Corrigé 3 - GR-HE | EPFL

Corrigé série 3, exercice 4
Jonathan Moustakis
3décembre2013
Nous montrons le point a) etb) enmêmetemps.Considéronslacourtesuite
exacte
j
p
0 A B C 0
Dans Ab. Etmontronsquelestroisassertionssuivantessontéquivalentes.
1) Il existe un homomorphisme r : B → A tel que r ◦ j = Id A .
2) Il existe un homomorphisme s : C → B tel que p ◦ s = Id C .
3) Il existe un isomorphisme ϕ : A⊕C −→ ∼=
B,telqueϕ◦ι A = j et p◦ϕ = π C ,
où ι A : A↩→ A ⊕ C et π C : A ⊕ C → C sont respectivement l’inclusion et
la projection naturelle.
Démonstration. 3) ⇒ 1)
Notons π A : A ⊕ C → A, laprojectionnaturelleetϕ −1 : B → A ⊕ C, l’inverse
de ϕ qui est donné par hypothèse. Posons r := π A ◦ ϕ −1 .
j
0 A B C 0
ι A
π A
A ⊕ C
Alors, on a : r ◦ j = π A ◦ ϕ −1 ◦ j = π A ◦ ϕ −1 ◦ ϕ ◦ ι A = π A ◦ ι A = Id A .
3) ⇒ 2)
Notons ι C : C↩→ A ⊕ C, l’inclusionnaturelleetposonss := ϕ ◦ ι C .
j
ϕ
ϕ −1
0 A B C 0
ϕ
p
p
ϕ −1 π C
A ⊕ C
ι C
On a : p ◦ s = p ◦ ϕ ◦ ι C = π C ◦ ι C = Id C .
1) ⇒ 3)
∀b ∈ B, b = b−(j◦r)(b)+(j◦r)(b). Or (j◦r)(b) ∈ Im(j) etb−(j◦r)(b) ∈ Ker(r),
car r(b − (j ◦ r)(b)) = r(b) − r((j ◦ r)(b)) = r(b) − (r ◦ j) (r(b)) = r(b) − r(b) =0.
} {{ }
Id A
1