Logarithme népérien - Free

Logarithme népérienA. Définition1. DéfinitionLa fonction ( logarithme népérien est la primitive, qui s’annule en x = 1, de la fonctioninverse x→ 1 )définie sur ]0 ;+∞[.x2. Conséquences1. La fonction ln est définie sur ]0 ;+∞[ (admis).2. La fonction ln est dérivable sur ]0 ;+∞[ et (ln)’(x)= 1 xdonc (ln)’(x)> 0.3. La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[ ; il en résulte que :• 0< x< 1 équivaut à ln x< 0 et x> 1 équivaut à ln x> 0.• Pour tous réels a et b strictement positifs :a= b équivaut à ln a= lnb et a< b équivaut à ln a< lnb.B. Propriété fondamentale et conséquencesPROPRIÉTÉPour tous réels a et b strictement positifs : ln(ab)=ln a+ lnbConséquences :Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier naturel n non nul, on a :ln(ab)= ln a+ lnb( ) 1ln =−lnbb( a)ln = ln a− lnbbln(a n )=nln a ln(a −n )=−n ln a ln ( a ) = 1 2 ln aDe plus :ln(1)=0ln(e)=1 ln(e n )=nln(e)=n (e≃2,72)

••C. Étude de la fonction logarithme népérien1. DérivéeTHÉORÈMELa fonction ln est dérivable sur ]0 ;+∞[ et ln ′ (x)= 1 x .2. Tableau de variation et courbex 0 1 e +∞signe de 1/x ++∞1variationde ln 0−∞Tangentes remarquablesRappel : tangente au point d’abscisse a y = (x− a)f ′ (a)+ f (a)Courbe :21−11 2 e 3 4 5−2−3D. Dérivée de lnuSoit u une fonction dérivable et strictement positive sur l’intervalle I .On considère la fonction définie pour tout x de I par : g (x)=ln[u(x)].PROPRIÉTÉS1. La fonction g est définie sur I et dérivable sur cet intervalle.Pour tout x ∈ I : g ′ (x)= u′ (x)u(x) et le signe de g′ (x) est celui de u ′ (x).2. Les fonctions u et g ont les mêmes variations sur I .http://xskoh.free.fr ln page 2

EXERCICE 1 Antilles, juin 2008Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaireest limitée à 2 000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15 000.La recette en milliers d’euros, obtenue pour la vente de x centaines de pièces est doncR(x)=15x.Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphique R 1 de la fonction R etla représentation graphique C 1 de la fonction coût de production notée C sur l’intervalle[0 ; 20].Partie A lectures graphiquesAvec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000 ?3. Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre dc pièces pour être bénéficiaire ?Partie BOn admet que la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 20] est donnée par :C (x)= 0,5x 2 + 6,5x+ 10+4,5ln(x+ 1).On rappelle que le coût de production, en milliers d’euros, est le nombre C (x), x étantle nombre de centaines de pièces produites (x est compris entre 0 et 20 centaines depièces). On admet que toutes les pièces produites sont vendues.1. a) Montrer que le bénéfice est donné par la fonction B, définie sur [0 ; 20] par :B(x)=−0,5x 2 + 8,5x− 10−4,5ln(x+ 1).On note B ′ la fonction dérivée de B sur l’intervalle [0 ; 20].b) Calculer B ′ (x).c) Vérifier que, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 20], B ′ (x+ 0,5)(8− x)(x)= .x+ 12. a) Justifier que le signe de B ′ (x) est celui de (8− x) sur l’intervalle [0 ; 20].b) En déduire le signe de B ′ (x) puis le tableau de variation de B sur l’intervalle [0 ; 20].3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéficemaximal à l’euro près ?http://xskoh.free.fr ln page 3

ANNEXEmilliers d’eurosy300280260C 1R 124022020018016014012010080604020−1Nombre de centaines de pièces1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20xhttp://xskoh.free.fr ln page 4

EXERCICE 2 Pondichery, avril 2008Partie AOn considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 15] parf (x)=2ln(x+ 1)+1.1. On désigne par f ′ la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ;15].a) Calculer f ′ (x) et étudier son signe sur l’intervalle [0 ; 15].b) Établir le tableau de variations de f sur l’intervalle [0 ;15].2. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (arrondir au dixième) :x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15f (x) 3,2 4,2 4,6 4,9 5,2 5,8 6,1 6,33. Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (unité :1 cm).4. Soit (D) la droite d’équation y = 0,8x. Tracer la droite (D) dans le repère précédent.Partie BUne entreprise fabrique des pièces pour avions. On note x le nombre de pièces fabriquéespar mois (0⩽ x ⩽ 15). Chaque mois, les coûts de production, exprimés en milliersd’euros, sont donnés par : f (x)=2ln(x+ 1)+1.Le prix de vente d’une pièce est 0,8 millier d’euros.1. Si l’entreprise vend x pièces, déterminer la recette exprimée en milliers d’euros.2. Vérifier que le bénéfice mensuel est : B(x)=0,8x− 1−2ln(x+ 1).3. Calculer une valeur approchée de B(3) et B(14), puis préciser pour chacun de ces cassi l’entreprise est bénéficiaire.4. En justifiant graphiquement la réponse, donner le nombre minimal de pièces qu’ilfaut fabriquer et vendre pour que l’entreprise soit bénéficiaire.http://xskoh.free.fr ln page 5

EXERCICE 3 France, septembre 2008On rappelle que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si v ne s’annulepas sur I, alors la fonction u est dérivable sur I et sa fonction dérivée est donnée parv( u) ′= u ′ v− uv ′la formule :v v 2 .On se propose d’étudier la capacité pulmonaire moyenne de l’être humain de 10 à 90ans.On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [10 ; 90] parf (x)= 110ln(x)−220 .xOn admet que, pour un être humain d’âge x, en années, appartenant à l’intervalle[10 ; 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut être modélisée par f (x).Une représentation graphique de la fonction f est donnée ci-dessous.y5432100 10 20 30 40 50 60 70 80 90x1. Répondre avec la précision permise par la représentation graphique.a) À quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ?Quelle est cette capacité maximale ?b) À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou égale à 5 litres ?2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .a) Montrer que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [10 ; 90],f ′ (x)= 110(3−ln(x))x 2 .b) Résoudre sur l’intervalle [10 ; 90] l’équation 3−ln(x)=0.Donner une valeur arrondie de la solution au dixième.c) On considère sur l’intervalle [10 ; 90] l’inéquation 3−ln(x)>0.Montrer que l’ensemble des solutions de cette inéquation est [ 10 ; e 3[ .En déduire le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [10 ; 90].d) Indiquer comment retrouver les résultats de la question 1..http://xskoh.free.fr ln page 6

EXERCICE 4 Antilles, septembre 2008Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 13] par :f (x)= x ln(x)−3x+ 10.Une entreprise fabrique du dissolvant chimique. Lorsque l’entreprise fabrique x centainesde litres par jour, le coût moyen de production du litre est égal à f (x) (x est comprisentre 1 centaine et 13 centaines). Ce coût est exprimé en euros.1. Si l’entreprise produit 500 litres par jour, quel sera le coût moyen de production dulitre, en euros, arrondi au centime ?2. Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de f sur l’intervalle [1 ; 13].3. Étudier le signe de f ′ (x) puis établir le tableau de variations de f sur l’intervalle[1 ; 13].4. En déduire le nombre de litres à produire par jour pour que le coût moyen de productiondu litre soit minimum. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchéeau litre près.Préciser alors la valeur arrondie au centime du coût moyen de production du litrecorrespondant.EXERCICE 5Recherche d’un bénéficePartie AÉtude de deux fonctions1. Soit f la fonction définie sur [1 ; 4] par : f (x)=3+ln(2x− 1).a) Étudier les variations de f sur [1 ; 4].b) Construire la courbe représentative C f de f dans un repère orthonormal dontl’unité graphique est 1 cm.2. Soit g la fonction définie sur [1 ; 4] par :g (x)=x 2 − 2x+ 2.a) Étudier les variations de g sur [1 ; 4].b) Construire la courbe représentative C g de g sur la même figure que C f .Partie BApplication économiqueUne entreprise fabrique un certain type de pièces pour les téléphones mobiles. On admetque pour x milliers de pièces fabriquées et vendues, la recette, en milliers d’euros, estf (x) et le coût total de production, en milliers d’euros, est g (x).1. Déterminer graphiquement sur quel intervalle l’entreprise réalise un bénéfice.2. Déterminer graphiquement une valeur approchée de la production x 0 pour laquellele bénéfice est maximal.3. Donner une valeur approchée du bénéfice maximal.http://xskoh.free.fr ln page 7

CORRECTION EXERCICE 41. Le coût moyen de production en euros pour x centaines de litres produits est f (x).Si l’entreprise produit 500 litres par jour, on a x = 5 ; le coût moyen de production estf (5)≃3,05.2. Pour calculer la dérivée de la fonction x −→ x ln x, on utilise la formule(uv)⎧′ = u ′ v+ uv ′ avec :⎨u(x)= x =⇒ u ′ (x)=1⎩v(x)=ln(x)=⇒ v ′ (x)= 1 xOn en déduit : f ′ (x)=(ln(x)+1)−3=ln(x)−2.3. f ′ (x)=0⇐⇒ ln(x)=2⇐⇒ x = e 2 .f ′ (x)>0⇐⇒ ln(x)>2⇐⇒ x > e 2 .D’où le tableau :x 1 e 2 13signe de f ′ (x) − 0 +7variation de f10−e 213ln(13)−29Bornes :f (1)=ln(1)−3+10= 7 car ln(1)=0.f (13)=ln(13)−39+10= 13ln(13)−29≃4,34.Minimum :f (e 2 )=e 2 ln(e 2 )−3e 2 + 10=10−e 2 car ln(e 2 )=2f (e 2 )≃2,61.4. D’après le tableau : le coût moyen de production est minimal lorsque le nombre decentaines de litres produit est e 2 , soit environ 7,39 centaines de litres (ou 739 litres).Ce coût moyen minimal est 2,61.CORRECTION EXERCICE 5Partie AÉtude de deux fonctions1. a) f (x)=3+ln(2x− 1).Pour calculer f ′ (x), on utilise la formule (ln(u)) ′ = u′uavec u(x)=2x− 1=⇒ u ′ (x)=2.Donc f ′ (x)= 22x− 1 . f ′ (x) a le même signe que 2x− 1.D’où le tableau :x 1 4signe de f ′ (x) +variation de f33+ln(7)http://xskoh.free.fr ln page 8

••b) Courbe : voir plus bas.2. a) g (x)= x 2 − 2x+ 2 donc g ′ (x)=2x− 2=2(x− 1).x 1 4signe de g ′ (x) 0 +variation de g110b) Courbe :1098C g : coût7654C f : recette3bénéf.maxi210.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.02.89Partie BApplication économique1. Il y a un bénéfice si la recette est supérieure au coût, c’est-à-dire si x< 2890 pièces.2. Le bénéfice est maximal lorsque l’écart vertical entre les deux courbes est maximal,c’est-à-dire pour x≃ 1,5 (soit 1 500 pièces produites).3. Ce bénéfice maximal est d’environ 2,4 milliers d’euros (soit 2 400).http://xskoh.free.fr ln page 9