Le mod`ele XY bidimensionnel - Laboratoire de Physique Théorique ...

où C ± et c ± sont des constantes. Ce type de non analyticité ne laisse aucuneffect détectable dans la chaleur spécifique, que ce soit dans des expériencesou des simulations Monte Carlo.

La transition rugueuse1. Les modèles SOS et DGOn s’intéresse à la surface d’un cristal. Soit un cristal cubique dont on veutconsidérer la surface 001 (celle vue de la direction Oz). Le cristal est modélisécomme un ensemble de N colonnes juxtaposées, supposées composées desatomes du cristal, chacune placée sur le site i d’un réseau carré situé dansun plan de référence perpendiculaire à Oz. Voir la figure ??. On dénote lahauteur de ces colonnes par des entiers h i = 0, ±1, ±2, . . . . L’énergie de lasurface cristalline sera minimale pour une surface platte, c’est-à-dire si tousles h i ont la même valeur, et puis chaque différence de hauteur entre deuxcolonnes voisines i et j fournira une contribution positive à l’énergie totaleH,H = ∑ 〈i,j〉V (h i − h j ), (38)où V (h) = V (−h) et l’on pourra poser V (0) = 0. On appelle le modèle ainsidéfini un modèle SOS (anglais : solid on solid, ce qui fait référence au faitque dans ce modèle il n’y a ni lacunes ni surplombs).Deux choix de V (h) sont particulièrement populaires, à savoirH DG = 1 2 J ∑ 〈i,j〉(h i − h j ) 2 , (39)que l’on appelle le modèle Discret Gaussien, etH SOS = J ∑ 〈i,j〉|h i − h j |, (40)que l’on appelle le modèle SOS (dans un sens plus restreint). La fonction departition canonique de ces modèles s’écritZ DG,SOS (β) = ∑ {h i }′e−βH DG,SOS(41)où la prime sur le signe de sommation indique que l’on doit “ancrer” la surface,par exemple par la condition h 1 = 0. Sans une telle condition Z SOS etZ DG seraient infinies à cause de l’invariance de l’énergie (38 par la translationsimultanée de toute les hauteurs, h i ↦→ h i + h.2. La transition rugueuseL’état fondamental de la surface étant l’état complètement plat, on comprendaisément qu’au fur et à mesure que la température augmente, les écarts

de cet état plat deviendront plus importants. Une fonction de corrélation quimesure cet écart estG(r) ≡ 〈(h i − h i+r ) 2 〉, (42)où 〈. . .〉 indique une moyenne par rapport au poids de Boltzmann qui figuredans (41). On annonce (les arguments suivront) qu’il existe une températurecritique T R à laquelle ces modèles SOS subissent une transition de phase.Celle-ci se manifeste, entre autres, dans le comportement asymptotique deG(r) aux grands r,{cte < 0 T < TR ,G(r) ≃(43)log r T ≥ T r .On dit que pour T < T R la surface est lisse, alors que pour T ≥ T r elle estrugueuse. La transition est appelée la transition rugueuse. On verra par lasuite(1) comment la transition rugueuse est reliée à la transition du modèleXY ;(2) quelques conséquences expérimentales.2. Du modèle XY de Villain au modèle Discret Gaussien2.1. Le modèle XY de VillainOn se place sur un réseau carré de N = L × L sites avec des conditions auxbords périodiques dans le deux directions. Un hamiltonien plus général que(1), mais pour lequel on n’introduira pas de nouvelle notation, estH XY = ∑ 〈i,j〉U(φ i − φ j ), (44)où U(φ) est 2π-périodique. Le facteur de Boltzmann correspondant este −βH XY= ∏ 〈i,j〉e −βU(φ i−φ j ) . (45)On fera le choix particulier dû à Villain (1975),H VillXY = ∑ 〈i,j〉U Vill (φ i − φ j ), (46)avec∞∑e −βUVill (φ) = e −1 2 βJ(φ i−φ j −2πn) 2 . (47)n=−∞

On vérifie aisément que (47) conduit à des fonctions e −βU(φ) et U(φ) quisont 2π-périodiques, symétriques par échange φ − φ, et ont leurs extrêmesen φ = 0mod2π et φ = π mod2π. La représentation (47) d’une fonctionpériodique a des avantages qui seront pleinement exploités dans la suite.2.2. La transformationOn substitue U Vill pour U dans (45) et introduit un indice de sommationn ij pour chaque lien 〈i, j〉 du réseau. La fonction de partition ZXY Vill (β) duhamiltonien de Villain prend alors la formeZ VillXY(β) =∫ 2π0∏ ∑dφ ii{n ij }φ ij{ }} {e −1 2 βJ P 〈i,j〉 ( φ i − φ j −2πn ij ) 2}[{{]}exp−βH VillXY(48)Pour chaque lien 〈i, j〉 du réseau on définitφ ij ≡ φ i − φ j , (49)étant entendu que dans cette relation on prendra toujours le site i soit àgauche de j, soit en-dessous de j (voir la figure). On veut maintenant passerdes variables d’intégrations {φ i } à des nouvelles variables {φ ij }. Or, commeles φ i sont au nombre de N et les φ ij au nombre de 2N, il doit y avoirN relations de dépendance entre les φ ij . Il y en a effectivement une parplaquette (= carré élémentaire) du réseau (mais voir la Note en fin de cettesection). Pour la plaquette de centre r de la figure ?? elle s’écrit∑ (r)φij≡ φ 12 + φ 23 − φ 43 − φ 14 = 0. (50)On incorpore donc dans le changement de variables un delta de Dirac pourchaque relation, ce qui donne∫ 2πZXY Vill (β) = ∏ ∑(r)φij)dφ ij δ(∑mod2π .=0∫ ∞〈i,j〉−∞〈i,j〉{n ij }e −1 2 βJ(φ ij−2πn ij ) 2 ∏ r∏dφ ij e −1 2 βJ P 〈i,j〉 φ2 ij∏r(r)φij)δ(∑mod2π . (51)[Dans la première ligne le ”mod2π” s’introduit quand on ramène le domained’intégration de chaque φ ij à [0, 2π] ; on n’élaborera pas ce point.]Le pas suivant consiste à éliminer les fonctions delta à l’aide de l’identitéδ(xmod 2π) =∞∑k=−∞δ(x − 2πk) = 12π∞∑h=−∞e ihx . (52)

quand la température baisse, il se peut qu’à une température précise unefacette platte commence à apparaître en un point précis sur une partie arrondiede la surface. À ce moment, la courbure locale de la surface en cepoint tombe brusquement d’une valeur positive vers zéro ; or, il s’agit encore(en unités appropriées) du saut universel de π/2 ! Voir C. Jayaprakash, W.F.Saam et S. Teitel, Physical Review Letters 50 (1983) 2017.C’est ce saut universel qui (parmi d’autres résultats) a été observé avecune très bonne précision à l’ENS.Le gaz de Coulomb sur réseau1. Du modèle DG au gaz de Coulomb sur réseauPour une fonction f(h) d’un entier h la somme sur h peut être représentéecommeδ(γ mod 1){ }} {∞∑∫∞∑f(h) = dγ f(γ) δ(γ − h) . (59)h=−∞h=−∞} {{ }P ∞q=−∞e 2πiqγOn applique cette identité à la somme multiple sur les h r dans (55) en introduisantautant de variables q r et γ r . Ceci donneZXY(β) Vill = Z 0 (β) ∑ ∫ ∞ ∏dγ r e − 1 P2βJ 〈r,s〉 (γr−γs)2 + P r 2πiqrγr . (60){q−∞ r} rL’argument de l’exponentielle, vu comme une fonction des γ r , est une gaussiennequi est invariante par translation. On peut donc la diagonaliser partransformation de Fourier. On pose, en notant ⃗r s les coordonnées du centrede plaquette s,ˆγ ⃗k = N ∑ −1/2 e i⃗ k·⃗r sγ s , (61)sainsi qu’une définition analogue de ˆq ⃗k , où ⃗ k ≡ (k x , k y ) est un vecteur d’ondecompatible avec les conditions aux bords toroïdales,On trouve(k x , k y ) = 2π(κ x , κ y )/L, κ x , κ y = 0, 1, 2, . . ., L − 1. (62)Z VillXY (β) = Z 0 (β) ∑ {q r}∫ ∏dˆγ ⃗k e − 1 P2βJ ⃗ k≠0 λ ⃗kˆγ ⃗kˆγ − ⃗ k +2πi P ⃗ k ˆq ⃗kˆγ − ⃗ k(63)⃗ k

oùλ ⃗k = 4(sin 2 1 2 k x + sin 2 1 2 k y)≃ k 2 , ⃗ k → 0. (64)Les variables ˆγ ⃗k sont maintenant découplées les unes des autres et l’on peuteffectuer les intégrations sur elles. Le résultat des intégrations s’écritZ VillXY (β) = Z 1 (β) ∑ {q r}e −2π2 βJ P ⃗ k≠0 λ −1 ˆq ⃗ k ⃗kˆq − ⃗ k= Z 1 (β) ∑ e −2π2 βJ P Ps s ′ U C(⃗r s−⃗r s ′)q sq s′.{q r}} {{ }Z C (β)(65)oùZ 1 (β) = Z 0 (β) ∏ ⃗ k≠0( 2πβJλ ⃗k) 1/2(66)Ici le potentiel U C (⃗r) est donné parU C (⃗r) =1 N∑ e −i⃗k·⃗r − 1λ ⃗k⃗ k≠0≃1 π 2 ∫ π−πcosdk x dk ⃗ k·⃗r − 1ysin 2 1k 2 x + sin 2 1k . (67)2 yIl a le développement asymptotiqueavec Ẽc donné parU C (⃗r) = − 12π log r − Ẽc + o(1), r → ∞, (68)Ẽ c = (4π) −1 log ( 8e 2γ) , (69)où γ = 0.57721... est la constante d’Euler. [Le terme logarithmique dansle développement (68) est facile à trouver, la constante exige un peu plusde travail.] Le logarithme dominant est le potentiel de Coulomb en deuxdimensions et la somme sur les q r dans (65) représente donc la fonction departition Z C (β) d’un système de charges bidimensionnelles : on a trouvé un‘gaz de Coulomb sur réseau’. On complétera cette conclusion par d’autrescommentaires après une analyse un peu plus poussée.On voit que, selon (67), on a U C (0) = 0, et il semblerait donc que lafonction de partition ne contienne pas de terme de fugacité comme il enapparaît dans (13). Toutefois, si on tient compte du terme constant dans

le développement (68) et du fait que le système doit être neutre, on peutréécrire l’interaction comme∑ ∑U(⃗r s −⃗r s ′)q s q s ′ ≃ − 1 ∑ ∑∑ ∑log |⃗r s −⃗r s ′|−Ẽc q s q s ′ . (70)2πss ′ (≠s)ss ′ (≠s)ss ′ (≠s)Puisque ∑ s q s = 0 (neutralité, voir la Note en fin de section), on a aussiq s = − ∑ s ′ (≠s) q′ s et donc le deuxième terme à droite dans l’expression (70)peut se mettre sous la forme∑ ∑ ∑−Ẽc q s q s ′ = Ẽc qs 2 , (71)ss ′ (≠s)ce qui fait que le poids de Boltzmann contient en fait un facteur fugacitéoù, quand on utilise (69),2. Commentaires.sy P s q2 s = e−βE cPs q2 s , (72)E c = 2π 2 JẼc = πJ 2 log ( 8e 2γ) = 3.4919...J. (73)1. Remarquer que chaque paire (s, s ′ ) intervient deux fois dans la doublesomme dans l’exponentielle de (65). Le coefficient de l’interaction logarithmiqueest donc ici exactement le même que celui trouvé plus heuristiquementdans (13).2. On a réussi ici à isoler exactement les degrés de liberté des vortex,chose qui avait été faite au chapitre X moyennant une approximation devalidité difficile à cerner.3. On peut encore aller un peu plus loin, comme le montre l’exercicesuivant.Exercice. [à compléter] Montrer que l’expression Z 1 (β) = (βJ) −N quiapparaît ci-dessus est exactement égale à la fonction de partition du modèleXY en approximation ondes de spin.4. On a trouvé une expression explicite pour l’énergie E c du coeur d’unvortex dans le modèle XY de Villain.5. Les charges du gaz de Coulomb sont situées sur les mêmes sites deréseau que les variables de hauteur du modèle DG. Cependant, la transformationde ce chapitre inverse encore une fois la température, si bien que latempérature du gaz de Coulomb est égale à celle du modèle XY de Villainqu’on avait initialement.Note. L’équation (60) qui était le point de départ de ce chapitre, vientde (55) du chapitre précédent, dans laquelle la somme sur {h r } aurait dû

On décompose θ(⃗r) en une phase φ(⃗r) non singulière et des vortex, et ainside suite. La densité superfluide mesurée dans les expériences, que l’on noteraρ R s (T) (R pour ‘renormalisée’) est déterminée par le couplage K(∞). Celui-cisubit, selon la théorie du modèle XY, un saut universel égal à 2/π au passagede la température critique T c . Donc la prédiction pour le modèle XY est queou encoreρ R s (T − c )T − climT →T − c 2 ρ R s (T)m 2 k B T = 2 π(79)= 2m2 k Bπ 2 = 3.491 × 10 −9 g cm −2 K −1 . (80)Il est à noter que dans les expériences la température critique T c dépenddu substrat et de l’épaisseur de la couche. Néanmoins, dans tous les casla relation (80) s’avère vérifiée avec une bonne précision. Il s’agit d’unetriomphe de la théorie.Voir I. Rudnick, Phys. Rev. Lett. 40 (1978) 1454 ; D.J. Bishop and J.D.Reppy, Phys. Rev. Lett. 40 (1978) 1727.Notes historiques sur le modèle XYPour indiquer le hamiltonien (1) nous avons employé le terme “modèle XY”,conformément à l’usage de nos jours. Cependant, jusqu’au début des années70 ce terme indiquait l’analogue quantique de (1), à savoirH = −J ∑ 〈i,j〉(σ x i σx j + σy i σy j ) (81)où ⃗σ j = (σj x, σy j , σz j ). Celui-ci est une version anisotrope du célèbre hamiltoniende Heisenberg,H = −J ∑ ⃗σ i·⃗σ j . (82)〈i,j〉Le hamiltonien (1) fut introduit par Vaks et Larkin (1965) pour décrire lafonction d’onde de couches minces d’hélium superfluide. Son nom originalétait “modèle de rotateurs plans” (anglais : plane rotator model). En vued’en déterminer une éventuelle transition de phase, le hamiltonien quantique(82) avait été étudié depuis les années 30, sa version anisotrope (81) depuisles années 50. La méthode principale de ces jours-là – et d’ailleurs jusquedans les années 70 – était le développement en série haute température,appliquée par exemple à la susceptibilité magnétique. En extrapolant unesérie (relativement courte : de quatre à dix termes) on cherchait à déterminersi la fonction représentée divergeait ou non à une température finie.

Malgré beaucoup d’efforts il régnait au début des années 70 toujours unegrande confusion quant à l’existence ou non d’une transition de phase en deuxou en trois dimensions d’espace, pour les modèles XY et Heisenberg. Cetteconfusion fut dissipée par la théorie de Kosterlitz et Thouless (1972-1974).C’est seulement depuis ces travaux qu’on a les idées claires sur la différenceentre les modèles classiques de XY et de Heisenberg [O(2) et O(3)].Kosterlitz et Thouless furent précédés de peu par Berezinskii, qui publiaen 1971 en russe (traduction 1972) une version incomplète de la même théorie.