Physique - Concours ENSEA

Pour décrire l’atome d’hydrogène, Rutherford a utilisé un modèle planétaire dans le cadre dela mécanique newtonienne : l’électron a un mouvement circulaire, de rayonr, autour du noyausupposé fixe. Par la suite, on considérera le proton comme immobile dans un référentiel galiléen.I.6. A partir de la relation fondamentale de la dynamique, montrer que le mouvement de l’électronest uniforme.I.7. En déduire l’expression de la vitesse de l’électronven fonction deε 0 ,e,retm e .I.8. Exprimer l’énergie cinétique de l’électronE c en fonction deε 0 ,eetr.I.9. Déterminer l’expression de l’énergie potentielleE p associée à l’interaction électrostatique(On conviendra de choisirE p telle queE p (r→∞) = 0).I.10. Montrer que l’énergie mécaniqueE m de l’électron s’exprime sous la forme :Commenter le signe.E m =− 1 e 28πε 0 rLors de l’étude de l’atome d’hydrogène, différents faits expérimentaux ont conduit NielsBohr à formuler l’hypothèse suivante : l’électron ne peut se déplacer que sur certains cerclesdont les rayonsr n obéissent à la loi (quantification du moment cinétique) :L =noù :–L : moment cinétique de l’électron– : constante de Planck réduite, = h2π = 1, 055.10−34 J·s–n : nombre entier≥ 1I.11. Exprimer la norme du moment cinétiqueLen fonction dem e ,r n et de sa vitessev n sur lecercle de rayonr n .I.12. En déduire l’expression der n en fonction des constantesε 0 ,e, ,m e et denpuis enfonction der 1 etn.I.13. Déterminer l’expression deE n , énergie mécanique de l’électron sur le cercle de rayonr n ,en fonction deε 0 ,e, ,m e et den. En déduire queE n est de la forme :On exprimeraE 1 en fonction deε 0 ,eetr 1 .E n = E 1n 2I.14. Calculerr 1 , puis calculerE 1 en joule et en électronvolt (1eV = 1, 6.10 −19 J).II. Spectre de l’atome d’hydrogèneII.1. Quelle est l’expression de la fréquenceν puis de la longueur d’ondeλd’un photon émislorsque l’électron passe d’un niveau d’énergieE p à un niveau d’énergieE n (p>n) ?2