LE CALCUL ACTUARIEL QUELQUES RAPPELS

LE CALCUL ACTUARIELQUELQUES RAPPELSLa présentation faite dans ce document n'a d'autres ambitions que de fournir à l'étudiant quelquesconcepts indispensables dans le domaine du calcul actuariel. La présentation faite est souvent(abusivement) simplificatrice.Intérêts simples / Intérêts composés• Intérêts simples : le capital est placé de période en période, les intérêts sont perçusmais ne font pas l'objet d'un replacement• Intérêts compossé : le capital et les intérêts font l'objet d'un replacementAccumulation / Actualisation• Accumulation : procédure par laquelle on calcule la valeur future de francs perçusaujourd'hui• Actualisation : procédure par laquelle on calcule la valeur actuelle (aujourd'hui) defrancs perçus dans le futurActualisation en temps discretValeur future d'un montant perçu aujourd'huiVF = VA×(1 + i)où (1 + i)ttest appelé facteur d' accumulationValeur actuelle d'un montant perçu dans le futur1VA = VFt×(1 + i)1où(1 + i)ttest appelé facteur d' actualisationPériodicité différente de l'année

Si les intérêts sont perçus à une fréquence s (s fois par an), la valeur futured'un montant perçu aujourd'hui devient :iVF t = VA×( 1+)sstLe passage d'un taux en une fréquence m 1 de composition vers un taux en unefréquence m2 de composition s'effectue par le raisonnement suivant :RA(1+Rm 2Rm1m1nm 2 m2n) = A(1+ )m1m2m⎡1⎤R m2⎢⎛ m ⎞=1⎜1⎟ − 1⎥m⎢+2m⎥1⎢⎝⎣⎠⎥⎦Valeur actuelle d'une perpétuitéUne perpétuité est un montant fixe perçu jusqu'à la fin des temps. Sa valeuractuelle se calcule comme suit :AVA =(1 + i)1APosons que X = et que a =( 1+i) (1 + i)alors(1) VA = a(1+ X + X(2) XVA = a(X + X(1) − (2) VA(1− X ) = aOn en déduit en remplaçant a et X par leur valeur que :VA =Ai1A+(1 + i)222+ ...+ X+ X33+ ...)+ ...)Valeur actuelle d'une annuitéLa valeur actuelle d'une annuité est obtenue par la différence entre deuxperpétuités perçues à des moments différents du temps :

ASi est laiA 1et ×ti (1 + i)la valeur actuelle d' unett⎡(1+ i) − 1⎤⎡ 1- (1 + i) ⎤soit VA = A⎢⎥ = At ⎢ ⎥⎣ i(1+ i)⎦ ⎣ i ⎦Pour la valeur future, il suffit d' accumuler le résultat sur t périodes (le multipliertpar (1 + i) ).valeur actuelle d' uneest la valeur actuelle d' uneperpétuité perçue aujourd' huiannuité est : VA =perpétuité perçue en t,AiA 1− ×i (1 + i)t,Actualisation en temps continuLe passage à l'actualisation en temps continu s'effectue par le calcul desvaleurs actuelles et futures lorsque la périodicité de paiement des intérêts (notée s à lasection précédante) tend vers l'infini :i stSachant que : VFt= VA×(1 + )sle passage à l' actualisation en temps continu est obtenuen faisant te ndre s vers l' infinilim VFs→∞iVA × (1 + )set m =⇒ VFtsit=st= VAeilim VA×(1+)sitms→∞Pour calculer cette limite, on procède comme suit :⎡ i= ⎢VA×(1 + )⎣ s⎡ 1 ⎤ce qui donne : ⎢VA× (1 + ) m⎣ m ⎥ ⎦or la lim ⎢⎡ 1 +⎣1m⎤⎥⎦et VA = VF etsi−it:itit⎤⎥⎦stlorsque m tend vers l' infiniest ePartant des propriétés de l'exponentielle et du logarithme, on peut en déduire lesrelations suivantes :

• Le taux en composition continue équivalent au taux en composition discrète (avecm composition par période) est obtenu par le raisonnement suivant :AeRcn⇒ eR c⇒ Retc⇒ RmRmmn= A(1+ )mRmm= (1 + )mRm= mln((1+ ))m= m(eR cm− 1)• La moyenne des taux de rendements en composition continue est leur moyennearithmétique. Ainsi, si r 01 est le taux entre la période 0 et la période 1, r 12 est letaux entre la période 1 et la période 2, le taux composé sur deux période est r 02 :VFeté⇒ r02=r01( VAe )= r01+ r12r⇒ Le taux moyen est :er12= VAe01r + r01212+ r12