EXERCICES

1EXERCICESEXERCICE 1On considère le canal à quatre entrées et cinq sorties:ABCDpppp1-p1-p1-p1-pABECD1. Montrer que ce canal est symétrique.2. Calculer sa capacité.On se propose d'utiliser ce canal pour transmettre le contenu d'une source binaire S.3. Déterminer l'ordre d'extension de la source S pour que les mots source puissent êtretransmis directement sur le canal.4. On suppose la source binaire S sans mémoire. Calculer la probabilité pour qu'un motsource soit transmis correctement par le canal.

2 _________________________________________________ exercices du chapitre III⎛5. Si la source S est équidistribuée ie. P{ S = 0}= P{ S = 1}= 1 ⎞⎝2⎠et son débit binaireD S = 1 T S, quel devrait être le débit d'utilisation du canal D Cpour qu'une transmission ducontenu de S puisse être envisagée avec une probabilité d'erreur aussi petite que souhaitée?EXERCICE 21. Calculer les capacités des canaux C1 et C2 ci-dessous.AB11pαβαβ1qA'B'1-p1-qCcanal 1 canal 2C'2. Déduire du 1. la capacité du canal résultant de la mise en cascade de C1 et C2 obtenue enreliant les sorties α et β du canal 1 aux entrées correspondantes α et β du canal 2.EXERCICE 31. Calculer la capacité d'un canal binaire à effacement:0 1-q0qqε1 11-q

exercices du chapitre III __________________________________________________32. Quelle est la capacité par unité de temps si le débit d'utilisation du canal est D c = 1 T c?3. On considère une source binaire équidistribuée sans mémoire de débit binaire D s. Quelledoit être la valeur du débit utilisé sur le canal pour que la transmission du contenu de lasource puisse s'effectuer avec une probabilité aussi petite que souhaitée?4. À q et D s fixés, imaginer un dispositif incluant une voie de retour non bruitée qui permetted'atteindre le résultat du 3. Quelle est alors la probabilité d'erreur?EXERCICE 41. Calculer la capacité du canal K-aire sans mémoire défini par les probabilités de transition:P{ Y = a i / X = a i }= qP{ Y = a j / X = a i }= p ∀ j ≠ iOn a donc q + ( K −1)p = 1.a 1 p qa 1pqa a 2p 2pa 3p ppppqa K a KEXERCICE 5

4 _________________________________________________ exercices du chapitre IIIOn considère une source binaire sans mémoire S 0dont la loi de probabilité vérifie:P{ S 0= 0}= 0,9 = 1− P{ S 0= 1}.I CODAGE DE SOURCEOn souhaite coder les mots source de longueur n = 4 en des mots code binaires de longueurr = 3.1. Construire un code bloc attribuant à chaque mot source de longueur 4 un mot code binairede longueur 3 en faisant en sorte que la probabilité de ne pouvoir attribuer avec certitude unmot source à un mot code soit la plus petite possible. Calculer cette probabilité.2. Ce codage fait correspondre à S 0une nouvelle source S 1possédant 2 3 = 8 symboles. -Calculer l'entropie par symbole de S 1.3. On suppose que le débit binaire de S 0est D S0= 1 T Set que la durée d'un mot source S 1coîncide avec la durée d'un mot source S 0- Calculer le débit d'information (entropie par unité de temps) de S 1et le comparer au débitd'information de S 0 . Commenter (succintement) la différence observée.II CODAGE DE CANALPour transmettre le contenu de la source S 1 , on utilise un canal binaire symétrique deparamètre p = P{ Y = 0 / X = 1}= P{ Y = 1 / X = 0}= 0,08 (où X et Y désignentrespectivement l'entrée et la sortie du canal).TRANSMISSION SANS CODAGE.On relie directement la souce S 1au canal.0. La condition du deuxième théorème de Shannon est-elle satisfaite?1. Quelle est la probabilité pour qu'un élément binaire d'un mot de S 1soit erroné?2. Calculer la probabilité pour qu'un mot source de S 1 soit transmis correctement.

exercices du chapitre III __________________________________________________5TRANSMISSION AVEC UN CODE IDÉAL3. Quelle doit être , en fonction du débit binaire D S0= 1 T S, la valeur minimum du débitbinaire d'utilisation du canal binaire symétrique pour que la transmission du contenu de lasource S 1 puisse s'effectuer avec une probabilité aussi faible que souhaitée, en utilisant uncode approprié?On suppose que l'on utilise un code pour transmettre le contenu de S 1tel que la probabilitéd'erreur sur les mots source S 1est négligeable. Après le décodage de canal qui permet deretrouver les mots source S 1, on dispose un récepteur ayant pour objet de restituer les mots del'extension d'ordre 4 de S 0émis.4. Préciser la structure de ce récepteur pour que la probabilité d'erreur sur les mots del'extension d'ordre 4 de S 0soit la plus petite possible. Calculer cette probabilité.EXERCICE 6On considère une modulation de phase à deux états transmise sur un canal à bruit additifgaussien blanc de densité spectrale de puissance égale à N 0. L'expression de l'enveloppe2complexe du signal utile émis (pour un élément binaire donné) est : d k E b g( t − kT)avec⎧ d k= −1( resp. d k= 1)si l' élément binaire émis est 0 resp. 1⎪ g( t) le formant⎨ E b l' énergie par élément binaire⎪ 1= le débit symbole⎪T( )On suppose que les éléments binaires "0" et "1" sont équiprobables.L'enveloppe complexe du signal bruité à l'entrée du récepteur s'écrit:E b g( t − kT)+ α b( t) où α b td krécepteur).( ) représente l'enveloppe complexe du bruit (à l'entrée du

6 _________________________________________________ exercices du chapitre IIIAprès passage dans le filtre adapté à g( t) (on suppose en outre que g( t) est normée) etéchantillonnage à t = kT , on obtient: z k= d k E b+ α' b(on suppose que la valeur du débit dela source est telle qu'il n'y a pas d'interférence entre les symboles) avec α' bgaussien centré devariance N 0, c'est-à-dire que la partie réelle et la partie imaginaire de α' bsont indépendanteset suivent une loi de Gauss centrée et d'écart-typeN 02 .PREMIÈRE PARTIEPour décider du symbole d kémis ("-1" ou "1"), on projete z ksur l'axe réel et on utilise uncomparateur à seuil (de tension de seuil 0) de telle sorte que:∧si R( z k )≥ 0 on décide d k = 1si R( z k )< 0 on décide d k∧= −1∧où d kreprésente le symbole estimé et R( x) la partie réelle de x .On obtient la chaîne de transmission:source binairecodeuréléments binairesrestituésdécodeurd kformantd^kfiltre adaptéα bchaîne de transmissionéchantillonneurpartie réellecomparateur à seuil

exercices du chapitre III __________________________________________________7∧1. Exprimer P{ d k = −1/ dk = 1} et P d ∧k = 1 / dk = −1Q( x)=∫+ ∞x1e − u22du.2π{ }à l'aide de la fonction Q x( ) définie par2. Déduire du 1 un modèle de canal pour la chaîne de transmission avec deux alphabetsbinaires identiques pour l'entrée et la sortie. Calculer sa capacité et la probabilité d'erreur parsymbole.3. Calculer la valeur numérique de la probabilité d'erreur par symbole dans le cas où2E bN 0= 5 .DEUXIÈME PARTIEOn remplace le comparateur à seuil précédent (ou quantificateur à deux niveaux) par unquantificateur à trois niveaux de telle sorte que:∧si R( z k )≥ A on décide d k =1si − A < R( z k)< A pas de décisionsi R( z k )≤ −A on décide d k∧= −1où A est une constante strictement positive supérieure ou égale à E b .1. Montrer que la chaîne de transmission peut être modélisée par un canal à deux entrées ettrois sorties dont on calculera les probabilités de transition et la capacité.On dispose d'une voie de retour (supposée non bruitée) et d'une mémoire de taille suffisantepour demander la réémission d'un symbole dont la précédente émission n'a pu donner lieu àune décision.2. Quel est le nombre moyen d'émissions successives du même symbole pour qu'une décisionsoit prise en réception?3. Calculer la probabilité d'erreur par symbole.

8 _________________________________________________ exercices du chapitre III4. On se place dans le cas où 2E bN 0= 5 et A = E b. Calculer la valeur numérique de laprobabilité d'erreur par symbole. Comparer avec le résultat de la première partie. La conditiond'adéquation entre source et canal du deuxième théorème de Shannon est-elle satisfaite?5. On note α = P{ d k= 1}. Quelle équation doit vérifier α pour que la condition d'adéquationsource canal du deuxième théorème de Shannon soit satisfaite?EXERCICE 7Calculer la capacité d'un canal résultant de la mise en cascade d'un canal binaire symétriquede probabilité d'erreur p et d'un canal à effacement:01-p1-α0pαε11-ppα1-α1