`A propos des canons rythmiques - Free

période 900 :A = (0, 36, 72, 100, 108, 136, 144, 172, 200, 208, 225, 236, 244, 261, 272, 297, 308, 325, 333, 344, 361, 369, 397, 425, 433, 461, 469, 497, 5B = (0, 30, 60, 90, 156, 210, 240, 250, 270, 330, 336, 360, 390, 405, 420, 510, 516, 540, 550, 570, 600, 690, 696, 720, 780, 810, 850, 855, 89 Coda9.1 StrettaNous pouvons nous croire arrivés bien loin de Frère Jacques et de son petit canon à quatre voix.Mais les contre-exemples obtenus par des arguments sophistiqués à ces conjectures mathématiquespointues permettent de mettre en évidence des objets musicaux doués de propriétés intéressantes,qui vont certainement faire leur apparition dans des partitions prochaines : cela a déjà été le cas parle passé, particulièrement avec les canons de VUZA mais aussi dans bien des domaines – il n’est pasnouveau que des idées mathématiques servent, consciemment ou non, l’inspiration de musiciens.En retour, et de façon bien plus novatrice, on peut espérer que les suggestions des compositeurscontinuent, comme elles ont commencé de le faire, à éclairer la recherche mathématique de leursidées spécifiques. L’étonnante fécondité de cette irruption de la musique dans les mathématiquess’explique à mon avis par la fringale des mathématiciens pour les concepts nouveaux, qui ont toujoursservi spectaculairement l’avancement de notre science : bien des outils mathématiques aujourd’huibanals sont issus de la physique, bien sûr, mais aussi de la biologie, de l’économie, etc. . .Prophétisons que le temps est venu de reformer et d’élargir le Quadrivium antique, la musique reprenantavec les autres son statut de pilier de la connaissance.9.2 Solutions des exercices9.2.1 Canon de période 2 × l(A)Il suffit de prendre A = (0, n − 1) qui pave avec B = (0, 1, . . . , n − 1) mais pas moins.9.2.2 Perfect square tilingsPartant de : ∑ X k iΦ 3 (X i ) = 1 + X + . . . = 3n−1 ∑X j = X3n − 1on pose X = j = e 2iπ/3 : les indices ii∈Ij=0 X − 1multiples de 3 sont caractérisés par le fait que Φ 3 (j i ) = Φ 3 (1) = 3 ≠ 0. Pour tout autre indice on auraΦ 3 (j i ) = 0 – c’est la relation classique 1 + j + j 2 = 0. Il reste donc une somme des j k i, i ∈ 3N qui doitvaloir 0. Or la plus courte somme valant 0 est encore 1 + j + j 2 = 0, ce qui impose qu’il y ait 0 ou 3 (ou6, ou 9. . .) multiples de trois parmi les indices i. Cela explique pourquoi T 3 n’apparaît pas sans T 6 etT 9 .9.2.3 (1, 4, 9, 16) pave-t-il ?Non. On a bien deux facteurs cyclotomiques, d’indices 2 et 10, mais la condition (T 1 ) n’est pasvérifiée, sans parler de (T 2 ).X 16 + X 9 + X 4 + X = X × (1 + X) × (1 − X + X 2 − X 3 + X 4 ) × (1 + X 3 − X 5 + X10)(il faut un logiciel de calcul formel si on veut factoriser sans efforts ; en revanche on liste facilementles polynômes cyclotomiques du style Φ p α = 1 + X pα−1 + X 2pα−1 + . . . et on teste s’ils sont diviseurs).9.2.4 Pavage modulo 2La plus petite solution pour paver modulo 2 avec A = (0, 1, 3) est B = (0, 2, 3). En effet A + B ={0, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6}.FIG. 16 – pavage modulo 2 avec (0,1,3)9.2.5 Éléments d’ordre 15 dans le corps à 16 élémentsDans la discussion du problème de JOHNSON, on a vu que le polynôme (irréductible sur F 2 [X])J(X) = 1 + X + X 4 a 4 racines d’ordre 15 dans F 16 . Leurs inverses sont aussi d’ordre 15, elles sontracines du polynôme réciproque 1 + X 3 + X 4 . On a alors Φ(15) = 8 éléments d’ordre 15, on n’entrouvera pas plus (Φ désignant la fonction d’EULER).16