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Modèles ARIMA et SARIMAEstimation dans R 1 et SAS 2Novembre 2007Yves Aragon — aragon@cict.frCette note examine les différences entre R et SAS dans l’estimation des modèles ARIMA et SARIMA. Elleillustre également l’emploi du package dse pour simuler un modèle ARIMA.1 Estimation d’un ARIMAPour comprendre comment on lit les résultats d’estimation dans les deux logiciels, prenons l’exemplesuivant. On veut estimer un ARIMA(1,1,2) sur une série d’observations y t , t = 1, · · · , T , simulées suivantun tel modèle. Autrement dit on veut estimer le modèle :∆Y t = µ + 1 − θ 1B − θ 2 B 2Z t , Z t ∼ BBN(0, σ 21 − φ 1 BZ), (1)où ∆Y t = (1 − B)Y t Dans cette expression, µ est bien la moyenne de (1 − B)Y t . Le modèle peut encores’écrire :(1 − B)(1 − φ 1 B)Y t = c + (1 − θ 1 B − θ 2 B 2 )Z t (2)et c = µ(1 − φ). Les observations sont dans le fichier y_112_data.txt, elles sont tirées suivant le modèle(1 − B)(1 + 0.8B)Y t = 5 + (1 + 0.4B + 0.2B 2 )Z t , Z t ∼ BBN(0, 16),la série est appelée y2 dans le code ci-dessous.Estimation d’un tel modèle dans SASLe code10 data a;infile ’D:\Serie_T\TP_R_ST\Simulation ST R\y2_112b.txt’;input y2 @@;run;proc print data=a (obs=20); run;15proc arima data=a;i var=y2(1); run;e p=1 q=2 method = ml; run;f out= pred_y2 lead= 5; run;20 quit;donne les résultats suivants.10 The ARIMA ProcedureName of Variable = y215Period(s) of Differencing 1Mean of Working Series 2.856751Standard Deviation 4.921667Number of Observations 199Observation(s) eliminated by differencing 120 Maximum Likelihood EstimationErreurPr.1 http ://www.r-project.org/2 www.sas.com/france1

est.y2 =arima(y2,order= c(1,1,2),xreg= xmat0, method = "ML"), par xreg= xmat0, Rcomprend le modèle ARIMA(p,1,q) comme un modèle de Y t de la formeY t = b + c t + e toù après différenciation à l’ordre 1, e t est ARMA(p,q) centré. Cette différenciation donne∆Y t = c + ∆e t ,c est le coefficient de t, la variable indiquée dans xreg = . c est aussi la dérive de Y t .Compléments.1. Observons que R note la partie MA : 1 + θ 1 B + θ 2 B 2 ....2. Pour l’estimation, on peut alternativement différencier y puis ajuster un ARMA(1,2) à la série différenciée.On obtient des estimations très proches des précédentes mais le calcul des prévisions sur y demandeun peu de réflexion.3. Egalement, on estime correctement le modèle par le code :require(forecast)(est.d = arima(y2, order = c(1,1,2), include.drift=TRUE, method = "ML"))Attention ! Il existe deux versions de arima() l’une dans le package statschargé quand onlance R, l’autre dans le package forecast. Il faut éviter de revenir à la version de stats après avoirutilisé celle de forecast. La solution : sauver la session de R par save.image(), quitter R puisle relancer.Prévision dans R Suivant l’avertissement au paragraphe précédent, on a sauvé une image de la session,fermé R et rechargé l’image de la session sans charger forecast.> (pred.y2= predict(est.y2, n.ahead=5,newxreg =((length(y2)+1):(length(y2)+5))))$predTime Series:Start = 201End = 205Frequency = 1[1] 580.75 584.71 586.83 590.22 592.73$seTime Series:Start = 201End = 205Frequency = 1[1] 3.8180 4.3849 5.9855 6.5864 7.5374Prévision dans SASElle est faite par l’étape f ou forecast du code SAS précédent. On obtientThe ARIMA ProcedurePrévisions pour la variable y2Obs Forecast Std Error 95Limites de confiance %3

201 580.7421 3.8569 573.1827 588.3015202 584.7061 4.4297 576.0241 593.3881203 586.8175 6.0466 574.9663 598.6687204 590.2096 6.6537 577.1686 603.2505205 592.7163 7.6144 577.7924 607.6402On peut observer des différences avec R, notamment dans l’estimation de l’écart-type de l’erreur de prédiction.Elles peuvent être dues à des choix différents dans l’initialisation des récurrences.2 Estimation d’un SARIMAouConsidérons l’estimation d’un SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0) 4 . Le modèle est(1 − B)(1 − B 4 )Y t = µ +1 − θ 1 B(1 − φ 1 B)(1 − Φ 1 B 4 ) Z t, (3)(1 − B)(1 − B 4 )(1 − φ 1 B)(1 − Φ 1 B 4 )Y t = g + (1 − θ 1 B)Z t . (3+)Dans (3), µ est la moyenne de la série différenciée (1 − B)(1 − B 4 g)Y t , et on a : µ =(1−φ 1 )(1−Φ 1 ). On veutestimer un SARIMA(1, 1, 1)(1, 1, 0) 4 sur une série d’observations y t , t = 1, · · · , T , simulées suivant un telmodèle.Les observations sont dans le fichier y3_111_110.txt, la série est appelée y3 dans le code ci-dessouset le modèle simulé est :Estimation dans R(1 − B)(1 − B 4 )(1 − 0.7B)(1 + 0.6B 4 )Y t = −2 + (1 + 0.7B)Z t , , Z t ∼ BBN(0, 1)R comprend le modèle SARIMA(p, 1, q)(P, 1, Q) 4 comme un modèle de Y t de la formeY t = a + b t + c t 2 + e t (4)où après différenciation aux ordres 1 et 4, (1 − B)(1 − B 4 )e t est ARMA(p,q) centré. Cette différenciationdonne(1 − B)(1 − B 4 )Y t = 8c + (1 − B)(1 − B 4 )e t ,c est le coefficient de t 2 , alors que 8c est la moyenne de la série deux fois différenciée.> xmat1 = matrix(1:length(y3))> xmat2 = matrix((1:length(y3))ˆ2)> xmat = cbind(xmat1,xmat2)> (est.3=arima(y3,order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(1, 1, 0),period = 4),+ xreg=xmat2, method = "ML"))Call:arima(x = y3,order = c(1, 1, 1), seasonal = list(order = c(1, 1, 0), period = 4),xreg = xmat2, method = "ML")Coefficients:ar1 ma1 sar1 xmat20.765 0.755 -0.540 -0.758s.e. 0.056 0.095 0.071 0.042sigmaˆ2 estimated as 0.962: log likelihood = -274.95, aic = 559.94

Notons que -.758/((1-.765)*(1+.54)) = -2.0945, alors que la constante fournie pour la simulation est -2. Lecoefficient de xmat2 est donc l’estimation de c tandis que l’estimation de la moyenne de Y t est -0.758 * 8 =-6.064. (Ce qu’on peut comparer à ce que donne SAS, p.5 ligne 15 du VerbatimMean of Working Series -6.06498 et ligne 39 Estimated Mean -6.09301.)Il est clair que b n’est pas identifiable. On peut s’en convaincre en mettant les deux régresseurs t et t 2par xreg= xmat. Le logiciel fournit alors notammentar1 ma1 sar1 xmat1 xmat20.763 0.756 -0.539 3.948 -0.762s.e. 0.056 0.095 0.071 1774.511 0.042qui montre que t dans (4) n’est pas significative.Estimation dans SAS Le code, y compris une étape de prévision à l’horizon 5, est :data a;infile ’D:/Serie_T/DESS_ST/2007-2008/SARIMA_R_SAS/Simulation_ST_R/y3_111_110.txt’;input y3 @@;run;proc print data=a (obs=20); run;proc arima data=a;i var=y3(1,4); run;e p=(1)(4) q=1 method = ml; run;/* prevision à l’horizon 5 */f out= pred_y2 lead= 5; run;quit;La sortie est de l’étape e ou estimate est10 The ARIMA ProcedureName of Variable = y3Period(s) of Differencing 1,415 Mean of Working Series -6.06498Standard Deviation 2.323683Number of Observations 195Observation(s) eliminated by differencing 520 Maximum Likelihood EstimationErreurPr.Paramètre Estimation standard Valeur du test t Approx. > |t| Retard25 MU -6.09301 0.33576 -18.15

Variance Estimate 0.982491Std Error Estimate 0.991207AIC 557.8861SBC 570.978135 Number of Residuals 195Model for variable y3Estimated Mean -6.0930140 Period(s) of Differencing 1,4Autoregressive FactorsFactor 1: 1 - 0.76434 B**(1)45 Factor 2: 1 + 0.53978 B**(4)Moving Average Factors50 Factor 1: 1 + 0.75346 B**(1)Prévision dans R Il faut fournir les valeurs prise par la variable explicative pour chaque date de l’horizonde prédiction, 5 dans cet exemple. La commande est de la forme :(pred.4c = predict(est.3, n.ahead = 5,newxreg = ((length(y2)+1):(length(y2)+5))ˆ2))3 SimulationSimulation d’un ARIMA dans R Supposons qu’on veuille simuler un ARIMA(2,1,1). Le principe esttoujours le même : il faut expliciter l’équation de récurrence que suit la série et fournir le bruit blanc. S’iln’existe pas de fonction adaptée dans le logiciel, on programme ensuite la récurrence en utilisant des boucles.Exemple. Simulation de 200 observations de Y t vérifiant(1 − B)(1 + .7B)Y t = 2 + (1 + .4B + .2B 2 )Z toù Z t ∼ BBN(0, σ 2 Z = 4). Notons que (1 − B)Y t est stationnaire de moyenne 2/(1+0.7) = 1.1765. Y t n’étantpas stationnaire, la simulation dépend des valeurs initiales choisies.1 Préalablement, on peut s’assurer que la partie MA est inversible en calculant les modules des racines deson polynôme :require(polynom)> Mod(polyroot(c(1,.4,.2)))[1] 2.2361 2.2361le processus est donc bien inversible.2 On simule un bruit blanc gaussien de longueur supérieure à la longueur de la série à simuler. Les valeursen trop nous fourniront les valeurs initiales.6

set.seed(1) # cette commande permet d’avoir constamment la même# suite de simulations# c’est nécessaire quand on veut comparer des résultatslong.sim = 200n.init = 30bb = rnorm(long.sim+n.init,0,2) # BB N(0,4)3 Pour la simulation, nous n’avons pas de boucle à programmer car plusieurs fonctions sont proposées dans R.Nous utilisons simulate() du package dse. Il faut fournir les polynômes d’autorégression et de moyennemobile sous forme développée. Le polynôme d’autorégression étant un produit de deux polynômes, on effectued’abord ce produit.> autopol = polynomial(c(1,0.7))*polynomial(c(1,-1))> # les coeff du poly du deg 0 au deg max> vecauto = as.vector(autopol)> vecauto[1] 1.0 -0.3 -0.74 Il faut maintenant écrire le modèle ARIMA à simuler. (Utiliser l’aide en ligne (help(simulate))pourcomprendre le détail de ce qui suit.)> AR =array( vecauto,c(length(vecauto),1,1))> AR, , 1[,1][1,] 1.0[2,] -0.3[3,] -0.7> MA=array(c(1,.4,.2),c(3,1,1))> MA, , 1[,1][1,] 1.0[2,] 0.4[3,] 0.2> constant=2> mod4b mod4bTREND= 2A(L) =1-0.3L1-0.7L2B(L) =1+0.4L1+0.2L2Maintenant on simule, en choisissant les valeurs initiales de la série dans le bruit blanc simulé. Observonsque l’opérateur retard est noté L et non B dans ce package.asim4b =simulate(mod4b, y0=bb[1:n.init],input=as.matrix(rep(constant,long.sim)),input0=NULL,noise=as.matrix(bb[(n.init+1):(n.init+long.sim)]),sampleT=long.sim)7

asim4b est un objet assez complexe. On examine sa structure : str(asim4b) et on voit que la sériesimulée est la composante asim4b$output.Référence. http://lib.stat.cmu.edu/general/stoffer/tsa2/Rissues.htm8