Logique propositionnelle

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Logique propositionnelle8 Formes normales conjonctives, disjonctivesUn littéral est ou bien une variable, ou bien la négation d’une variable. Doncune formule du genre p ou ¬p.Notons au passage que la négation d’un littéral est équivalente à un littéral.Une clause est une disjonction de littéraux, c’est-à-dire une formule du genrel 1 ∨ · · · ∨ l r où chaque l i est un littéral.Une forme normale conjonctive est une conjonction de clauses, c’est-à-direune formule du genre c 1 ∧ · · · ∧ c k où chaque c j est une clause.Une forme normale disjonctive est une disjonction d’une conjonction delittéraux.Logique propositionnelleNous voulons montrer que toute formule est équivalent à une forme normaleconjonctive (resp. disjonctive).Énonçons rapidement quelques lemmes.LemmeLemmeLemmeToute négation d’un littéral est équivalente à un littéral.La négation d’une disjonction (resp. d’une conjonction)de littéraux est équivalente à une conjonction (resp. unedisjonction) de littéraux.La négation d’une disjonction de conjonctions (resp.d’une conjonction de disjonctions) de littéraux est équivalenteà une conjonction de disjonctions (resp. une disjonctionde conjonctions) de littéraux.21/2522/25Logique propositionnelleNous sommes en mesure de démontrer par induction structurelle leThéorèmeToute formule f est équivalente à une forme normale conjonctive f × et àune forme normale disjonctive f + .On peut se contenter des connecteurs binaires ∧ et ∨, comme ila été prouvé plus haut.Le cas des constantes est facile : V + = V × = p ∨ ¬p, F + = F × =p ∧ ¬p.Le cas des variables aussi : p + = p × = p.Le cas de la négation tout autant, grâce aux lemmes précédents.Reste le cas d’une formule e = f ∨ g ou e = f ∧ g, pour laquelle onconnaît déjà f + , f × , g + , g × .Logique propositionnelleOn dispose évidemment de (f ∨ g) + = f + ∨ g + et de (f ∧ g) × =f × ∧ g × .Considérons maintenant (f ∨ g) × . On dispose de f × = ∧ f i etig × = ∧ g i , où les f i et les g i sont des disjonctions de littéraux.iMais f ∨ g ≡ f × ∨ g × = ( ∧ f i ) ∨ ( ∧ g j ) ≡ ∧ (f i ∨ g j ) où oni j i,jreconnaît une conjonction de disjonctions de littéraux.De même f ∧ g ≡ f + ∧ g + = ( ∨ f i) ∧ ′ ( ∨ g j) ′ ≡ ∨ (f i ′ ∧ g j) ′ où oni j i,jreconnaît une disjonction de conjonctions de littéraux.23/2524/25
Utilisation des tables de véritéLogique propositionnelleLe lecteur attentif aura remarqué que les théorèmes que nous avons énoncéspour la représentation des fonctions booléennes par des formules, faisaientintervenir des formes normales conjonctives ou disjonctives : associant àune formule e la fonction booléenne ε e , et appliquant les théorèmes enquestion, on en déduit de nouvelles formules, sous formes normales, quiseront équivalentes à e.C’est, en pratique, la méthode la plus naturelle et la plus rapide pour obtenirune forme normale (qu’elle soit disjonctive ou conjonctive) d’une formulepropositionnelle.25/25
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