Nombres complexes et polynômes. - Normalesup.org

Pour tout n ∈ N ∗ , K n [X] \ K n−1 [X] est l’ensemble des polynômes de degré exactement n.⋂⋃n∈N K n[X] = K 0 [X].n∈N K n[X] = K[X].A un polynôme P on associe la fonction polynômiale que nous noterons aussiP : K → Kx ↦→ P (x).Exemples.• Les polynômes unitaires de degré un sont de la forme P (X) = X + a avec a ∈ K.• Le polynôme X 2 + 1 est un polynôme à coefficients réels ou complexes.• De façon plus générale, un trinôme du second degré P (X) = aX 2 + bX + c avec (a, b, c) ∈K ∗ × K 2 est un polynôme de degré 2 (c’est sa définition !).• Si n ∈ N ∗ , le polynôme X n + 1 est unitaire de degré n.2.1.2 Opérations.• Somme.Si P et Q sont deux polynômes de K[X] non nuls, soit n = max(deg (P ), deg (Q)). On écritP (X) = ∑ nk=0 a kX k et Q(X) = ∑ nk=0 b kX k . Alors le polynôme P + Q est défini par(P + Q)(X) = ∑ nk=0 (a k + b k )X k = P (X) + Q(X).Proposition 2.2. Si deg (P ) ≠ deg (Q), alors deg (P + Q) = max(deg (P ), deg (Q)).Si deg (P ) = deg (Q), alors deg (P + Q) ≤ deg (P ) = deg (Q).Démonstration.Si deg (P ) ≠ deg (Q), supposons quitte à échanger P et Q que deg (P ) = max(deg (P ), deg (Q)).Notons n = deg (P ).Alors P (X) = ∑ nk=0 a kX k avec a n ≠ 0 et Q(X) = ∑ nk=0 b kX k avec b n = 0. Le coefficientdominant de P + Q est donc a n ≠ 0 et donc le degré de P + Q est exactement n.Si deg P = deg Q = n, comme (P + Q)(X) = ∑ nk=0 (a k + b k )X k , deg (P + Q) ≤ n. Par contre,il se peut tout à fait que a n + b n = 0.Exemples.Si P (X) = X 16 + 1 et Q(X) = X 2 , (P + Q)(X) = X 16 + X 2 + 1 est de degré 16.Si P (X) = X 2n + 1 avec n ∈ N ∗ et Q(X) = 2nn! Xn + X − 1, le degré de P + Q est 2 n .Si deg (P ) = deg (Q), il se peut que la somme soit de même degré, par exemple avec P (X) = 2X 3et Q(X) = −X 3 + X. Il se peut aussi que le degré soit strictement plus petit, comme par exempleP (X) = −Q(X), ou P (X) = X 3 + 1 et Q(X) = −X 3 . Etc.Soit n ∈ N, n ≥ 2 et P (X) = (X + 1) n , Q(X) = −(X − 1) n . Comme P (X) = ∑ n( nk=0 k)X k , Pest un polynôme unitaire de degré n. De même, Q(X) = ∑ n( nk=0 k)(−1) n+1−k X k est un polynômede degré n dont le coefficient dominant est −1. On sait donc que la somme P + Q est un polynômede degré au plus n. Or (P + Q)(X) = ∑ n( n( k=0 k)(1 + (−1) n+1−k )X k . Le monôme de degré n estn)n (1 − 1)X n = 0, donc en fait le degré de P + Q est au plus (n − 1). Le monôme de degré (n − 1)est ( nn−1)(1 + 1)X n−1 = 2nX n−1 . Ainsi, P + Q est de degré (n − 1) et son coefficient dominant est2n.• Combinaisons linéaires.Si P (X) = ∑ n∑ k=0 a kX k ∈ K[X] est un polynôme et α ∈ K, le polynôme αP est αP (X) =nk=0 αa kX k .Proposition 2.3. Si α ≠ 0, alors deg (αP ) = deg (P ).Démonstration.Immédiate : si P (X) = ∑ nk=0 a kX k avec a n ≠ 0, alors αP (X) = ∑ nk=0 αa kX k avec αa n ≠0.Ainsi si α et β ∈ K et P et Q ∈ K[X], la combinaison linéaire αP + βQ est bien définie et l’onpeut estimer son degré.Corollaire 2.4. L’ensemble K n [X] est stable par combinaisons linéaires.7