Analyse numérique

Synthèse✎✍Analyse numérique☞✌1) Le coursIntégration numérique- Rectangles à gauche (resp. à droite) : majoration de l’erreur sur un des petitssegments puis sur le grand.- Sommes de Newton (admis dans le cas d’une fonction continue).- Rectangles au milieu : majoration de l’erreur sur un des petits segments puissur le grand.- Trapèzes (resp. à droite) : aire du trapèze, ordre de l’erreur admis.- Intérêt des subdivisions dichotomiques par rapport à l’augmentation du degrédes polynômes d’interpolations (effet de Runge).Approximation des zéros d’une fonction- Dichotomie : rappel de la méthode, convergence géométrique, intérêt parrapport à du 1/n k , comment calculer le nombre d’étapes nécessaires pour uneprécision donnée.- Méthode des approximations successives : méthode, convergence pour fk-contractante sur un intervalle stable, formules de majoration de l’erreur, utilisationde l’I.A.F. pour montrer que f est k-contractante en majorant |f ′ |,dans la même idée : points fixes attractifs/répulsifs.- Méthode de Newton : principe, comment retrouver la relation de récurrencede la suite, convergence pour x 0 assez proche du zéro α si f ′ (α) ≠ 0,dichotomie pour initialiser, convergence quadratique, conditions pour avoir unvéritable doublement des décimales justes, théorème avec plus d’hypothèsespour assurer une convergence ∀x 0 tq f(x 0 )f ′′ (x 0 ) > 0.TSI 1 Lycée Rouvière Page 1

SynthèseApproximation de certains réels1a- Approximations successives sur f : x ↦→ x(2 − ax). Convergence quadratique.√ a- Dichotomie.- Méthode de Héron d’Alexandrie. Convergence quadratique.e x- Suite ( 1 + n) x n(convergence lente).∑- Suite n x kk!(convergence par l’inégalité de Taylor-Lagrange, majoration dek=0l’erreur, convergence très rapide pour x proche de 0).- Schéma d’Euler explicite.- Suite u n = − n ∑k=1(1−x) kkln(x)de 1. Astuces pour se ramener à ce cas.- Approximation (rectangles, trapèzes...) de ∫ x dt1 t .pour x ∈]0, 2]. Convergence rapide pour les x proches- Formule de Machin. Approx. de arctan(x) parπn∑k=0- Approximation par la même somme de Arctan(1).- Approximation (rectangles, trapèzes...) de ∫ 10dt1 + t 2 .(−1) k x 2k+12k+1(x ∈] − 1, 1[).TSI 1 Lycée Rouvière Page 2