Logique propositionnelle

Logique propositionnelleOn vérifie aisément les résultats suivants, pour deux variables p et qquelconques :¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qp ⇒ q ≡ ¬p ∨ qp ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬pp ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)On aimerait en déduire les mêmes résultats quand p et q désignent nonseulement des variables mais même des sous-formules...Substitution dans une formuleLogique propositionnelleSoit f une formule, p 1 , p 2 , ..., p k des variables deux à deux distinctes, ete 1 , e 2 , ..., e k des formules quelconques.On définit inductivement la formule obtenue par substitution dans f de e i àchaque p i , qu’on note {e 1 /p 1 ,e 2 /p 2 ,...,e k /p k }f de la façon suivante :◦ {e 1 /p 1 ,...,e k /p k }V = V et {e 1 /p 1 ,...,e k /p k }F = F;◦ si p est une variable,{ei , si p = p{e 1 /p 1 ,...,e k /p k }p =i ;p, si p n’est aucune des variables p 1 , ..., p k ;◦ {e 1 /p 1 ,...,e k /p k }(¬f) = ¬({e 1 /p 1 ,...,e k /p k }f);◦ pour tout connecteur binaire ⊗,{e 1 /p 1 ,...,e k /p k }(e ⊗f) = ({e 1 /p 1 ,...,e k /p k }e) ⊗({e 1 /p 1 ,...,e k /p k }f).17/2518/25Logique propositionnelleOn démontre alors par induction structurelle leThéorèmeSoit p 1 , p 2 , ..., p k des variables deux à deux distinctes, f une formulequelconque, et enfin µ un contexte quelconque.On dispose alors de [µ]({e 1 /p 1 ,e 2 /p 2 ,...,e k /p k } f) = [µ ′ ]f, où µ ′ est lecontexte défini par µ ′ (p) = µ(p) si p n’est pas une des variables p i , etµ ′ (p i ) = [µ]e i pour 1 i k.Logique propositionnelleOn est maintenant en mesure de démontrer un nouveau théorème qui permetde généraliser au cas des sous-formules les équivalences de formules déjà vuesplus haut.ThéorèmeSoit p 1 , p 2 , ..., p k des variables deux à deux distinctes, f et g deux formulequelconques, et enfin e 1 , e 2 , e k des formules quelconques.On suppose que f ≡ g.Alors : {e 1 /p 1 ,e 2 /p 2 ,...,e k /p k } f ≡ {e 1 /p 1 ,e 2 /p 2 ,...,e k /p k } g.En effet, pour tout contexte µ:[µ]({e 1 /p 1 ,...,e k /p k } f) = [µ ′ ]f = [µ ′ ]g = [µ]({e 1 /p 1 ,...,e k /p k } g).19/2520/25