Second Examen Ecrit sur le cours d'Optimisation Partie I Partie II

Université de Marne la ValléeMaîtrise MIMSecond Examen Ecrit surle cours d’Optimisation• La durée de l’examen est de 1h15.• L’usage des notes personnelles des étudiants ainsi que de documents ou calculatricen’est pas autorisé.Partie ISoit f une fonctionnelle définie sur un ouvert D d’un espace vectoriel normé. Onsuppose que f est différentiable au sens de Gateaux sur C, un sous-ensemble convexenon vide de D.1. Rappeler la définition de la convexité de f. Sans la démontrer, donner unecondition nécessaire et suffisante sur la différentielle de Gateaux de f pour quef soit convexe.Dans les questions suivantes, on supposera que f est convexe.2. Enoncer une condition nécessaire et suffisante pour que x 0 ∈ C soit un minimumglobal de f sur C.3. Démontrer que cette condition est nécessaire.4. Démontrer qu’elle est suffisante.5. Comment cette condition s’exprime-t-elle si C est un espace vectoriel ? Commentss’écrit-elle si x 0 est un point intérieur de C ? On justifiera les réponsesdans les deux cas.Partie II1. Soit γ ∈ R ∗ + et ϕ la fonction réelle, définie sur [−γ, γ] parMontrer que ϕ est convexe.∀u ∈ [−γ, γ], ϕ(u) = − √ γ 2 − u 2 .2. Quelle est la conjuguée convexe de ϕ ?

3. Soit N ∈ N ∗ \ {1} et M ∈ N ∗ tel que M < N. Soit {a 1 , . . . , a M } une famillelibre de R N et b = (b 1 , . . . , b M ) T ∈ R M . On considère le sous-ensemble D deR N défini par : ∀x ∈ R N ,x ∈ D ⇔ ∀j ∈ {1, . . . , M},〈a j , x〉 = b joù 〈., .〉 désigne le produit scalaire usuel sur R N .(a) Montrer que D est un convexe non vide. De quel type d’ensemble s’agitil?(b) Notons par g la fonctionnelle nulle, définie sur D. Montrer que D ∗ (g), leconjugué de D, est l’ensemble des fonctionnelles h telles que∀x ∈ R N , h(x) = 〈α, x〉oùα =⎛M∑λ j a j , avec⎜λ = ⎝j=1λ 1.λ M⎞⎟⎠ ∈ R M .(c) Calculer la conjuguée concave de g.4. On cherche à minimiser f définie par⎛ ⎞∀x =⎜⎝x 1.x Nsous la contrainte x ∈ D.⎟⎠ ∈ [−γ, γ] N , f(x) =On fera l’hypothèse que D∩] − γ, γ[ N ≠ ∅.N∑ϕ(x i )(a) Montrer qu’un minimum global existe. Ce minimum est-il unique ?(b) Montrer que ce problème de minimisation se ramène alors à un problèmedual qu’on formulera de manière précise.i=12