Analyse vectorielle (PC*)

Analyse vectorielle (PC*)
Opérateurs gradient, divergence, rotationnel, laplacien :
1 – Gradient d’un champ scalaire :
Soit la fonction ou champ scalaire :
r r
→ f ( ) ∈R
continue et dérivable. L’opérateur gradient agissant sur ce champ scalaire donne un champ
vectoriel défini par, où df représente la différentielle de f :
uuuuur r r r r r
df = grad f ( ). dr = ∇f ( ). dr
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :
On définit des multiplicateurs µ i de la manière suivante :
3
r r
dr = ∑ µ
idsi ui
i=
1
Tableau des multiplicateurs s 1 s 2 s 3 µ 1 µ 2 µ 3
Coordonnées cartésiennes x y z 1 1 1
Coordonnées cylindriques ρ θ z 1 ρ 1
Coordonnées sphériques r θ ϕ 1 r rsin θ
Dans l’un de ces trois systèmes de coordonnées orthogonales, on peut écrire :
uuuuur 3
1 ∂U
r
gradU = ∑ ui
i=
1 µ
i
∂si
* En tout point, le gradient du champ scalaire f ( r ) est perpendiculaire à la surface de niveau (la
surface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
f ( r ) , dans le sens des valeurs croissantes de f ( r ) .
Exemple en électrostatique : les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le
champ est dirigé vers les potentiels décroissants (car E
= − uuuuur r
grad( V ( )) .
2 – Divergence d’un champ vectoriel :
r
Soit le champ vectoriel : → V r r r r
( ) . La divergence de V ( ) est, formellement, le résultat du
r r r
produit scalaire de V ( ) avec l’opérateur nabla ∇ , soit :
r r r r r
divV ( ) = ∇. V ( )
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :

On utilise l’interprétation locale de la divergence, vue en cours lors de la démonstration locale du
théorème de Gauss :
r r
divA dΦ
dτ
sor tan t
( ) =
A partir d’un point M de coordonnées orthogonales s i , on construit un pavé élémentaire dont les
6 faces sont définies par les valeurs s i + ds i , … des coordonnées. Les arêtes du pavé ont pour
longueur µ i ds i et son volume vaut :
dτ = µ µ µ ds ds ds
1 2 3 1 2 3
Le flux élémentaire à travers les deux surface s 1 et s 1 + ds 1 vaut :
Soit :
Par conséquent :
En coordonnées cylindriques :
dΦ = A ( s + ds , s , s ) µ ds µ ds − A ( s , s , s ) µ ds µ ds
1 1 1 1 2 3 2 2 3 3 1 1 2 3 2 2 3 3
∂( µ µ A )
dΦ = ds ds ds
2 3 1
1 1 2 3
∂s1
r 1 ⎡∂( µ
2µ 3A1 ) ∂( µ
1µ 3A2 ) ∂( µ
1µ
2
A3
) ⎤
divA = ⎢ + + ⎥
µ
1µ 2µ
3 ⎣ ∂s1 ∂s2 ∂s3
⎦
r 1 ⎡∂( rAr ) ∂( Aθ
) ∂( rAz ) ⎤ 1 ∂( rAr ) 1 ∂( Aθ
) ∂( Az
)
divA = r ⎢ + + r θ z ⎥ = + +
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ r ∂ r r ∂θ
∂ z
Et en coordonnées sphériques :
r
2 2
1 ⎡∂( r sin θ A ) ( sin ) ( rA ) 1 ( ) 1 (sin ) 1 ( A )
r
∂ r θ A ∂
φ ⎤
θ
∂ r Ar
∂ θ A ∂
θ
φ
divA = r
2 2
sinθ ⎢
+ + r θ φ
⎥ = + +
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ r ∂ r r sinθ ∂θ r sinθ ∂φ
Pour se persuader de limiter l’utilisation du vecteur Nabla aux seules
coordonnées cartésiennes, il suffit d’examiner les expressions du gradient et
de la divergence en coordonnées cylindriques : l’expression du gradient
suggère de postuler :
mais si on effectue ∇ r
.A
r
r ∂ r 1 ∂ r ∂ r
∇ = ur
+ uθ
+ u
∂r r ∂θ
∂z
z
(sans précaution !), on ne retrouve l’expression de
divA r obtenue ci-dessus ! Alors, ATTENTION !!!!!
En dehors des coordonnées cartésiennes, il n’est pas nécessaire d’apprendre les expressions des
opérateurs (sauf celles du gradient !) ; s’il le faut, l’énoncé les donnera. On peut d’ailleurs par une
approche intégrale (théorèmes de Stockes et de Green Ostrogradsky) ne pas avoir besoin de
l’expression locale de ces opérateurs.
2

3 – Rotationnel d’un champ vectoriel :
Soit le champ vectoriel : r → V r
( r r r
) . Le rotationnel de V ( ) est, formellement, le résultat du
r
produit vectoriel de V (r
r ) avec l’opérateur nabla ∇ r , soit :
uuur r r r r r
rotV ( ) = ∇ ∧V ( )
* Expressions en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques :
En coordonnées cartésiennes, le calcul du rotationnel à l’aide du vecteur nabla est simple :
⎡ ∂ ⎤ ⎡∂A
∂A
z y ⎤
−
⎢
x
⎥ ⎢ ⎥
∂y
∂z
⎢
∂
⎥ ⎡ A ⎤ ⎢ ⎥
x
uuur r r r ∂ ⎢ ⎥ ⎢ ∂Az
∂A
⎥
x
rot A = ∇ ∧ A =
⎢ ⎥
⎢
∧ Ay
= ⎢− + ⎥
∂y ⎥ ⎢ ⎥
∂x ∂z
⎢ ⎥ ⎢ A ⎥ ⎢ ⎥
z
⎢ ∂ ⎥
⎣ ⎦ ⎢∂Ay
∂Ax
⎥
⎢ −
⎢ z ⎥ ∂x
∂y
⎥
⎣∂
⎦ ⎣ ⎦
4 – Laplaciens scalaire et vectoriel :
Par définition, pour un champ scalaire :
r r r
2
∆ = ∇. ∇ = ∇ soit
uuuuur
∆ f = div( grad f )
En coordonnées cartésiennes, par exemple :
2 2 2
∂ f ∂ f ∂ f
∆ f = + +
2 2 2
∂x ∂y ∂z
Par définition, le laplacien d’un champ vectoriel est le vecteur ∆ A r
dont les composantes, en
coordonnées cartésiennes, sont les laplaciens scalaires des composantes du champ vectoriel :
r
∆ A = ( ∆A , ∆A , ∆A
)
x y z
5 – Quelques formules d’analyse vectorielle :
uuur uuuuur r r r
rot( gradU ) = ∇ ∧ ( ∇ U ) = 0
uuur r r r r r
div( rotA) = ∇.( ∇ ∧ A) = 0
uuur uuur r uuuuur r r
rot( rotA) = grad( divA)
− ∆A
3

Formulaires d’analyse vectorielle
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