Les modèles factoriels empiriques - Ingénierie Economique et ...

Table des matières1 Introduction 22 Les trois types de modèles factoriels 73 Modèles à facteurs macroéconomiques 184 Les modèles de BARRA 331

où Λ est le vecteur colonne des prix des risques factoriels :⎡ ⎤λ 1...Λ =λ k⎢ ... ⎥⎣ ⎦λ KIl est alors possible de montrer qu’il existe une infinité de K facteurs qui vérifieront unetelle équation de prime de risque. En effet, pour toute matrice carrée de plein rang M, onpeut définir un nouveau vecteur de facteurs, noté f 0 , que l’on obtient en transformant levecteur de facteur initial f :e f 0 = M. e fIl est alors immédiat de vérifier que si l’on redéfinit le vecteur d’exposition de la manièresuivante :b 0 a= b a .M −1alors les rendements ont toujours une structurefactorielle(demêmedimension)puisquesi l’on note I K la matrice identité de rang K :eR a = R a + b a . e f + e a= R a + b a .I K . e f + e a= R a + b a . ¡ M −1 .M ¢ . e f + e a= R a + ¡ b a M −1¢ ³. M. e ´f + e a= R a + b 0 a. e f 0 + e aDe même, si l’on rédefinit le prix des facteurs à l’aide de M de la manière suivante :Λ 0 = M.Λ3

alors il est immédiat de vérifier que la prime de risque est, conformément à l’APT, donnéepar les nouveaux facteurs d’exposition b 0 a et les nouveaux prix Λ 0 :R a − R 0 = b a .Λ (1)= b a .I.Λ (2)= b a . ¡ M −1 .M ¢ .Λ (3)= ¡ b a M −1¢ . (M.Λ) (4)= b 0 a.Λ 0 (5)Ce résultat sur la substitution des facteurs a amené Shanken [1982] [Sha82] à mettreen doute la simple possibilité de tester l’APT, ou de le distinguer d’un CAPM à facteursmultiples 1 portant notamment sur la possibilité de distinguer un modèle APT d’unCAPM multiple. La thèse de l’impossibilité de distinguer ces deux modèles a égalementété soutenue par Connor dans un des articles théoriques les plus importants sur la théoriefactorielle (Connor [1984] [Con84]). Le CAPM peut en effet se présenter comme un ‘modèlefactoriel ex-post’ pour reprendre une expression de Connor. En effet, le portefeuillede marché (m) permetdedéfinir le facteur ( f): eef = R.m e h i− E eR.ml’exposition aux risques (b a )dechaqueactifa :³cov eRa , e ´b a = ³var eR.m´le risque spécifique (ε a ):ε a = eR a − R 0 − b a . e fSi l’on note E est le vecteur colonne des risques spécifiques alors le risque spécifique duportefeuille du marché est donné par le produit vectoriel m > E. Le portefeuille de marché1 Voir l’échange entre Shanken [1985] [Sha85] et Ross & Dybvig [1985] [DR85].4

est donc bien diversifié puisque:m > E= m> .R− cov(m> .R, m > .R).m > .Rvar(m > .R)= m > .R− var(m> .R)var(m > .R) .m> .R= m > .R − m > .R= 0Le CAPM apparaît donc comme un modèle factoriel. Cependant, il ne l’est qu’ex-post :il ne suppose pas en effet que les rendements sont engendrés par un ‘processus factoriel’mais il utilise les actifs existants pour construire implicitement un modèle factoriel.Ces difficultés n’ont cependant pas empêché le développement des évaluations empiriquesdes modèles factoriels. La multiplication des “anomalies” inexplicables par leCAPM rendait en effet nécessaire le développement de modèles empiriques alternatifs.Or, “le modèle factoriel est un rêve d’empiriste.” (Fama [1991] [Fam91] p. 1594). Il aen effet les qualités de ses défauts : la faiblesse des restrictions théoriques peut aussiêtre considéré comme un appel à multiplier à l’infini les facteurs possibles. D’ailleurs, lespremiers modèles factoriels furent estimés avant même l’article de Ross, notamment parBarr Rosenberg [1974] [Ros74], le fondateur de la société de conseil financier BARRA.L’étude de Roll & Ross [1980] [RR80]) fut sans doute la première évaluation empiriquede l’APT. L’échantillon utilisé portait sur les rendements quotidiens de 1260 entreprisessur la période juillet 1962 - décembre 1972. Pour garder un problème informatiquement(alors) traitable, 42 groupes de trente entreprises furent constitués et étudiés à l’aidede l’analyse en composante principale. Dans chaque groupe les sensibilités de chaque titrej de chaque groupe j à chaque facteur k, β ikk , fut tout d’abord estimé avant d’effectuerdes régressions transversales (à la Fama & MacBeth) pour chaque période t :R ijt = R Zkt + X kb ijk .λ jtkPour une groupe donné, les régressions estimés aux différentes périodes engendrent desprimes de risque moyennes pour tous les facteurs retenus. Une restriction induite (notamment)par l’APT est que les moyennes de R Zkt et des λ jtk des différents groupes nedoivent pas être (statistiquement) différentes.5

Undesrésultatsconstructifsdecetravailfutdesoulignerqu’unnombreréduitdefacteurs, plus précisément moins d’une demi-douzaine, suffisait : dans 38% des groupes,il y avait en effet moins de 10% de chances qu’il soit utile d’aller au delà de 5 facteurs ;dans 3/4 des groupes, il y a 50% de chances que cinq facteurs soient suffisants.Ces travaux ont suscité une controverse longue et durable portant sur la méthode utilisée,sur sa capacité à tester véritablement la théorie factorielle. Un résultat peu contesté dela littérature empirique est que l’addition de facteurs supplémentaires permet d’accroîtresubstantiellement le pouvoir explicatif des modèles. Ainsi sur la figure 1 est reporté un desrésultats obtenus par Roll [1988] dans un article au titre particulièrement court : “R 2 ”.Même si le modèle à cinq facteurs de Roll a un pouvoir explicatif moyen limité puisquela valeur moyenne de R 2 est de 0.244, elle est sensiblement supérieure à celle du CAPM.La distribution des R 2 de l’APT donne plus de poids aux valeurs importantes des R 2 :pour 15% des titres, le R 2 est supérieur ou égal à 0.5 contre moins de 5% des titres pourle CAPM. 2Peu après Roll & Ross, une autre évaluation de l’APT fut réalisé par Chen [1983][Che83] sur un échantillon couvrant la période 1963-1978 et comprenant entre 1000 et1500 actifs. Outre l’estimation du nombre de facteurs, Chen réalisa une comparaison desperformances du CAPM et de l’APT, confrontation à l’avantage de la théorie factorielle.Après ces premiers travaux initiaux encourageants, les modèles estimés se multiplièrent.En raison du faible nombre de contraintes sur les facteurs utilisables, les modèles factorielsestimés ont été fort divers au cours du dernier quart de siècle. On s’accorde aujourd’huicependant sur le fait que les différents modèles peuvent être regroupés en trois principauxtypes.2 Le CAPM n’est pas pour autant complètement abandonné. Il a lui aussi connu un profond renouvellement.Ses nouvelles modélisations empiriques s’inspirent cependant désormais plus soit de sa modélisationdynamique, l’ICAPM (Intertemporal Capital Asset Pricing Model), soit de la version obtenue en équilibregénéral, le CCAPM ou CAPM de consommation. Le CAPM lui-même n’est pas absent des modèlesfactoriels puisque le risque de marché constitue en général l’un des facteurs retenus, et même l’un desplus importants.6

1614121086CAPMAPT4200 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8Fig. 1 — Les distributions des R 2 du CAPM et d’un modèle factoriel à 5 facteurs statistiquesestimés sur les rendements mensuels de 2300 actions du NYSE et de l’AMEX surla période allant de septembre 1982 à août 1987. (source : Roll [1988] p. 544)2 LestroistypesdemodèlesfactorielsLes modèles factorielles se différencient non seulement par leurs facteurs, mais aussi parles variables qu’ils supposent exogènes, endogènes et par leurs techniques d’estimation.En reprenant la typologie proposée par Connor [1995] [Con95a] [Con95b], on peutdistinguer trois principaux types de modèles factoriels dont les propriétés sont détailléesdans le tableau 1 :— les modèles à facteurs macroéconomiques ;— les modèles à facteurs fondamentaux ;— les modèles à facteurs statistiques.Dans les modèles à facteurs macroéconomiques, les facteurs retenus sont essentiellementdes prix ou des indices reflétant l’activité des marchés financiers et de l’économie.Ainsi, par exemple on rencontrera, sous différentes appellations, le rendement dumarché (ou d’un indice supposé le représenter), la structure par terme des taux d’intérêt,la production industrielle, la prime de qualité payé sur les titres privés de faible qualité.7

Le choix des facteurs macroéconomiques non sur une méthode mais sur l’intuition du modélisateurou sur l’exploitation de résultats antérieurs. Aussi l’absence de méthode pourla sélection des facteurs conduit-elle à parler de facteurs pré-spécifiés.Dans ce type de modèle, le cadre de référence est celui de l’équation de rendement :R a (t) =R 0 (t)+ X kb ak .f k (t)+ε a (t) (6)Les variables observées à chaque période t sont alors les rendements (les R a (t)) ainsique les facteurs macroéconomiques, c’est-à-dire les f k (t). Les facteurs estimés sont alorspour chaque actif ses sensibilités aux facteurs, les b ak ou betas factoriels. Pour obtenir cesvariables pour la période considérée, on estime donc pour chaque actif l’équation (6) enrecourant aux méthodes de l’économétrie des séries temporelles.La seconde étape d’estimation (commune à l’ensemble des modèles) est celle del’estimation des différents prix des risques (λ k (t), k =1, ..., K) de l’équation :R a (t) =α a (t)+R 0 (t)+ X kb ak .λ k (t) (7)où α a (t) est économétriquement le résidu obtenu, économiquement la sur-performance dutitre a. Si la théorie factorielle était vraie, α a (t) devrait être nul pour tous les actifs etpour toutes les périodes. L’estimation de l’équation (7) se fait pour chaque période t etsur l’ensemble des actifs (estimation en coupe donc). Les différentes estimations obtenuessont ensuite moyennées.Dans les modèles fondamentaux, le point de départ est non pas des variables définissantl’environnement des entreprises, les facteurs macroéconomiques, mais des variables supposéescaractériser l’entreprise considérée et son titre. Ainsi, la société de conseil financierqui a le plus développé ce type de modèle, la société BARRA, on considère :— le secteur d’activité (plus ou moins finement défini selon le pays considéré),— des caractéristiques de l’action dont— son rendement en dividendes (le facteur DIVIDEND YIELD des modèles BARRA)— sa capitalisation (SIZE),— sa croissance moyenne au cours des dernières années (GROWTH),— sa volatilité (VOLATILITY),8

— la persistance de ses évolutions (MOMENTUM),— l’importance des échanges (TRADING) ;— des caractéristiques de l’entreprise dont— lerendementdesesactifs(EARNINGYIELD),— la volatilité de celui-ci (EARNING VOLATILITY),— son levier d’endettement (LEVERAGE).Dans ce type de modèle, l’équation de rendement implicitement considéré est :R a (t) =R 0 (t)+ X kb ak (t).f k (t)+ε a (t) (8)où les variables observées sont les rendements (R a (t))etlesexpositionsauxrisques(R a (t)),les variables estimées sont les facteurs fondamentaux (f k (t)). Pour estimer ces variables,on procède pour chaque période t, à une estimation en coupe permettant d’obtenir f k (t).Comme dans les modèles macroéconomiques, le choix des facteurs n’est pas la conséquenced’une procédure rigoureuse et donc les facteurs sont pré-spécifiés.Enfin, le dernier type de modèle sont ceux utilisant des facteurs statistiques. Plus précisément,dans cette approche, on prend appui sur le résultat que s’il existe suffisammentd’actifs financiers pour faire de l’évaluation par arbitrage, alors on peut synthétiser lesrendements des facteurs par des portefeuilles financiers. Aussi, ce résultat étant acquis, onpeut alors dans les équations de rendement substituer aux facteurs fondamentaux ou auxfacteurs macroéconomiques des actifs ou des portefeuilles. Les équations des rendementssont donc désormais de la forme :R a (t) =R 0 (t)+ X kb ak (t).R f k (t)+ε a(t) (9)où les R f k(t) sont les rendements des actifs financiers servant de facteurs. Dans cette approche,le problème essentiel est alors de déterminer le nombre de facteurs à utiliser.Plusieurs méthodes ont été proposées dont des méthodes s’inspirant de l’analyse en composanteprincipale. A la différence des deux approches précédentes, la détermination dunombre de facteurs est une étape centrale de l’approche statistique. Plusieurs méthodesont été proposées depuis l’article de Roll & Ross [1980], dont deux des plus utiliséessont celles de Lehmann & Modest [1988] [LM88] et de Connor & Korajczyk [1988]9

Tab. 1—Lesdifférents types de modèles factoriels et leurs caractéristiquesTypes de facteurs Variables exogènes (inputs) Technique d'estimationVariables endogènes(outputs)Macroéconomiques- Rendements des titres- Variables macroéconomiques- Régressionstemporelles- Betas factoriels destitresFondamentaux- Rendements des titres- Caractéristiques des titres- Régressions en coupe - Facteurs fondamentauxStatistiques- Rendements des titres- Régressions itérées encoupe et temporelles- Facteurs statistiques- Betas factoriels destitressource : Connor [1995][CK88]. 3En théorie, si l’APT était “vraie”, si l’on était capable d’identifier le nombre exact defacteurs, si le risque spécifique pouvait être totalement négligé, etc., les différents facteursproposés pourraient être équivalents. On conçoit même intuitivement que ces approchespuisse correspondre à différents niveaux d’analyse comme l’illustre la figure 2. Dans cetteinterprétation :— l’approche des facteurs macroéconomiques capturent les caractéristiques de l’environnementéconomique des entreprises ;— l’approche des facteurs fondamentaux essaie de saisir la traduction des effets macroéconomiquessur la rentabilité, la fragilité financière, etc. de l’entreprise ainsi quesur celles du secteur ;— la combinaison des caractérisques et des risques fondamentaux sur les entreprisesdéterminent alors la prime de risque des entreprises ;3 La méthode de Connor & Korajczyk repose sur un résultat de Chamberlain & Rotschild[1983] [CR83] établissant un lien entre les facteurs des rendements et les valeurs propres des produitsdes rendements. Ce résultat assure que lorsque les portefeuilles deviennent arbitrairement grand, les Kvaleurs propres les plus grandes tendent à coïncider avec les facteurs.10

facteurs statistiquescaractéristiquescj1facteurs macroéconomiquesfacteurs fondamentauxentreprise j :j = 1,...,Jcj =.......................cjSRj-R0m1f1m =.......................f =.......................caractéristiquesmKfNci1avec f = T.mentreprise i :ci =.......................Ri-R0ciSFig. 2 — Les relations (possibles) entre les différentes approches factorielles.— par arbitrage, les primes de risque déterminés par les facteurs macroéconomiquesà un premier niveau, par les facteurs fondamentaux à un second niveau, peuventégalement être déterminés par celles d’un ensemble d’entreprises.Concrètement cependant, on peut s’attendre pour toutes conditions ne soient plus vérifiées,et donc que certains modèles soient plus performants que d’autres. Aussi, la diversitédes approches incitant à leur évaluation, différentes méthodes furent proposées. L’une desplus intuitives est le test proposé par Connor & Korajczyk [1993] [CK93] lequel sepropose de mesurer soit le pouvoir explicatif d’un facteur, soit celui d’un modèle. Sa méthodeest d’évaluer le pouvoir explicatif supplémentaire apporté soit par l’introductiond’un facteur rajouté à un ensemble de facteurs, soit par celle de l’ensemble des facteursd’un second modèle factoriel à l’ensemble des facteurs d’un premier modèle. Si l’on noteσ i la variance totale de l’actif i, σ i,∈ la variance de l’actif i non expliquée par les facteurs,11

Tab. 2 — Le pouvoir explicatif des facteurs statistiques (pris isolément ou rajoutés auxautres).Contributionmarginale auFacteurpouvoirexplicatif1 29.0%2 3.53 3.14 1.85 1.7Tous 39.0source : Connor [1995]σ la moyenne des variances des actifs, σ ∈ la moyenne des variances résiduelles des actifsalors le pouvoir explicatif PE est défini comme étant égal à :PE := 1 − σ ∈σ(10)Connor [1995] [Con95a], dans un article influent, a appliqué cette méthode pour comparerles trois types de modèles factoriels. Les données utilisées sont constituées par les rendementsmensuels de 779 capitalisations importantes américaines (de la base de BARRAsur les capitalisations importantes) sur la période allant de janvier 1985 à décembre 1993.Les résultats pour le modèle statistique (tableau 2) sont très similaires à ceux obtenuspar Connor & Korajczyk [1993] [CK93] à l’aide d’un échantillon légèrement différent.Le pouvoir explicatif du premier facteur est de 29% - score similaire à celui d’un CAPM.L’addition de 4 autres facteurs permet de l’augmenter de 10 points. La contribution dechacun des facteurs additionnels est cependant inférieur ou égal à 3.5%.Le modèle macroéconomique testé par Connor [1995] est relativement standard parles facteurs utilisés. Les 5 facteurs macroéconomiques pris en compte sont en effet :— l’inflation, facteur défini comme la variation du log népérien de l’indice des prix àla consommation ;— la structure par terme des taux d’intérêt, facteur défini comme la différence entre lerendement sur une obligation d’Etat à long-terme moins le rendement sur les bons12

Tab. 3 — Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques (pris isolément ou rajoutésaux autres).FacteursPouvoirexplicatifde chaquefacteurContributionmarginaleInflation 1.3% 0.0%Term structure 1.1 7.7Industrial production 0.5 0.3Default premium 2.4 8.1Unemployment 0.3 0.1All 10.9source : Connor [1995]du Trésor à un mois ;— la production industrielle, facteur défini comme la variation du logarithme népériende l’indice de la production industrielle ;— le facteur de défaut, facteur défini comme la prime de rendement sur les obligationsprivéesdefaiblequalité;— le chômage, facteur défini comme la variation du taux de chômage.Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau 3. Dans la première colonne estreporté le pouvoir explicatif de chaque facteur lorsqu’il est seul entré dans le modèle : lepouvoir explicatif de l’ensemble des facteurs est très faible (au maximum 2.5%). Lorsqueles 5 facteurs sont considérés, le pouvoir explicatif est considérablement plus important,puisqu’il est de près de 11%, mais il demeure inférieur au modèle statistique. La contributionmarginale de chaque facteur i, i.e. l’accroissement du pouvoir explicatif du modèleintroduit par l’introduction du facteur i au côté des 4 autres, est très inégale : elle estnégligeable pour l’inflation, la production industrielle, le chômage, considérable pour lastructure par terme et le risque de défaut.Enfin, le dernier modèle évalué par Connor [1995] est un modèle fondamental reprenantles facteurs couramment utilisés par les modèles (actions) de BARRA : 55 variablesmuettes de secteurs sont combinées à 12 autres facteurs de risque. Comme le montre letableau 4, le pouvoir explicatif des variables muettes sectorielles est important (et même13

Pouvoire xp lic a tifContributionmarginal9,008,007,006,005,004,003,002,001,000,00Inflation1,300,001,1Term structure7,7Industrial production0,50,3Default premium2,48,1Unemployment0,30,1Fig. 3 — Le pouvoir explicatif des facteurs macroéconomiques. (source : Connor [1995])supérieur aux facteurs du modèle macroéconomique). Le pouvoir explicatif des facteursfondamentaux (considérément isoléments) est relativement faible : seuls ceux de la volatilitéet de la croissance atteignent 3%. Cependant, lorsque l’on ajoute ces facteursfondamentaux aux facteurs sectoriels, le pouvoir explicatif du modèle est multiplié par2.5 et passe de 16% à 42%. La contribution marginaledechaquefacteurfondamentaledemeure cependant très faible - en moyenne de 0.51.Ces premiers résultats évaluant l’efficacité des facteurs et le pouvoir explicatif desdifférents modèles est essentiellement confirmé par les seconds “tests” réalisés par Connor.La méthode de Connor & Korajczyk [1993] [CK93] peut en effet être appliquée auxmodèles et non aus seuls facteurs : dans ce cas, on prend un des trois modèle comme pointde départ ; puis on ajoute d’un coup tous les facteurs d’un second modèle et l’on re-estimele modèle défini par les facteurs initiaux et les facteurs rajoutés. La différence de pouvoirexplicatif constitue la contribution marginale du second modèle au pouvoir explicatif dupremier modèle.La première ligne du tableau 5 reprend donc les résultats antérieurs sur le pouvoir explicatifdes trois types de modèles. Le modèle macroéconomique apparaît de loin comme le14

Tab. 4 — Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux (pris isolément ou rajoutés auxautres).FacteursPouvoirexplicatif enutilisant ununiquefacteurContributiondu facteur aupouvoirexplicatifIndustries 16.3% 18.0%Volatility 4.3 0.9Momentum 2.8 0.8Size 1.4 0.6Trade activity 1.4 0.5Growth 3.0 0.4Earnings to price 2.2 0.6Book to price 1.5 0.6Earnings 2.5 0.4Financial leverage 0.9 0.5Foreign investment 0.7 0.4Labor intensity 2.2 0.5Dividend yield 2.9 0.4Total 42.6source : Connor [1995]15

contributionmarginalepouv.explicatif siuniquefacteur4,543,532,521,510,50Volatility4,32,8 32,2 2,5 2,91,41,40,9 1,50,80,60,50,40,6 0,90,60,4 0,5 0,4SizeGrowthBook to priceFinancial leverageFig. 4 — Le pouvoir explicatif des facteurs fondamentaux. (source : Connor [1995])moins performant puisque son pouvoir explicatif est le quart de celui des autres modèles.Le modèle fondamental apparaît aussi légèrement supérieur au modèle statistique : ceciillustre sans doute que les très nombreuses variables considérées dans les modèles fondamentauxpermettent sans doute d’inférer une information considérable sur les entreprises.La seconde ligne du tableau 5 présente le pouvoir explicatif que l’on obtient lorsquel’on ajoute soit aux facteurs statistiques, soit aux facteurs fondamentaux les facteurs macroéconomiques: le pouvoir explicatif du modèle ne progresse pas. Ceci ne signifiepasqueles facteurs macroéconomiques soient sans pouvoir explicatif mais que leur informationest déjà pris en compte par les deux autres types de facteurs. Rajouter les facteurs statistiquesaux facteurs fondamentaux donne le même résultat. Par contre, rajouter les facteursfondamentaux aux autres facteurs augmentent substantiellement le pouvoir explicatif quele modèle initial soit macroéconomique ou statistique. Ce résultat illustre évidemmentun thème récurrent de la société BARRA sur l’intérêt d’évaluer les entreprises avec unegammeimportantedefacteurssusceptiblesd’appréhenderfinement leurs caractéristiques.L’analyse du pouvoir explicatif des trois types de modèles soulignent donc la performancedes modèles statistiques et fondamentaux. Parmi les facteurs fondamentaux, il est16

Tab. 5 — Le pouvoir explicatif marginal de chaque modèle factoriel.Premier ModèleMacro-Second ModèleStatistique FondamentaléconomiquePouvoir explicatif 10.9% 39.0% 42.6%Macroéconomique — 38.2 42.4Statistique 31.0 — 44.8Fondamental 43.0 45.6 —source : Connor [1995]certainement nécessaire de distinguer parmi les facteurs sectoriels des autres facteurs derisque. En effet, une étude émanant d’un autre chercheur de BARRA, Engerman [1993][Eng93], portant sur des données similaires, montre que la combinaison des facteurs macroéconomiqueset des variables sectorielles donne un modèle dont le pouvoir explicatifest très proche du modèle fondamental. Aussi, comme le note Connor lui-même :“La comparaison du pouvoir explicatif est seulement un des critères par lesquelson peut évaluer la valeur des différentes approches factorielles. Au regardd’autres critères, la cohérence théorique et l’intuition économique, l’utilisationd’un modèle à facteurs macroéconomiques est sans doute la plus performante(et non la plus faible) des trois approches. Aussi, nos résultats, mêmes s’ilssont intéressants et utiles, ne concluent pas le débat sur les mérites respectifsdes trois approches.” (Connor [1995] [Con95b] p. 8)Il n’est donc pas totalement surprenant que le type de modèle le moins utilisé tant auniveau académique et que sur les marchés soit le type statistique 4 :quellequesoitleurpouvoir explicatif statistique, il est en effet pratiquement impossible d’interpréter économiquementleurs résultats. Les actifs et les portefeuilles servant de facteurs de période àpériode n’ont au surplus aucune raison d’être stable. Guider les choix de portefeuille audelà du court-terme à partir de tels modèles apparaît donc difficile. Aussi rencontre-t-on4 Sur le marché parisien (et européen) la société APTIMUM a développé un tel modèle statistique,modèle utilisé par certaines institutions en même temps que d’autres modèles plus courants comme lesmodèles BARRA.17

plus souvent les modèles à facteurs fondamentaux et les modèles macroéconomiques dontnous allons donner quelques exemples.3 Modèles à facteurs macroéconomiquesUne des premières modélisations économétriques fut réalisée par Chen, Roll & Ross[1986] [CRR86]). Cette étude a exercée une influenceprofondenotammentparlechoixdes facteurs macroéconomiques. Ce travail était suscité par un paradoxe de la littératurefinancière de l’époque :“Les prix des actifs sont couramment supposés réagir fortement aux informationséconomiques. L’expérience quotidienne semble confirmer cette opinionque les prix des actifs sont influencés par une grande variété d’événements nonanticipés et que certains événements ont un impact plus important sur les actifsque d’autres. Conformément à la capacité des investisseurs de diversifier, lathéorie financière moderne a concentré son attention sur des “influences” systématiques,omniprésentes comme les souces vraissemblables des risques d’investissement.[...] La théorie est demeurée, cependant, silencieuse sur la naturedes événements susceptibles d’influencer tous les actifs. Un écart embarrantexiste entre l’omniprésence en théorie des variables d’état “systématiques”et notre complète ignorance de leurs identités. La corrélation des évolutionsdes prix des actifs suggèrent la présence d’influences exogènes sous-jascentes,mis nous n’avons pas encore déterminé quelles variables économiques en sontencore responsables.” 5 ([CRR86] pp. 383-84)5 “Asset prices are commonly believed to react sensitively to economic news. Daily experience seems tosupport the view that individual asset prices are influenced by a wide variety of unanticipated events andthat some events have a more pervasive effect on asset prices than do others. Consistent with the abilityof investors to diversify, modern financial theory has focused on pervasive, or “systematic” influences asthe likely source of investment risk. [...] The theory has been silent, however, about which events are likelyto influence all assets. A rather embarassing gap exists between the theorerically exhaustive importanceof systematic “state variables” and our complete ignorance of their identity. The comovements of assetprices suggest the presence of underlying exogenous influences, but we have not yet determined whicheconomic variables, if any, are responsible.”18

La démarche de Chen, Roll & Ross [1986] [CRR86] était donc de spécifier uneliste de facteurs macroéconomiques et de tenter de vérifier l’APT avec ces facteurs macroéconomiquessur données mensuelles. Les facteurs retenus étaient :1. le taux de croissance de la production industrielle soit sur une base mensuelle(MP (t)), soit sur une base annuelle (YP(t));2. diverses mesures de l’inflation - l’inflation anticipée (E(I (t))), l’inflation non anticipée(UI (t)), la variation de l’inflation anticipée (DEI (t));3. la prime de risque (URP (t)) obtenue en calculant la différence de rendement entreles titres de mauvaise qualité émis par les entreprises privées (Baa et en dessous) etles obligations d’Etat ;4. la structure par terme (UTS(t)) résumée par la différence de rendement entre lesobligations d’Etat et les bonds du Trésor (T bills à 1 mois) 6 ;5. les indices de marché - soit l’indice du NYSE pondéré par la valeur (VWNY (t)) ouéquipondéré (EWNY (t)).Le modèle factoriel évalué était de la forme :eR a = R a + b MPgMP + b DEI]DEI + b UIfUI + b UPR]UPR + b UTS]UTS + a (11)La méthode d’estimation utilisée est la technique de Fama & MacBeth [1973][FM73] :— l’exposition des actifs aux facteurs était d’abord estimée sur une période de cinqans ;—lescoefficients factoriels ainsi obtenus étaient utilisés comme variables indépendantesdans des régressions en coupe.Pour minimiser les problèmes d’erreurs dans les variables, cette méthode est seulementappliquée sur des portefeuilles (relativement) diversifiés. Pour cela, 20 portefeuilles baséssur la taille des entreprises furent constitués. Avec ceux-ci, les primes de risque furentestimés sur la totalité de la période, i.e de janvier 1958 à décembre 1984, ainsi que sur6 Le taux de croissance du prix du pétrole fut également inséré dans une variante, mais il se révélastatistiquement insignifiant sauf sur la période 1958-67.19

Tab. 6 — Les prix des facteurs macroéconomiques dans Chen, Roll & Ross [1986] (% parmois multiplié par 10)MP DEI UI UPR UTS Cste1958-84 13,589 -0,125 -0,629 7,205 -5,211 4,124(3,561) (-1,640) (-1,979) (2,590) (-1,690) (1,361)1958-67 13,155 0,006 -0,191 5,560 -0,008 4,989(1,897) (0,092) (-0,382) (1,935) (-0,004) (1,271)1968-77 16,966 -0,245 -1,353 12,717 -13,142 -1,889(2,638) (-3,215) (-3,320) (2,852) (-2,554) (-0,334)1978-84 9,383 -0,140 -0,221 1,679 -1,312 11,477(1,588) (-0,552) (-0,274) (0,221) (-0,149) (1,747)source : Chen, Roll & Ross [1986]trois sous-périodes. Sur la totalité de la période, les variables MP, UI, UPR sont significatives,la variable UTS l’est quasiment. Les variables d’inflation DUI et UI s’avéraientparticulièrement significatives pour la période 1968-77. La variable annuelle de productionindustrielle était non significative sur la totalité de la période et sur les sous-périodes.Les signes obtenus pour les variables significatives (reportés dans le tableau 6) étaientéconomiquement plausibles :— le signe positif sur MP et sur UPR peut être interprété comme la volonté desagents de se protéger du risque induit par le cycle économique et de la prime derisque agrégée ;— le signe négatif sur l’inflation peut être la conséquence du fait que les placementsfinanciers sont une protection contre l’inflation ;—enfin, si les rendements des titres tendent à être corrélés à long terme, la baissede UTS est équivalente à une baisse des rendements moyens des titres ; pour seprotéger contre ce risque, les agents sont donc prêt à payer plus les actifs corrélésnégativement avec la structure par terme.L’intrododuction d’indices de marché ne semblaient pas exercer d’influences significativessur la prime de risque. Comme Chen [1983] [Che83]), Chen, Roll & Ross onttesté l’hypothèse que l’addition des facteurs permettait de compléter utilement le CAPM.Certains des résultats obtenus sont reportés dans le tableau 7. Le risque systématiqueest parfois valorisé. Surtout les prix des risques macroéconomiques demeurent très proches20

Tab. 7 — Les prix du risque systématique de marché et des facteurs macroéconomiquesdans Chen, Roll & Ross [1986] (% par mois multiplié par 10)VWNY MP DEI UI UPR UTS Cste1958-84 11,507 10,487 -0,190 -0,738 8,126 -7,073 -3,781(1,189) (2,761) (-2,459) (-2,215) (2,869) (-2,194) (-0,402)1958-67 22,311 9,597 0,001 -0,163 3,186 0,697 -11,734(1,950) (1,494) (0,012) (-0,341) (1,474) (0,337) (-1,015)1968-77 11,689 13,381 -0,293 -1,422 13,007 -12,981 -9,488(0,622) (1,947) (-3,590) (-2,814) (2,697) (-2,214) (-0,526)1978-84 -4,188 7,624 -0,316 -0,584 8,211 -9,735 15,732(-0,207) (1,286) (-1,246) (-0,716) (1,039) (-1,123) (0,803)source : Chen, Roll & Ross [1986]de ceux du tableau 6. L’ensemble de ces résultats amenaient Chen, Roll & Ross àconclure :“les prix des actions sont exposés à l’arrivée d’information sur les risqueséconomiques systématiques, et leurs prix sont fixés en fonction de leurs expositions[;] ces informations peuvent être mesurées comme des innovations dansles variables d’état dont l’identification peut être réalisé grâce àune théoriefinancière simple et intuitive.” 7 ([CRR86] p. 402)Une des premières contributions empirique de la théorie factorielle fu notammentde lever partiellement le mystère de l’anomalie de la taille. En effet, Chan, Chen &Hsieh [1985] [CCH85], poursuivant la même démarche que Chen, Roll & Ross, montrèrentqu’après la prise en compte des facteurs amcroéconomiques, l’anomalie de taille,bien que persistante, était très faible et statistiquement peu significative. L’échantillonétudié étaient celui des entreprises cotées sur le NYSE tout au long de la période retenue1958-77. Outre le risque de marché, les facteurs significatifs étaient MP, UI et URP.Après avoir construit 20 portefeuilles (sur la base du critère de la capitalisation boursière),Chan, Chen & Hsieh [1985] [CCH85] décomposaient ainsi la différence de rendements7 “stock prices are exposed to systematic economic news, that they are priced in accordance with theirexposures, and that the news can be measured as innovations in state variables whose identification canbe accomplished through simple and intuitive financial theory.”21

mensuels moyens des deux portefeuilles extrêmes 8 était la suivante :primederisquenon exp liqué parleCAPMcontribution de :1958-770.956%URP 0.453%VWNY 0.352%MP 0.204%résidu 0.120%Après la prise en compte des facteurs macroéconomiques, le rendement moyen excédentairenon expliqué par un risque systématique (de marché ou macroéconomique) étaitdonc divisé par près de 10. 9Même si les modèles à facteurs macroéconomiques se sont en général révélé moinsefficaces à court-terme que les modèles fondamentaux, ils se sont révélés très utiles pourla prévision à long-terme des rendements. Ainsi, Fama & French [1989] [FF89] et Chen[1991] [Che91] ont notamment mis en évidence la capacité de la structure par terme, durisque de défaut des entreprises privées ou d’indicateurs comme les PDR (Price DividendRatio) et PER (Price Earning Ratio) à refléter l’évolution future des rendements.Parmi les modèles “commerciaux”, le modèle proposée par la société de conseil financierBIRR, Inc., et dirigée par Edwin Burmeister, Roger Ibbotson, Richard Roll etStephen Ross, est l’un des rares à utiliser les facteurs macroéconomiques. 10la justification de BIRR d’un modèle macroéconomique : “without the foundation of arigorous theory one must be concerned that any historical correlation might be spuriousto sudden and material change.” ([BRR03] pp. 1-2)8 C’est-à-dire le protefeuille des plus importantes capitalisations et des plus faibles.9 Les résultats de Chan, Roll & Ross [1986] ainsi que ceux de Chan, Chen et Hsieh [1985] ontété réévalués par Shanken & Weinstein [1990] [SW90]. Pour tester la robustesse des résultats, ils ontnotamment fait varier la taille des portefeuilles en considérant des portefeuilles de 20, 60 et 120 actifs.Les résultats obtenus suggéraient une certaine fragilité des résultats antérieurs.10 Le site web de BIRR offre de nombreux documents présentants les fondements et les résultats de leurmodèle, notamment les documents Burmeister [2003] [Bur03] et Burmeister, Roll & Ross [2003][BRR03] dont les pages qui suivent sont inspirées.22

Dans le modèle de BIRR les risques systématiques découlent des changements nonanticipés des variables économiques. Cinq facteurs macroéconomiques sont suposés déterminants.—Laconfiance des investisseurs :— mesurée par la différente entre les rendements des obligations émises par desentreprises de bonne qualité (à 20 ans) et des obligations émises par le Trésor (à25 ans) ;— une diminution du spread se traduit par une réalisation positive du facteur ;— une valeur positive du facteur est supposée équivalente à une augmentation de laconfiance des investisseurs ;— en général, les petites capitalisations ont une exposition plus importantes à cefacteur.— Le risque d’horizon temporel :— mesuré par la différence entre le taux sur les obligations d’Etat à 25 ans et le tauxsur les bonds du Trésor à 30 jours ;—ilreflète les évolutions de la courbe des taux (notamment sa pente moyenne) et lefait que les investisseurs demandent un rendement moins importants pour investiràlong-terme;— une réalisation positive du facteur coïncide avec une différence de rendementmoins importante entre les taux longs et les taux courts ;— en général, les actions de croissance sont plus exposés à ce risque que les actionsde rendement (value stocks).— Le risque d’inflation :— mesuré par par la différence entre le taux d’inflation effectif (calculé à la fin dumois)etletauxanticipéd’inflation (calculé à la fin dumois)calculéàpartirdesdonnées historiques à l’aide d’un filtre de Kalman ;— une réalisation positive coïncide donc avec un choc d’inflation non anticipé ;— les biens de “luxe” (services, restauration, loisirs) sont les plus exposés à ce risque,les biens de première nécessité (nourriture, habillement) les moins exposés ;— Le risque lié au cycle économique :— mesuré par la variation du taux de croissance anticipé de l’économie (calculé à la23

Tab. 8 — Pouvoir explicatif des facteurs dans le modèle factoriel de BIRRactions individuellesportefeuilles diversifiésintervalle 20% < < 90% 70% < < 90%médiane 40% 85%source : Burmeister [2003]fin du mois) en utilisant un filtre de Kalman ;— une réalisation positive coïncide avec une augmentation du taux de croissanceanticipé de l’économie ;— le secteur du commerce de détail est le plus sensible à ce risque, le secteur public(utilities) le moins.— Lerisquedemarché:— mesuré par le rendement du S & P 500 non expliqué par les quatres premiersfacteurs ;— supposé capturer les risques naturels, politiques, et les bulles spéculatives ;— correspondrait au beta du CAPM si les quatres premiers facteurs ne jouaientaucun rôle ;Selon BIRR, la combinaison de ces 5 facteurs macroéconomiques permettraient d’expliquerentre 20% et 90% des rendements des actions, avec une valeur médiane de 40%,résultat très honorable pour un modèle factoriel en général, pour un modèle à facteursmacroéconomiques en particulier. La substitution des portefeuilles diversifiés aux actionsindividuelles permettraient de doubler la performance du modèle, résultat attestant l’importancedes risques spécifiques au niveau des entreprises.Appliqué à un indice diversifié comme le S&P500, le modèle de BIRR fait apparaîtrel’importance du market timing, du risque de cycle économique, et du risque inflationniste.Comme le montre le tableau 9, près de la moitié de la prime de risque de l’indice seraitdû au risque systématique, environ un tiers au risque cyclique de l’activité, un cinquièmedu risque inflationniste.Comme le tableau 9 le montre, certains prix de facteurs sont négatifs dans le modèlede BIRR, notamment les prix du risque d’horizon et du risque d’inflation. L’intuition dusigne de ces deux facteurs est la suivante :24

Tab. 9—Leprofil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendementespéré du S&P500, avril 1992expositionprix durisquecontributioncontributionen %confiance 0.27 2.59 0.70 8.7horizon 0.56 -0.66 -0.37 −4.6inflation -0.37 -4.32 1.60 19.8cycle 1.71 1.49 2.55 31.5markettiming1.00 3.61 3.61 44.6Rendement espéré excédentaire 8.09 100source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9—enraisondeladéfinition du risque d’inflation, un actif dont le rendement est lié positivementau risque d’inflation constituera une protection contre l’inflation et doncles agents accepteront de le détenir même si le rendement moyen est inférieur (touteschoses égales par ailleurs quant aux autres facteurs) ; le prix du risque d’inflationest donc négatif et représente donc (en valeur absolue) la prime d’assurance contrele risque d’inflation ;— de même, lorsqu’un actif est exposé positivement au risque d’horizon alors son rendementaugmente lorsque le rendement à long-terme des obligations d’Etat augmenterelativement au taux court des bons d’Etat, les agents sont donc protégés contre lespertes en capital induites par ces ajustements des taux de long-terme ; comme pourle risque d’inflation, le prix du risque d’horizon constitue donc la prime d’assuranceque les agents acceptent de payer.Comme les actions en moyenne ont un rendement qui baisse lorsque l’inflation augmentede manière non anticipée mais augmente avec le risque d’horizon, la contribution del’exposition du risque d’inflation est positive mais celle du risque d’horizon est négative.Les propriétés des indices varient naturellemet en fonction de leurs compositions. Ainsi,si l’on substitue à l’indice S&P 500 l’indice du Reebok International Ltd., lequel estun indice international d’actions, la prime de risque plus élevé de celui-ci est d’abord25

Tab. 10 — Le profil des risques factoriels et les contributions factorielles au rendementespéré du Reebok International Ltd., avril1992expositionprix durisquecontributioncontributionen %confiance 0.73 2.59 1.89 12.0horizon 0.77 -0.66 -0.51 −3.3inflation -0.48 -4.32 2.07 13.3cycle 4.59 1.49 6.84 44.1markettiming1.50 3.61 5.41 34.9Rendement espéré excédentaire 15.71 100source : Burmeister, Roll & Ross [2003] p. 9déterminé par son exposition au risque du cycle économique, lequel contribue pour 44% àla prime de risque, et ensuite par celle au risque systématique de marché, lequelle contribuepour environ un tiers à la prime de risque.Pour évaluer la validité de son modèle, BIRR confronte régulièrement les évolutionsprédites du S&P500 par celui-ci aux valeurs effectives. 11 Les figures5,6,7,8reportentles résultats de ces exercices. On remarque notamment que :— le modèle faisait apparaître une surévaluation du marché en 1987 mais qu’il a étéincapable de détecter une surévaluation importante à la fin des années 90 ; aussiconclue-il à une sous-évaluation importante du marché au cours de la période 2002-2003 ;— entre 1988 et 2000, le modèle capture la hausse régulière du marché mais tend aussià être caractérisé par une sous-évaluation persistence du S&P500.Un des intérêts de disposer d’un modèle macroéconomique est la possibilité d’évaluerles risques d’exposition de stratégies ou de portefeuilles. Chaque portefeuille (ou chaqueactif) se caractérise par son exposition à ces différents risques et donc par un certain profil11 Plus précisément, BIRR, après avoir calé le modèle sur la valeur constatée du S&P500 au début de lapériode étudiée, rentre les valeurs de des facteurs constatés au cours des périodes pour obtenir la valeurprédite du S&P500. Il ne s’agit pas donc pas d’une prévision réalisée en utilisant les seules informationsdisponibles en début de période.26

$2.50S & P500$2.00S & P 500 effectifKrach de 1987$1.50$1.00S & P 500prédit parBIRR$0.501986 1987 1988 1989 1990Fig. 5 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1986 à1990. (source : site web de BIRR)$2.50S & P500$2.00$1.50$1.00$0.501991 1992 1993 1994 1995Fig. 6 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1991 à1995. (source : site web de BIRR)27

$3.00S & P500$2.00S & P 500effectif$1.00S&Pprédit par BIRR$0.001996 1997 1998 1999 2000Fig. 7 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 1996 à2000. (source : site web de BIRR)$1.75S & P500$1.50S&P500effectif$1.25$1.00S & P 500prédit par BIRR$0.75$0.501999 2000 2001 2002 2003Fig. 8 — L’évolution effective du S&P500 et l’évolution “prédite” par BIRR de 2000 à2003. (source : site web de BIRR)28

43210ConfianceHorizonInflationCycleTimingEuropeAsieFig. 9 — L’exposition au risque de l’action Dutch Petroleum et du S&P500.d’exposition aux risques systématiques. Dans la “philosophie” de la théorie factorielle,l’exposition à un risque systématique entraîne (si le risque est coûteux) un rendementespéré supplémentaire. Par conséquent le profil d’exposition aux risques systématiquesdétermine à la fois la volatilité mais aussi la performance d’un portefeuille diversifié. Ceprofil d’exposition aux risques systématiques peut également être utilisé pour évaluer lerisque de portefeuilles ou de stratégies.Ainsi, la figure 9 représente l’exposition au risque d’une entreprise pétrolière, la DutchPetroleum. Ce titre apparaît relativement au S&P5000 à la fois moins exposé au risque deconfiance, et plus au risque du cycle économique et aux risques régionaux. Faire rentrerl’action Dutch Petroleum dans un portefeuille relativement similaire au S&P500 reviendraitdonc à “importer” dans le portefeuille des risques régionaux, à augmenter sa sensibilitépar rapport au cycle économique, tout en diminuant légèrement sa sensibilité auxfluctuations de la confiance sur les marchés financiers.On peut également appliquer cette méthode d’analyse à des portefeuilles, des indicesou des catégories d’action. Ainsi, la figure 10 compare les expositions au risque des plusfaibles capitalisations du NYSE et du S&P500. Les plus faibles capitalisations apparaissentnotablement plus exposés aux risques de confiance et du cycle économique. La dernièreindication est le BIRR index. Celui-ci est une mesure donnant une mesure synthétiquedes risques systématiques de chaque actif et permet donc une hiérarchisation grossière des29

7.505.002.500.00-2.50Confiance Horizon Inflation Cycle Timing BIRR IndexFig. 10 — Les expositions aux risques des plus faibles capitalisations (en gris foncé) et desplus fortes (en gris clair) du NYSE.Chaque portefeuille comprend 50 actions.actifs. Dans l’exemple considéré, les petites capitalisations apparaissent légèrement plusexposées aux risques systématiques que le S&P500. La figure 11 compare au S&P500, unportefeuille de croissance et un portefeuille de valeurs de rendement. Les expositions auxrisques des trois types de portefeuille apparaissent remarquablement monotones : grossomodo, les valeurs de rendement apparaissent les moins exposés aux différentes facteurs, lesvaleurs de croissance les plus exposés. En modulant la pondération dans un portefeuille deces deux types d’actions, on peut donc accroître ou diminuer son exposition aux évolutionsmacroéconomiques.Grâce à la réduction des risques à un nombre limité de facteurs, la théorie factoriellepermet de caractériser différents styles de gestion, de construire facilement les portefeuillescorrespondant à différentes expositions souhaitées, c’est-à-dire de construire des trackingportfolios.Si l’on part de l’équation factorielle d’un portefeuille dont la structure est (x i ) i=1,...,I:eR p = X ix i α i + X kXλ k x i b ik + Xiix i ε i30

3.002.001.000.00-1.00Confiance Horizon Inflation Cycle TimingBIRRIndexFig. 11 — Les expositions aux risques du portefeuille des 50 actions du NYSE dont lacroissance est la plus élevée (en noir), du S&P500 (en gris foncé) et d’un portefeuille de50 valeurs du NYSE dont les rendements des dividendes sont les plus élevés (en gris clair).la démarche implicite aux benchmark portfolios consiste à se donner des expositions auxfacteurs b b k que l’on doit atteindre en atteignant au mieux un objectif. Celui peut être laminimisation de la variance du risque résiduel. Le programme définissant le benchmarkportfolio est alors : ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩min (xi ) i=1,...,IPi x iε iSi les contraintes sont :sous les contraintes :Pi x ib ik = b b k ,k=1, ..., KXx i b ik = b k , Xiix i b ik =0∀k 6= b kon cherche donc alors à obtenir un portefeuille, appelé le mimicking portfolio du facteurb k, qui reproduit le facteur b k.L’objectif peut aussi être un objectif de rendement, par exemple la maximisation duα historique : ⎧⎪ ⎨⎪ ⎩max (xi ) i=1,...,IPi x iα isous les contraintes :Pi x ib ik = b b k ,k=1, ..., K31

2.001.000.00-1.00ConfianceHorizon InflationCycleTimingBRRIndexFig. 12 — L’exposition aux risques factoriels du tracking portfolio factoriellement neutreet du S&P 500.Les sociétés proposant des modèles factorielles propose en général différents produitspermettant de se construire ces portefeuilles idéaux par leurs expositions aux risquesmacroéconomiques. Ainsi, Burmeister, Roll & Ross [2003] [BRR03] ont simulé un exercicede gestion courte - longue avec un risque factoriel neutre :— le portefeuille long comprend 50 actions parmi celles du NYSE dont les α historiquesfurent les plus élevés sur la période allant d’avril 1986 à mars 1992 ;— le portefeuille court comprenait d’autres actions du NYSE sélectionnées pour quel’exposition aux risques factoriels soit neutre.En raison du nombre d’actions, le risque spécifique des deux portefeuille est normalementminime. Les sensibilités du portefeuille global obtenu étaient inférieures en valeurabsolues à 0.02 (voir figure 12).Les résultats du portefeuille sur la période allant d’avril 1991 à mars 1992 :— une appréciation de 30.04% contre 11.57 pour le S&P500 (en annualisé) ;— un écart-type des rendements effectifs de 6.26% contre 18.08% pour le S&P500.Le modèle proposé par BIRR constitue donc un bon exemple des potentialités d’unmodèle à facteurs macroéconomiques : même si l’on a peut être un pouvoir explicatif plusfaible, la nature macroéconomique des facteurs (et leurs stabilités au cours du temps)32

permet sans doute de faire reposer la gestion de portefeuille sur une logique économique àla fois robuste et lisible. Les modèles fondamentaux partagent également cette propriétéde lisibilité.4 Les modèles de BARRALa société BARRA, fondé en 1975 par l’économiste Barr Rosenberg, est aujourd’huisans conteste la société la plus importante au monde en matière d’ingénierie financière.Outre la gestion de différents indices (en collaboration avec Standard & Poor’s), elle atout particulièrement développé une expertise en matière de modèles à facteurs fondamentaux.Elle en offre actuellement environ une dizine se différenciant par la zone couverte(le monde, les Etats-Unis, l’Europe, la France, etc...), les titres analysés (les actions,lestitresàrevenusfixes, ...). Ces multiples modèles ont cependant comme caractéristiquecommune de faire intervenir un très grand nombre de facteurs, dont des variablessectorielles 12 . Ainsi le modèle E2 Equity USA comporte 55 variables sectorielles et 13facteurs fondamentaux non sectoriels. Le modèle actions françaises ne comporte que 12facteurs représentant des secteurs industriels (énergie, matières premières, construction,biens d’équipement, automobile, biens de consommation, alimentation, distribution, immobilier,services financiers, sociétés d’investissement, autres services) et huit facteursfondamentaux non sectoriels. Ces derniers facteurs déjà détaillés à la section 2 dans laprésentation de l’étude de Connor [1995] [Con95a] sont souvent des indices compositesconstruits à partir d’indices élémentaires et leurs compositions peut varier d’un modèleà un autre. Les principaux facteurs fondamentaux non sectoriels utilisés par BARRAsont : 13— la volatilité du cours (VOLATILITY) -12 Pour les entreprises n’opérant que dans un secteur, ces variables sectorielles sont des variables muettesprenant comme valeur 1 si le secteur est celui où l’entreprise exerce son activité, 0 sinon. Pour lesentreprises qui opèrent sur plusieurs secteurs, les variables sectorielles reflètent le poids des secteurs dansl’activité de l’entreprise, plus précisément en général elles sont égales aux parts des actifs de l’entrepriseopérant dans les différents secteurs.13 Cette description est essentiellement empruntée à l’ouvrage de Mathis [2003] [Mat03] “Gestiond’actions quantitative”.33

—danslemodèlemondial,cefacteurestleβ historique multiplié par l’écart-typedu résidu de la régression du rendement titre sur le rendement du portefeuille demarché ;— dans le modèle américain (et souvent les autres modèles nationaux), il est lasommedeceproduitduβ historique et de l’écart-type du résidu et d’autresvariables comme l’écart-type quotidien, le ratio du cors le plus élevé au cours leplus bas, la sensibilité du volume des titres échangés du titre au volume échangédu marché 14 , l’autocorrélation des résidus ;— le mouvement (MOMENTUM) calculé en général comme le α du modèle de marché ;— la taille (SIZE) calculée comme le log de la capitalisation ;— la non-linéarité de la taille (SIZE NONLINEARITY) calculé comme le logarithmede la capitalisation élevé au cube ;— les transactions (TRADING), facteur calculé notamment comme la somme du tauxde rotation annuel, du taux trimestriel et du taux mensuel ;— la croissance (GROWTH), facteur calculé à partir notamment de la croissance desbénéfices sur un an, du taux de croissance excédentaire de l’actif et des bénéfices aucours des 5 dernières années 15 , du taux de croissance prévisionnel des bénéfices 16 ;—lebénéfice sur cours (EARNING YIELD)— calculé dans le modèle mondial à partir de la somme du bénéfice sur cours prévi-14 Cette sensibilité étant obtenu en effectuant semaine après semaine la régression :∆V i (t)N i (t) = a + b∆V M(t)N M (t) + ε i(t)où V i (t) (V M (t)) est le volume du titre i (du marché) échangé au cours de la semaine t, N i (t) (N M (t)) lenombre de titres existant de l’action i (du marché).15 Cet excès obtenu en faisant la différence entre le taux de croissance moyen de l’actif au cours des 5dernières années et le taux de croissance “normal”Le taux de croissance “normal” est obtenu en estimant l’équation :TA i (t) =a + b.t + ε i (t)où TA i (t) est l’actif total de l’entreprise i àlapériodet.16 Calculé par la formule :1 bénéfice prévu − bénéfice récent2 bénéfice prévu + bénéfice récentoù le bénéfice prévu est la moyenne des prévisions médianes pour l’année en cours et l’année suivante.34

sionnel et du bénéfice sur cours historique (au cours des 4 dernières années) ;— calculé dans le modèle américain à partir des mêmes variables et du bénéfice surcours glissant 17 ;— le facteur valeur (VALUE), supposé capturer la sous-évaluation du titre, est le rapportBook to Market 18 ;— la variabilité des bénéfices (EARNING VARIABILITY) est calculée à partir nonseulement de la variabilité des bénéfices 19 mais aussi de celle des cash flows (calculéede la même manière), de la part du bénéfice exceptionnel au cours des 5 dernièresannées et de la variabilité des prévisions de bénéfices ;—lelevierfinancier (LEVERAGE) calculé à partir des leviers en valeur de marché 20 ,en valeur comptable 21 , du ratio dette / total des actifs et de la notation de la dette ;— la sensibilité aux cours des changes (CURRENCY SENSITIVITY) calculé en calculantla sensibilité du rendement du titre aux cours de change des trois derniersmois, et en faisant la somme ;— le rendement en dividende prévisionnel (DIVIDEND YIELD) calculé en entrant lesdividendes des 4 derniers trimestres, les résultats et les annonces de distribution dedividendes dans un modèle prévisionnel.L’exposition aux facteurs fondamentaux non sectoriels résume naturellement les caractéristiquesdes actions, des portefeuilles et des indices considérés. La figure 13 présenteainsi l’exposition de l’indice du S&P500 en novembre 2003. L’indice est positivement exposéuniquement aux deux facteurs portant sur la taille (SIZE, SIZE NONLINARITY)ainsi qu’aux facteurs de rendement (EARNING YIELD et DIVIDEND YIELD). Les expositionsaux facteurs reflétant l’activité ou l’évolution du marché (VOLATILITY, MO-MENTUM,TRADING)sontsoitpratiquementneutres,soitnégatifs.17 Somme des quatre bénéfices trimestriels les plus récents rapportée au cours le plus récent.18 C’est-à-dire par le rapport de la valeur comptable des actions à leurs capitalisations.19 C’est-à-dire l’écart-type du bénéfice annuel au cours des 5 dernières années rapporté à la moyennedes cinq dernières années.20 Ratio obtenu en rapportant la somme de la valeur de marché des actions et de la valeur de l’endettement(à court et long terme) à la valeur de marché des actions.21 Ratio obtenu en rapportant la somme de la valeur comptable des actions et de la valeur de l’endettement(à court et long terme) à la valeur comptable des actions.35

S&P 5000,50,40,30,20,10-0,1-0,2VolatilityMomentumSizeTrading ActivityGrowthEarnings YieldValueEarnings VariabilityLeverageCurrency SensitivityDividend YieldFig. 13 — L’exposition du S&P 500 aux risques factoriels fondamentaux de BARRA ennovembre 2003. (source : site web de Barra)36

La diversité des caractéristiques des actions, des portefeuilles et des indices se réflètedans celle des expositions aux facteurs. Outre celles sur le S&P500, BARRA fournit ainsides informations précises sur une dizaine d’indices qu’elle gère (ou co-gère avec S&P), etnotamment sur les valeurs de croissance (S&P500 / BARRA GROWTH) et les valeurs derendement (S&P500 / BARRA VALUE) composant le S&P500, sur l’indice S&P MidCap400, regroupant 400 capitalisations intermédiaires, l’indice S&P SmallCap 600, regroupant600 faibles capitalisations.Commelemontrentlesfigures 14, la capitalisation totale des trois indices est évidemmenttrès différentes. La faiblesse des deux derniers indices S&P MidCap 400 et S&PSmallCap 600 reflète en effet la faible taille des entreprises entrant dans la composition desdeux derniers indices (figures 15 et 16) : les capitalisations moyenne et médiane du S&PSmallCap 600 sont égales grosso modo au dixième des capitalisations correspondantes duS&P500.Comme l’illustrent les figures 17 et 19, relativement aux valeurs de croissance et auxvaleurs de rendement du S&P500, les entreprises regroupées dans les deux indices S&PMidCap 400 et S&P SmallCap 600 se caractérisent par des ratios intermédiaires tant pourles ratios Price / Book et les taux de croissance prédits de leurs capitalisations (figure 17)que pour leurs rendements (figure 18).Par contre, leurs rendements en dividendes et leurstaux de distribution sont plus faibles (figure 19), cette moins grande générosité pouvantnotamment être la conséquence de contraintes de financement externes plus fortes.Les expositions aux facteurs fondamentaux reflètent la diversité des caracatéristiquesdes entreprises. Ainsi, la comparaison des expositions des valeurs de croissance et des valeursde rendement (figure 20) fait apparaître que si l’exposition des deux catégories auxfacteurs de volatilité, de mouvement, de croissance sont similaires, leurs expositions auxfacteurs économiques (résultats et leurs variabilités, levier financier, rendements en dividendes)sont divergentes. De même si l’on compare cette fois au S&P500, à ses valeurs decroissance et de rendement, les capitalisations intermédiaires et les petites capitalisations,on peut remarquer que :— l’exposition au risque de taille des indices des faibles capitalisaitons sont beaucoupplus importante en valeur absolue (figure 21) ;— leurs expositions aux risques de marché (VOLATILITY, MOMENTUM) est positive37

M illions10,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00,0S&P 5009,8S&P 500/Barra Growth4,9S&P 500/Barra Value4,9S&P MidCap 4001,0S&P SmallCap 6000,4Fig. 14 — La capitalisation (10 12 $) des différents indices de BARRA en novembre 2003.(source : site web de BARRA)38

Largest Capt ($ MM)300250200150100287 2872425012 40S&P 500S&P 500/Barra GrowthS&P 500/Barra ValueS&P MidCap 400S&P SmallCap 600Fig. 15 — Les capitalisations les plus importantes des différents indices de BARRA sur lemarché américain (en novembre 2003). (source : site web de BARRA)39

35 00030 00025 00020 00015 00010 0005 000019 5888 63930 46211 97014 4707 2592 3772 070719613S&P 500S&P500/BarraGrowthS&P500/BarraValueS&PMidCap400S&PSmallCap600Mean Capt ($ M) Median Capt ($ M)Fig. 16 — Les capitalisations moyennes et médianes des différents indices de BARRA surle marché américain (en novembre 2003). (source : site web de BARRA)Price/ BookIm pliedGrowthRate2018161412108642013,763,01S&P 500S&P 500/Barra Growth5,5718,83S&P 500/Barra Value8,562,07 2,41S&P MidCap 40012,83S&P SmallCap 6002,2410,75Fig. 17 — Les rapport prix / valeur comptable et les taux de croissance estimés descapitalisations des différents indices de BARRA en novembre 2003. (source : site web deBARRA)40

252017,5224,471510,78 12,25 11,23Return onAssetsReturn onEquity105014,239,08S&P 500S&P 500/Barra Growth3,988,6 8,64S&P 500/Barra ValueS&P MidCap 400S&P SmallCap 600Fig. 18 — Les rendements des différentes indices en novembre 2003. (source : site web deBARRA)403029,9724,5635,99Dividend Yield2016,5813,3Dividend PayoutRatio100S&P 500S&P 500/Barra Growth1,87 1,51 2,23 1,190,89S&P 500/Barra ValueS&P MidCap 400S&P SmallCap 600Fig. 19 — Les rendements en dividendes et les taux de distributions des dividendes desdifférentes indices en novembre 2003. (source : site web de BARRA)41

0,60,40,20-0,2-0,4VolatilityMomentumGrowthEarnings YieldValueEarnings VariabilityLeverageDividend Yield-0,6S&P 500 S&P 500/Barra Growth S&P 500/Barra ValueFig. 20 — L’exposition du S&P 500, des actions de rendement, des actions de croissanceaux risques factoriels fondamentaux de BARRA (hors les facteurs de taille et de trading).(source : site web de Barra)et considérablement plus importantes ;— leurs expositions aux risques économiques (EARNING YIELD, EARNING VARIA-BILITY, LEVERAGE) sont (qualitativement) similaires à celles des valeurs de rendement;— mais que leurs expositions au risque de rendement les rapprochent par contre desvaleurs de croissance.Comme pour les modèles macroéconomiques, cette décomposition des risques systématiquespermet de mieux gérer les risques systématiques de portefeuilles. Il faut cependantnoter que cette gestion suppose un suivi des évolutions des expositions. Ces dernières, eneffet, sont susceptibles de connaître des évolutions fortes et rapides, comme l’illustrentcelles de l’année 2003 (figures 23, 24, 25 et 26).A plus long terme, les expositions aux facteurs sont susceptibles d’être caractérisées pardes évolutions tendancielles ou des retournements durables comme l’illustre par exemple42

-2,535-1,654-1,352S&P SmallCap 600-0,335S&P MidCap 400S&P 500/Barra GrowthS&P 500/Barra ValueS&P 5000,1490,7270,1020,0960,1250,41-3 -2 -1 0 1SizeSize N onlinearityFig. 21—Lasensibilitédesdifférentes catégories de titres aux facteurs de taille en novembre2003. (source : site web de BARRA)l’exposition au risque de volatilité des petites capitalisations (figure 27), ou encore l’expositionau risque de bénéfice sur cours (EARNING YIELD) pour les valeurs de croissanceet pour les petites capitalisations (figure 28).Comme l’étude de Connor [1995] [Con95a] l’a notamment montré, les modèles à facteursfondamentaux sont en général parmi les plus performants des modèles factoriels. Unedes raisons de cette efficacité semble notamment que la prise en compte des facteurs d’activitépermet de capturer les risques sectoriels que des variables trop macroéconomiquessont incapables de saisir. L’étude de Engerman [1993] [Eng93] (de BARRA) illustre enparticulier ce point. Son échantillon est relativement similaire à celui de Connor [1995][Con95a] puisqu’il comprend les rendements mensuels des 1200-1400 capitalisations importantesde la base Hicap de BARRA sur la période allant de janvier 1980 à décembre1992.Prenant en compte les valeurs fondamentaux et macroéconomiques du tableau 11, ilestime différents modèles factoriels comprenant en plus des variables sectoriels. Commel’illustrent les résultats du tableau 12, le pouvoir explicatif des seuls facteurs sectoriels estde 32%. Rajouter soit 7 facteurs fondamentaux (market variability, success, size, tradingactivity, growth, earnings-to-price, and book-value-to-price), soit les 7 facteurs macroé-43

0,60,40,20-0,2-0,4VolatilityMomentumGrowthEarnings YieldValueEarnings VariabilityLeverageDividend Yield-0,6S&P 500 S&P 500/Barra Value S&P 500/Barra GrowthS&P MidCap 400 S&P SmallCap 600Fig. 22 — L’exposition du S&P 500, des actions de rendement, des actions de croissance,des capitalisations moyennes et petites aux risques factoriels fondamentaux de BARRA(hors les facteurs de taille et de trading). (source : site web de Barra)44

Fig. 23 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de croissance(GROWTH) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRA VA-LUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)Fig. 24 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de mouvement(MOMENTUM)duS&P500,duS&P500/BARRAGROWTH,duS&P500/BARRAVALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)45

Fig. 25 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de transaction(TRANSACTION) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRAVALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)Fig. 26 — L’évolution au cours de l’année 2003 des expositions au risque de volatilité(VOLATILITY) du S&P500, du S&P500 / BARRA GROWTH, du S&P500 / BARRAVALUE, du S&P SmallCap 600. (source : site web de BARRA)46

Fig. 27 — L’évolution de l’exposition au risque de volatilité (VOLATILITY) pour le S&P500, le S&P500 / BARRA GROWTH, le S&P500 / BARRA VALUE et le S&P SmallCap600. (source : site web de BARRA)Fig. 28 — L’évolution de l’exposition au risque de bénéfice sur cours (EARNING YIELD)pour le S&P 500, le S&P500 / BARRA GROWTH, le S&P500 / BARRA VALUE et leS&PSmallCap600.(source:sitewebdeBARRA)47

Fig. 29 —Tab. 11 — Les facteurs dans les modéles économiques et fondamentaux de Engerman[1993].FondamentauxMarket Variability Success (Price Momentum) SizeConsumer Cyclicals Finance Consumer Non-CyclicalsIndustrials Utilities EnergyEconomique : variation non anticipée dans :Interest Rates BAA Spreads Oil PriceGold Price Dollar's Value Industrial GrowthInflation Ratesource : Engerman [1993]48

Tab. 12 — Comparaison des performances des modèles à facteurs fondamentaux et macroéconomiquesavec les mêmes variables sectorielles - 1980-1992ModèleR2moyen6 secteurs uniquement 32.8%6 secteurs and 7 facteurs fondamentaux 38.5%6 secteurs and 7 facteurs économiques 35.9%source : Engerman [1993]Tab. 13 — Pourcentage des mois où les prix des facteurs sont statistiquement significativementdifférent de 0 (sans variable sectorielle) - 1980-1992Facteurs fondamentauxFacteurs économiquesMarket Variability 63% Interest Rates 58%Success 64% BAA Bond Spread 54%Size 60% Industrial Growth 51%Trading Activity 52% Inflation 36%Growth 51% Oil Price 44%Earnings-to-price 51% Gold Price 44%Book value-to-price 43% Dollar's Value 49%source : Engerman [1993]49

conomiques déjà utilisées, augmente légèrement et quasi-similairement la performance dumodèle (tableau 12). Une dernière raison de la performance des modèles fondamentauxsemble également résider dans la plus grande stabilité de la significativité des prix desfacteurs fondamentaux (tableau 13). 22Une des limites de la modélisation à la BARRA est de nécessiter une importante informationsur les entreprises et de conduire à la prise en compte d’un nombre conséquentde facteurs. De ce point de vue, les modèles macroéconomiques apparaissent plus compacts.Une autre alternative, qui a été au centre des recherches académiques depuis unedizaine d’années, est le modèle de Fama & French, modèle qui est présenté dans un autredocument.Références[BRR03] E. Burmeister, R. Roll, and S.A. Ross, (2003). Using macroeconomicfactors to control portfolio risk. working paper, BIRR, March 2003.[Bur03]E. Burmeister, (2003). The BIRR equity risk model. BIRR PortfolioAnalysis Inc., 2003.[CCH85] K.C. Chan, N. Chen, and D. Hsieh, (1985). An exploratory investigationof the firm size effect. Journal of Financial Economics,14 :451—571, 1985.[Che83][Che91][CK88]N. Chen, (1983). Some empirical tests of the theory of arbitragepricing. Journal of Finance, 38 :1393—1414, 1983.N.F. Chen, (1991). Financial investment opportunities and the macroeconomy.Journal of Finance, 46 :529—54, 1991.G. Connor and R.A. Korajczyk, (1988). Risk and return in a equilibriumapt - application of a new test methodology. Journal ofFinancial Economics, 21 :255—89, 1988.22 On pourrait cependant argumenter que le fait dominant du tableau 12 est que dans la plupartdes cas, une période sur deux, le prix de chaque facteur (fondamental ou macroéconomique) n’est passtatistiquement significativement de 0.50

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