Luca PACIOLI - La divine proportion - IREM de Rennes

LUCA PACIOLILa divine proportionLUCA PACIOLI, moine franciscain et théologien est originaire de Borgo San Sepolcro.(env. 1450-1514) comme Piero della Francesca, l’auteur de l’ouvrage « De laperspective en peinture » (traduit et annoté par Jean-Pierre LE GOFF, Éditions IMR). Saprincipale œuvre est la "Summa di arithmetica, geometrica, proportione etproportionalita" publiée en 1494. En 1509 la "De Divina Proportione" est imprimée àVenise. Le manuscrit avait été offert à Ludovic le More, Duc de Milan. L'ouvrage,illustré par Léonard de Vinci, est principalement consacrée à l'étude des propriétés de laproportion. Elle est suivie d'un bref traité d'architecture, du tracé d'un alphabet antique,et du "Libellus", suite d'exercices mathématiques portant notamment sur les polyèdresréguliers.Ci-après sont traités deux exercices extraits de la « Divine Proportion » menant à larésolution d’équations du second degré.Du cadre équilatère (carré) dont le diamètre(diagonale) est .6. de plus que son côté, tu dois trouver lecôté.Met que son côté soit .1.◊., .1.◊.multiplié par .1.◊. cela fait .1.. lequel doubléfait .2.. et alors tu diras que la diagonale est.1.◊. − p .6. et .1.◊. − p .6. multiplié par .1.◊. − p .6.fait .1.. et .12.◊. et le nombre .36. qui sontégaux à .1.. Restaure les parties, enlève dechaque partie .1.., tu auras .1.. égal à .12. ◊. et au nombre .36. Les .◊. divisés par deuxferont .6. qui multiplié par lui-même fait .36.,joint avec le nombre cela fait .72. et la . R .72.−p .6. qui est la moitié des .◊. vaut la .◊. quenous mettrons être un côté, soit .6. − pIlla diagonale est .12. p − .R .72.. R.72. ets’agit de déterminer le côté du carré dontla diagonale a une longueur égale au côtéplus 6 unitésdésigne le côté du carré et désignele carré de ce côté. Pacioli ne le précise pas, ilutilise le fait que l’aire du carré ayant pourcôté la diagonale est double de l’aire du carréou encore que le carré de l’hypoténuse est égalà deux carré du côté de l’angle droit.L’hypoténuse valant x + 6, son carré vaut x 2 +12x + 36 qui est égal 2x 2 . Une erreurd’impression donne 1x 2 .Pacioli met en évidence une des formesrépertoriées de son époque x 2 = ax + b, icic’est x 2 = 12x + 36 puis la résout une desméthodes classiques issues des mathématiquesde langue arabe connues par le truchement duLiber Abaci (1202), de LÉONARD de PISE.

Voici le diamètre d’un cercle qui est .10., il est divisépar un segment dont un côté est .3. et l’autre .4., chercheren combien il divise le diamètre.Par ce qui précède on sait que lessegments qui s’interceptent dans un cerclesont tels que la partie d’un segment par sonautre partie est égale au produit que font lesdeux parties de l’autre segment. Tu as unepartie du segment qui est .3. et l’autre .4. et .3.multiplié par .4. fait .12. puis divise .12. endeux parties de sorte que l’une multipliée parl’autre fasse .12. et donc qu’une partie soit .1.◊. et l’autre .10. m _ . 1.◊. et .1.◊. multiplié par.10.m _ . 1.◊. seront .10.◊. m _ . 1.. et tu veux.12. En restaurant les parties tu auras .10.◊.égal à . 1.. et au nombre .12., les chosesdivisées par deux seront .5. qui multiplié parlui-même fait .25., retranches-en le nombrequi est .12., il reste .13. et R.13.m _ . la moitiédes choses qui est .5. vaut la chose que nousmettons pour être une partie et donc, que dudiamètre soit retranché .5.m _ . R. 13. et ildiamètre de longueur 10 d’un cerclecoup une corde en produisant deuxsegments de longueurs respectives 3 et 4. Ilfaut déterminer les longueurs des segmentsdéterminés sur le diamètre.Pacioli utilise le fait que si on note [AB] lediamètre [CD] la corde et I le pointd’intersection, on a IC × ID = IA× IB. Celadonne donc 3× 4 = x(10 – x) d’où l’équation10x = x 2 + 12.Il s’agit d’une équation de forme connuex 2 + a = bx.La moitié du coefficient de x est 5 dont lecarré est 25 duquel on retranche la constante12, ce qui donne 13. La racine carré de 13retranchée de la moitié du coefficient de x,cela donne pour solution 5 – 13 , l’autresolution étant 5 + 13Lereste .5. p _ . R. 13 .Gérard HAMONIREM Rennes