Sara Derivière Curriculum vitae - Sara Derivière Home Page

Département de Mathématiques
Faculté des Sciences
Université de Sherbrooke
Sherbrooke (Québec), Canada J1K 2R1
(819) 821-8000 ext. 62040 (office)
sara.deriviere@usherbrooke.ca
Sara Derivière Curriculum vitae
535 rue Nancy
Sherbrooke (Québec)
Canada J1H 5Y2
(819) 580-0516
EXPÉRIENCE ✸ Post-doctorat, Canada : Mathématique et Modélisation 2005-présent
PROFESSIONNELLE Dept. de Mathématiques, Université de Sherbrooke et Bishop’s
University, co-financé par le CRM de Montréal, Québec
et Tomlinson scholarship (Bishop’s University)
✸ Chargée de cours 2006-2007
Université de Sherbrooke, Canada
✸ Attachée Temporaire à l’Enseignement et la Recherche 2004-2005
Université de Rouen, France
✸ Allocataire de Recherche 2001-2004
Université de Rouen, France
✸ Moniteur de l’Enseignement supérieur 2001-2004
Université de Rouen, France
✸ Tuteur d’accompagnement méthodologique et pédagogique 1999-2000
IUT du Havre, France
TITRES ✸ Doctorat de Mathématiques Université de Rouen, Décembre 2004 2001-2004
UNIVERSITAIRES Titre de la thèse :Contribution à l’étude des attracteurs des systèmes
dynamiques en dimension finie
✸ DEA de Mathématiques : Analyse et Modèles Stochastiques 2000-2001
Université de Rouen, France, Juin 2001
✸ Maîtrise de Mathématiques et Maîtrise en Ingenieurie Mathématiques 1999-2000
Université du Havre, France, Juin 2000
✸ Licence de Mathématiques 1998-1999
Université du Havre, France, Juin 1999
✸ DEUG de Mathématiques-Informatique 1997-1998
Université du Havre, France, Juin 1998
INTÉRÊTS DE ✸ Analyse non-linéaire, EDO et systèmes dynamiques, chaos,
RECHERCHE Topologie computationnelle, computer science
Analyse numérique, Modélisation de surfaces
ENSEIGNEMENT ✸ Université de Sherbrooke : Equations différentielles, Analyse 2006-2007
✸ Université de Rouen 2001-2005
(approximativement Analyse numérique (Licence 3), Équations différentielles (Licence 2),
400 heures) Algèbre linéaire (Licence 1-2), Calcul (Licence 1-2)
Analyse réelle (Licence 1)
✸ IUT du Havre 1999-2000
Probabilité, statistiques (1 re année)
SERVICE ✸ Arbitrage d’articles pour 2006
Discrete and Continuous Dynamical Systems,
Physics Letters A, IEEE trans. circ. ,
✸ Participation à l’organisation d’une conférence
internationale à Sherbrooke (CANADA) sept. 2006
✸ Co-encadrement de 4 stagiaires de Maîtrise 2003-2005
INFORMATIONS ✸ Date de naissance : 30 octobre 1978, Mont-Saint-Aignan, France
PERSONNELLES ✸ Nationalité : française
✸ Autres : Equitation (compétition), tennis, titulaire du BAFA, piano.
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TRAVAUX DE RECHERCHE
Sara Derivière
Ma recherche concerne l’étude des systèmes dynamiques. Plus précisément, j’étudie les attracteurs
(chaotiques) des systèmes d’équations différentielles ordinaires et des systèmes à second membre discontinu
appelés systèmes de Filippov. Pour les localiser, j’utilise des extensions du principe d’invariance
de LaSalle et les fonctions de Lyapunov. Plus récemment, je travaille sur les systèmes gradients et la
théorie de Morse pour la modélisation de surface.
Recherche actuelle - postdoctorat
Depuis le début de mon postdoctorat, je travaille avec Tomasz Kaczynski (Université de Sherbrooke,
Canada) et Madjid Allili (Bishop’s University, Canada) sur la modélisation mathématiques appliquée
à l’imagerie numérique. En développant une méthode numérique, basée sur les systèmes dynamiques,
nous avons créé un algorithme permettant de caractériser la géométrie ou la topologie d’un ensemble fini
de données. Ce travail est appliqué en modélisation de surface et reconnaissance d’images.
Plus précisément, pour définir un descripteur de forme topologique, on construit un modèle mathématiques
en utilisant les systèmes dynamiques multivoques discrets et la théorie de Morse. Les analogies
discrètes d’une fonction de Morse, de son champs gradients et des variétés stables et instables sont établies
de manière à pouvoir interpréter des fonctions numériquement connues sur un ensembles finis de
pixels. Étant donnée une surface régulière S et une fonction de Morse f définie sur S, on présente un
algorithme qui code les relations entre les points critiques de f au moyen d’un graphe de connections appelé
Graphe de Connections de Morse, dont les noeuds sont les points critiques de f. Deux noeuds sont
reliés par une arête s’il existe une connection entre eux. Cette structure de graphe est particulièrement
appropriée pour la comparaison de forme et hérite des propriétés d’invariance de la fonction de Morse
donnée. Ce travail a donné lieu à une publication récente dans un journal international.
Recherche - Doctorat
Dans ma thèse, je m’intéresse à la localisation analytique des attracteurs des systèmes dynamiques.
Chaque résultat est étudié et développé numériquement. Les systèmes dynamiques pour lesquels les
résultats obtenus sont le plus intéressant sont les systèmes chaotiques, puisque dans ce cas, les attracteurs
ne sont pas connus explicitement. Je détermine des régions bornées dans l’espace des phases qui
contiennent les attracteurs (chaotiques), puis je les réduits en exhibant des trous à l’intérieur de la localisation
(lorsque cela est possible). Ce travail est appuyé numériquement par de nombreuses représentation
d’attracteurs chaotiques et des évidences numériques du chaos (diagramme de bifurcation, exposant de
Lyapunov, série temporelle, ...).
Systèmes dynamiques continus et localisation d’attracteurs :
Dans la première partie de ma thèse, intitulée Systèmes Dynamiques Continus, je rappelle le principe
d’invariance de LaSalle et le théorème introduit par Rodrigues et al. en 2000 qui a été le point de départ
de cette thèse 1 . Grâce à ce théorème, on localise les attracteurs des systèmes différentiels continus. Les
auteurs localisent ainsi l’attracteur chaotique du système de Lorenz. Mon premier travail généralise ce
résultat à une large classe de systèmes dynamiques appelée Systèmes Généralisés de type Lorenz (SGL),
proposée par Celikovski et Chen. J’introduis une définition équivalente pour cette classe et détermine une
fonction de Lyapunov pour chacun des systèmes de cette classe en fonction des valeurs des paramètres,
permettant d’appliquer le théorème de localisation. Tous les systèmes chaotiques présentés sont aussi
étudiés par des méthodes numériques.
Des trous dans l’attracteur : Une fois la localisation de l’attracteur obtenue, j’affine cette région en
mettant en évidence les éventuels trous à l’intérieur de l’attracteur. Pour cela, j’ai reformulé le théorème
de Rodrigues, permettant ainsi d’isoler des trous au sein des attracteurs chaotiques. J’applique alors ce
théorème pour identifier, entre autre, les trous des attracteurs chaotiques des SGL.
Synchronisation (identique) : Ensuite, je montre un autre exemple application de ces théorèmes pour
obtenir des informations sur la synchronisation (identique) des solutions de deux systèmes différentiels
linéairement couplés (couplage bidirectionel). Je détermine une valeur minimale au paramètre de couplage
k garantissant la synchronisation des solutions de deux SGL.
J’adapte ensuite tous les théorèmes de localisation pour le cas des systèmes dont les paramètres ne sont
pas connus précisement, et présente leurs versions uniformes qui tiennent compte des petites variations
des paramètres. Pour chaque applications, je montre une évidence numérique du caractère chaotique
des systèmes dynamiques rencontrés, en présentant notamment le résultat des calculs d’exposants de
1 H.M. Rodrigues, LF.C. Alberto et N.G Bretas : On the invariance principle : Generalisations and applications to synchroniza-
tion, IEEE I 47, pp. 730-739, 2000.
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Lyapunov, des séries temporelles typiques, des applications de Poincaré, et des diagrammes de bifurcation.
Systèmes dynamiques discontinus, localisations des attracteurs (chaotiques) : Dans la deuxième partie
de ma thèse, je m’intéresse à une autre classe de systèmes dynamiques modélisant de nombreux
phénomènes physiques, biologiques et électroniques : les systèmes dx/dt = f(x) (dans R n ) d’équations
différentielles ordinaires à second membre discontinu en x (mais continu en t) appelés systèmes de
Filippov. Après un rappel de définitions et notions permettant d’étudier de tels systèmes, je présente la
régularisation convexe qui permet d’associer une inclusion différentielle à l’équation discontinue grâce
à la théorie de Filippov. Ceci amène au théorème principal de cette partie de ma thèse permettant de
localiser les attracteurs (chaotiques) des systèmes discontinus. Dans ce contexte, j’ai écrit un nouveau
système discontinu chaotique (étudié numériquement) sur lequel j’applique le nouveau théorème pour
localiser son attracteur.
Indice de Conley : Dans les deux premières parties, pour tous les systèmes différentiels rencontrés (continus
ou discontinus), l’existence des attracteurs chaotiques est montrée numériquement. C’est pourquoi,
dans la troisième partie de ma thèse, je présente un travail qui permettra de démontrer rigoureusement
(démonstration assistée par l’ordinateur) l’existence du chaos (dans le sens d’une dynamique symbolique
chaotique). Cette méthode se base sur les techniques de l’indice de Conley qui requiert des connaissances
en topologie algébrique. Le but de cette méthode est de construire un semi-conjugué entre le système original
et un système modèle chaotique. La surjectivité du semi-conjugué est prouvée en utilisant la théorie
de l’indice de Conley.
CO-ENCADREMENT D’ÉTUDIANTS EN MAÎTRISE
Pendant quatre années, j’ai contribué à l’encadrement d’étudiants de maîtrise dans leurs projets de
recherche. Aline travaillait sur la théorie de Filippov (systèmes discontinus), et elle s’intéressait à l’étude
des points stationnaires qui sont sur la surface de discontinuité. J’ai accompagné Anne-Sophie dans son
étude d’un système issue de la modélisation d’une maladie infectieuse. Le travail qu’a effectué Yohann
était à la fois numérique et théorique. Ma participation consistait essentiellement à l’aider sur la partie
théorique des systèmes à second membre discontinu de type Filippov. Paul a surtout travaillé sur des
programmes informatiques en C pour réaliser des diagrammes de bifurcations. J’ai passé avec lui aussi
beaucoup de temps pour lui expliquer la théorie des bifurcations, et répondre à ses questions sur la théorie
générale des systèmes dynamiques.
Aline Decaen (2005) : Théorie de Filippov.
Anne-Sophie Mervieu (2004) : Dynamique d’un modèle SIR (maladie infectieuse).
Yohann Saint-Pol (2003) : Calcul des exposants de Lyapunov pour les systèmes dynamiques de type
Filippov.
Paul Bass (2003) : La théorie des Bifurcation.
RÉFÉRENCES POUR LA RECHERCHE (RECH) ET L’ENSEIGNEMENT (ENS)
• M.A Aziz Alaoui (Rech,Ens), Laboratoire de Mathématiques Appliquées du Havre, Université du
Havre, BP 540, 76058 Le Havre cedex, France, aziz.alaoui@univ-lehavre.fr
• Madjid Allili (Rech), Bishop’s University, Department of Computer Science, Lennoxville (Québec)
Canada J1M 1Z7, mallili@ubishops.ca
• Pierre Collet (Rech), École Polytechnique, Centre de physique théorique, 91128 Palaiseau cedex,
France, collet@cpht.polytechnique.fr
• Patrick Fretigné (Ens), Département de Mathématiques Université de Rouen, patrick.fretigne@univrouen.fr
• Olivier Guibe (Ens), Laboratoire de Mathématiques Raphael Salem, UMR 6085 CNRS, Université
de Rouen - Site du Madrillet, Avenue de l’Université, BP 12,76801 Saint-Etienne du Rouvray,
olivier.guibe@univ-rouen.fr
• Tomasz Kaczynski (Rech), Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, Université de
Sherbrooke, Sherbrooke (Québec), Canada J1K 2R1, tomasz.kaczynski@usherbrooke.ca
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Publications et Conférences
Ces publications sont disponibles à l’adresse http ://saraderiviere.ifrance.com/publications_francais.html
Livre (Manuel de cours, phase finale, correction)
Systèmes d’équations différentielles, rédigé avec T. Kaczynski, 2006.
Ph.D thesis
Contribution à l’étude des attracteurs des systèmes dynamiques en dimension finie, Université de
Rouen, soutenue le 13 décembre 2004.
Articles de recherche publiés :
1. M. Allili, D. Corriveau, S. Derivière, T. Kaczynski, A. Trahan, Discrete dynamical system framework
for surface modeling, Journal of Mathematical Imaging and Vision, à paraître, 2007.
2. S. Derivière and M.A. Aziz-Alaoui, Estimation of attractors and synchronization of generalized
Lorenz systems , Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, serie B : Applications
and Algorithms, Vol. 10(6), pages 833-852, 2003.
Proceedings ou rapports de recherche :
3. SD and AA, An invariance principle for discontinuous righthand side systems, Rapport de rech.
de l’Université de Sherbrooke no. 31, février 2006, disponible à l’adresse :
http ://www.usherbrooke.ca/mathematiques/telechargement/
4. SD et AA, Sur une extension du principe d’invariance de LaSalle appliqué aux systèmes chaotiques
à second membres discontinus, 4ème Colloque Chaos temporel et chaos spatio-temporel,
Université de Rouen, CORIA, France, proc. p 209-214, dec. 2003.
5. SD et AA, Estimation d’attracteurs étranges, robustesse par rapport aux petites variations des
paramètres, 6ème rencontre du non-linéaire, IHP, Paris, France, proc. p 101-106, mars 2003.
6. SD et AA, Estimation d’attracteurs étranges, application à l’attracteur de Rössler, 5ème rencontre
du non-linéaire, IHP, Paris, France, proc. p 66-71, mars 2002.
7. SD et AA, Principe d’invariance uniforme et estimation d’attracteurs étranges dans R 3 , 3ème
Colloque Chaos temporel et chaos spatio-temporel, Université du Havre, France, proc. p 65-70,
sept. 2001.
Conférences internationales :
8. Multivalued Discrete Dynamical System Framework for Surface Modeling, Part I : Mathematical
model, Gilles Fournier Memorial Conference on Classical and Computational Topological Methods.
Sherbrooke, Canada, proc. p 1, September, 2006.
9. Multivalued Discrete Dynamical System Framework for Surface Modeling, Part II : Implementation
details, Dynamics, Topology and Computations, Bedlewo, Pologne, proc. p 6, June, 2006.
10. S. Derivière et M.A. Aziz Alaoui, Systèmes dynamiques chaotiques et localisation d’invariants,
2ème Congrès National de Mathématiques Appliquées et Industrielles SMAI’05, Evian, France,
proc. p 105, mai 2005.
11. SD et AA, Estimation d’attracteurs pour les systèmes dynamiques à second membre discontinu,
application à un nouveau système chaotique discontinu, Congrès National d’Analyse Numérique
CANUM’04, Strasbourg, Obernay, France, proc. p 137, juin 2004.
12. S. Derivière and M.A. Aziz Alaoui, On an extension of LaSalle invariance principle applied to
discontinuous right-hand side chaotic systems, ’Dynamics Days 2003’, XXIII annual conference,
4 decades of chaos, Palma de Mallorca, Espagne, proc. p 15, September, 2003.
Présentations données en Conférences ou Séminaires :
13. Comment compter les trous dans une meule de fromage suisse : ou, l’homologie pour les gourmands,
Congrès AMQ2006, Sherbrooke, proc., mai 2006.
14. Chaotic attractors and algebraic topology, Applied Mathematics Institute, University of Alberta,
March, 2006.
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15. Localization and existence of chaotic attractors, Applied mathematics Seminar, University of
Ottawa, February, 2006.
16. Systèmes dynamiques : de la localisation vers l’existence des attracteurs chaotiques, Séminaire
d’analyse non-linéaire / Systèmes dynamiques, CRM, Université de Montréal, décembre 2005.
17. Systèmes dynamiques chaotiques et indice de Conley, Colloque ISM "Sur la route 2005", St Catherine
de Hatley, Québec, octobre 2005 (without proceedings).
18. Une étude sur les systèmes dynamiques à second membre discontinu (du type Filippov), Séminaire
de la géométrie et topologie computationnelle, Université de Sherbrooke (Quebec), septembre
2005.
19. Systèmes dynamiques chaotiques et localisation d’attracteurs, Séminaire de Géométrie, Université
de Bordeaux 1 (France), LaBAG, avril 2005.
20. Contribution à l’étude des attracteurs des systèmes dynamiques en dimension finie, Atelier des
doctorants de l’Université de Rouen (France), octobre 2004.
21. Une étude sur les systèmes dynamiques chaotiques, Séminaire du Laboratoire de Mathématiques
Appliquées de l’Université du Havre (France), mai 2004.
22. Systèmes dynamiques : une première approche sur l’indice de Conley, Atelier des doctorants de
l’Université de Rouen (France), mars 2004.
Écoles d’été
23. S. Derivière, Indice de Conley : Existence d’un attracteur chaotique, Summerschool in Mathematics,
Conley Index, Pappenheim, Allemagne, septembre 2004.
24. S. Derivière et M.A Aziz Alaoui, Délimitation analytique du domaine d’existence des attracteurs
étranges et synchronisation, 3ème école d’été de dynamique non-linéaire, Peyresq, France, juin
2003.
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