AST1 2010 - mathematiques sujet corrigé rapport - EDHEC Grande ...

Exercice 21) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer, grâce à une intégration par parties, que l'intégrale+∞ ln( x)∫ 1 n dx converge et donner sa valeur en fonction de n.x⎧ f ( x) = 0 si x < 1⎪2) On note f la fonction définie par : ⎨ ln( x)⎪ f ( x) = 9 si x ≥14⎩ xMontrer que f est une densité de probabilité.3) On considère une variable aléatoire réelle X, définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P), etadmettant f comme densité.Utiliser la première question pour montrer que X possède une espérance et une variance, notéesrespectivement E(X) et V(X), et donner leurs valeurs.14) On pose Y = et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi surXl'espace probabilisé (Ω, A, P). Déterminer sans chercher à connaître une densité de Y, les valeurs deE(Y) et V(Y).Exercice 3On considère deux urnes U et V contenant chacune 2 boules. Au départ, l’urne U contient 2 boulesblanches et l’urne V contient 2 boules noires.On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer auhasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l’autre urne (il y a donc échange de 2 boules àchaque tirage).Pour tout entier naturel n, on note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches quecontient l’urne U avant le (n + 1) ème tirage et on a donc X 0 = 2.⎛ P( X n = 0) ⎞⎜ ⎟Pour tout entier naturel n, on pose C n =P( X n = 1).⎜ P( X n = 2) ⎟⎝ ⎠1) On note M la matrice de M 3 (IR) dont l’élément de la (i +1) ème ligne et de la (j +1) ème colonne, pourtout couple (i, j) de {0, 1, 2} × {0, 1, 2}, est égal à P( X = j) ( X n+ 1 = i).⎛0 1/ 4 0⎞⎜ ⎟a) Montrer que M =1 1/ 2 1(on justifiera rapidement les 9 valeurs).⎜0 1/ 4 0⎟⎝ ⎠b) Établir que : ∀n∈IN, C n+1 = M C n . En déduire que : ∀n∈IN, C n = M n C 0 .2) a) Déterminer les valeurs propres de M ainsi que les sous-espaces propres associés.⎛ 1 ⎞⎜ − 0 02⎟⎜ ⎟b) Établir qu’en posant D = ⎜ 0 0 0⎟, il existe une matrice P inversible dont la première ligne⎜ 0 0 1⎟⎜ ⎟⎝ ⎠est constituée de ″1″, et telle que M = PDP –1 . Expliciter la matrice P.c) Pour tout n de IN *, donner, sans la justifier, la relation liant M n et D n .⎛ 1/ 3 ⎞d) Justifier que la dernière colonne de P –1 ⎜ ⎟est−1/ 2. En déduire P –1 C 0 , puis, pour tout n de IN *,⎜ 1/ 6 ⎟⎝ ⎠D n P –1 C 0 , puis M n C 0 . Donner enfin, pour tout n de IN *, la loi de X n .3) Montrer que la suite (X n ) converge en loi vers une variable aléatoire X et donner la loi de X.n2

EDHEC 2010 : concours AST1Corrigé de l’épreuve de mathématiques(12 mars 2010)Exercice 1..................................................................................Partie 1x + 1 11. a) On sait que ~ doncx 0−xlim f (x) = lim 1 1−exp( ) =x→0x→0xlim u e u = 0 (croissancesx u→−∞comparées). On a donc lim f (x) = f (0), ce qui montre que f est continue à gauche en 0.x→0−x→0b) On a :+limx→0lim f (x) = +∞.+1 1 = +∞ et lim exp( ) =xx→0+xlim e u = +∞, donc (sans indétermination) on a :u→−∞f ( x)− f (0) x + 1 1 f ( x)− f (0) 1 12.=2 exp( ) et, avec la même technique : ~ exp( )x − 0 x x x − 0 0 2.x xOn a alors : lim f ( x)− f (0)=−−x→0x − 0lim 1 1exp( ) = lim u 2 e u = 0 (croissances comparées).x→02x x u→−∞Conclusion : f est dérivable à gauche en 0 et f g ’ (0) = 0.3. a) La fonction f est dérivable ailleurs qu’en 0, comme composée, puis produit de fonctionsdérivables sur ] –∞, 0[ et sur ]0, +∞[. Après calculs, on trouve :2x + 1 1∀x ≠ 0, f ’ (x) = –3 exp( ).x xb) En +∞ :En –∞ :limx→+∞limx→−∞x + 1 = 1 etxlim exp( 1 ) = exp(0) = 1 donc :x→+∞xlim f (x) = 1.x→+∞x + 1 = 1 etxlim exp( 1 ) = exp(0) = 1 donc :x→−∞xlim f (x) = 1.x→−∞Le tableau de variation de f est donc celui-ci :x –∞ –1 –1/2 0 u n +∞f ’(x) – 0 + 0 –10 +∞f (x) 0n–e –2 11

Partie 211. Sur ]–∞, 0[ la fonction f prend ses valeurs dans [–e 2, 1[, intervalle qui ne contient pas lesentiers naturels supérieurs ou égaux à 2, ce qui rend impossible l’égalité f (u n ) = n pour tout entiernaturel n supérieur ou égal à 2.En revanche, sur ]0, +∞[, la fonction f est continue et strictement décroissante, elle réalise donc unebijection de [0, +∞[ sur ]1, +∞[. Comme tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 appartient àl’intervalle image, on peut affirmer qu’il existe un unique réel strictement positif, noté u n , etvérifiant f (u n ) = n.ln(x)2. a) Pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on pose : h(x) = 1 + – x .21− xLa fonction h est dérivable (fonctions usuelles) et : ∀x ≥ 1, h’ (x) = ≤ 0.2xLa fonction h est donc décroissante sur [1, +∞[ et, comme h(1) = 0, on peut conclure :∀x ≥ 1, h (x) ≤ 0.ln(x)Ceci veut bien dire que, pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : 1 + ≤ x .2⎛ ⎞b) Après calculs, on obtient : ∀n ≥ 2, f ⎜1⎟⎝ ln( n)⎠= n( ln( n ))⎛ ln( n)⎞1+ = n ⎜ 1+ ⎟ .⎝ 2 ⎠⎛ ⎞D’après la question précédente, on en déduit ( n ≥ 0 ) : ∀n ≥ 2, f ⎜1⎟ ≤ n n⎝ ln( n)⎠⎛ ⎞On a bien : ∀n ≥ 2, f ⎜1⎟ ≤ n.⎝ ln( n)⎠⎛ ⎞c) On a : f (u n ) ≥ f ⎜1⎟ et, par décroissance de f sur l’intervalle ]0, +∞[, on en déduit :⎝ ln( n)⎠1∀n ≥ 2, u n ≤ln( n ).1Comme, de plus, (u n ) est une suite de réels positifs, on a : ∀n ≥ 2, 0 ≤ u n ≤ln( n ).Comme lim 1n→+∞ln( n )= 0, on a, par encadrement : lim u n = 0.n→+∞3. En revenant à la définition de u n , on a f (u n ) = n, ce qui s’écrit :u ⎛n+ 1⎜ 1expu ⎜n ⎝ un⎛ ⎞En multipliant des deux côtés par u n , on trouve : ⎜ 1( u⎟n+ 1)exp = n u⎜ ⎟ n .⎝ un⎠⎞⎟⎟⎠= n.2

Commelimn→+∞lim u n = 0 + (la suite (u n ) est positive et tend vers 0), alorsn→+∞⎛⎟ ⎟ ⎞⎜ 1exp = +∞. On a effectivement :⎜⎝ u n ⎠lim n u n = +∞.n→+∞lim (1 + u n) = 1 et, de plusn→+∞Exercice 2..................................................................................ln(x)1. Notons tout d’abord que la fonction x ֏ est continue sur [1, +∞[ comme quotient denxfonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.Pour tout réel A supérieur ou égal à 1, on réalise une intégration par parties sur l’intégrale définie IA ln( x)1(A) = ∫ dx , en posant u(x) = ln(x) et v’ (x) =1 nn .xx1 −1On a alors u’ (x) = et on peut choisir v(x) = .xn−1( n −1)x⎡ALes fonctions u et v sont de classe C 1 − ln( x)⎤ 1 Aet on peut écrire : I (A) = ⎢n 1⎥ +− ∫ dx .⎢⎣( n −1)x ⎥⎦1 n −111nx− ln( A)1 ⎡A−1⎤ − ln( A)1 ⎛On a donc : I (A) =+n−1⎢n 1⎥ =+−n−1( n −1)A n −1⎢⎣( n −1)x ⎥⎦1 ( n −1)A n −1⎟ ⎞⎜−11+n−1⎝ ( n −1)A n −1⎠Comme n ≥ 2, on a : lim 1= 0 etA→+∞n−1Alim ln( A )A→+∞n−1= 0 (par croissances comparées), on en déduit :Alim I 1x(A) = . Ceci prouve que l’intégraleA→+∞2∫ + ∞ ln( )1dx converge et vaut .n( n −1)12x( n −1)2. On note f la fonction définie par :La fonction f est positive (nulle sur ]–∞, 1[ et positive sur [1, +∞[, puisque pour x ≥ 1, ln(x) ≥ 0).La fonction f est continue (nulle sur ]–∞, 1[ et quotient, dont le dénominateur ne s’annule pas, defonctions continues sur [1, +∞[).xD’après la première question, l’intégrale ∫ + ∞ ln( )19 dx converge et vaut 9 × = 1, ce qui1 42x(4 −1)signifie que l’intégrale∫ + ∞1f ( x)dx est convergente de valeur 1.Comme f est nulle sur ]–∞, 1[, l’intégrale ∫ ∞ −1conclut : ∫ + ∞f ( x)dx = 1.−∞En conclusion, f est une densité de probabilité.3. Comme f est nulle sur ]–∞, 1[, l’intégrale ∫ ∞ −13f ( x)dx = 0. Par la relation de Chasles, on enx f ( x)dx = 0.Par ailleurs, pour tout réel x supérieur ou égal à1, on a x f (x) =égal à 2, l’intégraleln( x)1 99 dx converge et vaut 9 × =2 .x(3 −1)4∫ + ∞1 3ln( x )9 . Comme 3 est supérieur oux3

P XX( = 1)(n+ 1=n0)=41 .pour qu’il y en ait une au coup suivant, il faut piocher cette boule (une chance sur deux) etl’échanger contre une boule blanche de V (une chance sur deux) ou bien piocher la boule noire de U(une chance sur deux)et l’échanger contre une boule noire de V (une chance sur deux) et on a :1 1 1P XX 0) = + = .( = 1)(n+ 1=n4 4 2pour qu’il y en ait deux au coup suivant, il faut piocher la boule noire de U (une chance sur deux) etl’échanger contre une boule blanche de V (une chance sur deux) et on a :P XX( = 1)(n+ 1=n0)=41 .En regroupant, comme l’indique l’énoncé, sous forme de tableau matriciel, on a bien :⎛ 0 1/ 4 0⎞⎜ ⎟M = ⎜11/ 2 1⎟.⎜⎟⎝ 0 1/ 4 0⎠b) En écrivant la formule des probabilités totales associée au système complet d’événements{ (X n = 0), (X n = 1), (X n = 2) }, on obtient : P(X n+1 =0) = ∑ P( X n= i)( Xn+1= 0) P(Xn= i).En remplaçant par les valeurs trouvées à la question 1a) ,ceci s’écrit :P(X n+1 =0) = 0 P(X n = 0) +41 P(Xn = 1) + 0 P(X n = 2).De la même façon, on a aussi :P(X n+1 =0) = 1 P(X n = 0) +21 P(Xn = 1) + 1 P(X n = 2).P(X n+1 =0) = 0 P(X n = 0) +41 P(Xn = 1) + 0 P(X n = 2).En écrivant matriciellement les trois égalités précédentes, on a bien : ∀n∈IN, C n+1 = M C n .Par récurrence.• M 0 C 0 = I C 0 = C 0 .• Si l’on suppose pour un entier naturel n que C n = M n C 0 , alors C n+1 = M C n = M M n C 0 = M n+1 C 0 .• On a bien montré que : ∀n∈IN, C n = M n C 0 .2. a) Par la méthode du pivot de Gauss, on obtient une réduite de la matrice M – λI qui est :⎛ 1⎞⎜1− λ 1 ⎟⎜ 2⎟⎜ 2 λ 1⎟⎜0 − λ + + λ⎟⎜2 4⎟2⎜λ 10 0 λ(λ − − )⎟⎝2 2 ⎠Les valeurs propres de M sont les réels λ qui rendent cette matrice non inversible et ce sont :λ 1 = –21 , λ2 = 0 et λ 3 = 1.2i=05

⎛ x ⎞ ⎧x+ y + z = 0⎜ ⎟ ⎪• Le système MX = λ 1 X, avec X = ⎜ y ⎟⎪⎧x = zéquivaut à ⎨ y = −2z, soit ⎨ . On a donc :⎜⎟ ⎪⎪⎩ y = −2 z⎝ z ⎠ ⎩ 0z= 0⎛ z ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟1⎜ ⎟X = ⎜ − 2 z ⎟ = z ⎜ − 2⎟. Le sous-espace propre associé à la valeur propre – est E1= vect( ⎜ − 2⎟).⎜⎟⎝ z⎜⎟2 −2⎠ ⎝ 1⎜⎟⎠⎝ 1 ⎠⎛ x ⎞ ⎧2x+ y + 2z= 0⎜ ⎟ ⎪• Le système MX = λ 2 X, avec X = ⎜ y ⎟⎪⎧z = −xéquivaut à ⎨ y = 0 , soit ⎨ . On a donc :⎜⎟ ⎪⎪⎩ y = 0⎝ z ⎠ ⎩ 0z= 0⎛ x ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟X = ⎜ 0 ⎟ = x ⎜ 0 ⎟ . Le sous-espace propre associé à la valeur propre 0 est E 0 = vect( ⎜ 0 ⎟ ).⎜⎟⎝ − x⎜⎟⎠ ⎝ −1⎜⎟⎠⎝ −1⎠⎛ x ⎞ ⎧2x− y + 2z= 0⎜ ⎟ ⎪• Le système MX = λ 3 X, avec X = ⎜ y ⎟⎪⎧x = zéquivaut à ⎨ y = 4z, soit ⎨ . On a donc :⎜⎟ ⎪⎪⎩ y = 4 z⎝ z ⎠ ⎩ 0z= 0⎛ z ⎞ ⎛1⎞⎛1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟X = ⎜ 4 z ⎟ = z ⎜ 4⎟. Le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est E 1 = vect( ⎜ 4⎟).⎜⎟⎝ z⎜⎟⎠ ⎝1⎜⎟⎠⎝1⎠b) La matrice M est une matrice de M 3 (IR) qui possède trois valeurs propres distinctes deux àdeux, elle est donc diagonalisable (condition suffisante). Ainsi il existe une matrice D diagonaledont les éléments diagonaux sont les valeurs propres de M et une matrice P inversible dont lescolonnes sont les vecteurs de base des sous-espaces propres de M, telles que M = PDP –1 .⎛ 1 ⎞⎜ − 0 0⎟⎛ 1 1 1⎞⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟On peut choisir par exemple D = ⎜ 0 0 0⎟et P = ⎜ − 2 0 4⎟.⎜ ⎟⎜ 0 0 1⎜⎟⎟ ⎝ 1 −11⎠⎝ ⎠c) Pour tout n de IN *, on a : M n = PD n P –1 .d) Si l’on note K la colonne⎛ 1/ 3 ⎞⎜ ⎟⎜ −1/2⎟donnée par l ‘énoncé, on a :⎜⎟⎝ 1/ 6 ⎠6

PK =⎛ 1⎜⎜ − 2⎜⎝ 110−11⎞⎛ 1/ 3 ⎞⎟ ⎜ ⎟4⎟⎜ −1/2⎟=⎟1⎜⎟⎠ ⎝ 1/ 6 ⎠⎛1/ 3 −1/2 + 1/ 6⎞⎜⎟⎜ − 2 / 3 + 4 / 6 ⎟ =⎜⎟⎝1/ 3 + 1/ 2 + 1/ 6⎠⎛ 0⎞⎜ ⎟⎜ 0⎟. Cette colonne étant la dernière colonne de⎜⎟⎝1⎠⎛ 1/ 3 ⎞⎜ ⎟la matrice I, ceci confirme que la dernière colonne de P –1 est bien ⎜ −1/2⎟.⎜⎟⎝ 1/ 6 ⎠⎛ P(X ⎞⎜0= 0) ⎛ 0⎞⎟ ⎜ ⎟Comme X 0 est la variable aléatoire certaine égale à 2, on a C 0 = ⎜ P(X = 1) ⎟0= ⎜ 0⎟.⎜ ⎟⎝ P(X0= 2)⎜⎟⎠ ⎝1⎠⎛×× 1/ 3 ⎞ ⎛ 0⎞⎛ 1/ 3 ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟P –1 C 0 = ⎜×× −1/2⎟⎜ 0⎟= ⎜ −1/2⎟⎜⎟⎝×× 1/ 6⎜⎟⎠ ⎝1⎜⎟⎠ ⎝ 1/ 6 ⎠⎛⎞⎜⎛ ⎞⎜1 n ⎛ n ⎞− ⎟ 0 0⎟ ⎜ 1 ⎛ 1 ⎞⎜⎟ ⎛ 1/ 3 ⎞ ⎜ − ⎟⎟⎝ 2 ⎠ ⎜⎜ 3 ⎝ 2 ⎠⎟Pour tout n de IN *, D n P –1 ⎜⎟C 0 =⎜0 0 0 ⎜⎜ ⎟⎟−1/2⎜ 0 0 1⎟⎜⎜⎟⎟ ⎟⎟⎟ =⎜0⎟.⎝ 1/ 6 ⎠ ⎜ 1 ⎟⎜ 6⎟⎝⎠ ⎝ ⎠⎛n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ 1⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ − ⎟ +⎟⎛ 1 1 1⎞⎜ −⎟ ⎜⎟ 3 ⎝ 2 ⎠ 6 ⎟⎜ ⎟⎜ 3 ⎝ 2 ⎟ ⎜⎠n ⎟Pour finir, M n C 0 = PD n P –1 C 0 = ⎜ − 2 0 4⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎟⎜⎟⎜0⎟= ⎜ − ⎜ − ⎟ + ⎟ .⎝ 1 −11 ⎜ 1 ⎟ ⎜3 ⎝ 2 ⎠ 3⎟⎠n⎜ 6⎟ ⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎜ − ⎟ + ⎟3⎝⎝ 2 ⎠ 6⎠La loi de X n est donc donnée par :∀n ∈ IN *, P(X n = 0) = P(X n = 2) =1 1 ⎛ 1 ⎞ + ⎜ − ⎟6 3 ⎝ 2 ⎠nn, P(X n = 1) =2 2 ⎛ 1 ⎞ − ⎜ − ⎟3 3 ⎝ 2 ⎠13. Comme − ∈ ]–1, 1[, alors2lim ⎛ 1 ⎞⎜ − ⎟ = 0.n→+∞⎝ 2 ⎠On peut donc conclure que la suite (X n ) converge en loi vers une variable aléatoire X dont la loi estdonnée par : P(X = 0) = P(X = 2) =61 et P(X = 1) =32 .n7

Concours EDHEC 12 Avril 2010Admission sur Titres 1 ère annéeRAPPORT DE CORRECTIONMATHEMATIQUESPrésentation de l'épreuve :• L'épreuve comportait trois exercices ce qui permettait de juger les candidats sur la totalité duprogramme de l’épreuve. Les correcteurs ont trouvé le sujet abordable, adapté et sélectif. Ilsconstatent cette année qu’un plus grand nombre de candidats soient mieux préparés en probabilités(la formule des probabilités totales semble connue et maîtrisée par de nombreux candidats).1+x 1• L'exercice 1 proposait l’étude de la fonction f définie par : f (x) = exp( ) si x ≠ 0 et f (0) = 0.x x• L'exercice 2, portant sur le programme de probabilités, proposait l’étude d’une variable à densitéX, puis du calcul de l’espérance et de la variance de la variable 1/X par transfert.• L'exercice 3 portant à la fois sur le programme d’algèbre et sur le programme de probabilités sefixait pour but l’étude d’une suite (X n ) de variables aléatoires discrètes (chaîne de Markov), puis desa convergence en loi.Moyenne :Pour les 726 candidats ayant composé, la moyenne obtenue à cette épreuve est de 10,75 sur 20.Analyse des copies :Les correcteurs constatent une fois encore que le niveau est très hétérogène, ceci étant, bien sûr, dûaux origines scolaires et universitaires diverses des candidats. La moyenne, bien meilleure que cellede l’année dernière, malgré un nombre plus élevé de candidats, semble montrer que ceux qui seprésentent connaissent les difficultés, mais aussi l’enjeu d’un tel concours.Cette année encore, les candidats semblent avoir quelques problèmes à régler avec certains conceptsd’analyse (calcul de limites par exemples). En revanche, les probabilités et l’algèbre ont étéabordées avec plus de bonheur que par le passé.Conclusion :Le niveau global des candidats est, dans l’ensemble, correct et il semble que le nombre descandidats très faibles soit cette année, en forte diminution, ce qui est bon signe pour les années àvenir.La présentation est, pour la plupart des copies, soignée et honnête et les candidats rédigentproprement, à quelques rares exceptions près.Nous conseillons comme d’habitude aux futurs candidats de se préparer d’une façon plus complète,en essayant de ne négliger aucun des points du programme.