TD série 6 : dual, transposition et orthogonal [PDF: 70 ko]

Université Antilles–GuyaneDEUG MIAS 2 e annéeUFR Sciences Exactes et Naturelles Algèbre 3Dépt Scientifique Interfacultaire 1 er semestre 2002–2003T.D. série 6 : dual, transposition et orthogonalitéExercice 1. Pour f ∈ E ∗ , montrer que f = o ⇐⇒ ∀x ∈ E : 〈f, x〉 = 0.Exercice 2. (a) Pour a ∈ R n , montrer que ψ a : x ↦→ a 1 x 1 + · · · + a n x n est formelinéaire sur R n , puis montrer que R n∗ = { ψ a ; a ∈ R n }.(b) Construire un isomorphisme (canonique) de K n sur son dual, (K n ) ∗ .(c) Soit (e 1 , ..., e n ) une base du K–e.v. E ; construire une bijection de K nsur E ∗ et montrer que c’est un isomorphisme.Exercice 3. Soit la famille B = ((1, 2, 3, 4), (0, 1, 2, 3), (4, 2, 1, 0), (0, 1, 2, 4)) de R 4 .(a) Montrer que B est une base de R 4 .(b) Déterminer B ∗ , base de R 4∗ duale de B.Exercice 4. On considère les applications ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 de R 3 dans R définies parϕ 1 (x) = 2 x 2 + 3 x 2 , ϕ 2 (x) = x 1 + 3 x 3 , ϕ 3 (x) = x 1 + 2 x 2 .(a) Montrer que D ∗ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est une base de R 3∗ .(b) Déterminer la base duale de D ∗ dans R 3 .Exercice 5. Démontrer les égalités données en cours pour la transposée, à savoirt id E = id E ∗, t (λu + µv) = λ t u + µ t v, t (u ◦ v) = t v ◦ t u, ( t u) −1 = t (u −1 ),et enfin, en dimension finie, t ( t u) = u, en identifiant E ∗∗ et E.Exercice 6. (a) Soit E l’espace vectoriel des vecteurs libres de l’espace ordinaire ;montrer que le produit scalaire ⃗ V · ⃗V ′ définit une forme bilinéaire sur E.(b) Généraliser au produit scalaire dans K n .(c) Généraliser à (x, y) ↦→ t x A y, A ∈ M n (K) ; x, y ∈ M n,1 (K).(d) Soit (e 1 , ..., e n ) une base du K–e.v. E ; construire une bijection de K n2sur l’ensemble des formes bilinéaires de E.∑Exercice 7. La trace d’une matrice A ∈ M n (K) est définie par tr(A) = n a ii .(a) Montrer que tr ∈ M n (K) ∗ et que ∀A, B ∈ M n (K), tr(AB) = tr(BA).(b) Montrer que ψ : M n (K) → M n (K) ∗ , ψ(A) = B ↦→ tr(AB) est unisomorphisme. (Considérer la base canonique (E ij ) 1≤i,j≤n de M n (K).)(c) En considérant ϕ(E ij E kl ), montrer que{ ϕ ∈ M n (K) ∗ | ∀A, B : ϕ(AB) = ϕ(BA) } = { λ tr ; λ ∈ K } .i=1

Exercice 8. On considère l’espace vectoriel E = R 4 et son dual E ∗ .(a) Déterminer l’orthogonal V ⊥ du sous-espace vectoriel V , engendré parles vecteurs v 1 = (1, 2, 0, 1); v 2 = (1, 0, 1, 0); v 3 = (1, 1, 0, 0) .(b) Trouver l’orthogonal W ⊤ du sous-espace vectoriel W ⊂ E ∗ engendrépar ϕ 1 = 2e ∗ 1 + e ∗ 2 − e ∗ 4 , ϕ 2 = −e ∗ 1 + 2e ∗ 2.Exercice 9. Soient E 1 et E 2 (resp. F 1 et F 2 ) deux sous-espaces d’un espace vectorielE (resp. E ∗ ), supposé de dimension finie. Démontrer(a) (E 1 + E 2 ) ⊥ = E 1 ⊥ ∩ E 2 ⊥ et (E 1 ∩ E 2 ) ⊥ = E 1 ⊥ + E 2 ⊥ .(b) (F 1 + F 2 ) ⊤ = F 1 ⊤ ∩ F 2 ⊤ et (F 1 ∩ F 2 ) ⊤ = F 1 ⊤ + F 2 ⊤ .Exercice 10. On note E n = R n [X] le R–e.v. des polynômes réels de degré ≤ n.(a) Soient ϕ 1 et ϕ 2 les deux éléments de E ∗ 1 définis par :ϕ 1 (P ) =∫ 10P (t) dt et ϕ 2 (P ) =∫ 20P (t) dt .Montrer que (ϕ 1 , ϕ 2 ) est une base de E ∗ 1, et déterminer la base duale.(b) Montrer que les trois formes linéaires φ 1 , φ 2 , φ 3 ∈ E ∗ 2, définies parφ 1 (P ) = P (1) ; φ 2 (P ) = P ′ (1) ; φ 3 (P ) =forment une base de E ∗ 2, et déterminer sa base duale.∫ 10P (t) dt ,(c) Montrer que les quatre éléments ψ 1 ,ψ 2 , ψ 3 et ψ 4 de E ∗ 3, définis parψ 1 (P ) = P (0) , ψ 2 (P ) = P (1) , ψ 3 (P ) = P ′ (0) , ψ 2 (P ) = P ′ (1) .forment une base de E ∗ 3, et déterminer la base duale.(d) Soit u : E 3 → E 3définie paru(P ) = P ′ (X + 1) + P ′ (X − 1) − P ′ (X) ,et f la forme linéaire sur E 3 définie par : f(P ) =∫ 10P (t) dt .Déterminer la forme linéaire t u(f).Calculer les composantes de t u(f) dans la base (ψ 1 , ψ 2 , ψ 3 , ψ 4 ).2