Vibration libre des plaques composites stratifiées ... - Polytech'Savoie

Vibration libre des plaques compositesstratifiées avec un coefficient de Poissonnégatif à travers l’épaisseur RÉSUMÉ. Dans cet article, une analyse en éléments finis utilisant le code ANSYS, estemployée pour prédire le comportement auxétique (coefficient de Poisson négatif à traversl’épaisseur) des stratifiés symétriques [±θ] S . Le matériau carbone/époxyde GY70/934compose les plis des stratifiés. Une étude numérique sera également menée du comportementvibratoire libre des plaques stratifiées. L’analyse porte sur la variation de la fréquencefondamentale en fonction de l’angle d’orientation des fibres, du rapport largeur-surépaisseuret des conditions de support de la plaque. On examinera l’influence du caractèreauxétique, qui peut être obtenu en contrôlant les séquences d’empilement, sur les fréquencesde vibration des plaques stratifiées.ABSTRACT. In this article, a finite element analysis, using ANSYS, is used in order topredict the auxetic behavior (negative through-the-thickness Poisson’s ratio) for symmetricangle-ply laminates [±θ]S composed of graphite/epoxy GY70/934 material. A numerical studyis also presented for free vibration of the previously laminate. The analysis concerns thevariation of the fundamental frequency with fibre orientation angle, width-to-thickness ratioand edge conditions of the plate. We examine the influence of auxetic behavior which can beobtained by control of the stacking sequence on the vibration frequencies of the laminatedplates.MOTS-CLÉS : Auxétique, Analyse MEF, Stratifié, Vibration libre.KEY WORDS: Auxetic, Finite element analysis, Free vibration, Laminates.

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 21. IntroductionDans un test de traction simple, le coefficient de Poisson est défini comme étantle quotient de la déformation latérale et de la déformation axiale. Dans la plupart descas le coefficient de Poisson dénoté ν est positif, les matériaux subissent unecontraction dans la direction perpendiculaire au sens de l’effort appliqué. Dans le cascontraire, un matériau avec un coefficient de Poisson négatif gonfle latéralementquand il est étiré conduisant à une augmentation de son volume. Evans [EVA 91] aété le premier à définir de tels matériaux par auxétiques. Ce terme vient du mot grec« auxetos » qui signifie « qui peut subir une augmentation ».Les matériaux auxétiques se regroupent pour l’instant en trois catégories : lescristaux (par exemple les zéolithes) qui manifestent des proprié tés auxétiques àl’échelle microscopique, certains mousses de polymère (par exemple le TéflonPTFE) et les composites stratifiés à fibres haute résistance HR présentant un fortdegré d’anisotropie dans les couches continues (par exemple les composites enstratifiés carbone/époxyde). Plusieurs cas de valeurs de coefficient de Poissonnégatif ont été trouvés dans l’analyse des composites à fibres unidirectionnellesanisotropes. Dans certains stratifiés, il est possible de trouver, par la théorieclassique des stratifiés, un coefficient de Poisson négatif de -0.21 pour le matériaucarbone/époxyde T300/5208 dans la direction perpendiculaire aux couches encontrôlant les séquences d’empilement [HER 84]. Dans d’autres, on peut trouver uncoefficient de Poisson négatif suivant certaines directions dans le plan du stratifié etcela aussi par le contrôle des séquences d’empilement [TSA 80], [MIK 89]. Dansces composites, la valeur négative du coefficient de Poisson dépend du degréd’anisotropie et des orientations des fibres des plis utilisés pour le stratifié.Le comportement auxétique de ces matériaux présente des avantages par rapportau comportement conventionnel des matériaux avec un coefficient de Poissonpositif, par exemple, l’augmentation de la rigidité au cisaillement, la dureté et larésistance à l’indentation [ALD 95]. Il existe des signes qui montrent que lesmatériaux auxétiques peuvent avoir des avantages dans le domaine del’amortissement et l’absorption des chocs [SCA 05]. D’autres applicationspotentielles où les matériaux avec un coefficient de Poisson négatif seraientintéressants. Par exemple, les mousses faites d’un tel matériau se plieraient plusfacilement de sorte qu’elles se prêteraient beaucoup mieux à la fabrication de coquessandwiches en forme de dôme ou de coiffe convexe [LAK 93]. L’utilisation de cesmatériaux serait également favorable dans certains cas pour réduire les facteurs deconcentration de contraintes dans le voisinage des trous ou des fissures. Scarpa etTomlinson [SCA 00] ont étudié l’effet des caractéristiques théoriques de la vibrationdes panneaux sandwiches en nids d’abeilles avec des valeurs du coefficient dePoisson négatifs dans le plan.Dans cet article, des simulations numériques avec le logiciel d’éléments finisANSYS sont utilisées pour prédire le comportement auxétique (coefficient de

Vibration des stratifiés auxétiques. 3Poisson négatif à travers l’épaisseur) des stratifiés symétriques [±θ] s à fibresunidirectionnelles Prepreg du matériau carbone/époxyde GY70/934 du fabricantCytec Engineered Materials, les résultats numériques seront comparés à ceux donnésanalytiquement par la théorie classique des stratifiés. Ensuite, on présentera uneanalyse numérique du comportement vibratoire libre de plaques stratifiéssymétriques, une comparaison sera faite entre les fréquences propres du stratifié(GY70/934) qui peut avoir, selon l’orientation des angles des fibres, uncomportement auxétique et un autre conventionnel. La comparaison des fréquencesse fera pour deux valeurs différentes de l’angle d’orientation des fibres quidonneront la même valeur du coefficient de Poisson mais avec des signes opposés.2. Coefficient de Poisson ν xz d’un stratifié2.1. Formulation analytiqueLe coefficient de Poisson à travers l’épaisseur ν xz peut être évalué en utilisant unecombinaison de la théorie des stratifiés et les équations constitutives en 3D. Onconsidère un stratifié symétrique soumis à un effort axial Nx. Les déformationsmembranaires sont dans ce caskQij1x A11 A12 A16 Nx yA12 A22 A 26 0 où xyA16 A26 A 660 AijN Q t[1]sont les composantes de rigidité réduites, t k épaisseur de la couche k et N lenombre de plis. Le coefficient de Poisson est défini par xz z / x , où ladéformation ε z est égale au déplacement total w divisé par l’épaisseur 2h du stratifié.Le déplacement total w peut être écritk 1k kijhNk k z z[2]hk1w dz tkoù z est la déformation constante dans la couche k. Cette déformation peut êtredéterminée en utilisant les équations constitutives tridimensionnelles pour unecouche monoclinique en dehors de ses axes principauxk k k k k k k S S S [3]z 31 x 32 y 36 xykoù Sijsont les constantes de souplesse de la couche k. Les contraintes dans chaquecouche peuvent être déterminées à partir des équations constitutives en deuxdimensions et l’inverse de A ij par

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 4kk1 xQ11 Q12 Q 16A 11 1y 12 22 26 12 1 xyQ16 Q26 Q 66A 16 Q Q Q A NkLe remplacement de l’Eq. [4] dans l’Eq. [3] donne z dans chaque couche enfonction des propriétés du stratifié et l’effort axial appliqué.k 111 k k k k k kz N x A S31Q11 S32Q12 S36Q16112 A S Q S Q S Qk k k k k k31 12 32 22 36 26 A S Q S Q S Q1k k k k k16 31 16 32 26 36 66A partir des Eq. [2] et Eq. [5], on peut tirer le déplacement total w et sa divisionpar la déformation axiale ε x et la hauteur du stratifié 2h donne l’expression ducoefficient de Poisson à travers l’épaisseur 1 1 1 1xz A 1 11F1 A 12F2 A 16F 62hA [6]11Nk k k k k k k1 S31 11 S32 12 S36 16 k 1Nk k k k k k k2 31 12 32 22 36 26 k 1Nk k k k k k6 31 1632 2636 66 k 1F Q Q Q tAvec : F S Q S Q S Q tF S Q S Q S Q tx[4][5][7]0,60,40,2 xz0,0-0,215 30 45 60 75 90angle -0,4-0,6-0,8Figure 1. Variation du coefficient de Poisson ν xzd’orientation des fibres.en fonction de l’angle

Vibration des stratifiés auxétiques. 5Le résultat d’une étude faite pour un stratifié symétrique [±θ] s constitué dumatériau GY70/934 est montré dans la Figure 1, elle présente la variation ducoefficient de Poisson ν xz en fonction des angles d’orientation des fibres. Lescaractéristiques du matériau sont E 1 = 294 GPa, E 2 = E 3 = 6.4 GPa, G 12 = G 13 = 4.9GPa, G 23 = 2.7 GPa, ν 12 = ν 13 = 0.23 et ν 23 = 0.4. On note que la valeur maximalenégative de ν xz (– 0.712) est atteinte pour θ = 20°.2.2. Simulation numériqueUne étude numérique, utilisant ANSYS, a été conduite pour confirmer lesrésultats analytiques trouvés. Pour cela, on a réalisé un test de traction unitaire sur unstratifié [±θ] 4S présentant les mêmes caractéristiques utilisés pour la formulationanalytique. Le quart de la plaque (50x25x8) mm a été modélisé avec (6x6) 36éléments SOLID46 destinés aux multicouches et qui sont des éléments de volume de8 nœuds par élément et avec 3 degrés de liberté u x , u y et u z pour chaque nœud. Lasimulation a été faite pour θ = 35° et θ = 58° qui conduisent pour l’étude analytiqueà ν xz = -0.246 et ν xz = +0.253 respectivement, c’est-à-dire deux valeurs de ν xz presqueidentiques mais de signes opposés.Tableau 1. Valeurs du coefficient de Poisson, test de tension.Stratifié [±35°] 4s [±43.15°] 4s [±58°] 4sε z +0.6370 E-5 -0.1990 E-7 - 0.2540 E-4ε x +0.2588 E-4 +0.4820 E-4 +0.1005 E-3ν xz - 0.246 ≈ 0.000 +0.253Les résultats numériques de cette étude montrés dans le tableau 1 confirmentexactement les valeurs du coefficient de Poisson ν xz et mettent en évidence uncomportement auxétique du stratifié pour θ = 35° (augmentation de l’ épaisseur dustratifié) et un comportement conventionnel pour θ = 58° (diminution de l’épaisseurdu stratifié), on remarque pour le stratifié [±43.15°] 4S , qui possède un coefficient dePoisson nul, que l’épaisseur de la plaque reste constante après déformation.La même simulation numérique a été faite pour le cas de la compression, lesrésultats présentés dans le tableau 2 montrent, également, le caractère auxétique pourθ = 35° (c’est-à-dire diminution de l’épaisseur) et un caractère conventionnel pour θ= 58° (augmentation de l’épaisseur du stratifié).Tableau 2. Valeurs des déformations ε z et ε x , test de compression.Stratifié [±35°] 4s [±58°] 4sε z - 0.6370 E-5 +0.2540 E-4ε x - 0.2588 E-4 - 0.1005 E-3

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 63. Vibration libre de plaques stratifiées symétriques3.1. Equations gouvernantesLes stratifiés symétriques [±θ] ns sont caractérisés par un couplage flexion-torsionoù les coefficients de rigidité de flexion D 16 et D 26 ne sont pas nuls. Pour cesstratifiés, il n’existe pas de solutions exactes des problèmes de vibration libre. Desméthodes d’approximation doivent être utilisées pour trouver des résultats. Parmi cesméthodes celle de Ritz est la plus utilisée. La considération du maximum del’énergie potentielle et celui de l’énergie cinétique nous permet d’obtenir lesexpressions suivantes [BER 99] pour une plaque rectangulaire de cotés a et ba b1 w w w w Umax D11 2D 2 12D2 2 22 22 x0 y 0 x x y y222 2 222 2 2 22 w w w w 4 D16 D2 264D 2 66 dxdy xy xy xy a b1Tmaxw x y dxdy22 2 , [9]x0 y0La solution approchée est recherchée sous la forme d’une double série, Whitneyet Leissa [WHI 69]w( x,)()() y M N Amn X m x Yny [10]m1 n1les fonctions Xm() x et Yn() y doivent vérifier les conditions aux frontières. Lescoefficients A mn sont déterminés par les conditions de stationnaritéU maxTmax 0 m 1,2,.., M , n 1,2,.., N[11]AmnLes conditions de stationnarité nous conduisent à un système d’équations (MxN)homogènes. Une solution non nulle est obtenue lorsque le déterminant du systèmeest nul et fournissant ainsi les fréquences propres ω mn de vibration de la plaque.Leissa et Narita [LEI 89] ont étudié des plaques stratifiées symétriques simplementappuyées en utilisant des fonctions trigonométriques dans la méthode de RitzM N mx ny w( x,) y Amnsin sin [12]m1 n1 a b Jensen et al [JEN 84] ont utilisé des fonctions poutres développées pour une plaqueencastréem x m x m x mx Xm() x cos cosh msin sinha a a a[13]n y n y n y ny Yn() y cos cosh nsin sinhb b b b[8]

Vibration des stratifiés auxétiques. 73.2. Résultats numériquesDeux études de comparaison ont été faites afin de vérifier la précision du logicielANSYS pour les problèmes vibratoires. L’élément coque SHELL99 pour lesmulticouches a été employé, cet élément a 8 nœuds et 6 degrés de liberté par nœud,il utilise la théorie classique des stratifiés avec prise en compte du cisaillementtransverse.3.2.1. Vibration d’une plaque stratifiée symétrique encastréeLa vibration libre d’une plaque carrée en stratifié symétrique [θ/–θ] S est étudiéepour différents angles d’orientation des fibres θ = 15°, θ = 30° et θ = 45°. Lespropriétés du matériau des quatre couches sont E 1 /E 2 = 25, G 12 /E 2 = 0.5, G 23 /E 2 = 0.2et ν 12 = 0.25. Le tableau 3 montre les valeurs adimensionnelles des quatre premièresfréquences propres de vibration. Ces résultats sont comparés à ceux donnés par Shiet al [SHI 04].3.2.2. Vibration d’une plaque stratifiée symétrique simplement appuyéeLa vibration libre d’une plaque carrée en stratifié symétrique de quatre couches[θ/–θ] s avec des angles d’orientation des fibres variant de 0° à 45° a été analysée. Lespropriétés du matériau de ces couches sont E 1 /E 2 = 25, G 12 /E 2 = 0.5, G 23 /E 2 = 0.2 etν 12 = 0.25. Les fréquences propres fondamentales adimensionnelles ont été obtenuespour les cas a/h = 100 et a/h = 10 et comparées à celles données par Latheswary[LAT 04], on peut remarquer qu’ils sont presque identiques. Les résultats sontmontrés dans le tableau 4.Tableau 3. Fréquences propres d’une plaque stratifiée encastrée, a/h = 100, a / E h .2 22θ° Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4[SHI 04] 15° 32.49 40.65 55.94 78.29ANSYS 15° 31.88 39.55 54.10 75.13[SHI 04] 30° 30.78 46.85 70.45 73.99ANSYS 30° 30.09 45.48 68.21 72.06[SHI 04] 45° 30.01 53.07 66.03 80.99ANSYS 45° 29.28 51.64 64.11 78.61

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 8Tableau 4. Fréquences propres d’une plaque stratifiée simplement appuyé, a / E h .2 22θ° 0° 15° 30° 45°a/h = 100 [LAT 04] 15.15 15.80 17.40 18.10ANSYS 15.15 15.82 17.35 18.15a/h = 10 [LAT 04] 12.50 12.85 13.60 13.95ANSYS 12.50 12.94 13.84 14.263.3. Vibration de plaques stratifiées auxétiquesLe comportement vibratoire de plaques carrées en stratifiés symétrique [θ/–θ] Sprésentant un comportement auxétique est étudié par ANSYS. Le matériaucomposant les plis du stratifié est un carbone/époxyde GY70/934 étudiéprécédemment et qui a montré un comportement auxétique, ν xz négatif, pour desangles d’orientation des fibres variant de 7° à 42°. L’étude concerne la variation desfréquences fondamentales propres en fonction des angles d’orientation des fibres etspécialement les angles θ = 35° et θ = 58° qui correspondent à un comportementauxétique, ν xz = - 0.246, et un comportement conventionnel, ν xz = +0.253, du stratifiérespectivement. L’analyse porte sur le cas de plaques simplement appuyées SSSS etde plaques encastrées EEEE avec des rapports largeur-sur-épaisseur de 10 et de 100.Les résultats de cette étude sont montrés sur les figures 2 et 3, et sont exprimés2 2sous forme adimensionnelle a / E h .224Fréquence fondamentale 23222120191817a/h = 100a/h = 10160 15 30 45 60 75 90Angle d'orientation des fibres ()Figure 2. Variation de la fréquence fondamentale en fonction de l’orientationdes fibres des stratifiés [θ/–θ] S (plaques SSSS).

Vibration des stratifiés auxétiques. 945Fréquence fondamentale 40353025a/h = 10a/h = 100200 15 30 45 60 75 90Angle d'orientation des fibres ()Figure 3. Variation de la fréquence fondamentale en fonction de l’orientationdes fibres des stratifiés [θ/–θ] S (plaques EEEE).Pour les plaques simplement appuyées, la variation de l’angle d’orientation desfibres de 0° à 45° implique une augmentation de la fréquence fondamentale dans lesdeux cas, plaques minces (a/h = 100) et plaques épaisses (a/h = 10). Cependant, pourles plaques encastrées, on remarque une diminution de la fréquence fondamentalepour le cas de plaques minces et des valeurs pratiquement constantes pour le cas desplaques épaisses. On peut voir aussi que pour les angles d’orientation des fibres quicorrespondent aux comportements auxétique et conventionnel, la variation de lafréquence fondamentale suit la logique de symétrie du stratifié.4. ConclusionUne simulation numérique du comportement auxétique, coefficient de Poissonnégatif à travers l’épaisseur, pour le composite stratifié symétrique à fibresunidirectionnelles prepreg du matériau carbone/époxyde GY70/934 a été présentée.Les résultats trouvés mettent en évidence le caractère auxétique du matériau pour lesséquences d’empilement variant de 7° à 42° et sont en accord avec ceux donnésanalytiquement par la théorie classique des stratifiés. Une approche en éléments finisa été utilisée, aussi, pour étudier la vibration libre du même stratifié symétrique, il aété trouvé, pour les plaques simplement appuyées, que la fréquence fondamentaleaugmente avec l’augmentation du rapport largeur-sur-épaisseur, le degréd’anisotropie et l’angle d’orientation des fibres pour l’intervalle 0°-45°. On constate,pour les plaques encastrées, une légère diminution de la fréquence propre desstratifiés minces et des valeurs presque constantes des stratifiés épais. Cependantpour les angles 35° et 58° qui correspondent à la même valeur du coefficient dePoisson mais avec des signes opposés, la variation de la fréquence fondamentale estconforme à l’évolution dictée par les conditions de symétrie du stratifié.

XXX e Rencontres AUGC-IBPSA Chambéry, Savoie, 6 au 8 juin 2012 105. Bibliographie[ALD 95] ALDERSON A., EVANS K. E., « Microstructural modeling of auxetic microporouspolymers », Journal of Materials Science, vol. 30, n° 13, 1995, p. 3319-3332.[BER 99] BERTHELOT J.-M., Matériaux composites, Comportement mécanique et analyse desStructures, Techniques et Documentation, 1999.[EVA 91] EVANS K. E., NKANSAH M. A., HUTCHINSON I. J., ROGERS S. C., « Molecularnetwork design », Nature, vol. 353, 1991, p. 124.[HER 84] HERAKOVICH C. T., « composite laminates with negative through-the-thicknessPoisson’s ratio », Journal of Composite Materials, vol. 18, n° 5, 1984, p. 447-455.[JEN 84] JENSEN D. W., CRAWLEY E. F., « Frequency determination techniques forcantilevered plates with bending-torsion coupling », AIAA Journal, vol. 22, n° 3, 1984, p.415-420.[LAK 93] LAKES R. S., ELMS K., « Indentability of conventional and negative Poisson’s ratiofoams », Journal of Composite Materials, vol. 27, n° 12, 1993, p. 1193-1202.[LAT 04] LATHESWARY S., VALSARAJAN K. V., RAO Y. V. K. S., « Free vibration analysis oflaminated plates using higher-order shear deformation theory », Institution of EngineersJournal-AS, vol. 85, 050403, 2004.[LEI 89] LEISSA A. W., NARITA Y., « Vibration studies for simply supported symmetricallylaminated rectangular plates », Composite Structures, vol. 12, n° 2, 1989, p. 113-132.[MIK 89] MIKI M., MOROTSU Y., « The peculiar behavior of the Poisson’s ratio of laminatedfibrous composites », JSME International Journal, vol. 32, 1989, p. 67-72.[SCA 00] SCARPA F., TOMLINSON G., « Theoretical characteristics of the vibration ofsandwich plates with in-plane negative Poisson’s ratio values », Journal of Sound andVibration, vol. 230, n° 1, 2000, p. 45-67.[SCA 05] SCARPA F., PASTORINO P., GARELLI A., PATSIAS S., RUZZENE M., « Auxeticcompliant flexible PU foams: static and dynamic properties », Physica Status Solidi (b),vol. 242, n° 3, 2005, p. 681-694.[SHI 04] SHI J. W., NAKATANI A., KITAGAWA H., «Vibration analysis of fully clampedarbitrarily laminated plate», Composite Structures, vol. 63, n° 1, 2004, p. 115-122.[TSA 80] TSAI S. W., HAHN H. T., Introduction to composite materials, TechnomicPublishing, Lancaster, PA, 1980.[WHI 69] WHITNEY J. M., LEISSA A. W., « Analysis of heterogeneous anisotropic plates »,Journal of Applied Mechanics, vol. 36, 1969, p. 261-266.