COURS7-THG-2018

DEPARTEMENT D'INFORMATIQUE
Cours No 7 : ORDONNANCEMENTS
Sommaire
1- Définitions
2- Types d’ordonnacement
3- Marges
4- Graphe Potentiel
5- Graphe PERT
Rédigé et conçu par :
M.NAOUI
Année Universitaire : 2017-2018

COURS No 7 : ORDONNANCEMENTS
1 Définitions
- Un projet est un ensemble d’opérations dont l’exécution permet de réaliser l’objectif du
projet. Un projet est représenté par un graphe ordinal ayant un début et une fin appelé graphe
d’ordonnancement.
- Un ordonnancement du projet est le calcul du calendrier d’exécution de ses opérations et le
calcul de sa durée d’exécution.
2 Types d’ordonnancement
- L’ordonnancement au plus tôt d’un projet est le calcul du calendrier d’exécution opérations
selon la formule :
t max ( t d ) .
i
j
t i et t j sont les dates de début des opérations i et j. d ji est la durée de j.
i
- L’ordonnancement au plus tard du projet est le calcul du calendrier d’exécution des
opérations selon la formule :
*
*
t min x(
t d )
3 Marges
i
j
- La marge totale d’une opération i notée MT i est le retard dont on peut la retarder sans
affecter la date de fin du projet :
MT t t )
Si MT i = 0 alors l’opération i est dite critique.
i
i
j
j
( * i i
- La marge libre d’une opération i est le délai minimal dont on peut la retarder sans affecter
les dates de début au plus tôt des opérations postérieures j :
ji
ij
ML
i
min ( t
j
i
j
t
i
v
ij
)
- La marge certaine d’une opération i est le délai dont on dispose pour son exécution quand
les opérations k commencent à leurs dates de début au plus tard et les opérations postérieures
j commencent à leurs dates au début au plus tôt :
MC
i
max (0,max( t
k
i
*
k
v
ki
)
min ( t
j
i
j
v
ij
))
4 Graphe d’ordonnancement ‘Potentiel-Tâche’
Le graphe potentiel-tâche d’un projet est le graphe ordinal associé au projet dont les sommets
représentent les opérations du projet.

COURS No 7 : ORDONNANCEMENTS
Exemple
Un projet est décomposé en 7 étapes (a, b ... g). La durée de chaque étape a été estimée et
certaines contraintes de succession ont été établies (cf. tableau ci-après).
Tâches Durée Contraintes
a 6
b 3
c 6
d 2 b achevée
e 4 b achevée
f 3 a et d achevées
g 1 c,e,f achevées
Pour établir le graphe d’ordonnancement du projet, on établit la matrice incidence sommetsommet
et on applique l’algorithme de calcul des niveaux (voir chapitre 1). On obtient les
niveaux suivants :
N 0 = {a,b,c} ; N 1 = {d,e} ; N 2 = {f} ; N 3 = {g}.
On ajoute 2 sommets fictifs et , étant le sommet de début du projet et le sommet
de fin du projet. est relié à tous les sommets de N 0 (No est l’ensemble des sommets sans
prédécesseurs) et est relié à tous les sommets sans successeurs y compris N 3 . On obtient le
graphe d’ordonnancement suivant :
0
0
0
a
b
c
3
3
6
6
d
e
2
4
f
3
g
1
1-L’ordonnancement au plus tôt :
t = 0 t a = t b = t c = t + 0
t b = 0 t d = t b + 3 = 0 + 3 = 3
t a = 0 et t d = 3 t f = max (t a + d a , t d + d d ) = max( 0 + 6, 3 + 2) = 6
t c = 0, t e = 3 et t f = 6 t g = max (t c + d a , t e + d e, t f + d f ) = max( 0 + 6, 3 + 2, 6 + 3) = 9
t g = 9 t = t g + d g = 9 +1 = 10
La durée minimale de réalisation du projet est t - t 0 = 10 – 0 = 10 unités de temps.
Les tâches critiques sont :
- tel que t = 10
- g tel que t g = t f + 3
- f tel que t f = t a + 6
- a tel que t a = t + 0
- tel que t = 0

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2-L’ordonnancement au plus tard :
*
*
t
= 10
t
g
= t * - 1 = 10 – 1 = 9
*
t
g
= 9
*
t
f
= 6
*
t
f
= 9 - 3 = 6
*
t
e
= 9 – 4 = 5
t = 9 – 6 = 3
*
c
*
t
d
= 6 – 2 = 4
*
t
b
= Min(4-3, 5-3) = 1
*
t
a
= 6 – 6 = 0
*
t
= min ( 0 – 0, 1 – 0, 3 – 0) = 0
Diagramme de Gantt
Tâches
Tâches Date au plus tôt Date au plus tard
0 0
a 0 0
b 0 1
c 0 3
d 3 4
e 3 5
f 6 6
g 9 9
10 10
a
b
c
d
f
g
3
5
6
9
10
Temps
5. Graphe PERT
Le graphe PERT d’un projet est le graphe ordinal associé au projet dont les arcs
représentent les opérations du projet.
d x
x, d
f x
Ca de deux opératioons successives x et y :
d x
x, d
f x
0
d y
y, d’
f y

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Exemple
Le graphe PERT de l’exemple précédent est :
0
0
0
D a
D b
D c
a,6
b,3
c,6
F a
F b
F c
0
0 D d
0
d,2
D e
0
e,4
D f
0
F d
F e
f,3
0
D g
F f
0
g,1
F g
0
On procède aux simplifications :
D a , D b , D c forment un sommet unique 1. F a , D f , F d forment le sommet unique 2
F b , D d , D e forment le sommet unique 3. F c , D g , F e , F f forment le sommet unique 4
F g , w forment le sommet unique 5
On obtient le graphe PERT suivant :
a,6
2
f,3
1
d,2
4
g,1
5
b,3
e,4
3