Arbres AVL - exemple - UQAC

1Arbres équilibrés :les arbres AVLThursday, 4 October, 12

Arbres équilibrés – concepts de base• Situation idéale visée: s’assurer que le sous-arbrede gauche et le sous-arbre de droite sont de mêmehauteur• Ce principe s’appliquerait à tous les nœuds demanière récursive• Si on appliquait ceci à chaque insertion ou retrait,ce serait très coûteux• Il faut donc établir des conditions plus faibles, maisqui nous assurent des gains en performanceThursday, 4 October, 123

Les arbres AVL• AVL = Adelson Velskii Landis• Arbre binaire de recherche avec contrainte debalancement (équilibré)▫ arbre de recherche binaire tel que pour chaque nœud,les hauteurs des ses sous-arbres gauche et droite sontdifférentes d’au plus 1• Permet de garantir des temps d’accès O(log n)• Premier arbre équilibré inventé (1962)Thursday, 4 October, 124

Arbres AVL - exemple*-Thursday, 4 October, 126

Arbres AVL - exemple128164 101426Cet arbre est un arbre AVLThursday, 4 October, 127

Arbres AVL – exempleCes noeuds violentla condition128164 1014261Thursday, 4 October, 12Après l’ajout de 1 ce n’est plus un arbre AVL8

Arbres AVL - exemple128164 101426 13Thursday, 4 October, 12Après l’ajout de 13 ce n’est plus un arbre AVL9

Analyse• Soit NB le nombre de nœuds minimum dans unarbre AVL de hauteur H• NB 0 = 0 , NB 1 = 1 et NB 2 = 2• NB h = NB H-1 + NB h-2 + 1 pour h ≥ 2• NB h = F h+3 -1 (Fibonacci) (preuve ???)Thursday, 4 October, 1210

AnalyseThursday, 4 October, 1211

Opérations de base• Suppression :▫ Similaire à un arbre binaire de recherche toutefois: peut entraîner un rééquilibrage le rééquilibrage peut entraîner des rééquilibrage encascade ⇒ faut connaître la totalité du chemin parcouruThursday, 4 October, 1213

Rééquilibrage• Soit A un nœud d’un arbre AVL, on veut insérerun nouveau nœud dans le sous-arbre gauche :▫ La hauteur du sous-arbre gauche n'augmente pas,l'arbre était équilibré par hypothèse, donc il le reste▫ La hauteur du sous-arbre gauche augmente. Troiscas de figure : La hauteur du sous-arbre gauche était égale à lahauteur du sous-arbre droit moins un. La hauteur du sous-arbre gauche était égale à lahauteur du sous-arbre droit, l'arbre reste équilibré La hauteur du sous-arbre gauche était égale à lahauteur du sous arbre droit plus 1 ; après l'insertion,l’arbre devient déséquilibré.Thursday, 4 October, 1215

Rééquilibrage• Dans le cas d’insertion dans le sous-arbre degauche du fils gauche ou dans le sous-arbre dedroite du fils droit:⇒ Simple rotation• Dans le cas d’insertion dans le sous-arbre dedroite du fils gauche ou dans le sous-arbre degauche du fils droit:⇒ Double rotationThursday, 4 October, 1216

Exemple : hauteur du sous-arbre gaucheaugmente mais l’arbre reste équilibréThursday, 4 October, 1217

Exemple• Cas où l’arbre penche à gauche• Après rééquilibrageThursday, 4 October, 1218

Exemple• Cas où l’arbre penche à droite• Après rééquilibrageThursday, 4 October, 1219

Rotation simple*ABBCDADEECThursday, 4 October, 1220

Rotation simpletemplate void BSTleft;x->left = y->right;y->right = x;x = y;}*ABBCDADEECThursday, 4 October, 1221

Exemple de simple rotation12816Hauteur = 24 101426Hauteur = 01Thursday, 4 October, 1222

Exemple de simple rotation128 16410142 61Thursday, 4 October, 1223

Exemple de simple rotation1241628141610Thursday, 4 October, 1224

Exemple de simple rotation1241628141610Thursday, 4 October, 1225

Rotation double*AEBCBADEDFGCFGThursday, 4 October, 1226

Rotation doubletemplate void BSTleft );rotation_filsG( x );}*AEBCBADEDFGCFGThursday, 4 October, 1227

AVL – exemple de double rotation128164101426Noeud inséré7Thursday, 4 October, 1228

AVL – exemple de double rotation1281641014267Thursday, 4 October, 1229

AVL – exemple de double rotation1281661014472Thursday, 4 October, 1230

AVL – exemple de double rotation1281661014472Thursday, 4 October, 1231

AVL – exemple de double rotation1261648142710Thursday, 4 October, 1232

Exemple• On cherche à insérer la séquence suivante dansun arbre AVL :▫ 17, 9, 10, 3, 5, 2, 8179 17910 17910Rotationdouble109 1733109 17Thursday, 4 October, 1233

Exemple105 10Rotationdouble10210Rotationsimple9 179 17517517333 93 95258 531031029 1729 178Thursday, 4 October, 1234

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 1420Thursday, 4 October, 1235

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 142-110 0Thursday, 4 October, 1236

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 142-210-112 0Thursday, 4 October, 1237

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 1410020120Rotation simpleThursday, 4 October, 1238

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 14101212-1 04 0Thursday, 4 October, 1239

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141002-112-14 0 16 0Thursday, 4 October, 1240

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141012-212-1-14 1608 0Thursday, 4 October, 1241

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141004012-128 160 0 0Rotation simpleThursday, 4 October, 1242

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141014-112-1028 1 1606 0Thursday, 4 October, 1243

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141004-112-2028 1 1616 0 14 0Thursday, 4 October, 1244

Autre exemple2 10 12 4 16 8 6 141014-1140028 1 12 160060Rotation doubleThursday, 4 October, 1245

Autre exempleVoici un exemple où la rotation se fait loin du point d’insertion1024-1140128 1 12 1600160 -1 9 070Noeud inséréThursday, 4 October, 1246

Autre exempleVoici un exemple où la rotation se fait loin du point d’insertion804010-112 6-1901400170120160Après rotation doubleThursday, 4 October, 1247

Exemple : retrait62318312 4571955 18 39 519914Retrait de 62!Thursday, 4 October, 1248

Limitations• Il faut stocker l’information concernant lahauteur dans les nœuds• Le processus récursif implique de remonterjusqu’à la racine• Le retrait est passablement plus compliqué quel’insertion (mais demeure O(lg N))• En pratique, il existe des approches plus rapidesThursday, 4 October, 1249