Projet de programmation : Algorithme de Dijkstra

Projet de programmation : Algorithme de Dijkstra2007-20081. Le problèmeDans un réseau informatique, les routeurs doivent être configurés pour pouvoir atteindre l’ensembledes machines. Dans des réseaux de grande taille, il est illusoire de réaliser cette configuration « à lamain ». Un certain nombre d’algorithmes sont alors utilisés pour détecter et calculer automatiquementles routes.Parmi les algorithmes utilisés, il y a l’algorithme de E. W. Dijkstra qui permet de calculer un arbre derecouvrement minimum au sein d’un réseau interne. Pour cela, il faut disposer de la carte complète duréseau. Chaque routeur va calculer le chemin le plus court vers chaque autre routeur. Cela revient àdire qu’il construit un arbre dont la racine est lui-même et les sommets sont les autres routeurs.Voici un exemple :FIG. 1 – Exemple de réseauDans la figure 1, nous avons un exemple de 4 routeurs interconnectés. Les liens entre les routeursreprésentent les connexions existantes. Les chiffres placés sur chaque lien représentent le coûtd’utilisation de la ligne. Ce coût peut être fonction d’un coût réel (monétaire) d’utilisation, de la bandepassante disponible (afin de favoriser des lignes rapides) ou de l’encombrement de la ligne (afin defavoriser des lignes moins encombrées). Ainsi, le coût entre R1 et R4 est fixé à 3.Chaque routeur va donc devoir déterminer le coût pour atteindre chaque autre. Cela revient à dire quechaque routeur va devoir construire un arbre dont il est la racine et lui permettant d’atteindre chaqueautre routeur. Les coût doivent être minimum. Si nous prenons le cas de R2, nous avons :FIG. 2 – Arbre pour R2Comme le montre la figure 2, les liens en gras font partie de l’arbre, dont la racine est R2 et qui le relieaux autres routeurs. Ainsi, le routeur R2 utilisera le lien R2-R1 dont le coût est 5 pour atteindre R1. Ilutilisera le lien R2-R3 dont le coût est 2 pour atteindre R3 et, pour atteindre R4, il utilisera le cheminR2-R1-R4 dont le coût total est 8.L’algorithme à implémenter est celui qui va construire à partir d’un routeur déterminé, l’arbre derecouvrement minimum le reliant à tous les autres routeurs. Dit autrement, c’est l’algorithme qui vaL. Swinnen 1

déterminer, pour un routeur donné, les liens qui seront utilisés pour atteindre les autres routeurs avecun coût minimum.2. Algorithme de Dijkstra (à partir du nœud A)Soit :• N, l’ensemble des nœuds faisant partie de l’arbre• D(v), coût du chemin à partir de la racine jusqu’au nœud v• c(i,j), coût associé à la ligne joignant le nœud i au nœud j. Si aucune ligne ne joint ces nœuds,le coût est fixé à ∞.L’algorithme se déroule en 2 phases :• Phase 1 : la phase d’initialisation.N = {A}Pour tous les nœuds vSi v est adjacent à A,Alors D(v) = c(A, v)Sinon D(v) = ∞• Phase 2 : la répétitionBoucleTrouvez le nœuds w qui n’est pas déjà dans N de sorte que D(w) est minimalAjouter le nœud w à l’arbre NPour tous les nœuds v adjacents au nœuds w et ne se trouvant pas dans ND(v) = min( D(v) , D(w) + c(w, v) )Le nouveau coût pour atteindre le nœud v est soit l’ancien coût pour atteindrece nœud, soit un chemin plus court vers w + coût entre les nœuds w et vJusqu’à ce que tous les nœuds se trouvent dans NExemple (supposons pour le calcul à partir de R2) :Initialisation :N = { R2 }c(R1) = 5c(R3) = 2c(R4) = INFINIBOUCLE 1 : BOUCLE 2 : BOUCLE 3 :N = { R2, R3 } N= { R1, R2, R3 } N = {R1, R2, R3, R4}c(R1) = 5 c(R4) = 8c(R4) = 103. Méthode de résolution simplifiéePour résoudre ce problème, nous allons représenter le réseau sous la forme d’une matrice n x n. Si unlien existe entre le routeur i et le routeur j de coût c, nous placerons, à l’intersection de la ligne i et dela colonne j le coût c associé à ce lien. Ce coût c se trouvera également à l’intersection de la ligne j etde la colonne i.En effet, par souci de simplification, nous considérerons que le coût d’une ligne reliant le routeur R Aau routeur R B est identique au coût reliant le routeur R B au routeur R A . Dans les réseaux informatiques,ce n’est pas nécessairement le cas.Toutes les autres cases contiendront la valeur –1 représentant l’absence de lien entre les deux routeurs.L. Swinnen 2

La 1 ère ligne et la 1 ère colonne (i.e. la ligne 0 et la colonne 0) seront utilisées pour faire des calculs.1) InitialisationR1 R2 R3 R4-1 -1 0 -1 -1R1 -1 -1 5 -1 3R2 0 5 -1 2 -1R3 -1 -1 2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -1Durant la phase d’initialisation, on remplit la matrice avec l’élément –1 qui indique l’absence derelation.Ensuite, il faut placer les coûts des différents liens reliant les routeurs. Il faut bien se rappeler que lecoût qui relie le routeur R A au routeur R B est identique au coût reliant le routeur R B au routeur R A .Enfin, il faut fixer en colonne 0, en regard du routeur choisit comme racine de l’arbre (ici le routeurR 2 ), la valeur 0.Pour rappel, la colonne 0 reprendra le coût pour atteindre un routeur une fois que celui-ci est intégrédans l’arbre (ce coût est par conséquent minimal). La ligne 0 nous permettra de calculer, pour chaquerouteur le coût minimum pour l’atteindre.2) 1 ère itérationPour tous les routeurs qui n’ont pas déjà été traités (soit les routeurs R 1 , R 3 et R 4 ), il faut déterminer lescoûts pour les atteindre à partir du routeur R 2 .Nous allons donc parcourir les colonnes R 1 , R 3 et R 4 (soit les routeurs à traiter) et déterminer commentles atteindre. Pour le routeur R j :Pour chaque élément matrice[i][j] >= 0 (i.e. il existe une liaison entre le routeur R j et lerouteur R i ), le coût pour l’atteindre est donné par :Cout_rj = min(cout_ri_rj) ∀ R i déjà traité (R 2 dans l’exemple)Cout_ri_rj = matrice[i][0] + matrice[i][j]qui représente le coût pour atteindre le routeur R i auquel on additionne le coûtde la liaison R i -R j . On garde la plus petite valeur permettant d’atteindre lerouteur R j .uniquement si matrice[i][0] >=0 (uniquement si le routeur R i fait déjà partie del’arbre).Dans notre exemple, pour R 1 , nous avons les valeurs 5 (en regard de R 2 ) et 3 (en regard de R 4 ).Puisque seul R 2 fait partie de la matrice, il est possible d’atteindre R 1 à partir de R 2 par un coût de 5.Pour R 3 , nous obtenons un coût de 2. R 4 n’est pas joignable à ce stade.Cela permet de compléter la matrice avec les coûts calculés :R1 R2 R3 R4-1 5 -1 2 -1R1 -1 -1 5 -1 3R2 0 5 -1 2 -1R3 -1 -1 2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -1Ensuite il faut sélectionner la plus petite de ces valeurs, soit le coût 2 pour atteindre R 3 . Nous ajoutonsR 3 à l’arbre en mentionnant, en colonne 0, le coût minimal pour l’atteindre à partir de R 2 . Donc :matrice[3][0] = 2L. Swinnen 3

Puisque nous devons retenir le lien utilisé (à savoir le lien R 2 -R 3 ), nous allons modifier les coûtscorrespondants dans la matrice à la valeur –2. Donc :matrice[2][3] = -2matrice[3][2] = -2Avant la seconde itération, la matrice est devenue :R1 R2 R3 R4-1 -1 -1 -1 -1R1 -1 -1 5 -1 3R2 0 5 -1 -2 -1R3 2 -1 -2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -13) 2 ème itérationPour tous les routeurs qui n’ont pas déjà été traités (soit les routeurs R 1 et R 4 ), il faut déterminer lescoûts pour les atteindre à partir du routeur R2.Nous allons donc parcourir, comme à l’étape précédente, les colonnes R 1 et R 4 (soit les routeurs àtraiter) et déterminer comment les atteindre.Dans notre exemple, pour R 1 , nous avons les valeurs 5 (en regard de R 2 ) et 3 (en regard de R 4 ). Seulles routeurs R 2 et R 3 font partie de l’arbre, il est possible d’atteindre R 1 à partir de R 2 par un coût de 5.Pour R 4 , nous obtenons un coût de 10 (coût pour R 3 = 2 ; coût R 3 -R 4 = 8 ; coût total pour R 2 -R 3 -R 4 =10).Cela permet de compléter la matrice avec les coûts calculés :R1 R2 R3 R4-1 5 -1 -1 10R1 -1 -1 5 -1 3R2 0 5 -1 -2 -1R3 2 -1 -2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -1Ensuite il faut sélectionner la plus petite de ces valeurs, soit le coût 5 pour atteindre R 1 . Nous ajoutonsR 1 à l’arbre en mentionnant, en colonne 0, le coût minimal pour l’atteindre à partir de R 2 . Donc :matrice[1][0] = 5Puisque nous devons retenir le lien utilisé (à savoir le lien R 2 -R 1 ), nous allons modifier les coûtscorrespondants dans la matrice à la valeur –2. Donc :matrice[1][2] = -2matrice[2][1] = -2Avant la troisième itération, la matrice est devenue :R1 R2 R3 R4-1 -1 -1 -1 -1R1 5 -1 -2 -1 3R2 0 -2 -1 -2 -1R3 2 -1 -2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -1L. Swinnen 4

4) 3 ème itérationPour tous les routeurs qui n’ont pas déjà été traités (soit le routeur R 4 ), il faut déterminer les coûts pourles atteindre à partir du routeur R 2 .Nous allons donc parcourir, comme à l’étape précédente, la colonne R 4 (soit le dernier routeur àtraiter) et déterminer comment l’atteindre.Dans notre exemple, pour R 4 , nous avons deux possibilités : soit en passant par le lien R 3 -R 4 avec uncoût total de 10, soit en passant par le lien R 1 -R 4 avec un coût total de 8 (5 pour atteindre R 1 et 3 pourle lien R 1 -R 4 ). C’est cette valeur minimale qui est retenue.Cela permet de compléter la matrice avec les coûts calculés :R1 R2 R3 R4-1 -1 -1 -1 8R1 5 -1 -2 -1 3R2 0 -2 -1 -2 -1R3 2 -1 -2 -1 8R4 -1 3 -1 8 -1Ensuite il faut sélectionner la plus petite valeur (comme il n’y en a qu’une, c’est facile), soit le coût 8pour atteindre R 4 . Nous ajoutons R 4 à l’arbre en mentionnant, en colonne 0, le coût minimal pourl’atteindre à partir de R 2 . Donc :matrice[4][0] = 8Puisque nous devons retenir le lien utilisé (à savoir le lien R 1 -R 4 ), nous allons modifier les coûtscorrespondants dans la matrice à la valeur –2. Donc :matrice[1][4] = -2matrice[4][1] = -2Au terme de la troisième itération, la matrice est devenue :R1 R2 R3 R4-1 -1 -1 -1 -1R1 5 -1 -2 -1 -2R2 0 -2 -1 -2 -1R3 2 -1 -2 -1 8R4 8 -2 -1 8 -1Tous les routeurs sont désormais traités, le calcul des route est terminé.4. Représentation des données1) Fichier de donnéesNous disposerons d’un fichier CSV décrivant le réseau. Pour ce faire le fichier listera tous les liensexistants. Pour l’exemple, cela donne :SRC;DST;COUT1;2;52;1;51;4;34;1;32;3;23;2;23;4;84;3;8L. Swinnen 5

Le résultat consistera à ajouter à ce fichier CSV les liens qui font parties de l’arbre de recouvrementcalculé précédemment. Pour l’exemple, cela donne :SRC;DST;COUT;MEMBRE1;2;5;O2;1;5;O1;4;3;O4;1;3;O2;3;2;O3;2;2;O3;4;8;N4;3;8;N2) Le tableauLe fichier CSV sera chargé dans un tableau structuré en mémoire centrale. Ce tableau serasurdimensionné (nous traiterons, au plus, 200 relations).Une fois l’arbre construit, il faudra enrichir le tableau avec les données indiquant si le lien est membrede l’arbre ou non.3) la matriceLa matrice sera matérialisée par un tableau d’entiers à 2 dimensions n x n. Le nombre maximum derouteurs que nous traiterons sera 20.4) Etapes importantesCe projet peut être découpé en plusieurs étapes beaucoup plus gérables :1. Gestion des fichiers : réalisation des étapes fichier->tableau et tableau->fichier2. Gestion de la matrice : réalisation des étapes tableau->matrice et matrice->tableau3. Calcul de l’arbre sur base de la matriceIl ne faut pas oublier de gérer les quelques exceptions qui peuvent survenir :• Fichier de données inexistant• Trop de relations• Trop de routeursL. Swinnen 6