < u n ≤ 1 car IV-2- t 0 +∞ | Signe de h(t) | IV-3-a- g ′ (t) = IV-3-b- H(t) = car IV-4-a- Pour tout n ∈ N, v n ≥ 0 car IV-4-b- v n = IV-4-c- lim v n = n→+∞ IV-5-a- S n = IV-5-b- lim S n = n→+∞ ENI-GEIPI-POLYTECH 2010 MATHEMATIQUES 9/9
Page 1 and 2: Ne rien inscrire dans ce cadre NOM
Page 3 and 4: REPONSES A L’EXERCICE I I-1- ⃗v
Page 5 and 6: REPONSES A L’EXERCICE II II-1-a-
Page 7: REPONSES A L’EXERCICE III III-1-

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