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COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux ?Justifier !"extraite de la brochure éditée par l'ARPEMEVous pouvez acheter cette brochure en vous rendant sur le site del'ARPEME, à cette adresse :http://www.arpeme.fr/index.php?id_page=18Pour accéder directement à une devinette, cliquez sur son numéro cidessous.01 02 03 04 05 06 07 08 0910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 41 42 43 44 45 46 47 48 4950 51 52Dans les pages suivantes, en cliquant sur le numéro en tête d'une énigme, vous accédez à sasolution. Pour revenir à l'énigme, cliquez sur le numéro en tête de la solution.Attention : en cliquant sur la lettre D ou la lettre S précédent le numéro, soit de l'énigme, soitde la solution associée, vous revenez à cette première page.Conventions d'écriture :- les fractions sont désignées en utilisant un trait oblique : 3/4 ; 1/40000 ; a/b- les écritures symboliques dans une base ne sont pas surmontées d'un trait maisinclinées : mcdu représente ainsi un nombre à 4 chiffres dans une base indiquée parailleurs. Voir devinette 40.- les écritures décimales périodiques sont soulignées : 22/30 = 0,735- la racine carrée est désignée par le symbole : 4 2Remarque générale concernant les solutions proposées par la cvommission :Pour chaque affirmation, une ou plusieurs justifications recevables sont proposées,mais ce ne sont pas les seules envisageables.D. Bertin IUFM de Versailles pour cette version ; m'écrire à : didier.bertin@iufm.u-cergy.fr

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes1D_01D_02D_03Un nombre décimal est toujours un nombre rationnel.Un nombre rationnel est toujours un nombre décimal.Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces deuxnombres.D_04 La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 3.D_05Quels que soient les nombres a et b, le système de deux équations en x et y ci-dessousadmet toujours une solution unique :6x-8y = a9x -12y = bD_06D_07D_08D_09D_10D_11D_12D_13D_14D_15D_16La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.Il existe une fonction qui permet d'obtenir l'aire d'un rectangle lorsque l'on connaît sonpérimètre.L'aire d'un disque est proportionnelle au rayon de ce disque.Si l'on agrandit une carte IGN en la photocopiant avec le zoom « 200 pour 100 », ondivise son échelle par deux.On prend le même chemin à l'aller et au retour. À l'aller, on roule à 90 km/h demoyenne, et au retour, à 70 km/h de moyenne. On peut alors affirmer que, sur letrajet aller - retour, la vitesse moyenne est égale à 78,75 km/h.On peut affirmer que la publicité suivante est mensongère : « Dès 18h, lacommunication téléphonique est 20% moins chère, vous avez donc 20% de tempsde conversation en plus ! »Lors d'un trajet en voiture, la durée du voyage est proportionnelle à la vitessemoyenne.Augmenter un prix de 20% puis le diminuer de 20% revient à ne pas changer ce prix.La 1348 ième décimale et la 5428 ième décimale du nombre 12/13 sont les mêmes.On sait que la moyenne de cinq nombres distincts est 4 et que, quand on enlève le plusgrand de ces nombres, la moyenne baisse de 2. On peut alors affirmer que l'on peutdéterminer le nombre enlevé.Dire que la moyenne d'une classe à un devoir est 9 sur 20, c'est dire que la moitié de laclasse a eu au moins 9 sur 20 à ce devoir.

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Devinettes4D_42D_43D_44On sait d'un quadrilatère qu'il a trois côtés de même longueur. On peut alors affirmerque, pour que ce soit un losange, il suffit qu'en plus ses diagonales se coupent en leurmilieu.Soit un parallélogramme ABCD et M un point quelconque intérieur auparallélogramme. On peut alors affirmer que la somme des aires des triangles AMB etDMC est égale à la somme des aires des triangles AMD et BMC.Dans un cube, deux arêtes perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.D_45 Une classe de primaire compte 15 élèves de CP de taille moyenne 1,30 m, et 10élèves de CE de taille moyenne 1,40 m. On peut alors affirmer que la taille moyenned'un élève de cette classe est 1,35 m.D_46D_47D_48D_49D_50D_51D_52Si deux villages sont distants de 7 cm sur une carte au 1/25000. alors ils seront distantsde 35/8 cm sur une carte au 1/40000.Le produit des nombres 103 700 002 et 1 002 458 s'écrit avec 15 chiffres.En lançant simultanément deux pièces de monnaie, correctement équilibrées, on peutaffirmer qu'on a une chance sur trois d'obtenir deux piles.On jette des dés correctement équilibrés et on s'intéresse à la somme des pointsobtenus. On peut affirmer qu'on n'a pas la même probabilité d'« obtenir 8 » si onlance deux fois successivement un même dé que si on lance simultanément les deuxdés.On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On peut affirmer que la chance de n'obtenirni une dame ni un cœur est de 21/32.Deux pots de peinture sont posés sur une table : un pot contenant de la peinture bleueet l'autre contenant de la peinture jaune. On plonge au hasard un pinceau dans l'undes pots et on peint une feuille de papier. Puis on prend un autre pinceau, que l'onplonge aussi au hasard dans l'un des deux pots et on recouvre de peinture la feuilleprécédente qui n'est pas encore sèche. On peut affirmer que l'on a trois chances surquatre de ne pas obtenir une feuille bleue.Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre.La récolte est comprise entre 30 000et 31 000 tomates. On a obtenu lesrelevés suivants :On peut alors affirmer que les troisquarts des tomates ont un diamètreinférieur à 57 mm.Diamètre (en mm)Effectifs (en milliers)[48;51[ 8[51 ; 54[ Donnée manquante[54 ; 57[ 10[57 ; 60[ 9

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions1S_01S_02S_03S_04S_05Un nombre décimal est toujours un nombre rationnel. VRAIUn nombre rationnel est le quotient de deux entiers. Comme un nombre décimal peuttoujours s'écrire sous forme d'une écriture fractionnaire dont le dénominateur est unepuissance de 10, c'est donc bien un nombre rationnel.Ou bien :Un nombre décimal s'écrit sous forme d'une fraction irréductible dont le dénominateurs'écrit sous la forme 2 n x 5 P (avec n et p entiers).Ou encore :Un nombre décimal peut s'écrire avec une écriture à virgule dont le nombre de chiffresaprès la virgule est fini ; il suffit alors de multiplier ce nombre par une puissance de 10suffisamment grande (et de diviser par cette même puissance de 10) pour obtenir cenombre sous forme d'une écriture fractionnaire.Remarque : II ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l'affirmation estvraie. On doit fournir une preuve complète.Un nombre rationnel est toujours un nombre décimal. FAUXContre-exemple : 1/3 est un nombre rationnel qui n'est pas un nombre décimal(1/3 est une fraction irréductible dont le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme 2" x5 P (avec n et p entiers) ou bien l'écriture décimale de 1/3 est illimitée :1/3= 0,3).Remarque : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse.Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces deux nombres. FAUXContre-exemple : (2 + 3) 2 = 5 2 = 25 mais 2 2 + 3 2 = 4 + 9 = 13.Ou bien : Quels que soient les nombres a et b, on sait que (a + b) 2 = a 2 +b 2 + 2 ab, donc, dès que a et b sont non nuls, (a + b) 2 # a 2 + b 2Ou bien : (a + b) 2 est l'aire du carré ci-contre alors que a 2 + b 2 est l'airegrisée. Ces deux nombres ne sont donc pas égaux.La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours divisible par 3. VRAI.On considère trois nombres consécutifs notés : n, n+1, n+2, où n est un entier. Leursomme vaut n+n+1+n+2 = 3n+3. Or 3n+3-3(n+1), avec (n+1) entier, et ce nombre estbien divisible par 3 (c'est un multiple de 3).Remarques :1. Il ne suffit pas de donner un exemple pour justifier que l'affirmation est vraie.2. On peut également choisir, de coder ces trois nombres consécutifs par (n-1), n et(n+1). Dans ce cas, leur somme vaut 3n. La conclusion est identique.Quels que soient les nombres a et b, le système d'équations en x et y ci-dessous admet toujours unesolution unique. FAUX.6x-8y = a9x -12y = bUn contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Pour a = b = 0, le

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions2système admet une infinité de solutions (la seconde égalité s'obtient en multipliant lapremière égalité par 3/2).Ou bien : On peut considérer que 6x - 8y = a et 9x - 12y = b sont les équations de deuxdroites. Il y a trois cas possibles : soit les droites se coupent en un point et un seul (etdans ce cas, le système aura une solution et une seule), soit les droites sont parallèles(et dans ce cas, le système n'aura aucune solution), soit les droites sont confondues (etdans ce cas, le système aura une infinité de solutions). Ainsi, pour que le systèmeconsidéré admette une solution unique, il faut (et il suffit) que les deux droites soientsécantes, c'est-à-dire distinctes et non parallèles. Or, on remarque que l'on passe de 6x- 8y à 9x - 12y en multipliant par 3/2. Les coefficients directeurs des deux droites en jeusont les mêmes (respectivement 6/8 = 3/4 et 9/12 = 3/4 ) : elles sont donc parallèles ouconfondues. Ainsi, selon les valeurs de a et b, le système admet une infinité desolutions ou aucune.S_06La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère. VRAI.Si f est une fonction linéaire, l'image d'un nombre x par f est de la forme : f (x)=ax où aest un nombre fixé, donc on a toujours f (0)=0, ce qui prouve que la représentationgraphique de f passe bien par le point de coordonnées (0,0).Remarque : Réciproquement, toute droite qui passe par l'origine du repère est lareprésentation graphique d'une fonction linéaire.S_07S_08Il existe une fonction qui permet d'obtenir l'aire d'un rectangle lorsque l'on connaît son périmètre.FAUX.Le problème de cette affirmation tient à la définition de la notion de fonction. Unefonction est une application qui à tout nombre (de son domaine de définition) faitcorrespondre un unique nombre. Or on peut trouver deux rectangles de mêmepérimètre qui n'ont pas la même aire. Par exemple : un rectangle de largeur 2 cm et delongueur 3 cm a même périmètre (10 cm) qu'un rectangle de largeur 1cm et delongueur 4 cm, mais le 1 er a pour aire 6 cm 2 alors que le 2 ième a pour aire 4 cm 2 . Unmême périmètre peut donner au moins deux aires différentes, donc il n'existe pas defonction qui donne l'aire d'un rectangle à partir de son périmètre.L'aire d'un disque est proportionnelle au rayon de ce disque. FAUX.L'aire d'un disque de rayon r est r 2 , l'aire d'un disque de rayon 2r est i(2r) 2 = 4r 2 . Endoublant le rayon, on quadruple l'aire donc la proportion n'est pas gardée.Ou bien : La fonction qui au rayon associe l'aire du disque est telle que f (r)= •r 2 . Cen'est pas une fonction linéaire car elle n'est pas de la forme f (x)=ax. Il n'y a donc pasproportionnalité.S_09Si l'on agrandit une carte IGN en la photocopiant avec le zoom « 200 pour 100 », on divise son échellepar deux. FAUX.Avant agrandissement, 1 cm sur la carte représente n cm sur le terrain, l'échelle de lacarte est 1/n. Après agrandissement, 2 cm sur la carte représentent toujours n cm sur

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions3le terrain, ainsi l'échelle de la nouvelle carte est 2/n. On ne divise pas par deux l'échellede la carte, on la multiplie par deux.S_10S_11S_12S_13S_14On prend le même chemin à l'aller et au retour. À l'aller, on roule à 90 km/h de moyenne, et au retour,à 70 km/h de moyenne. On peut alors affirmer que, sur le trajet aller - retour, la vitesse moyenne estégale à 78,75 km/h. VRAI.Si on note d la distance aller en km (et donc la distance retour), alors, en utilisant larelation v = d/t , ou t = d/v, le temps passé sur le trajet aller - retour est d/90 + d/70,soit (7d + 9d)/630 = 16d/630. Comme la distance du trajet aller-retour est 2d, la vitessemoyenne sur le trajet aller-retour est de 2d/(16d/630) = 2d x (630/16d) = 630/8 . Infine, on trouve une vitesse moyenne de 78,75 km/h.On peut affirmer que la publicité suivante est mensongère : « Dès 18h. la communicationtéléphonique est 20% moins chère, vous avez donc 20% de temps de conversation en plus ! » VRAI.On suppose que le prix est proportionnel à la durée. Pour une communication de duréet, le prix avant 18h est p. Pour cette même durée, le prix après 18h est 0,8 p. Donc,pour le même prix p, après 18h, on communique pendant un temps t/0,8 = 1,25 t. Cequi correspond à 25% de temps en plus.Remarque : Un pourcentage étant un rapport entre deux nombres, il ne dépend pas duchoix de l'un de ces deux nombres : on peut donc ici raisonner également sur unexemple.Lors d'un trajet en voiture, la durée du voyage est proportionnelle à la vitesse moyenne. FAUX.Si la vitesse augmente, la durée du voyage diminue... ce qui contredit la notion deproportionnalité.Ou bien : On a la relation suivante entre la distance (d), la vitesse (v) et le temps (t) : t =d/v . On en conclut que la durée du voyage n'est pas « proportionnelle » à la vitesse,mais « inversement proportionnelle » à la vitesse.Augmenter un prix de 20% puis le diminuer de 20% revient à ne pas changer ce prix. FAUX.Pour un prix initial de 100 €, l'augmentation de 20% donne un nouveau prix de 120 €,la baisse de 20% donne un prix final de 0,8 * 120 = 96 €. Le prix a donc changé.Remarque : On peut également remarquer que, par le calcul : 1,2 x 0,8 ≠ 1.La 1348 ième décimale et la 5428 ième décimale du nombre 12/13 sont les mêmes. VRAI.Il suffit de commencer la division effective de 12 par 13, on trouve 0,9230769... À partirdu moment où l'on trouve comme reste un reste déjà apparu (ici le 12), on retrouve lasuite de restes (ici 12, 3, 4, 1, 10, 9), et la suite des chiffres du quotient correspondantsera répétée (ici 9, 2, 3, 0, 7, 6). Ici, par exemple, le 9 se trouve être le premier chiffreaprès la virgule, le septième, le treizième, le dix-neuvième, etc. (de 6 en 6). De même,le 2 est le deuxième chiffre après la virgule, le huitième, le quatorzième, le vingtièmeetc. (de 6 en 6). Et ainsi de suite.Pour déterminer la n ième décimale de 12/13, il suffit donc de connaître le reste dans ladivision euclidienne de n par 6. On a : 1348 = 6 x 224 + 4 et 5428 = 6 x 904 + 4, donc,

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions4dans la division euclidienne par 6, 1348 et 5428 ont le même reste (4). On en déduitque la 1348 ième décimale et la 5428 ième décimale du nombre sont les mêmes (il s'agit duchiffre « 0 »).S_15S_16S_17S_18S_19On sait que la moyenne de cinq nombres distincts est 4 et que, quand on enlève le plus grand de cesnombres, la moyenne baisse de 2. On peut alors affirmer que l'on peut déterminer le nombre enlevé.VRAI.Si on nomme a, b, c, d, et e les cinq nombres en supposant que e est le plus grand,alors on a : a + b + c + d + e = 5 x 4 = 20 et a + b + c + d = 4 x 2 = 8 . En soustrayant cesdeux équations, on obtient e = 12.Dire que la moyenne d'une classe à un devoir est 9 sur 20, c'est dire que la moitié de la classe a eu aumoins 9 sur 20 à ce devoir. FAUX.Pour le justifier, il suffit de donner un contre-exemple. On peut supposer qu'il s'agitd'une classe a effectif très réduit : par exemple, quatre élèves. Les notes peuvent être6, 7, 8 et 15. La moyenne est bien 9 sur 20 mais seul un élève sur les quatre a eu aumoins 9 sur 20.Remarque : La valeur d'une variable statistique qui partage une population en deuxparties de même effectif n 'est pas la moyenne mais la médiane.600 candidats participent à un concours. La moyenne est de 11 ,4 sur 20. Il y a 300 places au concours.On peut alors affirmer qu'avec une note de 12 sur 20, un candidat est certain d'avoir une place auconcours ! FAUX.Nous pouvons expliquer ce phénomène sur un cas particulier.Supposons que sur les 600 candidats, 300 aient une note de 16 sur 20, 289 ont unenote de 7 sur 20, 5 candidats ont une note de 1 sur 20, 5 candidats ont une note de 0sur 20 et un seul candidat a une note de 12 sur 20.La moyenne de cet ensemble de candidats est (300 x 16 + 289 x 7 + 5 x 1 + 1 x 12)/600soit 11,4. Le candidat qui a eu 12 sur 20 a pourtant échoué à ce concours puisque 300candidats ont une meilleure note que lui.On cherche tous les triangles dont les côtés ont pour mesure des nombres entiers de centimètres etdont le périmètre est 12 cm. On peut alors affirmer que, pour déterminer tous ces triangles, il suffit detrouver tous les triplets de nombres entiers dont la somme est 12. FAUX.En effet, le triplet (1 ; 1 ; 10) vérifie bien 1+1 + 10 = 12, mais le triangle n'est pasconstructible car 1 + 1 < 10 (Dans un triangle, la somme des mesures de deux côtés esttoujours supérieure à la mesure du troisième côté).Une bouteille et son bouchon pèsent 105 g. La bouteille pèse 100 g de plus que le bouchon. On peutalors affirmer que le bouchon pèse 5 g. FAUX.Si le bouchon pèse 5 g, la bouteille seule pèse 100 g + 5 g = 105 g et, la bouteille avec lebouchon pèse 105 g + 5 g = 10 g …Ou bien : Si on appelle p la masse du bouchon, alors la bouteille pèse (100 + p)grammes (100 g de plus que le bouchon). La bouteille et son bouchon pèsent donc :(100 + p) + p = 100 + 2p . Donc 100 + 2p = 105 g, d'où p = 2,5 g.

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions5S_20S_21Dans une classe de collège, tous les élèves ont le même âge (tous les âges sont des nombres entiers)sauf sept qui ont un an de plus et deux qui ont un an de moins. Si on ajoute les âges de tous les élèves,on trouve 324. On peut alors affirmer que ces données suffisent pour déterminer le nombre exactd'enfants dans la classe. VRAI.Soit n le nombre d'élèves dans la classe et a l'âge majoritaire. On peut traduire l'énoncépar : (n - 9)a + 7 (a + 1) + 2 (a - 1) = 324. D'où na + 5 = 324 na = 319.Or n et a sont des nombres entiers et le seuls diviseurs de 319 sont 1, 11, 29 et 319. Parrapport au contexte du problème, seule la décomposition 319 = 11 x 29 est à retenir.Sachant qu'il s'agit d'une classe de collège, c'est a qui prend la valeur 11 et n la valeur29. L'âge minoritaire est 11 et la classe compte 29 élèves.Vérification : 20 x 11 + 7 x 12 + 2 x 10 = 324.Parmi ces quatre horloges, une avance de 20 minutes, une retarde de 10 minutes, une s'est arrêtée, etune est à la bonne heure.Horloge A : Horloge B : Horloge C : Horloge D :On peut alors affirmer qu'il est impossible de savoir quel cadran indique l'heure exacte. FAUXA indique l'heure exacte (B s'est arrêtée, C retarde de 10 minutes, D avance de 20minutes). On ne peut se contenter de ce constat pour affirmer que l'affirmation estfausse, il faut également s'assurer qu'il n'y a pas d'autres réponses possibles.Si on suppose que B indique l'heure exacte alors aucune horloge n'avance de 20minutes.Si on suppose que C indique l'heure exacte alors aucune horloge ne retarde de 10minutes.Si on suppose que D indique l'heure exacte alors aucune horloge ne retarde de 10minutes.Il y a donc bien une seule possibilité : A est l'horloge exacte.S_22S_23Deux cercles ont le même centre, mais des rayons différents. [AB] est un diamètre de l'un et [CD] estun diamètre de l'autre. Ces deux diamètres sont perpendiculaires. On peut alors affirmer que lequadrilatère ACBD est un losange. VRAI.Les diamètres [AB] et [CD] sont les diagonales du quadrilatère ACBD. Ces diagonalessont perpendiculaires et se coupent en leur milieu (le centre commun des deuxcercles). Ainsi, ACBD est un quadrilatère dont les diagonales se coupent eu leur milieuet sont perpendiculaires, c'est donc un losange.1 cL de liquide occupe un volume égal à 0,001 dm3. FAUX.1 litre de liquide occupe un volume égal à 1 dm3. 1 centilitre est un centième de litre, iloccupe donc 1/100 dm 3 = 0,01 dm 3 .

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions6S_24S_25Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, l'arête AB mesure a cm. On peut alors affirmer que le volume dusolide dont les sommets sont A, B, D et E est égal à a3/6 cm3. VRAI.On peut calculer directement le volume du solide ABDE par la formule du volumed'une pyramide (1/3 x aire de la base x hauteur). En choisissant la base ABD quiest un triangle rectangle isocèle en A, avec AB = a cm, donc d'aire a 2 /6 cm 2 , et lahauteur est AE = a cm, on obtient a 3 /6 cm 3 pour le volume.On sait qu'il faut 24 carottes pour nourrir 12 lapins pendant 6 jours. On peut alors affirmer qu'il faut36 carottes pour nourrir 18 lapins pendant 9 jours. FAUX.Avec 36 carottes, on pourra nourrir pendant 9 jours seulement 12 lapins (et non 18).En effet à nombre de lapins fixe, les nombres de jours et de carottes sontproportionnels donc pour 12 lapins et 9 jours, il faut 9/6 x 24 = 36 carottes.Ou bien :Avec 36 carottes, on pourra nourrir 18 lapins pendant 6 jours seulement. En effet, ànombre de jours fixe, les nombres de lapins et de carottes sont proportionnels, donc,pour 6 jours et 18 lapins, il faut 18/12 x 24 = 36 carottes.Ou bien :Il 'agit d'une situation de double proportionnalité : le nombre de carottes estsimultanément proportionnel au nombre de lapins et au nombre de jours. Il faut 2carottes pour nourrir 1 lapin pendant 6 jours, donc il faut 1/3 carotte pour nourrir 1lapin pendant 1 jour. Pour 18 lapins pendant 1 jour, il faut donc 6 carottes, et, pour 18lapins pendant 9 jours, il faut 54 carottes.Ajout hors Copirelem : les tableaux sont bien pratiques comme dans l'illustration cidessous:Carottes Lapins Jours24 12 612 6 66 6 318 6 954 18 9S_26Un décagone convexe possède 45 diagonales distinctes. FAUX.Plusieurs justifications sont possibles.On peut tracer à main levée un décagone et compter effectivement ses diagonales.Ou bien : Sans effectuer les tracés, on dénombre pas à pas les diagonales qui partentde chacun des 10 sommets, considérés dans l'ordre. D'un premier sommet, partent 7diagonales, du 2ème sommet consécutif au précédent, partent également 7diagonales, toutes nouvelles. Du 3ème sommet, une diagonale a déjà été comptée, il yen a 6 nouvelles, puis 5 à partir du 4ème sommet, etc. Au total, on obtient :7 + 7 + 6 +

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions75 + 4 + 3 + 2 + 1=35, donc il y a 35 diagonales distinctes.Ou bien : on dénombre tous les segments d'extrémités deux sommets. Il y a dixsommets. Chaque sommet pouvant être relié aux neuf autres, il y a donc 90 segmentsjoignant deux sommets envisageables. Mais on compte ainsi chaque segment deux fois(une fois du point A au point B et une fois du point B au point A) : il y a donc au total90/2 = 45 segments distincts. Or, parmi ces segments, on a compté les dix côtés dudécagone. Il reste donc 35 diagonales.Ou bien : Si l'on dénombre tous les segments joignant deux sommets du décagone, lesommet n° 1 est à relier à neuf sommets, le sommet n° 2 est à relier à huit sommets (ilest déjà relié au somment n° 1), etc. le sommet n° 9 est à relier à un seul sommet (le n°10). Au total, on a:9 + 8 + 7 + ... + 1 =45 segments distincts, puis on retire les 10 côtés, ilreste alors 35 diagonales distinctes.Remarque : Ces deux derniers raisonnements permettent de trouver une formuledonnant le nombre de diagonales d'un polygone à n côtés (à savoir n(n - 3)/2).S_27 Le diamètre du disque ci-contre est partagé en deux segments de longueurs a et b.Deux demi-cercles sont construits respectivement sur chacun des deux segments delongueur a et b. Le disque initial est ainsi partagé en deux surfaces, l'une hachurée,l'autre non. On peut alors affirmer que le rapport entre le périmètre de la figurehachurée et le périmètre de la figure non hachurée est égal à a/b. FAUX.En effet, les deux périmètres sont les mêmes : les « bords » communs ont forcémentmême longueur et les « bords » non communs ont également même longueur (demidisqueinitial).S_28S_29S_30Si on agrandit les mesures des côtés d'un polyèdre de 10 %, on peut alors affirmer que le volume dupolyèdre augmente de 10 %. FAUX.Un contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Dans ce cas, il suffitde choisir par exemple un cube dont les arêtes mesurent 1 m. Son volume est de 1 m 3 .On agrandit toutes les arêtes de 10 %, elles mesurent alors 1,1 m. Son volume est alors1,13m 3 = 1,331 m 3 soit une augmentation de 33,1 %.Ou encore, sans fixer la longueur de l'arête, toujours pour un cube, si c est la longueurde l'arête du cube : le volume du cube agrandi est (1,1 c) 3 = 1,331 c 3 et non pas 1,1 c 3 .La racine carrée d'un nombre positif est toujours inférieure ou égale à ce nombre. FAUXUn contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. Il suffit ici deconsidérer par exemple le nombre 0,25 : 0,25 = 0,5 or 0,25 < 0,5.Remarque : Tout nombre strictement compris entre 0 et 1 peut être pris commecontre-exemple.Si ABCD est un trapèze et M est le milieu de la diagonale [BD], alors les triangles ABM et DMA ontmême aire. VRAI.M est le milieu de [BD] donc MB = MD et les points M, B et D sont alignés.L'aire du triangle MBA vaut : Aire(MBA) = 1/2 x MB x hauteur issue de A dans MBA etl'aire du triangle DMA vaut : Aire(DMA} = 1/2 xMD x hauteur issue de A dans DMA .Or, la hauteur issue de A dans le triangle ABM est aussi la hauteur issue de A dans le

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions8triangle DMA (droite passant par A et perpendiculaire à (BM) donc à (MD) car les pointsB, M et D sont alignés). Ainsi, les aires des triangles ABM et DMA sont égales.Ou bien : On peut utiliser le résultat suivant : « Dans un triangle, une médiane partagece triangle en deux triangles de même aire. ». Ici, puisque M est le milieu de [BD], ladroite (AM) est une médiane du triangle ABD. Elle partage donc le triangle ABD en deuxtriangles ABM et ADM de même aire.S_31S_32Si AB 2 = CA 2 + BC 2 , alors le triangle ABC est rectangle en A. FAUX.L'égalité permet de dire que ABC est rectangle en C ([AB] est l'hypoténuse du triangle ;c'est la réciproque du théorème de Pythagore).Soient deux nombres positifs quelconques A et p. On peut affirmer qu'il existe au moins un rectangled'aire A et de périmètre p. FAUX.Si on choisit par exemple A = 100 et p = 18, on ne peut pas trouver un rectangle depérimètre 18 (cm) et d'aire 100 (cm2).En effet : on note x et y les mesures des côtés du rectangle ; on doit avoir 2 (x + y) = 18,soit x + y = 9. Donc, puisque x et y sont des nombres positifs, on a: 0

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions9affirmer qu'on ne pourra pas dépasser 1 cm de hauteur. FAUX.On note A et B les clous, C le milieu de la corde et H le milieu de [AB].On a donc AC = 100,5 cm, AH = 100cm et on cherche HC.Le triangle AHC est rectangle en H, on peut appliquer le théorème de Pythagore :AC 2 = AH 2 + HC 2 . D'où HC 2 = 100.5 2 - 100 2 . HC 2 = 100,25 (en cm 2 ).On trouve ainsi HC > 10 cm. {La figure correspondante n'est pas reproduite}.S_37S_38S_39S_40S_41S_42Dans la figure ci-contre, tous les disques sont tangents et les cinq petits disquesont même rayon. On peut alors affirmer que la surface hachurée a même aire quela surface non hachurée. FAUX.Si on note a le rayon d'un petit disque, alors l'aire de la surface non hachurée est 5a 2 .Le grand disque a pour rayon 3a, donc pour aire 9a 2 . Aussi, l'aire de la surfacehachurée est de 4a 2 . Les deux surfaces n'ont donc pas la même aire.Si a est un nombre entier naturel divisible par 4 et par 6, alors a est aussi divisible par 24. FAUXUn contre-exemple suffit à prouver qu'une affirmation est fausse. 12 est un entiernaturel divisible par 4 et 6, mais il n'est pas divisible par 24.Remarque : II en est de même de tout multiple de 12, non multiple de 24 : 36, 60, ...Le nombre huit milliard vingt mille quarante s'écrit en chiffres avec huit zéros. FAUX.Il s'écrit 8 000 020 040, avec sept zéros.Soit a, b, c trois entiers compris entre 0 et 9. On peut alors affirmer que les nombres qui s'écriventabcabc en base dix sont des multiples de 13. VRAIabcabc = abc x 1000 + abc = 1001 x abc = 13 x 77 x abc .Donc abcabc est un multiple de 13.Remarque : Il ne suffit pas de le prouver sur un exemple …0n additionne, selon la technique de calcul usuelle, deux nombres entiers. Le résultat est 2999. Onpeut alors affirmer que l'on ne peut pas savoir s'il y a des retenues dans cette addition. FAUX.Il ne peut y avoir eu de retenue dans cette addition. En effet, le chiffre des unités dechacun des deux nombres de départ est au maximum 9. Leur somme est au maximum18. Ainsi, pour que la somme des deux nombres ait 9 comme chiffre des unités, il fautque la somme des deux chiffres des unités des deux nombres soit 9. Il n'y a pas deretenue au premier rang du calcul de la somme Le même raisonnement est valablepour la somme des chiffres des dizaines et pour la somme des chiffres des centaines. Ilne peut donc y avoir de retenue dans cette addition.0n sait d'un quadrilatère qu'il a trois côtés de même longueur. On peut alors affirmer que, pour que cesoit un losange, il suffit qu'en plus ses diagonales se coupent en leur milieu. VRAI.Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogrammeUn parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur (et c'est le caspour le quadrilatère qui a trois côtés de même longueur) est un losange.

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions10S_43S_44S_45S_46Soit un parallélogramme ABCD et M un point quelconque intérieur au parallélogramme. On peut alorsaffirmer que la somme des aires des triangles AMB et DMC est égale à la somme des aires destriangles AMD et BMC. VRAI.Il s'agit de comparer les aires dessurfaces blanche et grise. On montrequ'elles sont égales quelle que soit laposition du point M intérieur auparallélogramme ABCD.Soient G et H les projetés orthogonauxde M respectivement sur (AD) et (BC).Comme les droites (AD) et (BC) sont parallèles, les points G, M et H sont alignés.On calcule l'aire blanche. On a : Aire(AMD) = MG x AD/2 Aire(BMC) = MH x BC/2.Or AD = BC d'où : Aire(AMD) + Aire(BMC) = (MG + MH) x AD / 2Comme les points G, M et H sont alignés, on a MG + MH = GH. On en déduit que :Aire(AMD) +Aire(BMC)= GH x AD /2 = Aire(ABCD)On a alors : Aire(grise) = Aire(ABCD ) - Aire(blanche) = Aire(ABCD)/2On en conclut que le partage se fait à aires égales, quelle que soit la position du pointM à l'intérieur du parallélogramme.Dans un cube, deux arêtes perpendiculaires à une même troisième sont parallèles. FAUX.Dans le cube ci-contre, les arêtes portées par les droites (AB) et (BC) sontperpendiculaires à l'arête portée par (BF),mais (AB) et (BC) sont perpendiculaires entre elles.Une classe de primaire compte 15 élèves de CP de taille moyenne 1,30 m, et 10 élèves de CE de taillemoyenne 1,40 m. On peut alors affirmer que la taille moyenne d'un élève de cette classe est 1,35 m.FAUX.La taille moyenne est donnée par le calcul suivant : (somme des tailles)/(nombred'élèves). Ainsi, pour les élèves de CP, on a (somme des tailles)/15 = 1,30m donc lasomme des tailles des CP est égale à 15 x 1,3m = 19,5m.De même, la somme des tailles des CE est égale à1,4mx10 = 14m.La taille moyenne dans la classe entière vaut ainsi : (19,5m + 14m)/(10 + 15) = 1,34 m .Si deux villages sont distants de 7 cm sur une carte au 1/25000. alors ils seront distants de 35/8 cm surune carte au 1/40000. VRAI.Pour passer d'une carte au 1/25000 à une carte au 1/40000 il suffit de multiplier toutesles distances par 25000 / 40000 = 5/8. En effet : 1 cm sur la première carte représente25 000 cm sur le terrain, et 25 000 cm sur le terrain sont représentés par 25000 /40000 = 5/8 cm sur la seconde carte. Les distances sont donc multipliées par5/8. Ainsi,les villages distants de 7 cm sur la première carte seront distants de 7 cm x 5/8 = 35/8cm sur la seconde carte

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions11S_47S_48S_49S_50S_51Le produit des nombres 103 700 002 et 1 002 458 s'écrit avec 15 chiffres. VRAI.Pour le justifier, il faut majorer et minorer ce produit (ou alors le calculer exactementmais nous ne le ferons pas ici).On a 100 000 000 x 1 000 000 < 103 700 002 x 1 002 458 < 104 000 000 x 1 003 000.Ainsi le produit est strictement supérieur à 10 14 , donc il s'écrit avec au moins 15chiffres. De plus, il est inférieur à 104 x 1003 x 10 9 = 104 312 x 10 9 qui comprend luiaussi 15 chiffres. Ce produit s'écrit donc avec exactement 15 chiffres.En lançant simultanément deux pièces de monnaie, correctement équilibrées, on peut affirmer qu'ona une chance sur trois d'obtenir deux piles. FAUX.On a une chance sur deux d'obtenir pile avec une pièce bien équilibrée. Lorsque l'onlance deux pièces simultanément (ce qui revient aussi à lancer une même pièce deuxfois de suite), on obtient les couples suivants de résultats possibles (pièce 1 ; pièce2) :(P ; P), (P ; F), (F ; P) et (F ; F). On a donc une chance sur quatre d'obtenir deux piles.On jette des dés correctement équilibrés et on s'intéresse à la somme des points obtenus. On peutaffirmer qu'on n'a pas la même probabilité d'« obtenir 8 » si on lance deux fois successivement unmême dé que si on lance simultanément les deux dés. FAUX.Si on lance 2 fois successivement le même dé, on construit les couples (dé1 ; dé2) quidonnent la somme de 8, où dé1 est la valeur du dé au 1er jet et dé2 est la valeur du déau 2ème jet.On obtient alors les couples suivants : (2 ; 6) ; (3 ; 5) ; (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2).Si on lance simultanément les deux dés, il faut les discerner afin de ne pas oublier lescouples symétriques pour obtenir des événements équiprobables, par exemple en lesnommant dé1 et dé2. On retrouve alors les mêmes couples que précédemment.Remarque : Le choix du nombre 8 n'a aucune incidence sur l'affirmation !On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On peut affirmer que la chance de n'obtenir ni une dame niun cœur est de 21/32. VRAI.Dans un jeu de 32 cartes, il y a 8 cœurs et 4 dames dont la dame de cœur. Il reste 21cartes qui ne sont ni des cœurs ni des dames. On a donc 21 chances sur 32 de n'obtenirni dame ni cœur en tirant une carte parmi le jeu de 32 cartes.Deux pots de peinture sont posés sur une table : un pot contenant de la peinture bleue et l'autrecontenant de la peinture jaune. On plonge au hasard un pinceau dans l'un des pots et on peint unefeuille de papier. Puis on prend un autre pinceau, que l'on plonge aussi au hasard dans l'un des deuxpots et on recouvre de peinture la feuille précédente qui n'est pas encore sèche. On peut affirmer quel'on a trois chances sur quatre de ne pas obtenir une feuille bleue. VRAI.Les configurations possibles pour les deux couches de peinture sur la feuille sont :(bleue ; bleue), (jaune ; jaune), (bleue ; jaune) et (jaune ; bleue). Il n'y a donc qu'unechance sur quatre d'obtenir une feuille bleue et on a bien trois chances sur quatre dene pas obtenir une feuille bleue.Remarque : Cet énoncé peut être interprété de la même façon que celui du lancer desdeux pièces (n° 48).

COPIRELEM Banque de "Vrai-Faux-Justifier" ¤ Solutions12S_52Pour commercialiser des tomates, une coopérative les calibre en fonction du diamètre. La récolte estcomprise entre 30 000 et 31 000 tomates. On a obtenu lesrelevés suivants :Diamètre (en mm)Effectifs (en milliers)On peut alors affirmer que les trois quarts des tomatesont un diamètre inférieur à 57 mm. FAUX.[48;51[ 8[51 ; 54[ Donnée manquante[54 ; 57[ 10[57 ; 60[ 9II y a entre 9/31 et 9/30 de la récolte qui sont des tomates de diamètre supérieur à 57mm et comme 1/4 est égal à 9/36, on en déduit qu'il y a plus d'un quart de la récolteconstitué de tomates de diamètre 36 supérieur à 57 mm et donc moins des trois quartsde diamètre inférieur à 57 mm.Ou bien : Comme la récolte est comprise entre 30 000 et 31 000, la donnée manquanteest comprise entre 3 et 4 (milliers de tomates). Le nombre de tomates ayant undiamètre inférieur à 57 mm est donc compris entre 21 et 22 (milliers de tomates). Celareprésente donc entre 21/30 et 22/31 de la récolte.Or 3/4 n'appartient pas à cet intervalle (on peut utiliser les écritures à virgule pourcomparer les nombres).