Examen du 31/05/2012 : partie optimisation

Examen du 31/05/2012 : partie optimisationQuestion de coursOn considère le problème suivant :⎧⎨⎩supx 2 + y 2 ≤ 1x ≤ 1dont la solution évidente est 1, atteinteaupoint(1, 0). Peut-onappliquerlethéorèmedeKuhn-Tuckerencepoint ?Exercice 1Dans l’espace vectoriel R 3 ,définissonslesfonctionssuivantes:⎫⎬⎭xf(x, y, z) =2x +3y + z,g 1 (x, y, z) =x + y + z,g 2 (x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 .Le but de cet exercice est de résoudre le problème suivant :⎧⎨⎩infg 1 ≥ 0g 2 ≤ 11. Montrer que le problème admet une solution, et que cet infimum est atteint.2. Montrer qu’en tout point (x, y, z) les contraintes sont régulières.3. À l’aide du théorème de Kuhn-Tucker, écrire le système que vérifie nécessairement un point de minimum.4. Résoudre ce système (on considèrera les différents cas d’activation des contraintes).5. Conclure.Exercice 2On se place dans l’espace vectoriel R n ,avecn ≥ 1. Ondéfinitleproduitscalairededeuxvecteursx et y parla formule :n∑x · y = x i y i ,ainsi que la norme de x par ‖x‖ 2 = x · x. OnnoteenfinS la sphère unité de R n :i=1⎫⎬⎭f.S = {x ∈ R n , ‖x‖ =1}.1

Le but de cet exercice est de prouver le théorème de Cauchy-Schwarz :Théorème 1.De plus, il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.∀(x, y) ∈ (R n ) 2 , |x · y| ≤‖x‖‖y‖ . (1)1. Montrer que, pour montrer l’assertion (1), il suffit de montrer que pour tout v ∈ S,2. Pour v ∈ S fixé, on va donc résoudre le problème d’optimisation (2).sup (u · v) 2 =1 (2)‖u‖ 2 =1(a) Montrer que les fonctions f(u) =(u ·v) 2 et g(u) =‖u‖ 2 sont de classe C 1 ,etcalculerleurgradientpar rapport à u en fonction de u et v.(b) Par un argument de compacité, montrer que le suprémum en (2) est atteint.(c) Montrer que, si u est un point de maximum pour (2), alors il existe λ ∈ R tel que λu =(u · v)v.(d) En déduire la solution du problème (2).3. Montrer qu’il y a égalité dans (1) si et seulement si les deux vecteurssontcolinéaires.Indication :Onpourrautiliserlerésultatdelaquestion2.(c).2