Cours 5. Courbure de l'espace-temps et le tenseur d'Einstein

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 1Cours 5. Courbure de l’espace-temps etle tenseur d’Einstein

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 2Résumé du cours d’aujourd’hui– Le principe d’équivalence.– Courbure intrinsèque d’une variété.– Tenseur de Riemann (tenseur de courbure).– Tenseur de Ricci et courbure scalaire.– Tenseur de Einstein.

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 3Le principe d’équivalence (EP) fort– Dans un laboratoire assez petit en chute libre (sans rotation) leslois de la physique sont les mêmes qu’en RR.– Cette idée est dite « le principe d’équivalence (EP) » parcequ’elle implique que l’accélération est la même chose de lagravitation. Si on était dans un vaisseau spatial (et sansregardant par les fenêtres) on ne pouvait pas distinguer entre lesdeux situations : (a) on est dans un référentiel inertiel, à repose àla surface d’une grande planète ou la accélération de gravitationà la surface est g, (b) On est loin de toutes les planètes et autresource de la masse extérieure, mais dans un référentiel enaccélération uniforme égale à g.– Cette idée explique pourquoi la masse d’inertie est égale à lamasse gravitationnelle, quelque chose connu depuis Galilée mais

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 4pas compris pourquoi– Pourquoi nous avons précisé « un laboratoire assez petit » ? Nousvoulons que le champ gravitationnel est presque uniforme dans lelaboratoire entier. En réalité ceci n’est jamais exactementpossible, mais c’est plus proche d’être correcte dans un petitlaboratoire dans le champ gravitationnel d’une grande planète.– La force en raison de la variation du champ gravitationnel estdite « la force de marée ».

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 5La gravitation en tant que courbure del’espace-temps– Le EP a conduit Albert Einstein à l’idée que la gravitation nedoit pas être considérée comme une force conventionnelle, maisplutôt comme une manifestation de la courbure de l’espace-temps.– C’est le principe à la base de RG.– La trajectoire d’une particule dans un champ de gravitation etaucune force (pas de champ électrique, nucléaire, etc. ), ce seracelle d’une particule libre – c’est-a-dire la trajectoire d’uneparticule en chute-libre dans un champ de gravitation est unegéodésique de l’espace-temps.– La équation de mouvement de ce particule estd⃗pdτ = ⃗0

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 6Géométrie de l’espace-temps– Le EP nous conduit au résultat que l’espace-temps est unevariété pseudo-riemannienne.– Rappelez-vous qu’en le 2 e cours j’ai dite que nous allions utiliserseulement les variétés pseudo-riemanniennes, c’est-a-dire lesvariétés pour lesquelles l’élément de longueur (carré) a la forme :ds 2 = g αβ dx α dx β– Pour les variétés pseudo-riemanniennes, nous avons trouvé quec’est toujours possible de trouver un système des coordonnéespour lequel au point donné de la variété P nous avonsg αβ (P ) = η αβ( ) ∂∂x µ g αβ = 0 (1)P

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 7Proche du point P la variété a la géométrie de Minkowski. VoirExer. 6.3 (Schutz, 2009) òu nous avons prouver cela.– Mais le EP (le fait que « dans un laboratoire assez petite enchute libre (sans rotation) les lois de la physique sont les mêmesqu’en RR ») implique que la géométrie locale de l’espace-tempsest celle de Minkowski :g αβ (P ) = η αβ( ) ∂∂x µ g αβ = 0 (2)– En bref, si on faisait l’hypothèse que la gravitation n’est pas uneforce traditionnelle mais il s’agit de la courbure de l’espace-tempsqui est une variété pseudo-riemannienne, puis le EP c’est prévoitpar les mathématiques, en particulier le fait qu’on peut trouverP

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 8une transformation des coordonnées qui rendg αβ (P ) = η αβ( ) ∂∂x µ g αβ = 0 (3)En revanche, le EP nous conduit à la géométrie de l’espace-tempsest celle d’une variété pseudo-riemannienne.P

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 9Gravitation et la courbured’espace-temps– Rappelez-vous aussi de cours 2 bien que c’est toujours possiblede trouver un système des coordonnées pour lequelle Eq. 1s’applique, cependant ce n’est toujours pas possible d’avoir( ) ∂2∂x µ x ν g αβ = 0parce qu’il n’y a pas suffisant degrés de liberté, voir (Schutz,2009, § 6.2).– Donc, quand l’espace-temps est courbe, bien que l’espace-tempsest localement comment ceci de Minkowski, cependant il estglobalement courbe.– Donc, quand l’espace-temps est courbe, bien que nous pouvonsP

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 10toujours trouver un système des coordonnées localementpseudo-Euclidien, cependant ces coordonnés n’appliquent quelocalement.– Et comme Einstein a trouvé le EP dit que « dans un laboratoireassez petite en chute libre (sans rotation) les lois de la physiquesont les mêmes qu’en RR. »– Et finalement, nous devons chercher les conséquences degravitation dans la courbure (dans la deuxième dérivée dutenseur métrique).

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 11Courbure intrinsèque d’une variété :tenseur de Riemann– La dérivée covariante d’un vecteur, contrairement à la dérivéepartielle d’un vecteur, ne commute pas avec elle-même :∇ γ ∇ β v α − ∇ β ∇ γ v α = R µ αβγ v µ≠ 0 (4)– R µ αβγest dite « le tenseur de Riemann » ou « le teneur decourbure ».– TD 1 : Trouvez l’expression du tenseur de Riemann en fonctiondu symbole de Christoffel– TD 2 : Trouvez l’expression du tenseur de Riemann en fonctiondu tenseur métrique (ce n’est pas nécessaire de simplifiercomplètement).

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 12– TD 3 : Trouvez le tenseur de Riemann dans une région plate ?

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 13TD 1, 2, 3 Solutions

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 14Les symétries de tenseur de Riemann– On peut démontrer queR αβµν = g ασ R σ βµν= 1 2 (∂ ν∂ α g βµ − ∂ ν ∂ β g αµ + ∂ µ ∂ β g αν − ∂ µ ∂ α g βν )− g σγ (Γ σαµ Γ γβν − Γ σαν Γ γβµ ) (5)– A un point P nous pouvons toujours trouver un système descoordonnées pour lequel Γ γβµ = 0 au ce point P (mais pasforcement dans tous la région). Dans ces coordonnées,R αβµν (P ) = 1 2 (∂ ν∂ α g βµ − ∂ ν ∂ β g αµ + ∂ µ ∂ β g αν − ∂ µ ∂ α g βν ) (P )– TD 4 : Trouvez les symétries de R αβµν .(6)

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 15Les symétries de tenseur de Riemann– Et maintenant ce très facile de voir que les symétries de R αβµνsontR αβµν = −R βαµν (7)R αβµν = −R αβνµ (8)R αβµν = R µναβ (9)– L’identité suivant est dite l’identité cyclique :R αβµν + R ανβµ + R αµνβ = 0 (10)

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 16Gagner du temps– Bien que nous avons obtenu les relations de symétrie (7,8,9) etidentité cyclique (10) dans un système des coordonnéesparticulier à point P, grâce à leur nature tensorielle, elles sontvalables dans tout système des coordonnées.

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 17Degrés de liberté– TD 5 : Combien de composants a le tenseur de courbure ?– En raison des relations de symétrie (7,8,9) et l’identité cyclique(10), le nombre des composants indépendant sont seulement 20.– L’argument pour ce nombre n’est pas compliqué mais c’est unpeu long ; voyez la solution de question 18 de chapitre 6 du livre(Schutz, 2009) dans mon manuel.Ici sont quelque étapes de cette solution :– TD 6 : Quelle est la valeur des composants R ααµν et R αβµµ ?– TD 7 : Des 16 paires du premier indices, (α, β), combien donnentles composants libre ou indépendant ? Ex. la paire α = β = 0donne R 00µν qui n’ont pas libre comme nous venons de voir, maisla paire (α = 0, β = 1) donne un composant libreR 01µν = −R 10µν (pour l’instant, ne comptez pas les combinaison

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 18de dernier paire d’indice).– Avec les arguments comme ci-dessus, nous pourrions trouver queles relations de symétrie (7,8,9) réduisent le nombre de degrés deliberté de R αβµν de 256 à 21.– Et l’identité cyclique réduit le nombre de degrés de liberté deR αβµν de 21 à 20.

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 19Contraction du tenseur de Riemann– Pour les équations d’Einstein qui décrivent la géométried’espace-temps en présence de masse et énergie, nous avonsbesoin des contractions du tenseur de courbure.– TD 8 : Combien de contraction peut-on trouver du R αβµν ?– TD 9 : Quelle est la valeur de la contraction sur les premiersdeux composants du tenseur de Riemann ?R α αµν = g ασ R σαµν (11)– TD 10 : Il y a combien de contractions de tenseur de Riemannindépendantes ?

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 20Tenseur de Ricci– La contraction sur la première composante et la troisièmecomposante du tenseur de Riemann est dite « le tenseur deRicci » :R ν ανβ ≡ R αβ (12)voyez (Schutz, 2009, Eq. (6.91)).– Faites attention, nous utilisons la même lettre R pour les deuxtenseurs, mais c’est assez claire parce que il y a toujours 4 indicepour le tenseur de Riemann et 2 pour le tenseur de Ricci.– Faites attention, autre livres utilise la contraction sur la premièreet la dernière composantes pour leur tenseur de Ricci (Hobsonet al., 2010) : R ν αβν ≡ R αβ.– TD 11 : Trouvez la relation entre R αβ de (Schutz, 2009,

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 21Eq. (6.91)) et (Hobson et al., 2010).– Le tenseur de Ricci est symétriqueR αβ = R βαg ασ R σβ = R α βg σα R βσ = R βα= R α β(13)donc nous pouvons écrire R α βsans ambiguïté.

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 22Courbure scalaire– La contraction des deux indices de ce tenseur mène à la« courbure scalaire » ou « scalaire de Ricci » :R ≡ g σβ R σβ = R β β(14)

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 23Le tenseur de Einstein– En cours 1 j’ai dit que RG replace les équations vectoriels degravitation Newtoniennes avec les équations du champgravitationnel d’Einstein :G αβ = R αβ − 1 2 R g αβ = κT αβ (15)où G αβ est le tenseur d’Einstein, R αβ et R sont reliés à lacourbure de l’espace, et T αβ est le tenseur énergie-impulsion, et κest une constante.– Finalement nous sommes près de comprendre la coté gauche decette équations fondamentale, une de la plus importante et plusbelle résultats de physique moderne.– Nous sommes à mi-chemin !

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 24TD : Exemple familier en deuxdimensions– Par exemple, avec les coordonnées polaires, (x 1 , x 2 ) = (r, θ), dansle plan Euclidien,r = √ x 2 + y 2θ = arctan(y/x) (16)x = r cos θy = r sin θ (17)– TD 12 : Trouvez le tenseur de courbure de Riemann pour le planEuclidien en coordonnées cartésiens et polaires.– TD 13 : Trouvez les mêmes quantités pour la surface de une

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 25sphère en coordonnées sphériques (r = une constante).

Cours 5: gravitation et courbure d’espace-temps 26RéférencesHobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), RelativitéGénérale, de boeck, Bruxelles.Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, CambridgeUniversity Press, Cambridge UK.