Nombres complexes et polynômes. - Normalesup.org

Géométriquement, les racines n-ièmes de l’unité forment un polygone régulier à n côtés, dontles n sommets sont sur le cercle unité, et dont un des sommets est le point d’affixe 1.On a ω 0 = 1 et pour tout k ∈ [0, n − 1], ω n k = 1, ω k = ω k 1 , et ω k = ω n−k = 1/ω k .Exemples.Lorsque n = 2, on obtient {±1}.Lorsque n = 4, on obtient {1, i, −1, −i}.Lorsque n = 3, en notant j = e 2iπ/3 = 1 2 + i √ 32 , on obtient {1, j, j2 }, avec j 2 = j −1 = j.• Dans le cas général, mettons Z = Re iΘ sous forme exponentielle. Si z = re iθ est aussi sousforme exponentielle, l’équation devient r n e inθ = Re iΘ , soit encore r = n√ R et nθ ≡ Θ [2π]. Autrementdit, il existe k ∈ Z tel que θ = Θ n = 2k n π. On obtient alors n solutions distinctes z 0 = n√ Re iΘ/n ,z 1 = n√ Re i(Θ+2π)/n = z 0 ω 1 , ..., z k = n√ Re i(Θ+2kπ)/n = z 0 ω k , ..., z n−1 = n√ Re i(Θ+2(n−1)π)/n =z 0 ω n−1 .On remarque donc que si l’on connaît une solution particulière de l’équation z n = Z, parexemple z 0 = n√ Re iΘ/n , toutes les autres solutions s’en déduisent en multipliant z 0 par une racinen-ième de l’unité ω k . En effet, l’équation équivaut alors à z n = z0 n ⇐⇒ (z/z 0 ) n = 1 puisquez 0 ≠ 0. Le quotient z/z 0 est donc une racine n-ième de l’unité, de la forme ω k = e 2ikπ/n aveck ∈ [0, n − 1].Interprétation géométrique : DESSIN !Exercice 51. Trouver les solutions de l’équation z 3 = 2.2. Idem pour l’équation z 3 + 1 = 0. Les représenter dans le plan complexe.Correction de l’exercice 51. Une solution particulière est z 0 = 3√ 2, donc l’ensemble des solutions est { 3√ 2, j 3√ 2, j 2 3 √ 2}.2. Cette équation équivaut à z 3 = −1. Une solution est −1, les autres sont donc −j et −j 2 = −j.2 Polynômes.Dans tout ce qui suit, K sera le corps R des réels ou C des complexes.2.1 Définitions et premières propriétés.2.1.1 Définitions.Définition 2.1. Un polynôme P à coefficients dans K est une expression de la forme P (X) =a 0 + a 1 X + . . . + a d X d = ∑ dk=0 a kX k , où (a 0 , . . . , a d ) ∈ K d+1 , et a d ≠ 0.La variable X est appelée l’indéterminée, les a k les coefficients du polynôme.On note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.L’entier naturel d est appelé le degré de P . On note d = deg P .Par convention, le degré du polynôme nul est −∞ : deg (0) = −∞.Si n ∈ N, K n [X] est l’ensemble des polynômes à coefficients dans K et de degré inférieur ouégal à n. C’est donc un sous-ensemble de K[X].Un monôme est un polynôme de la forme αX k avec α ∈ K et k ∈ N. Un polynôme est doncune somme de monômes.Si P = ∑ dk=0 a kX k est un polynôme et k ∈ [0, d] son monôme de degré k est a k X k .Le coefficient dominant de P est a d , son terme dominant a d X d .Lorsque le coefficient dominant de P est égal à +1, on dit que le polynôme est unitaire.Ainsi, P ∈ K n [X] ⇐⇒ ∃!(a 0 , . . . , a n ) ∈ K n+1 , P (X) = a n X n + . . . + a 1 X + a 0 .Ainsi, un polynôme de degré au plus n est uniquement déterminé par la liste de ses (n + 1)coefficient, (a 0 , . . . , a n ).Si deg (P ) = d < n, alors a d+1 = . . . = a n = 0.On a K 0 [X] = K, l’ensemble des polynômes constants.Pour tout n ∈ N, K 0 [X] ⊆ K n [X] K n+1 [X] K[X], et les deux dernières inclusions sontstrictes.6