Enguehard, Franck_ Iacona, Estelle_ Taine, Jean - Transferts thermiques _ introduction aux transferts d'énergie _ cours et exercices d'application-Dunod (2014)

Jean Taine
Franck Enguehard
Estelle lacona
Transferts thermiques
Introduction aux transferts
d'énergie
Cours et exercices d'application
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DU NOD

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Le pictogramme qui figure ci -contre d'enseignement supérieur, provoquant une
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représente pour l'avenir de l'écrit, ----- les auteurs de créer des œuvres
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s'est généralisée dons les établissements Grands-Augustins, 75006 Paris).
© Dunod, 1991, 1998, 2003, 2008, 2014
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5 rue Larorniguière, 75005 Paris
www.dunod.com
ISBN 978-2-10-071458-2
Le Code de Io propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article
L. 122-5, 2° et 3° a), d'une port, que les «copies ou reproductions strictement
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Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait
donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.

TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos
Index des notations
XIII
XV
PARTIE 1
PREMIÈRE APPROCHE DES TRANSFERTS THERMIQUES
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Chapitre 1. Les principaux modes de transfert d'énergie
l. l Limitations physiques et objectifs
l . l . l Le système
l. l .2 Déséquilibre thermique et équilibre thermodynamique local (E.T.L.)
l. l .3 Objectifs des transferts thermiques - Conventions sur les flux
l .2 Première notion de flux radiatif
l .3 Transfert conductif
l .3. l Flux conductif
l .3.2 Ordres de grandeur des conductivités thermiques
l .3.3 Systèmes à conductivité apparente très élevée : caloducs
l .4 Flux convectif et conducto-convectif
l .4. l Le phénomène de convection
l .4.2 Flux surfacique conductif à une paroi, couplé au phénomène
de convection
l .4.3 Application aux caloducs
l. 5 Conditions aux limites classiques
1.5. l Exemple l : milieu opaque et milieu transparent
l .5.2 Exemple 2 : deux milieux opaques
l .5.3 Exemple 3 : un milieu (semi-)transparent et un milieu transparent
l .5.4 Exemple 4 : contact thermique
l .5.5 Exemple 5 : interface entre deux phases
l .6 Bilan d'énergie en régime stationnaire sans mouvement
1.6. l Formulation générale du bilan d'énergie
1.6.2 Méthodologie de résolution d'un problème de transfert thermique
1.6.3 Exercices d'application
Exercice l. l. Chauffage en volume
Exercice 1.2. Crayon fissile
Chapitre 2. Transferts conductifs stationnaires linéaires
2.1 L'analogie électrique et ses limites
2.1.l Principe
2.1.2 Exercices d'application
Exercice 2.1. Résistances thermiques
Exercice 2.2. Le paradoxe de l'isolant, en géométrie cylindrique
3
3
3
4
5
6
8
8
10
l 1
l 1
l 1
14
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18
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19
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20
20
20
21
22
22
24
27
27
27
30
30
31
Ill

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
Exercice 2.3. Résistance thermique d'un élément d'échangeur plan;
coefficient d'échange global
2.2 Ailettes et approximation de l'ailette
2.2.1 Approximation de l'ailette
2.2.2 Calcul de l'efficacité d'une ailette
2.2.3 Ailette idéale (isotherme)
2.2.4 Ailette infinie
2.2.5 Résultats pour diverses géométries d'ailettes
2.2.6 Validité de l'approximation de l'ailette au sens du profil
de température
2.2.7 Résolution générale du problème de l'ailette (conduction
stationnaire à plusieurs dimensions)
2.2.8 Validité de l'approximation de l'ailette au sens du flux global
2.2.9 Exercices d'application
Exercice 2.4. Ailette en acier: conditions pratiques de l'approximation
de l'ailette
Exercice 2.5. Bilan énergétique simplifié d'un appartement
32
34
35
36
38
39
39
39
40
42
43
43
43
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Chapitre 3. Conduction instationnaire
3.1 Introduction
3.2 Théorèmes généraux
3.2.1 Théorème de superposition
3.2.2 Analyse dimensionnelle - Théorème ll
3.3 Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
3.3.1 Réponse d'un système après un intervalle de temps court
3.3.2 Réponse d'un système à une condition extérieure périodique
3.3.3 Exercice d'application
Exercice 3.1. Contact thermique
3.4 Géométrie finie. Réponse d'un système à un instant quelconque
3.4.1 Réponse à une perturbation brutale
3.4.2 Réponse à un régime forcé
3.5 Échelles de temps et de longueur
3.5.1 Temps caractéristiques
3.5.2 Nombre de Biot
3.5.3 Nombre de Fourier
3.5.4 Exercices d'application
Exercice 3.2. Temps de réponse d'un thermocouple
Exercice 3.3. Pont thermique
49
49
52
52
54
57
57
60
63
63
66
66
68
68
68
70
71
71
71
72
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Chapitre 4. Transferts radiatifs entre corps opaques
4.1 Domaine du rayonnement thermique
4.2 Expression d'un flux monochromatique
4.2.1 Flux monochromatique directionnel
4.2.2 Expression générale du flux monochromatique hémisphérique
4.2.3 Expression du flux monochromatique hémisphérique dans le
d'un rayonnement isotrope
4.2.4 Flux radiatif; vecteur flux radiatif
4.3 Équilibre thermique et propriétés radiatives
cas
75
76
78
78
79
80
81
82
IV

Table des matières
4.3. l Absorptivité et réflectivité monochromatiques directionnelles 82
4.3.2 Rayonnement d'équilibre 83
4.3.3 Émissivité monochromatique directionnelle 84
4.3.4 Loi fondamentale du rayonnement thermique 85
4.3.5 Cas particuliers usuels 85
4.4 Propriétés du rayonnement d'équilibre 87
4.5 Modèles simples de transfert radiatif 89
4.5. l Corps opaque convexe isotherme entouré par un corps noir
isotherme 89
4.5.2 Corps opaque convexe de petite dimension et isotherme placé
dans une enceinte en équilibre thermique 90
4.5.3 Conditions de linéarisation du flux radiatif 91
4.5.4 Extension au cas de milieux transparents par bandes 92
4.5.5 Exercices d'application 94
Exercice 4.1. Mesure par thermocouple de la température d'un gaz 94
Exercice 4.2. Étude thermique d'une ampoule à incandescence 96
4.6 Métrologie radiative; pyrométrie bichromatique 99
4.7 Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques l 0 l
4.7. l Expression du flux radiatif l 0 l
4.7.2 Exemple de calcul direct: intérêt des écrans radiatifs 103
4.7.3 La méthode des flux incidents et partants 104
4. 7.4 Exercice d'application 107
Exercice 4.3. Étalon de luminance - corps noir 107
4.7.5 Propriétés des facteurs de forme l l 0
4.7.6 Exercice d'application l l 2
Exercice 4.4. Structure isolante en cryogénie l l 2
4.8 Généralisation de la méthode l 14
4.8. l Généralisation au cas de parois partiellement transparentes l 14
4.8.2 Généralisation au cas de rayonnement(s) incident(s) directionnel(s) l l 7
Chapitre 5. Introduction aux transferts convectifs 119
5. l Bilan d'énergie pour un système indéformable 120
"O 5. l. l Système matériel 120
0
c
5. l.2 Premier exemple d'application : une filière 120
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0
5. l.3 Système ouvert à frontières fixes en régime stationnaire 122
v ;a; 5.1.4 Retour sur l'exemple de la filière 123
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5. l.5 Exemple 2 : interface solide-liquide, front de fusion 123
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"' 5.2 Bilan d'énergie pour un système fluide monophasique 125
~ ~
..c 't: 5.2. l Théorèmes de transport 125
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'5 5.2.2 Bilan d'énergie (approche simplifiée) 127
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a. 0
c 5.3 Applications simples: transferts dans une conduite; échangeurs de chaleur 130
0
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u .Q 5.3. l Hypothèses simplificatrices 130
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"' 5.3.2 Bilan d'énergie en régime stationnaire l 31
5.3.3 Exercice d'application 133
'5 "' Exercice 5.1. Performances comparées d'échangeurs de chaleur 133
F! 5.4 Analyse dimensionnelle en convection forcée 138
-ci
0
c
0 "'
@
5.4. l Notion élémentaire de viscosité 139
5.4.2 Nombres caractéristiques clés 140
V

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
s.s
S.6
S.7
S.8
S.9
S.4.3 Interprétation physique des nombres caractéristiques
S.4.4 Notion de similitude en convection forcée
S.4.S Transition entre régimes laminaire et turbulent
Convection forcée externe
S.S.1 Convection forcée externe laminaire
S.S.2 Convection forcée externe turbulente
S.S.3 Exercice d'application
Exercice S.2. Refroidissement d'une plaque
Convection forcée interne
S.6.1 Convection forcée interne laminaire
S.6.2 Convection forcée interne turbulente
S.6.3 Comparaison entre les transferts turbulents le long d'une plaque
et dans un tube
S.6.4 Autres écoulements internes; notion de diamètre hydraulique
S .6. S Exercice d'application
Exercice S.3. Écoulement dans un tube
Convection naturelle externe
S.7.1
Analyse dimensionnelle en convection naturelle externe le long
d'une plaque verticale
S.7.2 Transition entre régimes laminaire et turbulent le long d'une plaque
verticale
S.7.3 Principaux résultats pratiques de convection naturelle externe
S.7.4 Exercice d'application
Exercice S.4. Chauffage d'une pièce
Convection naturelle interne
S .8.1 Exercice d'application
Exercice S.S. Lame d'air d'un double vitrage
Convection mixte : compétition entre convection forcée et convection
naturelle
142
145
145
148
148
l 51
155
155
156
156
160
162
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166
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169
l 72
l 73
l 75
l 75
176
176
176
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Problèmes de synthèse de la partie 1
1 Circuit de refroidissement d'un moteur fusée cryogénique
2 Thermique élémentaire d'un réacteur à neutrons rapides
3 Dimensionnement d'un capteur solaire thermique
4 Effet de serre atmosphérique
PARTIE 2
TRANSFERTS THERMIQUES AVANCÉS
Chapitre 6. Rayonnement des milieux denses et des gaz
6.1 Généralités
6.2 Phénomènes volumiques d'absorption, d'émission et de diffusion
6.2.1 Absorption
6.2.2 Émission
6.2.3 Diffusion
6.3 Équation de transfert du rayonnement
179
179
182
187
193
199
201
202
202
203
205
207
VI

Table des matières
6.3. l Formulation locale de l'équation de transfert 207
6.3.2 Couplage avec l'équation de bilan d'énergie 209
6.3.3 Formulation intégrale de léquation de transfert 21 0
6.3.4 Conditions aux limites de léquation de transfert 21 2
6.3.5 Échelles caractéristiques du rayonnement 214
6.4 Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle 21 6
6.4. l Mur plan homogène et isotherme (sans diffusion) 21 7
6.4.2 Exercice d'application 219
Exercice 6. l. Sphère homogène et isotherme (non diffusante) 21 9
6.4.3 Mur plan non diffusant hétérogène et anisotherme 220
6.5 Cas limites de milieux optiquement minces ou optiquement épais 224
6.5. l Milieu hétérogène et anisotherme optiquement mince : moyenne
de Planck 2 24
6.5.2 Milieu hétérogène et anisotherme optiquement épais: loi de Fourier
radiative; moyenne de Rossel and 22 5
6.6 Méthode de dimensionnement: hémisphère équivalente de Hottel 227
6.6. l Principe de la méthode 227
6.6.2 Exercice d'application 231
Exercice 6.2. Transferts radiatifs dans un tube 231
6. 7 Exemples simples de transferts radiatifs avec diffusion 232
6. 7. l Conductivité radiative d'un milieu diffusant et absorbant
optiquement épais
6.7.2 Exercice d'application
Exercice 6.3. Caractérisation d'un milieu poreux diffusant
6.8 Méthodes générales de transfert radiatif
6.8. l Méthode de tracés de rayons
6.8.2 Méthodes d'interpolation et d'ordonnées discrètes
6.8.3 Principe de réciprocité, méthode des zones
6.8.4 Méthode de Monte-Carlo appliquée aux transferts
6.8.5 Approximation différentielle: méthodes P 1 ,P 3 , ••• ,P 2 n+i
232
234
234
236
237
241
243
246
253
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Chapitre 7. Propriétés radiatives des milieux
7. l
7.2
Propriétés radiatives des milieux denses
7.1. l Milieux denses non diffusants dans des conditions
de laboratoire
7.1.2 Propriétés radiatives d'une assemblée de particules
7.1.3 Matériaux réels
Propriétés radiatives des gaz
7.2. l Approche raie par raie
7.2.2 Les phénomène de corrélations spectrales
7.2.3 Modèle statistique à bandes étroites
7.2.4 Modèle CK
7.2.5 Modèles globaux
7.2.6 Comparaison entre modèles approchés
7.2.7 Abaques de Hottel
257
258
258
261
267
274
275
278
281
286
289
291
292
VII

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
Chapitre 8. Équations générales de la convection (fluide monophasique) 293
8. l Équations de bilan pour un fluide homogène 293
8.1. l Dépendance en température et pression des grandeurs
thermophysiques 293
8. l .2 Bilan de quantité de mouvement 294
8.1.3 Bilan d'énergie 296
8.2 Équations de bilan pour un fluide hétérogène 299
8.2. l Bilan de masse d'une espèce 300
8.2.2 Bilan d'une grandeur relative à une espèces 302
8.2.3 Bilan d'énergie d'un fluide monophasique hétérogène 302
8.3 Équations de bilan adimensionnées (transformations isovolumes) 304
8.3. l Convection thermique 304
8.3.2 Convection avec transfert de masse 307
8.4 Analogie entre transferts thermiques et transferts massiques 309
8.4. l Grandeurs et échelles caractéristiques en diffusion d'espèces 309
8.4.2 Principaux nombres caractéristiques en convection 31 0
8.4.3 Conclusion : usage des analogies en convection 31 2
8.5 Couches limites en convection forcée externe laminaire 31 3
8.5. l Approximation de la couche limite 31 3
8.5.2 Solution par la méthode intégrale 31 5
8.6 Couches limites en convection naturelle externe laminaire 31 7
8. 7 Convection forcée interne laminaire 31 8
8.7. l Établissement du régime mécanique dans une conduite 319
8.7.2 Établissement du régime thermique dans une conduite 321
8.8 Convection naturelle interne laminaire 324
Chapitre 9. Transferts turbulents 325
9. l Équations de bilan et échelles caractéristiques 326
9.1. l Équations locales instationnaires de bilan 326
9.1.2 Équations statistiques de bilan en turbulence 327
"O
9.1.3 Échelles mécaniques caractéristiques de la turbulence 330
0
c
9.1.4 Échelles caractéristiques thermiques et scalaires 335
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0
9.1.5 Cascade énergétique 336
v
,..-!
9.2 Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi 337
0
N
9.2. l Contrainte totale Trot 339
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9.2.2 Flux surfacique thermique radial total 340
~
..c
Ol 9.2.3 Structure de l'écoulement 342
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a.
>-
9.2.4 Cas d'un fluide de masse volumique variable 348
0
u 9.2.5 Couplages avec le rayonnement 348
VIII
9.2.6 Structure d'un écoulement turbulent dans une autre géométrie 349
9.3 Les différentes voies de modélisation 349
9.3. l Simulation numérique directe de la turbulence 350
9.3.2 Méthodes fondées sur des équations statistiques de bilan
et la diffusion turbulente 352
9.3.3 Simulation des grandes échelles de la turbulence 359

Table des matières
Chapitre 1 O. Bases physiques des transferts thermiques 361
10.1 Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux 362
10.1.1 Fonctions de distribution des vitesses 363
10.1.2 Vitesses et énergies macroscopiques 364
l 0.1.3 Flux de diffusion 365
10.1 .4 Flux radiatif et luminance 369
10.2 Équilibre Thermodynamique Parfait 370
l 0.2. l
Équilibre thermodynamique parfait du système
matériel 371
l 0.2.2 Équilibre thermodynamique parfait du champ
de rayonnement, loi de Planck 372
10.2.3 Interprétation physique de la loi de Planck
(modèle d'Einstein) 373
l 0.3 Équations d'évolution 375
10.3.1 Équation d'évolution de la distribution des vitesses 375
10.3.2 Équation de transfert du rayonnement pour un gaz 382
l 0.4 Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion 384
l 0.4. l Système matériel 385
l 0.4.2 Exercice d'application 390
Exercice 10.1. Modèle grossier de viscosité et conductivité thermique 390
10.4.3 ETL et solution de perturbation pour le champ
de rayonnement 393
l 0.5 Non équilibre du système matériel : nanosystèmes et milieux raréfiés 394
10.5.1 Conditions de Non équilibre 394
10.5.2 Exercice d'application 396
Exercice 10.2. Régime ballistique d'une assemblée de particules 396
Complément A. Quelques méthodes mathématiques de la diffusion 401
A. l Utilisation de la transformation de Laplace 401
A.2 Utilisation de la méthode de séparation des variables 405
A.3 Utilisation de la fonction de Green en conduction 406
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Complément B. Fonctions et équations usuelles 413
B.1 Fonctions d'erreur (conduction instationnaire) 41 3
B.2 Fonctions intégro-exponentielles (rayonnement) 4 14
B.3 Tenseurs usuels en transferts (convection) 4 14
B.4 Équations utiles en convection (coordonnées cartésiennes et cylindriques) 420
Complément C. Corrélations de convection 423
C. l
C.2
Convection forcée externe 423
C.1.1 Écoulement parallèle à une paroi plane (ou à une paroi de faible
courbure) 423
C.1.2 Écoulement perpendiculaire à l'axe d'un cylindre de section
circulaire
C. l .3 Écoulement impactant une sphère
C. l .4 Autres configurations
Convection forcée interne
C.2. l Tube de section circulaire
425
425
425
425
425
IX

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
C.3
C.4
C.2.2 Plaques parallèles
C.2.3 Autres cas
Convection naturelle externe
C.3.1 Paroi verticale plane
C.3.2 Paroi plane inclinée
C.3.3 Paroi horizontale plane
C.3.4 Cylindre isotherme vertical
C.3.5 Cylindre horizontal
C.3.6 Sphère
C.3. 7 Autres cas
Convection naturelle interne
C.4.1 Enceinte rectangulaire bi-dimensionnelle, infinie
dans une direction horizontale
C.4.2 Autres cas
428
429
429
429
431
431
432
432
432
432
432
432
433
Complément D. Quelques propriétés thermophysiques (conduction
et convection) 435
D. l Gaz à pression atmosphérique 43 5
D.2 Liquides 439
D.3 Solides 442
Complément E. Quelques données radiatives 445
E. l Rayonnement d'équilibre 445
E.2 Quelques facteurs de forme 44 7
E.3 Emissivités totales des gaz 448
Complément F. Données diverses 451
F. l Conversions d'échelles de température
F.2 Conversions d'unités diverses
451
451
Bibliographie 453
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Index 461
X

AVANT-PROPOS
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Plus de 85 % de l'énergie consommée dans le monde passe par la combustion de
réserves fossiles ou de ressources renouvelables. D'autre part, quelles que soient les
technologies utilisées, la maîtrise de l'énergie nucléaire, de l'énergie solaire thermique,
de la géothe1mie profonde ou des pompes à chaleur reposent en partie sur les
transferts thermiques. De plus, les efficacités des systèmes de propulsion, de production
d'énergie et, plus généralement encore, de la plupart des systèmes industriels ou
d'usage courant, électroniques par exemple, dépendent aussi de la maîtrise du conditionnement
thermique de ces systèmes. Les transferts thermiques constituent donc
une science clé de l'énergie.
La cinquième édition de cet ouvrage repose sur l'expérience acquise par les
trois auteurs, professeurs à l'École Centrale Paris, tant en enseignement qu'en recherche
au sein du laboratoire d'énergétique moléculaire, macroscopique combustion
(EM2C). Elle est organisée en deux paities :
La première partie de l'ouvrage « Première approche des transferts thermiques»,
de niveau Licence 3, constitue une présentation de l'ensemble de la discipline avec
un minimum de formalisme. Les différents modes de transfert, par conduction, rayonnement
et convection thermiques, sont progressivement introduits en privilégiant une
approche physique des phénomènes. Dans cette partie, les applications envisagées
sont généralement monodimensionnelles, de façon à éviter les difficultés d'ordre mathématique
ou numérique engendrées par des géométries complexes. Dans le même
esprit, les transferts convectifs sont abordés en amont d' un cours de mécanique des
fluides dans cette première partie. L'accent est mis qualitativement d'abord, puis à
paitir des outils de l'analyse dimensionnelle, sur le couplage entre phénomènes de
diffusion et de convection dans les couches limites. Cette première partie du cours est
illustrée :
d'exercices d'application immédiate résolus, au fil des paragraphes,
't: - de problèmes de synthèse résolus, en fin de partie. Représentatifs de la grande
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diversité des applications de la discipline, ils mettent en jeu les couplages entre les
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différents modes de transfert.
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~ La deuxième partie « transferts thermiques avancés», de niveau Master, introduit
o.
~ des modèles avancés de rayonnement thermique et de transfert convectif. Le cas gé-
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néral des transferts radiatifs en milieu semi transparent et les cas limites des milieux
-ci
§ optiquement minces et des milieux optiquement épais sont abordés. Une attention
~ particulière est portée sur la modélisation des propriétés radiatives des gaz, prenant
XI

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
en compte l'épineux problème des corrélations spectrales. Le chapitre sur les différentes
voies de modélisation des transfe1ts turbulents intègre des développements
récents de la recherche. Le chapitre « Bases physiques des transferts » constitue une
innovation de cette cinquième édition. Au-delà du traitement des transferts diffusifs et
radiatifs en non-équilibre et à l'équilibre thermodynamique local, ce chapitre constitue
une introduction à la nanothermique. Cette deuxième partie du cours constitue
aussi une référence pour les ingénieurs d'études avancées et de recherche, ainsi que
pour les chercheurs.
Jean Taine, Franck Enguehard, Estelle Iacona
Juin 2014
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INDEX
DES NOTATIONS
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a (m 2 s- 1 )
b (Wm- 2K- 1s1;2)
C, c (JK- 1 , JK- 1 kg- 1 )
C (m 2 )
Cr (WK- 1 )
c, co (ms- 1 )
Cs (kgm- 3 )
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D sb (m 2 S- 1 )
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ep(m)
E, e, 8 (Jm- 3 , Jkg- 1 , J)
E
f , f ij
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hp (J.s)
h (Wm- 2 K- 1 )
H, h, 1i (Jm- 3 , Jkg- 1 , J)
j (Am- 2 )
ks (JK- 1 )
k (m 2 s- 2 )
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Lm, Lrh (m)
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~ Lv (Wm- 2 Hz- 1 se 1 )
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B N.D.T (N.T.U)
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§ q, qi (Wm- 2 )
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@ r,R(JK- 1 kg- 1 , JK- 1 mol- 1 )
grandeur massique, volumique, totale
diffusivité thermique
effusivité
capacité thermique, capacité thermique massique
section efficace
débit de capacité
célérité du rayonnement, dans le vide
concentration d'une espèce s
diamètre hydraulique
diffusivité d'une espèce s dans un bain b
épaisseur optique
profondeur de pénétration
énergie interne volumique, massique, totale
efficacité d'un échangeur
facteur de forme
résultante des forces massiques
constante de Planck
coefficient de transfert
enthalpie volumique, massique, totale
vecteur densité de courant
constante de Boltzmann
énergie cinétique turbulente massique
constante de Von Karman
constante thermique turbulente ine1tielle
longueur d'établissement mécanique, thermique
luminance monochromatique (ou spectrale)
ou (Wm- 2 (cm- 1 ) - 1 se 1 )
masse, masse totale, masse molaire,
débit de masse
n01male orientée
nombre d' unités de transfert
pression
puissance volumique, puissance totale
efficacité (théorie de la diffusion)
vecteur flux surfacique
constante massique, molaire des gaz parfaits
XIII

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
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u(ms- 1 )
u (Jm- 3 )
v (ms- 1 )
v, vi (ms- 1 )
w (mç 1 )
W.Dext (mÇ 1 )
z(O, À/Àm)
Caractères grecs
œ
/3 (m-1)
Y (m- 1)
y (Nm- 1 )
r (W K - 1 )
E
s (m 2 s- 3 )
K (m-l)
TJ, (T/oo)
T/v (Wm- 3 Hz- 1 sc 1 )
il ütm)
il (Wm- 1 K- 1 )
µ (kgm- 1 s- 1 )
V (m2çl)
v (Hz ou cm- 1 )
II (m2ç3)
p (kgm- 3 )
p
a- (Wm- 2 K- 4 )
a- (cm- 1 )
T
r.p, <P (Wm- 2 , W)
n
w
résistance thermique
tenseur des taux de déformation
température
temps
vecteur unitaire
vitesse suivant Ox
densité volumique d'énergie radiative
vitesse suivant Oy
vecteur vitesse
vitesse suivant Oz
vitesse de déplacement de l'interlace
fonction de distribution spectrale cumulée
du rayonnement d'équilibre
absorptivité
coefficient d'extinction
coefficient de pénétration (milieu diffusant isotrope)
tension superficielle
conductance thermique
émissivité
dissipation d'énergie cinétique turbulente
coefficient d'absorption
efficacité d'une ailette, (infinie)
coefficient monochromatique d'émission
longueur d'onde
conductivité thermique
viscosité dynamique
viscosité cinématique, diffusivité mécanique
fréquence ou nombre d'onde
production d'énergie cinétique turbulente
masse volumique
réflectivité
constante de Stefan
coefficient de diffusion
transmittivité
flux surfacique , flux total
angle solide
albedo
XIV

Index des notations
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Nombres caractéristiques
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Ri
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St
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Indices usuels hauts
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ext
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nombre de Biot
coefficient de frottement
nombre d' Eckert
nombre de Froude
nombre de Graetz
nombre de Grashof
nombre de Knudsen
nombre de Lewis
nombre de Nusselt
nombre de Ohnesorge
nombre de Péclet
nombre de Prandtl
nombre de Rayleigh
nombre de Reynolds
nombre de Richardson
nombre de Sherwood
nombre de Stanton
nombre de Weber
absorbé (rayonnement)
diffusé (rayonnement)
émis (rayonnement)
éteint (rayonnement)
incident (rayonnement)
partant (rayonnement)
réfl échi (rayonnement)
radiatif
équilibre
directionnel
de frottement (T*, v*, · · · )
relatif aux structures dis si pati ves (turbulence)
relatif aux structures énergétiques (turbulence)
de débit (vitesse), de mélange
relatif à une espèce s
grandeur turbulente
grandeur spectrale
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Cette première partie de l'ouvrage, de niveau Licence 3, constitue à la fois une introduction
aux transferts thermiques fondée sur la compréhension physique des phénomènes
et un document de base pour l'ingénierie thermique. Les trois modes de transfert,
par conduction, rayonnement et convection thermiques, sont abordés et couplés
dans des applications concrètes. La maîtrise du premier principe de la thermodynamique
et de notions élémentaires de mathématiques de niveau licence de mécanique
ou physique est suffisante pour une complète assimilation du cours. Un ensemble de
compléments, en fin d'ouvrage, permettent de dimensionner, au moins en première
approche, de nombreux systèmes au sein d'applications variées.
Comme cette première paitie est focalisée sur la compréhension physique des phénomènes,
les transferts thermiques sont le plus souvent traités à une dimension, de
façon à alléger le formalisme mathématique. Une attention pai·ticulière est portée
à la modélisation des systèmes thermiques dans des exercices d'application et des
problèmes de synthèse qui illustrent le cours : d'abord en définissant une stratégie de
résolution, ensuite en construisant à pa11ir d'hypothèses réalistes des modèles simples
et en résolvant ces problèmes alors bien conditionnés, enfin en validant a posteriori
ces modèles.
Le premier chapitre introduit à un niveau élémentaire les modes de transfert et le
bilan d'énergie en régime stationnaire, en absence de mouvement. Le second chapitre
est consacré aux modèles linéaires de conduction thermique stationnaire, quand les

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
propriétés des milieux dépendent faiblement de la température. Le Chapitre 3 introduit
les bases de la physique macroscopique de la diffusion, à partir de l'exemple
par excellence que constitue la conduction thermique instationnaire. Les transferts
radiatifs entre corps opaques à travers un milieu transparent sont abordés dans le
Chapitre 4. Le dernier chapitre est consacré à une approche phénoménologique de
la convection thermjque forcée ou naturelle, en régime laminaire ou turbulent. Les
notions de base essentielles introduites dans cette première partie sont étendues à un
niveau mas ter dans la deuxième partie de l'ouvrage.
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LES PRINCIPAUX
MODES DE TRANSFERT
D'ÉNERGIE
Notions clés
Équilibre Thermodynamique Local (E.T.L.), flux cond uctif, flux radiatif, fl ux
convectif, flux conducto-convectif, conditions aux li mites, bilan en régime stationnaire
sans mouvement .
1.1 LIMITATIONS PHYSIQUES ET OBJECTIFS
1.1.1 Le système
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Tout système physique se compose de deux sous-systèmes en interaction permanente
: un système matériel et un champ de rayonnement.
Le système matériel est en général considéré du point de vue des milieux continus.
Il est en fait constitué, à l'échelle élémentaire, de molécules (atomes, ions, molécules),
d'électrons, de particules fictives telles que les phonons (qui représentent des
quanta d'énergie de vibration dans un solide). Adopter le point de vue des milieux
continus consiste à limiter l'analyse d' un système matériel à des éléments de volume
arbitrairement petits à l'échelle macroscopique mais suffisamment grands pour
que les nombres de molécules qu'ils contiennent soient extrêmement élevés [1 12]. À
titre d'exemple, l'état d'un système matériel fluide, dans un élément de volume dV,
pendant un bref intervalle de temps dt, est caractérisé par des grandeurs physiques
macroscopiques : pression, vitesse hydrodynamique (vitesse du centre de masse des
molécules dans d V), etc. et, sous certaines conditions seulement, température.
Le champ de rayonnement électromagnétique est caractérisé à l'échelle macroscopique
par la donnée à chaque instant t, en tout point r de l'espace, pour toute
direction u, d' une grandeur énergétique L~ dépendant de la fréquence v et appelée
luminance monochromatique 1 , qui sera définie dans le Chapitre 4. Le champ radiatif
résulte de la distribution des photons caractérisés chacun par une fréquence v, une
quantité de mouvement p et un état de spin m 5 •
1. La luminance est introduite directement en physique statistique (voir paragraphe 10.1.4).
3

Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d'énergie
1.1.2 Déséquilibre thermique et équilibre
thermodynamique local (E.T.L.)
L'équilibre thermique, une des conditions del' Équilibre Thermodynamique Parfait
(E.T.P.), est caractérisé par l'isothermie à la température absolue 2 T (en K) de l'ensemble
du système ou, formulation équivalente, par l'absence de tout flux thermique.
Les systèmes considérés dans cet ouvrage sont en déséquilibre thermique, par
exemple du fait des contraintes imposées par le milieu extérieur. De nombreux mécanismes
à l'échelle élémentaire tendent alors à faire retourner le milieu vers un état
d'équilibre thermique : collisions molécule-molécule ou molécule-paroi, transitions
molécule-photon (absorption, émission spontanée, émission induite, etc.), interactions
phonon-phonon, phonon-électron, électron-photon, phonon-photon, etc. L' évolution
énergétique du système résulte du couplage, à l'échelle macroscopique, entre:
• Les effets cumulés de ces processus élémentaires de transfert thermique, qui
donnent naissance aux phénomènes de conduction et de rayonnement thermique,
• Le transfert de chaleur associé à un éventuel transfert macroscopique de masse,
appelé convection.
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Dans le cas d'un déséquilibre thermique important le système matériel ne peut être
caractérisé, au point r, à l'instant t, que par la distribution statistique des populations
NiJ des différentes espèces j (molécules, particules) sur les différents niveaux quantiques
d'énergie i, discrets ou continus. Les mécanismes mentionnés précédemment,
comme les collisions par exemple, conduisent à des équations de relaxation régissant
les évolutions des populations Nij' analogues aux équations de la cinétique chimique.
Une méthode puissante pour décrire les évolutions du système est le formalisme des
équations de Boltzmann [ 46]. Cette approche est nécessaire à l'étude des transferts
thermiques dans diverses applications : milieux lasers, plasmas froids utilisés comme
source d'énergie ou pour la production de composites (torches à plasma), plasmas de
fusion, rentrée d'engins dans l'atmosphère, milieux raréfiés, nanosystèmes, etc.
Toute la physique des transfe1ts dans les milieux continus repose sur l'hypothèse
de 1' équilibre thermodynamique local 3 (E.T.L. ou L.T.E. dans la bibliographie anglosaxonne)
qui con-espond à une situation de déséquilibre faible : pendant un intervalle
de temps dt et dans un élément de volume dV arbitrairement petits, mais à l'échelle
macroscopique, le système matériel est infiniment voisin d' un état d'équilibre tangent,
caractérisé par un ensemble de valeurs des grandeurs physiques intensives et
2. La température absolue est introduite quantitativement [1 12], à partir du seul postulat fondamental
de la physique statistique appliqué à une partition d'un système isolé à l'équilibre thermodynamique
(construction de l'ensemble représentatif canonique).
3. C'est, en toute rigueur, l'état correspondant à la solution d'ordre zéro de l'équation de Boltzmann
(voir un cours de physique statistique, par exemple [ 46]).
4

1.1. Limitations physiques et objectifs
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extensives. Concrètement l'hypothèse de l'E.T.L. signifie qu'il est possible de définir,
à chaque instant t, en tout point r, les variables physiques usuelles en pa1ticulier
la température T(r,t). Elle revient à admettre que les degrés internes du système matériel
sont thermalisés (distribution de Maxwell-Boltzmann des populations sur les
niveaux d'énergie). Un critère simple de validité des conditions de l'E.T.L. dans un
élément de volume dV macroscopiquement petit (paragraphe 10.4) est que le libre
parcours moyen (l.p.m.) des po1teurs responsables de la thermalisation soit petit par
rapport à une dimension L de cet élément (Kn= l.p.m./L, nombre de Knudsen, petit
devant 1.)
Nous adoptons, dans la suite de l'ouvrage, l' hypothèse de l'E.T.L. pour le seul
système matériel. Le système physique considéré est alors le siège de transformations
irréversibles macroscopiques auxquelles sont associés des flux.
Dans le référentiel d'un élément du système matériel, l'effet cumulé à l'échelle
macroscopique du transpo1t par des particules (molécules, électrons, phonons, etc.)
de différentes grandeurs physiques extensives (charge électrique, nombre de molécules
d'une espèce donnée, énergie) se traduit par des flux macroscopiques de diffusion
: conduction électrique, diffusion d'une espèce dans un milieu, conduction
thermique, etc. Ces flux de diffusion apparaissent dans n'importe quel référentiel de
référence.
Dans un référentiel quelconque, à tout transfert macroscopique de masse engendré
par le mouvement global d' une partie du système matériel sont associés des flux
macroscopiques de charge électrique, d'énergie, etc.; ce sont les phénomènes de
convection : convection électrique, convection thermique (qui est plus précisément
une convection d'enthalpie), etc. Les phénomènes de diffusion se couplent aux phénomènes
de convection dans un référentiel quelconque.
Les interactions entre les molécules du système matériel et les photons du champ
de rayonnement conduisent, dans le cas où système matériel et champ de rayonnement
sont en déséquilibre, à des flux macroscopiques d'énergie sous forme de rayonnement
thermique. Si le système matériel est ici considéré au voisinage de l'E.T.L.,
le champ de rayonnement est généralement en déséquilibre profond 4 .
1.1.3 Objectifs des transferts thermiques - Conventions
sur les flux
L'objectif des transferts thermiques est de déterminer, dans tout système matériel
physique voisin de l'E.T.L., les évolutions des champs de température T(r,t) et de
flux d'énergie, quelle que soit la forme de cette énergie, en vue de la maîtrise et du
conditionnement thermique de ce système.
4. Le champ de rayonnement est voisin de l'E.T.L. uniquement dans les milieux dits optiquement épais
(voir paragraphes 6.4 et 10.5).
5

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
Une transformation sera dite instationnaire si, par rapport à un référentiel donné,
les grandeurs physiques A(r,t) considérées, scalaires, vecteurs ou tenseurs, dépendent
explicitement du temps :
8A(r,t) O
(1.1)
8t * .
Une transformation sera dite stationnaire dans le cas contraire :
8A(r,t) = O
8t .
(1.2)
Nous adopterons les conventions définies ci-dessous pour les flux à travers une surface
ouverte :
• La puissance élémentaire d<P, exprimée en W, traversant algébriquement une surface
élémentaire dS orientée par une normale n (figure 1.1) et appelée flux élémentaire
d'énergie à travers dS, s'écrit en fonction du vecteur flux surfacique d'énergie
q:
d<t> = q · n dS.
(1.3)
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q
Figure 1.1 - Élément de surface orienté.
• On appelle flux surfacique (algébrique) d'énergie, au point M, à travers la smface
dS orientée, la quantité, exprimée en W m- 2 :
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Pour chacun des modes de transfert cités précédemment (conduction, convection,
rayonnement) nous définirons les quantités d<P, q et <p. En pratique, les normales
aux surfaces ouvertes sont orientées dans le sens des axes du référentiel. Ces flux
à travers des suif aces ouvertes sont comptés positivement dans le sens des axes .
1.2 PREMIÈRE NOTION DE FLUX RADIATIF
Le Chapitre 4 est consacré à l'étude du rayonnement thermique dans des cas simples.
Nous nous limitons dans le présent paragraphe à introduire la notion de flux radiatif.
De l'énergie est échangée en permanence entre un système matériel et le champ de
rayonnement par deux processus : l'émission et l'absorption. L'émission spontanée de
6

1.2. Première notion de flux radiatif
rayonnement est une conversion d'énergie matérielle (énergie de vibration-rotation,
énergie électronique, énergie des phonons, etc.) en une énergie radiative (photons).
L'absorption de rayonnement consiste en une conversion inverse d'énergie radiative
en énergie matérielle 5 . D'autres processus (diffusion sans changement de .fréquence,
réflexion) correspondent à des changements de direction d'un rayonnement incident
mais n' influent pas directement sur l'énergie du système matériel.
On distinguera trois types de milieux matériels homogènes vis-à-vis du rayonnement
: deux cas limites importants, les corps transparents et les corps opaques, et le
cas général des milieux semi-transparents.
Un milieu transparent n'interagit pas avec le champ de rayonnement; il n'émet
pas, n'absorbe pas, ne réfléchit pas, ni ne diffuse de rayonnement; tout rayonnement
incident est transmis quelles que soient sa direction et sa fréquence (ou longueur
d'onde).
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co1ps
opaque
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Figure 1.2 - Interaction
rayonnement-corps opaque.
Figure 1.3 - Flux émis et absorbé.
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Un corps opaque ne transmet aucune fraction d'un rayonnement incident (i); ce
dernier est alors soit absorbé (a), soit réfléchi (r) (figure 1.2). Plus restrictivement,
nous définirons un corps opaque comme un milieu tel que la profondeur 17 de pénétration
du rayonnement est faible devant une dimension caractéristique du système :
d. Dans la mesure où un corps opaque absorbe du rayonnement (a), il est susceptible
d'en émettre ( e ), en tout point de sa frontière6 .
Par souci de clarté, absorption et émission ont été représentées en des points différents
sur la figure 1.2. Soit un corps opaque dont la surface frontière est normale en 0
à l'axe Ox (figure 1.3). Le flux suif'acique radiatif 'PR caractérise la puissance échangée
entre le corps opaque et le champ de rayonnement. Il s'écrit algébriquement avec
5. Le phénomène antagoniste de l'absorption, appelé émission induite, qui joue un rôle essentiel dans
les milieux lasers, n'est pas abordé ici. Ce phénomène est globalisé avec celui d'absorption dans Je cas
considéré où Je système matériel est proche de l'E.T.L.
6. En effet, les phénomènes d' émission et d'absorption sont tous deux produits par un mmnent dipolaire
électrique, qui caractérise la distribution de charge électrique au sein de l'élément matériel considéré.
7

Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d'énergie
la convention qui consiste à compter positivement le flux suivant Ox:
(1.5)
Dans cette expression, <.pe et <.pa sont des grandeurs arithmétiques, respectivement les
flux surfacique émis et flux surfacique absorbé par le corps opaque au point 0, qR
est le vecteur flux radiatif et n le vecteur normal unité. Dans le cas d'un solide par
exemple, le premier terme de l'équation 1.5 <.pe représente la disparition d'énergie
matérielle (phonons, etc ... ) par émission, le second <.pa l'apparition d'énergie matérielle
à la frontière du corps par absorption. Les quantités <.pe et <.pa sont intégrées sur
tout le spectre des longueurs d'onde (fréquences) et sur toutes les directions du demiespace
correspondant. Il est important de noter que le flux réfléchi n'intervient pas
dans l'équation 1.5.
À l'équilibre thermique, le flux radiatif surfacique <.pR est nul. Hors d'équilibre,
<.pR représente un flux d'énergie qui se propage sous forme radiative dans le milieu
transparent et diffuse sous forme conductive dans un solide opaque.
Un milieu semi-transparent réfléchit, absorbe, diffuse ou transmet sur une longueur
finie un rayonnement incident ; il émet également du rayonnement. Si dans
le cas de corps opaques les interactions rayonnement-matière peuvent, en première
approximation, être considérées comme superficielles, elles doivent être nécessairement
traitées comme volumiques dans le cas d'un milieu semi-transparent. Le cas
des milieux semi-transparents est abordé dans le Chapitre 6.
1.3 TRANSFERT CONDUCTIF
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Le transfert d'énergie par conduction se produit dans tout référentiel, en particulier
dans le référentiel d'un élément matériel, dès lors qu'il existe un gradient de température
: il représente l'effet global du transport d'énergie par les po1teurs élémentaires
(molécules, phonons, électrons, etc.).
1.3.1 Flux conductif
Dans le cas de milieux homogènes et isotropes (fluides ou solides), le vecteur flux
surfacique conductif q cd est proportionnel au gradient de température local VT, suivant
la loi de Fourier :
qcd = -/l(T)VT. (1.6)
A(T), appelée conductivité thermique (en wm- 1 K- 1 ), dépend en général fortement
de la température. Les conductivités thermiques de matériaux et de fluides usuels
sont données dans le Complément D et dans [142, 143, 144]. Le signe moins dans
l'équation 1.6 provient du second principe de la thermodynamique.
8

1.3. Transfert conductif
Dans le cas d' un fluide, les p01teurs élémentaires (molécules, atomes, ions etc.)
sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration-rotation,
des énergies électroniques, etc. Le formalisme d'Enskog [26, 46, 60] dérivé del' équation
de Boltzmann permet de calculer, avec une excellente précision, la conductivité
thermique d'un gaz comme toutes les autres propriétés de transport (viscosité, diffusivités
d'espèces, etc.), même dans le cas d'un mélange dans un milieu réactif.
Dans le cas de solides, les atomes sont liés dans un réseau cristallin plus ou moins
parfait. Les vecteurs élémentaires de l'énergie sont les phonons (quanta de vibration
du réseau) et, éventuellement, les électrons libres (ou de conduction électrique et
thermique). La modélisation des transferts par conduction électrique et thermique
relève des méthodes de la physique du solide [76, 162].
La loi de Fourier correspond à l'approximation de la réponse au premier ordre
d'un système et est analogue à de nombreuses autres lois physiques correspondant à
des phénomènes similaires de diffusion, engendrant des flux de charge électrique, de
fraction massique, etc. :
• la loi d'Ohm, sous sa forme vectorielle :
j = o-E = -o-VVez, (1.7)
où j, E, a- et Vet représentent respectivement les vecteurs densité de courant et
champ électrique, la conductivité et le potentiel électriques ;
• la loi de Fick, relative à la diffusion d'une espèce diluée dans une autre espèce :
(1.8)
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où q~ représente le flux de masse de l'espèce s (en kg m- 2 ç 1 ), Ds la diffusivité
(en m 2 s- 1 ) , es la concentration (en kg m- 3 ).
De nombreux corps ne peuvent être considérés comme homogènes et isotropes (corps
composites, isolants fibreux, pneumatiques, corps feuilletés présentant des conductivités
différentes dans le plan de clivage et dans la direction perpendiculaire). La loi
de Fourier se généralise alors en considérant la conductivité comme un tenseur. Un
exemple de corps de ce type est donné figure 1.4. On voit que la conductivité peut
dépendre d'une manière très critique de la direction.
La loi de Fourier ne fait pas intervenir explicitement le temps : elle postule une
réponse instantanée en tout point d' un milieu à une perturbation thermique survenant
en un point M. Cette hypothèse est valable tant que les échelles de temps considérées
sont grandes devant celles caractérisant le transfert par collisions entre porteurs
élémentaires (temps de relaxation). En pratique, la loi de Fourier est valable dans la
quasi-totalité des applications. Une discussion est menée dans le paragraphe 10.5.
9

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
10./--------~
J.. (Wm- 1 K ~
,
ur
I 0 .....__-...-+----+-....,......-+--.......
1 JO JO-
Figure 1.4 - Conductivité du graphite pyrolithique [ 144); a) parallèlement au plan de
clivage; b) perpendiculairement.
1.3.2 Ordres de grandeur des conductivités thermiques
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L'échelle des conductivités thermiques est beaucoup plus réduite que celle des
conductivités électriques (rapport 1 à 5.10 4 contre 1 à 10 40 ). Les conductivités thermiques
de quelques corps sont représentées en fonction de la température sur la figure
1.5. La distinction entre conducteurs et isolants thermiques présente un caractère
un peu arbitraire ; néanmoins, on peut noter une certaine correspondance avec
les conducteurs et isolants électriques.
Parmi les bons conducteurs, il faut citer les métaux en général, le cuivre et l'aluminium
en particulier, et les alliages de ces métaux [143]. Les aciers sont des conducteurs
médiocres de la chaleur ; pour un acier inoxydable courant, la conductivité ne
vaut pas plus que 15 wm- 1 K- 1 à 300 K.
Les gaz ont des conductivités faibles (de l'ordre de quelques 10- 2 wm- 1 K- 1 );
celles-ci évoluent très grossièrement en fonction de la température absolue en T 0 • 7
et sont indépendantes de la pression, dans un large intervalle de pressions, jusqu'à
quelques 10 6 Pa. La conductivité d'un mélange gazeux a une expression complexe
en fonction des conductivités des constituants. Il faut tenir compte en effet des différents
types d'interactions collisionnelles à l'échelle des molécules. Des tables de
conductivité existent pour certains mélanges usuels [142] .
À première vue, les gaz constituent d'excellents isolants. Mais une restriction fondamentale
à leur usage comme isolants thermiques apparaît très vite : c'est le phénomène
de convection naturelle développé dans le paragraphe suivant. Cependant on
peut constituer des isolants avec des milieux divisés, fibreux ou poreux, baignés par
l'air; les interstices sont alors assez petits pour que la convection naturelle ne puisse
se développer, du fait de la viscosité du fluide : laines de verre, etc. Les transferts
dans de tels milieux sont essentiellement dus à la conduction (contacts entre fibres)
et au rayonnement, même à basse température.
10

1.4. Flux convectif et conducto-convectif
cuivre
JO~ '
aluminium
JO
acierAJSI3J6
J
-1
JO
: 1.1 verre
, eau {liquide)
-r<J.61 ~téflon
'
T(K)
J OO 300 500 'JOO
Figure 1.5 - Évolution de la conductivité avec la température.
1.3.3 Systèmes à conductivité apparente très élevée :
caloducs
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Un caloduc est un système pouvant prendre la forme d' un baireau, dont l'enveloppe
externe est souvent en acier, et qui présente entre ses deux extrémités une conductivité
apparente très élevée, bien supérieure à celle du cuivre, dans ses conditions
d'utilisation. Le principe de fonctionnement du caloduc est complexe et met en jeu
un fluide sous deux phases entre un évaporateur et un condenseur. Des notions sur les
caloducs sont données dans le paragraphe 1.4.3.
1.4 FLUX CONVECTIF ET CONDUCTO-CONVECTIF
1.4. l Le phénomène de convection
La convection thermique est un transfert d'énergie par rapport à un repère donné,
consécut~f à un transport macroscopique de masse dans ce repère.
Considérons l'écoulement d'un fluide au travers d'une surface élémenta.ire dS caractérisée
par une normale orientée n (voir figure 1.6). Le débit de masse à travers
11

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
X
y
plafond
OO
plancher chaud
Figure 1.6- Flux convectif.
Figure 1.7- Exemple de convection
naturelle.
dS , noté dm, est donné par :
dm= pv · n dS, (1.9)
où p désigne la masse volumique et v la vitesse 7 locale du fluide par rapport à la
surface dS. À ce transfert macroscopique de masse est associé un transfert d' enthalpie
en M , caractérisé par unflux convectif d<Pcv :
d<Pcv = pv · nhdS =dm h, (1.10)
où h désigne l'enthalpie massique locale du fluide en M rapportée à une orig.ine
arbitraire des températures. Le vecteur flux surfacique convect{f est défini par :
qcv = pv h tel que : 'Peu = pv · n h. (1.11)
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On distingue traditionnellement tro.is types de convection.
Un phénomène de convection forcée apparaît quand le mouvement du fluide est
imposé par une cause mécanique extérieure au système. C'est le cas, par exemple,
des échangeurs industriels, des radiateurs de voitures, qui sont essentiellement des
convecteurs : deux fluides en mouvement échangent de l'énergie à travers une paroi
dont la température diffère des leurs. Comme les vitesses d'écoulement peuvent atteindre
des valeurs très élevées, le transfert associé à la convection forcée est souvent
extrêmement efficace (voir paragraphe 1.4.2) .
Un phénomène de convection naturelle thernlique apparaît spontanément, sous
certaines conditions, dans un fluide au sein duquel existe un gradient de masse volumique
dû à un gradient de température imposé par le milieu extérieur. Prenons
comme exemple une pièce dont le plancher est plus chaud que le plafond (chauffage
par le sol). L'air chaud au voisinage du plancher, moins dense que l'air froid
7. Dans tout cet ouvrage, on appelle vitesse la vitesse hydrodynamique définie en physique statistique :
voir le paragraphe l 0.1.2.
12

1.4. Flux convectif et conducto-convectif
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proche du plafond, va monter sous l'effet d'une force d'Archimède, tandis que l'air
froid va descendre (figure 1.7). L'écoulement est freiné par les forces de frottement
visqueux, premier phénomène dissipatif, et 1' écart de température, cause du phénomène,
est amoindri par conduction thermique, second phénomène dissipatif. Sous
1' effet de deux forces antagonistes (d'Archimède et de frottement), le fluide atteint
sous ce1taines conditions une vitesse limite conduisant en tout point à un écoulement
stationnaire. Cet écoulement fait passer de l'énergie du plancher au plafond : ce
transfert est évidemment beaucoup plus important qu'un transfert purement conductif
dans l'air immobile, dont la conductivité est faible. La convection naturelle est
en général beaucoup moins efficace que la convection forcée, qui aurait lieu dans
1' exemple précédent si on utilisait un ventilateur dans la pièce. On est cependant souvent
obligé de se limiter à un transfert par convection naturelle dans de nombreuses
applications pour des raisons techniques ou économiques (coût et fiabilité). Des ailettes
permettent alors d'augmenter la surface d'échange entre le fluide et le système :
refroidissement de pompes, de gros transformateurs électriques, d'éléments électroniques
(voir paragraphe 2.2).
La convection mixte correspond au couplage des deux phénomènes précédents
(convections naturelle et forcée) quand les vitesses d'écoulement, fictives, dues aux
deux types de convection sont, considérées séparément, du même ordre de grandeur.
Quel que soit le type de convection considéré on distingue, suivant la vitesse du
fluide, deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. Nous limiterons la présente
introduction à une description qualitative. Considérons un écoulement dans un
tube transparent de section constante et supposons qu'on puisse suivre par des traceurs
les évolutions d'éléments matériels macroscopiques de ce fluide.
À faible vitesse, l'écoulement se fait de façon ordonnée, parallèlement aux génératrices
du tube, sans brassage du fluide : un mince filet d'encre ne s'étale pas sensiblement.
Il ne s'étale que par phénomène de diffusion. C'est un régime laminaire. En
tout point, on peut définir de façon déterministe la vitesse et la température du fluide
à chaque instant, à partir des conditions initiales.
Si la vitesse croît, le type d'écoulement change totalement à pa1tir d'une vitesse
critique Ve (qui dépend de la nature du fluide, du diamètre du tube, voire de la rugosité
des parois). Les filets d'encre sont animés de mouvements tourbillonnaires de caractère
apparemment aléatoire; le mouvement du fluide devenu chaotique se fait à trois
dimensions, avec un brassage important qui favorise les échanges thermiques comme
il accélère la répartition du colorant dans tout le fluide. C'est un régime turbulent. De
la même manière, la température moyenne du fluide est homogénéisée dans chaque
section du tube. L'écoulement étant devenu chaotique, il n'est plus possible de prédire
de manière exacte les valeurs des champs de vitesse et de température du fluide.
13

Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d'énergie
En premières approches, ces champs sont considérés comme étant les superpositions
de champs moyens 8 v et t et de champs fluctuants v' et T'.
Dans un problème de convection, il est nécessaire de déterminer à la fois les
champs de vitesse et de température pour déterminer les flux d'énergie échangés dans
le système 9 . Dans ce cours introductif, nous allons traiter un grand nombre d' applications
à partir du modèle phénoménologique simple du coefficient de transfe1t
convectif h, qui va être introduit dans le paragraphe suivant sur un exemple significatif.
L'évaluation de ce coefficient h dans un certain nombre de situations pratiques
fait l'objet du Chapitre 5.
1.4.2 Flux surfacique conductif à une paroi, couplé
au phénomène de convection
Considérons une paroi solide léchée par un fluide en mouvement et supposons pour
simplifier que les transferts radiat~fs sont négligeables. Le flux surfacique conductif
à la paroi dans le solide S s'écrit en fonction de la conductivité du solide As et du
champ de température Ts, si la paroi est normale à Oy:
cdl _ 1 éJTs 1
'P - -Ils - .
pS éJy pS
(1.12)
Le transfert thermique dans le fluide à la paroi est uniquement conductif, puisque
la vitesse du fluide est en ce point celle de la paroi, c'est-à-dire nulle 10 . Le flux
surlacique conductif, côté fluide, a pour expression :
'P
cdl
éJT11
pf = - Ai oy p.r'
(1.13)
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où Àf et T1 représentent la conductivité et le champ de température du fluide. On a
en l'absence de rayonnement et pour une paroi inerte :
-Às éJTs 1 = -ÀJ éJT11 .
oy ps oy pf
(l.14)
De plus, la température est continue à la paroi.
Dans l'expression du flux conductif, côté fluide, le problème épineux est de déterminer
le gradient de température à la paroi oT 1 /oylpf, qui dépend du phénomène
de convection. Nous appellerons le flux associé, donné par l'expression 1.13, flux
8. Tl s'agit de moyennes temporelles, prises sur des intervalles de temps longs devant les périodes des
fluctuations.
9. Une telle approche est développée dans les Chapitres 8 et 9.
10. La viscosité du fluide assure la continuité du profil de vitesse en tout point du fluide, en particulier
à la paroi.
14

1.4. Flux convectif et conducto-convectif
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conducto-convectif à la paroi et le noterons <.pcc, car il résulte d'un couplage entre un
phénomène convectif dans le sens de 1' écoulement et un phénomène conductif transverse
à celui-ci. Pour le déterminer, il est nécessaire, en toute rigueur, de résoudre les
problèmes thermique et mécanique couplés. Nous allons, en fait, adopter un modèle
simplificateur, qui va être introduit à partir d'un exemple.
Considérons un fluide opaque ou transparent circulant, en régime stationnaire,
entre deux plaques supposées infinies suivant Ox et Oz et maintenues à températures
T 1 et T 2 respectivement (figure 1.8). On se place loin de l'entrée des plaques,
de façon à ce que le champ de température dans le fluide ne dépend plus des conditions
d'entrée. L'écoulement est supposé très turbulent dans la zone considérée ; la
moyenne temporelle de la vitesse est cependant en tout point parallèle à Ox. Au cœur
de l'écoulement, le brassage est considérable, favorisant les échanges thermiques. Le
profil de température moyennée dans le temps, sur une durée plus grande que celle
des fluctuations turbulentes, est stationnaire, à la limite uniforme et prend la valeur
Tm dans la zone centrale entre les deux plaques (figure 1.9). Par contre, au voisinage
immédiat des parois, la vitesse du fluide est très faible, nulle à la paroi, sous l'effet
du frottement visqueux. Dans une couche d'épaisseur tout', le transfert thermique
suivant Oy est quasiment conductif. Si on admet que la conductivité Àf du fluide est
constante, le profil de température suivant Oy, moyenné dans le temps, est linéaire et
schématisé, dans ce cas limite, sur la figure 1.9. Avec ce profil de température, le flux
surfacique conducto-convectif à la paroi y= 0 s'écrit
ccl IJTfl (Tm -T,)
cp = -À.r- = - Àf = h(T1 - Tm)·
y=O IJy y=O t
(1.15)
h est appelé coefficient de transfert convectif à la paroi 11 et ne dépend pas de la nature
de la paroi 12 ; h dépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la
nature de l'écoulement. Le résultat 1.15 peut être généralisé à la plupart des écoulements
(convection forcée, naturelle ou mixte), en régime laminaire ou turbulent, pour
calculer un flux surfacique conducto-convectif local à une paroi <.p~c sous la forme:
(l.16)
où T P désigne la température locale de la paroi et Tc la température caractéristique
locale du fluide. Celle-ci peut être la température au loin en convection forcée le
long d' une structure, celle du fluide au repos en convection naturelle, la température
moyenne dans la section droite d' une conduite, appelée température du mélange,
pondérée au sens d'une loi définie dans le paragraphe 5.3.2 a). L'expression 1.16 a
été prise en valeur absolue : le signe dépend en effet du choix des axes.
11. h est à distinguer d'une enthalpie massique, notée h.
12. h peut cependant dépendre de l'état de surface (rugosité) de la paroi.
15

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
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y
T1
////
v(1)
1( (r) X
/
T
1
T,,,
'l (y)
. ~ prqftl conduclif pur
•••••••••
profil réel
··••••• profil adopté
T] ~o~~~~~~~· -··-·----=~'~~--t..
~ zone ftfrbulent~ ~ •
'-.sous couches /
pariétales
y
Figure 1.8- Configuration d'écoulement.
Figure 1.9- Champ thermique simplifié.
L'efficacité du transfert convectif est évidente, si on considère la figure 1. 9 : le
brassage du fluide dû à la turbulence homogénéise la températme dans la zone centrale
et reporte les gradients de température au voisinage des deux parois, dans les
couches d'épaisseur ? et ?'; la zone brassée est d'autant plus importante, et les
couches d'épaisseur? et?' d'autant plus réduites que la vitesse moyenne du fluide
est plus élevée ; le flux surfacique à la paroi prend alors une valeur élevée, d'après
1.15. Si on supposait le fluide parfaitement immobile, avec les mêmes conditions
thermiques aux parois, le transfert serait purement conductif; le flux surfacique à la
paroi s'écrirait:
cd 1 - -À T 2 - Tt
'Pp - .f l
y=O
(1.17)
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où l désigne la distance entre les deux parois. Comme (T2 - T1) et (Tm - T1) sont du
même ordre de grandeur, le rapport des flux surfaciques conductifs en l'absence et en
présence de couplage avec la convection est de l'ordre de (/l, quantité qui est petite
devant 1, ce qui démontre l'efficacité des transferts convectifs.
Nous avons, à titre indicatif, regroupé dans le tableau 1.1 des ordres de grandeur
des valeurs atteintes par le coefficient de transfert convectif h suivant le type
de convection, la nature du fluide et le régime d'écoulement. Le cas d'échanges diphasiques
est également abordé.
1.4.3 Application aux caloducs
Un caloduc est un dispositif exploitant les valeurs élevées des coefficients de transfert
h en régime diphasique liquide-vapeur et des chaleurs latentes de changement
de phase pour transférer un flux important de chaleur d' un évaporateur (côté source
chaude) vers un condenseur (côté source froide). Comme la variation de température
du fluide à l'intétieur du caloduc est faible et que le caloduc se présente extérieure-
16

1.4. Flux convectif et conducto-convectif
Tableau 1.1 - Ordres de grandeur de h.
Type de transfert Fluide h(wm- 2 K- 1 )
air 5 - 30
Convection naturelle
eau 100 - 1000
air 10 - 300
eau 300 - 12000
Convection forcée
huile 50 - 1700
métal liquide 6000 - 110000
ébullition 3000 - 60000
Changement de phase (eau)
condensation 5000 - 110000
ment comme un barreau inerte, il est clair, d'après la loi de Fourier que le caloduc est
caractérisé par une conductivité équivalente très élevée.
évaporateur
Source -----------­
vapeur---•
chaude ------------
L
condenseur
Source
froide
st111cture cap;//aire
Figure 1.10- Coupe d'un caloduc.
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Le liquide circule le long des parois dans une structure capillaire de relativement
faible section. Cela permet au système de fonctionner contre la gravité. À l'évaporateur,
il reçoit la chaleur fournie par la source chaude et se vaporise : le coefficient de
transfert convectif est alors excellent (voir tableau 1. 1). La vapeur engendrée est évacuée
dans le cœur du caloduc avec une section de passage beaucoup plus importante
que celle offerte au liquide et est condensée à l'autre extrémité au niveau de la source
froide, avec également un excellent coefficient de transfert convectif. Compte tenu
du faible écart de pression, l'écart de température est très faible entre condenseur et
évaporateur.
Les avantages de cette technique sont nombreux : a) le système est passif, du
point de vue de l'utilisation, donc fiable; b) les surfaces d'échange côté évaporateur
et côté condenseur peuvent être très différentes. Si on souhaite un refroidissement
par convection naturelle (fiable et peu coûteux), on a intérêt à augmenter la surface
d'échange du condenseur. Réciproquement, la surface d'échange de l'évaporateur
peut être de faible dimension, et de forme adaptée à la géométrie d'une pièce difficile
d'accès (partie profonde d'un moule de fonderie par exemple) ; c) la gamme
des points de fonctionnement est très étendue : ils sont liés aux températures d'équilibre
liquide-vapeur du fluide choisi. On peut utiliser des fluides cryogéniques (azote,
17

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
ammoniaque), de l'eau (autour de 100 °C) ou des métaux liquides (sodium jusqu'à
900 °C); d) à haute température, un caloduc creux constitue un four particulièrement
stable.
1.5 CONDITIONS AUX LIMITES CLASSIQUES
La température est une grandeur physique continue de façon générale, mais a
l'échelle locale. C'est aussi le cas du flux surfacique d'énergie, en tenant compte
de toutes les formes d'énergie. Nous abordons dans ce paragraphe un certain nombre
d'exemples, non limitatifs, de conditions aux limites thermiques relatives aux flux.
1.5.1 Exemple 1 : milieu opaque et milieu transparent
Soit un solide conducteur de conductivité ils, opaque au rayonnement, limité par le
plan x = 0, (x < 0), baigné par un fluide transparent de température au repos T 0 dans
lequel se développe un phénomène de convection naturelle (coefficient h à la paroi);
le solide échange un flux radiatif cpR avec le milieu extérieur à travers ce fluide (figure
1.11). La température est appelée Ts(x) dans le solide. La continuité du flux d'énergie
au voisinage de x = 0 s'écrit avec les conventions de signe choisies (qui consistent à
compter positivement les flux suivant Ox) :
oTs 1
R
- ls ox x:;:o = h[Ts (0) - To] + cp (1.18)
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où cpa et cpe représentent les flux arithmétiques associés aux rayonnements émis et
absorbé, sur toutes les longueurs d'ondes et dans toutes les directions, au voisinage
de x =O.
solide
opaque
fluide
transparent
h y;
0
À s ,T s À r ,1r
0 X
<p
solide
semi-transparent
J...,:r: s
À f T
R
cp s (0 )
fluide
1ranspare111
'
f
R
qJf (0 4;
X
Figure 1.11 - Solide opaque et fluide
transparent.
Figure 1.12 - Solide semi-tranparent et
fluide transparent.
18

1.5. Conditions aux limites classiques
Si le milieu (x > 0) était un solide conducteur transparent de conductivité l~ et de
température T's (x), la condition de continuité deviendrait :
oTs 1 ' ar5 1
- l s - = -ls- +<p. R
ox x=O
ox x=O
(1.19)
1.5.2 Exemple 2 : deux milieux opaques
Considérons, par exemple, le cas d'un solide opaque en contact avec un liquide
opaque. Comme les portées des photons sont négligeables dans les deux milieux,
aucun flux radiatif n'apparaît dans la condition à l'interface de ces deux m.ilieux.
Dans l'équation l.18 le flux radiatif est nul.
1.5.3 Exemple 3 : un milieu (semi-)transparent et un milieu
transparent
On considère le même problème qu'au paragraphe 1.5.1, en remplaçant le solide
opaque (x < 0) par un solide semi-transparent au rayonnement (figure 1.12). Dans
ces conditions, les échanges entre le champ de rayonnement et le solide ne sont plus
considérés, en première approximation, comme superficiels mais sont volumiques. Il
y a alors continuité du flux radiatif à la paroi x = 0 13 , et par conséquent égalité du
flux conductif dans le solide avec le flux conducto-convectif dans le fluide:
(l.20)
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oTsl - l s ~ = h[Ts (0) - To]
ux x=O
(1.21)
Le problème à résoudre est plus complexe que le précédent, car la température dans
le milieu semi-transparent Ts (x) est très étroitement couplée au champ de rayonnement.
1.5.4 Exemple 4: contact thermique
Considérons un élément cylindrique de conductivité 1 1 , enchassé dans un manchon
de conductivité A2 (figure 1.13). Quelle que soit la précision de l' usinage des faces r =
R 1 du cylindre et du manchon, le contact entre ces deux pièces n'est pas parfait, du fait
de la rugosité, des coefficients de dilatation différents, etc. En pratique les contacts
sont aléatoires et dans les interstices se loge de l'air; comme les dimensions des
interstices sont très faibles, del' ordre du µm, la convection ne peut se développer ; les
13. Les flux radiatifs dans le solide cp~ (0-) et dans le fluide cp~ (ü+) peuvent être déterminés à partir des
modèles présentés au Chapitre 4.
19

Chapitre l • Les principaux modes de transfert d'énergie
transferts sont conductifs et radiatifs à la fois. Comme, de plus, l'air est très mauvais
conducteur, la chute de température entre deux surfaces fictives extrêmement proches
à l'intérieur de chacune des deux parois peut ne pas être négligeable à une échelle
macroscopique de modélisation simpl~fiée :
(1.22)
Le flux surfacique d'énergie reste évidemment continu puisque les surfaces qui se
correspondent dans les milieux 1 et 2 sont extrêmement proches. Il est nécessaire de
recourir à une modélisation assez délicate du contact thermique car la géométrie de la
lame d' air est difficile à préciser. En régime stationnaire, il est possible d'introduire la
notion de résistance thermique de contact. Des données grossières sont données dans
la référence [7] par exemple. En régime instationnaire, le problème est beaucoup plus
délicat.
Figure 1.1 3 - Contact thermique entre deux pièces.
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1.5.5 Exemple 5 : interface entre deux phases
On se reportera pour ces cas relativement complexes à l'exemple traité dans le paragraphe
5.1.5.
~ 1.6 BILAN D'ÉNERGIE EN RÉGIME STATIONNAIRE
@
~ SANS MOUVEMENT
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g- 1.6. l Formulation générale du bilan d'énergie
u
20
Les systèmes considérés sont supposés ici indéformables, fixes, continus, matériels.
Le système de volume V est limité par une surface S (figure 1.14); en régime stationnaire,
l'énergie interne totale 8 du système est invariante. En l' absence de mouvement,
donc de travail, le bilan énergétique consiste à écrire que la somme du flux
traversant algébriquement la surface S et de la puissance engendrée dans le volume

1.6. Bilan d'énergie en régime stationnaire sans mouvement
V est nulle. Sous forme intégrale, l'équation de bilan d'énergie s'écrit alors :
d1-l(t) = dô(t) = ( - · n . dS + ( PdV = 0
dt dt Js q ext Jv '
(1.23)
(1.24)
Dext est la normale orientée vers 1' extérieur à un élément de surface dS ; q représente
le vecteur flux surfacique d'énergie, avec des contributions radiatives et conductives.
Le vecteur flux radiatif qR sera défini dans le paragraphe 4.2.4 ; q · n exr est le flux
surfacique local à travers la surface. Les contributions convectives sont absentes de
l'expression du bilan en l' absence de mouvement dans le système. Le signe moins
du premier terme permet de respecter la convention thermodynamique, opposée à la
convention mathématique d'orientation de la normale. P, la puissance volumique engendrée
en un point M, est comptée positivement quand elle correspond à un échauffement
du système (effet Joule, etc.), ce qui est généralement le cas.
V
d
dV
Ü M(r)
Figure 1.14- Système étudié.
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L'équation de bilan pour un système immobile indéformable en régime stationnaire
1.23 peut être écrite pour un élément de volume élémentaire d V. Il vient après
transformation :
- V·q +P=O (1.25)
À cette équation de bilan locale sont associées les conditions aux limites thermiques
du type de celles abordées dans le paragraphe 1.5, ce qui conduit à un problème
mathématique clos, à solution unique.
1.6.2 Méthodologie de résolution d'un problème
de transfert thermique
La plupart des problèmes de transfert thermique peuvent être résolus en suivant les
différentes étapes méthodologiques suivantes :
21

Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d'énergie
• Identification des sources et puits de chaleur;
• Simplification du problème par l'exploitation de toutes ses symétries;
• Définition précise du système et éventuellement des sous-systèmes auxquels des
bilans d'énergie vont être appliqués ;
• Définition des axes;
• Écriture des équations de bilan ainsi que de toutes les conditions aux limites qui
leur sont associées ;
• À partir de la solution, validation des éventuelles hypothèses formulées a priori
pour simplifier le problème.
1.6.3 Exercices d'application
( Exercice 1. 1 Chauffage en volume
Énoncé
Considérons une plaque homogène, d'épaisseur e, de conductivité ;i constante, infinie
suivant Oy et Oz, normale à Ox. La température To est imposée en x = e; la plaque
est baignée, en x = 0 dans un fluide dont la température caractéristique est Tf et le
coefficient de transfert conducto-convectif est h. Une puissance volumique P(x) est
dissipée dans cette plaque. Enfin, un flux radiatif se propageant suivant Ox s'atténue
suivant la loi, supposée connue, qui correspond au cas où l'émission de la plaque est
négligeable :
ql(x) = 'Po e-Kx avec : Ke >> 1. (1.26)
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Établir les équations permettant d'obtenir le champ de température dans la
plaque.
Solution
Il est évident que le problème reste invaiiant par toute translation suivant Oy et Oz : il est
à traiter à une dimension, suivant Ox. Le point fondamental consiste à définir le système :
une tranche élémentaire de la plaque, comprise entre x et x + dx, de surface unité en
projection sur yOz, et à lui appliquer le bilan d'énergie. Ce système matériel est soumis
sur ses surfaces externes à deux types de flux ( conductif et radiatif). Les flux surfaciques
conespondants sont comptés positivement suivant Ox. Le flux conductif est:
dT
cpcd(x) = -À-.
dx
(1.27)
22

1.6. Bilan d'énergie en régime stationnaire sans mouvement
T,j
e
X
Figure 1.1 5 - Les différents flux.
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Le flux d'énergie à travers la smface fermée S du système, orientée vers l'intérieur, vaut:
L (
d(l dcpcd )
-q.next dS = [</(x)+cpcd(x)-cpR(x+dx)-cpcd(x+dx)]S = - - + - Sdx. (l.28)
s dx dx
La puissance engendrée dans le volume du système vaut P(x)S dx. Il vient donc à partir de
l'équation 1.23 :
d 2 T
À-+ K f fl e - KX +P(x) = 0
(l.29)
dx2 't'O '
équation del' énergie du système, dont la solution dépend de deux constantes à déterminer
à partir des conditons aux limites; soient, d'une part:
T(e) = To, (1.30)
D'autre part, en x = 0, la plaque est soumise à un flux conducto-convectif et à un flux
radiatif. De plus, le milieu est considéré comme semi-transparent et il y a, séparément,
continuité du flux surfacique d'énergie thermique (égalité 1.3 1. ci-dessous) et du flux surfacique
radiatif cp 0 en x = 0 (voir paragraphe 1.5.3) :
dT
- A- (0) = h[Tf - T(O)].
dx
(l.31)
Dans l'équation 1.29 le terme Kq>o e-Kx s'apparente à une puissance volumique engendrée
dans le milieu, comme P(x); l'interprétation en est évidente: ce terme représente la fraction
d'énergie radiative absorbée (qui a été convertie en énergie matérielle volumique).
Si quel que soit x, le terme en exp(-Kx) est négligeable à l'échelle macroscopique au
voisinage de x = 0, alors la contribution radiative disparaît de l'équation 1.29, qui devient:
assortie des conditions aux limites :
d 2 T
il dx 2
+ P(x) = 0,
T(e) = To,
(1.32)
(1.33)
dT
-il-(0) = h[Tf - T(O)] + <po.
(1..34)
dx
L'équation 1.34 exprime que le flux radiatif cpR(O) est absorbé en surface. Le flux émis,
rappelons-le, a été négligé dans cet exemple: le corps est un corps opaque froid. La plaque
est dans ces conditions un cO!ps opaque, qui correspond au cas limite où Ke est très grand
devant 1 (voir paragraphe 1.2).
23

Chapitre 1 • Les principaux modes de transfert d'énergie
Exercice 1.2 Crayon fissile
Énoncé
On considère un crayon de matière fissile, assimilé à un cylindre de rayon R infini
selon Oz, de conductivité ;i constante, dissipant une puissance volumique homogène
P. Ce cylindre est baigné dans un fluide dont la température caractéristique est Tt.
Le coefficient de transfert conducto-convectif est h. On considère le transfert radiatif
négligeable.
Quelle est la distribution de température dans le crayon ?
Solution
Le problème est monodimensionnel (suivant Or). Il s'agit d'écrire le bilan d'énergie dans
un anneau élémentaire du crayon dont Je rayon est compris entre r et r + dr et de hauteur
dz (voir fig. 1.16). Les flux surfaciques sont comptés positivement suivant Or.
P, r+dr
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À ~ r
'
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h,Tf
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Figure 1.16- Le système considéré.
Par symétrie, le flux surfacique est nul aux sections de cotes z et z + dz. Le flux d'énergie
à travers la surface fermée S du système, orientée vers l'intérieur, vaut alors :
( -q.next dS = [+cpcd(r)S(r)- cpcd(r + dr)S(r + dr)] = -~[cpcdS(r)] dr.
Js
dr
Le bilan d'énergie s'écrit donc:
Avec:
d
--(2n:rdzcpcd)dr + 2n:rdrdzP = 0
dr
(1.35)
(1.36)
(1.37)
24

1.6. Bilan d'énergie en régime stationnaire sans mouvement
on obtient:
avec les conditions limites :
d dT
-(rÀ-) = - Pr,
dr dr
dT(O) - 0 , . par symetne
dr
dT
-il dr (R) = h[T(R) - Tt]
(1.38)
( l.39)
(1.40)
Compte tenu des équations 1.38 à 1.40, l'évolution de température s'écrit:
p 2 2 PR
T(r) - Tt= - -(r - R ) + -
4À . 2h
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(1.41)
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TRANSFERTS
CONDUCTIFS
STATIONNAIRES
,
LINEAIRES
Notions clés
Résistance et conductance thermiques, approximation de l'ailette, nombre de
Biot, ailettes infinie et idéale; méthodologie de résolution.
L'objectif de ce chapitre est d'appliquer le formalisme du bilan d'énergie dans des
cas simples de transferts conductifs stationnaires au sein d'un milieu immobile. Dans
les conditions aux limites apparaissent des transferts conducto-convectifs ou radiatifs,
dans l'hypothèse où ils sont linéarisables, ce qui sera discuté dans le paragraphe 4.5.3.
Comme les conductivités et les coefficients de transfert sont, dans cette première approche,
supposés indépendants de la température, les transferts conductifs sont linéaires.
Un modèle fondé sur l'analogie électrique est développé dans le paragraphe 2.1 ;
le modèle classique de l'ailette fait l'objet du paragraphe 2.2 ; une synthèse de ces
différents modèles et une méthodologie de résolution sont proposées dans l'exercice
d'application 2.5 : le bilan énergétique simplifié, en régime stationnaire, d'un appartement.
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2.1 L'ANALOGIE ÉLECTRIQUE ET SES LIMITES
Ce modèle est limité à des géométries relativement simples et permet de dégrossir
1' étude de systèmes stationnaires.
2.1.1 Principe
Nous avons vu dans le Chapitre 1 que l'expression du flux conductif donné par la loi
de Fourier:
q cd = - 11.(T)VT (2.1)
27

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
est analogue à la loi de Fick (équation 1.8) et à la loi d'Ohm sous forme locale (équation
1.7). Notons les correspondances évidentes entre grandeurs électriques et thermiques:
conductivité électrique
potentiel
vecteur courant
intensité du courant
a-(T) ~ À(T)
Ve1 ~r
j ~qcd
J ~ <Pcd
conductivité thermique
température
vecteur flux conductif
flux conductif
Les isothermes (équipotentielles) sont normales aux lignes et aux tubes de flux
(lignes et tubes de courant). L'intérêt, en régime stationnaire, de l'analogie électrique
est d'appliquer aux transferts thermiques les techniques simples et bien connues de
l' électrocinétique linéaire et stationnaire : résistance et conductance, association en
série, en parallèle, lois des réseaux, etc.
Cependant, l'usage de ces méthodes est plus limité qu'en électrocinétique pour
deux raisons essentielles. D'une part, les conductivités électrique et thermique dépendent
en général de la température T; si ceci ne présente que peu d'inconvénient
dans le cas de la conduction électrique, cette propriété rend les problèmes non linéaires
en T dans le cas de la conduction thermique. Pour appliquer l'analogie électrique,
la conductivité thermique doit donc être supposée homogène, isotrope et indépendante
de T, tout au moins dans la plage de température correspondant à l'application
considérée. Une deuxième limitation est que le transfert conductif se produit
souvent en concurrence avec un transfert radiatif, rarement linéarisable. Quand le
rayonnement thermique n'est pas linéaire, l'analogie électrique ne peut être utilisée
(voir à cet égard le paragraphe 4.5.3).
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dS
T(s)
Figure 2.1 - Tube de flux.
Étant données ces deux réserves, il est possible de définir une résistance et une
conductance thermiques. Considérons un tube élémentaire de flux compris entre deux
sections élémentaires isothermes dS 1 et dS 2 , orthogonales aux génératrices du tube
et à températures Ti et T 2 respectivement (figure 2.1). Le flux conductif d<P à travers
une section orthogonale isotherme courante dS , caractérisée par l'abscisse curviligne
s, s'écrit:
dT
d<P = -À-dS(s).
(2.2)
ds
28

2.1. L'analogie électrique et ses limites
Ce flux d<P est, en régime stationnaire, conservatif à l'intérieur du tube de flux 1 •
Après intégration de s 1 à s 2 , si on considère, suivant la convention des électriciens,
des diminutions de température, analogues aux chutes de tension, on obtient :
(2.6)
~' qui est la résistance thermique du tube entre s 1 et s2, est l'inverse d'un élément
différentiel. La relation 2.6 est analogue à la loi d'Ohm sous sa forme usuelle :
(2.7)
où ~e désigne la résistance électrique. On introduit également la conductance thermique
dr:
dI' - À[ rs2 ~]-1
Js,
dS(s)
(2.8)
On peut passer à partir de 2.6, par association en série ou en parallèle, à la résistance
thermique d'un tube de flux fini entre deux surfaces isothermes quelconques. L'idée
de base est comme en électrocinétique stationnaire que le flux d'énergie dans un tube
est conservat~f
On trouvera dans la bibliographie des expressions analytiques, ou issues de calculs
numériques, de résistances thermiques ou conductances thermiques pour diverses
configurations géométriques (voir par exemple la référence [7]).
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l. La démonstration détaillée de cette propriété "évidente" permet d'illustrer, une nouvelle fois, les
conventions de signes à adopter dans un bilan.
Choisissons comme système la tranche de tube de flux comprise entre dS 1 et dS. On lui applique le
bilan d'énergie (équation l.23). En l'absence de production interne de chaleur et de rayonnement, ce
bilan se réduit à :
l - d8 = - q
cd .Ilex1 dS = Û ,
(2.3)
dt s
où S surface totale du système comprend dS 1 , dS et la surface latérale du tube élémentaire. Par définition,
il n'y a pas de flux à travers cette dernière surface.
Par convention, les flux à travers les surfaces dS 1 et dS, considérées indépendamment, sont comptés
positivement dans le sens de l'axe 0 1 s.
Mais, dans le bilan d'un sys1ème, on comple posilivement les.flux quand les normales sont entrantes .
Dans ces conditions, la contribution au bilan du système à travers dS 1 est - ÀoT/ôs(s 1 )dS 1 qui correspond
à un flux algébrique compté positivement dans le sens de l'axe; inversement, la contribution au
bilan du système à travers dS est +ÀÔT/ôs(s)dS qui correspond à un flux algébrique compté négativement
dans le sens de l'axe. L'équation de bilan du système élémentaire devient :
ou:
ar
ar
d<t> = -À-(s,)dS 1 = -À-(s)dS .
0 s
0 s
(2.4)
(2.5)
29

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
2.1.2 Exercices d'application
( Exercice 2. 1 Résistances thermiques
Énoncé
Écrire la résistance thermique du système considéré.
1. Résistance d'un manchon cylindrique indéfini dont les surfaces latérales sont isothermes
(figure 2.2).
2. Résistance d'un manchon cylindrique fini de longueur l dont les faces cylindriques
sont isolées et les sections droites isothermes (figure 2.3).
3. Résistance du volume compris entre deux éléments isothe1mes de sphères concentriques
et une surlace conique isolée (figure 2.4).
4. Résistance thermique de transfert conducto-convectif entre un fluide de température
caractéristique Tc et une paroi isotherme à Tp de surlace J;; Je coefficient de
transfert h est supposé uniforme sur toute la surface I:.
cp - 0
---·-----·-- ....-.......-... --........... T 3 :z T./
1
1
cp - 0 cp =0
<p
Rl Ti R2 r
z
Rl 0 R2 z
8
dz
I
Figure 2.2 - Manchon (sections
droites extrêmes isolées).
Figure 2.3 - Manchon (sections
droites isothermes).
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Figure 2.4- Tronc de cône.
Solution
1. On raisonne sur une tranche d'épaisseur dz, en coordonnées cylindriques. Les cylindres
coaxiaux de rayon courant r sont isothermes à T(r); les lignes de flux sont radiales. Avec
les notations habituelles, on a, quel que soit r :
dT d<P R?
d<P = -À-2nrdz soit : Ti - T, = --ln --=. (2.9)
dr - 2rr,1dz Ri
0
30

2.1 . l'analogie électrique et ses limites
La résistance thermique cherchée est donc :
2. En coordonnées cartésiennes, on trouve :
1?.. = _l_ ln R1
2nAdz Ri
1?.. = l/[rrÀ(R~ - Rf )]
(2.10)
(2.11)
3. On trouve, si Q est l'angle solide du cône :
4. Le flux à la paroi s'écrit :
<Pcc = Eh(Tp - Tc).
(2.12)
(2.13)
La résistance thermique coITespondante est alors :
'R = (hE)- 1 ,
(2.14)
et la conductance thermique :
I'=Eh.
(2.15)
h apparaît comme une conductance thermique swfacique. Notons que h peut être un coefficient
de transfert convectif hcc, un coefficient de transfert radiatif hR (voir paragraphe
4.5.3), dans les conditions très spécifiques de linéarisation du flux radiatif, enfin un coefficient
de transfert global (h = hcc + hR).
Exercice 2.2 Le paradoxe de /'isolant, en géométrie cylindrique
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Énoncé
On se propose d'isoler une conduite cylindrique dont la température exteme, au rayon
r = Ri. , est maintenue à la valeur T 1 (figure 2.5); on dispose un manchon isolant
entrer= R 1 et r = R 2 , de conductivité À constante et refroidi sur sa face exteme par
convection naturelle dans l'air au repos à Ta et par rayonnement linéarisé (coefficient
de transfert global h).
Exprimer la résistance thermique associée au système. Commenter.
Figure 2.5 - Coupe de la conduite isolée.
31

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
Solution
Entre r = R 1 et l'air ambiant, on a une association de résistances thermiques en série,
suivant le schéma de la figure 2.6. On obtient une résistance thermique globale pour une
longueur dz, d'après 2.10 et 2.14 :
(2.16)
Celle-ci passe par un minimum, en fonction de R 2 , pour: R;lin = À/h, si toutefois R 1 est
infé1ieur à À/h. Dans cette hypothèse, le flu x dissipé <1> est maximum pour R 2 égal à À/h
et prend une valeur supérieure au flux dissipé en l'absence de manchon isolant <1> 0 (figure
2.7). Si R 1 est supérieur à À/h, le flux dissipé décroît continûment quand on augmente
1 'épaisseur de lisolant.
r R 1
re.nstance résis1ance R
conductive conducto-convective
Figure 2.6 - Schéma électrique équivalent.
Figure 2.7- Paradoxe de l'isolant.
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Le fait que le flux dissipé passe par un maximum pour R1 égal à À/h est catastrophique
dans certaines applications. Supposons qu'on veuilJe isoler une conduite d'eau chaude et
que l'isolant, altéré par l'humidité, ait une conductivité de 0,5 W m- 1 K- 1 • Le flux sera
alors maximal pour un diamètre externe d'isolant de 0,1 m si on adopte la valeur réaliste:
h = 10 W m- 2 K- 1 . Ce fait, bien connu, constitue le paradoxe de l'isolant et caractérise
la géométrie cylindrique ~ l'explication en est simple : l'effet d'augmentation de surface
externe, qui tend à augmenter le flux dissipé, l'emporte sur l'augmentation de la résistance
de conduction due à l'épaisseur. En pratique, on a intérêt à rendre étanche ce type de
manchon isolant.
Exercice 2.3 Résistance thermique d'un élément d'échangeur plan; coefficient
d'échange global
Énoncé
On considère un échangeur entre deux fluides caloporteurs circulant entre plans
parallèles : une paroi d'épaisseur e sépare les deux fluides (figure 2.8), caractérisée
par une conductivité il et au travers de laquelle ont lieu les échanges thermiques. On
se limite à un élément d'échangeur, de longueur dx suffisamment petite pour qu'on
puisse considérer comme constantes (suivant x) les températures caractéristiques TA
et TB des fluides A et B et les températures T pA et T pB des deux faces de la paroi médiane.Lest
la dimension transverse suivant Oy de l'échangeur, suffisamment grande
pour qu'on puisse négliger les effets de bord. On néglige la conduction axiale dans la
paroi (suivant Ox) devant le transfert suivant Oz. Les fluides n'échangent de la cha-
32

2.1 . l'analogie électrique et ses limites
leur avec la paroi médiane que par transfert conducto-convectif ~
coefficients de transfert convectif. On néglige le transfert radiatif.
soient hA et hs les
Établir l'expression de la conductance thermique du système et en déduire l'expression
d'un coefficient d'échange global. Discuter d'un point de vue pratique
des différentes contributions.
Solution
z! T fluide A
.l
.
: X
Ipe.
':paroi:
Ta fluide B : À e
--~~~~~~~~-- '
dx
Figure 2.8- Élément d'échangeur.
T T T T
A pA pB B
/\MIW\JWv
Figure 2.9 - Montage électrique
équivalent.
Il s'agit d'écrire l'expression du flux échangé entre les deux fluides en fonction de la résistance
thermique du système à partir du schéma électrique équivalent donné par la figure
2.9. Le flux d'énergie échangé entre les deux fluides dans l'élément dx est alors :
(2.17)
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@
dr = Ldx[lfhA + e/;t + lfhBr 1 = Ldxhg. (2.18)
Dans 2.18, hg qui représente une conductance surfacique est appelé coefficient d'échange
global entre les deux fluides. Cette notion est essentielle pour caractériser un échangeur
(voir exercice d'application au paragraphe 5.3.3).
Si la paroi est bom1e conduct.J.ice, le terme e/ À est souvent négligeable dans l'expression de
la conductance 2.18 devant les termes l/hA ou lfhB : c'est en général le cas pour des gaz
séparés par une paroi métallique. Si l'un des transferts conducto-convectifs est médiocre,
on a intérêt à augmenter la surface d'échange du fluide con-espondant en disposant des
ailettes (voir paragraphe 2.2) : c'est le cas d ' un radiateur d'automobile pour l'échange
air-paroi par exemple.
Il faut en général tenir compte du phénomène d'encrassement des parois, à plus ou moins
long terme, qui crée des résistances thermiques conductives supplémentaires; on trouve
dans des ouvrages spécialisés des expressions empiriques de résistances thermiques d'encrassement
rapportées à l'unité des surfaces dépendant de .la nature des fluides et des
conditions d'utilisation (suies, moules dans les circuits de refroidissement des centrales
nucléaires, etc.).
___)
33

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
2.2 AILETTES ET APPROXIMATION DE L'AILETTE
Les flux d'énergie évacués d'une pièce ou d'un système par transfert conductoconvectif
dépendent fortement du type de fluide utilisé (air ou eau, pour se limiter
aux fluides les plus usuels), du type de convection considéré (forcée, naturelle, etc.)
et de la nature de l'écoulement (laminaire, turbulent, etc.) : on se reportera au tableau
1.1 du paragraphe 1.4.2 pour trouver des plages de variation du coefficient de
transfert h. Le cas de la convection naturelle avec del' air est doublement défavorable.
Or c'est le seul type d'échange énergétique envisageable dans de nombreuses applications
industrielles pour des raisons de .fiabilité ; la convection naturelle se produit
quoiqu'il an·ive, tandis que la convection forcée est tributaire de pannes d'organes
mécaniques ou de brèches de circuits de refroidissement par eau par exemple. À ces
raisons de fiabilité et d'absence de nuisances sonores, s'ajoutent des raisons économiques
évidentes.
Dans ces conditions, une idée simple pour augmenter le flux transféré entre un système
et un fluide consiste à augmenter artificiellement la surface d'échange entre ce
système et ce fluide : on dispose ainsi des ailettes sur la surface de la pièce nue. Des
cas classiques sont constitués par des ailettes de radiateurs de chauffage central ou
des ailettes destinées à refroidir un thyristor, composant électronique de puissance,
représentées en vue de dessus sur la figure 2.1 O. Les applications sont en fait innombrables.
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Figure 2.10- Systèmes ailettés.
Les dimensions des ailettes sont à optimiser en fonction de considérations économiques
: augmentation du transfert attendue en regard de l'augmentation de l'investissement.
On utilise aussi des ailettes en convection forcée, dans un radiateur d'automobile
par exemple, du côté du fluide présentant la plus faible valeur du coefficient
h: l'air.
Une notion importante est l'efficacité d'une ailette, ou d'un ensemble d'ailettes. On
en trouve deux définitions dans la bibliographie. Nous adopterons en général comme
définition del' efficacité d'une ailette :
(2.19)
34

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
soit le rapport du flux dissipé par une ailette <Pa au flux <P 0 que dissiperait, dans les
mêmes conditions extérieures, la base nue (en absence d'ailette). Par mêmes conditions,
il faut entendre que le fluide extérieur garde la même température Tf de référence
et est caractérisé par le même coefficient de transfert h ; en toute rigueur les
coefficients de transfe1t convectif entre ce fluide et la pièce nue ou le système ailetté
diffèrent, de même que les coefficients de transfert radiatif hR, dans l'hypothèse où les
transferts radiatifs sont linéarisables : voir le paragraphe 4.5.3. On a intérêt à rendre 77
le plus grand possible et supérieur à l'unité, au moindre coût. Mais des limitations apparaissent
très vite pour maintenir la valem de h si le nombre d'ailettes croît. L'autre
définition de l'efficacité, utilisée couramment dans les échangeurs, est :
0 ::::; 77' ::::; l , (2.20)
où <Pa(T 0 ) désigne le flux qui serait dissipé par la même ailette dont toute la surface
serait à la température T 0 de la base (ailette idéale de conductivité infinie : voir le
paragraphe 2.2.3).
2.2.1 Approximation de l'ailette
Nous nous limitons ici au cas simple d'une seule ailette de section quelconque destinée
à refroidir dans le fluide ambiant à Ta une plaque plane (base en z = 0) à
température T 0 (figure 2.11.a).
h ,Ta
T{y,z)
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------ -- - --- -- - ~
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T(z}
z
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Figure 2.11 - a) Exemple d'ailette ; b) Profil de température dans une section droite.
Nous supposons que les transferts entre l'ailette et l'environnement sont uniquement
conducto-convectifs ; néanmoins des transferts radiatifs sont aussi, dans certains
cas, linéarisables : voir le paragraphe 4.5 .3. Le coefficient de transfert est pris
constant, égal à h, sur toutes les faces de l'ailette exposées à l'air. Le problème est
de déterminer le flux dissipé par conduction par toutes les faces de l'ailette baignées
par le fluide. En régime stationnaire, ce flux est égal à celui traversant par conduction
la base de l' ailette (z = 0). En théorie, il est nécessaire de déte1miner au préalable le
champ de température à trois dimensions, en tout point de l'ailette. En pratique, le
35

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
problème est considérablement simplifié par le recours à une approximation, classiquement
appelée approximation de l'ailette.
Le flux surfacique conducto-convectif échangé, en P, par un élément courant de
la surface latérale de l'ailette, de normale extérieure orientée suivant l'axe y (figure
2.11.a), a pour expression :
(2.21)
Ce flux smfacique, caractérisé par une faible valeur du coefficient de transfert convectif
h, est alors petit devant le flux surfacique conductif -iloT/oz(M) dans l'ailette, au
point M, à travers un élément de surface normal à Oz (voir figure 2.11.a) ; soit :
(2.22)
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Ceci s'applique quels que soient les points P et M appartenant à la tranche [z, z + dz]
de l'ailette. Il ressort des expressions 2.22 que, quelle que soit la direction considérée
normale à Oz, les variations de température au sein de l'ailette dans cette direction
sont petites devant les variations de température suivant Oz.
L'approximation de l'ailette consiste à supposer que les isothermes au sein de
l'ailette sont normales à Oz (ce qui revient à dire qu'on néglige les variations de
température suivant une direction normale à Oz). Le champ de température est alors
monodimensionnel suivant Oz, ce qui simplifie considérablement les calculs. En pratique,
on remplace un profil de température bidimensionnel T(y,z) ou tridimensionnel
T(x,y,z) par le profil T(z) moyenné sur une section droite (figure 2.11.b).
Sil' ailette considérée sur la figure 2.11.a est pleine, il est également possible d'envisager
des ailettes creuses avec éventuellement un autre fluide à l'intérieur caractérisé
par une température de référence T~ et un coefficient de transfert h' différents ;
l'approximation de l'ailette se généralise sans peine à ce cas.
2.2.2 Calcul de l'efficacité d'une ailette
Le modèle linéaire de l'approximation de l'ailette n'est applicable que si la conductivité
du matériau est indépendante de la température, que si les flux radiatifs sont
négligeables ou linéarisables et enfin que si le coefficient de transfe1t h est supposé
uniforme. En 1' absence de puissance dissipée dans la matière, le bilan énergétique
s'écrit:
d~l(t) = l -q. llext dS =O. (2.23)
Nous l'appliquons à une tranche d'ailette comprise entrez et z + dz (figure 2.12). 3l
désigne la section de l'ailette et <p le périmètre mouillé de cette section, périmètre
36

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
z
l > 5/m
h T
' a
cp cc(z)
z
...... ~d-... · 1 ·........
cp (z} -a a
h T
' a
X
Figure 2.12 - Système étudié.
Figure 2.13- Ailette à deux dimensions
(x et z), infinie selon z.
léché par le fluide. Trois flux thermiques apparaissent dans le bilan d'énergie : deux
flux conductifs aux sections z et z+dz, et un flux conducto-convectif à la paroi latérale.
Le bilan s'écrit donc :
(2.24)
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avec:
soit :
<pcd = - À dT(z)
dz
d 2 T h P -
- - --[T(z)-T] =O.
dz 2 À YI a
(2.25)
(2.26)
Cette équation de bilan est adimensionnée en adoptant comme dimension caractéristique
transverse del' ailette la quantité :
et en posant :
Il vient alors :
avec:
D, = Y</P, (2.27)
(2.28)
(2.29)
Bi= hDr/À. (2.30)
Bi est le nombre de Biot, dont l'intérêt apparaîtra dans le paragraphe 2.2.6. Sa signification
physique précise est discutée dans le paragraphe 3.5.2.
37

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
Retournons à 1' équation de bilan dimensionnée 2.26. Deux conditions aux limites
lui sont associées ; par exemple :
en z = 0:
T(O) = To,
(2.31)
en z = l (bout d'ailette) :
dT -
- /l-(l) = h[T(l) - Ta] ·
dz
Le système d'équations 2.26, 2.31 , 2.32 est résolu, en posant:
m 2 = Ph/:l{ll.
(2.32)
(2.33)
Soit:
T - Ta
~~- =
To - Ta
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
exp[m(l - z)](l + mll/h) - exp[-m(l - z)](l - mll/h)
exp(ml)(l + mll/h) - exp(-ml)(l - mll/h)
(2.34)
La température en bout d'ailette est alors :
2mA/h
T (l) = Ta + (To - Ta) ·
exp(ml)(l + mÀ/h) - exp(-ml)(l - mÀ/h)
(2.35)
Le flux dissipé par l'ailette traverse sa base (plan z = 0), soit :
(2.36)
Ce flux est à comparer au flux échangé par la base seule, en l'absence d'ailette (on
suppose avoir le même coefficient de transfert h) :
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L' efficacité de l'ailette, définie par 2.19, vaut alors :
c/> 0 = :l{h(To - Ta). (2.37)
17 = (mÀ/h) (1 + mÀ/h) exp(ml) + (1 - mÀ/h) exp(-ml) ( 2 _ 38 )
(1 + mÀ/h) exp(ml) - (1 - mÀ/h) exp(-ml)
Cette efficacité doit être supérieure à 2 pour que le système soit intéressant.
2.2.3 Ailette idéale (isotherme)
Une ailette idéale, en aluminium ou en cuivre ou en alliage de ces métaux, est très
conductrice. Si la longueur l de l'ailette est telle que :
ml« 1, (2.39)
38

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
la température de l'ailette reste en tout point très voisine de To. L' efficacité d'une
telle ailette isotherme est obtenue par passage à la limite de la relation 2.38, compte
tenu de 2.39 et 2.27 2 :
77isotherme ~ l/D,. (2.40)
Le gain apporté par une ailette isotherme est de l'ordre du rapport de la surface latérale
à celle de la base.
2.2.4 Ailette infinie
Le champ de température défini par 2.34 tend vers un profil exponentiel exp(-mz)
pour une ailette infinie, au sens thermique, vérifiant :
exp( ml) >> 1. (2.41)
Cette relation est, en pratique, vérifiée dès que l est supérieur à 3/m (précision de
4.10- 2 ) ou 5/m (précision meilleure que 10- 2 ). Il apparaît sur l'équation 2.38 que
dans le cas d'une ailette infinie, vérifiant l'équation 2.41, le gain en efficacité est
quasiment nul à partir d'une certaine longueur d'ailette; aucun flux n'est plus dissipé
en bout d'ailette. En effet, au bout d'une ce1taine longueur la température de l'ailette
est proche de la température de référence du fluide; le flux échangé tend alors vers O.
L'efficacité d'une ailette infinie est :
7700 = Jm/h = Bi- 112 (2.42)
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2.2.5 Résultats pour diverses géométries d'ailettes
Le lecteur trouvera les champs de température, les flux thermiques dissipés et les
efficacités d'ailettes pour de multiples géométries dans des ouvrages spécialisés (par
exemple la référence [7]).
2.2.6 Validité de l'approximation de l'ailette au sens
du profil de température
À paitir du champ de température obtenu en supposant vérifiée 1' approximation de
l'ailette (équation 2.34), il est possible d'étudier la validité du critère 2.22. Il suffit de
calculer le rapport :
-ÀdT/dz mil exp[m(l - z)](l + mil/h) + exp[-m(l - z)](l - mil/h)
----=
h(T - Ta) h exp[m(l - z)](l + mÀ/h) - exp[-m(l - z)](l - mÀ/h)
et de le comparer à 1.
2. Pour obtenir 2.40, on a supposé que Bi défini par la relation 2.30 est très petit devant 1.
(2.43)
39

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
Dans le cas d'une ailette infinie, tant que la quantité exp[m(l - z)] est grande devant
1, c'est-à-dfre à une certaine distance de l'extrémité de l'ailette, le rapp01t donné
par 2.43 tend vers la quantité mÀf h. Le critère 2.22 est vérifié au sens du profil local
de température, si :
mll/h = Bi- 112 » 1 soit Bi« 1. (2.44)
D'une manière générale, la relation 2.44 est un critère de validité de l'approximation
de 1' ailette au sens du profil de température sauf en bout d'ailette. Ce critère sera
retrouvé directement au paragraphe 3.5.2 à partir de l'analyse des temps caractéristiques.
Dans le cas particulier d'une ailette infinie, le critère 2.44 est d'autant mieux
vérifié que l'efficacité de l'ailette est plus élevée.
En bout d'une ailette, non nécessairement infinie au sens thermique, le rapport 2.43
est égal à 1. En conséquence, l'approximation de l'ailette n'y est pas valable: le problème
doit être traité à deux ou trois dimensions. Ceci est d'un faible intérêt pratique,
puisque dans le cas d'une ailette bien conçue, donc proche de l'ailette infinie, les
échanges d'énergie sont très faibles en z = l puisque la température de l'ailette est
alors extrêmement proche de celle du fluide.
En fait, nous verrons dans le paragraphe suivant que la condition pratique de validité
de l'approximation de l'ailette est moins restrictive si on s'intéresse au flux
globalement échangé par toute 1' ailette et non pas au champ de température.
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2.2.7 Résolution générale du problème de l'ailette
(conduction stationnaire à plusieurs dimensions)
Dès que la géométrie du système et les conditions aux limites deviennent complexes,
la résolution d'un problème de conduction, même stationnaire, nécessite, en pratique,
le recours à des méthodes numériques. Néanmoins, des exemples de résolution analytique
de ce genre de problèmes par séparation des variables, transformation de Laplace
et fonctions de Green sont donnés en compléments de cet ouvrage 3 .
Nous nous limitons dans ce paragraphe au problème bidimensionnel simple de
l'ailette, de façon à donner un exemple de structure d'un problème de conduction
multidimensionnel. Nous nous proposons de calculer, pour une géométrie simple,
3. Mentionnons pour mémoire l'existence de méthodes graphiques, devenues obsolètes avec le développement
des moyens de calcul [6]. Ces méthodes reposent sur l'unicité de la solution du problème
physique pour des systèmes à deux dimensions et de conductivité uniforme. Il s'agit de tracer à main
levée les lignes de flux et les isothermes, qui sont orthogonales. Les symétries et le fait que les parois
soient à températures imposées ou adiabatiques simplifient ce tracé. Tout l'art de la méthode consiste à
construire des cellules curvilignes, entre deux isothermes et deux lignes de flux, constituées de quasirectangles
de même taille. Les flux passant dans les différents tubes de flux sont alors quasiment égaux.
Si cette méthode présente maintenant un intérêt historique, sa compréhension permet de mieux cerner
le transfert de chaleur par conduction.
40

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
le flux exactement dissipé par une ailette, sans faire l'approximation d' une température
fonction de z seulement, et de comparer ce résultat à celui obtenu en faisant
l'approximation de l'ailette.
Considérons une ailette infinie suivant Oz au sens de 2.41, infinie géométriquement
suivant Oy, de largeur 2a suivant Ox. La base (z = 0) est maintenue à To ;
l'ailette est refroidie par convection dans l'air à Ta, avec un coefficient de transfert h
supposé constant. Le problème, invariant par translation suivant Oy, se traite à deux
dimensions suivant Ox et Oz (figure 2.13). Si nous admettons que la conductivité est
indépendante de la température, l'équation locale de bilan d'énergie 1.25 prend la
forme simple:
éPT ô 2 T
- + -=0
ôx 2 ôz 2
(2.45)
avec les quatre conditions aux limites :
T(x,O) = To
(2.46)
T(x,oo) = Ta
ôT
- À ôx (a,z) = h[T(a ,z) - Ta ]
(2.47)
(2.48)
(2.49)
Introduisant les quantités sans dimension suivantes 4 :
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le système précédent devient :
y + (x+ +) = T - Ta
,z To - Ta
+ X
X = -
a 2 r + a 2 r +
-- +-- = 0
ôx+ 2 ôz+ 2 a
+ z
z = ā
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
4. Le choix de a, demi-largeur de l'ailette, comme longueur de référence est cohérent avec l'équation
2.27.
41

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
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Le système précédent ne dépend que du nombre de Biot :
(2.54)
IJT+
IJx+ (0,z+) = 0 (2.55)
Bi= ha/À (2.56)
Dans le cas d'une ailette finie, le système dépendrait d' un deuxième paramètre, l/a.
2.2.8 Validité de l'approximation de l'ailette au sens du flux
global
Si on suppose connue la solution T +(x+, z+), le flux exact dissipé par l'ailette est
obtenu par retour à des grandeurs dimensionnées :
(2.57)
La solution du système 2.51 à 2.55 est obtenue par la méthode de séparation des
variables développée dans le Complément A.2. Soit :
cpex = 2d À(T - T) fi 2sin2 kn
a Y O a Uk
n + sm · k
n cos k
n
n=I
(2.58)
où les kn sont les solutions discrètes de tg k = Bi/k. Une expression approchée de ce
flux <P~P dans le cadre de l'approximation de l'ailette est obtenue à partir de 2.34 et
en faisant tendre l vers l'infini :
cp~P = 2dy(To - Ta)~ (2.59)
8 Tant que le nombre de Biot est inférieur à 1, l'erreur relative commise sur le flux à
N
@ partir de l'approximation de l'ailette est inférieur à 10%. Cet ordre de grandeur du
nombre de Biot critique est valable pour d'autres géométries d'ailettes et permet de
.:t:
Ol
·~ vérifier facilement si l'approximation de l'ailette peut être utilisée. Dans le cas d'une
g.
u
ailette finie il faudrait aussi tenir compte del/a. On notera que le critère :
Bi< 1, (2.60)
obtenu ici, est beaucoup moins sévère que le critère local Bi << 1 obtenu dans le
paragraphe 2.2.6. La raison est qu'on ne s'intéresse ici qu'au flux global dissipé par
l'ailette.
42

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
2.2.9 Exercices d'application
( Exercice 2.4 Ailette en acier : conditions pratiques de /'approximation
de /'ailette
Énoncé
Considérons une ailette en acier, plane, infinie au sens de l'équation 2.41 , d'épaisseur
2a égale à 2 10- 3 m.
Étudier à partir du tableau des valeurs de h (paragraphe 1.4.2) et des valeurs
des conductivités thermiques (voir Complément D) dans quel cas l'approximation
de l'ailette est fondée.
Solution
Pour une ailette en acier (À::::: 15 wm- 1 K- 1 ), l'approximation de l'ailette est fondée si
Bi= ha/A::::: 7.10- 5 h < 1. (2.61)
L'approximation est justifiée suivant le critère 2.60 tant que h est inférieur à
15 000 Wm - 2 K - 1 , soit en convection naturelle pour tout fluide et en convection forcée
pour les fluides usuels (gaz, eau, huile). Par contre, elle ne le serait plus en convection
forcée avec un métal liquide, ni s'il se produit un changement de phase sur les parois de
l'ailette (ébullition, condensation). Notons, de plus, que l'acier choisi dans notre exemple
représente un cas défavorable du point de vue de l'approximation de l'ailette, par rapport
à l'aluminium ou au cuivre (15 ou 25 fois plus conducteur).
Exercice 2.5 Bilan énergétique simplifié d'un appartement
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Énoncé
Un appartement est situé entre des appartements identiques, chauffés tous à la température
Ti (figure 2.14 et figure 2.15). Les trois murs porteurs, orientés nord-sud (deux
murs latéraux et un mur central) ainsi que les dalles qui constituent le plancher et
le plafond sont en béton d'épaisseur ep et de conductivité Àp (figure 2.14); ces trois
murs aboutissent au ras de la façade sud, le mur central au ras de la paroi nord; les
deux murs latéraux encadrent au nord la loggia qui n'est ouverte que par un plan.
Des joints parfaitement isolants relient les trois murs aux dalles plancher et plafond
(figure 2.15). Cette propriété heuristique des joints n'a d'autre but que de simplifier
le problème traité.
Les murs de façade, orientés est-ouest, sont en béton léger, d'épaisseur e1 et de
conductivité ÀT. La façade sud est percée de deux fenêtres en verre, de surface S v
chacune, d'épaisseur eu, de conductivité Àv, la façade nord de deux porte-fenêtres de
surface S f chacune, constituées du même verre. Le verre est dans tous les cas parfaitement
isolé des murs. De la même façon, les deux murs de façade sont liés à la
43

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
l 1 S . s 1 loggia S .Si
I,
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chambre:!
e c
entrée
palier
séjour S
Figure 2.14- Coupe horizontale.
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murs porreurs
't!f'rt! ... . ........... L ~ ..
Figure 2.1 5- Façade sud.
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structure porteuse par des joints parfaitement isolants. Les cotes des cloisons internes,
d'épaisseur ec, de conductivité Àc, sont reportées sur la figure 2.14.
L'air intérieur (appartement, palier) est, à une certaine distance des parois externes, à
température Ti. Le milieu extérieur est à température Te; on prendra comme coefficients
de transfert hi sur toutes les parois internes et he sur toutes les parois externes.
Ces coefficients de transfert tiennent compte des échanges radiatifs linéarisés et des
transferts conducto-convectifs. L'air de l'appartement est renouvelé par appott d'air
externe à Te, à raison d'une fois le volume de l' appartement par heure (phénomène
de convection).
Exprimer la puissance nécessaire au maintien de la température Ti dans l'appartement,
en régime stationnaire, avec les données suivantes :
l = 2 m; l1 = 2 m; H = 2,5 m; L = 4,8 m; d = 2,5 m; D = 1,5 m; ep = 0,30 m;
e1 = 0,20 m; ec = 0,15 m; ev = 4.10- 3 m; Àp = 5 ;A1 = 0,2 ;Àc = 1,5; Àv = 1
(Wm- 1 K- 1 );Sv = 1m 2 ;Sf=2,5m 2 ;hi = JO;he = 30(Wm- 2 K - 1 ); Te = 0 °C;
Ti= 19 °C.
Les propriétés thermophysiques de l'air sont à trouver dans le Complément D .
44

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
Solution
La démarche décrite au paragraphe 1.6.2 va être suivie.
• Les paramètres clés
Le milieu source est l'intérieur de l'appartement à Ti; l'énergie est dissipée vers le milieu
extérieur à Te. Une question se pose: quelle est exactement la partie de la structure
de l'appartement qui est à Ti ? La modélisation devra préciser ce point.
• Le système
> Symétries. Si on considère une coupe verticale de l'appartement perpendiculaire à
l'axe N-S (figure 2.16), il est évident que, par symét1ie des conditions géométriques et
thermiques, les flux échangés avec les appartements supérieur, inférieur et latéraux sont
nuls. Le système est donc limité par les plans de symétrie de la figure 2.16. Il est à noter
que le palier présente la même symétrie.
Jll <p 0
1' 1
11 1
. .
· ····· · · · · · · ·· · · · ······ · · · ···· · · · · · · ····· · ·~~ · · · · · ·
T; ~I , i 1 T; hi Tl '1 i 1 j [ ' h 1
. .
1;1 q, -o r, 11 1 Ill
<p -o : : <p - 0
...,......................................, .......
Figure 2.16 - Plans de symétrie.
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> Les transferts
Trois types de transfert thermique existent dans ce système :
le renouvellement de l'air par convection: l'air frais entre à Te, l'air vicié sort à Ti
avec le même débit massique ;
les différents transferts à travers les façades Net S, murs légers et vitrages : l'existence
heuristique de joints parfaitement isolants découple ces diverses contributions.
Chaque sous-système est caractérisé par une simple association en série, comme ill ustré
à la figure 2.17. Cependant, pour chaque sous-système, les températures T p, et T p;
des parois extérieure et intérieure sont différentes;
he ,Te 1pe
cp 0 e, À cp -o
h 1
,T;
Tpi
'le Tpe Tpi T;
Figure 2.1 7 - Montage électrique équivalent.
les transferts à travers la smface extérieure des murs porteurs, plafond et plancher :
ce calcul semble complexe en raison de l'existence des structures internes à l' appartement;
c'est ici que la modélisation est déterminante.
4 5

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
> Modélisation des murs porteurs, plancher et plafond
Ces murs porteurs, plancher et plafond peuvent être traités dans le cadre de l'approximation
de l'ailette (voir figure 2.18); en effet, pour des murs d'épaisseur eµ/2 isolés sur
une face et échangeant du flux sur J' autre par transfert conducto-convectif (hi et he), Jes
nombres de Biot valent :
(2.62)
Ces valeurs vérifient le critère de validité de l'approximation de l'ailette au sens du flux
(Bi < 1). Les murs porteurs, plancher et plafond se comportent de plus comme des
ailettes infinies tant vers l'intérieur que vers l'extérieur dès que leur longueur excède
une longueur utile définie par Lu = 5/m (voir paragraphe 2.2.4); soit, ici :
(2.63)
À une distance supé1ieure à 1,4 m des façades toutes les cloisons internes (palier comp1is)
sont isothermes à Ti: les cloisons internes de l'appartement ne jouent aucun rôle
dans l'étude. De la même façon les murs de la loggia sont à la température Te à 0,8 m
de la façade.
• Bilans d 'énergie :
> Renouvellement de /'air. Les flux convectifs entrant et sortant sont m he et m hi
où m, he et hi désignent respectivement le débit massique d'air (entrant et sortant), l'enthalpie
massique de l'air extérieur et l'enthalpie massique de l'air intérieur. Le flux de
chaleur dû au renouvellement del' air est donc :
(2.64)
où V/!:::..t désigne le débit volumique. Soit:
<I>ren ~ -1,6 kW.
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> Transferts à travers les façades Net S. D'après le schéma équivalent précédent
(figure 2.17), le flux traversant la façade nord est, avec les notations de l'énoncé :
[ ( )-] ( )-] l
N 1 ev 1 1 er 1 ·
<!>. = (T -T) 1 2S1· - + - + - + (2LH - 2S1·) - + - + -
fac e h · 1 h h · 1 h
1 llv e 1 llf e
soit : <I>'.lac ~ - 1, 0 kW. De même pour la façade sud :
l
[ ( )-1 ( )-1
s 1 ev 1 1 er 1
<!> . = (T - T) 2S - + - + - + (2LH - 2S ) - + - + -
fac e ' v hi Àv he v hi Àr he
(2.65)
(2.66)
soit : <t>].ac ~ - 0,6 kW.
> Transferts à travers les murs porteurs, plancher et plafond sud et Je
mur porteur central nord. La figure 2. 18 représente le modèle adopté après l'étude
46

2.2. Ailettes et approximation de l'ailette
précédente. Les isothermes sont perpendiculaires à Ox, à la fois dans le mur conductif
entre x = 0 et x = e1, et dans l'ailette: x > e,. Le flux <1> 1 traversant la face x = 0 s'écrit :
(2.67)
où H 1 est le périmètre des cloisons considérées: H 1 = 3H + 2L + 2ep.
Le champ de température dans l'ailette T'(x) est solution de:
2
d
T' -
dx 2
2 hi (T' - T·) . , = 0 · , T'( . oo ) = T . i ; T'( e1 ) = T( . e1 ) .
À.pep
(2.68)
Soit:
(2.69)
On obtient donc :
(2.70)
Tpe
\ 0 he Te
<P 0 e1
1'(-oo) 'l'e
<P 0
- -·-·-- .....-...-...... T'(x)
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cp 0 e1 p 0
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X T( t oo) T .
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Figure 2.18 - Ailette couplée à un
mur.
Figure 2.19- Ailettes couplées.
>- Transferts à travers les murs porteurs externes, plancher et plafond
nord. Le modèle adopté est celui de la figure 2.19 : deux ailettes infinies, couplées par
un pont conducteur d'épaisseur e 1 . Le flux traversant la face x = 0 s'écrit:
où H2 est le périmètre des cloisons considérées: H2 = H + 2L + 2ep.
(2.71)
47

Chapitre 2 • Transferts conductifs stationnaires linéaires
Les champs de température T 1 (x) et T 2 (x) se calculent comme précédemment:
(2.72)
On en déduit la puissance nécessaire au maintien de la température Ti :
<l>roi = - (<Pren + <l>fac + <PJ·ac + <1>1 + <1>2), soit <l>tot ~ 4,6kW.
Commentaire
On remarquera que les divers flux échangés par l'appartement sont proportionnels à Te-Ti
(transferts linéaires). C'est ce qui justifie, en régime stationnaire, les normes de l'industrie
du bâtiment: nombres K, G, B et C, qui sortent del' objet de cet ouvrage. D'un point de vue
pratique, il s'avère que les pertes principales sont, dans le cas considéré, dues au renouvellement,
vital, de l'air et aux vitrages : d'une part, une ventilation mécanique contrôlée à
double flux, c'est-à-dire utilisant un échangeur fournissant à l'air frais la plus grande partie
de l'énergie thermique utilisable de l'air vicié, et d'autre part, un double vitrage, seraient
économiquement intéressants.
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48

CONDUCTION
INSTATIONNAIRE
Notions clés
conductivité, diffusivité, effusivité thermiques; théorème de superposition et
théorème n; échelles caractéristiques de temps et de longueur; nombres de
Fourier et de Biot.
Par souci de simplicité, l'étude se limite ici à des systèmes caractérisés par des propriétés
thermophysiques uniformes, en particulier par des conductivités thermiques
scalaires (isotropes) indépendantes de la température et par des coefficients de transfert
uniformes, intégrant le cas échéant un transfert radiatif linéarisé. Par conséquent,
les équations de bilan d'énergie et les conditions aux limites considérées ici sont linéaires.
En effet, dans ce chapitre on privilégie une approche physique de la diffusion
basée sur des échelles caractéristiques de longueur et de temps. Il sera ici question de
conduction thermique instationnaire, mais les résultats obtenus pourront être étendus
à tout phénomène de diffusion.
3.1 INTRODUCTION
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L'objet de ce chapitre est limité au cas de systèmes matériels immobiles et indéformables.
Dans un cas contraire, apparaîtraient des déplacements des frontières du
système, donc des phénomènes de convection. L'équation de bilan d'énergie s'écrit
pour un tel système de volume V limité par une surface S (figure 3.1) :
Figure 3.1 - Système fixe indéformable.
(3.1)
49

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
T(r,t), cp(r,t), p(r,t) et P(r,t) représentent les température, capacité thermique massique
à pression constante dans le cas d'un gaz, masse volumique et puissance volumique
dissipée au point M(r) à l'instant t; qcd et qR les vecteurs flux smfaciques
de conduction et de rayonnement en r à l'instant t. L'équation 3.1 s'écrit aussi sous
forme locale :
(3.2)
Le flux conductif qcd s'exprime en général par la loi de Fourier, dans le cas d'un
milieu isotrope :
qcd = - À(r,t)VT. (3.3)
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Les approximations linéaires du Chapitre 2 ne sont vérifiées que si la conductivité
thermique À, exprimée en W m- 1 K- 1 , est indépendante de la température. Si le milieu
n'est pas isotrope, l'équation 3.3 se généralise sous forme tensorielle 1 , ce qui rend
la résolution du problème plus délicate sur le plan numérique, mais non sur le plan
physique. De ce fait, nous n'envisageons pas ici ce cas qui se rencontre dans des
milieux textiles, pneumatiques par exemple, ou dans des matériaux composites dont
l'emploi se développe actuellement.
L'équation 3.3 ne tient compte d'aucun phénomène de retard dans la réponse en
flux à une perturbation brutale du champ de température. Si on considère des phénomènes
très rapides (par exemple, les réponses à des impulsions de lasers de 1' ordre de
10- 12 à 10- 15 s ), cette loi n'est plus satisfaisante. Le phénomène de conduction est en
effet dû à des transferts d'énergie par des porteurs (interactions molécule-molécule
dans un gaz ou un liquide, ou interactions mettant en jeu des phonons et des électrons
dans un réseau cristallin) : les temps caractéristiques des transferts ou temps de relaxation
sont de l'ordre de 10- 10 à 10- 12 s. À ces échelles de temps, la loi de Fourier
n'est plus valable 2 .
Une autre limitation de l'équation 3.3 concerne les nanosystèmes, couches extrêmement
minces de l'ordre du nanomètre, pour lesquels la conductivité the1mique
n'est pas nécessairement définie. Mais dans la plupart des applications qui concernent
l'ingénieur, une réponse à 1 ns près ou à une fréquence inférieure à 1 GHz est suffisante
; l'équation 3.3 est alors correcte.
L'introduction du vecteur flux surfacique radiatif qR (voir paragraphe 4.2.4) n'a
d' intérêt que pour l'étude des milieux semi-transparents. Le te1me - V· qR représente
alors la différence entre puissances volumiques absorbée et émise 3 . À l' intél.
qfd = - À;/âT/âxj), où À;j est un tenseur de conductivité.
2. Le critère de validi té de la loi de Fourier est: Kn « l, où Kn désigne le nombre de Knudsen, rapport
du temps de relaxation des porteurs à une durée d' intérêt physique pour le système, ou rapport du libre
parcours moyen des porteurs à une échelle spatiale d'intérêt physique, par exemple la plus petite échelle
spatiale considérée : voir Je paragraphe 10.4.1.
3. Ce point est développé dans Je Chapitre 6.
50

3.1. Introduction
rieur d'un corps opaque, et non pas à sa frontière, le flux radiatif est nul, tandis que,
dans l'autre cas limite d' un milieu parfaitement transparent qui n' interagit pas avec
le champ de rayonnement, on obtient V · qR = O. Cette dernière relation traduit le
fait que toute l'énergie radiative entrant dans un système transparent quelconque en
resso1t sous forme radiative. Donc, quand le système considéré ne comprend que des
corps opaques baignés dans des milieux transparents, l'équation de l'énergie prend
la forme simplifiée 4 :
ôT
pcpBt =V. [/l(r,t)VT] + P(r,t). (3.4)
Les flux radiatifs n'interviennent plus que dans l'expression des conditions aux limites
aux parois des corps opaques.
Un problème de conduction instationnaire est, dans ces conditions, défini par un
système comprenant :
a) l'équation de l'énergie (plusieurs si le système se décompose en plusieurs soussystèmes);
b) les conditions aux limües thermiques sur l'ensemble des smfaces frontières.
Les différents types de conditions aux limites classiques (conduction, convection,
rayonnement etc.) ont été abordés dans le paragraphe 1.5 ;
c) une condition initiale, définissant l'état du système, en tout point r , à t = O. La
condition initiale peut faire intervenir des distributions de température ou de flux.
Elle ne correspond pas nécessairement à un état d'équilibre thermique, ni même à
un régime stationnaire.
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Nous supposerons dans tout ce chapitre que les transferts conductifs sont représentés
par des systèmes linéaires en T , c'est-à-dire que la conductivité À, la masse volumique
p, la capacité thermique massique Cp et les coefficients de transfert convectifs h sont
constants et que les éventuels transfe1ts radiatifs intervenant dans les conditions aux
limites sont linéarisables. L'équation de l'énergie 3.4 devient alors si on introduit la
difj'usivité thermique a (en m 2 /s) :
À
a= ­
pcp
(3.5)
équation de diffusion. Il est important de noter qu'une équation linéaire similaire à
l'équation 3.5 est aussi vérifiée par les composantes du vecteur flux.
4. L'équation 3.4 s'applique aussi à des milieux semi-transparents si - V· qR est intégré dans P(r,t).
51

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
3.2 THÉORÈMES GÉNÉRAUX
3.2.1 Théorème de superposition
a) Principe
La solution du système linéaire d'équations aux dérivées partielles constitué par
l'équation de l'énergie, les conditions aux limites et la condition initiale est unique.
On a souvent intérêt à décomposer un système de ce type S (O) en sous-systèmes S (1),
S < 2 ), · · · , S (n) également linéaires et à solutions uniques, tels que par somme membre
à membre on obtienne le système linéaire de départ s< 0 ). La solution T (O) unique du
système S (O) est alors la somme des solutions T (i) de chacun des sous-systèmes S (i).
Par souci de chuté, ce théorème très général est ici illustré sur un exemple concret.
La généralisation à d'autres cas (géométrie, conditions aux limites ou initiale différentes)
est évidente.
À,p ,c,a,P
h1 h1 < h,
e
I
À ,p ,c,a,P
t R t t R t
eau eau eau eau
e 2 > e 1
T e
T(x,t)
À, a, p, c
T 0
X
/ <... 0
Figure 3.2 - Conditions initiales et finales.
Figure 3.3 - Mur semi infini.
b) Exemple d'application
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On considère un cylindre de rayon R, de longueur très grande, d'un matériau fissile
de conductivité À et de diffusivité a uniformes ; dans cette barre une puissance volumique
P supposée uniforme est dissipée (figure 3.2). En fonctionnement normal,
un régime stationnaire s'établit : la puissance fournie au cylindre par la réaction de
fission est évacuée par un fluide caloporteur (eau pressurisée) dont la température
de mélange est supposée constante à la valeur 8 1 ; 1 'échange est caractérisé par un
coefficient de transfert conducto-convectif constant h 1 . On néglige pour simplifier la
présence de la gaine en acier inoxydable entre le matériau fissile et l'eau. À l'instant
t = 0 survient un incident dans le circuit de refroidissement; d'une manière très grossière,
nous considérons que la température de mélange de l'eau passe immédiatement
à la valeur 82 (82 > 81) tandis que le coefficient de transfert devient h2 (h2 < h,).
Le problème est d'évaluer au bout de quelle durée 8t la température T2(r,t) du
matériau fissile, dans les conditions 2, atteint une valeur critique Tc si on laisse évoluer
le système, ou de combien de temps on dispose pour ralentir la réaction (réduire
52

3.2. Théorèmes généraux
P autant que possible) en faisant tomber les barres du modérateur de la réaction de
fission.
Le champ de température T 2 (r,t) est, pour t > 0, solution du système comprenant:
• l'équation de l'énergie, en coordonnées cylindriques :
8T2 = a(8 2 T2 + ~ 8T2) + !._
8t or 2 r or pc
(3.6)
• les conditions aux limites :
(3.7)
(3.8)
• la condition initiale :
T2(r,t = 0) = Tf (r). (3.9)
Tf(r) représente la solution stationnaire initiale, associée au couple (h 1 , 8 1 ), qui est
la solution du système d'équations 3.10 à 3.12 dans lequel on adopte la valeur i = 1:
i = 1,2
l
( d2 Tf 1 dTf p
a--+--+- =0
dr 2 r dr pc
(3.10)
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i = 1,2
dT 5
- .tl-i (R) =hi [rs(R) - 8i]
dr
'
dT 5
-À- l (0) = 0
dr
dont la solution est (voir exercice 1.2 au paragraphe 1.6.3) :
( R2 - r 2 R )
Tf = 8i + P 4À. + 2h;
(3.11)
(3.12)
(3.13)
T~ est la solution stationnaire hypothétique du système pour le couple (h 2 , 8 2 ) au bout
d'un temps dit infini, notion qu'on précisera ultérieurement. La résolution directe
du système d'équations 3.6 à 3.9 est possible mais laborieuse. Il est beaucoup plus
simple de poser, en utilisant la technique de superposition :
T2(r,t) = T~(r) + T(r,t) (3.14)
53

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
Le système d'équations 3.6 à 3.9 est remplacé par le système d'équations 3.10 à 3.12
pour i = 2, de solution T~ (r) connue, et par un système en T(r,t) obtenu par différences
membre à membre des équations homologues des deux systèmes précédents
(avec i = 2 dans le deuxième cas) ; soit :
oT =a (o 2 T + ~ oT)
1
ot or 2 r o r
(3.15)
oT
- À or (R,t) = h2T(R,t), (3.16)
oT
- À or (O ,t) = 0, (3.17)
PR( 1 1 )
T (r,0) = T f (r) - T~ (r) = 81 - 82 + 2 h;, - h
2
= To < O. (3.18)
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Il est plus simple de résoudre le système d'équations 3.15 à 3.18 que le système 3.6
à 3.9. En effet, le terme de puissance volumjque P a disparu ; l'équation 3.16 est
homogène; la condition initiale 3.18 est uniforme. La résolution mathématique du
dernier système d'équations est classique et reportée au Complément A.1 afin d'alléger
l'exposé. Une application numérique concernant l'exemple traité y est également
abordée.
D' un point de vue physique, ce système représente la diffusion de la chaleur dans
un cylindre infiniment long de rayon R, initialement à une température uniforme To
négative, qui s'échauffe sous l'effet d' un transfe1t conducto-convectif à la paroi, caractérisé
par h1 et une température de mélange Tm = 0 du fluide. Ce type de problème
très classique donne lieu à des tabulations pour différentes géométries monodimensionnelles
et différentes conditions aux limjtes [122].
Lors d' une tabulation des résultats de calculs analytiques ou numériques, il est
souhaitable de présenter la solution en fonction d' un nombre mirumal de groupements
adimensionnés ; ces groupements adimensionnés représentent les paramètres
physiques, en nombre limjté, qui régissent le problème. C'est l'objet du paragraphe
suivant.
3.2.2 Analyse dimensionnelle - Théorème II
L'analyse dimensionnelle repose sur un théorème classique, dit de Vaschy­
B uckingham ou théorème n, que nous nous contenterons d'exposer et d'appliquer
à quelques cas.
Si un phénomène physique est décrit par n grandeurs physiques Pi (i = l, ... , n),
qui s'expriment en fonction de k dimensions indépendantes, alors il est possible de
54

3.2. Théorèmes généraux
grouper les n grandeurs physiques en n - k produits sans dimension, notés II1 (j =
l, ... , n - k), et la solution se met sous laforme :
(3.19)
Appliquons ce théorème à deux exemples, de façon à en comprendre la portée et les
limites :
a) l er exemple : échauffement d'une barre
Soit à étudier le phénomène représenté par le système d'équations 3.15 à 3.18. Le
problème dépend den = 8 grandeurs physiques indépendantes (t,T,To,a,r,.:i,R,h2).
On notera que les quantités T et To représentent en fait des écarts de température
par rapport à la température de mélange Tm = 0 du fluide, considérée ici comme
référence. Les unités SI des huit grandeurs physiques sont respectivement : s, K,
K, m 2 /s, m, W/(m.K), m, W/(m 2 .K) qui s'expriment en fonction de k = 4 unités
indépendantes (s, K, m, W). On obtient donc : n - k = 4. Il faut faire appel au sens
physique pour guider les choix de certains groupements sans dimension pilotant le
problème ; les autres s'en déduisent.
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Soient:
- II 1 = r/ R = r+ : distance adimensionnée ;
- II 2 = at/ R 2 = Fo : ce groupement, déduit de la dimension de a et appelé
nombre de Fourier noté Fo, représente un temps adimensionné t+ = t/Tcd,
avec: ~d = R 2 /a;
- ll3 = T/To : rapport d'écarts de températures caractéristiques.
Il reste à déterminer un groupement ll4, qui fasse intervenir À et h2, grandeurs
physiques non utilisées dans les groupements précédents. Le plus simple est
de poser:
- fl 4 = h2R/ À = Bi, nombre de Biot introduit dans le Chapitre 2. La signification
physique de Bi sera abordée dans le paragraphe 3.5.2.
Sans aucun calcul, on sait, à partir du théorème il que la solution du système
d'équations 3.15 à 3.18 peut s'écrire:
f(T/To, Bi, Fo, r/R) =O. (3.20)
Il s'avère qu'elle s'écrit même: T/To = g(Bi, Fo, r/R), après résolution du système
(voir Complément A). Notons, à ce stade, que dans ce type de problème, relatif à une
géométrie finie, les variables adimensionnées spatiale r/R et temporelle F o jouent
des rôles bien distincts.
55

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
b) Deuxième exemple : mur semi-infini de température
pariétale imposée
On considère un mur semi infini (x > 0), initialement à température To, dont le champ
de température ne dépend que de x. À partir de l'instant t = 0, la température de la
paroi x = 0 est imposée à la valeur Te. Tous les paramètres physiques caractérisant le
problème (À, a, p, c) sont constants (figure 3.3). T(x,t) vérifie le système :
ôT ô 2 T
ôt =a ôx2 '
(3.21)
T(x = O,t) = Te T(x = oo,t) = To T(x,t = 0) = To. (3.22)
Ce système dépend den = 5 grandeurs physiques : (T - Te, To - Te, t, a, x), dont les
unités respectives (K, K, s, m 2 /s, m) dépendent de k = 3 unités indépendantes. Il est
caractérisé par n - k = 2 groupements sans dimension :
- fl1 = (T - Te)/ (To - Te) = T +, température adimensionnée,
- un autre groupement fl 2 qui dépend nécessairement de t, a et x.
On pose alors fl 2 = at/ x 2 = Fo, nombre de Fourier ; et le phénomène étudié a une
solution du type f (T +, Fo) = 0 qui, dans ce cas, se met d'ailleurs sous la forme
T+ = g(Fo) (voir paragraphe 3.3.la)).
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Il est remarquable de constater que, dans ce deuxième exemple, con-espondant à
une géométrie semi-infinie, les variables x et t ne sont plus indépendantes comme
dans le cas précédent mais interviennent de façon liée dans le groupement at/x2,
nombre de Fourier, qui prend alors deux significations distinctes :
- en x donné, Fo est un temps adimensionné : le temps caractéristique de
conduction thermique, de 0 à X, noté rd, est x 2 ja;
- à t donné, on introduit Fo- 1 1 2 = x/ Yai qui est un adimensionnement de la variable
d'espace; Yai est la longueur caractéristique de conduction à l'instant t
(l'instant 0 correspondant à l'apparition de la perturbation).
Il apparaît également dans le groupement at/ x 2 qu'il est équivalent de faire tendre x
vers l'infini (hypothèse initiale du mur semi-infini) ou le temps vers 0; il est clair que
le modèle d'un mur semi-infini caractérise la réponse d'un système dans les instants
56

3.3. Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
qui suivent immédiatement une perturbation tels que : t << L 2 /a, si Lest la dimension
finie du mur (réponse aux courts instants) 5 .
La suite de cette étude sera divisée en deux parties : l'étude des phénomènes physiques
liés à des géométries semi-infinies, ou à la réponse aux courts instants, dans
le paragraphe 3.3 et celle des géométries fini es, ou de la réponse à un instant quelconque,
dans le paragraphe 3.4.
3.3 GÉOMÉTRIE SEMI-INFINIE. RÉPONSE APRÈS
UN INTERVALLE DE TEMPS COURT
Nous abordons, dans ce paragraphe, des cas caractéristiques mais non limitatifs des
problèmes liés à une géométrie semi-infinie, sous un angle physique : la réponse
d'un système un bref intervalle de temps après une perturbation et le problème de
la réponse thermique à une sollicitation périodique forcée. Des outils mathématiques
puissants (fonctions de Green, transformation de Laplace, etc.), développés dans le
Complément A, permettent de généraliser à des situations plus complexes les cas
abordés dans ce paragraphe.
3.3.1 Réponse d'un système après un intervalle de temps
court
a) Réponse à une température imposée
On reprend le deuxième exemple du paragraphe 3.2.2b), c'est-à-dire le mur semiinfini
initialement isotherme, auquel on impose une température de paroi Te à l'instant
t = 0 en x = O. Si on adopte les variables sans dimension :
X
et u = 2
Yai, (3.23)
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l'équation aux dérivées partielles 3.21 dégénère en une équation différentielle6 en u:
d 2 T+ dT+
-- +2u- =Ü.
du 2
(3.24)
du
Le sens physique de cette transformation est clair : ce type de problème est gouverné
par l'unique grandeur adimensionnée Fox = at/x 2 , nombre de Fourier introduit au paragraphe
3.2.2b ). La condition initiale et la condition à la limite x ~ oo ont fusionné
pour donner
(3.25)
En effet, l'infini n'est jamais affecté par une pe1turbation en x =O.
5. Par contre, il n'est pas équivalent de considérer les solutions à t ~ oo et x ~ 0, car dans le premier
cas le modèle physique n'est plus fondé.
6. En effet, on a, pour t t:. 0 : 8 2 T /8x2 = (1 /4at)d 2 T/du 2 et 8T /8t = -(u/2t)dT/du.
57

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
La condition à la limite x = 0 devient
(3.26)
On obtient après intégration :
dT+
v = - ·- = A exp(- u 2 ).
du
(3.27)
Le facteur 2, introduit arbitrairement dans l'équation de définition 3.23 de u, conduit
à la forme simple précédente. Puis, intégrant (3.27) et tenant compte des conditions
(3.25) et (3.26), on aboutit :finalement à :
T - T
Ju
exp(-u'2)du'
2 l u=x/(2 ..;ai)
e = r+ = J°oo = erf(u) = - r:;;. exp(- u' 2 )du''
To - Te
exp(-u' 2 )du' y7r o ·
0
(3.28)
où apparaît la fonction d'erreur erf(u), brièvement étudiée dans le Complément B.
I
T - T e
0,5
cp (1)
0
T(x,t)
À, a, p , c
·-~- - -+
0 0,5 1.1
1 '
X {2(al)/ -
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Figure 3.4 - Fonction d'erreur.
Figure 3.5 - Mur semi infini.
Sur la figure 3.4 le rôle du groupement x/(2-{{it) apparaît clairement:
• à x fixé, Tcd = x2 /a est le temps caractéristique de conduction 7 qui caractérise la
dynamique del' évolution du système; en effet, pour x/(2 -{{it) = 0,5 ou Fox =
at/x 2 = 1 ou encore t = x 2 /a, la perturbation thermique imposée en x = 0 a
imposé la moitié de son effet en x, par rapport aux conditions asymtotiques ;
7. En fait, ce résultat est valable pour tous les phénomènes de diffusion : si D est la diffusivité, en m 2 /s,
associée au phénomène de diffusion considéré (diffusion de quantité de mouvement, de concentration
d'espèce, de charge électrique, etc.), le temps caractéristique associé est r = x 2 /D.
58

3.3. Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
• à t fixé, zcd = YQi est la longueur caractéristique de conduction 8 ; en effet, on
peut donner la même interprétation que précédemment pour Fox = at/x2 = 1
OU X= Yëii.
Le modèle du mur semi-infini n'a de sens que tant que la dimension du mur suivant
x, notée L, vérifie
L » Vat soit: Fol= at/L 2 « 1. (3.29)
On déduit de l'équation 3.28 le flux surfacique r.p(x,t) en utilisant la relation dimensionnée:
Le groupement :
r.p = - À oT = - (To - Te) ~exp(-~ )
ox '/-;[ 4at
(3.30)
b=~, (3.31)
appelé ejfusivité du matériau, caractérise physiquement la réponse d'un système aux
instants qui suivent immédiatement une perturbation. L'intérêt de cette grandeur apparaîtra
de façon plus manifeste dans le paragraphe 3.3.3.
On notera la décroissance du flux en r 1 1 2 à la paroi x = 0 du mur, caractéristique
de la réponse du mur semj-infini.
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b) Réponse à un flux extérieur constant
Un milieu semi-infini, initialement isotherme à la température To, est soumis à partir
de l'instant t = 0 à un flux surfacique uruforme et constant dans le temps r.p 0 sur sa
frontière x = O.
Sous l'hypothèse d' uniformité de a, l'équation de l'énergie peut être écrite en
te1mes de fi ux :
oT
or.p o 2 r.p
r.p(x,t) = - À ox
(3.32)
ot =a ox2 '
r.p(O,t) = t.po r.p(x ~ oo ,t) = 0 r.p(x,0) = O.
(3.33)
Le système d'équations 3.32 à 3.33 est formellement du même type que le système
d'équations 3.21 à 3.22 dont la solution est donnée dans le paragraphe 3.3.la).
Compte tenu des différences de conditions aux limites et irutiales, on trouve :
r.p(x,t) = t.po { 1 - erf [ x/(2 Vat)]} = t.po erfc [ x/(2 Wt)] t * 0, (3.34)
8. Expression généralisable à tout phénomène de diffusion : l = ..../Dt.
59

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
g
c5
où erfc(u) désigne la fonction d'erreur complémentaire (voir le Complément B.l).
La solution en température s'en déduit immédiatement, en utilisant les conditions
aux limites du problème et la loi de Fourier :
T(x,t) = _ ~
yÀpc
2<po Yt Loo , ,
x/2Vai
erfc(u )du + To
avec at/L 2 « 1. (3.35)
L'intégrale, appelée ierfc, qui apparaît dans l'équation 3.35, est tabulée dans le Complément
B.1. Dans cette expression apparaît encore l'ejfusivité YXiiC notée b, qui
caractérise la réponse du système aux instants qui suivent immédiatement une perturbation.
On constate qu'un système de grande effusivité verra sa température plus
faiblement pe1turbée qu'un système de faible effusivité.
Notons que:
• À la paroi x = 0, la température du système croît en Yi, dès lors que la condition
at/L 2 « 1 est vérifiée.
• L'analyse dimensionnelle montre que le système d'équations 3.32 à 3.33 dépend
de six grandeurs indépendantes (T - T 0 , x, t, a, À, <po), s'exprimant en
fonction de quatre unités indépendantes (m, s, W, K). La solution dépend donc
de deux groupements indépendants : at/x2 et <pox/[À(T - T 0 )]; en fait ici ce
sont les combinaisons x/(2 Vat) et il (T - To)/'Po Vat = b (T - To)/'Po Yt qui
interviennent explicitement dans l'équation 3.35.
• La fonction intégrale qui apparaît dans l'équation 3.35 a une largeur caractéristique
: x/(2 Vat) = 1/2 ; la constante de temps de ce phénomène est toujours
r = x2/a et la longueur de diffusion -Vat.
3.3.2 Réponse d'un système à une condition extérieure
périodique
8 Un système peut être soumis à des conditions thermiques périodiques : alternance
N
@ jour-nuit, phénomène important pour les applications solaires ou les bâtiments; tech-
.:t: niques de hachage de faisceau utilisées en métrologie, etc. Un régime sinusoïdal
Ol
·~ constitue souvent une première approximation de ce régime périodique. Dans le cas
g. des applications métrologiques, les techniques de traitement du signal permettent de
u
se limiter, en toute rigueur, à l'étude the1mique du régime sinusoïdal.
60
a) Analyse du problème
Considérons un mur semi-infini (x > 0), initialement à température To et soumis en
x = 0 à un flux <p = <po(l +cos wt), c'est-à-dire modulé sinusoïdalement autour d'une

3.3. Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
valeur moyenne cp 0 (figure 3.5). Le système régissant ce problème est:
aT
a 2 r
ot =a ox2 '
(3.36)
T(oo, t) = To T(x,0) = To. (3.37)
On a postulé implicitement que la perturbation n'atteindrait pas l'infini. Cette hypothèse
sera discutée ultérieurement. Utilisons le théorème de superposition, en cherchant
une solution du type: T = T 1 + T1 telle que T 1 et T2 vérifient les deux systèmes
d'équations 3.38 à 3.39 et 3.40 à 3.41 respectivement:
(3.38)
T1(00, t) = To Ti(x,0) = To. (3.39)
Ce premier sous-système a été étudié au paragraphe 3.3.lb). L'autre sous-système
s'écrit:
0T2 o 2 T2
-=a--
ot ox 2 (3.40)
'
(3.41)
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La notation Re( eJwt) signifie ici partie réelle de eJwt. Le théorème ll (paragraphe
3.2.2) montre que la solution du système d'équations 3.40 à 3.41 dépend de
trois groupements sans dimension wt, AT 2 /(cpox) et x 2 w/a. La solution générale de ce
système s'obtient par les techniques exposées au Complément A. Ce deuxième soussystème
conduit au bout d'un temps suffisamment grand, précisé ultérieurement, à un
régime asymptotique forcé.
b) Solution en régime forcé
On cherche une solution de la forme :
T:;(x,t) = Re[8 2 (x) exp(jwt)],
au bout d'un temps infini; B2(x) vérifie évidemment le système :
. e d 2 82
JW 2 = a-- 2
dx
(1) 82(00)=0 (3).
(3.42)
(3.43)
61

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
La condition initiale n'a alors plus de sens. L'équation caractéristique de l'équation
3.43(1) s'écrit:
p 2 = jw/a. (3.44)
D 'où:
lh (x) =A exp [-(w/2a) 112 (1 + j)x ] + Bexp [Cw/2a) 112 (1 + j)x]. (3.45)
Les conditions 3.43(2) et 3.43(3) imposent :
A = (<po/il)(a/2w) 1 / 2 (1 - j) B= O. (3.46)
La solution asymptotique r ;(x,t) s'écrit alors :
r ; cx ,t) = (<po/À)(a/w) 1 1 2 exp [-(w/2a) 1 1 2 x] cos [wt - (w/2a) 1 1 2 x - n/4] . (3.47)
c) Dégénérescence du phénomène de diffusion en phénomène
de propagation
La solution asymptotique ci-dessus ne vérifie pas la condition initiale écrite en 3.41 ;
le système a totalement perdu mémoire de son état initial. Étudions les propriétés
remarquables de la solution en régime forcé à la pulsation w.
Le phénomène de diffusion a dégénéré, à pulsation w fixée, en un phénomène de
propagation vers les x positifs avec une célérité C:
w(t - x/C) = wt - (w/2a) 112 x ==:::} C(w) = (2aw) 1 1 2 • (3.48)
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La célérité est dispersée en fréquence. L'analyse spectrale du phénomène de diffusion
montre, d'après l'équation 3.48, que :
• Les signaux à fréquence infinie se propagent avec une célérité infinie : aucun
temps de retard n' apparaît entre une perturbation et sa propagation en un
point; ce phénomène, peu physique, provient de l'hypothèse de Fourier (paragraphe
10.5).
• Les signaux à fréquence faible se propagent lentement.
Le signal à la pulsation w se propage en étant fortement atténué en
exp [- (w/2a) 1 1 2 x] dans l'équation 3.47. Cette atténuation est d'ailleurs d'autant
plus forte que la pulsation w est plus élevée. Si les composantes à fréquence élevée
d'un signal thermique se propagent vite, elles sont rapidement éteintes. La
profondeur de pénétration e P est définie, pour la pulsation w, par :
ep = (2a/w) 1 / 2 (3.49)
62

3.3. Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
Le nombre de Fourier associé Fow = af(wep 2 ) est voisin de l'unité, égal à 1/2.
On constate l'existence d'un déphasage n/4 entre le flux excitateur <po cos wt et la
réponse en température en x = O.
Toutes ces propriétés traduisent l'existence d'un effet de peau lors de la propagation
d'une onde thermique de pulsation w. Rappelons, à ce stade, qu'on est en droit de
parler de propagation et d'onde thermique à fréquence fixe w, mais que, si le phénomène
est envisagé globalement, il s'agit de diffusion, caractérisée par une dispersion
de la célérité.
Une perturbation thermique dépendant du temps imposée en la face x = 0 d'un mur
semi-infini peut être décomposée par analyse spectrale en composantes élémentaires
de pulsation w. Chacune des composantes se propage avec une célérité C(w) et est
caractérisée par une profondeur de pénétration ep(w). Le signal global correspond à
1' ensemble des composantes à toutes les pulsations et est doublement déformé lors
de son transport à 1' intérieur du milieu : c'est le phénomène de diffusion.
Une méthode mathématique puissante pour résoudre ce type de problème consiste
à faire subir au système une transformation de Laplace (voir Complément A.1) :
l'équation aux dérivées partielles que représente l'équation de l'énergie dégénère
alors en équation différentielle s'il y a une seule variable d'espace à considérer. La
transformation de Laplace correspond à une analyse spectrale du signal thermique ;
le fait que l'équation de l'énergie à une dimension spatiale dégénère à une fréquence
donnée en une équation différentielle correspond à la dégénérescence du phénomène
de diffusion en phénomène de propagation, plus facile à étudier. La transformation
inverse permet de reconstituer par intégration spectrale la réponse du phénomène de
diffusion.
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3.3.3 Exercice d'application
, ( Exercice 3.1 Contact thermique
"'
~ Énoncé
't:
0
~ Un problème courant consiste à étudier l'évolution the1mique d'un système constitué
~ de deux corps notés 1 et 2, initialement isothermes à des températures différentes Tf
·~ et rg, et mis brusquement en contact thermique à l'instant t = 0 (figure 3.6). On fait
l les hypothèses suivantes :
~
"'
~ • Les grandeurs thermophysiques caractérisant les deux corps (ili, Pi, ci, ai, bi
i = 1,2) sont uniformes,
-ci
0
c
=i
~ • Le contact est supposé parfait,
63

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
Àl, a 1
,p 1
, c 1
, b 1
~, a 2'p 2
, c 2
, b 2
1j (x, t) T 2
(x, !} x
y o
J
milieu 1
0 y o
2
milieu 2
Figure 3.6 - Modèle du contact thermique.
• On ne s'intéresse à l'évolution du système qu'aussitôt après la mise en contact.
1. Établir les expressions donnant l'évolution de la température des deux corps
en fonction du temps et de la variable d'espace.
2. Quelle est la température de contact entre la peau assimilée à de l'eau à 37 ° C
et une plaque d'acier à 60 °C? Même question avec une plaque de bois à 60 °C.
Commenter.
Solution
1. Le système à résoudre, en utilisant le modèle adapté de deux murs semi-infinis, s'écrit:
(3.50)
(3.51)
Ti (-oo,t) = r? (3.52)
T1(x,O) = T? (3.53)
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Le système dépend de neuf paramètres indépendants (Tg - T?, T 1 - T?, T 2 - rg, À 1 , À 2 ,
x,t,a 1 , a2) qui eux-mêmes dépendent de quatre unités indépendantes (K,W,m,s); la solution
s'exprime en fonction de cinq produits sans dimension indépendants. On pose, a
priori: (T 1 -T?)/(T~ -T?), (T 2 - rg)/(T?-T~), Ài/À. 2 ,a 1 t/x 2 , a 2 t/x 2 . On remarquera que
dans le choix des produits, on s'est attaché à ne pas détruire la symét1ie du système: a 1 /a 2
est obtenu par rapport des deux derniers groupements .
Il s'agit de résoudre le système d'équations 3.50 à 3.53. En variables sans dimension,
choisies de façon à ne pas rompre la symétrie du système :
+ Ti - T~
Tl = _T_o __ T_o'
2 - 1
le système devient :
T + _ T2 -T2°
2 - T o T o'
1 - 2
Ut=
X
'
2~
(3.54)
(3.55)
64

3.3. Géométrie semi-infinie. Réponse après un intervalle de temps court
(3.56)
(3.57)
Tt(-oo)=O (3.58)
Les solutions des équations 3.55 vérifient les relations (paragraphe 3.3.la)):
(3.59)
et l'équation 3 .56 devient :
(3.60)
Compte tenu des conditions aux limites à l'infini 3.58, les équations 3.59 s'intègrent en :
(3.61)
L'équation 3.57 conduit alors à:
(3.62)
Le système des deux équations 3.60 et 3.62 permet la détermination de A 1 et A1 et finalement
des champs de température Tt (u 1) et T{ (u 2 ) :
(3.63)
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soit:
(3.64)
2. Intéressons-nous à l'évolution des températures au point de contact (x = 0) aux instants
qui suivent ce contact. Comme erfc(O) vaut 1, il vient :
(3.65)
Immédiatement après le contact, une température intermédiaire entre T~ et T~ s'établit au
point de contact, et celle-ci se maintient apparemment indéfiniment dans le temps. En fait,
elle ne se maintient que tant que le modèle des murs semi-infinis (limité aux instants qui
suivent la perturbation) a un sens : a 1 tf L7 « 1, a1t/L~ « 1. Le résultat remarquable est
65

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
que le corps de plus grande e.ffusivité tend à imposer sa température à l'autre. En effet, si
b1 » b2, on obtient:
(3.66)
Les conditions du paragraphe 3.3.1 sont donc réalisables dans ce cas. C'est aussi l'explication
d'un phénomène courant mais paradoxal : marcher à pied nu (à 37 °C) sur une
plaque métallique à 60 °C ou sur un morceau de bois à la même température ne donne pas
la même sensation de température : la première est insupportable, la seconde est tout-àfait
tolérable. La réponse est simple : l' effusivité du pied est assimilable à celle de l'eau :
bp ~ 1600 (SI), celle du bois vaut : bb ~ 11 (SI) et celle de l'acier : ba '.::::'. 13000 (SI).
Lors du contact pied-acier, une température s' établit immédiatement : T pa = 57 ,5 °C. Lors
du contact pied-bois, on obtient seulement : T pb = 37 °C. Si, par contre, on persiste à rester
debout sur la planche de bois, très vite l'effet sera le même que sur la plaque d 'acier.
C'est une démonstration par l'absurde, facile à réaliser, que le modèle du mur semi-infini
n'est valable qu'aux temps courts. Les Sages Je savent bien, qui ne font que passer sur Jes
brasiers ardents !
L'ejfusivité -yxpë représente dans tous les cas envisagés aux paragraphes 3.3.1 et 3.3.3
une grandeur caractérisant la réponse instationnaire d'un système aux instants suivant une
perturbation (tant que le milieu peut être considéré comme semi-infini). Elle représente
physiquement la capacité du milieu à résister (en température) à une modification brutale
des conditions extérieures.
___ J
3.4 GÉOMÉTRIE FINIE. RÉPONSE D'UN SYSTÈME
À UN INSTANT QUELCONQUE
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La réponse d'un système fini à une perturbation a déjà été abordée (paragraphe 3.2.1).
Nous traitons ici d'autres cas, de façon à mettre en évidence les spécificités physiques
de ce type de problème. Les outils mathématiques et méthodes numériques ( différences
finies, éléments finis, etc.) permettant d'aborder des problèmes plus complexes
sortent des objectifs de cet ouvrage.
3.4.1 Réponse à une perturbation brutale
Considérons un mur, d'épaisseur L suivant Ox, isolé sur la face x = 0, initialement
à température To et échangeant, à partir de l'instant t = 0, de l'énergie avec un
milieu extérieur à température Te par transfert conducto-convectif caractérisé par le
coefficient h sur la face x = L. Le système à résoudre s'écrit:
ôT ô 2 T
-= a--
ôt ôx2
(3.67)
66

3.4. Géométrie finie. Réponse d'un système à un instant quelconque
ôT
- À ôx (L,t) = h [T (L,t) - Te]
ôT
- À ôx (0,t) = 0, (3.68)
T(x ,0) = To. (3.69)
Il y apparaît huit grandeurs indépendantes (T - Te, To - Te, x , t, a , À, h, L) dépendant
de quatre unités indépendantes (K, W, m, s) ; la solution dépend donc de quatre
groupements adimensionnés : T + = (T - Te)/(To - Te), x+ = x/L, t+ = Fo = at/L 2 ,
Bi = hL/ À. La signification physique du nombre de Biot Bi sera précisée dans le
paragraphe 3.5.2. Le système devient, sous forme adimensionnée:
aT+ a 2 T +
= ôx+ 2 '
(3.70)
a T + +) . + +)
- 8
(l,t +Bi T (l., t = 0
x+
(3.71)
(3.72)
Ce système linéaire ne comporte qu'une équation non homogène 3. 72 ; il peut être
résolu dans ces conditions par différentes techniques, dont les plus classiques sont
la transformation de Laplace ou la méthode de séparation des variables. La solution
dimensionnée, détaillée dans le Complément A.2, est:
T (x,t) - Te _ fi( 2 sin(kn) ) (k x ) ( 2 at )
- L.J . cos n - exp -kn L 2
,
To - Te n=O kn + sm(kn) cos(kn) L
où les kn sont la suite des solutions de :
(3.73)
(3.74)
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Cet exemple est représentatif du type de solutions obtenues, pour une géométrie finie
quelconque. Quand il est possible d ' obtenir une solution analytique, elle se présente
généralement sous la forme de séries infinies. Une telle solution est valable quelle
que soit la valeur de t. Il est clair que le temps caractéristique T cct = L 2 /a qui apparaît
dans le temps adimensionné t+ (ou nombre de Fourier) représente la constante de
temps du système. À la limite où : at/L 2 >> 1, on peut se contenter d' un seul terme :
la réponse du système aux temps longs prend une forme exponentielle. Quand, au
contraire : at/L 2 << 1, c'est-à-dire aux courts instants après la perturbation, tous les
termes doivent être pris en compte. Dans ces conditions, le milieu peut être considéré
comme semi-infini puisque le phénomène de diffusion n'affecte pratiquement pas la
frontière x = 0 du système. Des solutions directes, plus aisément exploitables peuvent
souvent être obtenues (voir paragraphe 3.3.1). Dans les cas intermédiaires, il sera en
général suffisant de limiter la série à 2 ou 3 termes.
67

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
3.4.2 Réponse à un régime forcé
L'étude du paragraphe 3.3.2 peut être reprise, sans difficulté, dans le cas d'une géométrie
finie. Il apparaît, pour une pulsation w donnée, un phénomène de propagation
d'ondes thermiques à la fois vers les x positifs et vers les x négatifs, donnant lieu à
des ondes stationnaires.
,
3.5 ECHELLES DE TEMPS ET DE LONGUEUR
Ce paragraphe présente les résultats principaux ayant trait aux échelles de longueur
et de temps en diffusion. Ces résultats sont appliqués ici à la conduction the1mique,
mais ils restent valables pour tout phénomène de diffusion.
3.5.1 Temps caractéristiques
Un système thermique est souvent caractérisé par des temps caractéristiques propres
(excitation périodique, durée d'une impulsion, temps caractérisant le déplacement
d'un front de fusion, temps nécessaire au conditionnement ou au traitement d'un
matériau, etc.). Ces temps sont à comparer entre eux et à d'autres qui caractérisent
les transferts par conduction, convection et rayonnement lors del' analyse initiale du
système. Il est souvent possible de simplifier considérablement la modélisation de
celui-ci, dès lors que certains de ces temps sont négligeables devant d'autres.
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a) Temps caractéristique de conduction thermique
Un temps caractéristique de conduction thermique rcct, dans une direction pour laquelle
l'extension du système est R, est construit à partir de l'expression du nombre
de Fourier relatif à cette direction (Fo, obtenu dans le paragraphe 3.2.2 dans le cas
d'un cylindre) :
t at cd R2
Fo = rcd = R 2 r =­ (3.75)
a
Un système est souvent caractérisé par plusieurs temps caractéristiques de conduction.
Notons qu'un bloc parallélépipédique homogène de diffusivité a et de dimensions
L 1 , L 2 , L 3 est caractérisé a priori par trois nombres de Fourier atf LT, at/L~, at/L~
auxquels on peut associer les trois temps caractéristiques Lifa,L~ja et L~/a.
b) Temps caractéristique de transfert conducto-convectif
Un temps caractéristique de transfert conducto-convectif r<-·c peut facilement être introduit.
Pour ce faire, on suppose que, pour un système fini, le temps caractéristique
de conduction normalement à la paroi est nul (conductivité thermique du matériau
infinie : notion qu'on précisera ultérieurement). Considérons, à titre d'exemple, une
68

3.5. Échelles de temps et de longueur
tranche élémentaire d'une barre de rayon R, initialement à la température T 0 , qui
échange de la chaleur uniquement avec un bain à la température Te par transfert
conducto-convectif caractérisé par un coefficient d'échange h. À chaque instant t la
barre sera, avec les hypothèses précédentes, isotherme à la température T(t). L' évolution
de la température T(t) de la tranche de cette barre, de volume dV et de smface
d'échange avec le bain dS est régie par le système:
T(O) = To. (3.76)
dont la solution est :
_T_-_T_e = exp (- _h_dS_t) = exp (-_t ) .
To - Te pcdV Tee
(3.77)
En l'absence de retard lié au phénomène de conduction (isothermie instantanée de la
barre), le temps caractéristique conducto-convectif est:
cc pc dV pcR
T = h dS = 2h .
(3.78)
L'hypothèse d'isothermie instantanée 9 de la tranche est vérifiée à des échelles de
temps grandes devant T cd, quand est vérifiée la relation :
(3.79)
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Notons que cette inégalité, qui doit être considérée au sens d'une exponentielle
très petite, est peu contraignante : rd 3 à 5 fois plus petit que Tee est suffisant.
Dans l'hypothèse inverse:
(3.80)
la conduction thermique peine à transférer au milieu l'énergie apportée à la paroi
par transfert conducto-convectif : c'est la limite où on considère que h tend vers
l'infini. Le transfert conducto-convectif impose alors la température Te à la paroi
de la barre et il convient de résoudre complètement le problème de conduction
instationnaire au sein de la barre (voir les paragraphes précédents).
9. Dans un problème instationnaire, cette propriété d'isothermie instantanée n'est atteinte qu'au bout
d'un délai de l'ordre de quelques Tcd . Cet intervalle de temps correspond à l'établissement d'un régime
stationnaire local.
69

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
c) Temps caractéristique de transfert radiatif
Il est également possible de définir un temps caractéristique radiatif aux limites d'un
système. Dans un cas simple classique l'équation 3.76 se transforme en:
dT
pc dt dV = -ê<T (T 4 - r:) dS T(O) = To . (3.81)
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dont la solution est :
pc dV (T dT'
t - to = ê<T dS Jro r: -T'4 (3.82)
Ce temps est lié au flux radiatif, pas au phénomène de propagation des photons qui
est en pratique instantané, puisque caractérisé par la célérité du rayonnement sur des
distances finies. Son expression peut être simplifiée dans différents cas limües : à la
limite où : (T - Te)/Te « 1, après linéarisation, on retrouve l'équation 3.76 ; si, au
contraire: Te>> T, le flux est constant dans l'équation 3.81 et il vient:
t - to pc dV
=
T - To s<TT: dS
(3.83)
Ce résultat dépendant de la température, il dépend fortement des conditions de l'application
considérée; il n'y a alors pas d'expression générale pour le temps caractéristique
radiatif.
3.5.2 Nombre de Biot
Dans le cas d' une barre de rayon R, on retrouve le nombre de Biot hR/;t comme
rapport des temps caractéristiques de conduction R 2 /a (équation 3.75) et de transfert
conducto-convectif pcR/2h (équation 3.78), soit, à un facteur près :
(3.84)
Ce résultat est général et la discussion du paragraphe précédent correspond aux deux
critères classiques :
• Bi « 1, déjà rencontré comme critère de validité de l'approximation de l'ailette
au sens du profil de température. Ce critère s'éclaire parfaitement, à partir
de la discussion précédente. Même si l'ailette est considérée en régime stationnaire,
le fait que le temps de conduction transverse rd soit petit devant le
temps de transfert conducto-convectif rc' ou global incluant éventuellement
un rayonnement linéarisé, impose de fait une quasi-isothermie de la section
droite del' ailette.
• Bi >> 1, rencontré quand le coefficient de transfert est très élevé (échange diphasique,
par exemple : voir tableau 1.1 du paragraphe 1.4.2). Dans ce cas, le
fluide impose sa température à la paroi du corps en contact avec lui.
70

3.5. Échelles de temps et de longueur
3.5.3 Nombre de Fourier
Différentes s.ignifications du nombre de Fourier ont été abordées dans cette étude :
a) Pour un système de dimension finj e, de longueur L, c'est le temps adimensionné:
(3.85)
où r-·d est le temps caractéristique de conduction dans la direction relative à la dimension
L (voir le paragraphe 3.5.1).
b) Pour un système ayant une dimension semi-infinie (c'est-à-dire considéré aux
instants suivant immédiatement une perturbation), le nombre de Fourier permet :
• à un instant donné t, d'obtenir la distance caractéristique de diffusion : ...;ai;
• en un point M d'abscisse x, d'obtenir le temps caractéristique de diffusion :
x 2 /a;
• dans le cas d' un régime sinusoïdal forcé à la pulsation w, le nombre de Fourier
permet d'obtenir la profondeur de pénétration de l'onde à la pulsation w :
y2a/w (paragraphe 3.3.2).
3.5.4 Exercices d'application
( Exercice 3.2 Temps de réponse d'un thermocouple
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Énoncé
Un thermocouple est représenté, avec sa gaine généralement en acier, sur la figure 3.7.
La soudure entre les deux fils métalliques est disposée à l'extrémité d' un cylindre de
rayon R, au centre d'une hémisphère de rayon R. Elle est noyée dans un matériau
isolant (magnésie). C'est la f.e.m. engendrée au niveau de cette soudure qui permettra
de remonter à la température du thermocouple.
fil métallique J gaine
\==·
/ -______,_,,
fll mérallique 2 magnésie
Figure 3.7- Coupe d'un thermocouple commercial.
71

Chapitre 3 • Conduction instationnaire
Caractériser les temps de réponse de ce thermocouple. Discuter, d'un point de
vue pratique, de l'influence du rayon.
Solution
Si on suppose, pour simplifier, le matériau constituant le thermocouple homogène et de
diffusivité a , on peut introduire un temps de réponse conductif transverse: Ted = R 2 /a et
un temps de réponse conducto-convectif: Tee = pcR/ h. Les deux temps de réponse Ted et re
sont en série et caractérisent globalement la réponse du thermocouple ; rd et T ee diminuent
sensiblement quand R décroît, d'autant plus, dans le second cas, que h augmente fortement
quand R décroît (voir Complément C.1).
On a donc intérêt, si on veut privilégier une réponse rapide d'un thermocouple, à diminuer
autant que possible le rayon R. Si les thermocouples usuels, dans l'industrie et au laboratoire,
ont un rayon de 0,5 mm, les thermocouples les plus pe1formants ont des rayons
de l'ordre de 10- 2 mm. Le coût d ' un tel thermocouple croît en raison exponentielle de
l'inverse du rayon.
Exercice 3.3 Pont thermique
Énoncé
Un fluide opaque s'écoule en régime stationnaire suivant Ox entre deux plaques parallèles
de longueur L maintenues à la température uniforme Tp (voir figure 3.8). La
température de mélange du fluide, qui est à la pression p, est supposée uniforme sur
la longueur Let de valeur T f . Une barre cylindrique en acier de rayon R et de conductivité
thermique À maintient les deux plaques à une distance H l'une de l'autre. Le
coefficient de transfe1t conducto-convectif entre le fluide et la barre est supposé uniforme
et de valeur h.
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H =SOcm
---------+- -+----------+ X
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- 2R=6 mm
L= 3m
Figure 3.8 - Section du système.
1j = 100°c
7~ = 20°C
1. h = 81 W.m- 2 .K- 1 (air comprimé). Donner, à partir du modèle le plus simple
possible, l'expression analytique et la valeur numérique du flux échangé entre la
barre et le fluide.
2. h = 510 5 W.m- 2 .K- 1 (sodium liquide). Écrire le système d'équations le plus
simple possible permettant d'obtenir le champ de température dans la barre.
72

3.5. Échelles de temps et de longueur
Données : L = 3 m ; H = 50 cm ; R = 3 mm ; ,l = 15 W.m- 1 .K- 1 ; p = 3 bar ;
T P = 20 ° C ; T f = 1 OO ° C.
Solution
Les efficacités comparées du transfert conductif dans le solide et du transfert conductoconvectif
dans le fluide ont un impact direct sur la solution de ce type de problème. Le
nombre de Biot donne un ordre de grandeur du rapport entre les temps caractéristiques Ted
et re. Le système présentant un plan de symétrie (Je plan d'équation z = H /2), seule une
moitié de la barre, de longueur H/2, est étudiée.
1.Le nombredeBiotvautBi = hR/;t = 0,016.CommeBi « 1,l'approximationdel'ailette
est valide en termes de champ de température et de flux échangé. Soit T (z) le champ de
température au sein del' ailette (l'axez est défini sur la figure 3.8). Le bilan d'énergie pour
une tranche [z, z + dz] de la barre s'écrit:
ou encore:
nR 2 [cp (z) - <P (z + dz)] - h [r (z) - Tf ] 2n R dz = 0 (3.86)
d2T 2
- - m [r (z) - T f] = O
dz 2 (3.87)
avec m = y2h/;tR = 60m- 1 •
La longueur adimensimmée de l'ailette m.H/2 vaut 15; elle est donc plus grande que 5, et
la barre peut être assimilée à une ailette infinie.
Les conditions aux limites sont T (0) = Tp et T (oo) = T.r. La résolution donne:
T (z)- T r
---· = exp (-mz) (3.88)
Tp- Tf
Le flux <I> fourni par la barre au fluide est le double de celui traversant la base de la demiailette,
soit :
(3.89)
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2. Ici, le nombre de Biot vaut Bi = 100 » 1. Le temps caractéristique de conduction r ed
est donc très grand par rapport à celui décrivant le transfert conducto-convectif Tee . Dans
ces conditions, le fluide impose sa température de mélange T.r à la surface de la barre. Le
problème est donc bidimensionnel. Un bilan d 'énergie appliqué au volume élémentaire de
barre situé entre deux cylindres concentriques de rayons r et r + dr d'une part et entre deux
plans de cotes z et z + dz d'autre part aboutit au résultat suivant:
Les conditions aux limites sont :
T (R,z) = T.r
a 2 r 1 ar a 2 r
ôT(r,z) = - + -- + - = 0
8r 2 r Br 8z 2
T (r,O) = Tp
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Br (O,z) = 0
(3.90)
BT (r, H) = 0 (3.91)
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TRANSFERTS
RADIATIFS ENTRE
CORPS OPAQUES
Notions clés
milieux opaques, transparents et semi-transparents; luminance; rayonnement
d'équilibre; étendue spectrale d'une source; absorptivité, émissivité et réflectivité
d'un corps opaque; flux radiatif; corps immergé dans un système à l'équilibre
radiatif.
Si on se limite aux échanges d'énergie radiative entre corps opaques 1 à travers un
milieu transparent (voir les définitions dans le paragraphe 1.2), les transferts radiatifs
n'apparaissent dans le bilan thermique d' un système qu'au niveau des conditions aux
limites (voir paragraphe 1.5). Nous adopterons ce point de vue dans le présent chapitre
et n'aborderons que des configurations géométriques et physiques simples. Le
problème essentiel est ici d'exprimer le flux smfacique radiatif <pR, qui intervient dans
l'expression du flux d'énergie à la frontière d' un corps opaque (voir paragraphe 1.5).
Le champ de rayonnement thermique se décompose en rayonnements élémentaires,
caractérisés par des fréquences v ou des longueurs d'onde l. Le flux surfacique
radiatif <pR en un point, compté positivement dans le sens de la normale à la smface,
représente la somme sur tout le spectre de longueurs d'onde l du flux surfacique
monochromatique d<p~, défini pour l'intervalle spectral [l, l +dl] :
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<pR = rl=oo d<p~.
j A=O
(4.1)
Les flux radiatifs surfaciques <pR et d<p~ sont algébriques; d<p~ s'exprime en fonction
de flux surfaciques monochromatiques particuliers définis dans le paragraphe 1.2
(voir figures 4.1 .a et 4.1 .b ), qui sont des quantités arithmétiques intégrées dans un
demi-espace :flux émis, d<p~ ;flux absorbé, d<p~ ;flux réfléchi, d<p~ ;flux incident, d<p~;
flux partant, d<p~ Du point de vue du corps opaque, le flux surfacique radiatif monochromatique
d<p A s'écrit en x = o-, avec le sens choisi pour Ox sur la figure 4.1.a :
1. Le traitement général des milieux semi-transparents est détaillé dans Je Chapitre 6.
(4.2)
75

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Du point de vue du milieu transparent, d<p1 s'écrit en x=ü+ (figure 4.1.b):
d R_dp d i
'PA - 'PA - 'PA· (4.3)
Les équations 4.2 et 4.3 sont équivalentes pour un corps opaque. En effet, le flux
monochromatique incident sera en partie absorbé et en partie réfléchi :
d<p~ = d<p~ + d<p~
(4.4)
tandis que le flux surfacique partant se compose des flux émis et réfléchi :
(4.5)
corps .
opaque;
flux
absorbé=.
/lux
émis
a) Point de l'lie
du COIJJS OfXJq11e
milieu corµs milieu
transpare/lf opaque : trtm~pare111
j~
: //11;r
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t i11cidem
X : ~ X
~lux
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b) Point de vue
du milieu transparent
Figure 4.1 - Les deux approches du flux radiatif.
4.1 DOMAINE DU RAYONNEMENT THERMIQUE
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Le rayonnement thermique est constitué de quanta, appelés photons, d'énergies hv,
particules ultrarelativistes dont l'étude relève de la statistique de Bose-Einstein des
particules en nombre indéterminé [39]. Nous considérons dans ce chapitre que le
rayonnement se propage dans des milieux transparents d'indice absolu n égal à 1
(vide et, en excellente approximation, gaz transparents : N 2 , 0 2 , etc.). La grandeur
fondamentale caractérisant un rayonnement est la fréquence v, invariante lors d' une
réflexion ou de la traversée d' un milieu quelconque. Avec les hypothèses précédemment
faites, la longueur d'onde ,l du rayonnement est également invariante 2 :
;l = c 0 /v, (4.6)
2. /l n'est pas invariante dans un milieu semi-transparent ; en effet, net c peuvent dépendre des propriétés
locales du milieu, présenter une partie imaginaire ou même dépendre de v et de la direction u. L' unité
spectrale sera, dans un tel milieu, liée à la fréquence (Hz) ou plus comamment au nombre d'onde dans
le vide (cm- 1 ).
76

4.1. Domaine du rayonnement thermique
où c 0 est la célérité du rayonnement dans le vide. Conformément à l'usage, nous utiliserons
en général la longueur d'onde exprimée en ~Lm oo- 6 m). Nous démontrerons
dans le paragraphe 4.4 que la longueur d'onde Âm la plus représentée dans un milieu
transparent à la température T , en équilibre thermodynamique avec les corps opaques
qui J' environnent, vérifie la relation remarquable :
T.Àm(T) = 2898 ~un.K. (4.7)
On déduit de l'équation 4.7 les longueurs d'onde caractéristiques des rayonnements
en équilibre avec des sources à des températures diverses (figure 4.2). Le domaine
du rayonnement thermique usuel couvre une grande partie du domaine infrarouge
(0,8 à 70 ~Lm) et le domaine visible (0,4 à 0,8 ~Lm). Cependant, les lois du rayonnement
introduites dans cet ouvrage s'appliquent à tous les domaines spectraux (si A
est petite devant une échelle caractéristique du système 3 ) : seuls les ordres de grandeur
changent. Il apparaît clairement sur l'équation 4.7 que le rayonnement est une
notion autant thermodynamique qu'électromagnétique. Les seules méthodes praticables
pour mesurer des températures élevées sont radiatives ; délicates à mettre en
œuvre, de plus en plus fondées sur l' usage de lasers, elles sont précises parce qu'elles
perturbent peu le milieu étudié.
fond c1yogénie température fission, fusion
du ciel (azote liquide) ambiante combustion soleil nucléaires
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7 T(K)
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Henzien
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in}iw·ouge Visible ! U. v.: X
ro ~8 ~-1
~ ---------------------- ·· --------------------------------------- ~
rayonnement thermique usuel
Figure 4.2 - Les différents types de rayonnement électromagnétique.
3. Cette condiüon correspond à l'approximation classique en physique quantique et au champ lointain
en électromagnétisme.
-./
y
77

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
4.2 EXPRESSION D'UN FLUX MONOCHROMATIQUE
4.2. l Flux monochromatique directionnel
Une grandeur directionnelle est relative à un angle solide élémentaire d.Q s'étendant
autour d' une direction caractérisée par un vecteur unitaire o . Elle sera affectée d'un
symbole prime (1).
Considérons un élément de surface dS 1 autour d'un point 0 1 , qui échange du
rayonnement avec un élément de surface dS 2 autour de 02 (figure 4.3). Soient n 1
et n2 les normales orientées des faces en regard de dS . 1 et dS 2, o 1 le vecteur unitaire
de 0 1 vers 0 2, 02 le vecteur unitaire de 0 2 vers 0 1 (02 = -o 1 ), et f}i et 82 les angles
(n1,u 1) et (n2,02). Le flux monochromatique directionnel échangé entre dS 1 et dS 2
est proportionnel à:
a) la suif ace apparente de dS 1 dans la direction 0 10 2, soit dS 1 cos 81,
b) l'angle solide d.Q 1 sous lequel on voit dS 2 de 0 1, soit dS 2 cos 82/01 O~,
c) la largeur de l'intervalle spectral [À, À + d/l.].
Figure 4.3 - Configuration d'échange entre surfaces élémentaires.
On obtient finalement :
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d 5 "', = '(O. )dS1 cos81dS2cosfhd 1
""'A L,1 ,,01 2 /l.
0,02
(4.8)
L'équation 4.8 est la relation phénoménologique de définition 4 de la luminance monochromatique
directionnelle L~(0 1 ,o 1 ) du rayonnement considéré (loi dite de Bouguer
ou de Kirchoff). C'est une grandeur définie en tout point del' espace qui est invariante
en tout point du trajet 0 1 0 2 dans le cas où le milieu entre 0 1 et 0 2 est transparent.
La partie géométrique de l'équation 4.8 est symétrique vis-à-vis des surfaces dS 1
et dS 2 : elle peut s'écrire sous deux formes différentes. Si on fait apparaître l'angle
solide d.Q 1 , on obtient :
(4.9)
4. Une définition physique directe de la luminance, relevant de la physique statistique, caractérise en
(r ,t) 1 'état d' un système de photons hors équilibre : voir paragraphe l 0.1.
78

4.2. Expression d'un flux monochromatique
Si on fait apparaître l'angle solide dQ 2 sous lequel on voit dS 1 de 0 2 , soit
dS 1 cos Bi/0 1 O~, on obtient:
(4.10)
La luminance, grandeur énergétique, est additive ; par exemple, le flux monochromatique
directionnel partant de l'élément de surface dS 1 supposé opaque d 5 <P~~ se
compose d'un flux émjs d 5 <t/ 1 ~ et d'un flux réfléchi d 5 <1>' 1 ~ : (4.11)
On obtient, à partir de relations analogues à l'équation 4.8, la relation entre les luminances
correspondantes :
I p - I e Ir (4 12)
Lu - Lu+ L1,i,· .
Si L'Li désigne la luminance directionnelle monochromatique incidente sur dS 2, il
vient:
(4.13)
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où L{~ représente la luminance du rayonnement incident sur dS 2 et réfléchi dans un
demi-espace et L;~ la luminance du rayonnement qui va être absorbé par dS 2·
La notion de luminance monochromatique directionnelle L~ est liée à la grandeur
spectrale choisie comme référence : dans le cas présent la longueur d'onde À.. Il est
possible de définir d'autres grandeurs physiques qui sont les luminances monochromatiques
rapportées à la fréquence v (L~) ou au nombre d'onde a- (L~), ce qui est
d'usage dans l'étude des milieux semi-transparents. Les relations liant ces trois grandeurs
physiques sont :
(4.14)
Les signes moins qui apparaissent dans l'équation 4.14 proviennent du fait que les
différentielles dtl et dv sont de signes opposés. Rappelons l'expression de dtl :
dtl. = (-c 0
/nv)[n-\dn/dv) + v- 1 ]dv.
4.2.2 Expression générale du flux monochromatique
hémisphérique
(4.15)
Considérons les flux monochromatiques incident, réfléchi, absorbé, émis, partant
dans toutes les directions du demi-espace limité par l'élément de surface considéré
du corps opaque et correspondant à chacun des phénomènes. De tels flux sont dits
flux hémisphériques. Suivant les cas on utilise les équations 4.9 ou 4.10. Un flux surfacique
hémisphérique monochromatique incident, absorbé ou réfléchi en dS 1 , émis
79

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
ou partant de dS 1 s'écrit (figure 4.4) sans symbole' puisque c'est un flux hémisphénque:
s=i,a,r,e,p (4.16)
Si la luminance présente une symétrie de révolution par rapport à n 1 (cas de la figure
4.5), l'équation précédente devient, en remplaçant la dépendance en u . 1 . par une
dépendance en e, :
s = z, a, r, e, p
(4.17)
dQ
corps
opaqu
Figure 4.4 - Configuration
générale.
Figure 4.5 - Cas d'une luminance
axisymétrique.
4.2.3 Expression du flux monochromatique hémisphérique
dans le cas d'un rayonnement isotrope
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Si la luminance du rayonnement considéré est indépendante de la direction (on notera
dans ce cas la luminance L,1. en omettant le symbole'), alors les équations 4.16 et 4.17
se simplifient compte tenu du fait que:
Soit:
r;rr/2
Jo cos 812n sine, d81 = 7T. (4.18)
(4.19)
Les flux surfaciques monochromatiques émis, absorbé, réfléchi, partant, incident
s'écrivent dans ce cas très simplement, si L~ désigne la luminance associée:
(4.20)
80

4.2. Expression d'un flux monochromatique
4.2.4 Flux radiatif; vecteur f1 ux radiatif
a) Expression du flux radiatif
Soient n le vecteur unitaire de la normale orientée vers l'extérieur en un point M
d'un corps opaque (figure 4.4) et e l'angle (n,u); le flux radiatif monochromatique
surfacique en M s'écrit:
(4.21)
À partir des équations 4.16 et 4.21 , on obtient à ce stade deux expressions du flux
radiatif:
(4.22)
(4.23)
b) Vecteur flux radiatif 5
Le flux surfacique partant a trait au demi-espace caractérisé par: u.n =cos e > 0; le
flux surfacique incident au demi-espace caractérisé par: u.n =cos e < O. Soient :
dcp~ = dil ( Lf cos edn ;
J 2rr(cos B>O)
dcp~ = dil ( (f I cos e1dn. (4.24)
J 2rr(cos B<O)
La distribution de luminance (tous rayonnements confondus) au point M est L~ (M,u)
définie par :
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cos e > 0 L~(M,u) = Ll (M,u); cos e < 0 L~(M,u) = Lj (M,u). (4.25)
Il résulte des équations 4.23 à 4.25 la relation :
dcp~ = dcp~ - dcp~ = n.( dil ( L~ (M,u)udn )·
J 4rr
(4.26)
La quantité entre parenthèses dans l'équation 4.26 est appelée vecteur flux radiatif
monochromatique 6 . On définit par intégration sur le spectre un vecteur flux radiatif
qR, analogue à q cd :
qR = (
Jo
00
dit ( L~ (M , u)udn,
J 4rr
(4.27)
5. La lecture de ce paragraphe n'est pas nécessaire pour la compréhension du Chapitre 4.
6. Le vecteur flux radiatif monochromatique est directement introduit par dénombrement des photons :
voir paragraphe 10.1 . S ' il présente peu d' intérêt pour calculer les transferts entre corps opaques, il joue
un rôle essentiel dans la modélisation des milieux semi-transparents.
81

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
tel que :
(4.28)
À l'échelle élémentaire, les phénomènes de transfert par rayonnement et conduction
présentent une grande analogie (voir paragraphe 10.1) :
Le flux surfacique radiatif provient des contributions énergétiques des photons
traversant dans toutes les directions de l'espace l'unité de surface par unité de
temps.
Le flux surfacique conductif provient, dans le cas d'un gaz monoatomique pour
simplifier, des contributions des énergies cinétiques des atomes traversant dans
toutes les directions de l'espace l'unité de surface par unité de temps.
4.3 ÉQUILIBRE THERMIQUE ET PROPRIÉTÉS
RADIATIVES
Les phénomènes d'absorption, d'émission et de réflexion sont caractérisés par des
grandeurs monochromatiques directionnelles appelées respectivement absorptivité
(ou facteur d'absorption), émissivité (ou facteur d'émission), réflectivité (ou facteur
de réflexion) qui ne dépendent que du corps opaque considéré et del' indice réel n du
milieu transparent de propagation. On introduira ultérieurement la transmittivité dans
le cas des corps non opaques. À l'équilibre thermique, ces facteurs sont liés par des
relations simples qu'on généralisera quand le système matériel est hors d'équilibre 7
(mais à l'E.T.L. - voir paragraphe 1.1.2).
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4.3.1 Absorptivité et réflectivité monochromatiques
directionnelles
Le rayonnement incident dans l'angle solide d.Q 1 autour de la direction u 1 ( 81 ,<p1)
sur 1' élément dS 1 opaque est caractérisé par le flux directionnel monochromatique
incident d 5 <1'>',{. Ce flux est en partie absorbé (fraction d 5 <J'>~a), et en partie réfléchi 8
dans 2n stéradians (fraction d 5 <1'>1ir) (figure 4.6). D'où la relation :
(4.29)
7. Le champ de rayonnement est en général totalement hors d'équilibre (sauf dans le cas d'un milieu
optiquement épais, tel que le libre parcours moyen des photons est petit devant une distance caractérisant
les variations des champs thermiques : voir paragraphes 6.5.2 et 10.4.3).
8. Dans d 5 <J>~hr, le premier symbole (') se rapporte à un flux incident directionnel, le second ( 11 ) au flux
réfléchi qui est hémisphérique. La notation d 5 , qui ne sera utilisée que dans ce paragraphe dans un souci
de précision, désigne cinq dimensions différentielles : deux pour chaque surface, une pour la longueur
d'onde.
82

4.3. Équilibre thermique et propriétés radiatives
Figure 4.6- Flux incident sur dn..
Figure 4.7 - Flux partant de dn..
À partir de la définition del' absorptivité monochromatique directionnelle de dS 1 :
(4.30)
et de ce.lle de la réflectivité monochromatique directionnelle hémisphérique de dS 1 :
(4.31)
on déduit la relation :
(4.32)
L'équation 4.32 est vérifiée même quand le corps opaque est totalement hors d'équilibre.
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4.3.2 Rayonnement d'équilibre
On démontre en physique statistique [112] que dans un milieu transparent, non dispersif,
d'indice 1, en équilibre the1mique avec les corps opaques avoisinants, il existe
en tout point un rayonnement d'équilibre. La luminance de ce rayonnement est indépendante
de la direction (rayonnement isotrope) et ne dépend que de la longueur
d'onde et de la température. L' expression de cette luminance, notée par convention
L~, est donnée par la loi de Planck 9 :
0 2hc~ [ ( hc 0 )
L =-- exp -- -1 i-I
À ;l 5 ksÀT
(n = 1), (4.33)
9. Une expression généralisée de cette luminance à des milieux d'indice de réfraction différent de 1,
dépendant de la fréquence et/ou de la direction de propagation est donnée dans le paragraphe 10.2.2.
83

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
dans laquelle h et ks désignent les constantes universelles de Planck et Boltzmann et
c 0 la célérité du rayonnement dans le vide :
k 8 = 1,3805 io- 23 J/K ; h = 6,626 io- 34 J.s ; c 0 = 2,998 10 8 m/s. (4.34)
Aucune autre hypothèse que l 'isothermie à la température T n'est nécessaire pour
obtenir ce résultat. Le rayonnement d'équilibre va servir de référence à tout calcul
de flux comme nous allons le montrer dans le paragraphe suivant. Ses propriétés
essentielles sont exposées dans le paragraphe 4.4.
4.3.3 Émissivité monochromatique directionnelle
Dans des conditions d'équilibre thermique à la température T 1 d'un système (champ
de rayonnement et système matériel), le flux monochromatique partant dans l'angle
solide df! 1 d'un élément de surface dS 1 opaque a pour expression, d'après l'équation
4.9 :
(4.35)
Ce flux se compose d'un flux émis, caractérisé par la luminance L~e(0 1 , 8 1 ,<p 1 , T 1 ):
(4.36)
et d'un flux réfléchi (d 5 <P~rryq dans l'angle solide df! 1 , en provenance de toutes les
directions du demi-espace vu par le corps opaque (figure 4.7). Ces différents flux
vérifient la relation :
On tire des équations 4.35 à 4.37 une conclusion fondamentale :
(4.37)
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(d 5 ct>'~rq ~ (d 5 <P'~rq ~ (L'Jrq (01'8i '<p1 'Ti)~ Lf (Ti)
(4.38)
Ce résultat, démontré à l'équilibre du système, est généralisé quand le système est
hors équilibre, plus précisément quand le système matériel est proche de l'E.T.L.
mais que le champ de rayonnement est, en général, hors d'équilibre. La luminance
monochromatique LJ(0 1 , 8 1 ,<p1, Ti) du rayonnement émis par un corps opaque de
température Ti est toujours inférieure ou égale à celle du rayonnement d'équilibre
à la même température L ~. La luminance du rayonnement d'équilibre apparaît donc
comme une référence et une limite pour caractériser la luminance monochromatique
du rayonnement émis par un corps opaque. On définit alors l'émissivité monochromatique
directionnelle s~ du corps opaque par la relation :
0 ::; ê~ ::; 1. (4.39)
84

4.3. Équilibre thermique et propriétés radiatives
4.3.4 Loi fondamentale du rayonnement thermique
L'absorptivité monochromatique directionnelle d'un corps opaque œ~ est égale à son
émissivité monochromatique directionnelle 10 ê~; soit:
(4.42)
Cette relation sera supposée vérifiée hors d'équilibre pour le système matériel (mais
au voisinage de l'E.T.L. de celui-ci).
4.3.5 Cas particuliers usuels
a) Corps gris
Un corps gris est un corps opaque dont les propriétés radiatives (œ', ê', p'h) sont indépendantes
de la longueur d'onde À mais dépendent a priori de la direction. Dans ce
cas paiticulier, l'équation 4.42 devient :
(4.43)
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Cette approximation est souvent faite de façon inconsidérée. Un corps peut généralement
être considéré comme gris dans certaines plages de longueurs d'onde. Par
exemple, dans l'infrarouge moyen, autour de 10 µm, le plâtre sec a une émissivité
dans la direction normale del' ordre de 0,9 : on pourra le considérer comme gris pour
des rayonnements issus de sources à faible température (murs, sol, atmosphère, habitants,
etc.). Mais le plâtre est beaucoup plus réfléchissant pour le rayonnement solaire
(de température caractéristique 5 600 K). Son absorptivité n'est plus alors que de 0,2
environ. Il pourra encore être considéré comme gris mais avec une autre valeur de
l'absorptivité pour ce dernier rayonnement. Le verre est un autre exemple de cette
limite de la notion de corps gris (voir paragraphe 4.5.4).
10. On peut introduire également, à partir de l'équation 4.37, une réflectivité monochromatique hémi-
5phérique directionnelle P1', qui à l'équilibre est liée à l'émissivité directionnelle par la conservation de
l'énergie. En divisant l'équation 4.37 par L?i (T 1 ) dS 1 cos0 1 dQ 1 dl!, il vient, en utilisant l'équation 4.35 :
(4.40)
relation analogue à l'équation 4.32. pfq représente la réflectivité dans un angle solide élémentaire dQ
(notation '),associée à un rayonnement incident de luminance isotrope. En fait, p:{ 1 et pfq s'expriment
en fonction d'une réflectivité bidirectionnelle (voir Chapitre 6), et il est possible de démontrer, en théorie
de la diffusion ([55]), que :
(4.41)
point également discuté dans la référence [67). Ce résultat est traditionnellement appelé principe de
réciprocité de Helmholtz. Une conséquence immédiate de l'égalité précédente et des équations 4.32
et 4.40 est la deuxième loi de Kirchhoff (équation 4.42).
85

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
b) Corps à propriétés radiatives isotropes
Ces corps sont tels que l' émissivité, l'absorptivité et la réflectivité monochromatiques
sont indépendantes de Ja direction. Ces facteurs ne dépendent alors que de la Jongueur
'
'
d'onde ; l'équation 4.42 devient:
(4.44)
Cette approximation se justifie souvent par le fait que, même pour des corps à parois
optiquement lisses 11 , les indicatrices directionnelles d'émissivité et d'absorptivité
sont stationnaires au voisinage de la direction normale (figure 4.8); par exemple,
s~ et a~ varient peu entre 0 et 60°. Or ces incidences, proches de la normale, sont
déterminantes dans l'expression du flux, à cause de la pondération par cos 0 1 dans
l'équation 4.9. Dans le cas de parois rugueuses, cas plus réaliste, la distribution locale
des pentes de la paroi est aléatoire à l'échelle de la longueur d'onde : les propliétés
radiatives du corps opaque tendent encore plus vers l'isotropie de ce fait. L'intérêt
de l'approximation d'isotropie est évidemment de simplifier considérablement les
calculs.
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• ). 20°
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--- alunîï'nium bronze ' 60°
0,1 o ../
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c) Corps noir
Figure 4.8 - Émissivité directionnelle des métaux.
Un corps noir, par définition, absorbe tout rayonnement, quelles que soient sa longueur
d'onde et sa direction ; soit:
(4.45)
11. Paroi optiquement lisse : telle que la rugosité (échelle de longueur caractérisant l'état de surface)
est très inférieure aux longueurs d'onde à considérer dans l'application.
86

4.4. Propriétés du rayonnement d'équilibre
On en déduit deux propriétés fondamentales :
Un corps noir ne réfléchit aucun rayonnement d' après l'équation 4.32.
La luminance monochromatique du rayonnement émis par un élément de surface
assimilable à un corps noir de température T est égale à la luminance du rayonnement
d'équilibre à la température T. En effet, d'après les équations 4.39 et 4.42
il vient:
LfC.N (T) = L~ (T) (4.46)
On notera dans la suite L~(T) à la fois la luminance du rayonnement d'équilibre et
celle du rayonnement émis par un corps noir à l'E.T.L. à la température T , mais il est
essentiel dans les applications de bien distinguer les deux notions.
Il n'existe pas de corps noir parfait, mais certains matériaux tendent vers les propriétés
d' un corps noir dans un intervalle spectral [À.1 ,À.2], par exemple le plâtre ou le
verre à vitre au delà de 3 ~tm.
4.4 PROPRIÉTÉS DU RAYONNEMENT D'ÉQUILIBRE
La luminance du rayonnement d'équilibre à la température T est donnée par l' équation
4.33, dans le cas d'un milieu transparent d'indice 1. Cette fonction est isotrope,
dans le milieu d'indice isotrope considéré, et a l'allure caractéristique de la figure 4.9.
Elle passe par un maximum, à T fixée, pour Àm(T) vérifiant:
T.Àm(T) = 2898~tmK (4.47)
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ce qui permet de trouver les longueurs d'onde caractéristiques associées à différentes
températures (voir paragraphe 4.1). Les courbes de luminance correspondant à différentes
températures ne se coupent pas (figure 4.9). Si on fixe À :
En coordonnées n01malisées, définies par :
T' > T ===> L~(T') > L~(T) (4.48)
X= À/Àm(T), y = L~( T)/L~ 111
(T), (4.49)
la représentation de la luminance du rayonnement d'équilibre est universelle (figure
4.10). En pratique, la plage s'étendant de Àm/2 à 8 Àm correspond à 98 % de
l'énergie du rayonnement d'équilibre. En d'autres termes, le rayonnement thermique
est à prendre en compte dans cette plage. C'est aussi, d'après l'équation 4.39, la plage
caractéristique des longueurs d'onde du rayonnement émis par un corps quelconque,
proche de l'E.T.L.
87

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
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...:) 0.4
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0.1
0.0 ...........................................................................................................................................
1 2 À/A 3 4
m
Figure 4.9- Luminance du rayonnement
d'équilibre.
Figure 4.10 - Luminance
adimensionnée du rayonnement
d'équilibre.
La luminance totale du rayonnement d'équilibre est définie par :
L 0 (T) = (
Jo
00
L~(T)dÀ = a- T 4
n
(4.50)
relation remarquable, dans laquelle a- représente une constante universelle, dite
constante de Stefan, fonction de h, ks et c 0 :
(4.51)
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Le flux smfacique total de rayonnement isotrope incident sur un élément de surface
ou partant de cet élément, à l'équilibre à la température T, s'écrit, d'après l'équation
4.20 :
cp; = cpP = f rrL~(T)dA = rrT 4 (4.52)
Pour calculer les transferts radiatifs, on utilise en pratique la fonction z :
z[ .tli À 2 ] = J:i~ 2 L~ (T)d.tl = J:i~ 2 nL~(T)d.tl
Àm(T)' Àm(T)
fo00
L~ (T)dÀ a-T 4 (4.53)
qui représente le rapport d'un flux hémisphérique de rayonnement d'équilibre correspondant
à la bande spectrale [.tl1, .tl2] au flux du même rayonnement d'équilibre
intégré sur tout le spectre. Les valeurs de z[O, Àf Àm(T)] en fonction de x = À/Àm(T)
sont reportées dans le Complément E.1 .
88

4.5. Modèles simples de transfert radiatif
4.5 MODÈLES SIMPLES DE TRANSFERT RADIATIF
Les exemples développés dans ce paragraphe correspondent à des cas particuliers
importants dans la pratique et conduisent à des expressions simples du flux radiatif.
L' expression du flux radiatif monochromatique surfacique en un élément de paroi
de smface dS 1 d'un corps opaque d'émissivité E~ et de température T 1 (figure 4.11)
s'écrit à ce stade, compte tenu des équations 4.22, 4.30, 4.39 et 4.42 :
(4.54)
Dans cette expression, le point délicat est d'exprimer la luminance incidente sur
I.
dS1Lj.
corps
opaqu
mi lieu transparent
n
Figure 4.11 - Problème élémentaire à la paroi d'un corps opaque.
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4.5.1 Corps opaque convexe isotherme entouré
par un corps noir isotherme
On considère un corps opaque convexe de surface S 1 , isotherme à la température
T 1 , d'émissivité monochromatique directionnelle s;,i<e, cp, À, T 1 ) entouré complètement
par un corps noir, de surface quelconque S 2 , éventuellement concave, isotherme
à T 2 (figure 4.12). Le mili.eu séparant les deux corps est parfaitement transparent.
On cherche 1' expression du flux radiatif <J>R traversant les surfaces S 1 et S 2 . Soit
un élément de surface dS 1 quelconque de S 1 (figure 4.11). Si on choisit un axe Oz
orienté vers le milieu transparent, le flux radiatif à travers dS 1 s'écrit:
d<l>f = de/)~ - d</>~ (4.55)
où d<P~ et d<P~ représentent les flux émjs et absorbé dont les expressions sont:
(4.56)
89

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
e' corps ,.,,..1)..
opaque "-'
1j
Figure 4.12 - Corps opaque
convexe entouré par un corps
noir isotherme.
Figure 4.13 - Corps opaque convexe et de
petite dimension recevant un rayonnement
d'équilibre.
et:
(4.57)
Comme le corps 1 est convexe, le rayonnement incident ne provient que du corps 2.
Comme S 2 est un corps noir à température T 2 , la luminance associée, notée dans ce
cas LL, est indépendante de la direction et vaut :
(4.58)
soit :
(4.59)
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Le flux radiatif ne dépend pas de la géométrie de S 2 qui peut être concave, ni de son
aire!
Dans le cas d'un corps gris d'émissivité isotrope s 1(T 1 ), il vient, d'après l'équation
4.20 :
M>~ = dS1t:1(T1) f rr[(LA(T1)- LA(T2)]d.l
soit, d'après l'équation 4.50 :
d<l>f = s1(T1)dS1 cr(T{ - Ti).
4.5.2 Corps opaque convexe de petite dimension
et isotherme placé dans une enceinte en équilibre
thermique
(4.60)
(4.61)
Considérons d'abord une enceinte fermée à température uniforme T 2 (figure 4.13).
Les parois sont opaques, de propriétés radiatives quelconques. Le rayonnement existant
à l'intérieur de cette enceinte est caractérisé en tout point et dans toutes les directions
par la luminance du rayonnement d'équilibre L~(T2 ). On introduit dans cette
90

4.5. Modèles simples de transfert radiatif
enceinte un corps opaque, convexe, de très petite dimension, maintenu par un moyen
quelconque à une température T 1 ; ce corps apporte une perturbation négligeable au
rayonnement existant dans l'enceinte (dans la mesure où sa température n'est pas
élevée devant celle de l'enceinte, le rayonnement qu'il émet, ou celui qu'il absorbe,
est négligeable devant le rayonnement émis par l'enceinte). Le flux radiatif échangé
d<Pf a donc exactement la même expression que dans le paragraphe 4.5.1 , mais le
phénomène physique est très différent. On retrouve évidemment l'équation 4.61 si
l' émissivité du corps 1 est grise et isotrope.
Remarques:
• Si l'enceinte est un corps noir, la luminance incidente sur 1 est la luminance émise
par l'enceinte;
• Sinon, la luminance incidente sur 1 est la luminance partant de l'enceinte, qui inclut
une composante émise et une composante réfléchie.
4.5.3 Conditions de linéarisation du flux radiatif
Dans de nombreux cas d'intérêt pratique mettant en jeu un corps gris d'émissivité
isotrope s qui est entouré complètement soit par un corps noir isotherme à Ta (paragraphe
4.5.1) soit, plus fréquemment encore, par un milieu en équilibre à Ta (paragraphe
4.5.2), le flux radiatif à la paroi de ce corps gris de température T s'écrit :
En parallèle se produit généralement un échange conducto-convectif du type :
(4.62)
(4.63)
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par convection forcée, naturelle ou mixte. Quand <pcc et 'PR sont du même ordre de
grandeur, il est parfaitement inutile de calculer 'PR avec une précision élevée, dans la
mesure où, de plus, s est généralement estimé avec une précision qui n'excède pas
10%. Si (T - Ta) est très petit devant T, on peut linéariser l'équation 4.62, soit:
(T 4 - T~ ) = (T - Ta)(T + Ta)(T 2 + T'!'z) ~ 4T~(T - Ta) (4.64)
où Tm est une température intermédiaire qu'on peut prendre en première approximation
égale à (T + Ta)/2 ou même à Ta dans la mesure où celle-ci est connue. Cela
revient à écrire l'équation 4.62 sous la forme:
(4.65)
analogue à l'équation 4.63 où le coefficient de transfert radiatif hR vaut 4scrT,~ . Il est
évident que la condition de linéarisation doit être vérifiée dans chaque cas particulier,
en fonction du niveau des températures considérées et de la précision souhaitée.
91

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Par exemple, pour une application au bâtiment, les températures sont voisines de
300 K et leurs écarts de quelques K; alors hR :::::: 6 W m- 2 K- 1 pour s = 1, ce qui
est peu différent de hcc :::::: 4 W m- 2 K- 1 , couramment utilisé en première approche
pour caractériser la convection naturelle ; on obtient alors le fameux coefficient de
transfe1t heq :::::: 10 W m- 2 K- 1 , attribué généralement à la convection, alors que le
rayonnement est du même ordre de grandeur ! Les transfe1ts thermiques ( conductifs,
convectifs, conducto-convectifs, radiatifs) intervenant dans le bâtiment (voir exercice
à la fin du Chapitre 2) sont donc linéarisables. Ce fait explique l'existence dans
les normes de cette industrie d'un coefficient global smfacique K (homogène à une
conductance thermique surfacique) tel que les pertes d'un immeuble s'écrivent, en
régime stationnaire :
(4.66)
4.5.4 Extension au cas de milieux transparents par bandes
Nous n'avons abordé jusqu'ici que les transferts entre corps opaques à travers un
milieu transparent. Mais de nombreux corps (verre, air, atmosphère, eau ... ) sont semjtransparents
(voir paragraphe 1.2). Nous nous limiterons dans ce paragraphe aux cas
particuliers de corps transparents ou opaques par bandes de longueur d'onde 12 .
La transmittivité monochromatique directionnelle, éventuellement totale, est définie
comme le rapport du flux transmis au flux incident sur un matériau :
(4.67)
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De ce fait, un rayonnement incident peut être transmis, réfléchi, ou absorbé. La
conservation de l'énergie s'écrit alors (voir figure 4.14):
(4.68)
Comme nous nous limitons à des milieux quasi-transparents ou opaques, T~ est voisin
de 1 ou vaut O. Par exemple, les propriétés radiatives d'une vitre en verre peuvent
être, sous incidence normale, schématisées par la figure 4.15, en première approximation.
La longueur d'onde de coupure Àc varie entre 2,5 et 4 ~Lm suivant le type de
verre. Pour calculer les flux radiatifs, il suffit de décomposer le spectre en bandes de
longueurs d'onde; on adopte alors tantôt le point de vue d'un corps opaque, tantôt
celui d'un corps transparent qui n'échange, rappelons-le, aucune énergie radiative
avec le système matériel.
12. Une étude générale des milieux semi-transparents est présentée dans le Chapitre 6.
92

4.5. Modèles simples de transfert radiatif
d{p_' h r
n /... :.n · h ·
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5<1>.'a
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t:~ (Oo) a;, (0°)
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lransmis
o ,__~~-L-~01---==::::..__1_~
0 Â.c J..(µm) 0
Figure 4.14 - Milieu transparent par
bandes.
Figure 4.1 5 - Propriétés radiatives
d'une vitre.
a) Effet de serre usuel
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On considère une vitre idéalisée par les propriétés suivantes :
T~ = 1pour0,2 µm <À< 3 ~tm; œ~ = 1pour3 ~tm <À< 80 ~tm.
Considérons les rayonnements émis par une source noire à 5 700 K : c'est approximativement
le cas du soleil avant filtrage par l'atmosphère; c'est très grossièrement le
cas du soleil au niveau du sol 1 3 . On obtient : Àm = 3000/5700 = 0,53 ~tm. Le spectre
utile du soleil s'étend alors de Àm/2 = 0,26 µm à 8Àm = 4,24 µm. La quasi-totalité de
ce spectre utile con-espond à la zone transparente de la vitre 14 .
Inversement, le rayonnement émis par une source noire à 300 K (sol), caractérisée
par Àm = 10 µm, s'étend de Àm/2 = 5 µm à 8.:lm = 80 µm. Aucune fraction de ce
rayonnement n'est transmis par la vitre, qui l'absorbe totalement. Globalement le sol
à 300 K s'échauffe sous l'effet du flux solaire reçu, mais ses pertes sont limitées par la
vitre qui absorbe tout le rayonnement qu'il émet. Cette énergie gagnée par la vitre va
contribuer à élever la température de celle-ci. De ce fait, la vitre va transférer au sol
un flux par émission, conduction ou convection 15 . La présence de la vitre contribue
donc à augmenter la température du sol.
13. Dans le domaine visible, une fraction importante du rayonnement solaire est transmise par l' atmosphère.
En très grossière approximation, ce rayonnement est assimilable au-dessus de l' atmosphère à
celui d'une source ponctuelle noire à 5700 K. Au sol, on reçoit :
une contribution directionnelle (venant du point source considéré : Je soleil);
une contribution diffuse, en première approximation isotrope, due à la diffusion du rayonnement solaire,
soit par les gouttelettes d'eau contenues dans les nuages (gris), soit par les molécules de l'atmosphère
(bleu du ciel) : voir le paragraphe 7 .1.2.
14. Un calcul à partir de la fonction z (équation 4.53 et Complément E .1) conduit à 98% de transmission.
15. Dans un effet de serre idéal, la vitre devrait être totalement réfléchissante au lieu d'être absorbante,
ce qui annulerait les pertes radiatives du sol.
93

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
b) Effet de serre atmosphérique (essentiellement dû à H 2 0)
L'effet de serre atmosphérique vient du fait que l'atmosphère se comporte en partie
comme une vitre 16 entre le soleil et le sol (transmission du rayonnement en dessous
de 2 ~Lm environ, absorption au delà sauf dans la zone spectrale [9, 12 ~Lm]). Si on
oublie cette dernière réserve, l'effet de serre dû à 1' atmosphère est similaire à celui
dû à la vitre et conduit à une augmentation sensible de la température moyenne de
la terre. Dans la fenêtre atmosphérique [9, 12 µm], zone dans laquelle l'émission du
sol est maximale, la terre se refroidit par émission, sans contrepartie de la part de
l'atmosphère.
c) Effet de serre atmosphérique complémentaire (C0 2 et CH 4 )
L'effet de serre complémentaire est essentiellement dû à C0 2 et CH 4
17 . Quand la
concentration de C02, par exemple, augmente, la fenêtre atmosphérique [9, 12 ~Lm]
est faiblement rétrécie. La conséquence de ce rétrecissement est que la terre émet
moins d'énergie directement vers l'espace et se refroidit moins; au deuxième degré,
l'atmosphère absorbe davantage d'énergie en provenance de la terre et sa température
augmente légèrement, donc celle de la terre également du fait des échanges
thermiques terre-atmosphère.
4.5.5 Exercices d'application
( Exercice 4.1 Mesure par thermocouple de la température d'un gaz
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Énoncé
On considère un gaz transparent, en écoulement turbulent dans une conduite de diamètre
D = 0,6 m qui est assimilable à un corps gris d'émissivité êp = 0,5 (figure
4.16).
On se propose de mesurer la température de ce gaz avec un thermocouple de diamètre
d = 0,5 mm, placé suivant l'axe de la conduite. Pour simplifier les calculs, ce thermocouple
est supposé isolé suivant sa section droite terminale ; le thermocouple est un
16. L' air est absorbant, non par les espèces les plus abondantes (N 2 et 0 2 ) mais par les traces de C0 2
(xc 0 2
"" 3,810- 4 ) , de CH 4 dans certaines régions et surtout de H 2 0 (de l'ordre de l % à 2% suivant le
degré hygrométrique, là où la température dépasse 0 °C). De ce fait, l'air pourra raisonnablement être
considéré comme transparent sur des distances courtes, mais très absorbant par bandes sur quelques
kilomètres. Les bandes intenses d'absorption sont celles de C0 2 (15 µm, 4,3 µm, 2,7 µm, ... )et celles
de H 2 0, beaucoup plus étendues sur Je spectre. Dans la zone spectrale qui nous intéresse ici :
T~ = 1 pour À < 2 µm et 9 µm < À < 12 µm ; l~~ 1 = 1 pour 2 µm < À < 9 µm et À > 12 µm.
17. Le rôle du C0 2 est prépondérant dans l'équilibre physico-chimique de l'atmosphère, du fait d'une
durée de vie de 1 'ordre de quelques décennies, beaucoup plus longue que celle de CH 4 de 1 'ordre de
l'année.
94

4.5. Modèles simples de transfert radiatif
corps gris d'émissivité éc = 0,8. La température caractéristique du gaz Tg(= 600 °C)
et la température de la paroi Tp (= 200°C) sont supposées constantes sur une distance
L grande devant D, ainsi que la température T du thermocouple. Les différents
coefficients de transfert convectif sont hc = 100 W m- 2 K- 1 et hp = 30 W m- 2 K- 1 à
la paroi du thermocouple et à celle de la conduite respectivement.
D
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thermocouple"- h c f r T ec
q>=O __.f
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g
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································;,···
L>>D
Figure 4.16 - Coupe du système (proportions non respectées).
Quel écart y a-t-il entre la température mesurée T du thermocouple et celle du
gaz Tg?
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Solution
• La température T du thermocouple dépend de celle du gaz Tg par transfert conductoconvectif
mais aussi de celle de la paroi T P par transfert radiatif.
• Le point délicat est de modéliser le transfert radiatif thermocouple-paroi; le gaz transparent
ne participe pas à ce transfert : sa température ne joue aucun rôle. Le thermocouple
de diamètre d = 5.10- 4 m est dans un tube isotherme à température Tp. de diamètre
D = 0,6 m. Si on néglige la présence du thermocouple, il règne en tout point à l'intérieur
du tube et dans toutes les directions un rayonnement d'équilibre de luminance
L~ (Tp). La perturbation apportée par le thermocouple est liée au rapport du flux émis
par ce thermocouple au flux émis par le tube par unité de longueur. Soit :
(4.69)
Si, en première approximation, qui constitue une majoration, on pose T = Tg, ce rapport
vaut 1,5 .10- 2 . Il est justifié de négliger la perturbation apportée par le thermocouple .
Celui-ci reçoit un rayonnement d 'équilibre à la température T P' quelle que soit la valeur
de Sp !
• Le seul bilan à faire est celui du thermocouple en régime stationnaire :
L (qcd + qR) · (-llext)dS = Ü (4.70)
ndL[hc(Tg - T) + (<l - </)] =O. (4.71)
95

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Le flux absorbé cp 0 s'éc1it:
Le flux émis 'Pe s'écrit :
D 'où l'équation de bilan:
a i T4
'P = ê c'P = êcCF p · (4.72)
T4
e
'P = êcCF . (4.73)
(4.74)
qui est résolue par itération. Soit T ~ 760 K qui est à rapprocher de Tg = 873 K et
Tµ = 473 K.
Dans le rayonnement incident sur le thermocouple, une partie représente le flux émis par
le tube SpcrT;, l'autre partie (1 - êp)crT; représente un flux réfléchi par ce tube. La somme
de ces deux contributions correspond au rayonnement d'équilibre.
L'écart de température Tg - T est considérable! Le the1mocouple donne sa propre température,
pas celle du gaz. Pour remédier à cet inconvénient, on dispose, en pratique, un écran
de diamètre 8 petit devant D autour du thermocouple. De cette façon, l'écran se trouve à
une température voisine de T déterminée précédemment: en fait, sa température Te est
même plus proche de Tg puisque l'écran échange de la chaleur avec le gaz par ses deux
faces. Le rôle perturbateur sur Ja nouvelle température T' du thermocouple est alors assuré
par cet écran, et non plus par la paroi du tube. Cet effet est plus faible dans la mesure où
l'écart Te-T'est faible, et d'autre part le rapport d/8 n'est pas très petit. L'écran n'impose
plus un rayonnement d'équilibre sur le thermocouple ; cependant la correction n'est pas
parfaite.
Exercice 4.2 Étude thermique d'une ampoule à incandescence
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Énoncé
Une lampe de puissance 'P est schématisée sur la figure 4.17. Elle comprend une enveloppe
en ven-e, sphérique de rayon R, d'épaisseur e, de conductivité lv, d'émissivité
s V11., supposée à température uniforme Tv et, d'autre part, un filament en tungstène, de
température uniforme TF, de smface S F, assimilable aux 3/4 d'un tore, de rayon générateur
a et de même centre 0 que l'ampoule. Le tungstène est opaque d'émissivité
EFA· On fait les approximations ou hypothèses suivantes :
• Tous les rayonnements issus du filament amvent sur l'enveloppe en ven-e (et non
en un autre point du filament),
• La présence des conducteurs mettant le tungstène sous tension est négligée,
• La puissance 'P est dissipée dans le filament,
• Les transferts à l'intérieur de l'ampoule sont uniquement radiatifs,
• Le milieu extérieur est à température Ta; le coefficient de transfert par convection
naturelle avec l'extérieur est h.
96

4.5. Modèles simples de transfert radiatif
O ../+----~
0,1 1
Figure 4.1 7 - Coupe de
l'ampoule.
Figure 4.18 - Émissivité du
filament.
On suppose dans un premier temps que le filament de tungstène est un corps gris
d'émissivité cF = 0,4.
Déterminer le rendement de l'ampoule, rapport de la puissance lumineuse émise
entre 0,4 et 0,8 ~tm à la puissance P. Déterminer Tv. Justifier que la température
du verre est uniforme dans le sens radial.
Si le tungstène a en fait une émissivité donnée sur la figure 4.18, quelles conséquences
en découle t-il ?
Données:
P = 60 W ; R = 2, 5 · l 0- 2 m ; e = 5 · l 0- 4 m ; S F = 2 · l 0- 5 m 2 ; a = 1,5 · l 0- 2 m ;
Ta = 20°C; h = 5Wm- 2 K- 1 •
, , 1 lW - IK- 1 {À ::; 3,5~un : T u;t = 1 ; c u;t = 0
verre : /lu = m ; c u;t : 1 0 1
/l > 3 , 5 ~lm : T uA. = ; c u;t = ·
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Solution
> Analyse. Les paramètres gui conditionnent l'étude thermique sont la puissance rp de
l'ampoule, la température T 0 du verre, celle du milieu extérieur T 0 • En fait i.1 est nécessaire
de connaître la répartition spectrale du rayonnement émis par la lampe ; donc un paramètre
clé est aussi la température TF du filament. Les sous-systèmes à étudier sont, d'une part, le
filament, dont le bilan conduit à la température TF, gui permet de déterminer le rendement
de la lampe, et, d'autre part, l'enveloppe de verre dont le bilan permet de déterminer la
température du verre. On notera que le verre est ici assimilé à un corps noir vis-à-vis de
toute source de température inférieure à 428 K (région [Àm/2, 8J 171 ]).
> Bilan du filament en régime stationnaire.
( PdV + ( q en _(- nex1)dS = 0
Jv Js
(4.75)
97

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Si on ne considère que des transferts radiatifs, avec un vetTe de température a p1iori inférieure
à 428 K :
(4.76)
Tv étant évidemment négligeable devant TF, l'équation 4.76 permet d'évaluer TF : TF ~
3400K. Le maximum d'émission du filament se produit pour: Âm (TF)= 0,88~tm, ce qui
est à la limite du visible et de l'infrarouge.
Le rendement de l'ampoule est le rapport du flux émis dans le visible et transmis par le
verre au flux rp dissipé par la lampe; soit :
R= nSFsF f° ·s ~unL~( TF)d;t=z(o. 0,8~1.m)- z (o, 0,4µm) ~ o,I8
rp Jo,4~1m Àm(TF) Àm(TF)
(4.77)
>- Bilan du verre. Avec la pièce extéiieure, le vetTe, assimilé à un corps noir pour Tv <
428 K, échange del' énergie par transfert conducto-convectif, mais aussi par rayonnement.
Le verre reçoit un rayonnement d'équilibre 18 (flux surfacique cpi) à la température T 0 et
émet du rayonnement. Soit :
(4.78)
À l'intérieur del' ampoule, le verre absorbe le rayonnement émis par le filament au delà de
3,5 ~tm. Il reçoit aussi un rayonnement émis par lui-même (autoéclairement), qu'il absorbe
entièrement. Ce rayonnement est exactement compensé par le rayonnement qu'il émet vers
l'intérieur (équilibre radiatif vetTe-vetTe). Le bilan s' écrit donc en utilisant l'équation 4.53 :
s V [ h (Ta - Tv) + (T ( T: - T:)] + rp [ 1 - z ( 0 , ~~ 5 (~;) ) l = 0 (4.79)
On trouve, par itération :
Tv ~ 330 K (ou 57 °C).
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Compte tenu de la faible température du verre, il était possible de linéariser l'expression
du bilan :
ce qui conduit à :
(4.80)
La température du vetTe est évidemment unifo1me dans le sens radial. Un montage thermique
équivalent très simple permet de le montrer (figure 4.19): Soit:
(4.81)
18. L'ampoule est évidemment de faible dimension par rapport à la pièce et ne perturbe pas le rayonnement
d'équilibre de celle-ci.
98

4.6. Métrologie radiative; pyrométrie bichromatique
Figure 4.19 - Montage électrique équivalent.
>- Avec des données plus réalistes sur l' émissivité du tungstène, les résultats de l'étude
sont modifiés. L' émissivité étant inférieure ou égale à 0,4 et la puissance électrique dissipée
par la Jampe inchangée, la température du filament TF est plus élevée. Dans .le domaine
visible, SFÀ est inchangé, mais TF a augmenté, donc le rendement R croît. Enfin, la fonction
z[O, 3,5/11.m(T F )] augmente puisque TF augmente~ donc la température Tv diminue.
En fait, on est obligé d'introduire un gaz inerte dans l'ampoule, sous une pression assez
faible de façon à empêcher la volatilisation du filament. Dans ce gaz apparaissent des
mouvements complexes de convection naturelle relativement faibles mais qui ont pour
effet de refroidir le filament et de faire chuter le rendement.
___ J
4.6 MÉTROLOGIE RADIATIVE; PYROMÉTRIE
BICHROMATIQUE
Une méthode classique de mesure de la température T d'un élément de corps
opaque repose sur la mesure préalable des flux reçus par un détecteur optique
(Germanium-Or, Antimoniure d'indium, etc.) pour deux longueurs d'onde différentes,
d'où l'appellation de pyrométrie bichromatique. On considère la configuration
de 1a figure 4.20, avec 1es hypothèses suivantes :
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a) Le flux réfléchi par l'élément de surface dS dont on veut mesurer la température
est négligeable devant le flux émis par cet élément (cas d'une paroi très chaude
dans un environnement froid).
b) Le milieu entre dS et Je détecteur dI est transparent.
c) Le système centré optique, focalisant le rayonnement en un point du détecteur, est
parfaitement connu.
d) Deux filtres interférentiels (étalons Fabry-Pérot avec un seul mode passant), dont
les propriétés de transmission et de réflexion sont grossièrement schématisées sur
la figure 4.21 , peuvent être placés devant le détecteur. Pour un filtre interférentiel
donné j (} = l ou 2), le détecteur ne reçoit un flux incident D. <J/ que dans l'inter-
./
valle spectral [À. 1 , A 1 + D.A.i]; ce flux donne lieu à une tension électrique, qui est
mesurée.
99

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
L'expression de /1ÇP~ est :
.
L ~lù
L
À-+~À 1 1
·
SC
11<1>} = dE cosBd.Q T,i s~L~(T)dil
Àj
avec cos(}~ 1 (4.82)
L'intégration directionnelle se fait sur l'angle solide !iw sous lequel l'élément de
surface dS est vu au niveau du détecteur à travers le système centré de transrnittivité
T~c et le filtre interférentiel (voir figure 4.20); l'angle B est évidemment
pratiquement nul en excellente approximation.
e) L' émissivité s~ . du corps dS est invariante sur !iil j et sur les directions conjuguées
J
de celles comprises dans l'angle solide !iw; de même, T1c est invariante sur !iilj.
détecteur
dS corps milieu
opaque transparent
dI
n
L1w
système
optique filtre
E' 1' .. f;
}. inteJjérentie/ F
Figure 4.20 - Montage optique.
P;.
.......... -----.......... .
1: ' '
À
À .
1
.
l
.
".
Figure 4.21 - Propriété d'un filtre.
.
Dans ces conditions :
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u
Le rapport des flux associés aux deux filtres :
(4.83)
(4.84)
dépend de T, grandeur à déterminer, par l'intermédiaire du rapport des deux intégrales
(fonction bijective de T, parfaitement connue numériquement) ; du rapport
connu des transmittivités du système centré ; du rapport inconnu, dans des conditions
industrielles, des émissivités aux deux longueurs d'onde ,l 1 et A 2 du corps à
étudier.
100

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
En pratique, tout dépend du choix de À 1 et À 2 , qui résulte de deux considérations
antagonistes :
1 1 et 1 2 doivent être suffisamment différentes pour que le rapport des intégrales,
pour un même Lil, diffère sensiblement de 1 ;
1 1 et 12 doivent être suffisamment proches pour que &~
1
et &~ ,
2
en général inconnues,
puissent être supposées égales.
On aura donc intérêt à choisir 1 1 et 12 dans la plage [0 ,6lm(T) ; 0,9lm(T)], c'està-dire
là où la fonction L~ (T) est la plus pentue. La validation de l'hypothèse d'invariance
de&~ s'obtient en utilisant une troisième longueur d'onde À3 et en comparant
les températures T 12 , T 13 et T 23 déterminées pour l'élément dS à paitir des couples
(À1 , 12), (11 , 13) et (12, 13) respectivement.
On peut s'affranchir, par une technique laser et modulation du rayonnement incident,
du rayonnement réfléchi par dS dans l'hypothèse où il n'est pas négligeable.
4.7 MÉTHODE GÉNÉRALE DE TRAITEMENT
DU TRANSFERT RADIATIF ENTRE CORPS
OPAQUES
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4.7. l Expression du flux radiatif
L'expression du flux radiatif surfacique 'PR à la paroi d' un corps opaque a été établie
dans l'introduction du paragraphe 4.5 : 'PR(r), compté positivement dans le sens de
la normale (figure 4.22), est obtenu, en chaque point M(r), par intégration sur tout le
spectre des longueurs d'onde l du flux radiatif monochromatique surfacique d'fJ~(r)
relatif à l'intervalle [À, l + dÀ] :
ql(r) = rÂ=oo d(/J~(r).
J Â=Ü
(4.85)
Le flux radiatif monochromatique s'écrit indifféremment, avec le sens de la normale
choisi :
d'fJ~(r) = d'fJ~(r) - d'fJ~(r) , (4.86)
(4.87)
101

Chapitre 4 • T ransferts radiatifs entre corps opaques
Les indices a,e,i,p se rapportent respectivement aux flux absorbé, émis, incident et
pattant de la surface. L'expression locale en M du flux radiatif 4.86 est, d'après 4.55
à 4.57 :
00
s~(r,u) {L~ [(T(r)] - Li (r,u)} cos BdO,
ql (r) = <l(r) - <pa(r) = ( d;l (
Jo Jn=27T
(4.88)
où s~ est l'émissivité monochromatique directionnelle du corps, L~ (T) la luminance
du rayonnement d'équilibre à la température T et Ll la luminance directionnelle du
rayonnement incident; du point de vue de l'équation 4.87 le flux s'écrit:
(4.89)
où L f désigne la luminance du rayonnement partant en M dans dO autour de la direction
u. La complexité du problème est grande si on considère l'équation 4.88. Dans
l'absolu, il est nécessaire de connaître s~ (r,u) en chaque point. Il est, en pratique,
peu réaliste de tenir compte des dépendances angulaires de l' ém.issivité pour des matériaux
opaques, corrodés, oxydés ou encrassés dans des conditions industrielles.
c~ •
dQ
M.'l:
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0
u
Figure 4.22 - Convent ions.
Figure 4.23 - Complexité du champ de
luminance incidente.
D'autre part, la détermination du champ des luminances incidentes Z:J, pour toutes
les directions u, en tout point de chaque paroi, est irréaliste à cause des phénomènes
de réflexions multiples ; la considération du cas particulier de la figure 4.23 en
convaincra le lecteur. La méthode numérique dite de Monte Carlo permet au prix d' un
investissement numérique important de résoudre ce type de problèmes (voir le Chapitre
6). En général, il est nécessaire de recourir à des approximations réalistes : c'est
l'objet du paragraphe 4.8. Néanmoins, dans quelques cas particuliers simples, il est
possible de calculer directement les flux radiatifs en tenant compte des phénomènes
de réflexions multiples.
102

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
4.7.2 Exemple de calcul direct : intérêt des écrans radiatifs
Considérons deux corps opaques, plans, indéfinis, d'émissivités isotropes eu et eu et
de températures uniformes T 1 et T 2 respectivement, séparés par un milieu transparent
d'indice 1. Les flux radiatifs 'Pf et <p~ s'écrivent avec les conventions d'orientation de
la figure 4.24 :
(4.90)
où L; A désigne la luminance, isotrope dans ce cas particulier, du rayonnement incident
sur 1 (en effet, car e u , eu , p u et Pu sont isotropes et la géométrie est
plane). Le rayonnement incident sur 1 se compose d'une part initialement émise
par 1 et subissant un nombre impair de réfl exions sur 2 ou 1 et d'une part initialement
émise par 2 19 . La fraction de la luminance du rayonnement incident sur 1
correspondant à l'émission par 2 comprend les termes suivants : E2,iL~ (T2) (trajet
2 ~ 1); E2 ,iPuP2,iL~ (T2 ) (trajet 2 ~ 1+1 aller-retour); · ·· ; e2,i (p up2,itL~ (T2 ) (trajet
2 ~ 1 +n aller-retours);· · ·. La somme de ces termes est: e1,iL ~ (T2 )(1-pupu ) - 1 •
Par un raisonnement analogue, la fraction de luminance du rayonnement incident
sur 1 due à l'émission par 1 est: eup 2,i L~ (T1)(1 - P uPu)- 1 • Il vient donc :
L~ ,i = [e2,i L~ (T2 ) + eupu L~ (Td] (1 - PuPu )- 1 • (4.91)
émis
-- .. ...------· -- ... .....
-·--
MT. ---
-·-·
E •• -------- - ré.fléchis
~ absorbé
2}.. - - ----- }). c. o.
C.o.
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absorbé
';/ ' ···------- ~ ...
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9
Figure 4.24 - Réflexions multiples.
X
Figure 4.25 - Écrans
radiatifs.
Le flux smfacique s'obtient, dans ces conditions, à partir des équations 4.90 et 4.91 :
R R
100
e u e2,vr [ L~ (T2 ) - L~ (T1)]
'P1 = 'P2 = dl, (4.92)
0 1 - (1 - et,l)(l - e2À)
où, pour T 1 = T 2 , le flux s'annule. Dans le cas de deux corps gris, l'équation 4.92
devient:
(4.93)
19. Sur la figure 4.24 on a représenté, par commodité, le cas d' un rayon : le raisonnement s'applique
ici, en fait, au cas d'une réflexion isotrope.
103

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
L'équation 4.93 permet d'estimer les pe1formances d'un système de N écrans radiatifs
placés entre deux milieux à TF et Tc (figure 4.25). En régime stationnaire, le flux
échangé est constant et les écarts de température sont faibles du côté de la source
chaude (pas de convection naturelle) mais importants du côté de la source froide. En
pratique, on utilise des nids d'abeilles ou des empilements de pailles, en cryogénie
par exemple.
4.7.3 La méthode des flux incidents et partants
L'objectif de cette méthode est de déterminer le flux surfacique radiatif en tous les
points de la smface interne d'une enceinte constituée de corps opaques. Le milieu
de propagation du rayonnement est supposé transparent et d'indice de réfraction égal
à 1.
a) Hypothèses générales
>- Hypothèse H 1 : les propriétés radiatives des corps opaques sont isotropes,
indépendantes de la direction, soit :
(4.94)
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a.
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Dans cette expression, Ptl désigne à la fois p~h
qui ne dépend pas de l'angle d'incidence,
et PT qui ne dépend pas del' angle d'émergence (voir le paragraphe 4.3).
>- Hypothèse H2 : le système est discrétisé en N surfaces, notées S j (j =
l, · · · ,N), supposées isothermes à Tj et caractérisées par des propriétés radiatives
uniformes. La validité de cette hypothèse repose sur la finesse de la discrétisation
adoptée, d'où un optimum du rapport précision/temps de calcul à définir.
En première conséquence des hypothèses Hl et H2, la luminance L jtl du rayonnement
émis par la surface S j est isotrope et uniforme, indépendante du point de la
surface considéré :
(4.95)
L'isotropie de la luminance du rayonnement pa1tant découle de l'hypothèse Hl relative
àpjtl et E:jtl· L'uniformité de L Ptl repose sur une hypothèse supplémentaire:
.!
>- Hypothèse H3 : le flux surfacique monochromatique incident sur une surface
S j• défini par la relation :
d<p ~i,i(r) = d;l J:JT L1À(r,(),TJ) cos ()dQ (4.96)
dans laquelle L1À représente la luminance, dépendant de() et de l'azimut TJ, du rayonnement
incident, est uniforme (indépendant de r).
104

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
Ce flux est caractérisé par une luminance incidente isotrope équivalente uniforme
L~;i· soit:
(4.97)
qui est indépendante du point r. Notons bien que la luminance du rayonnement incident
réel dépend, en général, de la direction.
b) Expression des flux radiatifs
La luminance du rayonnement incident dans dQ et réfléchi dans un demi-espace
s'écrit (voir équation 4.31):
Le flux réfléchi correspondant est :
(4.98)
d'fJ/f (dQ ~ 2n) = L'jX'(dQ ~ 2n) cos BdQdil = (1 - Ej,i)L~~ cos Bdndil, (4.99)
et le flux global réfléchi :
d'fJj;i(2n ~ 27r) = (1 - Ep)dil (
Jn=2JT
LJ;i cos Bd.Q = (1 - Ep)nL~;idil.
(4.100)
La luminance (1 - Ej;i)L~,i du rayonnement réfléchi par la surlace S j est uniforme et
isotrope. Il en va de même de la luminance L~;i du rayonnement partant de S j :
(4.101)
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L'intérêt des hypothèses Hl, H2 et H3 est de conduire à des luminances uniformes
et isotropes L~;i des rayonnements partant des smfaces jet de permettre l'usage des
./
luminances incidentes isotropes équivalentes uniformes Li.À.. Le flux radiatif à la pa­
.1
roi j, donné par l'équation 4.87, devient alors :
R_[ (p i )
'Pj -
0
n LjA - LjÀ. dil. (4.102)
Il reste à exprimer la luminance incidente isotrope équivalente L~;i·
Le flux monochromatique
d<P~;i incident sur S j provient des N surfaces opaques intervenant dans
le système, y compris la surface S j elle-même :
N
d<P~;i = nL~;iS jdil = ~ d<t>f~j,;i, (4.103)
k= l
105

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
où d<P:-+ j,'1. représente le flux monochromatique partant de k et arrivant directement
sur j, sans réfl exion intermédiaire. Avec les notations de la figure 4.26, il vient :
L L P _ P dS kcosBkdS jcosBj
d<Pk-+ . À - LkA d/l 2
(4.104)
1 • sk sj rkj
compte tenu des propriétés d'isotropie et d'uniformité de Lf,i· En prenant comme référence
le flux monochromatique global partant de k noté d<Pf,i, on définit la quantité
purement géométrique fkj, appelée :facteur de forme de k à j :
(4.105)
Soit:
< . < .. - _1_ L L dS kCOS8kdS jCOS8 j
0 - fk; - 1 f k; - S' ?-
rc k s k s j kj
(4.106)
Trois propriétés des facteurs de forme apparaissent immédiatement :
Figure 4.26 - Configuration d'échange radiatif.
• D'après l'équation 4.106, la relation de réciprocité:
s kfkj = s jfJk. (4.107)
-o • D 'après l'équation 4.105, si N surfaces, comprenant la surface k, forment une
0
§ enceinte fermée, la conservation de l'énergie implique que:
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u
N
d<J>f,i = L: d<J>f-+j,A =>
j=I
N
L:fkj = 1.
En particulier, si j entoure complètement un corps convexe k :
fkj = l.
• Pour un corps k convexe, il vient, d'après 4.105 :
j=l
(4.108)
(4.109)
fkk =o.
(4.110)
106

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
L' égalité 4.103 peut être réécrite en exprimant les différents flux monochromatique
du terme de droite à l'aide de la relation 4.105 :
N
nL~AS 1 dil = .2.: fkJS knLL_dil, (4.111)
Compte tenu de 4.107, l'égalité ci-dessus se simplifie pour devenir:
k=J
N
L~,i = I fjkLf,i · (4.112)
k=l
Les équations 4.101 et 4.112 constituent un système linéaire de 2N équations à
2N inconnues, les luminances des rayonnements partants et incidents relatifs aux
N surfaces S 1 , dont la solution permet de calculer les flux par l'équation 4.102,
dans la mesure où les propriétés radiatives et températures des corps opaques sont
connues.
c) Cas particulier de corps gris
Sous l'hypothèse que les N surfaces S J sont grises :
Vj : Ej = Œj = 1 - PJ (4.113)
les équations 4.101, 4.102 et 4.112 s'expriment en flux après intégration sur tout le
spectre:
(4.114)
R ,...P i
<p-=t.p;-'{J·
J J J
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·~ 4.7.4 Exercice d'application
"' c:
0
c
·~(Exercice 4.3 Étalon de luminance - corps noir
2
(4.115)
N
'P~ = I 11kcr1 (4.116)
k= I
~ Énoncé
s "'
f2 Considérons une sphère creuse de rayon R, opaque, d'émissivité isotrope E,i, iso­
-o
§ therme, à la température T (figure 4.27) munie d' un orifice circulaire de rayon r
~ (r << R).
107

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
On fait l'hypothèse que Je flux monochromatique incident est uniforme à l' intérieur
de la sphère (cette unifo1mité n'est, en toute rigueur, perturbée que par la contribution
très faible de l'orifice à ce flux). Les conditions Hl, H2 et H3 sont supposées
réalisées.
Donner l'expression de la luminance monochromatique sortant de l'orifice normalement
à la sphère.
T
Figure 4.27- Corps noir
étalon : principe.
Figure 4.28- Montage expérimental.
Solution
Les luminances des rayonnements incidents et partants L~ et L~ en tout point de la sphère,
hors l'orifice, sont :
(4.117)
L~ = fn:L~ + fis L~ , 1 , (4.118)
où J; et S représentent les aires respectives de la sphère (sans l'orifice) et de 1' orifice, et
L~ ,i la luminance du rayonnement pénétrant dans la sphère par l'orifice :
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où Te est la température d'équilibre de la pièce contenant la sphère. Il vient:
et après calcul :
(4.119)
!sr= J ; frs = fsr(S /};) = S /J: ; frr = 1 - S/L:, (4.120)
i o SJL: ( o o ]
L,1 = L;i (T) + (l - )S/~ L,1 (Te) - L;i (T)
EA + EA ,;..,
(4.121)
(4.122)
Comme S /J; est très petit devant 1 et que Te est en général très inférieur à T, on peut poser:
(4.123)
108

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
Les rayonnements partant et incident à l'intérieur de la sphère sont pratiquement caractérisés
par la luminance du rayonnement d'équilibre à la température T, soit L~ (T), même
quand les parois de cette sphère sont loin d'être des corps noirs. Ce résultat présente un
intérêt fondamental et de multiples intérêts pratiques :
a) Sur un plan fondamental, dès lors qu'on réalise de façon approchée les conditions de
l'équilibre the1mique dans un système, donc de l'équilibre radiatif, il est évident qu'on
retrouve comme résultat une des lois posées en rayonnement thermique 20 : la luminance du
rayonnement thermique dans un milieu tran.sparentd'indice 1 (isotrope) est, à l'équilibre
à la température T, donnée dans toutes les directions par la fonction L~ (T) (formule de
Planck). L'écart constaté ici pe1met de quantifier l'écart du système avec une situation
d'équilibre thermique parfait: cet écart est proportionnel à [L~(T) - L~(Te )] et croît aussi
avec le rapport S /E. Le système ne peut en toute rigueur être à l'équilibre puisqu'il dissipe
de l'énergie vers le milieu exté1ieur à température plus basse.
b) Sur un plan pratique, nous retiendrons deux applications:
• Pour réaliser un étalon de luminance de rayonnement d'équilibre à la température T,
soit L~( T), il suffit de réaliser une cavité parfaitement isotherme (figure 4.28) - c'est
toute la difficulté du problème - et de ménager dans cette cavité un petit orifice dS.
On aura évidemment intérêt à choisir des parois plutôt absorbantes. Le rayonnement
sortant de l'orifice dS est, de façon plus ou moins rigoureuse suivant la qualité de la
réalisation, caractérisé par la luminance L~(T). L'utilisateur de ce système ne considère
pragmatiquementque le rayonnement sortant de l'orifice dS, non matéiiel, qui se comporte
du point de vue du rayonnement partant comme s'il émettait un rayonnement émis
par un corps noir à la température T (en effet cette surface dS est le point objet de tout
le système optique utilisé). Aussi appelle-t-on usuellement l'orifice dS (et par abus de
langage l'ensemble du système) corps noir étalon. En fait on a réalisé les conditions du
rayonnement d'équilibre. Notons qu'un rayonnement quelconque entrant par l'orifice
dS dans la cavité a très peu de chances d'en sortir; il est absorbé après des réflexions
multiples : a~ = 1.
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• Les conditions de l'équilibre radiatif sont souvent réalisées alors que les conditions de
l'équilibre thermique ne le sont pas. Ce cas apparaît classiquement quand on veut utiliser
un thermocouple pour mesurer la température d'un fluide transparent et très an isotherme
en écoulement. Dans ces conditions, la température du thermocouple est affectée non
seulement par les transferts conducto-convectifs qui tendent à imposer la température
des couches fluides les plus proches mais également et à grande distance, parce que le
fluide est transparent, par les transferts radiatifs avec les parois, généralement beaucoup
plus froides, qui tendent à faire baisser la température du thermocouple. Le remède,
partiel, à cette perturbation classique par les parois consiste à protéger le thermocouple
par un écran radiatif (voir l'exercice d'application 4.1).
_____ )
20. Démontrée, rappelons-le, en physique statistique (statistique de Bose-Einstein pour des bosons en
nombre indéterminé).
109

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
4.7.5 Propriétés des facteurs de forme
a) Propriétés principales et dénombrement
Rappelons que la méthode développée au paragraphe 4.7.3 repose sur les propriétés,
purement géométriques, des facteurs de forme f iJ, de valeurs comprises entre
0 et 1. Dans une enceinte fermée, délimitée par N surfaces, on a N 2 facteurs de
forme (de f 11 à fNN ), N relations de conservation de l'énergie 4.108, C~ relations
de réciprocité 4.107, p facteurs de forme nuls fu s'il existe p surfaces convexes
parmi les N surfaces. Le nombre des facteurs de forme à déte1miner est alors :
n = N 2 - N - N(N - 1)/2 - p. En fait l'enceinte considérée présente, en général,
un certain nombre de symétries qui réduisent le nombre des facteurs de forme à déterminer
mais aussi le nombre de relations les liant.
Exemple 1 : Obtention directe de tous les facteurs
Soient des échanges radiatifs entre deux sphères concentriques (figure 4.29). On peut
écrire les diverses égalités suivantes :
!11 = 0 ; !12 = 1 - f11 = 1 ; h i = (S i/S 2)!12 = S 1/S 2 ; h2 = 1 - h i = 1 - S i/S 2 ·
(4.124)
Tous les facteurs de forme sont déterminés directement. Noter que ces résultats restent
valables pour deux cylindres coaxiaux.
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>-
Figure 4.29- Sphères
concentriques.
Figure 4.30- Cube (6 faces
participantes).
g- Exemple 2 : cas d'un cube
u
Soit un cube dont les 6 faces internes, notées 1 à 6, sont caractérisées par des propriétés
différentes mais uniformes. On a en théorie (figure 4.30) 36 facteurs de forme
et 6 + 15 + 6 = 27 relations, donc 9 facteurs de forme indépendants à calculer directement.
En pratique, compte tenu de toutes les symétries du problème, il n'y a que
deux facteurs de forme différents : f relatif à des faces adjacentes, f' relatif à des
110

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
faces opposées. Il ne reste qu' une relation, non triviale, qui exprime la conservation
de l'énergie :
f' + 4f = 1. (4.125)
Il faut donc calculer directement un facteur par l'équation 4.106, ou chercher la valeur
du facteur de forme correspondant dans une table (voir Complément E.2). On
trouvera également des données dans des ouvrages généraux de rayonnement thermique
[64, 128].
b) La technique de la surface fictive
Une surface fictive intermédiaire, généralement plane, apporte souvent une relation
supplémentaire au calcul des facteurs de forme. Soit à calculer les facteurs de forme
entre deux demi-cylindres de rayon R (figure 4.31.a). A priori, il faut calculer / 1 2 et
f 11 . Nous ne disposons en fait que d'une relation non triviale : / 1 2 + / 11 = 1. Il reste
une inconnue. Soit la surface fictive 0 (figure 4.31.b). On a alors les facteurs de forme
fi 1 et fio à calculer, liés cette fois par :
f1J + fw=l !01 = 1 !10 = (S o/S 1 )/01 = S o/S 1 = 2/rr, (4.126)
donc:
/12 = /10 = 2/rr /11 = 1-2/rr. (4.127)
b
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Figure 4.3 l - Surface fictive : application à deux hémisphères.
c) Facteurs de forme différentiels
Considérons le système constitué par les surfaces S 1 et S 2 en regard et les éléments
différentiels dS 1 et dS 2 (figure 4.32). On définit différents facteurs de forme différentiels
à partir de l' équation 4 .106 :
de dS 1 vers dS 2 :
de dS 1 vers S 2 :
(4.128)
(4.129)
111

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
de S 1 vers dS 2 :
et enfin un facteur de fo1me global :
F
df. = dS 2 ( dS t cosB1 cosB2
s,, ds2 rrS 1 Js1 rT2
. = _l_ L L dS 1dS 2cosB1cosB2
JS 1,S'> S 2
- rr 1 S 1 S2 rl2
(4.1 30)
(4.131)
c. o.
dx
dx'
x'
Figure 4.32 - Configuration
élémentaire.
Figure 4.33 - Facteur de forme
différentiel.
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Les facteurs de forme différentiels se déduisent facilement des facteurs de forme globaux.
Soit à calculer, à l'intérieur d' un tube, le facteur de forme entre deux segments
cylindriques élémentaires de largeurs dx et dx' (figure 4.33), noté par commodité
f dx , dx'. Supposons connaître le facteur de forme f x,x' entre les deux disques de rayon
R, centrés en x et x' respectivement. On a de manière évidente :
ô '
dfx,dx' = fx,x' - fx,x'+dx' = - Ôx'fx,x' dx
Par un raisonnnement analogue on trouve :
R ô ô .
df dx',dx = - 2 ôx' ôxfx,x' dx
R ô
f dx' ,x = - 2 Ôx' fx,x' (4.132)
R ô ô ,
df dx,dx' = - 2 ôx' ôxfx,x' dx (4.1 33)
Les facteurs de forme différentiels susceptibles d'intervenir dans un tube se déduisent
donc aisément du facteur de forme entre deux disques noté fx,x' (Complément E.2).
:§, 4.7.6 Exercice d'application
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( Exercice 4.4 Structure isolante en cryogénie
Énoncé
On utilise souvent, à l' intérieur d'une enceinte vidée 00- 2 à io- 6 torr)2 1 , une structure
isolante constituée d' un empilement de pailles (tubes cylindriques creux) pour
21. 1 torr (Torricelli) = 1 mm Hg.
112

4.7. Méthode générale de traitement du transfert radiatif entre corps opaques
limiter 1es transferts radiatifs entre les parois extérieures et Ja zone à conditionner
à très basse température. En effet, en l'absence de transferts conducto-convectifs
(vide) et compte tenu de la faiblesse des transfe1ts conductifs (faible conductivité
des "pailles", mauvais contact thermique entre génératrices de pailles voisines), les
échanges radiatifs sont importants même aux très basses températures considérées.
Soit un empilement régulier de pailles, d'émissivité s indépendante de la longueur
d'onde et de Ja direction (figure 4.34).
Figure 4.34- Configuration élémentaire.
On considère pour simplifier que tous les éléments des demi-couches 2n et (2n + 1),
constituées de demi-cylindres, sont isothermes à T 2n et T 2n+ l respectivement et vérifient
les propriétés Hl, H2 et H3.
z
z
2n+2
cp p '
2n
2n+l
Figure 4.35 - Transferts à l'intérieur
d'un cylindre.
Figure 4.36 - Transferts à l'extérieur de
cylindres.
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On considérera 1es flux surfaciques radiatifs partants ou incidents notés
1
mp' rrl {{/ {{/ et mp" rnp" " /' 1rl' respectivement suivant qu'on consir
2n '"1'2n+ l ' "1'2n ' "1'2n.+l "1' 2n. ' "1'2n.+ 1 '"1'2n '"1'2n.+ l
dère l'intérieur ou l'extérieur des cylindres.
Exprimer les flux radiatifs cp~n·
Solution
Dans ces conditions, on peut écrire :
a) À l'intérieur d'un cylindre (figure 4.35) :
où f et f' sont donnés par les équations 4.126 et 4.127 et :
j' - '+ I p'
'P2n - f 'Pin f 'P211+ 1 '
(4.134)
j' - p' I p'
'P211+ I -f'P2n+I +f'P2n· (4.135)
1 1 3

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Le flux radiatif smfacique, positif suivant Oz, est :
R' - p' i' - (1 - f') scr (Tin - Tin+!)
<.p2n - <.p211 - <.p2n - 1 - (1 - s)(2/ - 1)
(4.136)
b) À l'extérieur de 4 quarts de cylindre (figure 4.36), les facteurs de forme requis se calculent
avec la méthode de la surface fictive :
fo,211 +1 = 1 h11+ 1,211+2 = h11+ 1,0 = 2/n = f' h11+l,2n+I = f = 1 - J' (4.137)
Les relations entre les flux smfaciques <.p~;i + I, 1.p!(t- 1
etc. sont analogues aux relations 4.134
à 4.136. Les flux radiatifs par unité de surface /k et~,, sont constants, en régime stationnaire,
de n = 1 à n = 2N si les transferts autres que radiatifs sont négligeables et vérifient :
R R' R" R' R" R' R" R
(2/n)<.p o = <.p 1 = <.p J = i.{J2 = i.{J2 = ··· = <.p2n = <.p2n = ··· = <.p2N+ 1
_____
(2/n)• (4.138)
ce qui conduit aux rel ations cherchées entre Jes températures T 0 , T 1, ... , T1N+I ·
)
4.8 GÉNÉRALISATION DE LA MÉTHODE
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4.8.1 Généralisation au cas de parois partiellement
transparentes
a) Quelques notions sur les milieux semi-transparents
Nous n'abordons pas dans ce paragraphe le cas général des milieux semi-transparents
(voir le Chapitre 6); nous nous limitons au cas de parois partiellement transparentes
non absorbantes ou absorbantes mais isothermes, à propriétés radiatives isotropes.
Précisons, dans un premier temps, ce qu'il faut entendre par rayonnements transmis,
absorbé et réfléchi pour un milieu semi-transparent, en nous aidant de l'exemple de
la figure 4.37. Un rayonnement incident en A sur la paroi considérée est en partie
réfléchi dans le milieu (1) avec une indicatrice complexe 22 ; l'autre partie se propage
dans le milieu (2), également avec une indicatrice complexe. Pour simplifier, nous
suivrons un seul trajet réfracté, de A à B; entre A et B, ce rayonnement peut être absorbé
en tout point ou également être diffusé en tout point vers d'autres directions, ce
qui est représenté en A' : certains rayons diffusés atteignent la face supérieure de la
paroi (cas de C'), d'autres la face inférieure (cas de B') ; la fraction non absorbée et
non diffusée du rayonnement se propage de A vers B, atteint B où elle est en partie réfléchie
dans le milieu (2) par réflexion interne, en partie transmise dans le milieu (3).
22. Plus précisément, on introduit une densité de probabilité de réflexion dans chaque direction. Une
densité analogue est également introduite pour la transmission; et une troisième, appelée fonction de
phase de diffusion, caractérise le phénomène de diffusion au sein du milieu.
114

4.8. Généralisation de la méthode
Si on suit le rayonnement réfl échi de B vers C, on retrouve les mêmes phénomènes
que précédemment (de A vers B): absorption, diffusion, réfl exion interne (vers D) ou
transmission, dans le milieu (1) cette fois, etc.
z
(/)
(2)
D
(3)
Figure 4.3 7 - Devenir d'un rayon
incident.
Figure 4.38- Sous-ensembles couplés.
On appelle rayonnements réfléchis tous les rayonnements issus du rayon incident
en A et repartant finalement vers les z > 0 dans le milieu (1), à l'interlace 1-2, quels
que soient les trajets suivis par ces rayons. On définit la réflectivité globale p ,i comme
le rapport du flux global réfléchi d<P~ au flux incident d<P~ :
(4.139)
Notons que, contrairement au cas d' un corps opaque, cette grandeur n'est pas intrinsèque.
De la même façon, si on introduit les flux globalement transmis d<P~ dans (3),
vers les z < 0, et globalement absorbé d<P~, on définit des transmittivité et absorptivité
globales, grandeurs extrinsèques, par :
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D' une manière évidente, la conservation de l'énergie s'écrit:
(4.140)
d<J>~ = d<J>~ + d<J>~ + d<J>~ , OU: p,i + T ,i + ŒÀ = 1. (4.141)
On appelle rayonnement globalement émis par la paroi l'ensemble des rayonnements
qui, ayant été émis en un point quelconque du milieu (2), se propagent soit
dans le milieu (1) (vers les z > 0) soit dans le milieu (3) (vers les z < 0) après avoir
subi éventuellement des phénomènes de diffusion et de réflexion multiple au sein
du milieu (2) et finalement un phénomène de transmission. En général, le milieu (2)
n'est pas isotherme; les flux émis globalement vers (1) et vers (3) sont différents.
Comme il n'y a pas de température de référence, on ne peut définir d'émissivité globale
(analogue à œÀ). Le calcul des flux émis dans ces conditions est complexe: voir
le Chapitre 6.
1 1 5

Chapitre 4 • Transferts radiatifs entre corps opaques
Si nous nous limitons au cas paiticulier d'une paroi isotherme, en régime instationnaire,
telle que Bi « 1, le problème se simplifie : il est possible de définir une
émissivité globale 23 , grandeur extrinsèque, par référence à la température T de cette
paroi, telle que le flux surfacique monochromatique émis (aussi bien vers les z > 0
que vers les z < 0) est :
(4.142)
Nous considérons toujours le cas simplificateur de propriétés radiatives isotropes. On
démontre aisément, à partir de considérations sur une situation d'équilibre, que, dans
ce cas particulier, on a alors la relation :
b) Expression des flux radiatifs
(4.143)
Si dans une enceinte fermée une des parois est partiellement transparente et isotherme
à la température To (paroi 0 de la figure 4.38), il est possible de généraliser laméthode
de calcul des transferts vue dans ce chapitre (les hypothèses Hl, H2, H3 sont
vérifiées : voir le paragraphe 4.7.3 a)). On distingue la face inférieure et la face supérieure
de la paroi, même si celle-ci est infiniment mince, et on considère deux
sous-systèmes.
• Le sous-système 1 est constitué par l'intérieur de l'enceinte : le rayonnement à la
paroi est caractérisé par les luminances L~ll et L~,i.
k = 0,1 ... N (4.144)
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où la luminance L~,i représente le rayonnement issu de II et transmis dans I.
(4.145)
• Le sous-système II comprend la face supérieure de la paroi et le milieu extérieur.
Les rayonnements au-dessus de la paroi sont caractérisés par les deux luminances
L~, ,i et L~, Il; la luminance L~, Il dépend du milieu extérieur uniquement; la luminance
L~, A a pour expression :
(4.146)
23. Dans le cas d'une paroi mince, les réflectivité, absorptivité et transmittivité globales introduites dépendent
en général non seulement des propriétés du matériau mais aussi de l'épaisseur d de la paroi :
ce ne sont pas des propriétés intrinsèques comme dans le cas d'un corps opaque. De ce fait, certains
auteurs soulignent cette caractéristique en utilisant des terminologies différentes : absorptance, réftectance,
transmittance du milieu et éventuellement des notations différentes. Dans un souci de simplicité
de langage, ce choix n'a pas été retenu dans cet ouvrage. À la limite où la paroi est optiquement épaisse,
sans être opaque, ces propriétés deviennent des propriétés intrinsèques du matériau tout au moins s'il
est proche de 1' isothermie (la transmittivité est alors nulle).
116

4.8. Généralisation de la méthode
Le couplage entre les deux sous-systèmes est assuré par les te1mes exprimant les
rayonnements transmis :
(4.147)
À l'intérieur de l'enceinte/, les transferts entre les parois opaques sont traités avec
le modèle classique des flux incidents et partants.
4.8.2 Généralisation au cas de rayonnement(s) incident(s)
directionnel(s)
Des sources de rayonnements directionnels apparaissent dans certaines applications,
fraction directe du rayonnement solaire non diffusé par l'atmosphère par exemple.
Pour ce type de source, les flux reçus par les surfaces ne peuvent plus se calculer à partir
du fomalisme des facteurs de forme ; le calcul doit être conduit directement à partir
de considérations géométriques, en tenant compte d'éventuels phénomènes d'ombre.
L'hypothèse d'isotropie des propriétés radiatives des corps opaques (t:,.i , p ,.i , œ,.i) peut
toujours être faite dans ces conditions, si bien que, dès la première réfl exion sur une
surface, les flux partant de cette surface sont caractérisés par une luminance isotrope :
le modèle des flux incidents et partants s'applique alors à ces contributions. Dans ces
conditions, les rayonnements incidents sur une surface S .i se composent :
• de rayonnements partant de surfaces S k> à propriétés radiatives isotropes, entourant
la surface S .i : on introduit, comme dans le paragraphe 4.7.3, une luminance
isotrope équivalente L~,.i pour décrire ce rayonnement incident :
(4.148)
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où L~A. désigne la luminance isotrope du rayonnement partant de la surface S k ·
• d' un rayonnement directionnel, qui n'apparaît que dans un angle solide dQ élémentaire,
si la source est ponctuelle, unique et à l'infini ; ce rayonnement est caractérisé
par la luminance Lj,.i dir. La seule difficulté de ce type de problème consiste
à exprimer Lj,.i dir et la fraction du flux associé à cette luminance qui est réfl échie
par la surface S .i.
117

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1 NTRODUCTION
AUX TRANSFERTS
CONVECTIFS
Notions clés
Flux convectif, systèmes ouvert et matériel, théorèmes de transport, nombres de
Nusselt, Reynolds, Prandtl, régimes laminaire et turbulent, régime établi, convection
forcée, convection naturelle, température de mélange, diamètre hydraulique.
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Les systèmes étudiés dans les Chapitres 2 et 3 sont fixes ; aucun transfert convectif
n'est pris en compte au sein de tels systèmes. Cependant un mouvement apparaît le
plus souvent dans un fluide du milieu extérieur. Le transfert convectif associé à ce
mouvement est couplé au phénomène de conduction 1 dans le fluide, supposé transparent
ou opaque, et modifie le champ de température au sein de celui-ci au voisinage
de la paroi. Le flux conductif dans le fluide à la paroi couplé à la convection est appelé
flux conducto-convectif (voir paragraphe 1.4.2).
Ce chapitre a pour objet principal d'exprimer ce flux conducto-convectif. Il est
alors nécessaire de prendre en compte les transferts convectifs thermiques. L'étude
de ces phénomènes est abordée de façon progressive. Dans le paragraphe 5 .1, nous
envisageons le cas simple d'un système indéformable, à la fois des points de vue
du système matériel et du système ouvert. Nous introduisons ensuite, dans le paragraphe
5.2, le formalisme général applicable à un fluide défo1mable et introduisons
l'équation de bilan d'énergie 2 . Ce formalisme est appliqué, en première approche, à
des cas simples relatifs aux échangeurs de chaleur dans le paragraphe 5.3. Le paragraphe
5.4 introduit des résultats pratiques en vue de la détermination du coefficient
de transfert h en convection forcée, à partir de la seule analyse dimensionnelle. Les
évolutions de h en convection forcée laminaire ou turbulente dans des configurations
ouvertes ou fermées classiques sont étudiées dans les paragraphes 5.5 et 5.6. Les trois
derniers paragraphes sont une introduction à la convection naturelle et à la convection
mixte.
Des corrélations classiques pour la détermination du coefficient de transfert dans le
cas de configurations géométriques, mécaniques et thermiques standard sont données
dans le Complément D.3 en convection naturelle ou forcée, laminaire ou turbulente.
l. Dans le cas d'un fluide semi-transparent un couplage se réalise, au sei n du fluide, entre conduction,
convection et rayonnement (voir Chapitre 9 et par exemple [ 160, 161 ]).
2. Le formalisme général de l'équation de bilan d'énergie appliquée à un fluide monophasique éventuellement
composé de différentes espèces (transferts de masse et de chaleur couplés) est développé
dans le Chapitre 8, dans lequel des modèles avancés de convection naturelle et forcée sont détaillés.
119

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
5.1 BILAN D'ÉNERGIE POUR UN SYSTÈME
INDÉFORMABLE
5.1.1 Système matériel
On appelle système matériel un système continu limité par une surface fermée S m(t),
éventuellement mobile et déformable, qui n'est traversée en aucun point et à aucun
instant par un flux macroscopique de masse. C'est, en d'autres termes, une quantité
macroscopique de matière dont on suit les évolutions dans le temps 3 . Les composantes
normales de la vitesse du fluide v (M, t) en un point M de S m (t) et de la
vitesse de déplacement w (M, t) de la frontière Sm (t) en M sont égales :
[v(M, t)- w(M, t)] · llext = 0 (5.1)
où Dext est le vecteur unitaire normal en M à S m (t) orienté vers l'extérieur. Une autre
formulation possible est la suivante : (v - w) · Dext• appelée vitesse de convection au
travers de la frontière, est nulle. Il n'y a pas de transfert convectif à la frontière d'un
système matériel.
On applique à un tel système le premier principe généralisé sous la forme :
d ( ) . .
dt o + Ocin + op = W + Q (5.2)
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où o , ocin et op représentent les énergies interne, cinétique et potentielle de tout
le système, W et Q les puissances échangées avec le milieu extérieur sous forme
de travail réversible et de chaleur, à travers la surface et au sein du volume dans ce
dernier cas. Les seuls échanges de chaleur à prendre en compte aux frontières avec
le milieu extérieur sont pour un système matériel : les échanges conductifs (incluant
d'éventuels flux conducto-convectifs) et les échanges radiatifs.
5.1.2 Premier exemple d'application : une filière
À titre d'exemple, étudions le bilan thermique d'un fil métallique de section J: défilant
à très grande vitesse u (suivant Ox) dans le référentiel d'un atelier Oxr (figure 5.1). Le
fil est refroidi par rayonnement et par transfert conducto-convectif dans l'air ambiant
à la température Ta (coefficient de transfert h). Le système considéré est la tranche
matérielle comprise à l'instant t dans l'intervalle [x, x + dx] qui se déplace dans le
3. Cette définition est macroscopique. À l'échelle microscopique, un nombre considérable de molécules
entrent et sortent du système matériel à travers sa surface Sm (t). Les transports de quantité de
mouvement, d'enthalpie et de masse de chaque espèce associés au transport moléculaire à travers cette
surface produisent les phénomènes de diffusion : viscosité, conduction thermique, diffusion d'espèces
respectivement. Mais le flux global de masse à travers n'importe quel élément de surface de Sm (t) est
toujours nul.
120

5.1 . Bilan d'énergie pour un système indéformable
r
À,e,c
<p cc
h T a
0
<p X 1 dx
cd
!},
.X x idx coupe s11iva111 x
Figure 5.1 - Coupes du système indéformable.
référentiel Oxr. Nous supposons la température constante dans chaque section droite
(voir le paragraphe 2.2.6).
Les flux extérieurs à prendre en compte pour ce système matériel sont :
• les flux conductifs I<pcd (x) et J:<pcd(x + dx) à travers les sections droites du fil et le
flux conducto-convectif 'Pdxh[T(x) - Ta] à travers la surface latérale, si 'P désigne
le périmètre mouillé du fil. Ce dernier flux est compté positivement suivant Or.
L'air est en mouvement, de convection forcée, dans le référentiel du fil.
• un flux radiatif 'Pdx<pR, compté positivement suivant Or, entre la surface latérale
de la tranche et le milieu extérieur.
Dans l'équation 5.2, l'énergie cinétique Ôcin du système matériel dans le référentiel
choisi est constante, les variations del' énergie potentielle de pesanteur 8p sont négligeables,
et le terme W est nul ; il vient, d'après cette relation, en assimilant enthalpie
et énergie interne pour un solide :
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d1{ = d8 = CdT = (pcJ:dx) (()T + u oT)
dt dt dt ot ax
(5.3)
où C et c désignent la capacité thermique de la tranche et la capacité thermique massique
du fil, respectivement.
Le terme de l'équation 5.3 en 8T/8t correspond à un régime instationnaire : variation
temporelle de la température en un point fixe x du référentiel de l'atelier; nous
nous limitons dans cet exemple à un régime stationnaire caractérisé par :
Dans ces conditions, l'équation 5.3 devient
où m, égal à pEu, est le débit massique de la filière.
(5.4)
d1{
dt = (pEu) c dT = rh c dT (5.5)
121

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Le terme de l' équation 5.3 en u ôT /ôx existe en régime stationnaire : il représente
la variation de température, par unité de temps, d' un élément matériel suivi dans son
mouvement par rapport au réf érentiel de l'atelier.
Compte tenu des transferts à prendre en compte, on obtient, d'après l'analyse précédente:
Q = I [ <pcd(x) - <pcd(x + dx)] + Pdx { h [Ta - T(x)] - 'PR} . (5.6)
Soit, à partir des équations 5.2 à 5.6, en régime stationnaire 4 :
d<J{ d8 dT d 2 T R
dt= dt= pi cu dx dx = ÀE dx 2
dx + Pdx [h(Ta - T) - <p (Ta,T)], (5.7)
avec les conditions aux limites :
T(O) = To
T(oo) =Ta.
(5.8)
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5.1.3 Système ouvert à frontières fixes en régime
stationnaire
Un système ouvert a une surface perméable aux flux macroscopiques de masse. Nous
nous limitons dans ce paragraphe au cas d' un système ouvert à frontières fixes dans le
référentiel choisi. Le cas général sera abordé dans le paragraphe 5 .2.1 et le Chapitre 8.
En régime stationnaire, les grandeurs physiques globales considérées sont invariantes
par rapport au temps dans ce référentiel 5 :
d8 .
~( !) = 0
dt
d<J{
dt(!)= 0, (5.9)
Les transferts thermiques à prendre en compte sont les transferts conductifs 'Peel ou
<pcc, radiatifs 'PR et convectifs <peu; ces derniers sont associés aux flux macroscopiques
de masse à travers la smface du système.
Le bilan d'énergie pour un système ouvert à frontières fixes en régime stationnaire
s'écrit, si qen désigne le vecteur flux surfacique d' énergie, h l'enthalpie massique du
fluide et P la puissance volumique dissipée :
(5.10)
d<J{ = ( - qen · DextdS + ( Pd V = 0.
(5.11)
dt Js J v
Cette équation de bilan est illustrée par deux exemples (paragraphes 5 .1.4 et 5 .1.5)
4. Comme, en régime stationnaire (BT /Bt = 0), T [x (t)] ne dépend pas directement du temps, des dérivées
droites sont utilisées: (dT/dt) = (dT/dx)(dx/dt).
5. Les relations 5.9 font apparaître des dérivées droites et non des dérivées partielles car les grandeurs
considérées ne dépendent que du temps.
122

5.1. Bilan d'énergie pour un système indéformable
5.1.4 Retour sur l'exemple de la filière
Nous reprenons l'exemple du paragraphe 5.1.2 en adoptant le point de vue du sytème
ouvert compris entre les plans x et x + dx, quel que soit l'instant considéré.
L'équation 5.11 devient:
d'H . d 2 T [ ] dT
- = Q = ,U;'- 2
dx + 'Pdx -ql + h(Ta - T) - J:pcu-d dx = O.
dt dx X
(5.12)
Le premier terme ,U;'(d 2 T/dx2)dx représente l'effet global des contributions conductives
dans les plans x et x + dx; le second terme 'Pdx[-<pR + h(Ta - T)] les contributions
radiative et conducto-convective sur la surface latérale du fil ; le dernier
terme -J:pcu(dT/dx)dx la somme des contributions convectives J:pu h[T(x)] en x et
-J:pu h[T(x+dx)] en x+dx. Il est évident que, formellement, l'équation de bilan 5.12
est identique à l'équation 5.7 obtenue avec le point de vue du système matériel dans
laquelle le terme de convection de l'équation 5.12 J:pcu(dT/dx)dx apparaît au premier
membre changé de signe.
Si on ignore le flux radiatif <pR, la solution du sytème d'équations 5.7 et 5.8 s'écrit:
T - Ta = exp{-pcux[(i + 4'PhÀ ) 1 2
/ _ 1
To - Ta ]}·
2,i J;p2c2u2
(5.13)
La contribution de la conduction axiale suivant Ox, représentée par À, est négligeable
devant la contribution convective (point du vue du système ouvert) si :
(5.14)
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Dans pratiquement toutes les applications usuelles, cette condition est réalisée, qu'on
ait affaire au mouvement d'un solide (le fil par exemple), d'un liquide ou d'un gaz.
Pour s'en convaincre, il suffit d'envisager des valeurs réalistes de À,p, c, des valeurs
réalistes de 'Pet J:, et enfin les plages de variation du coefficient de transfert convectif
h (cf. tableau 1.1 du paragraphe 1.4.2). Nous admettons dans la suite que le transfert
conduct~f axial, pour un solide, un gaz ou un liquide, est en pratique négligeable devant
le transfert convectif dans la même direction. Ce fait est justifié rigoureusement
pour un fluide dans le paragraphe 8.5. l.
5.1.5 Exemple 2 : interface solide-liquide, front de fusion
Une des méthodes pour stocker l'énergie en vue d'une utilisation différée consiste à
utiliser la chaleur latente importante de changement d'état liquide-solide. On utilise
des sels dont le point de fusion peut atteindre 900° C, ce qui permet de ne pas dégrader
le niveau thermique. On peut utiliser des échangeurs classiques avec parois,
123

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
peu efficaces, ou mieux des échangeurs à contact direct gouttes-fluide. Un des problèmes
à résoudre est de relier la vitesse de déplacement du front de fusion aux flux
d'énergie à l'interface, côté liquide et côté solide. Si on fait l'hypothèse simplifica-
J•J
z
Liquide : À l
p
~ q>~ }q>~
Front de fusion à TF
z
) cp cc/ J cp CV
) s l s
Solide : À s' P
Figure 5.2 - Modèle d'interface.
trice que les masses volumiques Ps et PL des phases solide et liquide sont égales à la
valeur p, on peut, en première approche, modéliser le front de fusion par une couche
indéformable d'épaisseur 7], isotherme à TF, constituée des deux phases intimement
liées (figure 5.2). Le système le plus simple à choisir est le front de fusion lui-même
d'épaisseur 1J qui est en mouvement, de vitesse ZF par rapport à un axe fixe Oz. C'est
un système ouvert. On applique le bilan d'énergie par rapport à un système d'axe OZ
lié à ce front de fusion. Des transferts convectif et conductif sont à considérer sur
chaque face (voir figure 5.2) 6 :
(5.15)
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où .E, hs(T F) et hL(T F) désignent la smface du front et les enthalpies massiques des
phases solide et liquide à la température de fusion TF. in représente le débit massique,
évidemment constant, de liquide et solide à travers les faces du front de fusion ; soit :
L'équation de bilan devient :
in= -p.EZ,p. (5.16)
(5.17)
où lv désigne la chaleur latente massique de changement d'état.
6. L'équation 5.15 est valable si les deux phases sont toutes deux soit opaques, soit transparentes.
124

5.2. Bilan d'énergie pour un système fluide monophasique
5.2 BILAN D'ÉNERGIE POUR UN SYSTÈME FLUIDE
MONOPHASIQUE
La modélisation des transferts thermiques dans un fluide en mouvement, en particulier
au voisinage des parois, est un enjeu majeur de la discipline. Il convient d'établir,
comme pour un solide, la loi d'évolution de l'énergie du système fluide : le problème
est rendu délicat par le fait que le fluide est déformable, mais aussi dilatable
(ôp/ôT * 0); c'est le cas, en particulier, d'un gaz auquel on apporte ou duquel on
extrait une énergie importante. Les gaz sont également compressibles (ôp/ ôp * 0),
mais cette propriété ne génère des difficultés supplémentaires que dans les cas où les
variations de pression sont importantes, cas que nous excluons ici. L'équation générale
de bilan d'énergie pour un écoulement monophasique compressible et dilatable
se trouve au paragraphe 8.1.
L'équation simplifiée de bilan d'énergie découle de deux théorèmes de transport
introduits dans les paragraphes à suivre, et du premier principe de la thermodynamique
appliqué à un système matériel.
5.2.1 Théorèmes de transport
a) Système ouvert monophasique à frontières mobiles
Soient A et a des grandeurs scalaires, vecteurs ou tenseurs, rapportés aux unités de
volume et de masse respectivement :
A =pa. (5.18)
Considérons, dans un référentiel, un système mobile, déformable, de volume V(t), limité
par une surface S (t) (figure 5.3). Nous admettons le théorème [153] représentant
l'évolution temporelle de la quantité globale 3l rattachée au volume V :
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d3l = ~ ( ( A dV) = ( ôA dV + ( A w.next dS.
dt dt J v(t) J v(1) ôt J s(t)
(5.19)
Dans cette expression, llext représente la normale orientée vers l'extérieur d'un élément
de la surface S et w le vecteur vitesse de déplacement de l'élément de surface
dS dans le référentiel d'étude (et non celui de l'élément matériel en ce point à l' instant
considéré, noté v).
b) Théorème de Reynolds pour un système matériel
monophas iq ue
Un système matériel de volume Vm(t) et de surface S mU) est défini par (paragraphe
5.1.1) :
w(r ,t).next = v(r ,t).nexr, (5.20)
125

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Figure 5.3 - Système ouvert à frontière mobile.
c'est-à-dire que les composantes normales à la surface des vitesses v de l'élément
matériel et de déplacement de la surface w coïncident en tout point de la surface. La
substitution de v(r,t).next à w(r,t).next dans l'équation 5.19 conduit au théorème de
transport de Reynolds 7 pour un système matériel :
d3{ (l ) l L
d = d A dV = 7) ôA d V + A v · Dext dS
t t V 111
(t) V,,,(1) t S,,,(t)
(5.21)
c) Équation de bilan de la masse globale
L'équation 5.21 appliquée à la masse (A= p) donne l'équation de bilan de la masse
globale, encore appelée équation de continuité :
l L
m . = - dm = 7) ôp dV + pV.Dext dS =O.
dt V,.,,(t) t S 111
(!)
(5.22)
Soit, après transformation, sous forme locale :
ôp
- + V· (pv) = 0
Ôt
(5.23)
d) Réécriture du théorème de Reynolds
·~ L'expression 5 .19 peut être transformée dans le cas d'un système matériel, vérifiant
a.
3 l'équation 5.23, en adoptant les notations définies par l'équation 5.18. Soit:
- = - padV = p-
d3I d (J: ) l [ ôa op ]
+ a- + aV.(pv) + pv.Va dV,
dt dt Vm(t) V,,,(t) 8 t 8 t
(5.24)
7. Certains auteurs notent la dérivée totale dA/dt avec des D majuscules (DA/Dt) et l' appellent dérivée
matérielle.
126

5.2. Bilan d'énergie pour un système fluide monophasique
et après simplification, à partir de l'équation 5.23 :
J: - = - padV = p - ôa + v ·Va) dV = p-dV, da
dt dt V 111
(t) V 111
(t) Ôt V 111
(t) dt
dJI d (J: ) J: (
(5.25)
formulation équivalente du théorème de Reynolds, valable que a soit scalaire, vecteur
ou tenseur. On notera que dans cette expression, p peut dépendre du temps par
l'intermédiaire de Tou p.
e) Remarque très importante : significations physiques
des dérivées partielle et droite
Pour toute quantité massique a, il convient de bien distinguer les significations phy-
. d 1 d, · , · 11 ôa d 1 d, · , d · da
s1ques e a envee pa1t1e .. e par rapp01t au temps ôt et e a envee ro1te dt .
La dérivée partielle ~~ caractérise l'évolution instationnaire de la grandeur a en
un élément de volume autour d'un point fixe M(r) du référentiel. Dans un fluide
en mouvement, ce sont des éléments de matière djfférents qui occupent ce volume
élémentaire en fonction du temps.
La dérivée droite da caractérise l'évolution temporelle globale de la grandeur
dt
a attachée à l'élément de matière macroscopique qui occupe l'élément de volume
considéré autour d'un point fixe M(r) du référentiel au seul instant t. Contrairement
à la dérivée partielle, la dérivée droite n'est pas nulle en régime stationnaire.
D'un point de vue mathématique, il vient:
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da(r,t) ôa(r,t) V )
= ô + v. a(r,t
dt t
(5.26)
Le terme v.Va(r,t) représente la contribution à l'évolution temporelle de l'élément
matériel due au seul déplacement par unité de temps dt de cet élément dans des
champs qui seraient figés à l'instant t : cette contribution existe en régime station-
. L ôa(r,t) . . . , .
narre. e terme ôt est le terme mstat1onnaue complementarre.
5.2.2 Bilan d'énergie (approche simplifiée)
L'équation de bilan d'énergie est établie dans ce paragraphe sous l'hypothèse restrictive
d'un fluide soumis à une faible variation de pression 8 , tant des points de vue d'un
système matériel que d'un système ouvert. Une démonstration complète et générale
est exposée dans le paragraphe 8.1.
8. Une faible variation de pression est en effet nécessaire pour engendrer le mouvement du fluide dans
une conduite par exemple.
127

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
a) Point de vue d'un système matériel
Nous admettrons sans démonstration que la variation d'enthalpie d'un système matériel
fluide monophasique à pression quasiment constante est égale à la puissance
calorifique algébriquement fournie au système :
L ( l
-- d<Jim = - q cd + q R) .next dS + PdV
dt S 111 (t) Vm(t)
(5.27)
Le premier te1me du second membre ne prend en compte que des flux conductif
et radiatif ( qR .next représente le flux radiatif smfacique 'PR à travers la surface du
système orientée vers l'extérieur). Il n'y a pas de terme de convection dans ce bilan
écrit du point de vue d' un système matériel. Pest la puissance calorifique volumique
engendrée dans le milieu. Dans la mesure où le fluide est un liquide ou un gaz parfait,
l'enthalpie massique h 9 vérifie :
On obtient, par application du théorème de Reynolds 5.25 :
(l ) l l -- d1im = -d phdV = p-dV dh = pcp-dV dT
dt dt Vm(t) Vm(t) dt V 111
(t) dt
(5.28)
(5.29)
Compte tenu des deux équations 5.27 et 5.29, l'équation de bilan d'énergie sous
forme intégrale s'écrit :
l L l -- d<Jim = pc p - dT . d V = - q cd .Ilext dS + P + P d V
dt V 111
(t) dt S ,,,(t) V 111
(t)
( R )
(5.30)
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où on a introduit la puissance radiative pR dissipée dans un fluide semi-transparent,
égale à - V · qR.
b) Point de vue d'un système ouvert
Considérons un système matériel fluide, de surface frontière Sm (t) et de volume
V m (t), mobile dans un référentiel donné. Par définition d' un système matériel, le flux
convectif q~v · Ilext de quelque grandeur physique Ji que ce soit (a par unité de masse,
A par unité de volume) est nul en tout point M de la frontière et à chaque instant t.
À présent, considérons un système fluide ouvert, de surface frontière S 0 (t) et de volume
V 0 (t), également mobile, et qui occupe exactement le même volume physique
que le système matériel précédent uniquement à l'instant t. Les vitesses w (N, t) de
certains points N de sa surface frontière diffèrent nécessairement des vitesses v (N, t)
9. Dont la notation est à distinguer de h coefficient de transfert.
128

5.2. Bilan d'énergie pour un système fluide monophasique
du fluide aux mêmes points, sinon V 0 (t) serait un volume matériel. Par conséquent,
des flux convectifs q~v · Dext apparaissent en ces points à travers la surface S 0 (t); ils
sont donnés par 10 q~v · Dext = A (V - W) · Dext = pa (V - W) · Dext (5.31)
Le théorème général de transport 5.19 permet d'exprimer le taux de variation de la
grandeur globale 5l pour le système matériel :
(J: ) J: L
-d- d5lm = d pa d V = o(pa) d V +
pa v · Dext dS
t t V 111
(t) V 111
(t) 0 t S m(t)
Pour le système ouvert, le même théorème donne :
d5lo = _5!. ( ( pa d v) = ( {) ~a) d V + ( pa w · Dext dS
dt dt J V 0
(t) J V 0
(t) t J S 0
(t)
(5.32)
(5.33)
On notera que la vitesse du fluide v, qui apparaît dans l'équation 5.32, est remplacée
par la vitesse w de la frontière S 0 (t) dans l'équation 5.33. Comme, à l'instant t, les
smfaces S 0 (t) et Sm (t) sont égales ainsi que les volumes V 0 (t) et V m (t), il découle
de ces deux équations le résultat suivant :
d5lo d5lm L d5lm L cv
-d- = -d- - pa (V - W) · Dext dS = -d- - qa · Dext dS
t t S 0
(t) t S oU)
(5.34)
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Le taux de variation de la grandeur extensive 5l sur le système ouvert est donc égale à
la somme du taux de variation de la même grandeur sur le système matériel occupant
le même volume à l'instant t et de l'intégrale sur la frontière du système ouvert du
flux convectif q~v donné par l'expression 5.31 et compté positivement vers l'intérieur
du système.
Ce résultat général peut à présent être appliqué à l'enthalpie 11. Le premier terme
des second et troisième membres de l'égalité 5.34 d<J{m/dt est donné par l'équation
de bilan d'énergie pour un système matériel (équation 5.30):
ct'l1m - r a(Ph) dV r h dS
dt JV 111
(t) ---al + Js 111
(t) P V · Dext
= - fs (t) qcd · Dext dS + fvm(t) (PR+ P) dV
111
(5.35)
Il s'ensuit que le taux de variation de l'enthalpie du système ouvert d1{ 0 / dt a pour
expression :
ct11a - r ô(ph) dV f h dS
dt )Vo(t) -af + Js o(t) p W . Dext
- fs o(t) ( qcd + qfiv). Dext dS + Jva(t) (PR+ P) dV
(5.36)
10. Cette expression est plus générale que celle du paragraphe 1.4.1 : (v - w) · nex1 représente la vitesse
normale du fluide par rapport à l'élément de smface dS 0
(t) mobile, encore appelée vitesse de
convection.
129

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Pour le système ouvert, le flux convectif apparaît explicitement dans le second
membre de l'équation de bilan 5.36, tandis que pour le système matériel, il apparaît
implicitement dans le premier membre de l'équation 5.35 via le terme de transport.
Les résultats du paragraphe 5 .1. 3 sont retrouvés ici ; en particulier, l'équation 5 .11
correspond à un système ouvert à frontières fixes en régime stationnaire.
5.3 APPLICATIONS SIMPLES : TRANSFERTS DANS
UNE CONDUITE; ÉCHANGEURS DE CHALEUR
Nous considérons l'écoulement stationnaire d'un fluide, de débit massique m
constant, dans une conduite cylindrique (de génératrices parallèles et de section
constante .E). Dans ce qui suit, une température globale, appelée température de mélange,
va être introduite pour caractériser le fluide dans une section donnée. Cette
température de mélange servira de référence dans les calculs de transfert convectif,
en particulier dans les échangeurs de chaleur, pour des écoulements laminaires ou
turbulents.
5.3.1 Hypothèses simplificatrices
On se propose de construire un modèle simple à partir d'un certain nombre d'hypothèses
:
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>- Hypothèse H 7 : les propriétés thermophysiques du fluide il, cp, ... sont supposées
uniformes, en particulier indépendantes de la température; on prend, en fait, la
valeur moyenne de ces grandeurs sur toute la longueur de la conduite et sur toutes ses
sections. La masse volumique p est susceptible de varier de façon appréciable avec
T, notamment pour un gaz.
>- Hypothèse H2 : la vitesse du fluide v est, en tout point, parallèle aux génératrices
de la conduite, c'est-à-dire à Ox; elle a pour valeur algébrique u; ceci suppose
qu'on est loin d'une entrée éventuelle du tube. En régime stationnaire, la conservation
de la masse dans un tube de flux s'écrit d'après l'équation 5.23 :
ô
ôx(pu) =O. (5.37)
La vitesse axiale une se conserve pas dans un tube de flux dans la mesure où p varie.
>- Hypothèse H 3 : le fluide est un gaz parfait ou un liquide.
130

5.3. Applications simples : transferts dans une conduite; échangeurs de chaleur
5.3.2 Bilan d'énergie en régime stationnaire
La température du fluide dépend, en toute rigueur, des trois coordonnées spatiales.
Nous allons adopter un modèle simplificateur, monodimensionnel, analogue à celui
de ]'approximation de ]'ailette, en introduisant la notion de température de mélange.
a) Notion de température de mélange
Considérons le système matériel fluide compris, à l'instant t, entre x et x+dx et représenté
sur 1a figure 5.4.a. À un instant ultérieur, ce système s'est déplacé et déformé
(voir la figure 5.4.b) : cette déformation est importante puisque les filets de fluide
au voisinage immédiat de la paroi ne se sont pratiquement pas déplacés (annulation
de la vitesse à la paroi) contrairement aux filets occupant la partie centrale du tube.
La vaiiation d'enthalpie par unité de temps de ce système, en régime stationnaire,
s'obtient en adaptant aux conditions et hypothèses du problème l'équation 5.25 :
r ar
d<J{
dt= dx JrPCpU Bx dydz, (5.38)
expression dans laquelle p, u et T dépendent de x,y,z, tandis que cp est constante.
Après transformation, on obtient, compte tenu de la relation 5.37 :
(5.39)
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x1[2(at)) -
2,./
Figure 5.4- Déformation temporelle de l'élément matériel.
L'intégrale sur J; peut s'interpréter comme une moyenne de la température pondérée
par le débit massique. On appelle température de mélange la quantité:
L
L
puT dydz puT dydz
Tm(x) = =
(5.40)
pudydz
l:
131

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Cette température serait celle de la section droite J; si l'équilibre thermique était
fictivement réalisé dans cette section 11 (d'où la notion de mélange). C'est une température
globale de la section droite associée au débit massique m. L'équation 5.38 de
bilan d'énergie devient dans ces conditions :
(5.41)
Cette nouvelle expression, rigoureuse, est formellement identique à celle relative au
mouvement en bloc d' un solide caractérisé par la relation 5.5.
b) Bilan d'énergie pour une tranche élémentaire
Nous supposons, pour simplifier, que les échanges radiatifs sont linéarisables et incJus
dans le coeffi cient d'échange hou négligeables; d'autre par.t, la conduction axiale est
supposée négligeable (voir les conclusions du paragraphe 5.1.4). Dans le cas d' un
flux conducto-convectif à la paroi, le bilan d'énergie pour une tranche matérielle
[x,x + dx] s'écrit:
(5.42)
où rp représente le périmètre mouillé de la conduite et Tp(x) la température de la
paroi, supposée constante dans une section droite (éventuellement moyennée sur le
périmètre mou.illé P). Dans le cas particuUer où la température de paro.i de la conduite
Tp est constante en x, la température du fluide converge exponentiellement vers Tp :
(5.43)
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où To désigne la température à l'entrée de la conduite. Cette situation se produit,
par exemple, s'il existe de l'autre côté de la paroi un système restant sur toute la
longueur de la conduite sous deux phases : condenseur parfait ou évaporateur pa1fait
(figure 5.5).
T
p
T," (,r) a) évaporateur
parjàit
T
p
T
X 0
......··:..:.
·;.; · ·.-· -~-----
b) condenseur
pmjàit
X
Figure 5.5 - Profils de température des deux fluides.
11. Dans un écoulement turbulent, cette moyenne spatiale est pratiquement réalisée au cœur de l'écoulement,
tout au moins si on considère les champs moyennés sur des échelles de temps grandes par rapport
à celles des fluctuations turbulentes.
132

5.3. Applications simples : transferts dans une conduite; échangeurs de chaleur
5.3.3 Exercice d'application
(Exercice 5.1 Performances comparées d'échangeurs de chaleur
Énoncé
Soit l'échangeur de chaleur plan très simple à deux fi uides, chaud c et froid F, séparés
par une paroi conductrice d'épaisseur e, de conductivité il, à travers laquelle de la
chaleur est échangée (figure 5.6). Les deux autres parois parallèles à la paroi médiane
sont parfaitement isolantes et distantes de d de celle-ci. Cette condition est en pratique
réalisée par un empilement d'éléments d'échangeur du type décrit ici. On considère
que l'étendue L suivant Oy de l'échangeur est suffisamment grande devant d pour
négliger les effets de bord. Un échangeur est dit à co-courant si les fluides circulent
su.ivant Ox dans le même sens, à contre-courants' ils ci.rculent en sens contraire. Nous
adopterons les conclusions du paragraphe 5.3.2 et ne considérerons pas de transfe1ts
radiatifs, ou des transferts linéarisés pris en compte dans les coefficients de transfert.
Soient n1.c et mF les débits massiques constants des fluides chaud et froid, comptés
positivement si l'écoulement se fait dans le sens de Ox; me sera toujours positif, mF
pourra être positif ou négatif suivant le type d'échangeur considéré. Nous appelons
T mc(x), TmF(x), Tpc(x) et TpF(x) respectivement les températures de mélange des
fluides chaud et froid et celles des faces de la paroi à leur contact, à l'abscisse x.
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d
d
:
. T
m e
-d<P
' h c 1 x ~ dx
. e J..
~ T pF
: -
1. Bilan thermique d'un échangeur
.
: mF TmF
:<- J
cp =O
Figure 5.6 - Coupe de l'échangeur plan.
Donner les expressions reliant les températures de mélange d'entrée et de sortie
des fluides chaud et froid. Commenter.
2. Efficacité et nombre d'unités de transfert
Un échangeur peut être considéré comme un quadrupôle (les pôles étant les entrées
et sorties des fluides froid et chaud); les températures des fluides sont désormais
X
133

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
affectées d'un indke e pour l'entrée et s pour la so1tie. On appelle débit de capacité,
noté Cr, le module du produit incp (capacity rate en anglais), et on pose :
(5.44)
(5.45)
Pour préciser la notion de perfo1mance d'un échangeur, on introduit un nombre sans
dimension E, appelé efficacité de l'échangeur, et défini comme le rapp01t du flux
transmis <Pau flux maximal théoriquement transmissible <Prh·
a) Exprimer la quantité de chaleur maximale théoriquement échangée entre le
fluide chaud et le fluide froid <l>th en fonction du débit de capacité Cr.
b) Exprimer l'efficacité d'un échangeur à co-courant ou à contre-courant en
fonction d'un paramètre physique appelé nombre d'unités de transfert NUT défini
par NUT = hgSmaJCrmin· Discuter.
Solution
1. Les bilans d'énergie pour des tranches matérielles de fluide comprises à l'instant t entre
x et x + dx (figure 5.6) s'écrivent:
-d<t> =me Cpc dTmc = -Ldxhc(Tmc - Tpc).
d<t> = mF CpF dTmF = -LdxhF(TmF - TpF ),
(5.46)
(5.47)
où hc et hF désignent les coefficients de transfert aux parois, moyennés sur la longueur de
l'échangeur, côté fluide chaud et côté fluide froid. Dans cet échangeur parfait, la chaleur
perdue par le fluide chaud ld<PI est totalement gagnée par le fluide froid.
Les écarts de température Tmc - Tpc et TmF - TpF peuvent se calculer à partir de la notion
de coefficient d'échange global hg, conductance surfacique d'un élément dx d'échangeur
(voir exercice 2.3 au paragraphe 2.1.2). Soit, par définition de hg :
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d<t> = -Ldxhg(TmF - Tmc),
expression où hg vaut 12 (d'après l'équation 2.18):
Le système se simplifie en :
( 1 e 1 )- 1
hg = hc + A + h F
YnpCpFdTmF = +Ldxhg(Tmc - TmF)·
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)
12. On pourrait ajouter des résistances d' encrassement, ce qui revient à ajouter de part et d'autre de
la paroi conductrice des couches faiblement conductrices supplémentaires dont les propriétés sont à
évaluer.
134

5.3. Applications simples : transferts dans une conduite; échangeurs de chaleur
On obtient, si l'entrée del' échangeur est en x = 0, à partir des équations 5.50 et 5.51 :
Tmc(x)-TmF(x) = [Tmc(O)-TmF(O)] exp[-hgLx(-. _l_ + . l )].
mcCpc mpCpF
(5.52)
En substituant l'équation 5 .52 dans les équations 5 .50 et 5 .51, il vient, si on note S max la
quantité Ll :
Tmc(O) - T,,ic(l)
Tmc(O) - TmF(O)
(5.53)
TmF([) - TmF(O)
Tmc(O) - TmF(O)
Les équations 5 .53 et 5.54 sont valables pour tous les types d'échangeurs à co-courant
(me, mF > 0) et à contre-courant (me > 0, fn.F < 0), quelle que soit la géométrie de
la section : cylindrique, triangulaire, etc. En général, dans un échangeur industriel plus
complexe, la surface d'échange S max offerte à l'un des :fluides est plus importante que la
smface offerte à l'autre. Dans ce cas, le coefficient global d'échange hg est par convention
rapporté à S max .
Dans le cas particulier où mFCpF (ou mcCpc) tend vers l'infini, alors TmF(x) garde la valeur
constante TmF(O) (Tmc(x) garde la valeur T mc(O)): c'est le cas d'un tube à température de
paroi constante, cas déjà traité : paragraphe 5.3.2, équation 5.43.
Tmc
Tmc
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Figure 5.7- Échangeur à co-courant.
0 l
Figure 5.8 - Échangeur à
contre-courant : inFcpF + incCpc = O.
> Dans le cas des échangeurs à co-courant, les températures des deux :fluides
tendent à converger à la sortie commune de l'échangeur (figure 5.7).
> Dans le cas des échangeurs à contre-courant, les arguments des exponentielles
dans les équations 5.52, 5.53 et 5.54 s'annulent en même temps que la quantité
mFcpF + mccpc· On distingue les différents cas d'évolutions représentés sur les figures
5.8, 5.9 et 5.10. Lorsque mFCpF + mcCpc = 0, les profils de température sont des
droites parallèles. Par ailleurs, il apparaît que pour un échangeur à contre-courant, le fluide
froid peut sortir plus chaud que ne sort le fluide chaud : Tm F(O) > T,,u..(l) (figures 5.9
et 5 .10), ce qui est impossible avec un échangeur à co-courant. Un échangeur à contrecourant
est donc plus performant qu' un échangeur à co-courant. Nous allons préciser cette
notion dans ce qui suit.
135

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
~llC
1/nc
~nF
TmF
0 I
Figure 5.9- Échangeur à
contre-courant : tnfCpF + tncCpc > 0.
0 l
Figure 5.10 - Échangeur à
contre-courant : tnfCpf + tncCpc < 0.
2. Pour exprimer le flux maximal thé01iquement transmissible ct> 1 1i, on considère qu'un des
fluides subit la variation maximale de température autorisée par le second principe, soit
(T,~ic - r:, 1
F). Cette situation est réalisée par exemple dans un échangeur à contre-courant
de longueur infinie. Il est faci le de se convaincre que seul le fluide de plus petit débit de
capacité Crmin peut subir cette vaiiation de température. Donc cf>r1 1 est:
(5.55)
Un schéma de quadrupôle est donné sur la figure 5.11. Tl existe de très nombreux types
d'échangeurs de chaleur (à cc-courant, contre-courant, courants croisés, courants brassés,
etc.), mais tous se réduisent au quadrupôle précédent. La relation fondamentale d'un
échangeur parfait, sans pertes vers l'extérieur, s'écrit:
(5.56)
Rappelons que les échangeurs industriels sont constitués d'empilements très compacts de
modules élémentaires ; de ce fait, les pertes sont en pratique négligeables. Dans l'équation
précédente, lc/>I exprime le flux échangé entre les deux fluides sur toute la longueur de
l'échangeur.
L'efficacité de l'échangeur, définie comme le rapport du flux transmis et> au flux maximal
thé01iquement transmissible ct> 1 1i, est donc :
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Crc
Cr F
cf> Crc (T~c - T,~1c) CrF(TiiF - T,~F)
E = <Prh = Crmin(T:iu: - T,~F) - Cr111 in (T,~1c - T1 ~ 1 F). (5.57)
1 E
s
T,11
Figure 5.11 - Représentation d'un
échangeur.
NUT
O .._~~~~~~~~__.
0 5
Figure 5.12 - Caractérisation d'un élément
d'échangeur.
136

5.3. Applications simples: transferts dans une conduite; échangeurs de chaleur
Étudions, à titre d'exemple, les efficacités des échangeurs à contre-courant et à co-courant
examinés plus haut. Dans le cas d ' un échangeur à co-courant, on obtient:
E = {l _ exp[-(l + Cr min )hg S max ]}/(l + Cr min )
Crmax Crll1ln Crmax
(5.58)
et pour J' échangeur à contre-courant :
(5.59)
Il apparaît sur les expressions 5.58 et 5.59 que les efficacités des deux types d'échangeurs
sont d'au tant plus élevées que la smface maximale d'échange est plus grande; dans le
cas de l'échangeur à co-courant, E est bornée par (1 + Crmjn/Crmax)- 1 tandis que pour
un échangeur à contre-courant E peut atteindre 1, mais pour un échangeur de longueur
infinie, notion qui sera précisée ultérieurement. Les augmentations de la surface d'échange
entre les deux fluides, donc de l'encombrement et surtout du coût de l'échangeur, sont
évidemment limitées par des raisons économiques.
L'efficacité de l'échangeur est une fonction de deux grandeurs adimensio1mées, le rapport
Crmin/Crmax d'une part, et d'autre part la quantité hgS max/Crmin· Cette demière apparaît
comme le rapport de la surface maximale d'échange S max à une surface de référence
Crmin/hg, qu'on appelle unité de transfert; hg représente, rappelons-le, le coefficient global
d 'échange moyen pour tout l'échangeur rapporté à la surface maximale d'échange et C rmin
le débit de capacité minimum des deux fluides ; la surface de référence est celle qui est
nécessaire pour élever d' un degré environ la température d ' un des fluides quand l'écart de
température caractéristique entre les deux fluides est de l'ordre du degré.
Nous appellerons nombre d 'unités de transfert NUT d'un échangeur de type donné (ou
NTU dans la bibliographie anglo-saxonne) la quantité :
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(5.60)
où Smax désigne la surface d'échange la plus importante, hg le coefficient d'échange global
moyen de l'échangeur rapporté à S max , et Crmin le débit de capacité minimal. D' une
manière générale, la relation caractéristique d'un échangeur est du type:
E = f(NUT, Crrrûn/Crmax ) . (5.61)
Pour tout type d 'échangeur, le constructeur foumit cette relation (voir un exemple figure
5.12). L'efficacité est d ' une manière générale d'autant plus élevée que :
>- le NUT, donc la surface d 'échange, est plus élevé; pour un NUT de l'ordre de 4,
l'efficacité tend vers une valeur asymptotique; une augmentation de la surface d'échange
provoque alors un gain fai ble en efficacité.
>- le rapport Crrrûn/Crmax est plus faible; mais à la limite, le débit d'un des fluides est
négligeable, ce qui en général est peu intéressant.
137

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Commentaire: principe d'un calcul d'échangeur
Supposons qu'on veuille, dans une installation industrielle, préchauffer un fluide par un
autre fluide (mélange à chauffer avant combustion, préchauffé par les produits de cette
combustion, etc.). Les températures d'entrée et les débits des deux fluides sont imposés.
On se fixe un type d'échangeur adapté au problème considéré. Il reste à déterminer la surface
d 'échange S max , c'est à dire le volume de l'échangeur, compte tenu de sa compacité
(en m 2 de surface d'échange par m 3 ). Il est possible de procéder par itérations. Les variétés
d 'échangeurs et de fluides utilisables sont innombrables. Pour des applications précises, il
convient de se reporter à des publications spécialisées : [71] par exemple pour les échangeurs
compacts. Il faut enfin prendre en compte les problèmes de coût, d'encrassement, de
perte de charge, de contraintes thermiques, de vibrations, de fiabilité, etc.
___ J
5.4 ANALYSE DIMENSIONNELLE EN CONVECTION
FORCÉE
Quel que soit le type de transfe1t convectif thermique considéré (naturel ou forcé,
laminaire ou turbulent), les phénomènes principaux qui interviennent de façon couplée
dans l'expression du flux conducto-convectif 13 à une paroi, au sein d' un fluide
monophasique homogène transparent, sont 14 (figure 5.13) :
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• un transfert convectif de quantité de mouvement, axial, c'est-à-dire parallèle à
la paroi;
• un effet visqueux, essentiellement transverse à l'écoulement (diffusion de
quantité de mouvement) ;
• un transfert convectif d'enthalpie, axial ;
• un transfert conductif essentiellement transverse (diffusion d'enthalpie).
Dans ce paragraphe, nous étudions à partir de considérations simples d'analyse dimensionnelle
le comportement du coefficient de transfert convectif h à une paroi, et
mettons en évidence un ensemble de groupements adimensionnés de grandeurs physiques,
appelés nombres caractéristiques, qui jouent un rôle déterminant en convection
thermique.
13. La notion de flux conducto-convectif a été introduite dans Je paragraphe l.4.2.
14. Dans le cas d'un fluide semi-transparent (produits de combustion, bain verrier, etc.), la situation
de la figure 5.13 est compliquée par l'existence d'un transfert radiatif volumique au sein du fluide. Le
flux d'énergie conductif pariétal - ÀaT/aylP résulte alors d'un couplage entre conduction, convection
et rayonnement; à température élevée, dans un tel milieu, il est très fortement modifié par le couplage
avec le rayonnement. Ces phénomènes sont abordés brièvement dans le paragraphe 9.2.5.
138

5.4. Analyse dimensionnelle en convection forcée
paroi
X
fluide
Tp h T(1·) To
diffùsions
visqueuse
et
cond11c1ive
convec1ions
mécanique
et
thermique
y
Figure 5.1 3 - Schématisation des transferts dans un fluide au voisinage d'une paroi.
5.4. l Notion élémentaire de viscosité
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L'origine physique de la viscosité est liée à celle de la conduction thermique. Il s'agit
de l'effet cumulé à l'échelle du milieu continu des transferts de quantité de mouvement
entre molécules d'un gaz ou d'un liquide lors de processus de collisions intermoléculaires.
De ce fait le phénomène est général, sauf dans un milieu extrêmement
raréfié. Nous nous limitons ici à introduire le phénomène à une seule dimension, en
amont d'un cours de mécanique des fluides.
Considérons un fluide de champ de vitesse u(y) parallèle à Ox et dépendant de la
seule variable y (figure 5.14). Séparons fictivement ce milieu fluide en deux parties :
y > y 0 et y < y 0 . La normale n à l'interface est orientée positivement suivant l'axe
Oy. Par convention 15 , laforce surfacique T exercée suivant Ox au point (x, yo) par la
partie du fluide située du côté de la normale orientée (y > yo) sur l'autre partie du
fluide (y < yo) est :
au
T=µ-
(5.62)
8y
oùµ désigne la viscosité dynamique (en kg/ms). Si 8u/8y est positif, r accélère le
mouvement de la couche y < Yo ; par exemple, le fluide situé au coeur de l'écoulement
accélère le mouvement de la couche inférieure, qui serait freinée par une paroi
en y = O. En d' autres termes, la viscosité assure la continuité du profil de vitesse dans
le fluide à partir de la paroi, où cette vitesse est nulle, par continuité également.
15. Cette convention est 1 ' inverse de celle utilisée en transferts thermiques : il n'apparaît pas de signe -
comme dans la loi de Fourier qui est issue de la même physique ; en effet, la convention adoptée revient
à considérer, pour une surface fermée dont la normale est orientée mathématiquement vers l'extérieur,
l'action du milieu extérieur sur Je système fluide.
139

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
X
rf~
X
!D
Yo
y
Figure 5.14 - Fluide visqueux: cas ôu/ôy >O.
5.4.2 Nombres caractéristiques clés
L'analyse dimensionnelle en convection forcée thermique, dont la po1tée est générale,
va être introduite à partir d'un exemple classique.
On considère, par rapport à un référentiel 0 xyz, une paroi plane, d'inclinaison
quelconque, de longueur L suivant Ox, maintenue isotherme à Tp (figure 5.13). Un
fluide de vitesse uo parallèle à la plaque, et de température To loin de la plaque,
échange de l'énergie avec la plaque entre le bord d'attaque (x = 0) et le bord de fuite
(x = L). Dans cette première approche, les propriétés physiques du fluide sont supposées
constantes ; plus précisément, on adopte les valeurs de p (masse volumique),
À (conductivité thermique),µ (viscosité dynamique) et cp (capacité thermique massique
à pression constante) con-espondant à la température de.film (To + Tp )/2. Il est
utile de distinguer dans les applications :
• h(x) coefficient de transfert local à une abscisse x, associé au flux conductoconvectif
local :
aTI
<p(x) = h(x)(Tp - To) = -il- .(x)
8
Y paroi
(5.63)
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• h coefficient de transfert moyen sur la plaque, associé à un flux conductoconvectif
moyen :
lL
ëp = h(T
- l
P - To) = - h(x)(T P - To)dx
(5.64)
L o
-
Dans ce deuxième cas, le problème de la détermination de h, associé au flux
conducto-convectif transverse, dépend d'un certain nombre de grandeurs et
phénomènes physiques qui pilotent le problème :
• la seule éche11e de longueur utilisable est la longueur L de la plaque;
• le flux surfacique convectif 16 axial de quantité de mouvement est caractérisé
par l'échelle puouo qui est homogène à une force surfacique, tandis que la
diffusion visqueuse axiale 17 est caractérisée par l'échelle de force surfacique
µu 0 /L (d'après l'équation 5.62);
140

5.4. Analyse dimensionnelle en convection forcée
• le flux surfacique convectif axial thermique est caractérisé par l'échelle
pu 0 cp(Tp - T 0 ), tandis que la diffusion thermique axiale est caractérisée par
l'échelle de flux surfacique /l.(Tp - To)/L.
Ni les propriétés thermophysiques, ni les champs de vitesse ne dépendent de
(Tp - To); h ne dépend pas alors explicitement de (Tp - To) (dans le cas contraire,
le phénomène serait du type convection naturelle ou mixte, c'est-à-dire qu'une partie
du mouvement serait due à la force d' Archimède engendrée par (Tp - T 0 )).
Dans ces conditions, compte tenu des échelles précédentes, le problème thermique
de la détermination de h est entièrement déterminé par sept grandeurs physiques :
h,p, µ,il, cp, Let uo.
Les dimensions respectives de ces grandeurs MT- 3 e- 1 , ML-3, ML- 1 T- 1 ,
MLT- 3 e- 1 , L 2 T- 2 e- 1 , L et LT- 1 s'expriment en fonction de quatre dimensions
(M,T,L et 8). Le théorème II (voir paragraphe 3.2.2) permet de prédire que la solution
s'exprime en fonction de trois groupements sans dimension indépendants. Nous
faisons de plus l'hypothèse que la solution s'écrit sous la forme d'un produit de puissances
de ces groupements, hypothèse valable sur des intervalles finis de variation
des paramètres. Soit :
(5.65)
Quatre relations, associées aux quatre dimensions de référence, s'en déduisent:
c = -d + l , b = d - a , e = a , f = a - 1. (5.66)
Après résolution, on obtient, en posant œ = +a et f3 = +d, la relation :
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où C est une constante, et qui s'écrit également sous la forme:
(5.67)
NuL = C Re~ Pr8 (5.68)
où apparaissent le nombre de Nusselt rapporté à la longueur L :
NuL = hL/il, (5.69)
16. Tout flux convectif surfacique a pour échelle pu 0 a, où a est la grandeur massique de référence; la
quantité de mouvement massique de référence est la vitesse u 0 ; l'enthalpie massique de référence est
cp(Tp - T 0 ).
17. La diffusion visqueuse est essentiellement transverse. Mais, à ce stade, nous ne disposons pas
d'échelle de longueur transverse; d'où ce choix d'échelle caractéristique axiale, qui n' influe pas sur
le résultat.
141

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
le nombre de Reynolds rapp01té à L:
ReL = puoL/µ, (5.70)
et le nombre de Prandtl:
Pr= µcµ/À. (5.71)
De la même façon, pour le transfert thermique local caractérisé par la substitution de
x et h(x) à Let h respectivement, on obtient:
(5.72)
ou:
Nux(x) = C' Re~ Pl 1 (5.73)
en introduisant le nombre de Nusselt local, au point x, rapporté à la longueur x:
et le nombre de Reynolds rapporté à x :
Nux(x) = h(x)x/À (5.74)
Rex = puox/µ. (5.75)
Les exposants qui apparaissent dans les équations 5.68 et 5.73 sont évidemment
identiques, et les coefficients C et C' sont liés 18 . On introduit également souvent
le nombre de Péclet, rapporté à x ou L :
§ 5.4.3 Interprétation physique des nombres caractéristiques
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Les groupements adimensionnés qui figurent dans ces relations ont des significations
précises.
• Le nombre de Reynolds ReL = pu 0 L/µ représente un rapport entre des énergies
volumiques 19 , caractérisant l'inertie et la viscosité :
(5.76)
18. La relation entre C et C' découle de l'équation 5.64, laquelle se réécrit sous la forme de l'équation
5.84. En particulier, C' = 2C pour a = 1/2 et C' = 5C/4 pour a = 4/5, valeurs courantes de
l'exposant cr.
19. Il s'agit ici d'une simple analyse de phénomènes, qui ne vise qu'à caractériser des ordres de grandeur.
142

5.4. Analyse dimensionnelle en convection forcée
Une autre interprétation physique consiste à voir dans le nombre de Reynolds le
rapport du temps caractéristique de diffusion de quantité de mouvement 20 L 2 /v au
temps caractéristique de convection L/uo. v, diffusivité de quantité de mouvement,
a pour expression v = µ/p; on l'appelle également diffusivité mécanique ou viscosité
cinématique, et elle s'exprime en m 2 .s- 1 (comme la diffusivité thermique). Les
temps caractéristiques de transport convectif L/u 0 sont classiquement de l'ordre de
la seconde, tandis que ceux de diffusion visqueuse L 2 /v peuvent facilement atteindre
10 5 secondes.
Ce nombre caractérise l'écoulement, en particulier la nature du régime (laminaire
ou turbulent).
• Le nombre de Prandtl Pr = µc p/ il compare la diffusivité de quantité de mouvement
v à la diffusivité thermique a :
µ
V= -
p
À
et a= -­
pep
µCp
V
Pr=-=­
À a
(5.77)
Il compare donc les deux phénomènes transverses par diffusion. Le nombre de
Prandtl ne dépend que des propriétés physiques du fluide. On considère trois
classes de fi uides :
- les gaz, dont le nombre de Prandtl est voisin de 0,7 et les liquides usuels (eau,
huiles légères, etc.) pour lesquels l'ordre de grandeur du nombre de Prandtl est
proche de l'unité (Pr = 7 pour l'eau à 20 °C, Pr = 2 à 90 °C).
- les métaux liquides, très conducteurs (K, Na, Li, NaK, etc.), souvent utilisés
comme fluides caloporteurs, en particulier dans des réacteurs nucléaires à neutrons
rapides, et dont le nombre de Prandtl est très faible (qq 10- 2 ) : ces fluides
ont un compo1tement très différent des précédents lors du transfert d'enthalpie.
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- les huiles très lourdes, dont le nombre de Prandtl peut dépasser 10 3 .
Le nombre de Nusselt local Nux(x) = h(x)x/il représente le gradient de température
adimensionné à la paroi. En effet, si on pose :
l'expression du flux conductif à la paroi :
y+ = y/x ; y+ = (T - Tp)/(To - Tp) (5.78)
arl
-il- = h(Tp - To)
ôy paroi
(5.79)
i8
-o 20. En effet, toute l'analyse développée au Chapitre 3 en conduction thermique peut être étendue à
0
5 n'importe quel phénomène de diffusion, et dans le cas présent à la diffusion de quantité de mouvement
0
© caractérisée par la diffusivité mécanique v.
143

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
devient:
ar+ 1
Nux(x) = ~ + . (x).
uy paroi
(5.80)
Cette expression est à rapprocher de celle du coefficient de frottement C Fx en mécanique
des fluides, défini comme le rapport de la contrainte visqueuse à la paroi à
l'énergie cinétique volumique, de l'écoulement amont dans le cas considéré :
Tp µ OUI
CFx(x) = - - 1
= 12- (x)
-pu
2
2 0
-pu
2 0
oy paroi
Soit en posant, comme dans l'équation 5.78 :
(5.81)
(5.82)
2 au+ 1
Cpx(x) = -R ~ + _(x)
(5.83)
ex uy paroi
-
• Le nombre de Nusselt global NuL = hL/ ;i a un intérêt pour calculer le transfert
global par la plaque. Il se rapporte au coefficient de transfert moyen h, et s'exprime
en fonction du nombre de Nusselt local Nux (x) par:
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UL =
L Nux(x)d
0 X
On notera que la moyenne réalisée n'est pas celle de Nux(x).
X
(5.84)
D'autres expressions du nombre de Nusselt associées à d'autres configurations
peuvent être définies. En particulier, en convection forcée interne (par exemple
dans un tube), on rencontrera un nombre de Nusselt local au point x (x est compté
suivant l'axe de l'écoulement à partir de l'entrée) associé à une dimension transverse
(D le diamètre du tube par exemple), noté Nu 0 (x) :
Nuv(x) = h(x)D/ ;i (5.85)
En régime établi, c'est-à-dire au bout d'une ce1taine longueur dans le tube (la
définition de ce régime sera donnée au paragraphe 5.6), quand le fluide a perdu
mémoire des conditions d'entrée, ce nombre de Nusselt eth pourront être indépendants
de x ; on pose alors simplement :
Nuv = hD/,t (5.86)
-
Enfin, si on considère le nombre de Nusselt associé au coefficient de transfert h
moyenné de l'entrée du tube en x = 0 à x = L, on posera :
Nuv L = hD/,t
'
(5.87)
144

5.4. Analyse dimensionnelle en convection forcée
5.4.4 Notion de similitude en convection forcée
Les expressions très synthétiques des nombres de Nusselt précédemment obtenues
sont généralisables à d'autres situations. Les problèmes considérés sont définis par:
• une géométrie, caractérisée au moins par une longueur de référence H (longueur L
de la plaque dans nos exemples) intervenant dans les expressions de Nui et Rei;
d'autres longueurs peuvent intervenir : x, iliamètre D, diamètre hydraulique Dh
(voir paragraphe 5.6.4), etc.
• des conditions aux limites thermiques et mécaniques (température ou flux imposé
sur la plaque, température amont du fluide ou température au loin ; vitesse nulle à
la paroi, vitesse amont du fluide ou vitesse au loin, etc.).
• un type d'écoulement, caractérisé par les valeurs du nombre de Reynolds.
• un type de fluide, caractérisé par la valeur du nombre de Prandtl; on distinguera
les fluides usuels dont le nombre de Prandtl est de l'ordre de 1, les métaux liquides
pour lesquels Pr vaut quelques 10- 2 et les huiles de nombre de Prandtl élevé.
Deux problèmes sont thermiquement semblables s'ils sont caractérisés par des géométries
semblables, des conditions aux limites adimensionnées identiques, la même
valeur du nombre de Reynolds et la même valeur du nombre de Prandtl. La valeur du
nombre de Nusselt est alors la même.
Dans ces conditions, les expressions du nombre de Nusselt sont du type :
Les expressions utilisées peuvent provenir :
Nu= C Rea Pr8. (5.88)
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- d'une modélisation ; la précision est alors liée à la connaissance des propriétés
thermophysiques du fluide (il, p, Cp, µ) et à la précision des méthodes mathématiques
et/ou numériques utilisées.
- d'une approche semi-théorique et semi-expérimentale, avec une certaine part
d'empirisme. La précision escomptée est alors de quelques pour cent.
On trouvera dans le Complément C un certain nombre d'expressions du type de
l'équation 5.88 correspondant à des écoulements par convection thermique forcée
dans différentes conditions. Ces expressions permettent d'accéder aux valeurs des
coefficients de transfert locaux ou globaux par les équations 5.69 et 5.74.
5.4.5 Transition entre régimes laminaire et turbulent
Dans ce paragraphe, les domaines associés aux régimes laminaire et turbulent sont
définis pour deux configurations géométriques particulières : écoulement parallèle
145

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
à une plaque plane d'une part, et écoulement au travers d'une conduite, plus précisément
d'un tube circulaire, en régimes mécanique et thermjque établis, c'est-àdire
suffisamment loin de l'entrée pour que l'écoulement ait perdu la mémoire de
ses conditions d'entrée (voir paragraphe 5.6.1). Pour d'autres configurations géométriques,
les résultats peuvent différer sensiblement de ceux donnés ici (voir Compléments
C. l et C.2).
Dans tous les cas, il n'existe pas de critère précis caractérisant la transition entre
un régime laminaire et un régime turbulent. Cette incertitude est due au fait que, pour
n'importe quel phénomène physique, 1' amorçage d'instabilités nécessite souvent des
conditions favorables très spécifiques et incontrôlables. Néanmoins, 1' objectif le plus
souvent recherché dans les applications industrielles est de produire de la turbulence,
par exemple au moyen de promoteurs de turbulence (rugosités de parois artificielles,
etc.) ou encore en faisant vibrer le dispositif. Un document de référence sur les caractéristiques
physiques de la transition entre écoulements laminaire et turbulent est
la référence [120].
En convection forcée externe, c'est-à-dire lorsqu'un fluide s'écoule le long d'une
structure, les champs de vitesse et de température dans le fluide sont perturbés par
les parois du fait des phénomènes de diffusion (viscosité et conduction thermique
respectivement). Ces régions proches de la paroi, où les champs de vitesse et de
température sont perturbés, s'appellent des couches limites. Ici, l'étude se limite au
cas d' une plaque plane; la distance de référence est alors la distance x depuis le bord
d'attaque, c'est-à-dire le premier point de la plaque rencontré par le fluide.
Les résultats importants qui suivent sont essentiellement issus d'expériences,
quelques-uns de simulations numériques, mais aucun n'a été tiré d'un modèle physique.
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• L'écoulement est laminaire, au voisinage de la plaque, depuis le bord d'attaque (en
x = 0) jusqu'à une certaine abscisse XIe ; un premier nombre de Reynolds critique
Rexlc est associé à XIe·
• Une zone de transition apparaît entre x 1 e et une seconde abscisse X2c ; un second
nombre de Reynolds critique Rex2c est associé à x2e· Les premières instabilités
apparaissent dans cette zone de transition et prennent de l'ampleur ; l'écoulement
est intermittent, tantôt laminaire tantôt instable.
• Au-delà de X2e apparaît un régime de turbulence développée. Un certain ordre
s'établit dans le chaos. Dans ce régime d'écoulement, les champs de vitesse
et de température présentent des structures bien définies, avec différentes souscouches,
dans n'importe quelle section d'abscisse x normale à la plaque (voir paragraphe
5.5.2 et, pour plus de détails, le paragraphe 9.2.3).
146

5.4. Analyse dimensionnelle en convection forcée
Les valeurs critiques Rex1c et Rex2c ne sont pas universelles. En effet, tout écoulement
réel présente une ce1taine intensité de turbulence 21 , et aucune plaque n'est parfaitement
lisse. De plus, la configuration géométrique réelle au bord d'attaque joue un rôle
important : par exemple, un bord d'attaque pointu génère de nombreux tourbillons.
Néanmoins, les résultats généraux qui suivent peuvent être considérés comme valides
:
• Même avec une forte intensité de turbulence initiale, l'écoulement est généralement
laminaire aux abscisses x telles que Rex < Re_tlc = 210 5 [120, 153].
• Pour Rex compris entre 210 5 et 610 5 , l'écoulement peut être laminaire, de transition
ou turbulent [120]. Dans des conditions de laboratoire extrêmes (surfaces parfaitement
lisses, pas de vibrations, intensité de turbulence initiale quasiment nulle),
ce1taines expériences ont montré des écoulements laminaires pour un nombre de
Reynolds local Rex allant jusqu'à 610 5 [120].
• De nombreux auteurs ont observé que, dans des conditions communes, le régime
de turbulence développée apparaît pour un nombre de Reynolds local Rex plus
grand que 5 à 610 5 [120]. En présence d'une intensité de turbulence initiale importante,
ce régime a été observé à des nombres de Reynolds locaux Rex situés
dans l'intervalle [3 10 5 ; 610 5 ].
En conclusion, dans une application faisant intervenir une plaque de faible rugosité et
une intensité de turbulence initiale typiquement inférieure à 0,01, seule une estimation
des résultats peut être faite avec les valeurs suivantes des nombres de Reynolds
critiques définis précédemment 22 :
Re,ûc = puox2c/µ = 5 10 5 (5.89)
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En convection forcée interne, le fluide s'écoule au travers d'une conduite ou d'une
structure. Nous nous limitons ici au cas d'un tube circulaire de diamètre 23 D et de
régimes mécanique et thermique établis (ces notions de régimes établis seront précisées
au paragraphe 5.6.1). Cet écoulement est caractérisé par un nombre de Reynolds
ReD défini par
Reo = puoD/µ (5.90)
21. L'intensité de turbulence est définie par le rapport de l'écart-type de la fluctuation de vitesse à la
v.itesse moyenne; voir paragraphe 5.5.2 .
22. Certains auteurs simplifient cette approche et considèrent que Je régime est laminaire jusqu'à 3 10 5
et turbulent au-delà de cette valeur; il s'agit là d'une manière pragmatique de tra.iter la zone de transition
très mal connue.
23. Dans le cas d'une conduite de section constante non circulaire, la longueur caractéristique utilisée est
le diamètre hydraulique D 1i (voir paragraphe 5.6.4) ; il s' agit du diamètre du tube circulaire équivalent
à la conduite considérée pour des écoulements turbulents.
147

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Comme précédemment dans le cas de la plaque plane, les résultats qui suivent sont
issus d'expériences et quelquefois de simulations numériques, mais n'ont aucune
justification théorique.
Le régime est toujours laminaire, partout dans le tube, pour [120]
ReD = puoD/ µ < 2300 (5.91)
Le régime peut être turbulent pour Re 0 > 2300 si les conditions sont favorables à
l'initiation d'instabilités turbulentes (vibrations de la conduite, rugosité de smface,
... ).Mais, dans le cas d'une conduite et de conditions opératoires bien maîtrisées (parois
lisses, pas de vibrations, utilisation d'un convergent à l'entrée de la conduite, intensité
de turbulence initiale très faible), l'écoulement peut encore être laminaire à des
valeurs de Re 0 allantjusqu'à 610 4 [120] ! Par conséquent, dans des conditions industrielles,
des promoteurs de turbulence sont couramment utilisés pour rendre l'écoulement
turbulent en régimes établis pour des nombres de Reynolds supérieurs à 2300.
Cependant, il est recommandé de dépasser sensiblement cette valeur pour être bien
sûr de la nature turbulente de l'écoulement.
5.5 CONVECTION FORCÉE EXTERNE
La convection forcée externe correspond à un écoulement le long d' une plaque plane,
ou plus généralement à l'extérieur d' une structure, à partir du bord d'attaque (en
x = 0) jusqu'au bord de fuite (en x = L) (voir figure 5.13).
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5.5. l Convection forcée externe laminaire
a) Couches limites mécanique et thermique
Les transferts d'énergie fluide-structure se font, dans le cas de géométries ouve1tes,
au travers de zones appelées couches limites qui se développent à partir du bord
d'attaque de la structure (en x = 0). Dans ces couches limites les champs de vitesse
et de température sont perturbés par rapport à une situation de référence (en amont et
au loin).
La couche limite mécanique est due au phénomène de diffusion de quantité de
mouvement par frottement visqueux; le champ de vitesse du fluide est pe1turbé par la
proximité de la paroi, où la vitesse s'annule, tandis qu'au loin l'écoulement n'est pas
perturbé. Plus précisément, la couche limite mécanique est la zone de fluide comprise
entre la paroi et le lieu des points, considérés sur des normales à la paroi, où la
vitesse est 0,99 fois la vitesse de l'écoulement non perturbé (figure 5.15).
La couche limite thermique est due au phénomène de diffusion d'enthalpie par
conduction : le champ de température du fluide est perturbé par la présence de la paroi,
qui est à une température différente. Plus précisément, la couche limite thermique
148

5.5. Convection forcée externe
est la zone de fluide comprise entre la paroi et le lieu des points dont les écarts de
température avec la paroi (T- T p), comptés sur les normales à la paroi, sont 0,99 fois
l'écart de température (T o - T P) entre la partie du fluide non perturbée et la paroi
(figure 5.15).
région non perturbée uo
couche limite
mécanique
) -1 !/ l'r.r T. j
région non perturbée To
6r1r(~J
Figure 5.1 5 - Couches limites en convection forcée externe. Par souci de clarté, les
couches limites mécaniques et thermiques sont représentées respectivement en haut et
en bas de la figure. Dans la réalité elles sont évidemment imbriquées. Les profils de
v itesse et de température adimensionnés ont été représentés, en des positions X; fixées,
en fonction de y.
On note Ôm(x) et ô 1 1i(x) les épaisseurs, comptées nmmalement à la paroi en x, des
couches limites mécanique et thermique. Ces épaisseurs peuvent être voisines ou différentes
suivant la valeur du nombre de Prandtl (Pr= v/a), comme il sera discuté ultérieurement.
L'expérience montre que, sauf au voisinage immédiat du bord d'attaque
x = 0, les épaisseurs de couches limites Ôm et Ôih sont petites devant x: Ôm, Ôrh « x.
On associe en mécanique des fluides des couches limites à de nombreuses autres
grandeurs physiques ; nous ne les utiliserons pas dans cet ouvrage.
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b) Résultats pratiques en régime laminaire pour une plaque
plane
Pour un écoulement de convection forcée externe laminaire, parallèle à une plaque
plane, le calcul des champs de vitesses et de température est mené à bien dans le
paragraphe 8.5. Il s'agit, en s'appuyant sur des connaissances de mécanique des
fluides, de résoudre les équations de bilan de masse globale (dite de continuité),
de quantité de mouvement (dite de Navier-Stokes) et d'énergie généralisant l'équation
5.30. Nous considérons uniquement dans ce paragraphe les résultats essentiels,
sous l'angle de la physique des phénomènes. Ils sont valides pour les fluides usuels
tels que Pr > 0,5 ; ils ne sont pas valides pour les métaux liquides, caractérisés par de
très faibles nombres de Prandtl.
149

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
L'épaisseur de la couche limite mécanique Ôm (x) est donnée par:
Tp uniforme ; Pr> 0,5 : Ôm (x) = 4,92 Re~l /2
X
(5.92)
Le nombre de Prandtl, rapport des diffusivités mécanique et thermique v/a, est directement
lié au rapport des épaisseurs locales des couches limites mécanique et thermique24
:
T P uniforme ; Pr > 0,5 :
Ôrh (x) = Pr-1/3
Ôm (x)
(5.93)
Pour les gaz usuels, le nombre de Prandtl est voisin de 0,7. Dans ces conditions
les couches limites sont en pratique confondues (ôrhlôm '.:::::'. 1,13). Pour des huiles
lourdes, Pr est très élevé : la couche limite thermique est beaucoup plus fine que la
couche limite mécanique : c'est aussi le cas de l'eau entre 0°C et 100°C mais dans
une bien moindre mesure (Pr compris entre l, 7 et 7). Pour des métaux liquides (Pr
de l' ordre de 10- 2 ) apparaît le phénomène contraire : la couche limite thermique
est plus épaisse, en théorie, que la couche limite mécanique, ce qui conduit à une
situation instable. En effet, l'existence d'un gradient de température en dehors de la
couche limite mécanique est susceptible de déclencher un phénomène de convection
naturelle dans cette partie de la couche limite thermique, conduisant en fait à un
écoulement de convection mixte.
Le nombre de Nusselt local Nux (x), dans le cas d'un fluide usuel, s'exprime en
fonction du coeffi cient de frottement CFx (x) et du nombre de Reynolds Rex par les
relations suivantes :
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Tp uniforme ; Pr > 0,5 Nux ( x ) - 21 CFx ( x ) Rex Pr
1/3
- 0 ,332 . Rex
1/2
Pr
1/3
(5.94)
À ce stade, il est important de souligner que les con-élations locales de convection externe
en régime laminaire telles que celle ci-dessus ne sont pas valables à proximité
immédiate du bord d'attaque. En effet, elles reposent sur un modèle de couches limites
qui suppose que les vitesses normales à la plaque sont petites devant les vitesses
axiales, ce qui n'est pas le cas au voisinage du bord d'attaque. Seule une résolution
numérique des équations de bilan de masse, de quantité de mouvement et d'énergie
permet de résoudre le problème du comportement de h (x) au voisinage de x = O.
Le nombre de Nusselt global NuL pour la totalité de la plaque se déduit de la
relation 5.84 :
Tp uniforme ; Pr > 0,5 N -LL Nux (x)d - 0 664 R 1/2 p 1/3
UL - x - , eL r
0 X
(5.95)
24. Il est prouvé au paragraphe 8.5. l que, pour un fluide de nombre de Prandtl égal à 1, les champs
adimensionnés de vitesse u+ et de température T + sont égaux.
150

5.5. Convection forcée externe
On remarquera les liens entre N ux (x), h (x) et l'épaisseur de la couche limite thermique
Ôth (x) :
Tp uniforme ; Pr > 0,5
X
Nux (x) = 1,63 ( )
Ôth X
il
h(x) = (5 96)
0,61 Ôth (x) ·
Dans le modèle simpliste développé au paragraphe 1.4.2, pour un écoulement turbulent
dans un canal, le coefficient de transfert est égal au rapport de la conductivité
thermique du fluide à une longueur caractéristique f Au vu de la relation 5.96, on
s'aperçoit que ce résultat est généralisable à un écoulement laminaire le long d' une
plaque et que cette longueur caractéristique ~ est égale à 0,61 Ôth (x).
c) Applications des résultats obtenus
La dépendance en x du coeffici ent de transfert sur une plaque plane, à pa1tir du bord
d'attaque, est extrêmement imp01tante dans de nombreuses applications. On obtient :
Tp uniforme; Pr > 0,5 : h(x) = Nux; x)il = 0,332 Pr 1 1 3 ( u: ) 112 il x- 1 1 2 (5.97)
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soit un comportement théorique en x- 1 1 2 au voisinage du bord d'attaque (x = 0) et
dans toute la partie de la couche limite où l'écoulement reste laminaire (Rex < 210 5 ).
En toute rigueur, en x = 0, les hypothèses du modèle utilisé ne sont plus vérifiées
(voir Chapitre 8) mais elles le redeviennent pour une valeur de x faible; h(x) prend effectivement
des valeurs extrêmement élevées dans cette zone. On a donc intérêt dans
une réalisation industrielle à multiplier les effets de bords d'attaque (figure 5.16) si
on souhaite augmenter le flux transféré. La distance l entre les plaques et la longueur
L de ces plaques doivent être optimisées : l doit être suffisamment faible pour que la
diminution de surface d'échange qui résulte de ce dispositif ne l'emporte pas sur le
gain résultant de l' augmentation de h(x) ; inversement, il est intuitif que pour que l' effet
de bord d'attaque soit important, il faut que les conditions de l'écoulement amont
(à la température près) soient grossièrement rétablies au début de la plaque suivante.
Les réalisations technologiques s'appuyant sur ce principe sont très diverses ( décollement
de couche limite par inclinaison de bord de fuite, macrorugosité, aiguilles,
etc.) et n'entrent pas dans les objectifs de cet ouvrage. À titre d'exemple, le refroidissement
des parois d'une chambre de combustion ou de celles d'une aube de turbine
dans un moteur d'avion repose notamment sur la multiplication d'effets de ce genre.
5.5.2 Convection forcée externe turbulente
Dans les modèles simples de turbulence appliqués à un fluide de masse volumique
p supposée uniforme, les champs spatio-temporels de vitesse et de température sont
1 51

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
uo ______ _
.<::: ____:
écoulement amon~t---- :
L
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écou/ement amont
l
.
1 ---',
1
l
l
____,
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Figure 5.16 - Réseau de plaques espacées.
considérés somme résultant de la superposition de leurs champs moyens, v et f respectivement,
et des champs de leurs fluctuations v' et T' :
v = v + v' T = f + T' T' = 0 (5.98)
Les grandeurs moyennes correspondent à des moyennes temporelles sur des durées
grandes devant les périodes caractéristiques des fluctuations turbulentes. Cette approche,
appelée prise de moyenne de Reynolds, permet la détermination des champs
moyens de vitesse et de température dans des cas simples. Les difficultés principales
de tout modèle de turbulence proviennent des termes moyens de convection de quantité
de mouvement, par exemple p uv où u et v sont deux composantes du champ v, et
de convection d'enthalpie, par exemple pep uT . En effet, on démontre que les valeurs
moyennes de ces termes de convection dépendent non seulement des champs moyens
-- --
mais aussi de termes de c01Télation du type u'v' et u'T' :
uv = u v + u'v' uT = u f + u'T' (5.99)
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Le problème de base est de déterminer les termes du type pu' v' et pc P u'T' , lesquels
dépendent des lois statistiques très mal connues de la turbulence. Ces termes portent
de fortes non-linéarités associées au transport turbulent 25 , lequel est le phénomène
prédominant au cœur d'un écoulement turbulent.
Les fluctuations mécaniques et thermiques sont caractérisées par l'énergie cinétique
turbulente par unité de masse k = u' 2 + v' 2 + w' 2 /2 d'une part, et par la variance
des fluctuations de température e = T' 2 d'autre part, et aussi couramment par
les intensités de turbulence mécanique et thermique
où V est le module de la vitesse v et T o est une température de référence.
(5.100)
25. Le terme pu' u' peut être interprété comme étant le transport de fluctuation de quantité de mouvement
par unité de volume dans la direction x pu' corrélé par la fluctuation de vitesse dans la direction yu'.
De même, pc,, u'T' peut être interprété comme étant le transport de fluctuation d'enthalpie volumique
pcpT' corrélé par la flucluation de vitesse dans la direction x u' .
152

5.5. Convection forcée externe
a) Notions qualitatives sur la turbulence pariétale
Considérons l'écoulement, le long d'une plaque plane supposée ici parfaitement lisse,
d'un fluide caractérisé, en amont et au loin, par une vitesse parallèle à la plaque uo
et une température To. Il se développe, à partir du bord d'attaque (x = 0), deux
couches limites laminaires mécanique et ther.mique (paragraphe 5.5.1 et figure 5.17).
Ce régime laminaire se maintient jusqu'à une distance x 1 c, associée à un nombre de
Reynolds critique Rexi c d'environ 210 5 .
À partir de cette distance, apparaît un régime intermittent d'écoulement turbulent:
des tourbillons se créent dans cette zone, puis disparaissent ; d'autres apparaissent.
Au-delà d'une distance X2c au bord d'attaque, associée à une valeur du nombre de
Reynolds Rex 2 c de l'ordre de 5 1.0 5 , la turbulence se maintient en permanence: c' est
la turbulence développée. Dans la zone de turbulence développée, il est possible de
couches limites
laminaire :
zone de
transi tio11
-::---
4
{interniillente) c
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couche limite
,( 111rbulente
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~ (statistique)
~ turbulence développée
sous couche visqueuse
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Figure 5.1 7 - Structure d'un écoulement sur une plaque.
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définir, en moyenne temporelle sur une durée !:lt grande par rapport aux périodes des
tourbillons, une couche limite turbulente d' épaisseur ô. La frontière, définie statistiquement,
de cette couche est néanmoins traversée périodiquement par des tourbillons
dont la taille caractéristique est de l'ordre de ô (figure 5 .17).
Si on observe le champ d'indice optique associé au fluide en écoulement par une
technique optique (strioscopie, interférométrie .. . ), donc en pratique le champ de température
pour un fluide homogène quasi-isobare, on constate au voisinage immédiat
de la paroi la présence de franges représentant des isothermes très resserrées et parallèles
à cette paroi. Dans cette sous-couche, qualifiée de conductive, il existe certes
des structures tourbillonnaires convectant des fluctuations d'enthalpie, mais le transfert
dominant est conductif. De la même façon, au voisinage immédiat de la plaque,
le champ de vitesse est en pratique parallèle à la paroi, comme dans un écoulement
laminaire: c'est la sous-couche visqueuse. Les sous-couches visqueuse et conductive
jouent un rôle déterminant puisque c'est dans celles-ci qu'est calculé le flux conductif
à la paroi, donc le coefficient de transfert.
La production de turbulence lors de l'interaction entre un fluide non réactif et
une paroi lisse est due principalement au cisaillement visqueux dans la zone fluide
153

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
immédiatement au contact de la sous-couche visqueuse 26 , appelée zone de production
de turbulence. Les structures ainsi engendrées ont, en général, des tailles importantes,
typiquement de l'ordre de l'épaisseur ô de la couche limite. Ces tourbillons de
grandes tailles, ou structures énergétiques, dégénèrent dans une cascade énergétique
en tourbillons de tailles de plus en plus petites, mais de vitesses angulaires de plus en
plus élevées, structures dissipatives. On verra, dans le Chapitre 9, que cette dégénérescence
globale est due aux termes non-linéaires de convection dans les équations de
bilan qui permettent d'augmenter les nombres d'onde des tourbillons, donc de diminuer
leurs tailles. La dissipation d'énergie cinétique turbulente se fait, sous forme de
chaleur, par viscosité moléculaire, très majoritairement sur les tourbillons de petites
tailles. Cette dissipation est également maximale dans la zone de production.
Un autre effet de la turbulence est d'homogénéiser, au cœur de l'écoulement, les
champs de vitesse et de température moyennés, par exemple sur une durée ~t grande
devant les périodes caractéristiques des tourbillons. Corrélativement, les gradients de
ces mêmes champs sont augmentés aux voisinages des parois par rapport au cas d' un
écoulement laminaire. Les transferts, en particulier thermiques, sont donc augmentés
à la paroi.
b) Résultats pratiques en convection forcée externe
turbulente
L'expression du nombre de Nusselt Nux (x) pour un écoulement turbulent le long
d' une plaque plane s'obtient, comme en régime laminaire, par la résolution des équations
de bilan couplées de masse, de quantité de mouvement et d'énergi e. Nous nous
plaçons ici dans la zone de turbulence développée (Rex > Rex2c). L'épaisseur de
la couche limite turbulente ô (x), définie statistiquement, est donnée par (voir par
exemple la référence [23]) :
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ô(x) = 0,37 Re~ I/ 5 (5.101)
X
Il s'ensuit que ô (x) est proportionnel à x 4 1 5 . Pour une plaque plane lisse et dans la
zone de turbulence développée, on trouve les corrélations suivantes :
Pr> 0,5 Nux (x) = ~ C Fx (x) Rex Pr 1 1 3 = 0,0296 Re~ 5 Pr 1 1 3 (5.102)
Pr> 0,5 : NuL = hL/À = Pr 1 / 3 [0,664 Re~ 12 + 0,037 (Re~ 5 - Re~ 15 )] (5.103)
26. Dans cette région le gradient de vitesse est très important. On peut donner un argument si mple pour
expliquer le phénomène; un élément au voisinage de la paroi est soumis, dans un référentiel entraîné à
la vitesse du champ moyen, à un couple résultant de deux forces (contraintes) de sens opposés, l'une
freinant cet élément (du côté de la paroi), l'autre l'accélérant (du côté du coeur de l'écoulement) : il
en résulte l'apparition d'un tourbillon superposé au champ moyen, qui tend à partir de la paroi vers
l'arrière de l'écoulement. Une justification plus précise est donnée dans Je paragraphe 9.1.
154

5.5. Convection forcée externe
Dans l'équation 5.103, le tenue 0,664 Re~ 12 rend compte de l'écoulement laminaire
jusqu'à la valeur du nombre de Reynolds critique Rec, à choisir en cohérence avec la
discussion du paragraphe 5.4.5.
On constate en pratique que :
- le coefficient de transfert h(x) décroît en x- 1 1 2 en régime laminaire et en x- 1 1 5
en régime turbulent ;
- les valeurs des nombres de N usselt, donc de h, croissent très sensiblement dans
la zone de transition entre régimes laminaire et turbulent (voir figure 5.18).
Une question pratique est de savoir si, pour augmenter le transfert d'énergie,
on a intérêt à se placer dans les conditions d'un écoulement turbulent sur une
plaque plane ou, au contraire, à multiplier les effets de bord d'attaque observés
en x = 0 en régime laminaire (h(x) ~ oo ). La réponse dépend des conditions
d'utilisation.
1,\ régime régime turbulent
laminaire
___.. -'J,5
X -'U
transition
0
xç
..
X
Figure 5.18 - Évolutions de h(x) depuis le bord d'attaque.
X,.'
5.5.3 Exercice d'application
( Exercice 5.2 Refroidissement d'une plaque
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Énoncé
On considère une plaque plane de 2 m de long, à T P = 1OO °C, que 1 'on souhaite
refroidir en faisant circuler de l'air à la vitesse v = 5 m/s et à la température Ta =
20 °C parallèlement à la plaque.
À quel endroit le refroidissement est-il le plus efficace ?
Solution
Il s'agit de calculer le coefficient de transfert conducto-convectif h (x), en convection forcée
externe le long de la plaque (selon Ox). On pourra par exemple comparer la valeur
numérique de h proche du bord d 'attaque (en x = 1 cm) et au début du régime turbulent
(en x = x2c). La démarche consiste à déterminer .le régime d'écou.lement puis à calculer
le nombre de Nusselt local Nux (x) à partir de la con-élation adéquate. Le coefficient de
transfert est ensuite déduit de la relation h (x) x/ À.
155

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Le régime de l'écoulementest déterminé par le nombre de Reynolds Rex = vx/v. La viscosité
de l'air v est p1ise à la température de film Tfilm = 333 K: v = 1,9210- s m 2 /s. Au voisinage
du bord d 'attaque (en x = 1 cm), Rex = 2603 : le régime est laminaire. Le nombre
de Prandtl de 1' air à Tfilm vaut 0,702; on peut donc appliquer la corrélation 5.94 Nux (x) =
0,332 Re~ 2 Pr 113 . Le calcul donne Nux (x) = 15,06. Or Nux (x) = h (x) x/À, expression
dans laquelle À est la conductivité thermique de l'air à Tiilm et vaut À= 2,87 10- 2 W/m/K.
On en déduit finalement h (x) = Nux (x) ;ijx = 43,3 W/m 2 /K.
L'écoulement devient turbulent (turbulence pleinement développée) en x = x2c =
5 1 os v/v, soit x = 1,92 m. La con-élation à appliquer est à présent la formule 5 .102
Nux (x) = 0,0296 Reys Pr 1 /3, ce qui donne Nux (x) = 953 ,5 puis finalement h (x) =
14,3 W/m 2 /K.
On en déduit que le refroidissement est très efficace à proximité du bord d'attaque mais
peu uniforme (voir figure 5.18). )
5.6 CONVECTION FORCÉE INTERNE
La convection interne est associée à un écoulement entre des plaques parallèles, dans
des conduites de section circulaire, rectangulaire, hexagonale, . . . et, plus généralement,
dans des canaux. Une définition précise sera donnée au paragraphe 5.6.l.b).
Cette pa1tie se limite à des cas de convection interne dans des conduites de section
constante en régime stationnaire ; les écoulements laminaires sont traités au paragraphe
5.6. l et les écoulements turbulents au paragraphe 5.6.2.
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5.6.1 Convection forcée interne laminaire
a) Structure des champs dans une conduite
Dans le cas d'un écoulement forcé le long d'une plaque, il a été établi dans le paragraphe
précédent qu'on retrouve sur une normale à la paroi, à une certaine distance de
celle-ci, les conditions de l'écoulement non perturbé (mêmes profils de vitesse et de
température). Ceci n'est plus vrai pour le champ de vitesse dès l'entrée de la conduite,
dans un cas de convection interne. En effet, comme le débit de masse est conservé
dans toute section droite du tube et que la vitesse du fluide diminue au voisinage des
parois du fait des frottements visqueux, la vitesse augmente au voisinage de l'axe.
Dans cette zone voisine de l'axe, les effets visqueux sont faibles et le profil de vitesse
garde une valeur Umax(x) indépendante des coordonnées transverses mais fortement
dépendante de x (écoulement localement en bloc); cette valeur Umax(x) croît avec x
quand on s'éloigne de l'entrée (figure 5.19).
Par contre, la température conserve, au voisinage de l'axe, sur une certaine distance
à partir de l'entrée, la valeur uniforme T o qu'elle avait dans l'écoulement amont.
Mais la notion de température a peu d'intérêt physique dans ce type d'écoulement et
il conviendra de raisonner en terme d'écart de température avec la paroi, et même de
156

5.6. Convection forcée interne
Couches limites mécaniques
u(y)
X
Figure 5.19 - Couches limites mécaniques en régime laminaire.
température adimensionnée r+, qui sera introduite dans le paragraphe 5.6.1 c). Si le
flux imposé à la paroi du tube est constant, la température de paroi Tp(x) varie en x
dès l'entrée, et l'écart entre la température locale et la température de paroi varie en
x dès l'entrée, comme la vitesse.
Il ressort des remarques précédentes que les couches limites dans les zones d'entrée
ont des définitions différentes de celles du paragraphe 5.5. l.
• La couche limite mécanique est comprise entre la paroi et le lieu des points où la vitesse
est égale à 0,99 fois la vitesse maximale dans une section droite (figure 5.19).
• La couche limite thermique est comprise entre la paroi et le lieu des points où
l'écart entre la température et celle de la paroi est égal à 0,99 fois l'écart entre la
température extrême dans une section droite et celle de la paroi (figure 5.20).
Couches limites thermiques
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Figure 5.20 - Couches limites thermiques en régime laminaire.
6m(x) et Ôrh(x) sont les épaisseurs des couches limites mécanique et thermique. Au
bout d'une certaine longueur L;P dite longueur d'entrée mécanique, les couches limites
mécaniques se rejoignent (figure 5.19). De même, au bout d' une longueur L~h '
dite longueur d'entrée thermique, les couches limites thermiques se rejoignent (figure
5.20). Au delà, sous certaines conditions, c'est la zone de régime établi (voir
paragraphe 5.6.1 c).
157

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
b) Limitations du modèle précédent
• Dans certaines applications, un tube de grand diamètre D mais de faible longueur
L doit être considéré comme une géométrie ouverte ; en effet, en sortie,
les épaisseurs de couches limites <5m(L) et Ôrh(L) peuvent être très inférieures à
D : le formalisme de la plaque plane est alors justifié dans la mesure où Ôm et
Ôrh restent faibles devant le rayon de courbure de la géométrie considérée et la
dimension caractéristique transverse.
La convection n'est de type interne que si les épaisseurs des couches limites
ne sont pas très petites devant une dimension transverse caractéristique de la
conduite.
• Dans un circuit fermé sans changement brutal de géométrie, il n'apparaît pas
de phénomène d'entrée.
c) Régimes mécanique et thermique établis
En régime stationnaire, sous les deux hypothèses adoptées dans la suite :
>- Hypothèse H 1 : les géométries considérées sont de section constante,
>- Hypothèse H2 : les propriétés thermophysiques des fluides (p, tl, µ, Cp· ··> sont
uniformes,
on obtient, au delà d' une certaine distance de l'entrée, des régimes établis, tels que
les profils de certaines grandeurs physiques sont invariants en x.
Le régime mécanique établi est caractérisé par :
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au+
- = 0 avec
ox
Um est la vitesse de débit et a pour expression :
+ u
u =-
Um
(5.104)
(5.105)
où m désigne le débit massique de l'écoulement et J; la section de la conduite.
On définit une température locale adimensionnée T + en prenant comme référence
l'écart entre la température de paroi Tµ(x) et la température de mélange du fluide
dans la section droite x, notée T m(x) (paragraphe 5.3.2 a)) :
+ T(x,y,z) - Tµ(x)
T (x, y , z) = Tm(x) - Tp(x)
(5.106)
158

5.6. Convection forcée interne
Il est établi dans le paragraphe 8.7.2 qu'un régime thermique établi est caractérisé
par:
ar+
-=0
ox
(5.107)
Finalement, à partir de l'entrée d'une conduite, trois régions sont associées à trois
types de régimes mécanique et thermique:
• Les régions très proches de l'entrée, où les régimes mécanique et thermique sont
identiques à ceux au voisinage du bord d'attaque d'une plaque plane,
• Les régions intermédiaires, de longueurs L~ 1 et L~h' correspondant à l'établissement
des régimes mécanique et thermique,
• Les régions très éloignées des zones d'entrée de longueurs L;n et L~h' où les régimes
mécanique et the1mique sont établis.
d) Résultats en régime laminaire pour un tube circulaire
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Les conditions associées à la transition entre les régimes laminaire et turbulent dans
un tube circulaire de diamètre D sont discutées au paragraphe 5.4.5.
Le nombre de Nusselt local NuD (x) prend une valeur importante en x = 0, comme
pour une plaque plane, puis décroît continûment jusqu'à la valeur asymptotique
NuD obtenue lorsque les régimes mécanique et thermique sont établis (voir Complément
C.2). Cette valeur asymptotique est une constante : elle est indépendante du
nombre de Reynolds. Selon le type de condition limite imposée aux parois du tube,
NuD vaut:
condition de flux imposé : NuD = 46/11 = 4,364
condition de température imposée : NuD = 3,657
(5.108)
Ces derniers résultats diffèrent fortement de ceux relatifs à un écoulement laminaire
sur une plaque plane, pour lesquels il n'y a pas de valeur asymptotique mais une
transition vers la turbulence pour les grandes valeurs de Rex, comme il a été vu au
paragraphe 5.5.2.
Des résultats précis sont donnés au Complément C.2 pour un tube, et quelques
références pour d'autres configurations géométriques. Pour un écoulement laminaire,
ces résultats dépendent fortement :
• du type de condition limite (température imposée ou flux imposé aux parois, par
exemple);
• de la superposition ou non des zones d'établissement des régimes mécanique et
thermique.
159

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
5.6.2 Convection forcée interne turbulente
a) Écoulement dans un tube
Considérons un tube ouvert à l'entrée (x = 0) et un écoulement amont caractérisé
par une vitesse uo parallèle au tube et une température To unifonnes. Il se développe
d'abord, à partir de x = 0, des couches limites mécanique et thermique laminaires
le long de la paroi (voir précédemment). Cependant, au bout d'une certaine longueur
x 1 dépendant de la valeur de uo/v, ces fines couches limites laminaires deviennent
turbulentes, au moins de façon intermittente, et s'épaississent brusquement jusqu'à
occuper toute la conduite pour la valeur Xe de la distance au bord d'attaque, longueur
d'entrée. C'est l'établissement de régime turbulent. Des expressions des longueurs
d'entrée et des champs relatives à cet établissement de régime turbulent sont présentées
dans le Complément C.2. Les longueurs d'établissement en régime turbulent
(de l'ordre de 60D) sont beaucoup plus courtes que celles correspondant au régime
laminaire. Au-delà de Xe, on trouve un régime dit de turbulence établie dans le tube
(figure 5.21).
Établiss
Xr Xe
Transition
Turbulence
établie
Figure 5.21 - Structure d'un écoulement turbulent dans un tube.
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Une fois le régime d'écoulement établi dans un tube de section constante, la structure
d'écoulement est tout-à-fait comparable à celle observée en turbulence développée
le long d'une plaque plane (figure 5.22): présence de sous-couches visqueuse et
conductive, production maximale d'énergie cinétique turbulente principalement sous
forme de tourbillons de taille typique D au voisinage de ces sous-couches, dissipation
de ces tourbillons par les mêmes phénomènes que précédemment. Les champs
moyens sont également presque uniformes au cœur de l'écoulement et les gradients
pariétaux importants.
--· u ·--........ ·c·; ·a ·-Sous couches visq11e11m
-- ·--. ~r
~- . c.~ ... ..................... ~ ... :l~:::,:·pce établie
Figure 5.22 - Régime turbulent établi.
160

5.6. Convection forcée interne
Le critère de transition vers un régime turbulent, qui est complètement développé
au bout d'une distance d'approximativement 60 D de l'entrée du tube, est discuté au
paragraphe 5.4.5.
b) Cas de parois 1 isses
On considère un tube circulaire de diamètre D avec des parois lisses, c'est-à-dire dont
la rugosité est plus petite que les épaisseurs des sous-couches visqueuse et conductive.
Le nombre de Reynolds ReD est défini sur la base de la vitesse de débit um :
(5.109)
Le nombre de N usselt N uD est propo1tionnel au coefficient de frottement CF D (parfois
également noté f) et est donné par [38] :
0,7 <Pr< 160 et L/D > 60
hD 1
CF D ReD Pra = 0,023 Re~5 Pra
NuD = T =
2
(5.110)
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où la valeur de a dépend de la configuration thermique (parois du tube chaudes ou
froides) : voir Complément C.2.
Contrairement au cas précédent de l'écoulement laminaire, le nombre de Nusselt
dépend fortement du nombre de Reynolds pour un écoulement turbulent. Les
grandeurs thermophysiques du fluide doivent être prises à la température de film
( T P + Tm) /2, moyenne de la température des parois du tube et de la température de
mélange du fluide. En général, les conditions thermiques aux parois (flux imposé ou
température imposée, etc.) n'ont pas d'impact sur l'expression du nombre de Nusselt
en écoulement turbulent, contrairement au cas de l'écoulement laminaire.
c) Cas de parois rugueuses
Dans la plupart des applications, les parois d'un tube circulaire de diamètre D présentent
une rugosité absolue~' exprimée en ~Lm ou mm, et par conséquent une rugosité
relative définie par le rapport ~ / D. En régime turbulent complètement établi, le
coefficient de frottement CF D (ou f) est multiplié par 3 pour~ /D = 10- 2 et par 6
pour~ /D = 510- 2 , selon les abaques de Nikuradze et Moody [98] exprimées ensuite
au moyen d'une équation analytique par Churchill (voir Complément C.2). Il s'agit
donc là d'un phénomène important qui doit être pris en compte dans beaucoup d'applications
pratiques. En effet, l'équation 5.110 indique que le nombre de Nusselt est
multiplié dans les mêmes proportions que le coefficient de frottement.
161

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
d) Prise en compte des variations de la viscosité
La variation de la viscosité en fonction de la température est importante pour les gaz
(par exemple les gaz de combustion soumis à de forts gradients thermiques) mais
aussi pour les liquides : ainsi l'eau voit sa viscosité dynamique µ divisée par 4 entre
7 °C et 80 °C. À partir de diverses expériences réalisées sur des conduites, Sieder et
Tate [127] ont proposé une corrélation prenant en compte la dépendance deµ avec la
température. L'équation 5.110 devient:
(5.111)
où µm. et µP sont les viscosités dynamiques à la température de mélange du fluide et
à la température des parois respectivement (la température de film n'intervient donc
pas dans ce rapport µm/µp). Whitaker [153] conseille d'appliquer cette correction
pour tout écoulement turbulent et dans toute configuration géométrique.
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5.6.3 Comparaison entre les transferts turbulents le long
d'une plaque et dans un tube
a) Écoulement laminaire
En écoulement laminaire le long d'une plaque plane (convection forcée externe laminaire),
la vitesse et la température en une abscisse x donnée depuis le bord d'attaque
varient dans toute l'épaisseur des couches limites. De même, en écoulement
laminaire complètement développé dans un tube de diamètre D (convection forcée
interne laminaire), la vitesse et la température varient sur toute la section du tube. Par
conséquent, les échelles de longueur caractérisant les variations des profils de vitesse
et de température sont :
• Dans le premier cas, les épaisseurs Ôm (x) et Ôrh (x) des couches limites mécanique
et thermique,
• Dans le second cas, le diamètre du tube D.
Considérons à présent les expressions du coefficient de transfert associées à ces deux
cas:
• En convection forcée externe laminaire, l'équation 5.96 donne
h (x) = 1,63 À/Ôth (x) (5.112)
• En convection forcée interne laminaire, dans un tube circulaire, l'équation 5 .108
donne en tout point où le régime est complètement établi :
flux imposé aux parois :
température imposée aux parois :
h = Nu 0 À/D = 4,364 À/D
h = Nu 0 il/D = 3,657 il/D
(5.113)
(5.114)
162

5.6. Convection forcée interne
Dans les deux cas, le coefficient de transfe1t apparaît comme étant le rapport de
la conductivité the1mique du fluide À. à l'échelle spatiale associée aux variations
" .
du champ de température : Ôrh (x)/1,63 en convection forcée externe, D/4,364 ou
D/3,657 en convection forcée interne. Ôm (x) et Ôrh (x) apparaissent dès lors comme
étant les véritables échelles spatiales caractérisant la viscosité et la conduction thermique
à la paroi d' une plaque plane. Elles sont plus pertinentes que x, qui ne fait que
décrire la direction axiale.
b) Transition entre régimes laminaire et turbulent
Les valeurs typiques du nombre de Reynolds critique caractérisant la fin du régime
laminaire le long d' une plaque (Rexic = 210 5 ) et dans un tube en régime complètement
établi (Rev = 2300) ont été cliscutées au paragraphe 5.4.5. Ces deux valeurs
diffèrent sensiblement l' une de l'autre, mais sont reliées à deux échelles spatiales
différentes : l'abscisse x pour la première, le diamètre D pour la seconde.
Suivant les conclusions du paragraphe 5.6.3 a), un autre nombre de Reynolds en
convection forcée externe laminaire peut être construit en remplaçant la longueur de
référence x par Ôm (x) de la manière suivante :
Reo,,.(x) = Rex
Ôm (x) 1/2
X
= 4,92 Rex
(5.115)
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où le rapport Ôm (x) /x a été remplacé par son expression 5.92. Avec ce nombre de
Reynolds transverse, la fin du régime laminaire, associée au critère Rexlc = 210 5 , est
à présent caractérisée par le critère Reo,,,(xlc) = 2200. Ce résultat correspond à celui
associé à la fin du régime laminaire dans un tube.
La théorie est donc cohérente, mais elle manque d'explication physique sur la valeur
de ce critère unifié, issu uniquement d'expériences ou de simulations numériques.
c) Écoulement turbulent
En régime turbulent, que ce soit en convection forcée externe (le long d'une plaque
dans la zone de turbulence développée) ou interne (dans un tube en régime complètement
établi), les effets des phénomènes de diffusion (viscosité et conduction thermique)
ne sont pas totalement négligeables dans des zones au contact des parois et
d'épaisseurs faibles par rappo1t aux épaisseurs ô ( x) des couches limites turbulentes
ou au diamètre D du tube. Une analyse plus détaillée de ces zones, appelées zones
internes mécanique et thermique, est donnée au paragraphe 9.2.3.
Au cœur de l'écoulement, les profils de vitesse et de température ont des allures
similaires. Un profi l universel de vitesse souvent cité, et tracé à la figure 5.23, est
163

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
1
0 1
y/R
Figure 5.23 - Profil de vitesse turbulente, Re 0 = 10 6 , de Nikuradze, cité par
Schlichting [ 120).
exprimé par :
u/ Umax = (y/ R) l /n avec n = 3 Re~ 08 (5.1 16)
où y et R sont la distance à la paroi du tube et son rayon. Les zones internes mécanique
et thermique correspondent grossièrement à: y/ R < 0, l. Ici nous nous bornons
à considérer que ces sous-couches sont des pellicules d'épaisseur unifo1me le long
du périmètre mouillé d' une section du tube ou le long de la couche limite. Dans une
section, les variations des champs moyens de vitesse et de température ne se produisent
que dans ces sous-couches ; par conséquent, le coefficient de frottement et le
nombre de Nusselt ne dépendent que des conditions mécaniques et thermiques dans
ces sous-couches. De plus, les résultats concernant le coefficient de transfert pour
une plaque plane (équation 5.102) et un tube (équation 5.110) sont très semblables,
contrairement au cas de l'écoulement laminaire :
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h (x) = Nux (x) il.lx= 0,0296 Re~ 5 Pr 1 3 il./x = 0,0296 Pr 1 3 : (5.117)
(v/uo) 15 xl/5
il
h = Nuv il.ID= 0,023 Re~ 5 Pra il.ID= 0,023 Pra
(v/um)
415 Dl/5
(5.118)
Les longueurs caractéristiques (v/uo) 4 1 5 x 1 1 5 et (v/um) 4 1 5 D 1 1 5 apparaissant dans les
deux expressions ci-dessus font intervenir d'autres longueurs caractéristiques : v / uo
et v / um respectivement. Ces quantités peuvent être interprétées comme étant la longueur
l telle que l'échelle temporelle de convection l/uo (respectivement l/um) est
égale à l'échelle temporelle de diffusion de quantité de mouvement t2 /v. L'échelle
spatiale v/uo (v/um) caractérise l'écoulement turbulent au voisinage de la paroi; dans
cette zone, l'écoulement est caractérisé par un nombre de Reynolds 27 Re = uoy/v
27. En réalité, la vitesse de référence dans le nombre de Reynolds est une vitesse de frottement u* : voir
paragraphe 9.2. l.
164

5.6. Convection forcée interne
(umy/v) qui n'est autre que la distance à la paroi y rapportée à cette échelle spatiale
v/uo (v/um).
5.6.4 Autres écoulements internes; notion de diamètre
hydraulique
En régime turbulent uniquement, différents résultats (longueur d'entrée, longueur
d'établissement, coefficient de frottement, nombre de Nusselt, etc.) obtenus dans des
tubes de section circulaire avec un ensemble de conditions aux limites (mécaniques
et thermiques) peuvent être généralisés, avec une précision raisonnable, à des géométries
différentes mais pas trop éloignées, pourvu que les conditions aux limites soient
de même type. L'idée de base consiste à prendre comme référence un tube de section
circulaire et de diamètre D et de définir, pour une autre géométrie, un tube équivalent
caractérisé par un diamètre équivalent, classiquement appelé diamètre hydraulique
et noté Dh. Soient, par exemple, des conduites cylindriques dont les sections droites
sont caractérisées par les géométries de la figure 5.24 :
Figure 5.24 - Géométries exploitables avec le diamètre hydraulique Dh.
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On les caractérise par :
• Le périmètre mouillé par le fluide d'une part. Cette grandeur, notée P,n. vaut par
exemple n (D 1 + D 2 ) pour les deux dernières sections de la figure 5.24;
• La section de passage ouverte au fluide d'autre part. Cette grandeur, notée I, vaut
n ( Dâ - Df) / 4 pour ces deux mêmes sections.
Le diamètre d'un tube équivalent est une longueur caractéristique, proportionnelle à
I/P m· Par convention, on adopte comme définition du diamètre hydraulique :
(5.119)
expression qui conduit à retrouver D dans le cas d'un tube circulaire (d'où le coefficient
4). Pour deux plans parallèles infinis distants de e, on obtient: I = ed, Pm = 2d,
ce qui conduit à la valeur D1i = 2e. Dans le cas d'un espace annulaire caractérisé par
les diamètres D1 et D2, I = 7f (D~ - Di)/4 et Pm= 7f (D1 + D2), donc D1i = D1 -Di.
Pour un canal de section non circulaire, le diamètre hydraulique Dh = 41: / P 111 est
donc, en convection forcée interne turbulente et en régime complètement établi, le
diamètre du tube circulaire équivalent du point de vue des valeurs du coefficient de
frottement et du coefficient de transfert conducto-convectif. On pourra donc évaluer
165

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
ce dernier coefficient en remplaçant D par Dh dans les corrélations vues précédemment.
La notion de diamètre hydraulique n'a d'intérêt qu'en régime turbulent. En effet, il
est montré dans le paragraphe 9.2.3 que, dans ce type de régime, les variations de la
vitesse moyenne u et de la température moyenne T ont lieu essentiellement dans les
zones dites internes (mécanique et the1mique), de faible extension et voisines de la
paroi, typiquement d'épaisseur TJ inférieure à R/10 pour un tube à section circulaire.
Aussi la notion de périmètre mouillé est-elle directement associée à l'extension de
ces zones internes, caractérisées schématiquement par une section de passage égale à
TJPm. Inversement, la section E offerte au fluide est constituée essentiellement par la
zone dite externe (cœur de l'écoulement turbulent).
On conçoit, dans ces conditions, que les expressions du nombre de Nusselt dépendent,
à diamètre hydraulique égal, assez peu de la géométrie considérée mais surtout
du rappo1t E/ Pm. En régime laminaire au contraire, les variations de température
et de vitesse sont appréciables dans toute la section du tube, et non plus seulement au
voisinage immédiat des parois. Aussi les résultats dépendent-ils, à diamètre hydraulique
donné, beaucoup plus de la géométrie considérée.
5.6.5 Exercice d'application
( Exercice 5.3 Écoulement dans un tube
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Énoncé
On considère un écoulement complètement établi, de débit massique m = 1 kg/s,
au travers d'un tube circulaire de diamètre D = 10 cm et de longueur L = 5 m. La
température de la paroi du tube T P est imposée. L'étude se limite à un endroit du tube
où la température de mélange du fluide est Tm.
Comparer les coefficients de transfert conducto-convectif lorsque le fluide est de
l'eau liquide, de l'air et de l'hélium (Tp = 20 °C et Tm = 100 °C), et du sodium
liquide (T P = 220 ° C et Tm = 300 ° C), a) pour des parois lisses, b) pour des parois
rugueuses : s = 400 ~tm.
Solution
a) Parois lisses : il s'agit d'un écoulement de convection forcée interne dans un tube circulaire.
Le nombre de Reynolds Reo a pour expression Reo = pumD / µ où um, vitesse de
débit, est telle que m = pumnD 2 /4; par conséquent, Reo = 4m/ (nµD). La corrélation de
convection forcée interne sera une relation du type NuD = f (ReD , Pr); connaissant les valeurs
de ReD et de Pr, on en déduira donc celle de NuD puis finalement celle du coefficient
de h puisque Nuo = hD /À.
166

5.7. Convection naturelle externe
Les propriétés thermophysiques µ, Pr et À du fluide doivent être p1ises à la température
de film Tfilm = (rp + Tm)/2; pour cela, des interpolations linéaires des tables du Complément
D doivent être faites. Les deux tableaux ci-dessous listent les valeurs numé1iques
auxquelles on aboutit.
Tfilm (K) µ(kg/mis) Pr tl (W/m/K)
eau liquide 333 4,44 10- 4 2,81 0,657
air 333 2,00 10- 5 0,702 2,87 10- 2
hélium 333 2, 14 10- 5 0,678 0, 164
Na liquide 533 3,82 10- 4 0,00646 78,0
Reo écoulement corrélation Nuo h (W/m 2 /K)
eau liquide 2 870 turbulent Nuo = 0,023 Re~ 5 Pr 0 3 • 18,3 120
air 63 600 turbulent Nuo = 0,023 Re~ 5 Pr 0 3 • 144 41,4
hélium 59 600 turbulent Nu 0 = 0,023 Re~ 5 Pr 0 3 • 135 221
Na liquide 3 330 turbulent Nuo = 4,8 + 0,0156 Re~ 85 4,94 3 850
Pro,93
Toutes conditions étant identiques, on note que le coefficient d 'échange pour l'air est le
plus faible, que les coefficients d'échange pour l'eau et pour l'hélium sont du même ordre
de grandeur malgré des nombres de Reynolds très différents, et que le sodium liquide
fournit le coefficient d'échange le plus élevé et ce malgré un nombre de Reynolds faible.
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b) Parois rugueuses:
Dans ce cas, les nombres de Reynolds et de Prandtl étant inchangés par rapport au cas
précédent, il découle de la relation 5 .110 NuD = ~ CF D ReD Pt1' que les nombres de
NusseJt et par conséquent les coefficients de transfert conducto-convectif sont multipliés
par un facteur égal au rapport du coefficient de frottement du tube rugueux à celui du tube
lisse. Le diagramme de Moody (reproduit dans le Complément C.2) permet d'évaluer ces
divers coefficients de frottement. Ainsi, pour l'air (Rev = 63600 ~ 6 10 4 ), le coefficient
Cp D vaut environ 0,031 pour la paroi rugueuse (s/ D = 4 10- 3 ) et 0,020 pour une paroi lisse
(on retient ici la courbe de rugosité relatives/ D minimale, c'est-à-dires/ D = 510- 6 ); le
coefficient de transfert du tube rugueux sera donc égal à environ 1,5 fois celui du tube lisse.
5.7 CONVECTION NATURELLE EXTERNE
_____)
Le phénomène de convection naturelle n'est pas dû à une cause mécanique externe,
ce qui est le cas de la convection forcée. Il est dû à un mouvement résultant de différences
de masse volumique au sein du fluide et qui a pour origine les conditions
167

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
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aux limites thermiques ou les conditions initiales imposées à un système dans un cas
instationnaire. Ce paragraphe ne traite que de la convection naturelle thermique.
Le terme moteur de la convection naturelle thermique provient des variations de la
masse volumique du fluide avec la température. Ces différences de masse volumique
du fluide en des cellules voisines créent une situation d'instabilité. Un mouvement est
alors engendré sous l'effet de forces volumiques d'Archimède. Deux effets diffusifs
s'opposent à ce mouvement: la viscosité du fluide joue le rôle de frein; le phénomène
de diffusion thermique tend à détruire à la source les écarts de température qui sont à
l'origine de la convection naturelle.
De ce point de vue, la convection naturelle est un phénomène plus complexe que
la convection forcée, dans laquelle le terme moteur (énergie cinétique volumique) est
issu d'une cause mécanique externe et est beaucoup moins couplé aux autres champs
du fluide, tandis que le seul effet diffusif est la viscosité du fluide.
L'objet de ce paragraphe est limité à une première approche de la convection naturelle,
en suivant la même démarche globale que celle qui a été suivie pour la convection
forcée. Elle repose essentiellement sur une technique d'analyse dimensionnelle,
laquelle fournit la structure générale des solutions. Une analyse plus détaillée, décrite
à la référence [6], dite analyse d'échelles, prédit les grandeurs adimensionnées
pe1t.inentes dans différentes conditions et pour différents types de fluides. Les phénomènes
de convection naturelle the1mique et massique sont également abordés dans
les paragraphes 8.6 et 8.8.
Afin de simplifier l'analyse, les hypothèses suivantes dites hypothèses de Boussinesq
[12] seront faites :
>- Hypothèse Hl : les propriétés thermophysiques du fluide sont supposées unif01mes28
(cas deµ, il, cp), à l'exception de la masse volumique p dans le seul terme
moteur (Archimède) de la convection naturelle.
>- Hypothèse H2 : les variations de la masse volumique sont supposées linéaires
en température, données par la relation suivante où T 0 représente la température du
fluide non perturbé :
/3(T - To) << 1 p(T) =Po (To) [1 -/3(T - To)] (5.120)
La condition H2 est vérifiée par les liquides. Dans le cas d' un gaz parfait, on a :
f3 = l/T : les variations relatives de la température absolue du fluide doivent être
faibles.
La plupart des fluides sont caractérisés par des valeurs positives de f3. Une exception
célèbre est l'eau liquide, uniquement entre 0 °C et 4 °C ; cette propriété singulière,
qui conduit à une inversion de la direction du mouvement de convection natu-
28. On adopte, comme précédemment, les valeurs de ces grandeurs à (T 0 + Tp)/2, température de film.
168

5.7. Convection naturelle externe
relle dans la plage de température [0 °C; 10 °C] proche du point de fusion de l'eau,
est exploitée dans certaines applications.
5.7.1 Analyse dimensionnelle en convection naturelle
externe le long d'une plaque verticale
Considérons, comme problème de référence, celui d'une plaque verticale de hauteur
Let de température Tp en contact avec un fluide de température T 0 et au repos
loin de la plaque, comme illustré à la figure 5.25. Les équations 5.63 et 5.64 représentent
comme précédemment les flux surfaciques local et moyen sur la plaque,
auxquels on associe les coefficients de transfert local h (x) et moyen h.
1~
L
X
fluide au repos
au loin
0
lg To , uo - 0
Figure 5.25 - Problème de référence en convection naturelle externe.
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Comme dans le cas de la convection forcée externe, des couches limites mécanique
et thermique apparaissent à partir du bord d'attaque (en x = 0). La définition
de la couche limite mécanique diffère de celle introduite en convection forcée. En
convection naturelle externe, la couche limite mécanique est la zone fluide située
entre la plaque et le lieu des points où la vitesse axiale est égale à 1 % de sa valeur
maximale dans la direction transverse ; la figure 5 .26 illustre cette définition. Quant
à la couche limite thermique, elle a exactement la même définition qu'en convection
forcée externe.
Le problème de transfert global est enti.èrement détenniné par sept grandeurs
h,p 0 ,µ, À, cP, Let le terme moteur p 0 g[3(Tp - T 0 ). Au lieu d' utiliser la méthode
mise en oeuvre dans le cas de la convection forcée, nous procédons par analogie
avec ce cas. Si nous avons introduit le terme moteur pogf3(Tp - To) dans les paramètres
physiques, c'est que le choix d' une vitesse de référence Ur, analogue à uo,
n'est pas évident. Néanmoins, une expression de u,. qui dépendrait de pogf3(Tp - To)
et des autres grandeurs physiques permettrait d' utiliser directement les équations 5.67
et 5.72, en y substituant u,. à uo, vitesse de référence en convection forcée. Pour ce
faire, écrivons l'équilibre entre la force motiice volumique maximale pogf3(Tp - To)
169

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
région non perturbée 1,t. 1 =0
y
couche limite mécanique
région non perturbée T'l
y
Figure 5.26- Couches limites en convection naturelle externe (plaque verticale). Par
souci de clarté, les couches limites mécanique et thermique sont représentées
respectivement en haut et en bas. En réalité, elles se recouvrent. Les profils de vitesse et
de température sont également tracés en fonction de y en des positions x données.
et un ordre de grandeur de la force visqueuse volumique 29 µu,/L 2 ; ce raisonnement
conduit à poser :
(5.121)
Le problème est alors déterminé par les sept grandeurs physiques : h, po, µ,À, cp, L
et u,.. Dans l'équation 5.67, le nombre de Reynolds prend la forme:
p6gf3(Tp - To)L 3
------=GrL
µ2
(5.122)
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>-
Il est appelé nombre de Grashof GrL, rapporté à la longueur L. Les expressions des
nombres de N usselt global et local sont alors :
(5.123)
Nux(x) = C' Gr~ Pr8 (5.124)
Dans l'équation 5.124 apparaît le nombre de Grashof local rapporté à x:
(5.125)
3 Cette simple étude dimensionnelle a permis de dégager un résultat essentiel
de convection naturelle : si le transfert thermique croît avec le terme moteur
Pof3g(Tp - To), il croît à une puissance trois fois plus élevée avec la distance caractéristique
x (ou L). La viscosité joue évidemment un rôle de frein dans le transfert
29. Celle-ci est rapportée à L dans la mesure où, comme en convection forcée, on ne dispose pas à ce
stade d'échelle transverse de longueur.
170

5.7. Convection naturelle externe
(terme en l/µ 2 dans le nombre de Grashof). Enfin, on notera que le nombre de Grashof
a la même signification physique que le nombre de Reynolds : il est le rapp01t
du terme source du mouvement au terme de dissipation mécanique. Par conséquent,
la valeur de ce nombre permettra de caractériser la nature laminaire ou turbulente de
l'écoulement. La zone de transition entre ces deux régimes sera elle aussi décrite par
deux valeurs critiques du nombre de Grashof.
En convection naturelle, on a l'habitude d'introduire d'autres groupements sans
dimension:
• Des nombres de Rayleigh local Rax et global RaL :
g{J ( T p - T o) x 3
Rax = Grx Pr = -----­
av
• Des nombres de Boussinesq local Box et global Bol :
L'intérêt physique des nombres de Rayleigh et de Boussinesq apparait dans l'analyse
d'échelles suivante, détaillée dans la référence [12] :
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• Le nombre de Rayleigh caractérise le transfe1t thermjque pour les fluides classiques
de nombre de Prandtl supérieur à 0,5 (gaz, liquides, huiles), c'est-à-dire les
fluides pour lesquels la couche limite mécanique est d'épaisseur à peu près égale
ou supérieure à la couche limite thermique. Il rend compte de l'équilibre entre
la force de mise en mouvement du fluide (la force d'Archimède) et les deux effets
dissipatifs par diffusion de quantité de mouvement (viscosité) et par iliffusion
d'enthalpie (conduction). Pour ces fluides classiques, le nombre de Nusselt dépend
essentiellement du nombre de Rayleigh; le nombre de Prandtl apparaît en tant que
facteur correctif (voir Complément C.3).
• Le nombre de Boussinesq caractérise le transfert thermique pour les fluides de
nombre de Prandtl très inférieur à 0,5 (métaux liquides), c'est-à-dire les fluides
pour lesquels la couche limite thermique est beaucoup plus épaisse que la couche
limite mécaruque. Il rend compte de l'équilibre entre la force de mise en mouvement
du fluide (la force d'Archimède) et le principal effet dissipatif par diffusion
d'enthalpie (conduction). Pour les métaux liquides, le nombre de Nusselt dépend
essentiellement du nombre de Boussinesq ; le nombre de Prandtl apparaît en tant
que facteur correctif (voir Complément C.3).
17 1

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
Comme en convection forcée, deux interprétations physiques peuvent être données
pour les nombres de Grashof, Rayleigh et Boussinesq :
• Ils représentent le rapport du terme source du mouvement pog/3 ( T P - To) x, travail
d'une force volumique, à une énergie dissipée par unité de volume par viscosité
µ 2 / (Pox 2 ), par couplage viscosité-conduction µa/x2 et par conduction poa 2 /x 2 .
• Ils représentent également le carré du rapport d'une échelle de temps associée
à la viscosité x 2 /v, au couplage viscosité-conduction x 2 / yav et à la conduction
x 2 /a à une autre échelle de temps associée au terme source du mouvement
~ x/ [ g/3 ( T p - T o)].
Néanmoins, les coefficients de transfert local h (x) et moyen lis' obtiennent, pour tous
les fluides, via des expressions du type (voir Complément C.3) :
NuL = C Raf Pr8'
(5.128)
Nux (x) = C' Ra~'
Pr8'
(5.129)
5.7.2 Transition entre régimes laminaire et turbulent
le long d'une plaque verticale
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Dans le cas d'un fluide au repos et isotherme au loin en contact avec une plaque
isotherme, l'écoulement est laminaire depuis le bord d'attaque (en x = 0) jusqu'à
une abscisse critique x = x 1 c pour laquelle le nombre de Grashof atteint la valeur
critique [8] 30 :
Grxlc ~ 10 9 (5.130)
Au delà de cette valeur critique x1c, une turbulence intermittente apparaît et se développe
au fur et à mesure que x croît, comme en convection forcée le long d'une
plaque. Un régime de turbulence développée s'instaure à partir d'une abscisse critique
X2c définie par :
(5.131)
30. Remarque importante concernant les résultats de convection naturelle.
L' analyse de A. Bejan [8] est pertinente pour une plaque plane verticale. Cependant, pratiquement
aucun auteur n'utilise le nombre de Grashof pour définir la transition laminaire-turbulent dans le cas
d'une autre configuration (cf. le handbook du même auteur (7]).
172

5.7. Convection naturelle externe
5.7.3 Principaux résultats pratiques de convection
naturelle externe
a) Plaque plane verticale isotherme
Des expressions précises des nombres de Nusselt local Nux (x) et global NuL, en
régimes laminaire et turbulent, sont données dans le Complément C.3. Ce paragraphe
contient quelques remarques d'ordre physique à propos de ces résultats.
• En régime laminaire et à une distance suffisante du bord d'attaque (pour que le
modèle des couches limites soit valable), Nux (x) = h (x) x/ À est proportionnel à
RaY 4 , et NuL = hL/À à Ra~ 4 . Par conséquent, comme Rax est proportionnel à x3,
le coefficient de transfert local h (x) est proportionnel à x- 1 1 4 • Il apparaît donc,
comme en convection forcée externe où h(x) est proportionnel à x- 1 1 2 , un effet de
bord d'attaque, mais beaucoup plus faible qu'en convection forcée. Les couches
limites mécanique et the1mique laminaires, pour un nombre de Prandtl voisin de 1,
sont à peu près superposées ; leur épaisseur est donnée par 1' expression [63] :
Ôm (x) ,.., Ôrh (x) ,.., 3,93 (0,952 + Pr) 14 Gr- 1/4
x x Prl/2 x
(5.132)
Les épaisseurs de couches limites varient donc en x 1 4 •
• En régime turbulent, Nux (x) = h (x) x/A est en pratique proportionnel à RaY 3 ,
et NuL = hL/ À à Ra~ 3 . Par conséquent, comme Rax est proportionnel à x 3 , le
coefficient de tran~fert local h (x) est indépendant de x; il est uniforme.
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b) Autres configurations géométriques
Des résultats relatifs à des plaques planes inclinées, des plaques horizontales, des
cylindres et des sphères, dans différentes conditions, sont donnés dans le Complément
C.3.
c) Effets du signe de la variation de masse volumique
Les effets liés au signe des variations de p méritent d'être discutés. Nous nous limitons
ici à deux configurations : une plaque ve1ticale isothe1me d'une part, et une
plaque horizontale isotherme d'autre part. Les c01Télations relatives à ces deux configurations
sont données dans le Complément C.3.
Considérons d'abord le cas d' une couche limite le long d'une plaque verticale de
température imposée plongée dans un fluide immobile au loin et de température elle
aussi imposée (figure 5.27). Une inversion des températures imposées à la plaque et
au fluide change le signe des variations de masse volumique et se traduit par deux
écoulements similaires au signe du champ de vitesse près. Le bord d'attaque devient
173

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
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b) r I I I I I
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paroi T fluide T
c
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/, L
Figure 5.27- Inversion des conditions
aux limites; plaque verticale isotherme.
Figure 5.28 - Inversion des conditions
aux limites; plaque horizontale
isotherme.
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le bord de fuite et vice-versa. Si l'origine et le sens de l'axe des abscisses sont changés,
les expressions du nombre de Nusselt local Nux (x) et du coefficient de transfert
local h (x) sont inchangées.
Les résultats diffèrent en revanche si on considère le transfert par convection naturelle
le long d'une plaque horizontale. En effet, l'une des deux situations est favorable
au transfert tandis quel' autre ne l'est pas. Supposons que la plaque est infinie et
que, comme dans la grande majorité des cas 31 , la masse volumique du fluide décroît
lorsque la température augmente.
Si les couches fluides inférieures sont plus froides, et donc plus lourdes, que celles
au dessus (cas de la figure 5. 28 a), une stratification du fi uide s'installe, le fi uide
restant au repos. Si des instabilités et un écoulement de convection naturelle prennent
naissance, ce ne peut être que du fait d'effets de bord liés à une taille finie de la
plaque. Même dans de telles circonstances, les valeurs du coefficient de transfert sont
faibles, car les conditions ne sont pas favorables au développement d'un écoulement
de convection naturelle. Des résultats associés à cette configuration sont donnés dans
le Complément C.3. Les mêmes conclusions s'imposent si une paroi froide est placée
sous le fluide.
En revanche, si les couches inférieures du fluide sont plus chaudes, et donc plus
légères, que celles au dessus (cas de la figure 5.28 b), le système est instable. Cette
configuration est favorable au développement d'un mouvement de convection naturelle.
La valeur du coefficient de transfert est plus grande que dans le cas précédent,
comme on pourra le constater à l'examen de corrélations données dans le Complément
C.3.
En conclusion, l'inversion des sources froide et chaude ou l'inversion de la gravité
conduisent, dans les deux configurations examinées, tantôt à des écoulements exactement
semblables (cas de la plaque verticale), tantôt à des écoulements très différents
31. Voir les commentaires qui suivent l'équation 5.120.
174

5.7. Convection naturelle externe
et par conséquent à des valeurs très différentes du coefficient de transfe1t (cas de la
plaque horizontale).
5.7.4 Exercice d'application
( Exercice 5.4 Chauffage d'une pièce
Énoncé
On considère un radiateur rectangulaire plan de surface S = 0,5 m 2 (de hauteur H et
de largeur L), à température T,. = 60 °C, placé contre le mur d' un local. La température
de l'air à l'intérieur du local et de toutes les parois du local vaut Ta = 20 °C.
Trois configurations seront examinées : [H = 0,7 met L = 0,7 m], [H = 2,5 met
L = 0,2m] et [H = 0,2m et L = 2,5 m].
Quelle est la configuration la plus efficace du point de vue du transfert convectif?
Solution
Le flux fourni par le radiateur au local par convection naturelle a pour expression :
<!> = h(T,. -T 0 )S (5.133)
où h est le coefficient d'échange moyen sur la hauteur du radiateur. La différence de température
et la surface d'échange étant les mêmes pour les trois configurations, maximiser
<!> revient donc à maximiser h.
Il s'agit d'un problème de convection naturelle externe sur une hauteur H. Le nombre de
Grashof a pour expression
(5.134)
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où les propriétés thermophysiques f3 et v de l'air sont prises à la température de film
Tfilm = (T,. + T 0 )/2 = 3 13K : f3 = 1/Tfilm = 3,1910- 3 K- 1 et v = 1,7210- 5 m 2 /s. Le
nombre de Prandtl et la conductivité thermique de l'air à cette même température valent
respectivement Pr = 0,705 et ,1 = 2,73 10- 2 W/m/K. Les corrélations adaptées et les valeurs
numériques obtenues sont regroupées dans le tableau ci-dessous.
GrH écoulement corrélation NuH h (W/m 2 / K)
H = 0,2m 3,39 10 7 laminaire NUH = 0,680 + 0,514 Ra~ 4 36,6 4,99
H = 0,7m 1,4510 9 transition
H = 2,5m 6,6210 10 turbulent
2
NUH = (0,825 + 0,324 Ra~ 6 ) 411 4,48
La configuration la plus favorable au transfert par convection naturelle est donc celle à
___
faible hauteur du radiateur, mais le gain par rapport à un radiateur de grande hauteur est
assez faible.
)
175

Chapitre 5 • Introduction aux transferts convectifs
5.8 CONVECTION NATURELLE INTERNE
Les problèmes de convection naturelle interne dans des configurations géométriques
tridimensionnelles (les cavités fermées par exemple) ne peuvent être résolus que numériquement;
leur traitement sort du cadre de ce livre.
Dans les cas de configurations géométriques simples et de conditions aux limites
classiques (température imposée ou flux imposé aux parois), les résultats sont généralement
exprimés en termes d'une conductivité équivalente plutôt que d'un nombre
de Nusselt. Cette conductivité équivalente dépend d'un nombre de Rayleigh rapporté
à la distance entre les parois d' une part, et du nombre de Prandtl du fluide d'autre
part (voir Complément C.4).
5.8.1 Exercice d'application
( Exercice 5.5 Lame d'air d'un double vitrage
Énoncé
On considère une lame d'air verticale, rectangulaire, d'épaisseur d, de hauteur H =
1 m, et infinie dans la troisième direction. Les murs verticaux de part et d'autre de la
lame d'air sont soumis à des températures imposées : T 1 = 10 °C et T 2 = 20 °C. Les
murs horizontaux sont supposés parlaitement isolés.
Pour quelles valeurs de d le transfert est-il pseudo-conductif? Quel est l'intérêt
pratique de ce régime ?
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Solution
Dans cette configuration géométrique, l'échange thermique par convection naturelle interne
est caracté1isé par la notion de conductivité équivalente Àeq· Cette grandeur dépend
du nombre de Rayleigh RaH défini par
(5.135)
et du rapport H / d de la cavité. Une fois la conductivité Àeq évaluée, le flux échangé par
convection naturelle interne entre les deux parois verticales se déduit par la relation
(5.136)
Le calcul du nombre de Rayleigh aboutit à la valeur RaH = 1, 10 10 9 . Le rapport H / d
de la cavité étant sûrement assez grand, et le fluide considéré étant de l'air, on trouve la
corrélation suivante dans le Complément C.4 :
( H)4/7
d Ra~ 7 > 30
Àeq = 0 364 Ra 114 !!:_
À. ' H H
(5.137)
176

5.9. Convection mixte: compétition entre convection forcée et convection naturelle
où À désigne la conductivité thermique de l'air (à la température de film T film =
(T 1 + T2) /2). La condition (H / d) 4 1 7 Ra~ 7 > 30 se traduit par d < 47 cm; et l' équation
5.137 donne Àeq/ À < 1 pour d < 15 mm. Lorsque Àeq/ À < 1, le fluide ne se met
pas en mouvement, le transfert est donc simplement conductif et est caractérisé par la
conductivité du fluide À (régime dit de pseudo-conduction).
L'intérêt d'une lame d'air dans un double vitrage est de limiter le transfert thermique;
par conséquent l'épaisseur d de la lame doit être suffisamment grande pour limiter le flux
(voir équation 5.136) mais également suffisamment petite pour interdire tout mouvement
convectif de l'air. Des épaisseurs de lames de l'ordre de 10 mm sont souvent retenues par
les fabricants. _____ )
5.9 CONVECTION MIXTE : COMPÉTITION ENTRE
CONVECTION FORCÉE ET CONVECTION
NATURELLE
Lorsque les convections forcée et naturelle coexistent, c'est-à-dire lorsque le mouvement
du fluide est généré par une cause mécanique extérieure mais aussi par des
gradients de masse volumique en son sein, un critère simple permet de comparer les
contributions des deux phénomènes. Il apparaît, dans les équations de bilan adimensionnées
relatives à la convection mixte et dans le cadre des hypothèses de Boussinesq
(voir paragraphe 8.3.1), que le poids relatif de la convection naturelle par rapport à
la convection forcée est gouverné, pour une configuration donnée, par le nombre de
Richardson Rix, grandeur sans dimension définie par
Ri . _ Grx
x - Re2
X
(5.138)
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Ce nombre définit les domaines de convection forcée dominante (Rix « 1), de
convection naturelle dominante (Rix >> 1) et de convection mixte (Rix ~ 1). Cette
analyse est valide quelle que soit la longueur de référence x.
On aura donc intérêt à choisir ill et il.2 dans la plage [0,6ilm(T); 0,9il. 111 (T)], c'està-dire
là où la fonction LA(T) est la plus pentue. La validation de l'hypothèse d'invariance
des~ s'obtient en utilisant une troisième longueur d'onde A 3 et en comparant
les températures T 12 , T 13 et T 23 déte1minées pour l'élément dS à paitir des couples
(A1, il.2), (il.1, À.3) et (À.2, il.3) respectivement.
On peut s'affranchir, par une technique laser et modulation du rayonnement incident,
du rayonnement réfléchi par dS dans l'hypothèse où il n'est pas négligeable.
177

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PROBLÈMES DE
SYNTHÈSE DE LA
PARTIE 1
0 Circuit de refroidissement d'un moteur fusée cryogénique
Connaissances requises
Transferts linéaires (Chapitre 2); convection (Chapitre 5).
Il s'agit de réaliser un calcul d'avant-projet pour une configuration donnée. De ce
fait, certaines hypothèses, introduites à ce stade pour permettre un calcul monodimensionnel,
sont contestables. Dans le cadre de ces hypothèses, il est demandé
de construire un modèle physique simple, fondé sur des approximations
justifiées, et de calculer tous les paramètres clés du problème aussi précisément
que possible.
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Les parois en cuivre de la chambre de combustion d' un moteur cryogénique spatial
(de type Vulcain) sont soumises à un flux thermique intense de la part des gaz
issus de la combustion de parahydrogène et d'oxygène (température de mélange :
Tc = 3600 K, pression : Pc = 14 MPa, débit massique : qc = 10 3 kg/s). On considère
une section droite de la chambre, assimilée à celle d' un tube cylindrique creux
de diamètre intérieur D = 0,5 m, à travers lequel l'écoulement des gaz chauds est
supposé établi (voir figure 1).
Les parois sont refroidjes par du parahydrogène liquide qui, avant injection dans la
chambre de combustion, traverse un grand nombre de canaux à sections rectangulaires
qui entourent complètement la chambre. Dans la section droite considérée, le
parahydrogène circule dans les canaux en régime établi, à contre-courant des gaz
chauds, avec une température de mélange T1 = 60 K. Les canaux sont eux-mêmes
entourés de parois en cuivre massif (voir la disposition des canaux et le détail d'une
section droite sur la figure 2). Le système est, d'autre part, supposé parfaitement isolé
de l'extérieur.
On fera l'hypothèse simplificatrice que la température en y = E est unifo1me. On
négligera tout transfert radiatif.
179

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
L+2E
L+E
y q? = 0
cuivre
qc
chambre de
combustion
T,,=3600K
: canaux
~ ·
·'O.
:11 .:
~:
E ~ ... ::::.... ::.:.:..... ,..... ,, .... ····.... T(r::)
cuivre
0 -------- T, -?OOK
t <p
ch.ambre de combustion
Figure 1- Détail d'une section droite de la chambre de combustion.
Déterminer qh le débit massique minimal de parahydrogène dans un canal,
pour qu'en aucun point des parois en cuivre la température n'excède T1
700K.
Données: e = 2 mm ; E = 2 mm ; L = 10 mm.
Propriétés des gaz chauds à 2150 K:
1
Ile- , ' c-,,
,..., 0 35 Wm- LK- 1 Pr ,..., 0 6 µc ~ 6,4 10- 5 kg m- 1 s- 1 •
Les propriétés thermophysiques du parahydrogène suivent des lois affines en fonction
de la température, du type AT+ B, sur la plage [200 K - 400 K]; les valeurs des
coefficients A et B sont données dans le tableau ci-dessous.
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Propriété Unité A B
À W·m- 1·K- 1 0,000205 0, 123
p kg·m- 3 - 0,0346 21,24
µ kg·m-1.ç1 2,75 10-s 5 10- 1
Pr 0 0,7
Les notations usuelles dans cet ouvrage des différentes grandeurs sont utilisées.
a) Stratégie de résolution
Trouver qf revient à détermjner le coefficient de transfert h 1 . Le problème à résoudre
est résumé sur la figure 2.
180

Prob lèmes de synthèse de la partie 1
T 1 = 700K
ailette
~~~~~~~~~~_y_~ y
0 E <p= O E+L
Figure 2 - Schéma de la géométrie à étudier.
On détermine par un calcul explicite, successivement : hc, coefficient de transfert à
la paroi de la chambre de combustion, puis 'fJ, flux smfacique extrait de la chambre,
et enfin T(y = E). En introduisant la notion d'efficacité de 1' ailette ry(h 1 ), on obtient
alors une équation de bilan qui conduit à ht :
L'hypothèse d' une ailette infinie mérite d'être envisagée (puis, éventuellement, validée).
b) Calcul de hc
• Les données sont calculées à: Tfi1m = (3 600 + 700)/2 = 2 150 K.
• On obtient à pa1tir des données: ReD = PcVcD/µc = 4qcf (nDµc) = 4,010 7 .
Le régime étant turbulent, le nombre de N usselt est donné par :
(1)
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c) Calcul du flux et de T(y = E)
'P = hc(Tc - Tt) = 4,8 10 7 W/m 2
<p = Àcu[Tt - T(y = E)]/E
Àcu(300 °C) = 384 Wm- 1 K- 1 ==::} T(y = E) = 449 K
Le cuivre était incontournable : Tt - T(E) ~ 251 °C !
d) Calcul de hf
On fait l'hypothèse d' une ailette infinie, en supposant l'approximation de l'ailette
justifiée (à vérifier ultérieurement). Dans ce cas (voir paragraphe 2.2) :
181

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
7]00 = l/ Ylli, avec Bi = hfe/(2lcu) (on raisonne sur une demi-ailette). hf est solution
de l'équation 1, du second degré en .JhÏ':
e) Calcul de qf
2cp =[hi + (2Àcu/e) 1 1 2 .Jhf-] [T(E) - Tt ]
==> hf = 76220 Wm- 2 K- 1 •
Pour la température de film T fiim = (449 + 60)/2 ~ 255 K, on obtjent :
µ1(255 K) = 7 ,5 10- 6 kg m - 1 ç 1 ,
ÀJ(255 K) = 0,175 Wm- 1 K - 1 ,
Pr1(255 K) = 0,7.
Le diamètre hydraulique est: D1i = 4I/P = 4Le/[2(L + e)] = 3,33 10- 3 m, avec :
I = 2 10- 5 m 2 . On en déduit le nombre de Nusselt puis, en utilisant une corrélation
de régime turbulent, le nombre de Reynolds et le débit :
Remarque
Nuv 11 = h1D1i/Àf = 0,023 Re~,~ Prj 3
Rev,, = q1D1i/(Iµ1) ==> qf = 5,110- 2 kg/s
On a n0/(2e) = 393 canaux, soit un débit total de parahydrogène de refroidissement
de 20 kg/s.
f) Validité des approximations faites
• approximation de l'ailette (voir paragraphe 2.2) : Bi= h.re/(2Àcu) = 0,20 < l ;
• ailette infinie: m 2 =h1P/(lcuL)=2h1/(Àcue) =2,010 5 m- 2 ; exp(-mL)!::! 10- 2 .
f) Thermique élémentaire d'un réacteur à neutrons rapides
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Connaissances requises
Transferts linéaires stationnaires (Chapitres l et 2); convection (Chapitre 5) .
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Fluide I
Coeur
q
1
1Js
T 2e
Fluide li
· crayon
-- gaine
Figure 3 - Schéma d'ensemble des circuits thermiques.
182

Problèmes de synthèse de la partie 1
assemblage
élément
fi
Coeur - 120 assemblages
assemblage - 270 élémenL'i
Figure 4 - Schéma des assemblages.
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Le schéma d'ensemble des circuits thermiques d'un surgénérateur est donné figure 3.
Dans le cœur, la matière fissile est disposée sous forme de crayons de rayon R 1 dans
des gaines en acier inoxydable (on considèrera un acier au chrome-nickel 18/8 (18 %
Cr/ 8 % Ni)) de longueur Let de rayon R1. On supposera que les crayons occupent
toute la longueur des gaines et sont jointifs, délimitant des interstices ; 270 éléments
gaine-crayon sont groupés dans un assemblage. Les 120 assemblages sont jointifs et
constituent le cœur (figure 4): ce sont des structures de section hexagonale d'arête a.
Le sodium primaire (fluide I) circule dans le cœur, dans les interstices entre gaines.
Le coefficient de transfert conducto-convectif dans le coeur, entre la gaine et le sodium,
supposé uniforme, est h 1 . La puissance thermique tot<:ùe du surgénérateur est
P. Les conduites entre le cœur et l'échangeur sont parfaitement isolées et l' échangeur
à contre-courant est supposé sans pertes. Le fluide primaire entre dans le cœur
à T 1 e avec un débit massique q 1 • Le fluide secondaire (sodium également) sort de
l'échangeur à T2s avec un débit massique q1.
On fera les approximations suivantes :
• la puissance volumique P, dissipée dans la matière fissile uniquement (crayons),
est homogène et constante pour tous les crayons (grossière approximation),
~ • les flux conductifs axiaux (au sens de l'écoulement de Na 1 ) sont négligés aussi
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·~ bien dans les crayons, les gaines, les parois d'assemblages que dans le fluide,
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~ • les débits de N a 1 sont les mêmes dans tous les interstices entre gaines,
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• la conductivité thermique de U0 2 À.u est supposée indépendante de la température
(grossière approximation),
• pour simplifier le calcul de h 1 , on prendra, dans cette première approche, les propriétés
thermophysiques du sodium uniformes à (T1e + T2s)/2 : À.Na, µNa, PNa et
CpNa·
183

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
1. Sachant que la température maximale admise en un point des crayons est
rmax' quel doit être le débit massique qi en régime stationnaire?
A.N : R1 = 0,003 m; R1 = 0,005 m; L = 2 m; a= 0,107 m
'P = 3 200 MW,
Tmax = 2 400 °C,
T1 e = 400 °C, T 2s = 540 °C,
Au = 2,4 W m- 1 K- 1 •
2. Pour une température donnée T z.e d'entrée du fluide II dans l'échangeur à
contre-courant, quels doivent être le débit massique q 2 du fluide II et la surface
d'échange?
On supposera, pour simplifier, que l'échangeur est à plaques parallèles en acier inoxydable
18/8, d'épaisseurs ô, et est constitué de Ne canaux pour chaque fluide, de
largeur d et de dimension transverse H.
A.N : Ne= 500; d = 0,005 m; ô = 0,002 m ; H = 3,75 m; T2e = 380 °C.
Solution
1. Détermination du débit massique q 1
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a) Stratégie de résolution
Deux inconnues pilotent le problème: q 1 mais aussi T 1 s. La détermination de T 1 s est
liée à celle de Tmax. En effet, étant donnée la symétrie de révolution de 1' ensemble
gaine-crayon et le fait que nous pouvons considérer la puissance volumique P comme
constante, la température T max est atteinte sur l'axe du crayon et en sortie d'assemblage,
au niveau où la température du fluide est la plus élevée, T1s. Un bilan en cette
section conduira à une première relation entre q 1 et T 1 s. Un bilan global sur le coeur
conduira à une deuxième relation entre ces grandeurs .
b) Bilan global
La puissance totale 'P du réacteur est intégralement emp01tée par le fluide 1. Soit:
(2)
c) Expression de la température maximale
Pour trouver une deuxième relation, nous considérons les échanges transverses liés
au refroidissement du cœur. On appelle Tu et Tg les champs de température dans le
184

Problèmes de synthèse de la partie l
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crayon d'uranium et la gaine et Àg la conductivité thermique de la gaine. Considérons
une tranche de crayon fissile d'épaisseur dZ. La puissance cédée au fluide est :
soit:
d<P = nRf dZP = 2nÀ 9
/ln(R2/R1)[Tu(R1 ,Z) - T 9
(R2,Z)]dZ
d<P = h1(q1)2nR2dZ[T 9
(R2,Z) - T1 (Z)]
Tu(R1,Z) -T1(Z) = nRf P[(2nR2h1)- 1 + ln(R2/R1)/(2nÀg)] (4)
Tu(R 1 ,Z) est obtenue à paitir d'un bilan thermique de la couronne comprise entrer et
r + dr et d'épaisseur dZ dans la matière fissile :
0 = dZ[2nnpcd(r) - 2n(r + dr)<pcd(r + dr)] + 2nrdrdZP (5)
Après intégration, en tenant compte de la relation (4) et de la condition de symétrie
axiale : dTu/dr(O ,Z) = 0, on obtient :
Tu(r,Z) - T1(Z) = P(RÎ- r 2 )/(4Àu) +nRÎP[(2nR2h1)- 1
(6)
+ ln(R2/R1)/(2nil 9
)]
Soit, en Z = L, où T1 (L) = Tis et Tu(O,L) = ymax :
T 1 s = ymax -nRîP{(4niluF 1 + [2nR2h1(q1)r 1 +ln(R2/R1)/(2nil 9
)} (7)
ce qui donne la deuxième relation cherchée entre q 1 et T 1 s. La puissance volumique
P s'obtient à paitir de la puissance totale du réacteur:
où ncr désigne le nombre de crayons par assemblage et nas le nombre d'assemblages.
d) Expression du coefficient de transfert
L'écoulement a lieu dans les interstices entre gaines. La section de passage globale
dans un assemblage est : I = (3 Y3/2)a 2 - 270nR~ = 0,00854 m 2 , et
le périmètre mouillé total, qui ne comprend pas les parois de l'hexagone, est :
P 111 = 270(2nR2) = 8,48 m. Le diamètre hydraulique est donc :
D1i = 4I/ Pm = 4,0 mm.
L'expression du nombre de Reynolds est (avec µNa = 2,54 10- 4 kg/(ms) obtenu par
interpolation linéaire à partir des données du Complément D.2):
ReD,, = (qi/nas)Dhf(µNaL) = 15,47 q1.
Supposons que le régime d'écoulement du sodium est turbulent. La corrélation pour
les métaux liquides est alors :
NuD = hiD1i = 6 3 + 0 0167 Re 0 • 85 Pr 0 • 93 ==}
" il ' ' D1i Na
Na
(3)
(8)
h1 (q1) = 106 020 + 19,914 q~· 85
(9)
185

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
Ainsi on dispose d' un système de trois équations 2, 7 et 9 dont les inconnues sont au
nombre de trois: q 1 , T 1 s et hr. La combinaison de ces 3 équations permet d'aboutir à
la relation suivante vérifiée par
ll
q 1 :
P PR 2 2 2ln(R2/R1) ]
r,. + q, CpNa = ym» - -;i1 Àa + R1 ( 106020 + 19,914 q~· 85 ) + Ag
La résolution numérique de cette équation donne q 1 = 11530 kg/s. Avec cette valeur
de q 1 , Rev1i vaut 1,78 10 5 : l'écoulement est bien turbulent. Par ailleurs, la connaissance
de la valeur de q 1 pe1met de calculer celles de h 1 et T 1 s : h 1 = 1,62 10 5 W/m 2 /K
et Tis = 619 °C.
2) Dimensionnement de l'échangeur
Comme l'échangeur est sans perte:
ce qui donne: lq 2 1 = 15790 kg s- 1 • Considérons, à l' instant t, des tranches matérie1les
[x ,x + dx] des deux fluides dans cet échangeur à contre-comant (voir figure 5).
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11 (x) fi (x + dx)
x x+dx L
Figure 5 - Schéma de l'échangeur.
Cj Des bilans élémentaires conduisent à (voir exercice d'application au para-
N
@ graphe 5.3.3) :
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q2
-CpNadT2 = 2H dx h 9
(T, - T2)
Ne
où h 9
désigne le coefficient global d'échange transverse :
q , > 0 (11)
(12)
l /hg = l/h J + ô/ Îlacier + l /h2 ·
(13)
186

Problèmes de synthèse de la partie l
Notons que les températures des deux fluides T 1 (x) et T 2 (x) décroissent quand x croît.
On obtient donc, en résolvant ce système :
(14)
On introduit la surface totale d'échange S tot = 2NcH L ; S 101 a donc pour expression
(15)
Il reste maintenant à évaluer hg, et ceci passe par l'évaluation des deux coefficients
d'échange hi et h1.
Avec les données du problème, on trouve :
J; = dH Pm= 2(d + H) ~ 2H
qiDh
ReiD1i = N J; RelD 11 = 48340 Re2D,, = 66190
c µNa
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NuiD" = h~ Dh = 6,3 + 0,0167 Re~~'~ Pr~~ 3 Nuw 11 = 7,41 Nu2v 11 = 7,74
/lNa
Soit : h 1 = 50 180 W/m 2 /K h 2 = 52 480 W/m 2 /K
Avec Àacier ~ 20W/m/K: hg= 7 195W/m 2 /K S 101 =10350m 2
Ne = 500 couples de canaux d'épaisseur 14 mm ont une hauteur de 7 m. Par
ailleurs, connaissant S 101 , on en déduit la longueur L des plaques de 1' échangeur :
L = S 101 /(2NcH) = 2,76m. Le volume total de l'échangeur est donc de 72 m 3 .
IJ Dimensionnement d'un capteur solaire thermique
Connaissances requises
Rayonnement (Chapitre 4); convection (Chapitre 5)
Un capteur solaire orienté au sud et incliné à 45° par rapport à la verticale est supposé
parfaitement isolé sur toutes ses faces, à l'exception de sa face vitrée, carré d'arête L.
Il est constitué de deux plaques de verre d'épaisseur e, entre les plans 1 et 2 d'une
part et 3 et 4 d'autre part, et d' un absorbeur d'épaisseur d en acier inoxydable 18/8,
entre les plans 5 et 6. Les plans 2 et 3 d'une part, et 4 et 5 d'autre part, délimitent
deux lames d'air à pression atmosphérique. Les distances entre les vitres et entre la
187

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
vitre interne et l'absorbeur sont égales à ô. Un fluide caloporteur opaque, assimilé ici
à de l'eau, entrant à température Ti s'écoule horizontalement en régime établi, avec
un débit massique q, dans le canal d'épaisseur E constitué par le plan 6 et la paroi
externe isolée 7.
1
vitres
<p = 0
verticale
~
SUD
7
absorbeur
<p = 0 d
Coupe du capteur solaire
Figure 6 - Coupe du capteur solaire.
fluide
caloporteur
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Il est supposé que :
• Le flux solaire incident sur le capteur, directionnel et sous incidence normale, est
égal à 'PO·
• Le soleil est un corps noir à température Ts.
• L'atmosphère, à température Te, est transparente entre 0,25 et 3 ~lm d'une part, et
entre 9 et 12 µm d'autre part. En dehors de ces deux intervalles spectraux, elle est
totalement absorbante .
• Le sol est un corps noir à température Te.
• Le facteur de forme entre le plan 1 et le sol vaut f = 0,25.
• Les colonnes d'air entre le capteur et le sol, beaucoup moins épaisses que les distances
atmosphériques, sont transparentes.
• Le revêtement de la face 5 de l'absorbeur est totalement absorbant pour ;i < 3 ~lm
et est caractérisé au-delà par une émissivité é isotrope.
• Le verre est totalement transparent pour ,t < 3 ~lm et est opaque au-delà et caractérisé
par une absorptivité a isotrope.
188

Problèmes de synthèse de la partie l
• L'inclinaison du capteur se traduit, dans d'éventuels calculs de convection naturelle,
par le fait de pondérer l'accélération de la pesanteur par cos 45°.
• Un vent d' ouest de température Te et de vitesse v 0 balaie le capteur.
On supposera en première approximation que toutes les interlaces j (j = 1 à 6)
sont isothermes à températures T 1 . Les différents flux à travers une inte1f ace j seront
notés 'PJ · On supposera tous les écarts de température petits devant la température
absolue.
1. Estimer l'ordre de grandeur de la variation de Tb température du fluide caloporteur,
entre l'entrée et la sortie du capteur.
2. Si on estime qu'un tel capteur est actif pendant Sh, combien de m 2 de capteurs
fonctionnant en régime stationnaire sont nécessaires à une élévation de 40 °C de
la température de 100 L d'eau chaude sanitaire pendant cette durée (en supposant
l'échangeur utilisé parfait)?
Données :
L = 1 m ; e = 3 mm ; d = 1 mm ; q = 1 kg/s ; E = 5 mm ; ô = 1 cm ;
Ti = 70 °C ; Te = 7 °C ; T s = 5 750 K ;
'PO= 400 W/m 2 ; E = 0,5; a = 0,9 ; vo = 10 m/s.
Solution
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1. Une estimation est obtenue en supposant que tout le flux solaire incident se1t à
chauffer l'eau de ôT f :
(16)
On en déduit ôT1::::: 0, 1 °C.
2. a) Stratégie de résolution
On exprimera, en régime stationnaire, la conservation du flux d'énergie à travers tous
les plans du système. Pour ce faire, on exprimera d'abord en fonction des températures
les flux suivants :
• flux radiatif pour il< 3 ~tm de 1 à 5 (d'origine solaire),
• flux radiatif en 1 pour À> 3 µm,
• flux total en 1 (côté fluide), incluant tous les types de transferts,
189

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
• flux totaux en 3 (côté fluide) et 5 (côté fluide), incluant tous les types de transfe1ts,
• flux total en 6 (côté fluide) , incluant tous les types de transferts.
Après une analyse des résultats et une comparaison des différentes contributions, on
déduira un modèle simplifié de résolution.
b) Flux radiatif pour À < 3 µm de 1 à 5
Le flux solaire incident 'PO appartient au dessus de l'atmosphère à l'intervalle
[ Àm (Ts) /2 = 0,26 ~Lm; 8 Àm (Ts) = 4,2 ~Lm] et sur le capteur, après transmission par
l'atmosphère, à [0,26 ; 3 µm]. La partie du flux solaire transmise par l'atmosphère
vaut donc cp 0 = cp 0 z [0; 3/Àm (Ts)J = 390,3 W/m 2 . Comme l'absorbeur est un corps
noir sur le domaine spectral [0,26 ; 3 ~Lm], ce flux cp 0 sera absorbé sur la surface 5
après transmission par les vitres.
Aucun autre flux n'existe dans ce domaine spectral (ni les vitres ni l'absorbeur n'y
émettent).
c) Flux radiatif pour À > 3 µmen 1
Pour le sol, le capteur et l'atmosphère, la température est d'environ 300 K, le domaine
spectral utile est donc [5; 80 ~Lm]. Le flux dcp~À. absorbé en 1 par le verre, qui
est un corps gris d'absorptivité œ dans le domaine spectral À > 3 ~Lm, dépend des
contributions de l'atmosphère et du sol :
dcp~À
= œdcpL = œ(0,25 nL~ sol+ 0,75 nL~ atm) dÀ
Compte tenu de la bande de transparence de l'atmosphère entre 9 et 12 µm, le flux
total correspondant est :
<p~
~ œ [o,25crti + 0,75 ( crT: - f 2
rrL~(T,)dA)]
"O
g L'intégrale est calculée en utilisant les fonctions z. On pose :
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et on obtient :
Après linéarisation, on obtient
Z = z[O; 12/Àm(Te)] - z[O; 9/Àm(Te)] = 0, 1808
(17)
cpf = hf (Te - T1) + cp~ (18)
avec hR = 4 œ a- T 3 = 4 48 W/m 2 /K et m' = - 0 75 œ Z a- T 4 = - 42 53 W/m 2
J e ' 'Tî ' e ' ·
d) Flux total en 1
cc R I
'PI = 'P1 + 'P1 + 'Po (19)
190

Problèmes de synthèse de la partie l
Le coefficient h~c est donné par : NuL = h~c L/ Àair· Les propriétés du fluide sont prises
à 280 K. Le nombre de Reynolds est: ReL = voL/vair = 7,0910 5 . Le régime étant turbulent,
la corrélation à utiliser est NuL = Pr~; [o,664Re~ 12 + 0,037 (Ref 5 - Re: 15 )]
avec Rec = 3 10 5 . On en déduit h~c = 27 ,46 W /m 2 /K.
Le flux total en 1 devient:
avec h~q = hf + h~c = 31,95W/m 2 /K.
e) Flux en 3 et 5
<pi = h~q (Te - Ti)+ <p~ + <p;
>- Convection naturelle entre 2 et 3 et entre 4 et 5. Pour d'éventuels calculs itératifs
de convection naturelle, il faut postuler des températures d'interfaces initiales. On
peut poser:
Ts =Ti= 343K
Ce choix majore les écarts de température donc surestime la convection naturelle.
Entre les smfaces 2 et 3, le rapport hauteur/ largeur vaut L/ô = 100, et le nombre de
Rayleigh a pour expression :
g'f3ait-(T3 -T2)L 3 -~
R aL = avec g' = g/-v2
GairVair
Les propriétés de l'air sont prises à Tfilm = (T2 + TJ) /2 = 295,75K. Le calcul donne
RaL = 2,17 10 9 < 10 13 et (L/6) 4 /7 Ra~ 7
= 300 > 30; on a donc affaire à une longue
cavité, et la corrélation à utiliser est NuL = Àeqf Àair = 0,364 Ra~ 4
ô/L. Le calcul
donne Nul = Àeq/Àair = 0,79 < 1; on est donc là dans un régime de pseudoconduction,
et le flux conducto-convectif à la paroi 3 a pour expression :
(20)
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<p~c = Àair (Tfi!m = 295,75K) (T2 - T3) = h3c (T2 - T3) (21)
ô
avec h3c = 2,60 W/m 2 /K. De même, le flux conducto-convectif sur la surface 5 est:
avec h~c
<p~c = Àait-(Tfilm = (T4 +ôTs)/2 = 327,25K) (T4 - Ts) = h~c (T4 - Ts) (22)
= 2,83 W/m 2 /K.
>- Rayonnement de 2 à 3 et de 4 à 5. Il s'agit d' un échange radiatif entre 2 corps gris
plans parallèles infinis. En effet, pour le domaine spectral considéré ([5; 80 ~Lm]) , les
vitres et l'absorbeur sont opaques et ont pour émissivités œ et E respectivement. Le
fi ux radiatif est :
(23)
191

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
Après linéarisation, on obtient :
R 3 éiéj
'PiJ = 4crTm 1 - (1 - éi)(l - éJ) (Ti - T1)·
(24)
Soit, d'une pait, avec ci = c 1 = œ : cp~ 3
= h23(T2 - T3) et h23 = 4,80 wm- 2 K- 1 , et
d'autre pait, avec ci= œ et c 1 = c: cp: 5
= h4s(T4 - Ts) et h4s = 3,77 wm- 2 K- 1 .
f) Flux total en 6
Les propriétés du fluide (eau) sont prises à sa température d'entrée Ti : µeau =
4,01 io- 4 kg/m/s, Preau = 2,52 et Àeau = 0,663 W/m/K. Le diamètre hydraulique
associé à l'écoulement est Dh ~ 2E, et le nombre de Reynolds est:
2q
ReD = -- = 4988
h
µeau
L
Le régime étant turbulent, le nombre de N usselt est :
h62E o 8 o 3 2
Nuv" = - 1
- = 0,023 ReD1i Pre~u =} h6 = 1830 W/m /K
/leau
Analyse des résultats
La conservation des flux en régime stationnaire s'écrit :
soit:
(25)
cp = 'Pl = 'P2 = ... = 'P6 (26)
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Àu ) / eq ( ) / Àacier ) ( )
= -;; (T3 - T4 + cp 0 = h 5
T4 - Ts + cp 0 = d (Ts - T6 = h6 T6 - Tt
avec h;q = h13 + h~c et h~q = h4s + h~c
Les applications numériques montrent que, en première approximation, on peut poser:
T1 = T2; T3 = T4; Ts = T6 = Tt. On obtient:
cp = (Te - Tt)+ cp~/h~q + ,
l/h~q + l/h;q + l/h~q 'Po
En prenant pour Tt la valeur Ti = 70 °C, on obtient cp = 188W/m 2 . La surface
d'échange S est obtenue par un bilan: fneauCp eau/)..Teau = Peau:rcpeau/),_Teau = cpS,
ce qui conduit finalement à S = 4,95 m 2 .
192

Problèmes de synthèse de la partie 1
GJ Effet de serre atmosphérique
Connaissances requises
Rayonnement (Chapitre 4); convection (Chapitre 5)
Un calcul grossier très global est proposé avec des données, en particulier solaires,
moyennées sur l'alternance jour-nuit, c'est-à-dire sur toute la surface de la
terre: le but est d'estimer des effets. Les estimations obtenues sont réalistes.
La ten-e est représentée par un corps opaque gris d' émissivité Er et température T,.
Du point de vue radiatif, l'atmosphère est représentée par une couche, disjointe de la
terre, de température uniforme Ta, qui est un milieu transparent ou un corps noir suivant
les bandes de longueurs d'onde (voir son spectre d'émissivité êa,.t à la figure 7) .
•
a~ -!
0.15 z 9
I l
1 -
1 -
8(} À(J.Ull)
Figure 7 - Evolution de l'émissivité de l'atmosphère en fonction de la longueur d'onde.
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Au-delà de l'atmosphère, le rayonnement du cosmos est assimilé à celui d' un corps
noir à Tc. La seule autre source radiative que l'on prendra en compte est le soleil,
dont le rayonnement issu de la photosphère et incident sur 1' atmosphère est assimilé
à celui d' un corps noir à Ts. Pour simplifier, on adoptera une valeur globale du flux
solaire incident au dessus de l'atmosphère terrestre 'PO (Wm- 2 ); ce flux est moyenné
sur une année et la surface du globe.
Les échanges d'énergie non radiatifs entre la terre et l'atmosphère (évaporation,
transferts conducto-convectifs ... ) sont représentés par un flux surfacique global
'Pth (Wm- 2 ) cédé par la terre à l'atmosphère.
Données : Tc = 4 K; Ts = 5 750 K; t.po = 342 Wm- 2 ; 'Prh = 114 Wm- 2 ; et s, = 0.8.
1. Calculer la température qu'aurait la terre si l'atmosphère n'existait pas.
2. Déterminer la température de la terre T 1 en présence de l'atmosphère. Application
numérique.
3. L' effet de serre, constaté en 2) par rapport au résultat de l), est très majoritairement
dû à la vapeur d'eau contenue dans l'atmosphère. La présence de C0 2 (espèce
193

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
à durée de vie longue) est augmentée par l'activité humaine, en particulier par tout
type de combustion.
Étudier l'impact sur T 1 d'un rétrécissement de la fenêtre de transparence atmosphérique
de [9 - 12 µm] à [9,05 - 11,95 ~tm]. Quel est en wm- 2 l'effet sur le
flux émis par la terre ?
Solution
1. La température Tr s'exprime, en régime stationnaire, à partir d'un bilan élémentaire
de la terre seule (l'atmosphère n'existant pas, le flux 'Pth est pris nul).
4nR;<p~ = 0
où <p~ est le flux radiatif surfacique donné par
Remarque
R e a T4
'Pr = 'Pr - 'Pr = s,o- t -
cr'PO·
crTi « cp 0 , donc on peut négliger le rayonnement d'origine cosmique dans tout ce
problème.
(27)
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On en déduit: Tr = (<po/o-)lf 4 , soit: Tt = 279 K.
2. Il s'agit de déterminer la température de la terre et la température de l'atmosphère.
Un bilan de la terre et un bilan de l'ensemble terre-atmosphère permettront d'obtenir
les deux équations nécessaires.
a) Bilan de la terre
a e 0
'Pr - 'Pr - 'Pth = (28)
où 'Pf et <p~ sont les flux smfaciques absorbé et émis par un élément « moyen » de
su1face terrestre. Le flux émis par la terre est :
e y4
'Pr = s,o- r (29)
Le flux absorbé par la terre est :
Le flux monochromatique surfacique incident sur la terre d<p~t provient de deux
contributions :
• le flux monochromatique émis par l'atmosphère: 7rca,iL~(Ta)dA,
• le flux monochromatique provenant du soleil et transmis par l'atmosphère. On
connaît le flux directionnel incident au dessus de l'atmosphère, moyenné sur toute
(30)
194

Problèmes de synthèse de la partie l
la surface de la tetTe et sur une année. Comme la composition spectrale de ce flux
est celle d' un corps noir à Ts, le flux monochromatique associé transmis par l'atmosphère
d'P ~f r s'en déduit par une simple proportion :
i s L~ (Ts) dJ L~ (Ts) dJ
dlp ,lt = (1 - êaA) roo <[JO = (1 - êaA)
4
Jo L~ (Ts) dil a-Tsflr
</JO
(31)
Finalement, le flux absorbé par la ten-e est:
<p~ = lrêr (
Jo
00
[saÀL~ (Ta)+ 'P0 4
(1 - EaA)L~ (Ts)] dÀ
Si on fait l'hypothèse Ta ~ 300K, l'intervalle spectral utile associé à Ta est
[5 ; 80 ~Lm]. On peut alors écrire les diverses égalités suivantes :
a-Ts
Jo 00 EaÀL~ (Ta) dÀ = Js 80 EaÀL~ (Ta) dÀ = Js 9 L~ (Ta) dÀ + Ji~O L~ (Ta) dÀ
= J: L~ (Ta) dil + fu L~ (Ta) dil = (}";;: [z ( 0 , A~,~~:) )+ 1 - z ( 0 , ~,~t~~))]
De même, comme Ts = 5750K, l'intervalle spectral utile associé à Ts est
[0,26; 4,2 ~Lm]. On peut donc écrire les diverses égalités suivantes :
Jo 00 (1 - EaÀ) L~ (Ts) dÀ = Jo.;! (1 - Ea 1i) L~ (Ts) dÀ = Jo~26
Introduisant les notations
= r2 Lo (Ts) dÀ = crr; z (o ' 2~Lm )
Jo À n A,,,(Ts)
L~ (Ts) dÀ
2µm )
9~Lm)
12µm)
Zs (2) = Z ( 0 , Àm (Ts) Za (9) = Z ( 0 , Àm (Ta) Za (12) = Z ( 0 , Àm (Ta)
(32)
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le flux absorbé par la ten-e a pour expression :
~ "' b) Bilan global (terre + atmosphère)
~
't:
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'Pf =Er {a-T: [1 + Za (9) - Za (12)] + 'POZs (2)}. (33)
Il est judicieux ici d' utiliser les notions de flux incident sur l'ensemble (teITe + atmosphère)
<fJ~+a et de flux partant <fJf+a. En effet, le flux incident 'P~+a vaut tout simplement
'PO· Quant au flux partant <fJf+a' il comporte 3 te1mes :
~ • La fraction du flux solaire <po transmise par l'atmosphère, réfléchie par la terre, et
o.
~ transmise à nouveau par l'atmosphère. Ce flux vaut
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195

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
• La fraction du flux émis par la ten-e qui est transmise par l'atmosphère. Ce flux vaut
n Et fo00
(1 - Ea 1
i) L~ (T,) dÀ. Si on fait l'hypothèse T 1 ~ 300K, l'intervalle spectral
utile associé à Tr est [5 ; 80 ~lm]. On peut alors écrire les diverses égalités suivantes:
7r Et Jo 00 (1 - Ea,i) L~ (Tt) dÀ = 7r Et Js 80 (1 - Ea,i) L~ (T,) dÀ = 7r Et ]; 12 L~ (Tt) dÀ
= E 1 crT')- [Zr (12) - Zr (9)] avec la notation Zt (À-0) = z(O, ,i 11 ~i,))
• Le flux émis par l'atmosphère, qui a pour expression crTd [l + Za (9) - Za (12)]
(voir bilan sur la ten-e).
Le flux partant r.pf+a vaut donc :
r.pf+a = (1 - Er) r.po Zs (2) + ErcrT'} [z, (12) - Zt (9)] + crTd [l + Za (9) - Za (12)] (34)
et le bilan sur l'ensemble (ten-e +atmosphère) s'écrit:
tnp - tni - tn
rr+a - rt+a - rO
(35)
En combinant les équations 28, 29, 33, 34 et 35, on obtient :
crT( = 'PO [ 1 + Er Zs(2)] - 'PrhfEr
1 + E1 [z1(12) - zr(9)]
(36)
Par itération, on obtient la température de la ten-e : Tt = 289 K. L'effet de sen-e atmosphérique
principal, essentiellement dû à la vapeur d'eau, a élevé la température de
la ten-e de 10 °C.
3. À partir de l'équation 36, il vient :
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On en déduit, pour un déplacement des deux bornes de la fenêtre atmosphérique de
0,05 ~lm, une élévation de température ôTr = 0,3 °C, soit une augmentation du flux
émis con-espondant ôr.p1 = 1,3 W/m 2 . Cet effet de sen-e additionnel a l'ordre de grandeur
de celui constaté depuis le début de la révolution industrielle. Il est aussi de
l'ordre de grandeur de l'incertitude sur le bilan énergétique de la ten-e.
(37)
196

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Les premiers objectifs de cette partie, de niveau master, sont d'approfondir l'étude du rayonnement
thermique et de la convection, étendue aux transferts d'espèces. Les milieux semitransparents
en rayonnement sont abordées de façon générale (Chapitre 6), ainsi que les propriétés
radiatives tant des milieux denses que des gaz avec ou sans particules (Chapitre 7). Les
équations générales de bilan et le modèle des couches limites en convection sont introduits
en incluant les transferts d'espèces, mais en limitant l'étude à des mi.lieux monophasiques
(Chapitre 8). Une attention particulière est apportée à l'étude des phénomènes de base de
la turbulence, sous l'angle des flux transférés, et à la modélisation pratique des transferts
turbulents (Chapitre 9).
L'objectif du dernier chapitre de l'ouvrage (Chapitre 10) est d'introduire les bases physiques
des transferts thermiques. Suivant le cursus suivi ou les centres d'intérêt du lecteur,
ce chapitre peut être considéré comme une conclusion, mettant en évidence les limites des
modè.les de milieux continus et ouvrant vers la nanothermique, ou au contraire comme une
introduction physique à l'ensemble de l'ouvrage.
Si la première partie de l'ouvrage était focalisée sur la compréhension des phénomènes
physiques, en se limitant de ce fait à des approches le plus souvent monodimensionnelles,
cette seconde partie aborde les sujets traités avec des modè.les avancés. Une attention particulière
est apportée aux changements d'échelles (de celle des molécules ou des photons à
celle des milieux continus, de celles des champs instationnaires turbulents à celle des champs
moyens, après moyenne d'ensemble). Les solutions sont alors généralement numériques. Cet
ouvrage aborde la plupart des modèles physiques qui sont utilisés dans les solutions numériques,
mais n'a pas vocation à traiter des méthodes numériques en général, moins encore des
algorithmes associés.
Dans chaque chapitre, le lecteur trouvera une bibliographie récente correspondant à l'état
de l'avancement de la recherche dans les différents thèmes des transferts thermiques, ce qui
constitue une ouverture sur les méthodes les plus avancées des bureaux d'étude et centres de
recherche.

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RAYONNEMENT
DES MILIEUX DENSES
ET DES GAZ
Notions clés
émission, absorption, autoabsorption, diffusion, épaisseur optique, milieux optiquement
minces, milieux optiquement épais.
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Le Chapitre 4 abordait l'étude des des transfe1ts radiatifs entre corps opaques à travers
un m.ileu transparent d'indice n égal à 1 (vide ou gaz en première approximation).
C'est une limitation importante, qui est loin d'être générale. Il apparaît en effet
des milieux semi-transparents 1 dans les applications relevant des sciences de la
terre et de l'univers et dans de nombreuses applications industrielles. Le Chapitre 7
traite de la caractérisation des propriétés radiatives des milieux : corps opaques mais
aussi milieux semi-transparents (gaz, milieux denses, particules). Le présent chapitre
est consacré à une approche générale des transferts racliatifs dans les m.ilieux semitransparents.
En sciences de la terre, l'atmosphère et les océans sont des milieux semitransparents
[96]. En effet, H20, C02 et les espèces organiques en phases gazeuse
ou dense émettent et absorbent du rayonnement en volume. Si ces milieux sont divisés
(gouttelettes d'eau, glace, . . . ) ou contiennent des aérosols ils sont susceptibles,
de plus, de d~ffuse r du rayonnement ; c'est aussi le cas, à une autre échelle, des molécules
de 1' air. Ces phénomènes de diffusion conditionnent notre environnement (fond
du ciel bleu, dégradés subtils de gris de la couverture nuageuse des ciels bretons,
couleurs des levers et couchers de soleil, etc.). En astrophysique, l'étude de la structure
interne des étoiles, du soleil en particulier, nécessite de recourir au formalisme
des milieux semi-transparents également. Que ce soit en météorologie ou en astrophysique,
les techniques de mesure sont pratiquement toutes radiatives et reposent
sur 1' inversion de l'équation de transfert du rayonnement, qui sera introduite dans ce
chapitre.
Parmi les nombreuses applications industrielles des milieux semi-transparents, la
plus importante est constituée par les transferts dans les milieux en combustion ou
dans les produits issus de cette combustion. En effet C02 et H20, les deux produits
les plus courants d' une combustion, sont des espèces dont les spectres d'émission
et d'absorption sont très intenses. Paimi les produits de combustion se trouvent également
des suies, particules de carbone plus ou moins agglomérées, des paiticules
1. voir la définition dans le paragraphe 1.2.
199

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
liquides ou solides d'alumine ou de zircone, issues de la combution de pains de propergols
solide, ou des particules issues des parois et ablatées par un jet, de tailles très
diverses. Toutes ces particules émettent, absorbent et diffusent du rayonnement en
volume. Une autre classe importante d'applications concernent les milieux verriers
(composition, bains des fours verriers, plaques de verre dans un procédé de type fioat,
ou même vitrages). Notons aussi la nécessité de modéliser les transfe1ts en milieux
semi-transparents pour les phénomènes de trempe par l'eau à très haute température,
les problèmes liés à la sûreté nucléaire en cas d'accident sévère, etc.
En principe, les transferts radiatifs dans des milieux poreux à haute température
peuvent, si la phase dense est opaque, être modélisés à partir de modèles locaux de
transfert radiatif entre corps opaques (Chapitre 6). En pratique, un tel milieu poreux
est traité comme un milieu semi-transparent continu, après une procédure d' homogénéisation
valide sous certaines conditions.
Enfin une simple couche d'air (de quelques cm à quelques m) doit souvent être
considérée comme un milieu semi-transparent en fonction de la nature de l'application
considérée. En effet un air humide, même sans phase liquide, à température ambiante
est caractérisé par une fraction molaire en H 2 0 atteignant 0,02 et une fraction
molaire en C0 2 de 3, 6.10- 4 , abondance naturelle en dehors de sources de pollution.
Certaines bandes d'absorption (et d'émission) par H 2 0 et C0 2 sont, même dans ces
conditions, d'intensités non négligeables. De ce fait, toutes les mesures radiatives réalisées
au voisinage des bandes à 2, 7 ~lm, 4,3 µm, 15 ~lm seront fortement perturbées
par le caractère semi-transparent de l'air. Les transferts radiatifs gaz-gaz perturbent
également les écoulements de convection naturelle dans des pièces de grandes dimensions.
Savoir s'il faut modéliser l'air comme un milieu semi-transparent en transfe1ts
thermiques est une question délicate, qui ne trouve de réponse que cas par cas.
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L'étude des phénomènes d'émission, d'absorption et de diffusion, l'établissement
de l'équation de transfert du rayonnement, sous deux formulations, et les conditions
aux limites radiatives courantes font l'objet des paragraphes 7.1 à 7.3.
Le paragraphe 6.4 est consacré à la résolution analytique de problèmes classiques
en géométrie monodimensionnelle, pour des milieux non diffusants éventuellement
hétérogènes et anisothermes. Le cas du mur plan hétérogène et anisothe1me est détaillé
dans la mesure où il sert de solution de référence à tout modèle de transfert
en géométrie complexe. Les cas limites essentiels des milieux optiquement minces
et optiquement épais sont abordés dans le paragraphe suivant. À la limite d' un milieu
optiquement épais sur tout le spectre, la modélisation du rayonnement par une
conductivité fortement non-linéaire en température est discutée. La méthode de dimensionnement
de Hottel pour des milieux non diffusants isothermes est introduite
dans le paragraphe 6.6 . Des exemples de transfert radiatif au sein d'un milieu diffu-
200

6.1. Généralités
sant sont abordés dans le paragraphe 6.7. Enfin les méthodes générales de transfe1t
radiatif les plus utilisées sont brièvement exposées dans le paragraphe 6.8.
6.1 GÉNÉRALITÉS
Un milieu dense homogène ou un gaz est un milieu semi-transparent, caractérisé optiquement
par un indice complexe n égal à n + }X (n est l'indice réel et x 1' indice
d'extinction du milieu). n varie en fonction de la variable d'espacer et de la direction
u. Il sera établi dans le Chapitre 7 que, pour des milieux semi-tramparents, x
est généralement petit devant n (verre, air, etc). Nous utiliserons cette propriété dans
la suite en ne considérant que 1' indice réel n pour définir les propriétés géométriques
du faisceau. Il est cependant évident que 1' absorption et/ou la diffusion volumique
par le milieu, qui lui confèrent son caractère semi-transparent sont étroitement liées
àx. D'autre part, si la fréquence d'un rayonnement qui se propage dans un milieu est
invariante dans un référentiel donné, la longueur d'onde de ce rayonnement est une
fonction de r et de u :
À(r,u) = c(r,u)/v = co/[v n(r,u)] avec n = co/c (gaz : n ~ 1) (6.1)
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où c et co représentent respectivement les célérités du rayonnement dans le milieu
et dans le vide. Si pour l'air et les gaz, en première approximation, n vaut 1 à qq
10- 4 près, il n'est pas judicieux d'utiliser À pour caractériser le rayonnement dans
un milieu semi-transparent : on utilise soit la fréquence v, exprimée en Hz et ses
multiples (c'est l'usage dans le domaine dit He1tzien, les microondes), soit le nombre
d'onde dans le vide a-, égal à v/c 0 , exprimé usuellement en cm- 1 (ou Kaiser), c'est
l'usage dans le domaine infrarouge.
La luminance du rayonnement d'équilibre dans un milieu réel dépend également
der et de u; elle a pour expression (paragraphe 10.2.2) :
2hv 3 hv _ 1 2
0 0
Lv(u, r, T) =
2
[exp(-k) - 1] = n (r,u)Lv(T)
c (r,u) T
(6.2)
où L~ (T) représente la luminance isotrope du rayonnement d'équilibre dans le vide,
ou dans un milieu d'indice n égal à 1. La luminance d'équilibre, donnée par l'équation
6.2, n'est donc isotrope que dans la mesure où n est isotrope.
La structure du troisième membre de l'expression 6.2 se généralise à des luminances
quelconques au sein d'un milieu transparent, d'indice n. Considérons la trajectoire
courbe d'un rayon (M 1 M2s) et deux éléments de surlace dS 1 et dS2 normaux
en M 1 et M2 à la trajectoire (figure 6.1) au sein d'un milieu d'indice hétérogène.
Considérons un autre rayon courbe passant par les points conjugués M 1 et M2 dans
les angles solides élémentaires respectifs d.Q 1 et dn2, dont les vecteur unités 01. et
201

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
u 2 font les angles 8 1 et 8 2 avec les normales n 1 et n 2 à dS 1 et dS 2 . Le théorème de
Clausius relative à la conservation de l'étendue optique d'un faisceau n 2 dS cos(} d.Q
s'écrit [93] :
(6.3)
L'indice réel n, la surface de l'élément dS, l'angle solide d.Q sont susceptibles de varier
entre les points s 1 et s 2 . Si, de plus, le milieu est considéré comme transparent, la
conservation du flux monochromatique d'énergie dans l' intervalle spectral dv s'écrit,
en introduisant les luminances L~ v et L~v en s1 et s2 :
Il vient, à partir des deux dernières relations, dans le cas d'un milieu transparent :
(6.4)
(6.5)
Ce résultat est analogue à l'équation 6.2 : dans un milieu transparent hétérogène à
l'équilibre, L~(T) est invariante. On généralisera, dans la suite, ce résultat au cas des
milieux considérés ici, tels que x indice d'extinction est petit devant n.
6.2 PHÉNOMÈNES VOLUMIQUES D'ABSORPTION,
D'ÉMISSION ET DE DIFFUSION
La caractéristique essentielle des milieux semi-transparents est qu'ils sont susceptibles
d'absorber, d'émettre et de diffuser du rayonnement en chaque élément de volume,
tandis que pour des corps opaques ces phénomènes étaient considérés comme
superficiels.
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Figure 6.1 - Conjugaison optique.
6.2. l Absorption
r..,;M b)
~ dQ
dV~
Figure 6.2 - Absorption en volume .
Considérons le flux d 5 cf>~ associé à un rayon élémentaire se propageant dans d.Q, en
s, normalement à un élément de surface dS dans un milieu semi-transparent. Soit
(figure 6.2a) :
(6.6)
202

6.2. Phénomènes volumiques d'absorption, d'émission et de diffusion
Ce flux est en paitie absorbé dans l'élément de volume dV compris entres et s + ds
(soit: dV = dSds). D' une manière relativement générale 2 , l'expression algébrique
du flux absorbé par un élément de volume dV est (voir figure 6.2b) :
c'est-à-dire proportionnelle à L~,
-d 6 cp'a = d 6 cf>'(s) = -K L' dVd.Qdv
V V V V
(6.7)
dV, d.Q et dv. Kv est par définition le coefficient
volumique d'absorption du milieu (généralement exprimé en cm- 1 ). La relation 6. 7
n'a de sens que si dV est arbitrairement petit, plus précisément si : Kvds « 1. On dit
alors que l'élément de volume est optiquement mince vis-à-vis de l'absorption.
>- Cas particulier d'une colonne homogène et isotherme
Pour une colonne rectiligne, de longueur l, homogène et isotherme 3 , le coefficient
monochromatique d'absorption du milieu Kv est uniforme, l'indice n est également
uniforme, donc la propagation est rectiligne. Si on considère le seul phénomène d'absorption
entres = 0 et s = l, le flux transmis en s = l s'exprime en fonction du flux
incident dans la direction Os en s = 0, par intégration de l'équation 6.7 compte tenu
de l'équation 6.6 en posant dV = dSds. Soit:
d 5 cf>~(l) = exp(-Kvl)d 5 cf>~(O) (6.8)
ce qui fait apparaître les transmittivité r~ et absorptivité œ~ de la colonne, liées par :
~ = 1 - œ~ = exp(-Kvl) (6.9)
C'est la loi de Beer, rigoureuse à condition de considérer des grandeurs monochromatiques.
L'intérêt de la configuration élémentaire de la colonne homogène isotherme
est d'être celle à laquelle se réduit un calcul dans un milieu hétérogène et anisotherme,
après discrétisation numérique.
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6.2.2 Émission
Tout milieu susceptible d'absorber du rayonnement est susceptible d'en émettre. 4 Le
flux émis dans l'angle solide élémentaire d.Q, par un volume élémentaire dV, dans dv
est, par définition :
(6.10)
17v(s) est appelé coefficient monochromatique d'émission en s .
2. Dans des milieux poreux homogénéisés, le flux absorbé peut ne pas être proportionnel à la luminance
incidente. Un formalisme généralisé, adapté à ces milieux, non Beeriens est développé dans les
références [134, 131 , 24].
3. En pratique, net K,, dépendent de la température; l'isothermie est donc nécessaire pour que le milieu
soit considéré comme homogène en net Kv.
4. On ne considère ici que l'émission spontanée de rayonnement. L'émission induite, pas toujours négligeable
en rayonnement thermique, est comptabilisée négativement dans le coefficient d'absorption
de l'équation 6.7 : voir paragraphe 10.2.3.
203

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Si on fait l'hypothèse de l'équilibre thermique du milieu, la luminance dans toute
direction et en tout point est la luminance du rayonnement d'équilibre n 2 L~( T).
D'autre part, à l'équilibre thermique, le flux absorbé est égal au flux émis; compte
tenu des équations 6. 7 et 6.10, il vient :
(6.11)
Cette relation est généralisée dans l'hypothèse de faible déséquilibre du milieu semitransparent
(qui reste au voisinage de l'E.T.L.). Dans cette hypothèse, le flux émis
par l'élément de volume dV, dans l'angle solide d.Q, a pour expression :
(6.12)
Si le milieu semi-transparent est très fortement hors d'équilibre (loin de l'E.T.L.), T/v
s'exprime directement à paitir d' un modèle cinétique local (voir paragraphe 10.2.3).
>- Cas particulier d'une colonne homogène et isotherme
On considère à nouveau une colonne homogène, isotherme, rectiligne, de longueur l,
(Kv et n uniformes : figure 6.3). À l'équilibre thermique à la température T , le flux
incident (en s = 0) et le flux partant (en s = l) sont caractérisés par la luminance
n 2 L~( T). Soit, si on considère que dS est normale à Os:
d 5 <P~(O) = d 5 <P~(l) = n 2 L~(T)dS d.Q dv (6.13)
Or, d 5 <P~(l) se compose d'un flux émis et d' un flux transmis par la colonne, soit:
(6.14)
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avec:
(6.15)
Par définition de l'émissivité monochromatique de la colonne isotherme 5 et homogène
du milieu comprise entre 0 et l, on pose :
Soit, d'après les équations 6.13 à 6.16 :
(6.16)
s~ = 1 - T~ = œ~ = 1 - exp( -Kvl) (6.17)
Les équations 6.16 et 6.17 représentent le flux globalement émis et l'émissivité globale
de la colonne de longueur l. Elles tiennent compte de 1' ensemble des phénomènes
d' autoabsorption de rayonnement par la colonne, c'est à dire des rayonnements
5. Notons que si la notion de transmittivité garde un sens pour une colonne hétérogène et anisotherme,
l'émissivité n'a pas de sens pour une colonne anisotherme.
204

6.2. Phénomènes volumiques d'absorption, d'émission et de diffusion
émis par tous les éléments ds entres et s + ds et absorbés par les éléments ds' entre
s' et s' + ds' (figure 6.4). Les équations 6.16 et 6.17 sont généralisées au cas d' un
déséquilibre thermique faible du milieu semi-transparent (hypothèse de l'E.T.L.);
l'expression générale de la luminance en l est alors, pour une colonne isotherme en
faible déséquilibre avec son environnement :
L~(l) = <L~(O) + (1 -<)n 2 L~ (T) (6.18)
Le premier terme représente la luminance du rayonnement transmis par la colonne,
le second celle du rayonnement émis globalement par celle-ci.
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d~~m
a { _______ ~o ,
s
0 s s ' J
1 1 1 1 1 1
s '+ds'
Figure 6.3 - Émission par une colonne.
Figure 6.4- Colonne discrétisée
(autoabsorption).
6.2.3 Diffusion
La diffusion du rayonnement est un phénomène volumique qui a deux effets sur le
flux d 5 <P~( s) qui se propage dans l'angle solide dQ:
• un effet d'extinction : une fraction de ce flux se propage en s + ds dans des directions,
telles que u', n'appartenant pas à l'angle solide dQ (figure 6.5a).
• un effet constructif : certains rayonnements qui se propageaient hors de l'angle
solide dQ en s, se propagent en s+ds dans cet angle solide (figure 6.5b ).
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a) b)
dQ (.<;)
Figure 6.5 - Diffusion: a) extinction, b) terme source.
dQ (s.,.ds)
Le premier phénomène est énergétiquement analogue à l'absorption du seul point de
vue du rayonnement transmis; le flux éteint par diffus.ion a pour express.ion 6 :
- d 6 <t>'d- = d 6 <t>' =-a- L' d.QdVdv (6.19)
V V V V
où a-v représente le coefficient volumique de diffusion, exprimé en cm- 1 • On introduit,
compte tenu des équations 6.7 et 6.19 un coefficient d'extinction f3v et l'albedo
Wv:
f3v = Kv + 0-v (6.20)
6. Les limitations physiques sur l'équation 6.7 s'appliquent aussi à la diffusion.
u
205

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Le coefficient d'extinction f3v vérifie:
(6.21)
où d 6 <P~- représente le flux arithmétique éteint entre s et s + ds.
>- Cas particulier d'une colonne homogène et isotherme
Les coefficient de diffusion CF v et d'extinction f3v jouent exactement les mêmes rôles
que le coefficient d' aborption Kv, du point de vue de la transmission. Si on considère
une colonne, de longueur l, homogène et isotherme, de coefficient de diffusion
uniforme CF v. les transmittivités liées à la diffusion et à l'extinction sont :
T~ = exp( -CF vl) et T~ = exp[-(Kv + CFv)l] (6.22)
Il est plus délicat de prendre en compte l'effet constructif de la diffusion décrit par la
figure 6.5b. À une luminance incidente en s, dans l'angle solide élémentaire d.Q' centré
sur la direction u', dans dv, est associé un flux éteint par diffusion (diffusion dans
toutes les dfrections) par l'élément de volume dV : CF vL~dVd.Q' dv. La probabilité pour
que la luminance éteinte soit diffusée dans d.Q(u) est (d.Q/4n)pv(u', u) où pv(u', u)
désigne la/onction de phase associée au milieu diffusant dans l'élément dV. Le flux
provenant de l'ensemble des directions de l'espace et diffusé constructivement par
dV dans l'angle solide d.Q est:
d 6 ~+ = :; dVd.Qdv [ ' p,(u', u)L~(u')d.Q ' (6.23)
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À l'équilibre thermique (température T uniforme), d 6 <P~d+, te1me de diffusion
constructive dans d.Q, compense exactement d 6 <P~d-, te1me d'extinction par diffusion
dans ce même angle solide. En effet, la fonction de phase est normalisée par la
relation :
1 [Jr
- n 2 (u' ,s)pv(u', u ,s)d.Q' = n 2 (u, s)
4n 0
Comme la luminance incidente dans u' est à l'équilibre n 2 (u',s)L~(T), il vient:
(6.24)
(6.25)
L'anisotropie de la diffusion est caractérisée par un paramètre d'asymétrie de la diffusion
9v défini par :
r47r
l
9v(uo) = 7r J o cos Bpv(u0 , u)d.Q (6.26)
4
206
Dans cette expression, e est l'angle entre la direction fixe d'incidence u 0 et la direction
courante de diffusion u. Le paramètre d'asymétrie 9v est à considérer au sens du

6.3. Équation de transfert du rayonnement
flux radiatif, comme l'atteste la présence du facteur cos e dans sa relation de définition.
Pour un rayonnement incident dans une direction u 0 , le cas g = 1 correspond
à un rayonnement diffusé dans no, soit à une distribution de Dirac avant (absence
de diffusion) ; le cas g = -1 à un rayonnement émergent dans -no, soit à une distribution
de Dirac arrière ; le cas g = 0 à un rayonnement diffusé caractérisé par un
flux global nul : la diffusion isotrope (p = 1) répond à cette propriété. Si 1' extinction
par diffusion se produit sur un volume dS ds correspondant à un trajet ds suivant la
direction no et normalement à la surface dS , gv représente physiquement le rapport
du flux associé au terme source de diffusion à travers dS au flux éteint par diffusion à
travers dS. L'importance du paramètre d'asymétrie apparaîtra dans la définition des
échelles de longueur associées au flux radiatif: voir le paragraphe 6.3.5.
6.3 ÉQUATION DE TRANSFERT
DU RAYONNEMENT
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6.3.1 Formulation locale de l'équation de transfert
Si on récapitule l'ensemble des résultats obtenus (équations 6.7, 6.12, 6.19 et 6.23),
la loi d'évolution du flux incident dans un angle solide d.Q, de direction principale u,
s'écrit:
d6 <P' = -d6 cp'a _ d6 cp' d- + d6 cp' e + d6 cp' d+
V V V V V
(6.27)
ce qui conduit 7 , dans une situation où le milieu semi-transparent est proche de
l'E.T.L., à:
d6<t>'
d V dOv dv = -(Kv+CT v)
cr (4n
L~(u,s)+Kv n 2 (u,s)L~(T)+ 4
; Jo Pv(u', u, s)L~(u' ,s)dO'
(6.28)
Pour exprimer d 6 <t>~, terme du premier membre de l'équation 6.28, considérons le
volume paiticulier dV défini sur la figure 6.6, limité en s et s + ds par les smfaces
dS (s) et dS (s + ds) normales à la trajectoire. On pose :
D'après le théorème de Clausius, il vient 8 :
d 6 <t>~ = d 5 <t>~(s + ds) - d 5 <t>~(s) (6.29)
L' (s + ds)
d 5 <t>~(s + ds) = dS(s + ds)dO(s + ds)n 2 (s + ds) ; dv
n (s + ds)
(6.30)
7. Ce formalisme est généralisé dans la référence [131 ] quand les équations 6.7 et 6.19 ne sont pas
applicables.
8. La notation condensée L~(s ) représente L~[u( s) ,s)]; la direction u dépend sur une trajectoire des.
207

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
~
dQ (s+ds)
s ~ds
Figure 6.6- Conjugaison sur un volume élémentaire (bilan).
s , 2 L~(s + ds)
d <Pv(s + ds) = dS (s)d.Q(s)n (s) 2
dv
n (s + ds)
(6.31)
Soit:
d 6 <P~
= dVd.Q(s)n 2 (s)~ (L;) dv
ds n
(6.32)
où dV remplace dS ds. Compte tenu des équations 6.28 et 6.32, il vient:
2 dL~ ' 2 o
n (u,s)-d {- 2
[u(s),s)]} = -(Kv + crv)Lv(u,s) + Kv n (u,s)Lv(T)
s n
+ ;; .(' Pv(u', u,s) L~(u' ,s)dQ'
(6.33)
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Cette équation d'évolution de la lumi.nance le long de la trajectoire, éventuellement
curviligne, d'un rayonnement est appelée équation de transfert du rayonnement.
Dans la plupart des applications, aussi bien dans les gaz et les liquides que les solides,
l'approximation d'une trajectoire rectiligne est faite, à l'exception notable de
1' atmosphère.
Dans ce qui précède, le système a été considéré à des échelles de temps telles
que la propagation du rayonnement peut être considérée comme instantanée. Dans
certaines applications spéciales (photonique des plasmas de fission ou de fusion nucléaire,
par exemple ou réponse d'un système à des impulsions laser ultra brèves :
10- 12 à 10- 15 s), il est nécessaire de considérer un premier terme instationnaire au
premier membre de l'équation de transfert qui s'écrit (1/c)ô/ôt(L~/n 2 ). Dans le premier
type d'application la capacité thermique volumique radiative l'emporte largement
sur celle associée au système matériel (voir paragraphe 10.2.3).
On retrouve dans le cas d'un milieu transparent (Kv = 0 et cr v = 0) la propriété de
conservation de la quantité L~/n 2 (équation 6.5).
208

6.3. Équation de transfert du rayonnement
6.3.2 Couplage avec l'équation de bilan d'énergie
L'équation de transfe1t est couplée, de façon multiple, à l'équation locale instantanée
de l'énergie :
pep ( ~~ + v· grad T) = div(-tgrad T) - div ( qR) + P + .. . (6.34)
La luminance L~(u, r) en un point donné9 r dépend par l'équation 6.33 du
champ de température T(r,t) en tous points du système, au sein du milieu semitransparent
et sur les parois opaques frontières : ceci est dû à l'interaction instantanée
à grande distance que constitue le transfert radiatif.
Le champ de température T(r,t) dépend du champ de luminance au point r du
milieu semi-transparent, par le terme puissance volumique radiative dissipée en
ce point noté pR(r,t) qui s'exprime classiquement à partir du vecteur flux radiatif
défini par l'équation 4.27 :
(6.35)
Soit:
pR(r,t) = - div(qR) = - (
00
Jo J4JT
( div[L~ (u,r) u] dQ dv,
où u désigne le vecteur unitaire de la direction courante.
(6.36)
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Une autre forme de pR est souvent utilisée. Dans le cas d'un milieu d' indice uniforme
(trajectoires rectilignes) il vient au premier membre de l'équation de transfe1t:
d L~ = div(L~u) .
ds
(6.37)
Quand n est uniforme, il est donc possible de remplacer le terme divergence de
l'équation 6.36 par le second membre de l'équation de transfert 6.33. Après intégration
sur toutes les directions de l'espace, les termes d'extinction et de construction
par diffusion se compensent et il ne reste plus que les termes d'émission pe et
d'absorption pa soit:
PR(r,t) = (
00
Jo J~
( Kv(r)L~ (u,r)dQdv - 4n (
00
Jo
Kv(r)n 2 L~(T)dv = P° - p e (6.38)
9. La notation L:(u,r) est la plus générale quand on ne considère pas un rayon particulier.
209

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Un dernier couplage est réalisé par les conditions aux limites thermiques, parmi
lesquelles apparaît le flux radiatif à une paroi opaque par exemple, qui s'écrit
(voir Je paragraphe 4.2.4) :
ql(r,t) = qR. n =
L r>O dv L~(r,u) n. u d.Q
Jo 4rr
où n désigne le vecteur unitaire de la nmmale à la paroi.
(6.39)
6.3.3 Formulation intégrale de l'équation de transfert
Une formulation, sous forme intégrale, del' équation de transfert se déduit del' équation
6.33 écrite formellement:
d L' L'
-d 2v + f3v 2v = S v
s n n
(6.40)
avec comme terme source Sv :
s v(u,s) = Kv(s)L~ [T(s)] + <T;(s) [JT Pv(u' ~ u,s)L~(u' ,s)d.Q'
4rrn (u, s) o
(6.41)
Privée de second membre, l'équation 6.40 a pour solution :
L'
( s
n; = C exp l -Jo f3v(s')ds')]
(6.42)
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Sous forme complète, la solution obtenue par la méthode de variation de la constante
est, si on considère une luminance incidente en s = 0 dans la direction uo :
L' L' ls ls Ls
-i<u ,s) = -i<uo,0) exp [- f3v(s')ds')J + s v(u,s') exp r - f3v(s")ds"]ds'
n n o o l s'
(6.43)
o a) b)
i i +-1
I i I
Figure 6.7- Approches continue et discrétisée d'un chemin optique.
Le premier terme de l'équation 6.43 représente le rayonnement incident en 0 et transmis
jusqu'en s; le second terme la somme des contributions des rayonnements émis
210

6.3. Équation de transfert du rayonnement
ou diffusés (terme source de diffusion) dans d.Q dans tous les segments [s 1 ,s 1 + ds 1 ]
et transmis de s 1 en s. Si on introduit la transmittivité monochromatique de s 1 à s :
l'équation 6.43 devient :
<s' s = exp[-
rs f3v(s")ds"]
Js'
(6.44)
(6.45)
ls L1 L1 ÔT1
V V I 0 I vs' s I
? (u,s) = ? (uo,O)Tvos + Lv[T(s )J--ds
(6.46)
n- n- o 8 s 1
Dans le cas particulier d' un milieu non diffusant (<Tv = O,f3v = Kv), il vient:
Sur ces expressions intégrales reposent de nombreuses méthodes de transferts radiatifs.
L'intérêt essentiel de l'équation 6.46 est de faire disparaître le coefficient d' absorption
au profit de la transmittivité monochromatique d' une partie de trajectoire
éventuellement hétérogène et anisotherme, noté <s's· Dans cette approche, il est nécessaire
de déterminer exactement toutes les transmittivités T~s's de toutes les parties
de trajectoires utiles en transfert radiatif. En général, une colonne hétérogène et anisotherme
est discrétisée (figure 6.7b) en Ne éléments homogènes et isothermes, indicés
j (j = l, .. . , Ne ) de longueurs z 1 et caractérisés par un coeffi cient d'absorption KJv·
Sous forme discrétisée, l'équation 6.46 devient :
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avec:
Remarque
I LI Ne
L
V V 1 L: o 1 1
-n 2
.(u,Nc) = ? n- (Uo,O)TvON + L v{Tj )(Tv1N· - Tv1·- 1N )
c c c
j = l
T~}Nc =exp -
(
Ne
L: Kj'vlj'
j'=j +l
J
(6.47)
(6.48)
On pourrait s'étonner que le terme source associé au seul phénomène d'émission soit
dans l' équation 6.45, compte tenu de 6.4 l , À en (Kv/f3J L~ (T)8/8 s ' r: 5 , 5
• Cela vient simplement
du fait que l'expression du terme d'émission dans l'intégrale de l'équation 6.45
est Kv L~ (T) r~ 5 , 5 • Si l'émission est caractérisée par Kv, l'extinction est caractérisée par f3v· 211

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
6.3.4 Conditions aux limites de l'équation de transfert
a) Une paroi opaque est en toute généralité caractérisée, en principe, par la donnée en
tout point d' une réflectivité bidirectionnelle monochromatique [128] p~P ;Pk (u,u' ,r).
Cette donnée locale, qu'il est généralement difficile d'obtenir, dépend de la direction
d'incidence u dans un angle solide an, de la direction d'émergence u' dans d.Q',
de la polarisation Pi du rayonnement par rapport au plan d'incidence (Il ou l.. : voir
Chapitre 7), de la polarisation Pk par rapport au plan d'émergence (Il ou 1..), de la
fréquence. Elle s'exprime à partir des indices complexes de la paroi et du milieu
semi-transparent mais dépend aussi, étroitement, de l' état de surface, de la composition
superficielle du matériau, de son histoire, etc., paramètres incontrôlables sauf en
conditions de laboratoire. Dans l'hypothèse considérée, la condition à la limite s'obtient
en exprimant la luminance L~* (u') du rayonnement quittant la paroi opaque
dans la direction u' :
1 Lf!=27r
L~k (u' ,r) = S~pk (u' ,r)n 2 L~( T) + : p~IPk (u, u' ,r) L~ 1 (u , r) cos ean
" .0=0
1 L .Q=2JT
+- p~1- P (u, u' ,r)L~1-(u,r) cos 8d.Q (6.49)
'lf f!=O k
où l'émissivité est définie pour un milieu de propagation d'indice n isotrope, par:
e~p,( L
u') = 1 - [P~w.<u, J::2• u',r) + p~.LP, (u, u', r)] cos Bd.Q ( 6.50)
L' utilisation des équations 6.49 et 6.50 est limitée, dans des situations concrètes
usuelles, par le manque de données.
Nous nous limiterons à deux hypothèses classiquement faites (voir discussion du
paragraphe 7 .1) :
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Dans le cas d'une paroi opaque optiquement lisse (en optique infrarouge par
exemple), on utilise les lois de Fresnel (réflexion spéculaire) qui dépendent de
la polarisation :
L~/u',r) = s~p/u',r)n 2 L~ (T) + [1 - s~p/u',r)]L~pk(u'* ,r) (6.51)
où u'* désigne le vecteur unitaire symétrique de u' par rapport au plan de l' élément
de paroi.
Dans le cas d' une paroi d'état de surface grossier par rapport à la longueur d'onde
du rayonnement considéré, on fait l'hypothèse d'isotropie de Sv et P v (voir le
Chapitre 6) :
1 - Sv(r) lln ·
L~ (r) = sv(r)n 2 L~ [T(r)] + L~ (u,r) cos 8d.Q
'lf 0
(6.52)
212

6.3. Équation de transfert du rayonnement
Il n'est pas cohérent, dans ces conditions, de tenir compte de la polarisation.
b) Une inteif ace entre milieux semi-transparents est caractérisée par des condi ti.ons
aux limites plus complexes (cas par exemple de la frontière d'un bain de verre en fusion
et d'un mélange de gaz de combustion: les deux milieux sont semi-transparents,
de natures très différentes). Dans le cas idéal où la surface de séparation est optiquement
lisse et stable, il convient d'utiliser les lois de Fresnel (réflexion spéculaire et
réfraction); nous nous limiterons ici à ce cas et supposerons que les parties imaginaires
des indices sont, pour les deux milieux, très petites devant les parties réelles
ni. Un rayonnement incident sur l'intelface (figure 6.8) dans le milieu 1 (d'indice n 1
supérieur à celui n2 du milieu 2), dans un angle solide d.O autour de u , est totalement
réfléchi si l'angle d'incidence Best supérieur à l'angle limite iz défini par:
(6.53)
Il est, dans le cas contraire, en partie réfléchi et en partie transmis. Les luminances
correspondantes vérifient la relation de conservation del' énergie, valable pour
chaque polarisation P (Il ou ..1) :
L;f/u,r)dS cos Bd.0 = L~(u* ,r)dS cos Bd.0 + i:p(u' ,r)dS cos e' d.0' (6.54)
En divisant cette relation par l'étendue optique nidS cos Bd.0 et en utilisant le théorème
de Clausius 6.3, on obtient la relation qui exprime la conservation de la luminance
dans le vide à l' intelface :
Li L'r z;r
Vp ( ) Vp ( * ) Vp ( f )
u,r = -? u ,r + -
2
2
u ,r
nl nï n2
-
(6.55)
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.•••• zone de
réflexion totale
Figure 6.8 - Réflexion et transmission à une interface
On définit la réflectivité et la transmittivité d'interface par :
dif>'r L'r
f Vp Vp
Pvp = dif>'i = Li
Vp Vp
et
't 'f 2
' dif>vp (Lvpfn2)
T -------
Vp - d.m.'i
'P'vp
- (L'i/
Vp n,
2)
(6.56)
213

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
avec évidemment :
Ces grandeurs sont exprimées dans le Chapitre 7.
I I 1
Pvp+ Tvp = (6.57)
6.3.5 Échelles caractéristiques du rayonnement
L'équation locale de transfert du rayonnement 6.33 peut être écrite en termes
d' échelles caractéristiques de longueur, pour des rayonnements directionnels, en posant:
• te = K; 1 : échelle caractéristique d'absorption,
• l~
• l~
= cr; 1 : échelle caractéristique de diffusion (pour une colonne),
= /3; 1 : échelle caractéristique d'extinction.
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Il vient, si on suppose l'indice uniforme :
d / ( ) 1 / ( ) 1 2 o ) 1 [ 7T / 1 1 ) Al
-LV u + -LV u = --:n Lv(T + --d
ds l~ l~ 4nlv o
Pv(U 'u,s)Lv(u s d.H. '
(6.58)
dans laquelle u désigne le vecteur unitaire de la direction de propagation de la luminance
et dQ l' angle solide associé. Les échelles d' absorption, de diffusion et d' extinction
peuvent être considérées comme des libres parcours moyens des photons,
qui se propagent en ligne droite avant qu' un évènement (absorption, diffusion, ... ) ne
survienne. Ces échelles sont évidemment à comparer à une échelle spatiale d caractérisant
le système considéré, qui apparaît naturellement au premier membre si on
pose : s+ = s/d. Un milieu sera dit optiquement épais vis à vis de l'absorption, la
diffusion ou l'extinction si, respectivement: te/d << 1, l~/d << 1 ou l~/d << 1.
Les échelles précédemment introduites sont des échelles directionnelles. On définit
également une échelle caractéristique globale de longueur associée au flux transféré.
Par souci de clarté, nous utiliserons partiellement la notation tensorielle pour représenter
une composante u 1 , suivant l'axe Ox.i, du vecteur unitaire courant u et une
composante q 1 du flux radiatif:
q7 = (
00
dv[JT u .iL~ (u)d.Q = f ~q7vdv
Jo o o dv
(6.59)
En remplaçant, en notation tensorielle, dL~/ds par u i oL~/oxi et en intégrant l' équation
de transfert locale 6.33 multipliée par u.i sur toutes les directions de l' espace, il vient
(on suppose n uniforme) :
f:Ja [ 7T u i u1 L~ (u)dQ + f3v ~q 1 ~v [ 7T = CTv u 1
ctn [ 7T pv(u',u)L~ (u')d.Q' (6.60)
u Xi o dv 4n o o
214

6.3. Équation de transfert du rayonnement
Si on fait l'hypothèse, non générale mais courante, que Pv ne dépend que de l'angle
(u', u), ce qui correspond à une fonction de phase axisymétrique, le second membre
de l'équation précédente s'écrit simplement en fonction du paramètre d'asymétrie gv,
défini IO dans le paragraphe 6.2.3 :
crv [Jr , , '[Jr 1 crv [Jr , 1 1 1 d R
- 4
L/u )dQ p(u ,u)u1dn = - 4
4ngvu 1
Lv(u )dQ = crvgv-d q jv
no o n o v ·
(6.61)
Le flux devient à paitir de l'équation 6.60 et après une transformation simple :
1 a [Jr
q1 = - ( ) dv-;- UiU 1L~(u)dQ
. Q Kv + 1 - 9v cr v UXi Q
100
(6.62)
Il ressort de l'expression précédente que l'échelle de longueur caractéristique du
transfert est : ( = [Kv + (1 - gv)cr vJ- 1 • Pour un milieu purement absorbant (cr v = 0),
l'échelle de longueur caractéristique de l'absorption au sens du flux est encore
l~ = K~ 1 . Dans le cas d'un milieu purement diffusant (Kv = 0), l'échelle caractéristique
de la diffusion au sens du flux est :
(6.63)
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Cette nouvelle échelle dépend très fortement du paramètre d'asymétrie 9v· Dans le
cas d'une diffusion isotrope (gv = 0), on retrouve l'échelle classique de diffusion.
Dans le cas extrême d'une diffusion pointue vers l'avant (gv = 1 - (v), où ?v est supposé
très petit devant 1), l'échelle de diffusion au sens du flux z~d est considérable
(égale à zegv). Il est possible de montrer par des simulations numériques stochastiques
(marche au hasard) que 3 à 5l~d COlTespond à la longueur au bout de laquelle
une composante directionnelle de la luminance (faisceau collimaté; cas d'un faisceau
laser, par exemple) est éteinte, après un certain nombre d'événements de diffusion.
Le rayonnement résultant est, si le milieu est principalement diffusant, isotrope. Ce
résultat se retrouve dans les propriétés conductives d' un milieu diffusant très épais
(voir le paragraphe 6.5.2).
10. Démonstration de la propriété utilisée :
On veut établir: S 1 = .Îon p(u', u)u 1 dn = 4nguj.
On choisit u' suivant Oz. Dans ces conditions u a pour composantes (sine cos l/f, sinesinl/f, cos e) suivant
Ox, Oy, Oz; dQ est égal à sinededl/f et Pv est seulement une fonction de cos e. Les deux composantes
S x et S y sont nulles à cause de l'intégration sur l/f. Seule la composante de u 1 dans la direction de Oz
(c'est-à-dire de u') est non nulle. D'aprés la définition 6.26 de 9v. on obtient Je résultat cherché.
215

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
6.4 TRANSFERTS RADIATIFS EN GÉOMÉTRIE
MONODIMENSIONNELLE
Le calcul des transferts radiatifs dans une géométrie complexe au sein d'un milieu
semi-transparent dense ou d'un gaz, comportant ou non des particules en suspension,
est délicat pour différentes raisons :
a) La grandeur locale clé du rayonnement, est la luminance
monochromatique directionnelle L~(u,r).
Elle dépend :
• de l'intervalle spectral considéré ; dans le cas des gaz, le fait de ne pas mener
les calculs à haute résolution spectrale impose de prendre en compte les
corrélations spectrales entre les phénomènes d'émission, de transmission et
d'absorption par la même espèce gazeuse, point délicat à traiter (voir le paragraphe
7.2);
• du point M(r);
• de la direction u considérée. Cette dépendance directionnelle est souvent déroutante
pour les mécaniciens des fluides et rend le rayonnement difficile à
intégrer dans les logiciels de mécanique des fluides. Si le milieu est diffusant,
deux niveaux de dépendance directionnelle sont à prendre en compte (4 dimen-
. ') SIOnS ..
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b) Le transfert radiatif est une interaction à distance,
caractérisée dans les applications usuelles par
une propagation instantanée du rayonnement
Le champ de luminance en un point du milieu dépend explicitement du champ de
luminances en n'importe quel point au sein du matériau ou des parois. Les luminances
en un point dépendent donc explicitement des champs de température, pression,
concentrations en tous les points du milieu et des parois, essentiellement du
fait des luminances des rayonnements émis en tous ces points. Une autre difficulté
apparaît, en paiticulier dans les gaz, liée à cette interaction à distance : la portée
de l'interaction (en d'autres termes l'épaisseur optique du milieu) est fortement dépendante
de l'intervalle spectral considéré : il y a interdépendance entre dépendance
spatiale et dépendance spectrale (voir la figure 6.9).
Le schéma précédent, déjà complexe, fait intervenir le principe de propagation rectiligne
du rayonnement pratiquement toujours admis ; il prend une dimension supérieure
dès lors que le milieu est localement diffusant; c'est-à-dire qu'en chaque point
216

6.4. Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle
r,
n,
1( V• T
M 2
1i
V
'.)
Elv
1
M1
0
X
E 2v
2
l
Figure 6.9- Portée spectrale du
rayonnement.
Figure 6.10- Mur plan homogène
isotherme.
considéré il y a un couplage fort entre la luminance partant dans une direction u et
les luminances incidentes dans toutes les directions u'. Le calcul directionnel devient
alors complètement implicite. Notons qu'en l'absence de diffusion volumique, les
calculs de transfert radiatif sont déjà rendus implicites par les conditions de réflexion
aux parois, c'est-à-dire par une autre forme de diffusion.
Dans ce paragraphe, nous nous limitons à des modèles analytiques de transfert
radiatif à travers un milieu non diffusant de géométrie monodimensionnelle. (Les
méthodes générales de transfert seront abordées dans le paragraphe 6.8). Dans une
première phase, nous considérerons les transferts à travers un milieu homogène et
.isotherme. Le problème des transferts dans un mur plan anisothe1me et hétérogène,
mais d'indice uniforme, est aussi traité : c'est pratiquement le seul cas conduisant à
une solution explicite, exploitable pour valider les modèles numériques de transfert.
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6.4. l Mur plan homogène et isotherme (sans diffusion)
On considère un milieu semi-transparent homogène (n et Kv unifo1mes) et non diffusant,
isotherme à la température T , compris entre deux parois opaques, distantes de
L, à propriétés radiatives isotropes et uniformes, d'émissivités E1v et Ezv et de températures
respectives T 1 et T 2 (figure 6.10). On se propose d'exprimer les flux radiatifs
'Pf et <p~ sur les parois 1 et 2. La démarche est dans sa structure analogue à celle
suivie dans le paragraphe 6.2. On pose, avec les notations usuelles de ce chapitre :
avec:
'P~ = f rr(Lf, - L\ , )dv (6.64)
(6.65)
Une différence essentielle avec l'approche du Chapitre 6 est l'apparition du facteur
n 2 dans l'expression de la luminance émise ; c'est une propriété du milieu de propagation,
et non du corps opaque. D'autre part, on pose:
1r
rrL; v = fo 2 L 1 /v cos e2rr sin ede (6.66)
2 17

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
La difficulté est, à ce stade, d'exprimer la luminance incidente directionnelle sur la
paroi 1, dans une direction u(B). Il vient (figure 6.10) :
(6.67)
où T'M M est la transmittivité de la colonne homogène isothe1me de M2 à M 1 , com-
2 JV
plémentaire à 1 de l' émissivité, et donnée par :
(6.68)
Les calculs sont simplifiés dans la mesure où Liv' luminance du rayonnement paitant
de 2 est isotrope. On pose alors :
µ = cose (6.69)
L'équation 6.66 devient, après un changement de variable, compte tenu des équations
6.67 et 6.68 :
en introduisant la fonction intégro-exponentielle d' ordre 3 :
(6.70)
EJ(u) = l' exp(- u/µ)µdµ (6.71)
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Cette fonction est brièvement caractérisée dans les Données de Base. Notons en particulier
que : E 3 (0) = 1/2, E 3 (3,5) ~ 5 10- 3 . L'équation 6.70 s'interprète physiquement
en introduisant les transmittivité et émissivité globales du mur 11 :
Il vient alors :
(6.72)
(6.73)
Le premier te1me de 1' équation 6.73 correspond à la transmission globale du rayonnement
pattant de 2 par le milieu compris entre les deux parois ; le second terme à
l' émission isotrope vers 1 de ce même milieu. On retrouve à travers un milieu transparent
(T12v = 1 et B1 2v = 0) que LL est égal à Liv·
11. vis-à-vis d'un rayonnement incident isotrope pour la transmittivité. Ces quantités sont évidemment
symétriques vis-à-vis de 1 et 2.
218

6.4. Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle
Pour une couche de mrneu semj-transparent homogène et isotherme, deux cas limites
sont à considérer en fonction de l'épaisseur optique ev = KvL de la couche,
quantité sans dimension :
• Si ev est supérieure à 3 ou 5, on peut en pratique considérer qu'aucun rayonnement
n'est transmis à travers la couche [2E 3 (3) = 0,024]; un tel milieu est
dit optiquement épais.
• Si au contraire ev est petite devant l, le milieu est dit optiquement mince;
en première approximation dans ce cas, les rayonnements sont intégralement
transmis par la couche (sauf dans une direction rasante); d'autre part le phénomène
d' autoabsorption au sein du milieu est négligeable.
La notion d'épaisseur optique est spectrale (liée à la fréquence); le même milieu
peut être optiquement mince, épais ou semi-transparent pour des intervalles spectraux
très voisins : ce phénomène est typique des gaz, ce qui en complique le traitement.
Le flux radiatif à la paroi 1 est donné par:
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Loo T[2vê2v7r[L~(T1) - L~(T2)] + ê[2v[l + (1 - ê2v)T12v].7r[L~(T1) - L~(T)]
êtv . 2 dv
O
1 - (1 - êtv)(l - ê2v)T 12
v
(6.74)
Cette relation s'interprète directement, compte tenu des réflexions multiples sur les
parois 1 et 2. La raison de la série géométrique qui donne sa structure au dénominateur
c01Tespond à une réflexion sur chaque paroi et deux transmissions par le milieu
semi-transparent. Au numérateur, on trouve les échanges directs paroi-paroi à travers
le milieu (premier terme) et paroi-milieu (deuxième terme, qui tient compte de
l'émission du milieu vers 1 et de l'émission du milieu vers 2, suivie d'une réflexion
;a; par 2 et d'une transmission vers 1).
'='
"'
~ 6.4.2 Exercice d'application
0
·=
J ( Exercice 6. 1 Sphère homogène et isotherme (non diffusante)
c:
.Q
g Un milieu semi-transparent homogène isotherme (n,Kv,T) est contenu dans une
} sphère à paroi opaque, de rayon R , d'émissivité êpv et de température Tp (figure 6.11).
"' s
: Établir l'expression du flux radiatif 'P~ à la paroi de la sphère.
0
c:
=i
0
@
219

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
E pv
Figure 6.11 - Sphère homogène
isotherme.
T1
E j V
n,
1 2
0 X
l
T2
E 2v
Figure 6.12 - Mur plan hétérogène
an isotherme.
Solution
Le flux radiatif <l,i sur la paroi est donné par un système similaire aux équations 6.64
à 6.67 en posant LL = L~v et Lfv = Liv (une seule paroi). Une autre différence réside dans
l'expression de T'.., M :
in2 1 V
T~ 2 M , v = exp(-2KvR COS 8)
On retrouve alors l'équation 6.73 en posant pour le milieu :
et l'expression du flux radiatif pariétal :
(6.75)
avec u = KvR (6.76)
___(6.77)
)
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0
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a.
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0
u
6.4.3 Mur plan non diffusant hétérogène et anisotherme
On considère un milieu semi-transparent compris entre deux plans parallèles, distants
de L, indéfinis, à propriétés radiatives isotropes et uniformes et caractérisés par des
conditions aux limites uniformes. La température T(x) et le coefficient d'absorption
Kv(x) ne dépendent que de x (figure 6.12). Le milieu semi-transparent, d'indice n
uniforme, absorbe et émet du rayonnement mais n'en diffuse pas. On se propose
de calculer le flux radiatif <pR(x) en tout point x compris entre les parois ainsi que
la puissance volumique PR(x). Une direction est caractérisée par le vecteur unitaire
u(B,cp) d'angle e avec l'axe Ox. Compte tenu de la symétrie plane du système, le
champ de luminances ne dépend que de cos e; on pose (voir figure 6.12) :
µ = COS 8 () E [0,n] (6.78)
La luminance du rayonnement se propageant dans la direction u vers les x positifs
(x+ soitµ> 0) est, d'après l'équation 6.46, si on poses= x/ cos():
s > s'
1 1
+ ( ) I + (0 ) ( S 2 0 ( I) Q I I
LV s,() = TvosLV ,e + Jo n LV s os' Tvs'sds (6.79)
220

6.4. Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle
X> X 1 1
+ I
1
+ 0 ( X 2 0 I 0 I I
LV (x,8) = T v0 .. Lv ( ,()) + Jo n Lv(x) ox' T vx'xdx (6.80)
Dans cette expression la luminance L~ dépend de x' par la température locale T(x')
et <x'x' égale à T~s's' désigne la transmittivité monochromatique directionnelle du
milieu, suivant u, de x' à x :
<x' /µ) = exp[-ev(x' ,x)/µ] (6.81)
ev est par définition l'épaisseur optique d' une colonne normale aux parois planes
entre x' et x ; l'épaisseur optique est une grandeur sans dimension qui joue un rôle
essentiel en transferts radiatifs :
ev(x' ,x) = ( x Kvdx"
Jx'
(6.82)
Si on considère la propagation du rayonnement vers les x négatifs (sens x-; µ < 0 et
x' > x) les quantités ev(x' ,x) et 8 ~ T~ x' x sont négatives. Il vient alors :
X 1 >X
Lx .!l
1 1 - I - 2 0 I U I I
n Lv(x )-;-Tvx'xdx
L ux' ·
Lv (x,()) = TvLxLv (L,()) +
(6.83)
L'intégrale au second membre de 1' équation 6.83 est bien positive.
Le flux surfacique radiatif en un point x quelconque vaut :
(6.84)
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où on a posé:
µ>0 'PR'(x) = 2rr f dv l' z;,,+(x ,µ)µdµ (6.85)
µ<0 µ' = - µ, ()' = TC - () 'PR_(x) = 2rr f dv l' L~-(x ,µ')µ'dµ' (6.86)
La puissance volumique dissipée en un point x est d'après les équations 6.36 :
R d<pR d<pR- d<pR+
P (x) = --(x) = -(x) - -(x)
dx dx dx
(6.87)
221

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
a) Expressions des flux
Nous ferons, à ce stade, l'hypothèse d'une distribution isotrope des luminances des
rayonnements quittant les parois notées L~ (O) et L ;,(L) ; cette hypothèse se justifie
dans les cas de parois opaques à propriétés radiatives isotropes (voir les discussions
du paragraphe 4.3.5). Dans ces conditions, il vient d'après les équations 6.80 et 6.85 :
où apparaît la fonction intégro-exponentielle d'ordre 3 notée E 3 , introduite dans le paragraphe
6.4.l a et brièvement caractérisée dans le Complément B.2. L' équation 6.88
est réécrite :
(6.89)
où apparaît la quantité :
0::; Tvx'x = 2E3 [ev(x' ,x)] ::; 1 (6.90)
qui représente la transmittivité du mur hétérogène et anisotherme compris entre les
plans x' et x vis-à-vis d' un rayonnement source isotrope (soit le rayonnement d'équilibre,
soit le rayonnement partant de la paroi). La fonction E3 vaut effectivement 1/2
pour ev = 0 et 0 pour ev ~ oo ce qui est compatible avec les propriétés d' une transmittivité.
De la même façon on obtient après intégration surµ' = - µ:
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avec maintenant :
(6.91)
(6.92)
Les équations 6.89 et 6.91 généralisent les expressions relatives à un mur plan homogène
et isotherme de type 6. 70. Les premiers termes correspondent à la transmission
jusqu'à x du rayonnement issu d'une paroi, (x = 0 ou x = L); les seconds termes
aux effets cumulés des rayonnements émis par les tranches de murs (x' ,x' + dx') et
transmis jusqu'au plan x.
Les relations permettant d'exprimer L~(O) et L-;(L) sont, pour des parois opaques
à propriétés radiatives isotropes, avec les notations de la figure 6.12 :
(6.93)
222

6.4. Transferts radiatifs en géométrie monodimensionnelle
(6.94)
(6.95)
nL~(L)dv = dip~+ ( L) (6.96)
Les quatre luminances L~ (O) , L~ (O), L~(L) et L~(L) s'obtiennent par résolution
du système linéaire associé à chaque valeur de la fréquence, à partir des équations
6.89, 6.91, 6.93 à 6.96.
b) Expression des puissances
La puissance radjative volumique pR(x) est donnée par l'équation 6.87 :
00
pR(x')=r
n[L~(L)aa TvLx - L:(o)aa T vOx]dv + f {nL~ (x)(
1 X X 0 x' -~ X
( l) (2)
- nL~ (x)()~- ~Tvx'x) }dv
(4)
lim aa' Tvxx)
(3)
(6.97)
(5)
(6)
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Les différents termes 12 de l'équation 6.98 correspondent aux puissances :
( 1) : partant de la paroi x = L et absorbée en x (> 0) ;
(2) : partant de la paroi x = 0 et absorbée en x (> 0) ;
(3) : émise par la tranche en x vers les x' > x ( < 0);
( 4) : émise par la tranche en x vers les x' < x ( < 0) ;
(5) : émise par la tranche en x' (x' > x) et absorbée par la tranche en x (> 0);
(6) : émise par la tranche en x' (x' < x) et absorbée par la tranche en x (> 0).
L'équation 6.98 s'écrit de façon plus explicite en utilisant les propriétés des fonctions
intégroexponentielles (voir le Complément B.2.):
12. on utilise : dd· rox .f(x,x')dx' = rox aa.r (x,x')dx' + lim .f(x,x').
x Jo Jo x ).J,x
(6.98)
223

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Soit:
00
PR(x) = fo 21rKv (x){L~(L)E2[ev(x, L)] + L~(O)E2[ev(O,x)])dv (6.99)
00
-fo 4rrKv(x)L~(x)dv
00
+ fo
00
+ fo
(3) et (4)
( 1) (2)
dv LL 2rrL~(x')Kv(x)Kv(x')E1 [ev(x,x')]dx'
(5)
dv lx 2rrL~ (x')Kv(x)Kv(x')E1 [ev(x' ,x)]dx' (6.100)
Les expressions précédentes, quelque peu austères, ont été détaillées dans la mesure
où le cas du mur plan traité précédemment est l'un des seuls cas réalistes qui
conduisent à une solution (presque) analytique, avec des champs monodimensionnels
de température, coefficients d' absorption et indices. Il constitue un cas-test classique
et redoutable pour tous les codes de tranfert bi- et tridimensionnels.
(6)
6.5 CAS LIMITES DE MILIEUX OPTIQUEMENT
MINCES OU OPTIQUEMENT ÉPAIS
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6.5.1 Milieu hétérogène et anisotherme optiquement
mince : moyenne de Planck
Dans de nombreuses applications, certains types de torches à plasma ou de
flammes, ... le fait que le milieu soit globalement optiquement mince simplifie considérablement
le calcul des transferts si on suppose l'environnement gris.
Considérons un tel milieu, hétérogène et anisotherme, d'indice uniforme n, caractérisé
par un coefficient d' absorption Kv(r) et un champ de température T(r). Ce
milieu est supposé entouré d'une paroi, de surface S, isotherme à température Tp,
opaque et grise, d'émissivité Ep. On supposera que cette paroi reçoit un flux incident
uniforme. Comme le milieu est optiquement mince, on néglige l'autoabsorption de
tout rayonnement émis par le milieu, y compris après un certain nombre de réflexions
(la réflectivité des parois ne doit pas être top élevée). En effet, si d est une dimension
caractéristique du milieu, le rayonnement autoabsorbé est proportionnel à (Kd) 2 , tandis
que le rayonnement émis est proportionnel à Kd, infiniment petit de référence. Le
flux radiatif surfacique moyen sur la paroi vaut:
<pR = n:(L~ - L~) = (tp - P')/S (6.101)
224

6.5. Cas limites de milieux optiquement minces ou optiquement épais
où L~, L~, rpe et rpa. désignent respectivement les luminances moyennes isotropes
des rayonnements incident et partant de la paroi et les puissances totales émise et
absorbée par le milieu.
Les puissances émise et absorbée par le milieu modifient le rayonnement d'équilibre
à la température Tp, qui règnerait dans l'enceinte si le milieu était parfaitement
transparent. Si les températures du milieu et de la paroi sont proches (a fortiori si la
paroi est beaucoup plus chaude que le milieu), les rayonnements émis et absorbé par
le milieu perturbent peu ce rayonnement d'équilibre.
Si le milieu est beaucoup plus chaud que les parois (torche à plasma,
combustion ...) ce rayonnement d'équilibre peut être cependant négligeable devant
le flux émis par le milieu. Le rayonnement absorbé par le milieu est alors négligeable
(l' autoabsortion du rayonnement du milieu est négligée et la luminance de la paroi
est négligeable devant celle du milieu). Il vient, par intégration de l'équation 6.12 :
lv r lv 'P' - 'P" ~ 4rrn 2 d V T)L~ (T) dv = 4n 2 K(r' T)crT 4 d V ( 6.102)
Kv(r'
où K(r,T) désigne la moyenne de Planck du coefficient d'absorption (tabulée
dans [116]) :
00
K(r,T) = ~ (
a-T Jo
Kv(r,T)nL~(T) dv
(6.103)
Il convient de noter que cette notion ne présente d'intérêt que si simultanément le
milieu est mince et le flux absorbé négligeable.
Il est intéressant de noter que, dans ces conditions très particulières mais courantes,
le flux pariétal moyen <pR donné par l'équation 6.102 ne dépend pas de l'émissivité
de paroi Ep·
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6.5.2 Milieu hétérogène et an isotherme optiquement épais:
loi de Fourier radiative; moyenne de Rosseland
On considère le mur plan hétérogène étudié dans le paragraphe 6.4.3 dans des conditions
telles que sur une distance 7Jv dépendant de la fréquence v et vérifiant :
1Jv > 3/Kv (6.104)
les quantités Kv, T ,ôT/ôx peuvent en excellente approximation être considérées
comme uniformes. Le milieu est alors localement optiquement épais, sur une distance
de l'ordre de T/v et le flux radiatif prend une forme remarquablement simple.
On a alors:
Vx > 1Jv n = 3,4 (6.105)
225

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Si on pose, d'après l'équation 6.82, sauf au voisinage des parois :
X 1 <X u = ev(x' ,x) et du = -Kv(x')dx' (6.106)
l
x
E3[ev(x' ,x)]dx' = -1/Kv
0 ev(O,x)
Lo
E3(u)du = E4(0)/Kv = l/(3Kv)
(6.107)
X< X 1 u = ev(x,x') et du = Kv(x')dx' (6.108)
( x E3 [ev(x,x')]dx' = l/Kv ('° E3(u)du = - E4(0)/Kv = -1/(3Kv)
J~~q
Ji
Dans ces conditions, les équations 6.89 et 6.91 deviennent, pour x > 1Jv :
oo 2Jr[ Loo n2 d ]dT
Lo 3 o Kv dT dx
r.pR+(x) = nn 2 L~(x)dv - - - -L~(T)dv -
(6.109)
(6.110)
Soit:
R [ 2 0 2n [ ( 00 n 2 d 0 ] dT
r.p -(x) =
0
nn Lv(x)dv +
3 Jo Kv dTLv(T)dv dx. (6.111)
(6.112)
expression remarquable : à cette limite des milieux optiquement épais le phénomène
de tran~fert radiatif devient de nature diffusive; ÀR(T) est une conductivité radiative,
très fortement dépendante de la température locale :
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ÀR(T) = 4 n n 2 (
00
3 Jo Kv dT
_!_ ~ L~(T)dv = l6n 2 o-T 3 /(3KR),
(6.113)
relation qui définit la moyenne de Rosseland KR du coefficient d'absorption. À température
élevée, la conductivité radiative devient pour des matériaux tels que les verres
et certains réfractaires beaucoup plus importante que la conductivité phonique, à laquelle
elle s'ajoute.
Il est imp01tant de souligner que 1' obtention de 1' équation 6.113 ne résulte pas
d'un hasard providentiel. Il y a une analogie très complète entre le transport d'énergie
cinétique par les molécules d'un gaz monoatomique, pour simplifier, qui mène à
la conductivité thermique et le transport de quanta d'énergie hv par des photons qui
mène à la conductivité radiative (voir la comparaison des flux conductif et radiatif
dans les paragraphes 4.2 et D.2). Dans un milieu optiquement épais, les conditions
du champ de rayonnement sont proches de celle de l'équilibre thermodynamique local
: c'est-à-dire que le champ ne diffère que par une petite perturbation, d'ordre 1,
226

6.6. Méthode de dimensionnement: hémisphère équivalente de Hottel
d'un état d'équilibre radiatif tangent, caractérisé par la luminance L~ [T(x)] dans
toutes les directions au point M(x). En effet, les premiers termes des expressions
des flux ql?+ et 'PR_ dans les équations 6.110 et 6.111 correspondent aux contributions
d'équilibre. Or c'est précisément au voisinage de l'E.T.L. pour la matière, et
uniquement dans ce cas, que le flux conductif peut-être exprimé grâce à l'hypothèse
de fermeture de Fourier: voir le paragraphe 10.4.l.
L'équation 6.112 est généralisée à trois dimensions sous la forme de la loi de Fourier
radiative 13 , à condition que l'indice optique local du milieu soit isotrope; dans
le cas contraire, on obtient un tenseur conductivité, comme en conduction thermique.
Notons que la très forte dépendance de À.R(T) avec la température rend les problèmes
de conduction radiative fortement non linéaires en T.
Il convient d'autre part de veiller à ce que la condition 1Jv > 3/Kv soit bien vérifiée
en tout point du système et pour toutes les zones spectrales jouant thermiquement un
rôle appréciable. Au voisinage des parois, dans les couches limites d' un fluide semitransparent
comme un verre en élaboration dans un bain, même si le mouvement est
très faible, cette condition est rarement vérifiée ; il est alors nécessaire de recourir à un
traitement exact à partir des équations 6.89 et 6.91. Un modèle monodimensionnel est
généralement approprié, de façon locale. Dans le cas d'un gaz, le milieu n'est jamais
optiquement épais sur tout le spectre utile, y compris dans le cas de l'atmosphère. On
ne retrouve pas pour de grandes valeurs de xpl un comportement de type conductif
dans toutes les zones spectrales.
Une condition quantitative de validité de la loi de Fourier radiative, due à Gomart
et Taine [51] est présentée dans le paragraphe 10.4.3.
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6.6 MÉTHODE DE DIMENSIONNEMENT:
HÉMISPHÈRE ÉQUIVALENTE DE HOTTEL
La méthode qui suit, due à Hottel [64], permet de dégrossir rapidement les calculs de
transferts radiatifs. Elle est fondée sur une hypothèse d'extrapolation hardie à partir
du traitement rigoureux du cas d'un milieu optiquement mince.
6.6. l Principe de la méthode
a) Émissivité d'une hémisphère homogène isotherme vers le
centre de sa base
On considère un milieu semi-transparent homogène et isotherme, non diffusant (d'indice
réel n unifo1me), contenu dans une hémisphère de rayon R, qui émet du rayonnement
vers l'élément de surface dS au centre de la base de cette hémisphère
13. Ce point est traité, avec de plus une diffusion anisotrope, dans Je paragraphe 6.7.1
227

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
(figure 6.13). Le flux émis par l'hémjsphère vers la smf ace élémentaire dS est,
compte tenu de l' autoabsorption du rayonnement par le milieu :
fr
d<P~ = { fo 2 [1 - exp(- KvR)] n 2 L~( T) cos B 2n sin B dB}dv dS (6.114)
On pose :
avec:
(6.115)
é:vI:O = 1 - exp(- KvR) (6.116)
Cette émissivité de l'hémisphère vers le centre sa base est formellement identique à
celle d 'une colonne gazeuse homogène et isotherme de longueur R. On introduit les
absorptivité et transmütivité correspondantes :
ŒvI:O = 1 - T vEO = é:vI:O (6.117)
Dans le cas particulier d'un milieu optiquement mince (KvR << 1), l'émissivité de
l'hémisphère de milieu homogène et isotherme est :
Ce dernier résultat, rigoureux, va servir de base à la méthode de Hottel.
(6.118)
b) Émissivité moyenne d'un milieu optiquement mince
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On considère un volume quelconque V, limité par une surface S d' un milieu semitransparent,
homogène et isotherme (figure 6.14). Si De est une dimension caractéristique
du système, on postule :
(6.119)
Dans ces conditions, le flux monochromatique émis par le milieu est intégralement
transmis vers les parois de surface S , sans phénomène d'auto-absorption :
d<P~ = dv (4rr dQ ( V Kvn 2 L~ (T)dV
Jn=o Jo
On obtient avec les hypothèses d' homogénéité et d'isothermie du milieu:
(6.120)
(6.121)
228

6.6. Méthode de dimensionnement: hémisphère équivalente de Hottel
Figure 6.13 - Hémisphère homogène
isotherme.
Figure 6.14 - Hémisphère de Hottel.
Le flux surfacique moyen émis par le milieu sur la paroi de surface totale S 14 , noté
< dcp~ >s, est:
< d<p~ >s= dr/J~/S =< Ev >s nn 2 L~ (T)dv, (6.122)
en posant:
< Ev >s= (4V/S)Kv (6.123)
< c >s est l'émissivité moyenne du milieu vers un élément de surface de S relativement
à l'intervalle spectral [v,v + dv]. Ce résultat permet de définir la dimension
caractéristique de la relation 6.1 19 :
De = 4V/S (6.124)
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9
Une interprétation physique simple de l'équation 6.123, résulte de l'équation 6.118,
relative à une hémisphère homogène et isotherme de milieu semi-transparent; la dimension
caractéristique De est le rayon de l'hémisphère équivalente qui, vis à vis
d' un point courant typique de la surface S, émet le même rayonnement que le volume
V du milieu étudié (voir figure 6.14). Toutes les considérations développées
jusqu'à ce stade sont rigoureuses, compte tenu des hypothèses faites.
c) Généralisation (hardie) à un milieu homogène et isotherme
quelconque
Le raisonnement qui suit, très pragmatique, est initialement dû à [64]. Si l'hémisphère
équivalente de rayon R = De a un sens physique pour un milieu optiquement mince,
on est fondé à espérer qu'elle reste crédible pour un milieu d'épaisseur optique quelconque.
C'est évident pour un milieu homogène et isotherme épais ; en effet dans cet
14. Il s'agit d'un flux émis par le milieu et directement reçu par la paroi, sans prendre en compte
d'éventuelles réflexions.
229

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
autre cas limite l'émissivité moyenne< cv > vaut 1. L'émissivité moyenne d'un milieu
semi-transparent homogène isotherme vers un élément moyen de sa smface est,
suivant l'hypothèse de Hottel, d'après les équations 6.116 et 6.123 :
<Sv >s= 1- exp(-Kv4V/S) (6.125)
relation postulée arbitrairement pour 4Kv V/S de 1' ordre de 1. Le flux émis par le
milieu vers la paroi est, dans cette approche, compte tenu de l' autoabsorption du
rayonnement :
(6.126)
Des comparaisons avec des calculs exacts pour un certain nombre de géométries [64,
128] révèlent des erreurs de l'ordre de 10 à 15%, introduites par l'approche crue
des équations 6.125 et 6.126. Un coefficient C, empirique, permet généralement
d'améliorer les résultats :
<Sv >s = 1 - exp(-KvCDc) c ~o,9 (6.127)
L'expression précédente très simple de < cv > permet de calculer également
une absorptivité et une transmittivité monochromatiques globales du milieu semitransparent
vis à vis de rayonnements partant, avec une luminance uniforme et isotrope,
de la paroi de surface S. Soit d~ le flux surfacique uniforme partant de S ;
on pose par définition de l'absorptivité < Œv > s et de la transmittivité < r v > s :
(6.128)
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d<P~ = d<P~ - d<P~ =< Tv >s d~ = (1- < Œv >s)d~ (6.129)
où d<P~ et d<P~ sont les flux absorbé et transmis. Notons à ce stade que d<P~ représente
la totalité du flux absorbé, dans la mesure où d<P~ prend en compte tous les
rayonnements successivement réfléchis par la paroi de su1face S.
À l'équilibre thermique à la température T du milieu semi-transparent et de la
paroi, les flux émis globalement par le gaz (compte tenu de l'auto-absorption) et
absorbé par le milieu (en provenance des parois) sont égaux. Le rayonnement paitant
de la surface S est alors :
(6.130)
230
Il vient, compte tenu des équations 6.127 à 6.130 :
< Œv >s=< Sv >s (6.131)

6.6. Méthode de dimensionnement: hémisphère équivalente de Hottel
Ce résultat est généralisé hors d'équilibre au cas d' un flux paitant des parois supposé
uniforme et caractérisé par une luminance isotrope. D'après les équations 6.129
et 6.131, il vient:
< T v > S = 1- < Œv > S = 1- < Ev > S (6.132)
où < Tv >s représente la transmittivité globale de l'ensemble de la surface S vers
l'ensemble de la surface S à travers le milieu semi-transparent, unifo1me et isotherme,
si la luminance du rayonnement partant est unif01me et isotrope.
6.6.2 Exercice d'application
( Exercice 6.2 Transferts radiatifs dans un tube
Un milieu semi-transparent homogène et isotherme à la température T, en première
approximation, et d' indice constant n circule à l'intérieur d'un tube de section carrée
d'arête a; les parois opaques sont uniformément à température Tp et caractérisées par
une émissivité isotrope Ep,,· Estimer le flux radiatif à la paroi interne du tube.
Solution
Le flux radiatif cherché est par unité de surface :
<.pR = <.pi _ ~ (6.133)
où <.pi et cpP désignent les flux surfaciques incident et partant de la paroi, supposés en première
approximation uniformes; le flux surfacique moyen partant d'une paroi s'écrit:
<.pp= Loo rr~dv =
L00
[Sp
vrrn 2 L~ (Tp) + (1- Spv )nL~]dv (6.134)
où L~ et L~ représentent les luminances monochromatiques des rayonnements incident et
partant. D'autre part, le flux surfacique incident est donné par :
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S <.pi = S Loo rrL~dv = Loo < Tv >s SnL~dv +Loo (1- < Tv >s )Srrn 2 L~ (T)dv (6.135)
Le premier terme de l'équation 6.135 représente la partie du flux partant de l'ensemble
de la paroi interne S du tube, incidente après transmission par Je milieu sur l'ensemble de
cette même paroi. Le second terme représente la cont1ibution du milieu semi-transparent
au flux incident sur la paroi de surface S. Tous calculs faits, le flux radiatif surfacique
l
s'exprime: OO 2[Lo(T) Lo(T )]
R Spv <Sv >s nn v - v P
<.p = dv
(6.136)
O 1 - (1- < Sv > S )( 1 - S pv)
Il reste à exprimer l' émissivité globale du milieu < Sv >s. Si L désigne la dimension
longitudinale du tube, le volume de milieu est V = a 2 L et la surface latérale S = 4aL. Le
rayon de l'hémisphère équivalente au milieu, en tout point, est en première approche:
Donc:
De = Req = 0,9(4V/S) = 0,9a (6.137)
<Sv >s= 1 - exp(-0,9Kva) (6.138)
231

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
6.7 EXEMPLES SIMPLES DE TRANSFERTS
RADIATIFS AVEC Dl FFUSION
Les phénomènes de diffusion sont délicats à traiter dés lors que la fonction de phase
considérée est fortement anisotrope, ce qui est généralement le cas. On doit recourir
à des méthodes numériques performantes, en pratique à la méthode de Monte-Carlo
(voir le paragraphe 6.8.4). Nous nous limiterons ici à traiter, pour illustrer certaines
propriétés de la diffusion, deux exemples.
6.7. l Conductivité radiative d'un milieu diffusant
et absorbant optiquement épais
On considère un mur plan d'épaisseur L, constitué d'un milieu caractérisé par un
indice n, des coefficients d'absorption et de diffusion Kv et cr v uniformes et une fonction
de phase de diffusion anisotrope du type Pv(u' .u) (figure 6.15). On fait, de plus,
l'hypothèse que le milieu est optiquement épais vis à vis de l'absorption, c'est-à-dire
que si d est une distance petite devant l'épaisseur L du milieu et sur laquelle on peut
considérer Tou dT/dx uniformes 15 :
(6.139)
Une conséquence de cette propriété est que :
f3vd » 1 (6.140)
Le flux radiatif ne dépend que de x, compte tenu de la symétrie du problème. Il est
donné par la relation :
ipR(x) = f dv l' L~(x,11) cos 112rr sin lldll (6.141)
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av (.r) p 1
1'1 n , '\t (.\), T (x) T2
1 2
0 X
Figure 6.1 5 - Mur plan anisotherme et
diffusant.
L
b}
11, K\f (x). T (x)
0
v (x) p 1
Figure 6.16- a) Mileu poreux réel; b)
Milieu semi-transparent équivalent.
15. Il peut sembler y avoir une contradiction entre ces deux hypothèses. En fait, c'est à l' ordre zéro de
perturbation (voir éq. 6.145) que T sera supposé uniforme sur cl et à l'ordre un de perturbation (voir
éq. 6.147) que dT/dx sera supposé uniforme sur cl.
232

6.7. Exemples simples de transferts radiatifs avec diffusion
On introduit la longueur d'extinction lev = /3~ 1 et on pose pour adimensionner l' équation
de transfe1t :
ce qui conduit à :
X+ = xjd (6.142)
(vcose~L~ + L~ = (l -wv)n 2 L~ + Wv
dx+
4n Jo
r47f pv(u'.u)L~(x+,e')d.Q'
(6.143)
Compte tenu des hypothèses faites, (v est un infiniment petit d'ordre un, qui pilote le
problème et va servir de référence dans une méthode de résolution par perturbation
de l'équation de transfert du rayonnement. On pose que la luminance est de la forme :
L 1 = L'(O) + L'( I)
V V V
Lv(O) est indépendante de (v; L~(I ) est d'ordre 1 en ?v·
À l'ordre zéro en (v, l'équation de transfe1t devient:
L ~(O)
= :; [ ' Pv(u' .u)L~(O)(x,e')dQ' + (! - Wv)n 2 L~ (T)
(6.144)
(6.145)
La solution du problème est unique. Si on suppose que L~O) est isotrope, on obtient par
intégration membre à membre de l'équation 6.145, compte tenu de la relation 6.24 :
(6.146)
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La solution d'ordre zéro en (v est la solution d'équilibre thermodynamique à la température
T. La contribution de l'ordre zéro au flux radiatif est donc nulle.
' r4Jr '(l)
A l'ordre un en (v, on se propose donc de calculer Jo Lv (x,B) cos Bd.Q à paitir
de l'équation de transfert 6.143, soit:
.f Jf
L~(l) cos Bd.Q = - n 2 (v-L~(T) cos 2 BdQ + ---2:'.
0 dx+ 0 4n 0
.f .f d Jf w Jf
cos 8dQ [
' Pv(u'. u )l~( I l dQ'
En appliquant la transformation introduite par l'équation 6.61 il vient :
(4Jr L~(l)cosBdQ = - 4 7rn2 (v ~L~ (T) + Wv (4Jr 4ngvLY) cosB'd.Q'.
Jo 3 dx+ 4n Jo
(6.147)
(6.148)
Finalement, l'expression du flux radiatif, à l'ordre 1 en (v de la méthode de perturbation
est:
ql(x) = _ 4n n2 dT ( 00 1 dL~ (T) = - ÀR dT
3 dx Jo Kv + (1 - 9v)O-v dT dx
(6.149)
233

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
avec:
4n ·Loo 1 d 0
ÀR = -n 2 -Lv(T)dv.
3 O Kv + (1 - 9v)O-v dT
(6.150)
On retrouve, généralisé à un milieu absorbant et diffusant, le résultat du paragraphe
6.5.2 (voir aussi la discussion du paragraphe 6.3.5). La discussion sur la validité
du modèle s'applique également au cas considéré ici.
Une condition quantitative de validité de la loi de Fourier radiative, due à Gomart
et Taine [51] est présentée dans le paragraphe 10.4.3.
6.7.2 Exercice d'application
( Exercice 6.3 Caractérisation d'un milieu poreux diffusant
On considère une céramique poreuse, ou un textile, sous les hypothèses suivantes
(figure 6.16) dues à [94] :
• Hypothèse Hl : le milieu est froid; l'émission the1mique du milieu est négligée
devant le flux incident.
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• Hypothèse H2: le milieu est globalement caractérisé par un indice optique n = 1,
des coefficients d'absorption et de diffusion uniformes Kv et a-v et une fonction de
phase p isotrope (égale à 1).
Il s'agit d'un modèle à l'échelle macroscopique (milieu supposé continu). À
l'échelle locale du milieu poreux, le milieu considéré pomTait être constitué d'un
empilement de grains ou de fibres, opaques par exemple, dont le comportement
collectif au sein d'un volume élémentaire représentatif (V.E.R) est représenté par
les propriétés précédentes. L'indke est alors celui de l'air dans les interstices. Le
VER est suffisamment grand pour comporter un grand nombre de grains (dimension
statistique) et suffisamment petit pour que le rayonnement soit traité avec une
approche de milieu continu caractérisé par Kv, a-v et p.
• Hypothèse H3 : il n'y a pas de discontinuité d'indice, dans la phase fluide, à la
frontière du milieu poreux. On ne tiendra pas compte ici de la réflexion due à la
phase dense dans les sections droites extrêmes du milieu. La réflexion sera alors
de type diffus (phénomène de rétrodiffusion par le milieu poreux).
• Hypothèse H4 : on adopte dans le milieu poreux un modèle monodimensionnel
de luminance, hypothèse dite de Schuster-Schwarzfield [123], avec une luminance
L~(x) semi-isotrope dans le sens de propagation positif (x > 0) et une luminance
différente L~(x), semi-isotrope vers les x < O.
234

6.7. Exemples simples de transferts radiatifs avec diffusion
On suppose que le milieu ainsi caractérisé reçoit en x = 0 une luminance isotrope
L:(O) et qu'il est semi-infini suivant x >O.
1. Définir la réflectivité doublement hémisphérique Pv= du müieu.
2. Pour un mur poreux, d'épaisseur d, caractériser les réflectivité, absorptivité, transmittivité,
propriétés extrinsèques (car dépendant de d).
Solution
l. L'équation de transfert du rayonnement régissant ce problème en luminance directionnelle
L~(x,B) est :
(6.151)
Elle se décompose en deux équations :
cos(}> 0
dL+
cos(}- v + (Kv + O"v)L~ = O"v/2[L~ (x) + L; (x)]
dx
(6.152)
dLcos
(}-v + (Kv + O"v)L~ = o-vf2[L~(x) + L;(x)]
cos(}< 0
dx
Après intégration des équations 6.152 et 6.153 sur un demi-espace on obtient:
(6.153)
(6.154)
et:
(6.155)
Le terme de diffusion no- v (L~ + L;) couple les deux équations, dont la solution est :
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avec:
L~(x) = L~(O) exp[-yvx] (6.156)
(6.157)
Les termes divergents en exp(yvx) ont été éliminés. Le milieu est dit semi-infini si : YvL »
1. C'est alors un corps opaque. Sa réflectivité Pvoo vaut :
Elle est évidemment biisotrope. On en déduit immédiatement :
(6.158)
ê voo = œvoo = 1 - Pvoo (6.159)
Quand Kv tend vers 0, Yv tend vers 0; la profondeur de pénétration dans le milieu y; 1
est grande et Pv tend vers 1 ; le milieu est parfaitement réfléchissant, sous forme diffuse.
235

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Inversement, si cr v tend vers 0, un développement limité de Pvoo tend vers 0; le milieu est
alors un corps noir. Une étude expérimentale du milieu permet de déduire Kv/crv à partir de
la mesure de Pvoo· On notera que Pvoo est une propriété intrinsèque du matériau.
2. Les conditions aux limites du système à résoudre sont: L~(O) connu, L;(d) = 0; il vient
alors:
L;(O) 1 - T~
Pv(d) = L+(O) = Pvoo 1 - 2 2
Pvoo Tv
L~ (d) 1 - P~oo
et Tv(d) = L+(O) = Tv 1 - 2 2
v
PvooTv
(6.160)
Œv(d) = 1 - Pv(d) - Tv(d) T v = exp( -')'vd) (6.161)
On ne peut définir une émissivité sv(d) d'un tel milieu que dans la mesure où il est isotherme;
on a alors : sv(d) = œv(d). Ces résultats permettent de compléter la caractérisation
du milieu poreux, dans la limite de l'hypothèse d'une fonction de phase isotrope, en déterminant
séparément Kv et O-v. On trouvera une bibliographie avancée sur le traitement
de milieux poreux considérés comme milieux continus, après homogénéisation de chaque
phase, dans le paragraphe 7 .1.3 et c.
_____ )
6.8 MÉTHODES GÉNÉRALES DE TRANSFERT
RADIATIF
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La complexité géométrique, directionnelle et spectrale des transferts radiatifs nécessite
en pratique de recourir à des méthodes numériques pour calculer les flux et les
puissances radiatives dans un système. Ce calcul des transferts 16 utilise, comme données
d'entrée, les champs de températures, fractions molaires, fractions volumiques
et l'ensemble des propriétés physiques caractérisant le milieu et les parois.
Si les transferts radiatifs sont couplés à d'autres transferts thermiques, la seule voie
praticable consiste le plus souvent à insérer successivement dans un schéma itératif la
résolution des équations de bilan pour le système matériel avec leurs conditions aux
limites et celle de l'équation de transfert du rayonnement avec ses propres conditions
aux limites (voir les couplages dans le paragraphe 6.3.2 et les conditions aux limites
radiatives en 7.3.4).
Les méthodes de transfert radiatif considérées ici sont d'une part des méthodes déterministes
(méthodes de tracés de rayons, méthodes d'interpolation ou d'ordonnées
discrètes ; méthodes de zones ; méthodes P n) et d'autre part une méthode statistique,
la méthode de Monte-Carlo, qui est probablement la méthode de l'avenir.
16. La structure générale d'un calcul de transfert a été présentée dans les paragraphe 6.4a et 6.4b.
236

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
6.8.1 Méthode de tracés de rayons
La méthode de tracés de rayons est la méthode déterministe de transfert radiatif la
plus générale, si elle est utilisée de façon rigoureuse. Elle est très proche de la méthode
de Monte-Carlo (paragraphe 6.8.4) qui peut être considérée comme sa variante
statistique.
a) Discrétisation
Un système tridimensionnel, dont une coupe de principe est représentée sur la figure
6.17, est caractérisé par des ensembles de Np nœuds de parois Pj (j = 1, ... ,Np)
et de Nm nœuds Mk au sein du milieu considéré (k = 1, ... , Nm). Ces nœuds peuvent
être distribués de façon complètement in-égulière et être, par exemple, issus d'un
maillage non structuré de mécanique des fluides. Seuls les nœuds comptent dans la
méthode, et non les mailles.
À chaque nœud de paroi Pj sont associés, en début de calcul, un ensemble de
propriétés thermophysiques :
• pour une paroi opaque, la température Tj et la réflectivité (bidirectionnelle et polarisée
dans le cas général p'!, spéculaire p'. ou isotrope et non polarisée dans la
JV · JV ··
plupart des applications p jv) ;
• pour une paroi semi-transparente ou une ouverture, les luminances monochromatiques
directionnelles Lfv des rayonnements partant de la paroi vers l'intérieur du
système considéré, qui sont issues d'un calcul de couplage avec le milieu extérieur.
De plus, une condition aux limites couramment utilisées est une condition de symétrie
à la paroi (corps opaque de réflectivité spéculaire égale à 1).
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Figure 6.1 7 - Éléments de discrétisation.
À chaque nœud de volume Mk sont associées les propriétés thermophysiques permettant
de caractériser localement le milieu : température Tb pression Pb fractions
molaires en constituants i Xki, fractions volumiques en particules i' Îki'• distributions
de tailles Pki'(R). Les coefficients d'absorption et de diffusion Kkv et <Tkv et la fonction
de phase Pkv(u ,u ' ) sont calculables à partir de ces données.
237

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
L'objectif est d'obtenir, indépendamment, les flux radiatifs <p7 aux nœuds P 1 et les
puissances volumiques radiatives Pf aux nœuds Mk. Ces deux quantités reposent sur
la détermination préalable des champs de luminances L~(P 1
,ud) et L~(Mk.ud) en tous
les points correspondants de la discrétisation pour les 2Nd directions discrètes 17 ud
de l'espace (d = 1, ... , 2Nd sur4n stéradians). Le flux radiatif surfacique <pR s'obtient
.!
alors à paitir de l'équation 6.39, la puissance volumique Pf à partir de l'équation 6.36
ou de l'équation 6.38.
b) Milieux non diffusants
Pour alléger l'écriture, les équations qui suivent ne sont pas discrétisées : le principe
de la discrétisation est donné dans le paragraphe 6.3.3.
Considérons, dans un premier temps, le cas d'un milieu non diffusant entouré de
parois opaques. Le flux pariétal <p7 en P 1 est donné par:
l
R _ 'i 'p
Loo
dv
0 2
<p j -
7r (L jvd - L jvd) COS BdQ (6.162)
où L' ! 1
et L 1 Pd sont les notations condensées des luminances directionnelles, mono-
1vc, )V
chromatiques, des rayonnements incident en P 1 et partant de P 1 , soient L~(P 1 ,ud)
et Lf (P 1 ,ud). Ljvd s'exprime à paitir de la lumjnance L~(fl1 )
du rayonnement partant,
dans la même direction ud, du point II 1 , antécédent de P 1 sur la paroi (voir
figure 6.17) ; soit en formulation en termes de transmittivités :
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L 1
.vd - L / flj)TvllP +
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n Lv[T(s)]-;-TvsP·ds
1 l _ p f 2 0 , I ,
V . J J Ü US J
(6.163)
où s désigne l'abscisse du point courant Ms sur II1P1.
Avec certains modèles de propriétés radiatives du milieu, on pourrait aussi utiliser
une formulation de l'équation 6.163 en termes de coefficients d'absorption (voir le
paragraphe 7 .2). Dans l'approche suivie, l'équation 6.163 est discrétisée et les propriétés
associées à un point Ms de la discrétisation de la trajectoire sont interpolées à
partir des propriétés correspondantes associées aux nœuds Mk de la discrétisation du
milieu 18 . Par exemple :
L~[T(Ms )] = I akL~[T(Mk)] (6.164)
k
17. Dans le cas de champs de luminances tridimensionnels fortement anisotropes, Nd doit être typiquement
choisi au moins égal à 400.
18. Notons que, par commodité, de représentation la figure 6.1 7 a trait à un plan de coupe contenant
P/1 1 et Ms mais que les nœuds Mk sont à considérer dans Je volume environnant Ms.
238

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
De la même façon, IT 1 n'est pas, a priori, un nœud de la discrétisation pariétale.
L~(Il1 ) est donc obtenu également par interpolation sur les luminances issues des
nœuds voisins P.r dans la direction ud, à la même fréquence :
(6.165)
Inversement, les luminances des rayonnements partants des nœuds P 1 , s'expriment
en fonction de la distribution anisotrope des luminances incidentes L}vd'. Soit, à une
paroi opaque 19 :
l " L'
jvd
p
- 8 '
Jvdn 2Lo(T) v J + ;. 1 Pjvd'd L'i jvd' ntd'""'
COS 0 ~l.
2Jr
(6.166)
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où P}vd'd est la réflectivité bidirectionnelle, caractérisant un rayonnement incident
dans dQ'(ud') et réfléchi dans dQ(ud): voir le paragraphe 6.3.4. Si l'application ne
comprend que des parois opaques, le système d'équations est alors clos. Après discrétisation
sur Nd di.rections, les luminances L
'
fvd des rayons partant de P 1 dans ud
s'expriment, par l'équation 6.166, en fonction des luminances Ljvd' incidentes en P 1 ,
elles-mêmes discrétisées en Nc1 directions. Réciproquement, par les équations 6.163
et 6.165, Z:! d'en P 1· s'exprime en fonction des luminances discrétisées des rayonne-
.1v .
ments partant de l'ensemble des points P.r dans la di.rection ud' . On obtient un système
linéaire de 2NpNd équations à 2NpNd inconnues : Lj~d' et Lfvc1· Les méthodes
de résolution sont diverses. Cette résolution qui conduit aux luminances L' ! d' et L 1 ~ 1
,
)V )Vt
puis au flux pariétal par l'équation 6.162 doit être conduite fréquence par fréquence.
La puissance radiative volumique dissipée en un nœud Mk résulte alors d' un calcul
explicite immédiat, en termes de coefficient d'absorption :
où L~vd
(6.167)
luminance en Mk, dans la direction Uc1 s'obtient à partir de nb point antécédent
sur la paroi, par une relation strictement analogue à l'équation 6.163, qui
nécessite également des interpolations du type l'équation 6.165 pour caractériser les
luminances des rayonnements partants des points flk. Dans le cas de modèles de propriétés
radiatives fondées sur la transmittivité, l'équation 6.167 est remplacée par une
relation du type del' équation 6.36.
Les calculs mis en jeu dans le modèle précédent sont lourds et implicites sur les
parois. De plus, la réflectivité bidirectionnelle p~ est généralement mal connue. Très
19. Une approche plus générale tiendrait compte des effets de polarisation du rayonnement.
239

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
souvent ce modèle est utilisé avec des propriétés radiatives de parois opaques isotropes.
La luminance du rayonnement pattant d' un point de paroi P 1 est alors isotrope
et 1' équation 6.166 devient :
(6.168)
où L~v représente la luminance incidente isotrope équivalente :
l Î 1
1
L . = - L . Î
d' cos B I
d.Q I
]V 7f ]V .
2n
(6.169)
Pour chaque valeur de la fréquence, le système constitué par l'équation 6.168 d'une
part et les équations 6.169 et 6.163 d'autre part n'est plus que de rang 2Np avec 2Np
inconnues : L~v et L~v · Cette méthode est praticable dans des foyers aéronautiques,
par exemple.
c) Milieux diffusants
Dans le cas d' un milieu diffusant en volume, le calcul devient implicite non seulement
en chaque point de paroi, pour chaque direction (la réfl exion est en fait un phénomène
de diffusion) mais aussi en tout point volumique du milieu, pour chaque direction.
L'équation 6.163 qui permet d'exprimer la luminance incidente dans une direction
donnée sur un nœud de paroi P,; (ou sur un nœud du milieu Mk) devient, dans une
formulation fondée sur les coefficients d'absorption Kv, de diffusion a-v et d'extinction
f3v, et en posant :
(6.170)
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(6.171)
.:t: Après discrétisation de la trajectoire, la luminance dans la direction " d', au point Ms'
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·~ de cette discrétisation, s'exprime en fonction des valeurs des luminances con-espona.
8 dantes des nœuds voisins Mk de la discrétisation du système :
(6.172)
240
La fréquence étant fixée, la luminance en un nœud quelconque de la paroi P 1 ou du
milieu Mk, pour une direction donnée ud, s'exprime donc en fonction des luminances

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
en tous les nœuds de paroi et du mrneu, pour toutes les directions. Ce calcul est totalement
implicite. En théorie, ces champs de luminances s'obtiennent par résolution
d'un système linéaire. En pratique, seule la méthode similaire, mais statistique, de
Monte-Carlo est actuellement susceptible de résoudre un tel problème, en géométrie
complexe (voir paragraphe 6.8.4).
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d) Volume des calculs requis
Pour estimer l'effort de calcul nécessité par la mise en œuvre d' une méthode de tracés
de rayons, considérons le cas simple d'un cube discrétisé en Nl nœuds dans le milieu
et 6N; nœuds de parois. Pour déterminer une luminance dans une direction donnée,
en un point, il est nécessaire de discrétiser la trajectoire en Ns segments (Ns ~ Ni). De
plus, Nir itérations sont requises pour que le calcul converge pour chaque fréquence
et Nv valeurs de la fréquence sont utilisées pour couvrir le spectre 20 .
Dans ces conditions, et quels que soient le milieu, diffusant ou non, et les propriétés
de parois, isotropes ou bidirectionnelles, le nombre d'éléments de colonne à
caractériser (par interpolation) à partir des nœuds de la discrétisation du système est,
pour le calcul des flux pariétaux : NitNv(6N;)Nc1Ns; pour le calcul (supplémentaire)
des puissances : NvNlNc1Ns.
Dans un milieu diffusant, la caractérisation d' un élément en Ms est excessivement
lourde : il convient de caractériser les luminances incidentes dans toutes les directions.
D'autre part, le rang du système linéaire à inverser, pour une valeur donnée de la
fréquence, pour accéder aux flux pariétaux est, pour un milieu non diffusant, à parois
caractérisées par des propriétés isotropes : 2(6N; ); pour un milieu non diffusant, à
parois caractérisées par des propriétés directionnelles : 2(6N;)Nc1; pour un milieu
diffusant à parois quelconques : 2(6Nf + Nl)Nc1.
Dans la méthode de tracés de rayons, les calculs de luminances directionnelles en
un point, nécessaires à la détermination des flux et des puissances, sont menés directement
et indépendamment des calculs similaires réalisés en des points voisins : ceci
permet de garantir une grande précision des résultats et de limiter la diffusion numérique.
Dans les méthodes, dites d'interpolation, abordées dans le paragraphe 6.8.2, le
volume des calculs est au contraire optimisé en utilisant les résultats obtenus en des
points voisins, au prix d'une très forte diffusion numérique.
6.8.2 Méthodes d'interpolation et d'ordonnées discrètes
Nous regroupons sous ces appellations la très populaire famille de méthodes équivalentes,
dites aux ordonnées discrètes, [47, 48, 49, 145, 118] par exemple et des mé-
20. ou Nv valeurs de la discrétisation du coefficient d'absorption dans certains modèles globaux : voir
SLW et ADF dans le paragraphe 7.2.
241

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
thodes de transfe1t radiatif par interpolation directe [158]. Les idées principales de
ces méthodes sont, dans un souci d'allègement des calculs :
• de calculer les luminances dans une direction donnée, de proche en proche, par
interpolation ou à partir d' un bilan de maille (ordonnées discrètes);
• éventuellement d'alléger la discrétisation directionnelle en utilisant des quadratures
pour intégrer sur les directions. Le nombre de directions prises en compte
passe alors d'au moins 200 à une dizaine (en ordre de grandeur): c'est la deuxième
originalité, purement technique, de la méthode des ordonnées discrètes. L'usage de
ces quadratures se justifie pour des champs de luminances assez faiblement anisotropes.
I1 est évident que les gains en volume de calcul se traduisent par une perte
de précision, tout au moins dans des cas réellement tridimensionnels, caractérisés
par des champs de luminances anisotropes et des zones chaudes localisées.
La structure du calcul des flux pariétaux et des puissances volumiques est identique à
celle de la méthode de tracés de rayon. Nous aborderons ici le calcul des luminances
par la seule technique d' interpolation directe dans le cas d' un milieu absorbant et
émissif 2 1 , mais non diffusant, au sein d' un schéma itératif.
On suppose avoir détermjné, à l'itération n, la distribution des luminances des
rayonnements partants de tous les nœuds de parois P 1
, soient ((v~n), et des luminances
en tous les nœuds Mk du milieu, L~~ - À l'itération (n + 1), on calcule pour chaque
direction ud, les luminances de proche en proche en partant d' une paroi, suivant le
schéma décrit sur la figure 6.18. Il s'agit de déduire la luminance L~vd au point D ,
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Figure 6.18 - Schéma d'interpolation.
Figure 6.19- Distribution schématique
des zones .
dans la direction ud, à partir des lumfoances 22 en A,B et C, dans cette même direction,
supposées connues. Soit D' l'antécédent de D dans le plan ABC et dans la direction
uc1, et E le milieu de D' D. On pose:
(6.173)
21. Ces méthodes sont peu adapatées à un calcul de diffusion avec une fonction de phase complexe.
22. Le schéma peut s'appliquer à N luminances connues.
242

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
avec évidemment :
L~'vd = ~ a1 L~vd (6.174)
f =A,B,C
À la fin du processus, l'ensemble des luminances directionnelles des rayonnements
incidents en P 1 sont exprimés en fonction des luminances des rayonnements pa1tants
des Pi' et on retrouve la structure du calcul du paragraphe 6.8.1. L'allègement du calcul
est considérable. Cependant, ces techniques d'interpolation sont lourdes à mettre
en œuvre avec des maillages curvilignes complexes, en particulier au voisinage des
parois. Notons que l'usage des équations 6.173 et 6.174 n'est pas compatible avec
une formulation des propriétés radiatives d'un gaz en transmittivité moyenne (modèles
statistiques à bandes étroites : voir Chapitre 7) dans la mesure où l'information
sur les corrélations spectrales ne peut être conservée entre T~D' D et L~ ' vd·
En te1mes d'efforts de calculs, les gains de ces méthodes par rapport aux méthodes
de tracés de rayons proviennent :
• d'un nombre réduit d'éléments à caractériser pour le calcul des flux pariétaux :
NitNvC6N1)Nd, soit un nombre divisé par Ns (nombre de discrétisations d'une colonne);
• de la supression des calculs supplémentaires pour obtenir les puissances volumiques.
• Par contre, les rangs des systèmes matriciels à inverser sont inchangés dans tous
les cas.
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6.8.3 Principe de réciprocité, méthode des zones
La méthode des zones [64] généralise à des milieux semi-transparents absorbants,
diffusants et émissifs la méthode des flux incidents et partants du paragraphe 6.2.
Nous nous limiterons au cas d'un milieu non diffusant mais généraliserons la présentation
de la méthode, par rapport à celle de Hottel et Sarofim, en introduisant une
dimension spectrale.
a) Principe de réciprocité
Le système est discrétisé en Np surfaces opaques S P• isothermes, recevant des flux
incidents uniformes et caractérisées par des propriétés radiatives uniformes et isotropes
(émissivité Epv) et Nm volumes homogènes, caractérisés par un coefficient
d'absorption uniforme Kmv, et isothermes à Tm (voir figure 6.19). Le flux d<t>~lv partant
de Si et incident sur S 1 vérifie :
(6.175)
243

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
où (siSJ)v est appelée surface efficace de transfert et où r;jv est la transmittivité spectrale
du milieu du centre de dS i au centre de dS j, distants de rij. À partir de la relation
de réciprocité 4.107, il vient :
(siSj)v = (SjSi)v
Le flux émis par Si et absorbé par S .i est :
Tijv = Tjiv
(6.176)
d<Pf}v = êiv(SiSj)v1rn 2 L~(Ti)êjv dv
(6. 177)
Compte tenu des symétries des équations 6.177 et 6.176 vis à vis de i et j, il vient
(principe de réciprocité) :
(6. 178)
où d<P)fv est le flux émis par S jet absorbé par Si·
Considérons maintenant les échanges entre un volume élémentaire dVi d' un milieu,
de coefficient d'absorption Kiv et de température Ti, et une surface élémentaire
dS 1 . Le flux émis par dVi et absorbé par dS j est:
(6.179)
où r' 1
.. est la transmittivité monochromatique du milieu entre les centres i et j des
)V
éléments dVi et dS j· Remarquons que l'expression précédente représente aussi le flux
émis par la surface dS 1 à température Ti et absorbé par dVi (réciprocité). La surface
efficace de tramfert (gisJ)v caractérise l'échange entre le volume global discret Vi,
supposé isotherme à Ti et caractérisé par Kiv uniforme, et la surface S .i :
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(gis)v = - dVi
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7r v. s. r ..
1 J Lj
COS 81dS .i
(6.180)
Compte tenu des symétries, le principe de réciprocité s'écrit dans ces conditions :
(6.181)
La puissance émise par un élément de volume dVi, isothe1m e à Ti et directement
absorbée par un élément de volume dVj s'écrit:
dPf}v = Kivn 2 L~(Ti)dVi< 1JiKjvdVjdv (6.182)
On introduit la smface efficace de transfe1t (gig j)v caractérisant 1' échange entre les
volumes globaux discrets Vi et V 1 isothe1mes à Ti et T 1 de coefficients d'absorption
Kiv et Kjv uniformes :
(6.183)
244

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
La puissance émise par Vi et di rectement absorbée par v 1 s'exprime dans ces conditions
:
(6.184)
et le principe de réciprocité :
dP)fjL~ (Tj ) = (gigj)vn 2 ndv = dfJ>f}jL~ (Ti ) (6.185)
Le pricipe de réciprocité s'applique aussi à un milieu diffusant, y compris de façon
anisotrope.
b) Méthode des zones de Hotte! [64]
Compte tenu des équations 6.178 et 6.181 , le flux radiatif dc/>fv à la paroi S i s'exprime
en fonction des flux algébriquement échangés entre S i et les parois courantes
S 1 d'une part, les volumes courants VJ' d'autre part. L'ensemble des surfaces S 1
constituent une enceinte fermée. L'ensemble des volumes VJ' recouvrent la totalité
du milieu semi-transparent. Soit :
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dc/>fv = I €iv€jv(sis)vn 2 n[L~ (Tj ) - L~(Ti)]dv
j
+ I ê iv(l - Sjv ) (siSj) vn 2 n [L~v - L~(Ti )]dv
j
+ I Siv(gj' Si)v n 2 n [ L~ (Tj' ) - L~(Ti)] dv
j'
(6.186)
(6.187)
Le deuxième terme du second membre de l'équation 6.187 tient compte des flux réfléchis
par les surfaces S 1 , non pris en compte dans la formulation en flux d'échange.
De la même façon, la puissance radiative dans un volume Vi s'exprime en fonction
des puissances échangées avec l'ensemble des S 1 et des VJ' :
dPfv = I S,;v(gis,; ) v n 2 n [L~(Tj) - L~(Ti) ]dv
j
+ Io - Sjv)(sJgi)vn 2 n [L~v - L~ (Tï ) ] dv
j
+ L (gi g.i' )vn 2 n[L~ (T.r ) - L~(Ti) ]dv
.i'
(6.188)
(6.189)
Dans les équations 6.187 et 6.189 L~v représente la luminance monochromatique isotrope
équivalente incidente sur la paroi S 1 , qui s'exprime à partir d'expressions généralisant
celles du paragraphe a :
S 1 L~v = .l: CskSJ)vL~ + .l: (gk'Sj ) vn 2 L~ (Tk 1 ) (6.190)
k
k'
245

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
(6.191)
En pratique, la méthode des zones a généralement été appliquée à des milieux gris
(K uniforme) ou gris sur quelques bandes spectrales. C'est dans ce cas une méthode
précise, souvent considérée comme de référence. Elle peut donc être utilisée pour
traiter certains milieux denses.
La méthode des zones nécessite des temps de calcul importants. Si, comme pour
la méthode des tracés de rayons, une enceinte cubique est discrétisée en Nm = N~
l
volumes et Np = 6Nf surfaces pariétales, on a C~m ,..., (N? )/2 quantités (gigj)v à
calculer dans un cas général, par bande spectrale considérée, sans compter les (gi sj)v
et (sis)v· Le calcul d'une quantité telle que (gigj)v est complexe et laborieux et ne
peut faire l'objet de tabulations dès lors que l'hypothèse d'un coefficient d'absorption
K uniforme sur une bande spectrale n'est pas acceptable.
La méthode est numériquement inadaptée à traiter le cas de milieux et de parois
présentant des structures spectrales complexes. En effet le calcul ab initio de toutes
les surfaces effi caces (sis j)v, (sig j)v et (gig j)v dans une géométrie complexe et pour
toutes les fréquences requises par le calcul de transfert est prohibitif. Il vaut mieux
dans ce cas utiliser la méthode de Monte-Carlo, méthode statistique, qui présente une
certaine parenté avec la méthode déterministe des zones (utilisation fréquente de flux
d'échange et du pricipe de réciprocité).
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6.8.4 Méthode de Monte-Carlo appliquée aux transferts
a) Principes de base et architecture du calcul
La méthode de Monte-Carlo est une méthode de traitement stochastique d'un problème
dont la physique est parfaitement maîtrisée (lois déterministes et toutes les
conditions d'application connues) : entre d'autre termes, c'est une expérience numérique
de simulation d'un problème physique, dont les solutions sont valables à la
limite des grands nombres de réalisations. À chaque résultat numérique de la méthode
sera donc associé un écart type, caractérisant sa validité.
Appliquée aux transferts radiatifs [65, 151, 44, 137], la méthode de Monte Carlo
permet de simuler un probème complexe en suivant le devenir de « paquets de puissance»,
qui constituent des grains élémentaires à l'échelle de la méthode mais correspondent
à un nombre très élevé de photons par unité de temps (approche mésoscopique).
Une enceinte est discrétisée comme précédemment en éléments discrets (smfaces
opaques 23 discrètes Si caractérisées par des températures Ti et émissivités Ei(v, (} ,cp)
23. Si une paroi est (semi) transparente, des conditions aux limites radiatives adaptées sont alors utilisées
: couplage entre deux milieux.
246

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
uniformes et volumes djscrets v 1 , caractérisés par des températures T 1 et coefficients
d'absorption et d'extinction KJv cr 1v, et des fonctions de phase PJv uniformes). L'objectif
concret est de calculer dans cette enceinte les flux radiatifs <Pf et les puissances
radiatives PJ se rapportant respectivement aux éléments Si et v 1 . Les puissances PJ
sont utilisées dans les équations de bilan d'énergie associées au système et les flux
<Pf dans les conditions aux limites thermiques (voir paragraphe 6.3.2).
Remarque importante
Dans la méthode de Monte-Carlo, on considère comme émission par un volume V)
la seule émission physique, sans tenir compte de/' autoabsorption par V) du rayonnement
que ce volume émet. Ce phénomène d' autoabsorption sera pris en compte dans
le calcul global comme absorption dans V) d'une partie de son propre rayonnement.
La méthode de Monte Carlo utilise de façon optimale le principe de réciprocité,
dans une formulation qui généralise celle du paragraphe précédent. Quelque soit le
trajet 24 suivi par les rayons couplant deux cellules k et k' (surfaces élémentaires Si
ou volumes élémentaires V 1 ), la puissance monochromatique Pff,v émise par k et absorbée
par k' est liée à la puissance monochromatique Pf~kv émise par k' et absorbée
park:
(6.192)
Chacune des cellules k du système (Si ou V 1 ) émet une puissance dépendant de
ses conditions thermophysiqes. Ce phénomène d'émission est traité grâce à un très
grand nombre Nk de tirs discrets de rayons, qui représentent statistiquement les points
sources, fréquences et directions d'émission correspondant aux lois physiques. Dans
des conditions idéales, on est en mesure de calculer l'ensemble des puissances radiatives
échangées 25 P~k'v relatives à tous les couples k, k' :
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(6.193)
On en déduit les flux <Pf et les puissances PJ sur les surfaces Si et dans les volumes
V,;, par sommation des échanges avec toutes les autres cellules k' du système :
cpf = ~p~'v (6.194)
k'
D'une manière plus précise, une puissance P 'fcv/Nk est émise d'une cellule k lors de
chaque tir d' un rayon, dont les coordonnées du point d'émission au sein de la cellule,
24. Ce trajet inclut divers phénomènes de réflexion pariétale ou de diffusion volumique.
25. Dans un système complexe, c'est, à ce jour, irréaliste. Dans un volume discrétisé en 100 3 mailles,
à la limite des grands nombres (10 3 valeurs de la puissances par maille), il faut stocker environ 10 9
informations.
247

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Figure 6.20- Exemples de trajectores issues: a) de S;; b) de Vi .
les angles de la direction d'émission et la fréquence sont obtenus à partir de tirages
de nombres aléatoires, de façon à respecter les fonctions de distribution cumulée
de ces grandeurs (paragraphe b). La trajectoire associée à ce tir est constituée d'un
ensemble d'éléments rectilignes (figure 6.20). En effet, une réflexion sur une surface
discrète ou une diffusion au sein d'un volume discret se traduit par un changement
de direction du rayonnement. La probabilité d'occurence de chaque évènement de ce
type et la nouvelle direction sont définis par des tirs de nombres aléatoires respectant
statistiquement les lois de la réflexion ou de la diffusion, supposées connues, selon
une procédure également expliquée dans le paragraphe c.
Dans un calcul de Monte Carlo pur, la puissance associée à un tir de rayon est
absorbée en un point de la trajectoire appartenant à une cellule k' (surface ou volume
é lém entaire)~ soit <JXi~'v, cette puissance. Le point d'absorption est déterminé à partir
d'une procédure statistique détaillée dans le paragraphe c.
La puissance radiative échangée entre les cellules k et k', calculée à partir des Nk
tirs t émis de k est d'après l'équation 6.193 :
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Pfk'v = -1{,kv = - L Pfc%1v t[l - L~ (Tk1 )/ L~( Tk)] . (6.195)
t=I
Une autre manière de calculer la même puissance est de considérer les tirs émis par
la cellule k' :
Nk'
Pfk'v = -P:,kv = L pZ~kv t' [1 - L~(Tk)/L~(Tk' )] · (6.196)
t'= I
248
b) Formulation statistique de l'émission par un volume
Commençons par considérer le phénomène d'émission d' un point de vue statistique
dans le cas d' un volume discret. La probabilité pour qu' un flux émis lors d' un tir t
à partir du volume Vj le soit précisément dans l' intervalle de fréquence (v, V+ dv],

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
dans les directions définies par les intervalles angulaires [8, e +dB] et [<p, <p + d<p] et
dans l'élément de volume dV, autour d'un point M(x,y,z) est:
d1j Kjvn 2 L~(T1)dvsin8d8d<pdV1 Kjvn 2 L~( T1)dv sinBdB d<p dV1
= = ------- - -
1j 4.rrVj Jo 00 Kjvn 2 ~(T1)dv Jo 00 Kjvn 2 L~ (T1)dv 2 27r V:i
(6.197)
où tpe, désigne la puissance physique totale émise par V 1· sans autoabsorption. Dans
J .
l'équation 6.197, apparaissent les fonction de distribution fi(B), fi(<p) et f3(v) des
grandeurs indépendantes 8, <pet V:
fi(8) = sin8/2; h('{J) = l/(2rr); f3(v) = Kjvn 2 L;(Tj)[f Kjvn 2 L;(Tj)dv)r 1
(6.198)
et une fonction de distribution jointe f4(x,y,z) associée à la position du point de tir
dans le volume. L'équation 6.197 devient :
d~
~ 1 = f1 (B)de f2(<p)d<p f3(v)dv f4(x,y,z)dxdydz
J
(6.199)
À partir de cette approche, il est possible d'affecter à chaque tir t par une méthode
Stochastique des Valeurs des Variables indépendantes 8, <p et V et dépendantes X, y
et z. Pour respecter les lois physiques de l'émission, on considère la fonction de
distribution cumulée de chaque variable indépendante, qui est une fonction monotone
croissante, inversible, dont les valeurs appartiennent à l' intervalle [O, l]. Dans le cas
de la fréquence v, on obtient la fonction de distribution cumulée g3(v) :
0 $ g3(v) = L v Kjv'L;,(Tj)dv'/[f KjvL;(Tj)dv)] $ 1 (6.200)
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La méthode consiste à tirer à partir d'un générateur de nombres aléatoires dans [0, l]
une valeur av et à inverser la fonction de distribution cumulée, en posant :
(6.201)
ce qui conduit à une réalisation statistique Vr de la valeur de la fréquence du tir. À
la limite des grands nombres de tirs (Nk très élevé), la loi physique de l'émission est
respectée de façon précise. De la même façon, les fonctions de distribution cumulées
associées à e et <p sont :
8 E [0,rrj Ü $ g1 (8) =.((sin 8/2)d8 = (1 - COS 8)/2 $ J
'P E [0,2rr] 0 $ g2('/') = f (1/2rr)cùp = '{J/2rr $ 1
(6.202)
(6.203)
249

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
Pour chaque tir t, les angles de la direction d'émission sont défini s pare, = g! 1 (ag)
et 'Pt = g2 1 (aip) à partir des tirages indépendants des deux nombres aléatoires ag et a'P
dans l'intervalle [0, l]. Des algorithmes spécifiques permettent de tirer aléatoirement
un point d'émission M (x,y,z) au sein du volume V 1 .
c) Formalisme pour l'absorption et la diffusion dans un volume
Les phénomènes d'absorption et de diffusion sont, dans une stricte méthode de
Monte-Carlo, également modélisés statistiquement à partir d' un grand nombre de
tirages de nombres aléatoires. Considérons, d'abord, un milieu non diffusant et un
chemin optique ne rencontrant pas de paroi. L'absorption volumique est tirée aléatoirement
sur ce chemin optique, caractérisé par l'abscisse curviligne s depuis le point
origine. On introduit la fonction de distribution d'absorption j~ ( s ) , telle que la probabilité
d'absorption entre s et s + ds est donnée par :
dPa(s) = fa(s)ds =exp[-L' Kv(s')ds']Kv(s)ds (6.204)
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et 9a(s), fonction de distribution cumulée d'absorption le long du trajet, qui est une
définition statistique de l'absorptivité de la colonne hétérogène [0,s] :
rs rs' rs
0 :::; 9a(s) = Jo exp[- Jo Kv(s")ds" ]Kv(s')ds' = 1 - exp[- Jo Kvds'] = œ~sv :::; 1
(6.205)
Un tirage aléatoire d'un nombre aa, compris dans [0, 1], permet de déte1miner par
inversion de l'équation 6.205 la distance sa au bout de laquelle toute la puissance
~/Nk du tir t est en totalité absorbée : sa = g~ 1 (aa). Dans cette approche de la
méthode, toute la puissance est absorbée dans la cellule k' à laquelle appartient le
point d'abscisse curviligne sa :
(6.206)
Remarque
La plupart des logiciels reposent, en fait, sur des méthodes hybrides dans lesquels
l'absorption est traitée de façon déterministe et continue, tout au long du chemin
optique brisé de la trajectoire (voir, par exemple, Tessé et al., [13 7]). La puissance
'P~~' v r absorbée par un volume discret j' est calculée lors de chaque traversée de ce
volume par la trajectoire. Cette méthode hybride accélère la convergence du processus
(diminue les écarts-types pour un nombre de tirs fixé).
250
Si l'absorption est traitée de manière déterministe, la diffusion est généralement
traitée de de façon stochastique. Le couplage de ces deux approches est rendu possible
par l'indépendance statistique des phénomènes d'absorption et de diffusion. En

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
effet, la probabilité pour qu'il y ait diffusion entres et s + ds sur un chemin optique
est donnée par :
J'
dP d(s) = exp[- /Jv(s')ds']a-v(s)ds
ls ls
= exp[ - Kv(s')ds']{ exp[ - <T v(s')ds']a-v(S )ds)
(6.207)
Le premier facteur du second membre représente la transmission liée à l'absorption
de 0 à s et peut être calculé de façon déterministe, le long du trajet. Le second facteur
est la probabilité de diffusion pure entre s et s + ds et peut être calculé de façon stochastique,
exactement comme il vient d'être fait pour l'absorption (équations 6.204
et 6.205). Un nombre aléatoire ad est tiré dans l'intervalle [0, l] et le point d' extinction
sur la trajectoire est défini par: sd = g"'d 1 (ac1); gc1(s) est donnée par l'équation
6.205, dans laquelle [Jv(s) est substitué à Kv(s). La diffusion ne contribue pas au bilan
énergétique des cellules k'.
À ce stade, la nouvelle direction du rayon après diffusion dans la cellule k' est
obtenue à partir de tirages de nombres aléatoires dans [0, l] associés aux nouveaux
angles 8c1 et tpd, en utilisant Pv k' (e, tp, 8c1, 'Pd), fonction de phase de diffusion de la
cellule k'.
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d) Formalisme pour l'émission, l'absorption et la réflexion par
une surface opaque
Par souci de simplicité, nous limiterons ce paragraphe au cas d' une smface opaque
discrète d' émissivité isotrope 26 Eiv· Par analogie avec l'équation 6.197, la probabilité
pour qu' un flux émis lors d'un tir t à partir de la surface Si le soit précisément dans
l'intervalle de fréquence [v, v + dv] , dans les directions définies par les intervalles
angulaires [B, e +dB] et [tp, tp + dtp] et dans l'élément de smface dS, autour d'un
point M(x,y,z) est:
dP~
l
=
Eivn 2 L~ (Ti)d v sine cos 8d8dtpdS
rpe:
l nS i fo00
Eivn 2 L~(Ti)dv (6.208)
= f{(B)dB f2 (tp)dtp J;(v)dv f~(x,y,z)dxdydz
OÙ apparaissent les fonctions de distribution des variables indépendantes 8, l.fJ et V :
f f{ ( 8) = sinW ; /2( tp) = l/(2rr) ; f3( v) = E;vn 2 L~ (T;)[ E;vn 2 L~ (T;) dv)i- 1 ( 6.209)
26. La méthode est généralisable sans difficulté au cas d'une réflectivité bidirectionnelle et bipolarisée
pour caractériser le corps opaque; dés lors que l'émissivité (la réflectivité) n'est pas isotrope, il faut
utiliser des fonctions de distribution jointes en e,, 1.p,, v, .
251

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
et la fonction de distribution jointe associée à la position du point d'émission sur
S i· Trois tirs indépendants dans l'intervalle [0, 1] de nombres aléatoires a 8 , a'P et av
conduisent à une réalisation statistique de l'ensemble des valeurs ( 8 1 , 'fJr , v 1 ) caractérisant
le tir t, par des relations du type : X 1 = g.X\ax) où gx est la fonction de
distribution cumulée associée à X (X=(), cp, v). Le point d'émission sur la surface est
obtenu à partir d'un algorithme spécifique.
Le traitement de l'absorption ou de la réflexion d'un rayon issu d' une cellule k
par une surface opaque Si repose sur le fait que l' émissivité Eiv est la probabilité
d'absorption. Dans une méthode pure de Monte Carlo, un nombre aléatoire aa est
tiré dans l'intervalle [0, l] ; si aa < é;v, la puissance tf>%/Nk transportée par le rayon
est absorbée par la cellule i ; dans le cas contraire, le rayon est réfléchi. Dans une
approche hybride semi-déterministe, aucun tir de nombre aléatoire n'est pratiqué, la
fraction éiv de la puissance incidente sur la paroi opaque (inférieure à tf>%/Nk dans la
mesure où l'absorption a été traitée continûment au long de la trajectoire) est absorbée
dans la cellule i.
La réflexion est physiquement un phénomène de diffusion et la procédure de détermination
de la nouvelle direction du rayon est similaire à celle de ce cas. Avec
une réfl ectivité isotrope, deux nombres aléatoires indépendants ae, et a'P,. sont tirés
dans l'intervalle [0,l], selon les mêmes règles que pour l'émission isotrope (équation
6.202 et 6.203).
e) Convergence et précision de la méthode de Monte Carlo
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Le contrôle de la convergence de la méthode nécessite de recourir parallèlement au
calcul de toute grandeur au calcul de l'écait type sur cette grandeur. Une méthode
usuelle consiste à exploiter les tirs de trajectoires successifs. Avec ion+I tirs, un écart
type sur dix réalisations de ion tirs est calculé. Quand n est suffisamment élevé, l'écart
type évolue à la limite des grands nombres en N~:f 2 . La convergence sera réputée
atteinte dès lors que les champs moyens sont stabilisés et que l'écart type est stabilisé
sous un seuil fixé a priori. Cette convergence est lente mais la méthode est précise.
Un grand avantage de la méthode de Monte Carlo, adaptée aux systèmes de géomètrie
complexe, est que les temps et volumes de calcul ne croissent pas en raison
de la complexité du problème traité. Par exemple, ajouter le traitement de la diffusion
avec une fonction de phase complexe à celui de l'absorption par le milieu fait
croître les temps et volumes de calcul dans une proportion bien moindre qu'avec
une méhode déterministe. Autre exemple, traiter les propriétés radiatives d'un gaz
par un modèle évolué (CK modèle statistique à bandes étroites, voire raie par raie)
n'engendre pas un volume considérable de calculs supplémentaires par rapport à une
rustique méthode de gaz gris.
252

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
À ce jour, la méthode de Monte Carlo est utilisée pour la modélisation numérique
de transferts the1miques couplés, entre turbulence et rayonnement des gaz avec ou
sans particules, par exemple. Elle est alors couplée à un modèle de turbulence : k-E
[137, 41], LES [1 60] ou même DNS [161], ...
6.8.5 Approximation différentielle : méthodes
P1 ,P3, ... , P2n+ 1
a) Principe général
Une des difficultés essentielles des transferts radiatifs est de prendre en compte le
champ directionnel des luminances L~(r,u), en tout point M(r), pour tout intervalle
spectral v, et pour toute direction caractérisée par u(B,<p). Une approche mathématiquement
séduisante consiste à décomposer L~ sur une base complète de fonctions
dépendant séparément de r et u, et de convergence rapide vis à vis de u(B,<p). La
référence est la base complète des haimoniques sphériques Yin(B,<p) [2], telle que :
(6.210)
où le symbole * désigne le nombre complexe conjugué. On pose :
{X) +/
L~(r,u) = I I A?~(r)Y;n(B,<p) (6.211)
l=O m=-l
où les A~(r) sont inconnues. La méthode P 1 consiste à arrêter le développement à
l'ordre l = 1; P3 à l'ordre l = 3; P2n+I à l'ordre l = 2n + 1. Les coefficients A~(r)
sont les moments de la luminance L~ par rappo1t aux harmoniques sphériques :
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A m.(r) = !rr L' ym* dQ
[y V [
0
Dans l'équation de transfert réduite (sans diffusion), en notation tensorielle :
(6.212)
(6.213)
les cos ai désignent les cosinus directeurs de u par rapport aux trois directions principales
Ox 1 , Ox2, Ox3, qui vérifient :
cosa1 = sinBcos<p = (2n/3) 112 (Y1 1 + Yf)
cosa2 = sinBsin<p = i(2n/3) 112 (Y1 1 -
cos a3 = cos e = ( 4n/3) 1 1 2 Yf
Y/)
(6.214)
(6.215)
253

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
En effet, les premières harmoniques sphériques ont pour expressions :
rg = (4n)- 1 1 2 ; Y? = [3/(4n)] 112 cos 8; Yl
= (3/(8n)J l/ 2 Sin 8éP; f! 1 = (3/(8n)J l/ 2 Sin 8e- ùp
(6.216)
Après multiplication des deux membres de l'équation 6.213 par Yf2* et intégration
sur 4n stéradians, on obtient, compte tenu de l'équation 6.210 :
(6.217)
La quantité cos œiYf2*, somme de produits d'harmoniques sphériques d'après l' équation
6.215, se décompose sur la base des Y;: 1 '. Après usage de l'équation 6.210, l'ensemble
des équations 6.217 couplent les inconnues A ~~~ (r).
b) Méthode des moments
En pratique, une approche plus physique est utilisée. Au lieu de projeter l'équation
de transfert sur la base des r;n, il est équivalent de la projeter sur l'ensemble des
combinaisons de produits de cosinus directeurs de même ordre (l). On introduit alors
des moments de la luminance, notés M (l), qui introduisent les grandeurs physiques
clés :
• Un moment d' ordre 0:
M~O ) = [ ' L~dQ = CUv = v'4;A8v (6.218)
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On retrouve la densité volumique d'énergie radiative par unité de fréquence uv
(voir paragraphe 10.2.2).
• Trois moments d'ordre 1 :
Le vecteur M~)
notée d iv ·
• Neuf moments d'ordre 2 :
(6.219)
est la dérivée par rapport à v du vecteur flux radiatif spectral,
7f
dp~.
(2) _ t _ · l ) V
M ijv - 0 cos Œi cos œ 1L vd.Q - cdv (6.220)
[
Les quantités dp~)dv représentent les dérivées par rapport à v des composantes du
tenseur spectral des pressions de rayonnement, analogue au tenseur des pressions
de la mécanique des fluides (voir Complément B.3).
254

6.8. Méthodes générales de transfert radiatif
• Moments d'ordre l + 1 :
(6.221)
Dans ces conditions, les projections de l'équation de transfert 6.213 sur les produits
de cosinus directeurs conduisent aux relations suivantes :
• À l' ordre zéro, après intégration de l' équation 6.213 sur 4n stéradians, il vient:
ôd
dPR
____!:::_ = 4 L 0 (T ) - M (O) = _ v
7l"Kv V Kv V d
Ô
Xi
V
(6.222)
dP~/dv représente la puissance volumique locale dissipée par unité de fréquence.
• À l'ordre 1, après multiplication de l'équation 6.213 par cos œ 1 et intégration
sur 4n:
j = 1,2,3
(6.223)
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Le résultat précédent se généralise par récurrence :
• À l'ordre l :
ôM(l+ l )
iJ'v
(l)
- -KM
ÔXi - V /
(6.224)
Le développement de L~ en harmoniques sphériques est, en pratique, tronqué à un
ordre l. Il apparaît des moments d'ordre l+ 1 d' après l'équation 6.224 qu'il faut exprimer
en fonction des moments d' ordres inférieurs ou égaux à l. Nous nous limiterons
au cas le plus courant de la méthode de P 1 : développement de L~ à l' ordre 1.
On trouvera une généralisation à la méthode de P 3 dans les références [110, 95].
c) Exemple du développement à l'ordre 1 : méthode P 1
On pose donc :
En utilisant les équations 6.210, 6.215, 6.220 et 6.225, on obtient :
M~; = (2/3) Y7TôiJA8/r) = (ôiJ/3)M~O) (r)
Le système à résoudre se déduit des équations 6.223 et 6.226 :
j = 1,2,3
(6.226)
(6.227)
255

Chapitre 6 • Rayonnement des milieux denses et des gaz
et compte tenu des équations 6.222 et 6.227 :
j = 1,2,3
~( _ 1 ôdiv) _ ôL~ (T) d·
Kv Ô - 4 7r Ô + 3 Kv }V
Ô
Xj Xi Xj
(6.228)
La résolution du système d'équations 6.228 conduit aux trois moments d'ordre 1 div,
c'est-à-dfre aux composantes du flux radiatif d<piv, et par intégration des trois équations
6.227 à M~O), moment d'ordre 0, ou à la densité volumique d'énergie radiative,
si des conditions aux limites ont été définies. Compte tenu de l'équation 6.215 on
obtient des relations entre dJv et A;~ et entre M~O) et A6~, qui conduisent à:
L~ = { M~ü) (r) + 3[d1v(r) sin B cos <p + d2v(r) sin B sin <p + d3v(r) cos B] }!4n (6.229)
La méthode P 1 est populaire dans la mesure où elle consiste à résoudre, pour chaque
intervalle spectral un système de trois équations aux dérivées partielles, ce qui s' apparente
aux méthodes de la mécanique des fluides. Néanmoins la troncature à l'ordre 1
est grossière, ce qui apparaît clairement dans les conditions aux limites radiatives du
système considéré.
Par exemple, le cas trivial d'une paroi noire ne peut être traité précisément par la
méthode P 1 (ni par P3) : comme la luminance du rayonnement partant est indépendante
de la luminance incidente, une forte discontinuité de L~ apparaît pour e = n/2,
qu'une base tronquée de fonctions ne peut prendre en compte. Il en va de même pour
une paroi de propriétés radiatives quelconques. En pratique, pour une paroi opaque,
la condition à la limite ne peut être imposée que globalement (contrainte molle), ce
qui conduit à des résultats erronés :
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(6.230)
Si on utilise le développement 6.229 de L'! et L~ dans l'équation 6.230, on obtient la
condition aux limites effective, quel que soit l'axe Oxi considéré, valable en chaque
par01:
(6.231)
Les écarts constatés sont discutés notamment dans la référence [128]. On trouvera
une généralisation à la méthode P3 dans les références [110, 95]. En conclusion, les
méthodes Pn sont inadaptées au traitement des transferts pariétaux. Elles peuvent
être intéressantes pour traiter des problèmes en champ libre, y compris avec diffusion
de rayonnement.
256

PROPRIÉTÉS
RADIATIVES
DES MILIEUX
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L'objectif de ce chapitre est de donner des éléments de caractérisation des propriétés
radiatives de milieux denses et de gaz dans le domaine du rayonnement thermique
usuel. Une étude approfondie de ces propriétés dépasserait largement le cadre de cet
ouvrage et relève de la physique de l'état solide, de celle des liquides ou de la chimie
physique pour les gaz.
La diffusion est due à l'existence d'hétérogénéités volumiques de l'indice complexe
optique d'un milieu supposé continu ou, ce qui revient localement à une situation
du même type, à l'existence d'une interface entre deux milieux continus d' indices
différents, à l'exception du cas d'une interface plane, lisse et d'extension supposée
infinie entre deux milieux. Les exemples de milieux diffusants sont très divers :
assemblée de particules, homogènes ou non, dans un fluide issu d'une combustion
ou un fluide atmosphérique; assemblée de bulles issues d'un phénomène de dégazage
dans un bain verrier ou métallurgique; mousses apparaissant sur ces mêmes
bains; isolants fibreux (laines de verre et de roche, etc.); milieux poreux compacts
ou constitués d'empilements de grains (réfractaires, protections thermiques des engins
spatiaux, céramiques catalytiques, pigments de peinture dans une matrice; etc.).
Les propriétés radiatives de matériaux denses sont abordées dans le paragraphe 7 .1.
Le cas idéal d'un matériau homogène limité par une interface plane, optiquement
lisse, infiniment étendue, est abordé dans le paragraphe 7 .1 .1. Le paragraphe 7 .1.2
traite des propriétés radiatives (absorption, émission, diffusion) associées à une assemblée
de particules. Les propriétés de matériaux réels, éventuellement hétérogènes,
éventuellement poreux à l'état de surface rugueux, sont discutées dans le paragraphe
7.1.3 .
Les propriétés radiatives des gaz sont abordées dans le paragraphe 7 .2. La spécificité
essentielle du rayonnement des gaz réside dans l'existence d'une structure de
raies d'origine quantique, qui engendre des phénomènes de corrélations spectrales
entre émission, transmission et absorption d'un rayonnement que les modèles doivent
impérativement prendre en compte pour calculer des flux macroscopiques.
257

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
7.1 PROPRIÉTÉS RADIATIVES DES MILIEUX
DENSES
7.1.1 Milieux denses non diffusants dans des conditions
de laboratoire
Par conditions de laboratoire 1 , il faut entendre que le matériau est homogène, isotrope,
de composition chimique parfaitement définie et que la surface de séparation
avec le milieu extérieur est optiquement lisse, c'est-à-dire que les aspérités de cette
surface sont très inférieures à ÀcarflO (fenêtres et lentilles en fluorine ou saphir ou
en KCl, miroirs, bons conducteurs thermjques recouverts d' un dépôt d'or, utilisés en
optique infrarouge ou visible ... ). Le milieu n'est pas diffusant dans la masse, ce qui
découle de l'homogénéité, ni en surface (interface plane, optiquement lisse, infiniment
étendue). De telles conditions sont exceptionnellement rencontrées par l'ingénieur;
elles permettent néanmoins de dégager l'influence de grandeurs physiques sur
les propriétés radiatives.
Dans les conditions idéales précédentes, on considère qu' une onde plane incidente,
de fréquence v, se propage dans des milieux continus, isotropes et non diffusants, qui
présentent une discontinuité des propriétés physiques à leurs frontières, et on utilise
le formalisme des équations de Maxwell [11 ]. Le milieu est caractérisé par un indice
complexe:
nv = nv + }Xv (7.1)
où nv et x v désignent respectivement les indices réel et d'extinction du matériau. Une
onde plane est caractérisée, notamment, par un champ électrique, perpendiculaire au
vecteur unitaire u de la direction de propagation, d'amplitude E :
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E = E 0 exp[-2njv(t - nvu.r/c 0 )]
= E 0 exp(-2nvxvu.r/c 0 ) exp[-j(2nvt - k' .r)]
(7.2)
où k', égal à (2nnv v/ c 0 ) u, est la partie réelle du vecteur d'onde. Le flux surfacique
'Pv associé à cette onde est le flux du vecteur de Poynting. On a donc :
(7.3)
Pour ce milieu semi-transparent homogène et non diffusant, le coefficient monochromatique
d'absorption Kv introduit par la relation 6.8 est obtenu par identification avec
l'équation 7.3 :
Kv = 4nvxv(v)fco = ze-l (7.4)
1. Tous les développements qui suivent sont valables en champ lointain : distance à l' interface grande
devant la longueur d'onde. Dans le cas contraire, des phénomènes spécifiques de champ proche, liés
à l'existence d'ondes évanescentes non propagatives, peuvent apparaître et modifier drastiquement les
résultats : voir par exemple les références [18, 126]
258

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
où l~
représente la profondeur de pénétration de l'onde dans le corps opaque (longueur
d'absorption). Elle est de 6,3 nm dans le cas du cuivre pour Ào = c 0 /v = lµm.
a) Lois de Fresnel
Soit une onde électromagnétique monochromatique plane (figure 7.1) se propageant
initialement dans un milieu d'indice 1, incidente sur un milieu homogène d'indice
complexe n 2 , non magnétique(µ = 1) dans la direction u 1 . La normale à l'interface
est n. Les équations de Maxwell permettent de calculer les réflectivités et r~.L <11
des composantes du champ électrique E polarisées, d' une part parallèlement au plan
d'incidence défini par u 1 et n et, d'autre pait, perpendiculairement au plan d'incidence
[ 11] :
(7.5)
où k 1 z et k2z sont les projections sur Oz des vecteurs d'onde complexes k j = kj + jk'j
dans les milieux 1 et 2 ; soit, si 0 1 est l' angle d' incidence :
... 2 . 2 )1/2
Jm(kjz) > 0 ; kjz = w/co ( nj - sm B1 (7.6)
Les expressions des réflectivités énergétiques polarisées s'en déduisent :
Pvll
'
= 2
1
rvll
' 1 P ' v.L = 1 rv.L ' 1 2
(7.7)
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Les compléments à 1 de ces réflectivités sont les t:ransmittivités énergétiques polarisées
de l'interface r~
11
et r~ .L . Dans le cas où le matériau est opaque, ce sont les
absorptivités œ~ 11
et œ~.L du matériau (absorption dans les couches superficielles).
Milieu
d'indice
n1 I
Milieu
/\
d'indice n 2
0 .••
' . X
plan
d'incidence
Figure 7.1- Interface lisse entre milieux homogènes.
259

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
b) Caractère directionnel des propriétés radiatives
Il apparaît sur les relations 7.5 et 7.6 que la réflexion modifie en général l'état de
polarisation d' un rayonnement incident. Dans les deux cas limites angulaires la polarisation
n'est cependant pas modifiée. Pour une incidence rasante (B 1 = rr/2), p~
11
et
p~.J.. valent 1. Pour une incidence nulle (8 1 = 0), le plan de polarisation se réduit à la
normale n et les deux réflectivités tendent vers :
p~(O) = [(nv - 1) 2 + Xv]/[(nv + 1) 2 +X~ ] (7.8)
p~ 11
et p~.J.. sont stationnaires en fonction de e 1 au voisinage de e 1 = 0 (figure 7.2).
1
réflectivité
0,8 Il I 112
0,6 a)
0,./
110 11 po/arisee
0,-
0
oo 30°
I
réflectivité
0,8
0.6
0,./
O,_
" 1 11 2
0
oo
réflexion
rorale
b)
90°
Figure 7.2 - Allures des réflectivités énergétiques polarisées d'un diélectrique:
a) réflexion externe, b) réflexion interne.
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c) Paradoxe de l'absorption pour des corps opaques
La réflectivité non polarisée p~ est égale à (p~J.. + p~ )!2.
11
L'émissivité s~ et l'absorptivité
œ~ sont donc, pour B1 = 0, stationnaires :
œ~(O) = E~(O) = 4n/[(nv + 1) 2 +X~] (7.9)
Des exemples de résultats sont donnés sur les figures 7.3 et 7.4.
On aboutit au paradoxe que l'absorptivité œ~ du corps opaque est d'autant plus
grande, à nv fixé, que Xv est plus faible! Le cuivre, caractérisé à 5 ~tm par une profondeur
de pénétrati.on de 30 nm est, une fois poli, un excellent miroir. Une plaque
de verre caractérisée par une profondeur de pénétration à 5 µm de 1' ordre de l mm
est, par contre, presque entièrement absorbante : œ~(O) ::::::: 0,95. Tout le rayonnement
transmis à travers la première interface est absorbé par une vitre de 4 mm d'épaisseur.
La profondeur de pénétration ze, grande devant la longueur d'onde, est petite à
l'échelle d'une vitre. L'interprétation de ces phénomènes, apparemment paradoxaux,
est simple : pour qu' un rayonnement soit absorbé, il est nécessaire qu'il pénètre profondément
à l'intérieur du milieu; or pour des valeurs de Xv importantes le milieu
est réfléchissant : la profondeur de pénétration ze est très faible. L'absorption est un
phénomène volumique dans le milieu.
260

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
I
0, 8 t-----f-f--./-_j
0.6
réflectivité p ;
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1
O,_
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0
90°
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0,8
0.6
0
Figure 7.3 - Allures des réflectivités non
polarisées de métaux à 300 K et
10 ~tm [ 143): a) or; b) platine; c) plomb;
d) nickel-chrome; e) graphite (2 300 K).
Figure 7.4 - Émissivité non polarisée
d'un matériau vitreux en fonction du
rapport n 2 /n 1 : a) 5; b) 3; c) 1,5.
7.1.2 Propriétés radiatives d'une assemblée de particules
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Nous nous linùtons à traiter les phénomènes d'absorption, d'énùssion et de diffusion
par des particules, essentiellement sphériques et homogènes, en ne tenant pas compte
des effets de polarisation, ni des phénomènes de diffusion dépendante. Le cas traité
est néanmoins applicable à un nombre considérable d'applications industrielles et en
sciences de l'univers (gouttes, suies, particules ablatées, aérosols, planètes et même
molécules de l'atmosphère).
L'objectif est d'exprimer pour une assemblée de particules parfaitement caractérisées
les coefficients d'absorption Kv, de diffusion CTv et la fonction de phase de diffusion
Pv· La démarche consiste à considérer d'abord l'interaction en champ lointain
entre une particule et une onde plane monochromatique, puis à généraliser l'étude
à une assemblée de particules. Les résultats classiques de la théorie de Mie relatifs
à des particules sphériques homogènes seront présentés, mais le formalisme introduit
se généralise à toutes autres formes de particules. Il s'agit, dans tous les cas,
de résoudre les équations de Maxwell avec leurs conditions aux limites. Les particules
sont caractérisées par un indice complexe ftv, une forme, non nécessairement
sphérique (par exemple cylindres infinis, agglomérats ayant une certaine dimension
fractale, ... ), une taille s, ou une distribution de tailles P(s), un nombre de particules
par unité de volume q, ou une fraction volunùque fv·
a) Interaction entre une particule et une onde plane incidente
Une onde plane monochromatique incidente se propageant dans un nùlieu d'indice
supposé réel nmv(Smvi µmv) est définie par les champs électrique et magnétique:
E; = Eo exp[j(k · r - 2nvt)] Hi= Ho exp[j(k · r - 2nvt)] (7.10)
261

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
Cette onde va être en partie diffusée par la pa1ticule. Dans le cas de 1 'onde plane
.incidente le flux surfacique associé <fJiv est, compte tenu des relations entre E 0 et Ho :
(7.11)
L'interaction particule-onde est solution des équations de Maxwell, respectant la
continuité des composantes tangentielles à la surface de la particule :
(E - Ein1) /\ Dext = 0 (H - H int)/\ Dext = Ü (7.12)
où Eint et H;nr sont les champs intérieurs et E et H les champs extérieurs à la particule,
écrits sous la forme :
E =Et+ Ed (7.1 3)
Le flux radiatif cf; à travers une surface de normale extérieure n est donné par le flux
du vecteur de Poynting P :
P v = Re < E /\ H* > /2 '1>v = LPv·ndS (7.14)
Les champs Ed et Hct, appelés champs diffusés, sont considérés à une distance r
grande par rapport à la taille caractéristique a de la particule (figure 7 .5). Ils ont des
structures d'ondes sphériques [10] : par exemple, pour le champ électrique :
Ed,...., [} exp(jkr)/kr]T(B,<p) e-.i<JJt (7.15)
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u
Figure 7.5 - Diffusion en champ lointain; le plan de figure est celui de diffusion: u est
confondue avec la normale extérieure à la sphère next·
L'amplitude complexe de l'onde diffusée T, dépendant de la direction, s'exprime,
après résolution des équations de Maxwell, linéairement en fonction des composantes
de Eo. Le vecteur de Poynting associé à l'onde globale s'écrit en champ lointain:
(7.16)
où Piv et P dv désignent les vecteurs de Poynting des ondes incidentes et diffusées. Le
dernier terme de l'équation 7.16, noté P exiv, est associé à l'extinction de rayonnement.
262

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
En effet, le flux de P v à travers une sphère .E, de rayon r grand devant a, et de normale
externe u conduit à 2 :
-L L L
P extv · udS = - P v · udS + P c1v · udS (7.17)
Le premier terme du second membre est la puissance absorbée par la particule <Pav.
le second la puissance diffusée <Pc1v· Le premier membre représente la puissance du
rayonnement éteint :
<Pextv = <Pav + <Pc1v (7.18)
Les phénomènes d'absorption, de diffusion et d'extinction sont caractérisés par des
sections efficaces totales, homogènes à des surfaces Cav. C c1v et C exrv :
(7.19)
avec:
C extv = C av + C c1v (7.20)
Les efficacités radiatives con-espondantes sont obtenues en adimensionnant les sections
efficaces par S P• surface apparente de la particule dans la direction d'incidence:
Q av = C av/S p 1 (7.21)
Le flux diffusé dans l'angle solide d.Q autour de la direction u est :
(7.22)
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où P dv·U représente la luminance L~v du rayonnement diffusé à la distancer, proportionnelle
à r - 2 d'après les équations 7.14 et 7.15. La fonction de phase de diffusion,
introduite dans le paragraphe 6.2.3, est liée à la probabilité pour un rayonnement
incident dans la direction uo d'être diffusé dans la direction u :
(7.23)
D' une manière générale (voir figure 7.5), il faut prendre en compte les phénomènes
de polarisation. Une approche très générale de la polarisation repose sur le vecteur de
Stokes à 4 composantes [25].
2. Le flux associé à l'onde incidente uniforme à travers la sphère est nul.
263

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
b) Cas d'une assemblée de particules
Nous nous plaçons dans l' hypothèse dite de d~fjusion indépendante, c'est-à-dire que
nous considérons qu'en champ lointain les effets d'interférence entre les rayonnements
issus de la même onde plane et diffusés par deux particules sont négligeables,
ainsi que les simples effets d'écrans en milieu optiquement mince. Ces hypothèses se
justifient intuitivement pour des particules diluées dans le milieu de propagation. En
pratique, les phénomènes de diffusion dépendante n'apparaissent que pour des fractions
volumiques de particules extrêmement élevées ; un critère est donné dans [13] :
la distance interparticulaire doit être de l'ordre de grandeur de la taille des particules.
On rencontre ce type de situations dans des brouillards très denses, par exemple, ou
dans des lits fluidisés (Singh et Kaviany, 1992).
Sous l'hypothèse de diffusion indépendante, les effets d'absorption et de diffusion
par les différentes particules sont additifs, dans la limite où le milieu est optiquement
mince à l'échelle de l'élément de volume élémentaire auquel on se propose d'affecter
des coefficients volumiques d'absorption Kv ou de diffusion cr v · Dans ces conditions,
pour q particules de même nature par unité de volume, caractérisées par la fonction
de distribution P(s) de la taille s, il vient 3 :
L00
Kv = q Cav(s,v, .. .)P(s)ds
L00
cr, = q Cdv(s,v, .. .)P(s)ds
(7.24)
f3v = Kv + CFv
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et pour la fonction de phase globale, qui se rappo1te à la section efficace de diffusion
globale :
L00
<TvPv = q p,(s, . ..)Cdv(S, v)P(s)ds (7.25)
c) Propriétés de particules sphériques homogènes
L'application du modèle précédent à des particules sphériques est appelée théorie de
Mie. La solution dépend de deux paramètres [10]. D' une pait, le paramètre optique :
m(v) = (nv + .iXv)/nm(v) (7.26)
est le rapport des indices. D 'autre part, le paramètre de taille est défini par :
x = 2nnm.R/Ào (7.27)
où ilo est la longueur d'onde dans le vide.
3. Démonstration : on pose q = dN/dV ; KvL: dvdQdV = Kv<,O;vdV = dN J;' if>av(s,v, .. . )P(s)ds.
264

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
Dans le cas général, Q av, Qc1v et Pv s'expriment à paitir des fonctions de Bessel et
de Hankel sphériques; il n'est pas utile de mentionner ici ces expressions analytiques
quelque peu rébarbatives. On trouvera dans (Bohren et Huffman, 1983) des logiciels
de calcul. Deux cas limites sont particulièrement intéressants : celui des particules
grandes par rapport à la longueur d'onde du rayonnement considéré et celui des petites
paiticules :
• Les grandes particules sont définies par:
À cette limite, l'efficacité d'extinction tend vers 2:
X>> 1 et x(m - 1) >> 1 (7.28)
(7.29)
De plus, le phénomène de diffusion s'analyse en un phénomène de d~ff'raction tel
que:
C diffraction = 7r R 2 et Q c1if.fraction = 1 (7.30)
et des phénomènes de réflexion et de transmission 4 notés rt, tel que :
Q c1v = Q dif.fraction v + Q rt v et c dv = c dijf raCtiOn V + c rt V (7.31)
La réflexion est considérée au sens de l'optique géométrique, point de vue qui se
justifie dans la mesure où la taille de la particule est grande devant la longueur
d'onde. Le phénomène de transmission se produit après deux réfractions du rayonnement
et un nombre plus ou moins grand de réflexions internes, dans le cas où la
particule peut être considérée comme semi-transparente. Il vient donc la relation :
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ou C av + Crrv = nR 2 (7.32)
La section efficace de diffraction, qui ne peut s'expliquer que du point de vue ondulatoire
de 1' optique physique, est égale à la section effi cace évidente associée aux
autres phénomènes qui conduisent à l'extinction : absorption, réflexion et transmission
dans une autre direction que la direction d'incidence. Ce résultat, surprenant à
première vue, s'obtient à partir du théorème de Babinet [11]. La diffraction correspond,
en pratique, dans le cas de très grandes particules, à un infime changement
de direction du rayonnement incident.
Compte tenu de 7.24, 7.25 et 7.29, il apparaît que, dans la limite des grandes particules,
le coefficient d'extinction global f3 associé à un ensemble de particules est
4. Dans le cas d'une particule opaque, le phénomène de transmission disparaît et il vient :
Q dv = Q di.lfrac1io11 + Q,. et C dv = C diffrac1io11 + C,.
265

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
indépendant de la longueur d'onde : les grandes paiticules peuvent être considérées
comme grises, pour l'extinction, tant que x et x(m - 1) >> 1, c'est-à-dire que
À est petit. De plus, si les particules sont non absorbantes (Qa = 0), le coefficient
de diffusion global est gris (Cd = 2rrR 2 ). Ce cas est pratiquement celui des nuages,
constitués de gouttelettes d'eau, qui diffusent essentiellement le rayonnement visible.
Si les particules individuelles sont considérées comme grises (Ca indépendant
de À, Cc1 = 2rrR 2 - Ca), les coefficients d'absorption et de diffusion globaux
sont indépendants de À.
• Les petites particules sont définies par :
Qav = 4xlm
x = 2rrnmR/ Ào << 1 lm- li<< 1 (7.33)
m 2 -
( 2
Il
m + 1
8
2 1 2
4 m -
Qdv = 3x m2 + 1
où lm signifie paitie imaginaire d' un nombre complexe, et:
(7.34)
Pv = 3/4(1 + cos 2 8) (7.35)
Ce cas limite de la théorie de Mie est souvent appelé diffusion Rayleigh.
Du point de vue de l'absorption, Q av1 Cavet donc Kv pour une assemblée de paiticules
sont inversement propo1tionnels à À (propo1tionnels à v). Après introduction
de la fraction volumique en particules fv :
J,, = f (4/3)rrR 3 qP(R)dR, (7.36)
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il vient, à partir de 7.24, 7.33 et 7.34 :
KA = 6rrlm[(m 2 - l)/(m 2 + l.)]nmfv/À = Afv/À (7.37)
Il sort de cette relation que l'effet des petites paiticules (absorption et émission)
est pour une source à très haute température (3 000 K) important dans le domaine
spectral [0,5-2 ~Lm] ou [5 000-20 000 cm- 1 ] qui est un domaine de relative transparence
des gaz de combustion, tandis que l'effet de ces gaz est important en deça
de 5 000 cm- 1 , à cause de la localisation spectrale des bandes d'absorption.
266
Du point de vue de la diffusion, Qdv et C dv sont proportionnels à x 4 ; la diffusion
est donc généralement négligeable devant l'absorption, si le milieu est absorbant.
Cependant, dans les applications métrologiques (diffusion Rayleigh) ou pour

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
1' atmosphère 5 ce phénomène est impo1tant. Qc1v et Cc1v sont alors propo1tionnels à
v 4 (ou ,t- 4 ).
Il peut être intéressant de comparer pour une masse donnée de particules par unité
de volume du mélange fluide-particules Cm l'absorption par des petites particules et
par des grandes particules. On obtient pour des petites particules :
(7.38)
où Pp est la masse volumique intrinsèque des paiticules. Par exemple, dans le cas de
suies (Dalzell et Sarofim, 1969 , Buckius et Tien, 1977) :
A~ 5,5 (à 1,5 près KA. en m- 1 et À en m) (7.39)
Pour de grandes particules, de rayon Rr:l' on obtient :
KJ = Qai. (nR~)(cmf Pp)/(4/3nR~) = 3/4Qa, 1 (cmf Pp)/Rg (7.40)
Dans cette expression, l'efficacité d'absorption QaA est bornée pai· 1. Dans les conditions
de calcul considérées, les petites particules sont donc beaucoup plus absorbantes
que les grandes, dans la mesure où: À<< R 9
.
Les figures 7.6 et 7.7 représentent différents exemples d'efficacité d'extinction Qe,
d'absorption Qa et de diffusion non polarisée Qc1, de paramètre d'asymétrie g, de
fonction de phase non polarisée pv(B) et de fonction de phase cumulée P v(B) pour des
paiticules d'alumine d'un propergol. Les oscillations à hautes fréquences sont dues
à des effets d'interférences entre les trajets internes et externes aux particules. Ces
effets sont lissés et disparaissent en pratique, dès lors qu'on considère une dispersion
de la distribution des tailles. Sur la figure 7.7 il apparaît que les fonctions de phase
des grandes paiticules sont très pointues vers l'avant.
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7.1.3 Matériaux réels
Les matériaux rencontrés dans des conditions industrielles sont très loin de vérifier
les différentes hypothèses du paragraphe 7 .1.1 qui a trait à des conditions de laboratoire.
Un matériau usuel, même quasiment homogène en volume, est en effet souvent
caractérisé à la fois par une composition très hétérogène dans ses couches superficielles,
vai·iable dans le temps, et un état de surface rugueux susceptible d'engendrer
des phénomènes de diffusion.
5. Ce phénomène de diffusion explique la couleur bleue du ciel. Dans une direction qui n'est pas directement
celle du soleil, le rayonnement visible reçu par un observateur est à la fois proportionnel à
,t- 4 et grossièrement à la luminance L~ (5 700 K), qui est celle du corps noir à la température équivalente
du rayonnement issu du soleil. De ce fait, pour la partie visible du spectre [0,4 à 8 µm], les
rayonnements bleus sont privilégiés. Inversement, lors d'un coucher de soleil , le ciel est rouge dans la
direction du soleil. L'observateur voit, après une traversée oblique de l'atmosphère, qui augmente son
épaisseur optique, un rayonnement privé de ses composantes spectrales diffusées : ce rayonnement est
donc principalement rouge.
267

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
Q.
4.0
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0. 10
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0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
8
Figure 7.6 - Efficacités d'extinction, d'absorption et de diffusion, et paramètre
d'asymétrie G en fonction du paramètre de taille x: alumine liquide; T = 3 000 K;
R = 0,5 ~·m; calculs de (Duval, 2002) à partir de données de la référence [40).
a) Paramètres modifiant les propriétés radiatives des matériaux
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>- Le caractère diffusant du matériau
Un matériau diffusant en volume du fait de l'hétérogénéité peut souvent être analysé
comme un milieu semi-transparent continu. Un modèle simple d'un tel matériau,
poreux, a été proposé dans le paragraphe 6.3. Une bibliographie sur une modélisation
avancée récente des matériaux poreux est brièvement commentée dans le paragraphe
7.1.3c .
Si la profondeur de pénétration du rayonnement est faible, à l'échelle macroscopique
dans le milieu, celui-ci peut, en première approximation, être cons.idéré comme
un corps opaque dont la réfl exion, due notamment à des phénomènes de rétrodiffusion
volumique, s'écarte fortement des lois de Fresnel, avec une indicatrice pouvant
tendre vers l'isotropie. C'est le cas de nombreuses céramiques et de réfractaires.
>- La composition superficielle du matériau
Pour un corps opaque par exemple, la profondeur de pénétration du rayonnement
est faible à 1 'échelle macroscopique : quelques nm à quelques dizaines de nm pour
les métaux, suivant la fréquence du rayonnement considéré. Seules les couches les
268

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
h)
1e+02
0. 1
0.01
() 0
0.01 0.0001
0 100 150 0 50 100 150
1.0
ù)
0.8
0.6
0.4
0 50 100 150
Il
0.2
0.0
Figure 7.7- Fonction de phase non polarisée d'une assemblée de particules en
fonction du paramètre de taille x: alumine liquide; T = 3000 K; a) R = 0,5 µm; <J = R/10;
b) R = 40 µm; <J = R/10 et fonction de phase cumulée: c) R = 0,5 µm; <J = R/1 O;
d) R = 40 µm; <J = R/l 0; calculs de (Duval, 2002) à partir de données de de la
référence [40).
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plus superficielles du matériau sont à prendre en compte pour caractériser les propriétés
radiatives. Or, ces couches sont précisément celles qui sont le plus soumises
aux effets d'un environnement agressif: oxydation, corrosion, encrassement, défauts
superficiels de structure, etc. De ce fait, ce ne sont plus les propriétés physiques (intrinsèques)
du matériau qui interviennent mais celles de la surface du matériau dans
un environnement donné, compte-tenu également de son histoire. Un matériau défini
va, par exemple, en fonction de cette histoire se couvrir d' une couche constituée d' un
mélange d'oxydes divers de composition et d'épaisseur variables. Un cas frappant est
l'évolution des propriétés radiatives d' un corps réputé inoxydable, un acier spécial
du type inconel, en fonction de la couche très mince d'oxydes déposée (figure 7.8).
L'appelation inoxydable signifie ici que la couche d'oxyde est stable et protège les
couches profondes du matériau; si les propriétés mécaniques de celui-ci ne sont pas
modifiées, ses propriétés radiatives le sont fortement.
>- L'état de surface d'un matériau
Il est souvent rugueux ou granuleux (oxydation) dans les conditions usuelles d' utilisation.
La surface d' un corps peut aussi avoir subi des traitements qui vont considé-
269

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
I
s'
T(K)
0~~~~~~~~~~~--
600 1200
Figure 7.8- Émissivité totale de l'inconel en fonction de l'état de surface, adapté de
Touloukian et De Witt [ 139).
rablement affecter ses propriétés radiatives (grenaillage, sablage, microbillage, rainurage,
etc. : voir la figure 7.8 pour le sablage). Rappelons, à ce stade, qu'une surface
optiquement lisse, une des conditions requise dans le paragraphe 7 .1.1, présente des
aspérités très inférieures à A/10, c'est-à-dire à 1 µm pour une source à 300 K et à
0,2 ~Lm pour une source à 1500 K. L'influence de la dégradation de l'état de surface,
d'un métal poli à un métal rugueux, est évidente sur la figure 7.9 relative au
cuivre. La réflexion devient de moins en moins spéculaire au fur et à mesure que la
rugosité du matériau croît. Les rayonnements qui ne sont pas réfléchis dans la direction
prédite par les lois de Descartes le sont progressivement dans toutes les autres
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Figure 7.9- Émissivité spectrale du cuivre en fonction de l'état de surface, adapté de
Touloukian et De Witt [ 139).
270

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
directions, ce qui a pour effet d'augmenter l'absorption par le matériau par effet de
cavité. Il est possible de passer de façon continue, en fonction de la rugosité, d' une
réflexion spéculaire (cas optiquement lisse) à une réflexion quasiment isotrope (cas
où les orientations des éléments de surface sont aléatoires).
La rugosité d' un matériau peut aussi être artificiellement contrôlée : augmentation
de l'absorptivité par effet de cavité, modification de l'indicatrice de diffusion
par rainurage, technique de sablage, microbillage, etc. Une étude systématique de la
rugosité naturelle ou contrôlée est développée par Beck.man et Spizzichino [3] par
exemple.
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b) Obtention de propriétés radiatives réalistes de matériaux
opaques
Il serait vain d'essayer de prédire par un modèle les propriétés radiatives de matériaux
considérés dans des conditions usuelles, car le nombre de paramètres physiques locaux
à prendre en compte (nature et proportions des divers oxydes, rugosité, diffusion
d'espèces, etc.) rend toute investigation illusoire. Il reste alors à faire des approximations
réalistes.
La première approximation usuelle a trait au caractère directionnel des propriétés
radiatives. Sauf dans les cas particuliers où une source ponctuelle intervient dans
l'étude, il est le plus souvent suffisant dans les problèmes de transfert de considérer
que les propriétés radiatives (émissivité, absorptivité, réflectivité voire transmittivité)
sont isotropes. Deux justifications peuvent être données à cette hypothèse. Même
pour une inte1f ace optiquement lisse œ~ et s~ sont largement indépendants de la direction
de 0 à 60° (paragraphe 7.1.1). En termes de flux , le rôle des directions appartenant
à l' intervalle [60° , 90°] est fortement minimisé par la présence du facteur
cos B dans l'expression de ce flux. Quand on passe à des matériaux réels, la réflectivité
tend à devenir, au moins partiellement isotrope, à cause de l' état de surface ou à
cause d'éventuelles propriétés diffus antes du matériau.
Dans ces conditions, on considérera le plus souvent les propriétés radiatives des
matériaux isotropes pour les problèmes de transfert :
é:v = Œv = l - P v (7.41)
Notons que la réflectivité est alors considérée comme indépendante à la fois de
l'angle d'incidence et de l'angle d' émergence. Une exception notable est le cas de
matériaux vitreux, en particulier dans des géométries monodimensionnelles planes,
pour lesquels il faut souvent prendre en compte les lois de Fresnel, voire les phénomènes
de polarisation.
Une approximation plus élaborée consiste, pour des matériaux dont les pentes locales
de la surface sont faibles, à considérer la réflectivité associée à un rayonnement
271

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
incident directionnel, de vecteur unitaire ui et d' angle e avec la normale :
(7.42)
comme la somme d' une composante diffuse p:so et d' une composante spéculaire
p~spec . Cette dernière est déduite des lois de Fresnel en utilisant l' approximation de
Kirchhoff [3, 102]. La composante diffuse se déduit de l'absorptivité directionnelle,
mesurable par ailleurs, à partir de la relation en réflectivités directionnelles :
(7.43)
où k et ô désignent le nombre d' onde et la rugosité de la surface.
Les propriétés radiatives de matériaux usuels dépendent par contre fortement de la
fréquence ou de la longueur d'onde. Deux méthodes sont envisageables pour déterminer
cette dépendance :
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• estimer ces propriétés par rapport à des conditions de référence tenant compte du
traitement de surface et de l'historique du matériau (chauffage à une température
donnée, pendant N heures ... ) à partir de la mine de données constituée par la série
[139, 140] par exemple. On peut prédire de cette façon les propriétés radiatives
monochromatiques de nombreux corps courants avec une précision de 10 %, dans
le meilleur des cas ;
• mesurer ces propriétés sur des échantillons pour diverses températures et longueurs
d'onde ou même dans certains cas recourir à la mesure in situ.
Enfin, il est souvent possible d' admettre, en dehors des zones spectrales où l'absorption
sélective par un isolant est importante et des zones où l' absorption continue
par un métal est dominante, que le corps se comp01te comme une substance grise
dans un ce1tain domaine spectral (cas d' une vitre en verre). Une modélisation correcte
consiste souvent à considérer des corps gris par bandes discrètes. Le nombre
de bandes est évidemment à optimiser en fonction de la précision souhaitée et du
volume jugé acceptable des calculs. Notons, par exemple, que les métaux, même les
aciers inoxydables protégés par une couche d' oxyde suffisante, peuvent souvent être
considérés dans l'infrarouge comme gris, avec une émissivité voisine de 0,8 à 10 %
près environ.
272
c) Modèles statistiques avancés de milieux poreux
La plupart des modèles de milieux poreux reposaient jusqu'en 2002 sur des techniques
d'identification de paramètres à partir d' un ensemble de données expérimentales
macroscopiques. Ces techniques présentent une validité limitée du fait du grand

7.1. Propriétés radiatives des milieux denses
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nombre de paramètres à optimiser. D' autre part, elles reposent généralement sur un
forçage des lois physiques. Une autre approche [34, 88, 87] consiste à appliquer aux
équations de transfert radiatif les techniques déterministes de prise de moyenne volumique
de Whitaker et Quintard [154], qui trouvent leur pleine justification en mécanique
des milieux continus.
Une méthode statistique plus générale, qui repose non seulement sur les valeurs
moyennes mais aussi sur l'ensemble des moments, permet de caractériser exhaustivement
les propriétés radiatives d'un matériaux poreux à partir des fonctions de
distribution des cordes. Ces fonctions de distribution caractérisent déjà parfaitement
la morphologie d'un milieu poreux [138] et sont obtenues généralement à partir
d'images tridimensionnelles à haute résolution spatiale, issues de tomographies X
ou y. L' idée clé est que pour un milieu poreux avec une phase opaque et une phase
transparente, la fonction de distribution cumulée d'extinction Gext de la phase homogénéisée
de propagation, complément à 1 de la transmittivité directionnelle, est
simplement la fonction de distribution cumulée des cordes [134]. Quand une phase
homogénéisée suit la loi de Beer, Gexr(s), égale à 1 - exp(- ,Bs), est caractérisée par
le seul coefficient d'extinction ,B. La méthode, dite RDFI [134, 156] permet alors de
valider le caractère Beerien ou non Beerien d' une phase homogénéisée et de déterminer,
dans la première hypothèse, le coefficient d'extinction et plus généralement,
à partir des lois locales de réflexion des parois opaques, les coefficients d'absorption
et de diffusion de la phase homogénéisée. Il est remarquable que dans cette approche
la fonction de phase de diffusion du milieu poreux est directement déterminée sans
aucune approximation, à partir de la connaissance des lois de réflexion à l'échelle
locale [134, 157, 9, 24]. Cette méthode a été également utilisée ensuite par d' autres
auteurs [105, 104, 57, 56, 58].
De nombreuses phases homogénéisées de milieux poreux, statistiquement anisotropes
ou même statistiquement isotropes de porosité intermédiaire, sont très loin
d'être caractérisées par une extinction exponentielle : voir l'exemple [24] de la figure
7 .1 O. Les propriétés radiatives d' un tel milieu poreux sont alors exhaustivement
caractérisées par la fonction de distribution cumulée d'extinction représentée sur la
figure, la probabilité cumulée de diffusion, la fonction de phase de diffusion et, si
la phase est statistiquement anisotrope, un indice optique directionnel effectif. Les
transferts radiatifs sont alors régis par une équation de transfert généralisée (GRTE
en Anglais), établie dans la référence [131], qui est résolue aussi facilement, par une
méthode statistique de Monte Carlo, que l'équation de transfert classique, dans la
mesure où elle est déjà fo1mulée en termes de fonctions de distribution.
Un fo1mali sme général de couplage entre transferts radiatifs et autres transferts
the1miques au sein d'un milieu poreux, incluant les couplages à échelle locale, a été
développé dans la référence [84].
2 73

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
2 4 6 8 10
f3re/s'-.s)
Figure 7.10 - Fonction de distribution cumulée d'extinction d'un ensemble de tubes
dégradés d'un cœur de réacteur nucléaire à eau sous pression [24) Gexr (s' - s,(J = TC/2,tp)
pour(}= TC/2 (plan de coupe radial) et différentes valeurs de l'azimuth 'P dans ce plan
(1,5° +, 16.5° x, 31,5° o, 43,5° o). En trait gras, fonction de distribution cumulée
d'extinction moyennée sur toutes les directions 'P· 1 - Gexr devrait être linéaire en
coordonnées logarithmique si le milieu suivait la loi de Beer sur l'extinction.
7.2 PROPRIÉTÉS RADIATIVES DES GAZ
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Seules les notions strictement utiles à la compréhension des transferts radiatifs dans
un milieu gazeux sont .introduites dans cette partie. Les bases physiques du rayonnement
des gaz (transitions, profils de raies, .intensités, etc.) ont été détailJées dans
un article de synthèse [133]. Certaines notions clés sont développées dans le paragraphe
10.2.3.
L'approche raie par raie, la plus générale, est esquissée dans le paragraphe 7 .2.1.
Le problème, crucial pour les gaz, des corrélations spectrales entre phénomènes
d'émfasion, de transmission et d'absorption est abordé dans le paragraphe 7.2.2. En
pratique, les modèles approchés adaptés aux transferts radiatifs peuvent être classés
en modèles de bandes, qui caractérisent les propriétés radiatives dans des bandes
spectrales discrètes, et en modèles globaux, fondés sur une fonction de distribution
cumulée du coefficient d'absorption sur tout le spectre. Parmi les modèles de bandes,
le modèle statistique à bandes étroites (MSBE) fait l'objet d'une attention particulière
dans le paragraphe 7 .2.3, dans la mesure où il présente un grand intérêt pédagogique
pour mettre en évidence aisément toutes les situations susceptibles d'être rencontrées.
Le modèle CK, compatible avec le traitement de la diffusion par des particules, est
274

7.2. Propriétés radiatives des gaz
abordé dans le paragraphe 7.2.4. Les modèles globaux, moins précis, dans le paragraphe
7.2.5. On trouvera une étude exhaustive de ces modèles, des comparaisons
de leurs performances dans différentes conditions et des critères de choix dans la
référence [133].
7.2.1 Approche raie par raie
Un spectre infrarouge (de 10 à 12 500 cm- 1 ) est constitué d'un ensemble de raies, qui
représentent chacune une transition entre deux niveaux quantiques d'énergie d'une
molécule (voir le paragraphe 10.2.3), généralement de vibration-rotation. L'ensemble
des raies associées aux transitions entre deux niveaux de vibration est appelé une
bande. 6
Un spectre, quelque soit son type, est observé pour des molécules présentant un
moment dipolaire électrique, soit pe1manent 7 (H20, HF, etc.), soit dû à une excitation
vibrationnelle par exemple (C02, H20, etc.).
Les spectres visibles (entre 12 500 et 25 000 cm- 1 ) et UV (au-delà de 25 000 cm- 1 )
présentent la même structure de raies de vibration-rotation mais couplant des états
électroniques moléculaires différents (N2, 0 2, C02, H20, OH, N, 0 et les ions associés,
etc.). Ils présentent aussi des continua d'absorption associés à des transitions
mettant en jeu un état moléculaire non lié. Ils apparaissent dans des milieux réactifs,
tels que les plasmas. Pour un spectre de raies d ' un mélange de gaz absorbants (H20,
C02, HF, CO, etc.), le coefficient d'absorption Kv, à la fréquence v, est la somme des
coefficients d'absorption individuels des raies i, notés Kiv :
Kv = (7.44)
consrituanrs absorbants
raie.si
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dans la mesure où les raies peuvent être considérées comme isolées. Cette approximation,
non générale, est discutée par Taine et Soufiani [133]. L'approche précédente,
appelée raie par raie, est rigoureuse si, pour toutes les conditions considérées (T,p,x,
etc.), les grandeurs physiques clés sont connues pour toutes les raies :
• les positions des centres des raies vi;
• les profils normalisés des raies Fi(v), tels que :
f F;(v) = 1 (7.45)
6. Cette bande (de vibration) ne doit pas être confondue avec la notion de bande spectrale associée à un
intervalle il v.
7. Les molécules polaires possèdent de ce fait une bande dite de rotation pure (couplant des états rotationnels
d'un même niveau vibrationnel, en particulier du niveau fondamental). Cette bande s'étend
d'une fréquence faible à quelques dizaines, centaines ou milliers de cm- 1 en fonction de la température.
La bande rotationnelle de H 2 0 permet le chauffage par microondes des aliments.
275

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
Ces profils dépendent de diverses causes d'élargissement [53, 133] : effet Doppler (lié
à l'observation du rayonnement dans un référentiel différent de celui de la molécule
qui l'émet ou l'absorbe) auquel est associé un profil gaussien caractérisé par une
demi-largeur à mi-hauteur 'YiD ; effet Lorentz ou des collisions, auquel est associé un
profil lorentzien, caractérisé par une demi-largeur à mi-hauteur 'YiL; effets couplés
Lorentz et Doppler, auxquels est associé un profil Voigt résultant de la convolution
des deux premiers profils, etc.
Dans les conditions thermiques usuelles (300 à 2 500 K, 1 atm), 'YiL est de l'ordre
de qq 10- 2 cm- 1 pour C02 et H20 et le profil est pratiquement lorentzien. À très basse
pression, YiL , proportionnel à la pression, est négligeable devant ym, indépendant de
la pression et de l'ordre de qq 10- 3 cm- 1 , à 300 K, pour les mêmes espèces : le profil
est pratiquement de type Doppler, sauf dans les ailes lointaines des raies. Dans des
conditions inte1médiaires, le profil est de type Voigt.
• les intensités des raies, dont deux définitions existent :
nS;(T) = f K;,dv
Kiv = nS i(T)Fi(v)
f xpS ;(T) = K;vdv [S; en cm- 2 atm- 1 ]
(gaz parfait)
(7.46)
(7.47)
(7.48)
(7.49)
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Dans ces expressions n, p et x représentent respectivement le nombre de molécules
absorbantes par unité de volume, la pression totale et la fraction molaire c01Tespondante.
Les intégrales dans 7.45 à 7.48 portent sur l'ensemble du profil de la raie utile,
soit sur un intervalle spectral extrêmement petit devant vi.
À titre d'exemple, dans l'approche raie par raie, il est nécessaire de considérer
environ 10 6 raies, d'intensités extrêmement différentes, pour caractériser un spectre
C02-H20 dans un milieu en combustion à 1 atm et 2 500 K. Comme la demi-largeur
typique à mi-hauteur d' une raie est 10- 2 cm- 1 , la résolution spectrale du calcul doit
être de l'ordre de 3 io- 3 cm 1 , ce qui nécessite de recourir à quelques 10 6 points
de discrétisation spectrale. Cette approche est prohibitive (sauf avec une méthode de
transfert de type Monte Carlo) si on envisage de l'appliquer à des transferts radiatifs
en géométrie complexe, en milieu hétérogène, compte tenu des discrétisations spatiales
et directionnelles nécessaires par ailleurs. Le recours à des modèles approchés
est, dans ces conditions, impératif. Néanmoins, l'approche raie par raie constitue un
modèle étalon, qui permet de valider dans toutes les conditions l'usage d' un modèle
approché. Des spectres raie par raie de C02 et H20 sont représentés sur les
figures 7.11, 7.12 et 7.13, à titre d'exemple. La dynamique spectrale est importante et
276

7.2. Propriétés radiatives des gaz
1.5 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
1.0
oo 0 o -> 00°1
0.5
8:9
0.6
0.4
0.2
0.0 1-+-+-++-~f-++++-~+.-~llllillJIJMI
0.4
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0.2
0.1
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0.10
0.05
0. OO l-+-.-+-+--1-+--+-+-+-+-<---"'illJlllll~•
4
~ L..._.__L.....~...-~~~~==~~~~
1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 2350 2400 2450
v(cm. 1 )
Figure 7.11 - Spectre d'absorption de C0 2 , à haute résolution, calculé avec les données
EM2C, ECP. T = 3 000 K, p = 1 atm, Xc o 2
= 0,02, XN 2
= 0,98. Les quatre figures supérieures
sont relatives à des bandes de vibration identifiées ; la figure inférieure représente le
spectre global (communication de Ph. Rivière).
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0.20
0.15
0.10
0.05
0. OO lb....lll.....4--11+-JJ..+.1.l.....j.ll..-4-4-!.....,l.. ....... ~!::....1.+---+---+-..A.µL..+&--4-!4..ll.....,ll.....lll-L4.ll.....11.....U...!1...4l-..l.ll
0.15
0.10
0.05
0. OO IA-ll-A..\LlJ..4i.11.JU4!U\,.ii..il,.li..il,l!>M-1l.jll..l\..\l.A.l!IAJl./l.iW\Ajl.i!~8,!W\MllC!M1!!MilMMil!l!!!!~
4
2 fil' Vl"IN/ "l.~~·~1~r\N1 11.,., .,,f/J'l\}'
. ll, ~\J"l~lll.••VlJW 1 1lll'\! R WI
0 '---'~~~_,_~~~""--"'---'~~~_,_~~~""--"'---'~~~~
2300 2305 2310 2315 2320 2325
v(cm. 1 )
Figure 7.12 - Spectre d'absorption de C0 2 , à haute résolution, calculé avec les données
EM2C, ECP: détails. Même légende que pour la figure 7.11 (communication de Ph.
Rivière).
277

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
0.40 ~-------------------
0.30 000 -> 001
0.20
0.10
0.00 ~~AlUUll~ll.lllll~ll.ltJl.llllllli~
0.15
0.10
0.05
B:BQ
0.06
0.04
0.02
0.00 i'LLWl.JIU.Ul"WMW--
0.015
0.010
0.005
0.000 f----4-
0.6
0.4
0.2
0. 0 U.llWlllll-
3000 3200 3400 3800 4000 4200
Figure 7.13 - Spectre d'absorption de H 2 0, à haute résolution, calculé avec les données
EM2C, ECP. Même légende que pourla figure 7.11 (communication de Ph. Rivière).
la structure des raies apparait clairement. L'ensemble d'un spectre IR est représenté,
avec une résolution spectrale dégradée de 25 cm- 1 , sur la figure 7 .14a.
Les raies n'apparaissent plus. Seules les enveloppes d'un ensemble de bandes d'absorption
(bande : ensemble des raies associées à des transitions entre deux niveaux
de vibration) apparaissent à cette résolution.
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7.2.2 Les phénomène de corrélations spectrales
À ce stade, il est légitime de se demander si la structure spectrale complexe d'un
spectre gazeux doit être prise en compte, si on s'intéresse uniquement à des flux
et des puissances globaux, intégrés sur tout le spectre. En d'autres termes, quelle
résolution spectrale doit être considérée pour un tel calcul ?
Une première réponse est de considérer une résolution spectrale de calcul issue
d'un critère relatif aux variations de la luminance du rayonnement d'équilibre L~(T)
aux différentes températures considérées dans l'application. Si, sur un intervalle spectral
~v, les variations relatives de la luminance d'équilibre sont inférieures à une valeur
donnée, on pourra considérer cette luminance uniforme sur ~v. Un critère précis
sur la largeur de l'intervalle ~ v, centré en v 0 , est donné par :
v E [vo - ~v/2, vo + ~v/2]
(7.50)
278

-0.07
0.0 2000.0 4000.0 6000.0 8000.0
7.2. Propriétés radiatives des gaz
1.0
(a)
0.8
0.6
0.4
-- raie par raie
0.2
0.0 0.0 2000.0 4000.0 6000.0 8000.0
0.12
(b) -- MSBE
0.08
0.03
-0.02
-- - CK
-/
v (cm )
Figure 7.14 - Haut: Transmittivité d'un mélange anisotherme COi-H 2 0 (résolution de
2 5 cm- 1 ). Ti = 2 000 K, T2 = 500 K, p = 1 atm, '1 = 1 m, /2 = 1 m, XH 2
o = 0, 1, Xco 2
= 0, 1,
XN 2
= 0,8. Bas : écarts relatifs par rapport au calcul raie par raie. Modèles EM2C, ECP.
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Si on se limite à ces considérations, il paraît à première vue légitime d' utiliser au
sein d'intervalles de largeur ôv respectant ce critère, et donnés sur la figure 7.15,
des propriétés radiatives des gaz uniformes, comme pour les milieux denses. Cette
approche est physiquement fausse et susceptible de condu.ire à des résu1tats aberrants
tant qualitativement que quantitativement sur les flux globaux calculés. En effet, elle
néglige les corrélations spectrales au se.in du mi1ieu entre phénomènes d'émission,
de transmission et d'absorption, liées à la structure fine à haute résolution.
0
100
0 ..iooo 8000
Figure 7.1 5 - Valeur maximale de 6v en fonction du critère de précision€.
Un exemple cat.icatural permet de mettre en évidence l'importance de ce phénomène
de corrélations spectrales. Soit un intervalle spectral ôv dans lequel il existe
279

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
un certain nombre de raies d'absorption, grossièrement représentées par les créneaux
régulièrement espacés de la figure 7.16 (dites raies noires équivalentes). On s'intéresse
au flux d<P'~ v émis, dans ilv, par une colonne 1, de température T 1 , d'émissivité
monochromatique &~v et absorbé par une colonne jointive d'émissiv.ité &;v = a;v.
I
s =a
/v 2v
ôv' 6v' ôv'
Figure 7.16 - Système de raies noires considéré.
V
Soit:
--~v
d<P' 1 ( lvo+2 , , ) ôv
A= = - & 1 v& 2 vdv = = 1/4
L~ (T1 )did.Qilv ilv vo-~ ov + ov'
Ll.v
(7.51)
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Dans l'expression précédente, la luminance d'équilibre qui respecte le critère d'invariance
7.50 sur ilv a été extraite de l'intégrale. Ce calcul a tenu compte du fait que
l'absorption a lieu en des positions spectrales précises où le gaz émet et, corrélativement,
n'a pas lieu là où le gaz n'émet pas : ce sont les corrélations spectrales. Une
approche naYve consisterait à considérer des émjssivités (ou absorptivités) moyennées
sur ilv:
l
vo+M
-,-~v -,-~v 1 2 ' d
ê =a =- ê V
(7.52)
l v 2v AV Ll.v lv
u vo-2
et à se livrer à un calcul non c01rélé entre colonnes du flux considéré. Le résultat 7.51
deviendrait dans ces conditions : Ane = &~v ~v &;v~v = 1/16, et sous-estimerait quatre
fois le flux ! Si un spectre réel n'a pas l'allure caricaturale des créneaux choisis, il
n'en est guère éloigné, comme il apparaît sur les figures 7.11, à 7.13.
En conclusion, un calcul correct, même approché, des transferts dans un gaz doit
tenir compte du phénomène de corrélations spectrales d'origine quantique, même si
on ne s'intéresse qu'à un flux global (en wm- 2 ) . Toutes les méthodes qui recourent
à des modèles de gaz gris ou gaz gris par bandes, même spectralement étroites (box
models) reposent sur une erreur physique grossière et sont susceptibles de conduire
à des résultats aberrants quantitativement, et même qualitativement, sauf dans des
cas particuliers qui seront précisés ultérieurement. Comme l'approche raie par raie
est, à ce jour encore, prohibitive en volume et temps de calcul, en transferts 2D et
3D dans des systèmes complexes, il convient d'envisager des modèles approchés, qui
constituent des compromis entre temps de calcul et précision.
280

7.2. Propriétés radiatives des gaz
Il existe un grand nombre de modèles approchés de type modèles de bandes. Nous
nous limitons à aborder dans les paragraphes suivants le modèle statistique à bandes
étroites (paragraphe 7 .2.3) et le modèle CK, à fonction de distribution cumulée du
coefficient d'absorption sur une bande (paragraphe 7.2.4). Parmi les autres modèles
de bandes, il convient de mentionner le modèle dit d'Edwards [42, 43], modèle statistique
à bandes larges, qui fut très utilisé dans les années 70-80, dans la mesure
où il correspondait à un optimum vis à vis des moyens de calcul de l'époque. Nous
aborderons dans une deuxième phase des modèles globaux, fondés sur une fonction
de distribution cumulée du coefficient d'absorption sur tout le spectre: WSGG, SLW
et ADF (paragraphe 7 .2.5).
7.2.3 Modèle statistique à bandes étroites
Le modèle statistique à bandes étroites vise à représenter les propriétés radiatives des
gaz sur des intervalles spectraux, typiquement de 5 à 400 cm - l .
a) Hypothèses physiques
Une étude détaillée des hypothèses est menée dans l'article de synthèse [133]. D' une
manière sommaire, nous postulerons que :
>- Hypothèse Hl : les centre des N raies d'absorption présentes dans un intervalle
spectral !:J..v sont supposés occuper des positions aléatoires au sein de l'intervalle.
>- Hypothèse H2 : chacune des N raies de l'intervalle considéré est supposée
appartenir à une suite infinie de raies identiques, positionnées dans un très grand
nombre d'intervalles consécutifs de largeur !:J..v (ensemble représentatif).
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>- Hypothèse H 3 : les N raies del' intervalle qui ont des largeurs distinctes Ym, sont
bien représentées par une largeur moyenne Y. On considère ici uniquement l'élargissement
par collisions 8 (Lorentz).
>- Hypothèse H4 : les intensités S des N raies suivent une loi de distribution P(S)
fixée a priori.
b) Cas d'une colonne homogène et isotherme
Compte tenu de toutes ces hypothèses, il est démontré que la transmittivité d'une
colonne gazeuse homogène et isotherme, avec une seule espèce absorbante, est caractérisée
par trois grandeurs dans chaque intervalle !:J.. v :
8. Des généralisations ont été menées, en domaine Yoigt (115].
281

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
-
• k(T) qui représente le quotient de l'intensité moyenne des raies par l'espacement
moyen des raies (en cm- 1 atm- 1 ) ;
• 1/o(T), inverse d'un espacement caractéristique des raies (en cm);
• y, largeur moyenne des raies (en cm- 1 ), qui dépend de l'espèce absorbante, de
la température, de la pression, des concentrations dans les différentes espèces
du milieu.
- -
Les deux premières grandeurs k et 1/8 sont, en pratique, tabulées en fonction de
T et de l'intervalle spectral considéré, par exemple par Rivière et Soufiani [ 116] et
Ludwig et al. [91 ] ; les demi-largeurs moyennes y sont données par des expressions
analytiques 9 .
La transmittivité moyenne sur Llv d'une colonne homogène et isotherme, de température
T, pression p, fraction molaire en gaz absorbant x et de longueur l, est donnée
dans le modèle de (Malkmus, 1967) par :
T'!lv = exp{-(,8/n)[(l + 2nxplkf°fi) 112 - 1]}
- -
f3 = 2ny/8
(7.53)
(7.54)
La transmittivité moyennée dépend finalement de deux paramètres statistiques seule-
- -
ment dans une bande spectrale : k, paramètre intensif précédemment défini, et f3 qui
caractérise la dynamique spectrale (et lié au rapport de la largeur moyenne à l' espacement
typique des raies). La précision du modèle est excellente, de l'ordre de 1 %
pour un milieu isotherme et homogène. Nous considérons dans le paragraphe c les
conséquences physiques de l'expression 7 .53.
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c) Propriétés essentielles des spectres gazeux
La loi de Beer sur l'absorption, valable en toute généralité à haute résolution et reposant
sur la notion de coefficient d'absorption, n'est en général plus valable si on considère
une transmittivité moyennée sur un intervalle Llv. Il apparaît sur l'équation 7.53
qu'un coefficient d'absorption moyenné n'a plus en général de sens physique (on retrouve
la discussion du paragraphe 7 .2.2). La précision typique de 1 % du modèle
statistique à bandes étroites montre qu'il prend très bien en compte le phénomène de
9. Par exemple, les demi-largeurs moyennes utilisées [129] sont:
Y~o7 = (p/ps)(Ts/T) 0 • 75 (0,07xco 7 + 0,1XH 2 o + 0,05Xo 2 + 0,058Xamre )
- -
Y~2 o = (pfps)f0,462(Ts/T)XH 2o + (Ts/T) 0·5[0.106xco 2
+ 0,036xo 2
+ 0,079xautre]}
où les x; désignent les fractions molaires en constituants i du mélange, Ts et Ps les température et
pression de référence : 296 K et 1 atm. Il est très important de n'utiliser que des ensembles de données
(k, 1/8, y) cohérents, issus de la même génération de modèle par les mêmes auteurs.
282

7.2. Propriétés radiatives des gaz
corrélations spectrales pour un milieu homogène et isotherme, quand on fait varier la
longueur de la colonne, en pa1ticulier quand on passe d'une colonne de longueur Là
une colonne de longueur L + l.
Deux cas limites peuvent être considérés, correspondant à des comportements très
différents des spectres :
> La limite dite de l'absorption forte del' équation 7 .53 est définie par :
2rcxpl(k//3) >> 1 ou xplk(ofj) >> 1 ou xpl(S Efi) >> 1 (7.55)
-
Dans cette expression, xplk est lié grossièrement à l'épaisseur optique moyenne du
milieu: k est en effet égal au quotient de l'intensité moyenne par l'espacement caractéristique
des raies; ôfY représente la dynamique du spectre, c'est-à-dire le rapport de
l'intervalle typique entre raies et de la largeur moyenne de celles-ci. Le critère 7.55
peut être atteint :
• pour un ensemble de quelques raies intenses mais très fines (ofi >> 1 ; le milieu est
éventuellement optiquement mince en moyenne)
- -
• pour des raies caractérisées par un produit xplk élevé (ofY de l'ordre de 1 ou plus
petit que 1).
Ces deux situations extrêmes sont très différentes. À la limite de l'absorption forte,
on obtient:
(7.56)
L'absorption est alors régie par la grandeur :
ç = (k ft)l/2 = (ky/8) 1/2 (7.57)
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> La limite dite de l'absorption faible de l'équation 7.53 est définie par:
2rcxpl(k//3) << 1 ou xplk(ofi) « 1 ou xpl(S EfÏ) « 1 (7.58)
L'expression de la transmittivité moyennée r'!:lv se simplifie alors en :
-!:lv -
r' = exp(-xiplk) (7.59)
-
Cette situation est idéale en ce sens que k apparait comme un coefficient d'absorption
moyen par unité de pression partielle.
Quand la largeur de raie est plus petite que 8, espacement typique des raies, le fait
que la condition 7.58 soit vérifiée conduit même à une expression de la transmittivité
voisine de 1 ; l'expression 7 .59 peut alors être linéarisée : le milieu est optiquement
mm ce.
283

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
.Mais si les raies sont suffisamment larges par rapport à leurs espacements (cas de
forts recouvrements : ofY « 1), le fait que la _90ndition 7.58 soit vérifiée n'implique
pas que le milieu soit optiquement mince : xplk peut être del' ordre de quelques unités
(milieu optiquement épais) et la transmittivité moyennée faible; dans ce dernier cas,
toute dynamique a disparu du spectre qui est très lisse en fonction de la fréquence,
comme pour un milieu dense. Cette situation se rencontre dans les gaz à pression
élevée (y est proportionnel à p, comme dans les liquides).
d) Colonne hétérogène et/ou anisotherme
(plusieurs espèces absorbantes)
Si on considère un milieu anisotherme et hétérogène, constitué d'un mélange de gaz
absorbants et de particules de petit paramètre de taille, qui émettent et absorbent,
tout problème de transfert se réduit à la prise en compte d'un ensemble de colonnes
hétérogènes et anisothermes, discrétisées en une succession d'éléments isothermes
et homogènes. L'équation de transfert est nécessairement considérée du point de vue
des transmittivités (équation 6.43), si on utilise pour les gaz un modèle statistique
à bandes étroites. Si on affecte chaque gaz absorbant d' un indice i et les particules
d' un indice p, la transmittivité moyennée sur ~v d'une colonne globale hétérogène et
anisotherme est donnée par :
V p
T
-~v = n-~v
T i
n-~v
Tp (7.60)
i=l p =l
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où v désigne le nombre de gaz absorbants, P le nombre d'espèces de pait.icules
et Tf'v (ou r~v) la transmittivité moyenne de la colonne hétérogène et anisotherme
pour la seule espèces absorbante i (ou p ). Cette expression repose sur l'hypothèse
d'indépendance statistique des distributions spectrales des coefficients d'absorption
associés à différentes e~pèces (la transmittivité moyenne du mélange est le produit
des transmittivités moyennes associées aux différentes espèces i ou p ). Cette hypothèse,
évidente pour des particules, a été vérifiée pour les gaz dans de nombreuses
études et sera justifiée dans le paragraphe 7 .2.4.
L'absorption par les particules a été traitée dans le paragraphe 7 .1.
e) Colonne hétérogène et/ou anisotherme
(une seule espèce absorbante)
Il reste à exprimer avec les modèles statistiques, pour un gaz absorbant i donné, la
transmittivité moyennée sur ~ v d'une colonne hétérogène et anisotherme notée r' ~v .
On dispose pour les Ne éléments homogènes de cette colonne, caractérisés chacun
284

7.2. Propriétés radiatives des gaz
par une longueur l 1 et un ensemble de condition 10 (T 1 ,p 1 ,xi 1 ,xk 1 ), des valeurs des pa-
- -
ramètres k(Tj), l/ô(Tj) et y(T 1 ,p 1 ,xiJ,XkJ) des modèles statistiques à bandes étroites.
Une hypothèse supplémentaire est nécessaire à ce stade pour obtenir concrétement
r'~v
pour l'ensemble de la colonne non uniforme. Il s'agit en fait de modéliser les
corrélations spectrales entre éléments de colonne. D' innombrables approximations
sont proposées. Une discussion complète de ces approximations est détaillée dans des
articles de (Young, 1975 a et b). L'approximation de Curtis-Godson, la plus simple,
donne généralement des résultats satisfaisants pour les applications usuelles à haute
température, en particulier dans un milieu en combustion. Dans cette approche, on
définit la quantité extensive caractérisant la composition du milieu :
u = li x;(s)p(s)ds . (7.61)
-
On introduit pour la colonne non uniforme un paramètre ke global, pondéré par u,
soit:
li k,u = x;(s)p(s)Ïc(s)ds, (7.62)
- -
et un paramètre f3e moyen pondéré par keu soit:
(7.63)
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Cela revient à associer à la colonne non uniforme une colonne équivalente uniforme
- - - - -
caractérisée par ke et f3e, plus précisément par ke et f3eke, qui sont les deux grandeurs
physiques essentielles du modèle, et qui régissent les limites de l'absorption faible
et de l'absorption forte. L'approximation de Curtis-Gordon consiste à poser que la
transmittivité moyennée sur !:J.. v de la colonne non uniforme est celle de cette colonne
équivalente; c'est-à-dire qu'on utilise l'expression 7.53 du modèle de Malkmus :
(7.64)
Cette approximation est en pratique d' autant meilleure que le paramètre f3 varie faiblement
sur la colonne non homogène et non uniforme. Un exemple de spectre calculé
avec l' approximation de Curtis-Godson est comparé sur la figure 7 .14 au même
spectre calculé par la méthode raie par raie. La précision typique de 1' approximation
de Curtis-Godson pour des milieux en combustion est d' environ 5 %. Le calcul des
luminances pour une colonne anisotherme et non uniforme est alors effectué à partir
de l'équation 6.47.
1 O. Dans l'ordre température, pression totale, fraction molaire du constituant absorbant i et des autres
constituants k.
285

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
7.2.4 Modèle CK
Le modèle CK a été initialement introduit pour des applications atmosphériques [53,
78] puis généralisé à des applications à des milieux en combustion [113, 114]. Il
a été étendu pour les applications à la télédétection en modèle CKFG, non abordé
ici [85, 113].
a) Milieu gazeux homogène et isotherme avec un seul
constituant absorbant
La fonction de distribution f(k) et la fonction de distribution cumulée 11 g(k) du coefficient
d'absorption Kv pour un intervalle spectral centré en v 0 , de largeur ~v , vérifient:
g(k) = .( f(k')dk' (7.65)
La quantité dg = f (k)dk représente la probabilité pour que Kv soit compris entre k
et k + dk dans ~v. Toute grandeur moyennée sur la fréquence dans ~v peut s'exprimer
en fonction de k ou g. Par exemple, la transmittivité moyenne d'une colonne de
longueur l:
~ lvo+~v/2 1= ll
T~ V= ~v- 1 T~dv = T~(k)f(k)dk = T~[k(g)]dg
vo -~v/2 0 0
'
(7.66)
où k(g) désigne la fonction réciproque de g(k). A partir de l'expression der~ il
est aisé d'exprimer la luminance émise et le flux émis par la colonne homogène et
isotherme, dans la mesure où L~ (T) est supposé uniforme env sur l'intervalle ~v.
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b) Milieu gazeux hétérogène et anisotherme avec un seul
constituant absorbant
Une colonne d'un tel milieu peut être discrétisée en éléments homogènes et isothermes
: le problème est de traiter aussi précisément que possible les phénomènes
de corrélations spectrales entre éléments de colonne. Si on fait l'hypothèse simplificatrice
que le coefficient d'absorption du milieu suit, dans les différentes conditions
the1mophysiques caractérisées pars, la loi d'échelle suivante 12 :
Kv(s) = TJ(S)h(v), (7.67)
la fonction de distribution cumulée de Kv/TJ, notée g(k*)est invariante d' un point du
milieu à l'autre et on peut poser :
k(s,g) = T/(s)k*(g). (7.68)
11. fonction monotone croissante, donc inversible, prenant ses valeurs dans [O, 1).
12. 77(s) dépend en fait de T(s), p(s),x(s), etc.
286

7.2. Propriétés radiatives des gaz
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Dans ce cas, les spectres associés aux différentes conditions thermophysiques sont
affines et les corrélations spectrales sont rigoureusement prises en compte en faisant
se correspondre, pour les différents points s, les valeurs de k associées aux mêmes
valeurs de g. Cela revient à dire que g est une pseudo-fréquence sans dimension.
La loi d'échelle 7.67 est rigoureuse en profil Doppler et constitue une bonne
approximation en profil Lorentz (conditions thermiques usuelles) pour des milieux
quasi-isothermes, de fractions molaires variables en C0 2 , voire de pression variable
(tant que la largeur de raie varie faiblement du fait de x et de p). Mais de fortes
variations de température, de pression ou de la fraction molaire en H 2 0 modifient
fortement les spectres et mettent en principe en défaut la loi 7.67. L'hypothèse de
séparabilité des dépendances spatiales et fréquentielles n'est plus exacte dans ces
conditions.
Bien que la condition suffisante 7 .67 ne soit pas vérifiée, la loi de c01Télation approchée
utilisée dans la méthode CK consiste à considérer g comme une pseudofréquence
adimensionnée, c' est-à-dire à associer les valeurs de k de même valeur de
g en tout point. C 'est la cause principale d'erreur de la méthode. L' erreur dans des
conditions typiques de combustion est de 5 % sur la transmittivité (voir figure 7.14b).
Considérons l'exemple d'un milieu hétérogène et anisotherrne comprenant un seul
gaz absorbant caractérisé par k(s,g) dans le modèle CK et une assemblée de paiticules
caractérisées par des coefficients d'absorption et de diffusion Kv 0
(s) et crv 0
(s)
et une fonction de phase Pv 0
(u', u) supposés uniformes sur Liv. En utilisant la loi
de c01Télation précédente, l'équation de transfert locale pour un milieu absorbant et
diffusant (voir paragraphe 6.3.1) moyennée sur Liv, en fait sur g, devient, pour une
bande centrée en vo :
l
i
d
o ds
li
-L~ 0 (g,u, s)dg = - [k(s, g) + Kv (s) + 0
o
crv 0
(s)]L~/g , u, s)dg
+ L; 0
(s) li [k(s,g) + Kv 0 (s)]dg + :: [ ' P v 0 (n' ,u) (l1 L~,(g,u' ,s)dq) d!!'
(7.69)
Les limitations de la loi de corrélation utilisée en CK sont discutées dans la référence
[133]. Un avantage est d'associer de façon biunivoque à un coefficient d' absorption
k(g,T) pour un milieu homogène de température T , un coefficient d' absorption
unique k' (g, T') pour le même milieu, mais à température T', alors qu' en fait,
dans un spectre réel, compte tenu des modifications des fonctions de distributions cumulées
dues à l' effet de température, différentes valeurs Kv(T') peuvent être associées
à une valeur donnée Kv(T).
L' intérêt pratique de la méthode CK est que k(g) est une fonction monotone croissante
de g. Une interprétation physique consiste à considérer k(g) comme un spectre
287

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
réordonné par valeurs croissantes de la pseudo fréquence adimensionnée g dans l'intervaUe
~v. De ce fait, les intégrations sur g dans 7.66 et 7.69, et d'une manière
générale, pour toute fonction moyennée sur ~v , peuvent être menées à partir d'une
métode de quadrature à N points (N =::: 10). Par exemple, la luminance moyenne 13
apparaissant dans 7 .69 devient :
r' n.
L~0 (u, s) = J o L~0 (g,u, s)dg = I Wj L~/u, s)
0 j = l
(7.70)
où L~ est la valeur de la luminance au point discret gj de [0,1], de poids Wj. Les
1
N couples (gj ,wj) sont indépendants de la bande spectrale et des conditions thermophysiques.
Avec la transformation 7.70 l'équation de transfert moyennée sur ~v est
résolue dès lors qu'on a résolu les N équations de transfert associées aux N valeurs
discrètes g j :
:s L~/u, s) = - [kg/s) + Kv 0 (s) + CTv0 ]L~/u, s) + [kg/ s) + Kv0 ( s)]L~0 ( s)
+ cr vo (4rr Pg (u', u)L~ (u' , s)dQ'
4n ) 0
1 1
(7.71)
Des tabulations de kg sont données pour C0 2 et H 2 0, à la pression atmosphérique,
entre 300 et 2 500 K par (Soufiani et Taine, 1997).
c) Mélanges de gaz absorbant dans la même zone spectrale
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Ce cas est discuté de façon détaillée dans la référence [133]. Plusieurs approches
sont praticables. Il apparaît à partir de 7. 66 que r~ 6 v ( l) est, pour une colonne gazeuse
homogène et isotherme, la transformée de Laplace de f(k):
- f),y ( OO
r~ = Jo exp( -kl)f (k)dk (7.72)
Si les variables k 1 et k 2 associées aux coefficients d'absorption de deux espèces
gazeuses différentes sont statistiquement indépendantes, la fonction de distribution
jointe du mélange / 12 (k 1 ,k 2 ) est le produit de convolution des fonctions de distribution
/ 1 (k1) et fi(k2) des deux espèces. Compte tenu de 7.72 la transmittivité moyennée
du mélange de gaz est alors le produit des transmittivités moyennées associées
à chaque espèce prise séparément : voir l'équation 7.60. En conséquence, pour un
mélange, deux voies sont possibles :
13. La même expression peut être écrite pour r~ ou toute autre grandeur.
288

7.2. Propriétés radiatives des gaz
• utiliser l'équation 7.60 mais cela fait perdre l'intérêt d' une fo1mulation de l'équation
de transfert en coefficient d'absorption, compatible avec la diffusion (relation
7.69).
• augmenter considérablement dans chaque intervalle spectral de recouvrement
d'absorption l'ordre de la quadrature, à paitir de la relation rigoureuse exprimant
1' indépendance statistique de 1' absorption par deux espèces :
(7.73)
où les points courants g.i et g.i' et les poids w 1 et w.r se rapportent aux deux espèces.
(Ce sont évidemment les mêmes points et poids). En pratique, pour une bande
de recouvrement d'absorption par deux espèces, on considère N 2 couples (g.i,g.i' )
auxquels sont associés les poids w 1 w J' . Si cette approche est pénalisante dans une
méthode de transfert déterministe, elle ne l'est pas dans une méthode de Monte­
Carlo.
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7.2.5 Modèles globaux
Nous ne considérerons que les modèles globaux fondés sur une fonction de distribution
cumulée du coefficient d'absorption sur l'ensemble du spectre. Le modèle le
plus ancien, appelé modèle WSGG (Weighted Sum of Gray Gases), dû initialement à
Hottel et Sarofim [64], a été considérablement amélioré par Denison et Webb [36, 37]
et par Pierrot et al. [106, 107]. Nous nous limiterons ici à ces deux formulations récentes.
Les modèles globaux traitent l'ensemble du spectre. Ils ne sont donc adaptés qu'à
la prise en compte de parois et de particules considérées comme grises, ce qui est
une restriction d' usage importante. Ils sont précisément fondés sur une fonction de
distribution cumulée du coefficient d'absorption Kv pondérée, sur tout le spectre, par
la luminance du rayonnement d'équilibre L~ (T) à une température T. Ceci les rapproche
des modèles CK. La pondération par L~(T) vient du fait que, contrairement
au cas du modèle CK pour une bande Liv, il n'est pas possible de considérer cette
luminance comme uniforme sur tout le spectre .
Pour un milieu homogène et isotherme, la fonction de distribution cumulée pondérée
de Kv est définie par :
'F(T ,x,p,k) = (<rT 4 /rr)- 1 L,.<k L~ (T)dv (7.74)
La sommation est étendue à toutes les valeurs de la fréquence v telles que Kv soit
inférieur à k.
289

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
Un spectre réel ne respecte pas la loi d'échelle 7.67 (voir la discussion du paragraphe
précédent, relatif à CK). Mais, même si on faisait cette hypothèse, les
fonctions de distribution cumulées à deux températures T et T' seraient très différentes
à cause de la pondération par L~(T). Une approximation due à Dennison et
Webb [36], tend à contourner cet inconvénient en introduisant une température de
référence unique Tref pour tout le système et une fonction de distribution cumulée à
deux températures :
'F'(T1Tref1 Xref1 Pref1 · · · 1 k) = (a-T:etfn)-J ( L~(Tref )dv (7.75)
J v : K,,(T ,Xref•Pref)<k
De cette façon, les valeurs de r associées à deux valeurs de T et T' seraient affines,
si la loi d'échelle était respectée. Les mêmes valeurs de r seraient associées aux
mêmes valeurs de k* = klTJ.
Si on considère deux bornes de l'espace des k, ki min et ki max, la quantité ai défini e
par:
ai(T1Tref) = 'F'(T1Tref 1 Xref1 Pref1 ... 1 ki max )
-'F'(T1Tref1 Xref1 Pref1 · · · 1 ki min)
(7.76)
représente le poids spectral (la fraction de a-T:ef) associé aux valeurs du coefficient
d'absorption Kv appartenant à l'intervalle [ki mini ki maxl On introduit également
la valeur unique ki du coefficient d'absorption, représentative de l'intervalle
[ki min i ki max], pour une température T, par la relation :
(7.77)
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L'hypothèse de corrélation du modèle SLW consiste à associer à chaque intervalle
i, et pour chaque température T , une valeur unique ki(T) et des bornes uniques
[ki min (T)1 ki max(T)], qui correspondent à des valeurs fixes de la fonction de distribution
cumulée 'F'(T1k), définie par 7.75. À partir de là, la formulation SLW [36] du
modèle WSGG, repose sur la résolution des équations de transfert partielles, associées
à chaque intervalle i, écrites avec les approximations faites :
(7.78)
290
On notera que le terme d'émission est approximativement calculé, dans la mesure où
le poids ai correspond à une pondération à la température de référence Tref et non à
la température T. En pratique pour un choix de Tref dans un intervalle utile [T1 1 T2],
l'ensemble des paramètres ai(T) et ki(T) sont tabulés. Avec ce modèle, l'émissivité

7.2. Propriétés radiatives des gaz
d'une colonne homogène isotherme de gaz de longueur l et de température T est
donnée par:
(7.79)
Un inconvénient majeur de la méthode en transfert radiatif est que les résultats sont
généralement sensibles au choix des conditions de référence.
Une variante de l'approche SLW, due à Pierrot et al. [106, 107] et connue sous le
nom de modèle ADF, repose exactement sur la même structure de calcul de ':F mais
consiste à exprimer plus précisément le terme d'émission par :
ai(T) = ':F(T,T, Xref1 Pref1 · · · , ki max)
-<J='(T,T, Xref1 Pref1 · · · , ki minki mjn)
(7.80)
Les précisions de ces modèles sont discutées dans les références [106, 107].
Dans le cas d'un mélange de gaz absorbants, la solution la plus simple consiste
à considérer un milieu de composition figée ou dont le rapport des fractions molaires
est uniforme, pour lequel les tabulations sont à réaliser. Une méthode générale,
dont la mise en œuvre est laborieuse, consiste à considérer des fonctions de distribution
cumulées jointes des coefficients d'absorption des différentes espèces absorbantes
[106, 107].
7.2.6 Comparaison entre modèles approchés
Les performances des modèles statistiques à bandes étroites, CK et globaux (WSGG,
SLW et ADF) sont étudiées en détail dans des cas tests de transfert [133]. Les conclusions
essentielles sont que :
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Les modèles de bandes sont plus précis que les modèles globaux, mais nécessitent
un effort de calcul plus important. Cependant l'effort de calcul requis pour des
mélanges traités, en toute généralité, avec un modèle global, redevient important,
ce qui fait perdre beaucoup d'intérêt à une telle approche.
Seuls les modèles de bandes permettent de traiter des parois de propriétés radiatives
réelles (non grises). C'est une limitation forte des modèles globaux .
Les modèles de bandes de type CK et les modèles globaux sont fondés sur des
(pseudo)-coefficients d'absorption. De ce fait toutes les approches de l'équation
de transfert (locales et intégrales) sont utilisables avec ces modèles, tandis que
seules les approches intégrales sont utilisables avec les modèles statistiques à
bandes étroites.
Pour traiter les phénomènes d'absorption et de diffusion par des particules parallèlement
à l'absorption par les gaz, seule une approche fondée sur le coefficient
291

Chapitre 7 • Propriétés radiatives des milieux
d'absorption (formulation locale) est adaptée, en pratique. De plus, les propriétés
des particules dépendent fo1tement de la fréquence sur l'ensemble du spectre (à
l'exception du cas des paramètres de taille élevés). Dans ces conditions le modèle
le plus adapté est le modèle CK.
Les précisions des modèles statistiques à bandes étroites et CK sont très similaires
dans les conditions usuelles de transfert radiatif (combustion à la pression
atmosphérique).
L'avantage essentiel du modèle statistique à bandes étroites est sa très grande
souplesse d'utilisation dans l'ensemble des conditions de validité. Aucune paramétrisation
supplémentaire n'est nécessaire pour faire varier dans des plages
importantes, pression totale, fractions molaires, etc.
7.2.7 Abaques de Hottel
Une estimation du flux émjs par une masse gazeuse homogène et isotherme est utile
pour estimer des ordres de grandeur du flux radiatif dans une application. D'après
l'étude du paragraphe 6. 6.1 d, l' émissivité monochromatique de la masse gazeuse
peut être calculée à partir de celle d' une colonne gazeuse homogène et isotherme
en utilisant la technique du rayon équivalent. On introduit, pour un milieu gazeux
isotherme, une émissivité totale d'une colonne (dite aussi facteur d'émission total)
par:
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s(T) = (crT 4 )- fo
1 rrs~(T)L~ (T)dv (7.81)
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Cette grandeur a été tabulée pour C0 2 et H 2 0 à partir de résultats expérimentaux
entre 300 et 2 500 K [64] : voir les cas correspondant à 1 atm pour C0 2 et H 2 0 dilué
dans N 2 ou de l'air, dans le Complément E.3.
Mais, il est essentiel de noter que l' usage d' une émissivité totale s(T) ne permet
jamais de calculer le flux absorbé par un gaz venant d'une source même isotherme, à
température différente de celle du gaz.
292

I
EQUATIONS
I
I
GENERALES DE LA
CONVECTION (FLUIDE
MONOPHASIQUE)
Les objectifs de ce chapitre sont d'introduire :
• les équations générales de bilan pour un fluide monophasique éventuellement dilatable,
compressible et hétérogène, c'est-à-dire avec transferts de masse de diff é­
rents constituants s au sein d' un mélange. La convection forcée et la convection
naturelle seront abordées.
• les analogies entre transferts thermiques par diffusion et convection et transferts de
masse d'une espèce s, également par diffusion et convection. Cette analogie est cependant
limitée au cas où les propriétés thermophysiques du fluide sont uniformes.
• les modèles classiques de couches limites tant en convection externe qu'en convection
interne.
Le cas très important et spécifique des transferts turbulents sera abordé dans le
Chapitre 9.
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8.1 ÉQUATIONS DE BILAN POUR UN FLUIDE
HOMOGÈNE
8.1.1 Dépendance en température et pression
des grandeurs thermophysiques
Des tableaux assez complets illustrant le comportement de la conductivité thermique
À, la masse volumique p, la capacité thermique massique cp, la viscosité dynamiqueµ,
la vicosité cinématiique v, la diffusivité thermique a et le nombre de Prandtl
Pr sont donnés pour des fluides usuels dans le Complément D ; le lecteur est invité à
s'y reporter au cours de la lecture de ce paragraphe. Des données plus complètes sont
accessibles [142, 143].
Les liquides ne sont, en excellente approximation, ni compressibles ni même dilatables
(sauf dans le terme moteur de la convection naturelle). Ils suivent des transfor-
293

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
mations isovolumes :
P =po (8.1)
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Les variations de la conductivité thermique il et de la capacité thermique massique
Cp sont modérées avec la température. Par contre les variations de la viscosité dynamique
de l'eauµ avec T sont considérables : 10- 2 ; 2,8 10- 3 et 10- 3 kg m- 1 ç 1 à
20, 100 et 280 °C respectivement (l'eau est évidemment pressurisée dans ce dernier
cas). Les variations des nombres de Prandtl et de Reynolds dans un tube sont donc
importantes avec la température quand de l'eau s'échauffe de 20 à 90°C !
Les gaz sont généralement considérés comme parfaits :
p = rpT (8.2)
Pour des écoulements largement subsoniques, les vanat10ns de pression ô p sont
faibles. Pour un gaz parfait isothe1me la quantité (dp/dp)ôp = (ôp/p)p peut généralement
être négligée 1 devant Po et l'équation d'état 8.1 s'applique en pratique. L' écoulement
est isovolume. Par contre, un gaz est fortement dilatable et la transformation
n'est plus isovolume si T varie sensiblement.
Si cP varie faiblement avec T, À etµ croissent approximativement en r 0 • 8 pour les
gaz usuels. De ce fait, le nombre de Prandtl est pratiquement constant et voisin de 1.
Notons inversement que pour un écoulement dans un tube à débit massique constant
(pu constant), le nombre de Reynolds décroît fortement quand la température croît,
du fait des variations de la viscosité. Les dépendances de il, µ et c P avec la pression
sont très faibles.
L'équation générale de bilan de masse globale, pour un fluide dilatable et compressible,
a été établie dans le paragraphe 5.2. l. En notations tensorielles (voir complément
B.3 de cette partie), elle s'écrit:
ôp ô
- + -(pvi) = O. (8.3)
Ôt ÔXi
Elle dégénère pour un.fluide à tran~formation isovolume défini par l'équation 8.1 en:
ÔVi =O.
ÔXi
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Ol
·~ 8.1.2 Bilan de quantité de mouvement
a.
0
u L'équation de bilan de quantité de mouvement résulte de 1' application du principe
fondamental et du théorème de Reynolds (équation 5.25) à un système matériel :
(8.4)
(8.5)
1. Pour de l'air, à 1 atm et 300 K, à 10 m/s, op/p ~ 0 ,65 10- 3 .
294

8.1. Équations de bilan pour un fluide homogène
expression où apparaissent la résultante massique des forces volumiques gi et la force
smfacique ou contrainte ti(nexr j) appliquée à un élément dS m de la surface du système
dont la normale (next j) est orientée vers l'extérieur. La contrainte en une surface
dépend du sens de la normale choisi : il s'agit de laforce surfacique exercée par le
fluide situé du côté de cette normale sur cet élément de surface, en général fictif. En
ve1tu du principe physique de l'action et de la réaction le milieu situé de l'autre côté
de la surface exerce sur celle-ci la force opposée :
(8.6)
Les contraintes ti(nexr j) groupent les forces de pression et les forces visqueuses ; on
se limitera ici aux fluides usuels, newtoniens.
Les forces de pression représentent l'effet cumulé du transpo1t dans la direction
j de la normale n .i• à travers la surface considérée, des quantités de mouvement
dans la direction j de toutes les molécules traversant la surface (voir le
paragraphe 10.1.3). Ce phénomène est indépendant des interactions élémentaires
entre molécules. L'expression de la contrainte associée est :
(8.7)
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Les contraintes visqueuses résultent au contraire des effets cumulés des interactions
élémentaires entre molécules du fluide, dirigées par les potentiels intermoléculaires,
lorsque des déformations sont imposées à un élément matériel de ce
fluide. La notion de déformation est précisée dans le complément B.3, par opposition
aux autres transformations d'un élément matériel (translation ou rotation
dans un référentiel donné). À la suite de déformations imposées à un élément
matériel, il apparaît en tout point de la surface de cet élément un champ vectoriel
de contraintes visqueuses, dans le cas d'un fluide newtonien, caractérisé par le
vecteur contrainte tvi(next j) :
(8.8)
où Ti.i désigne le tenseur des contraintes visqueuses qui s'exprime simplement
en fonction du tenseur di.i des taux de déformation du fluide (voir le Complément
B.3).
Les contraintes visqueuses représentent l'effet cumulé du transport dans la direction
j, à travers la surface considérée, de la quantité de mouvement dans la direction i
des molécules (et réciproquement à cause de la symétrie). Le tenseur des contraintes
295

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
visqueuses s'exprime en fonction de la viscosité dynamiqueµ du fluide et de la vitesse
(voir le paragraphe 10.4.1):
(8.9)
On appelle tenseur des pressions, également appelé tenseur des contraintes totales,
Pij le tenseur résultant :
(8.10)
C'est un tenseur de rang 2, symétrique, introduit directement en physique statistique
(voir complément B.3). L'expression de la contrainte à la paroi, de normale next J est:
Après transformation du second membre de l'équation 8.5 :
J: ti(next j) dS m = ( next jPij dS m = ( Ô~ Pij dVm,
Sm(t) Jsm Jvm .i
l'équation de bilan de quantité de mouvement s'écrit, sous forme locale:
(8.11)
(8.12)
dvi ô ô
p dt = pgi - ÔXip + ÔXj Tij· (8.13)
où TiJ est donné par l'équation 8.9 dans le cas d'un fluide newtonien. C'est l'équation
de Navier-Stokes. Si on suppose que la viscosité dynamiqueµ est indépendante de la
température et plus généralement uniforme, il vient 2 :
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dvi Ô Ô 2 µ Ô ( ÔVk)
p- =pgi - - p +µ-vi + -- - .
dt Ôxi ôx~ 3 oxi OXk
J
(8.14)
Remarquons que dans le cas de transformations isovolumes du fluide (équation 8.4)
le dernier te1me de l'équation 8.14 est nul.
8.1.3 Bilan d'énergie
On applique le premier principe de la thermodynamique. Si e désigne l'énergie interne
massique du fluide, ce dernier s'énonce :
296
d d l ( v~ ) l (de dvi ) . .
-d(8 + 8c) = -d p e + -2 dVm = p -d + Vid
dVm = w + Q, (8.15)
t t Vm(t) V,,,(t) t t
2. Pour ce faire on a utilisé la relation : 2... ( avk o· ·) = .L. ( avk ).
' chj /Jxk 'J ch; <hk

8.1. Équations de bilan pour un fluide homogène
où 8 et 8c représentent les énergies interne et cinétique du système matériel, W et Q
les puissances échangées par celui-ci sous forme de travail et de chaleur; soient:
w = r P9iVi dVm + r ti(next j) Vi dS m.1
J vm(t)
J sm(t)
somme des puissances associées aux forces volumiques et aux contraintes, et :
Q = ( PdVm + ( - (q ~h + qn next i dS m,
J v,,,(r) J sm(t)
(8.16)
(8.17)
somme des puissances engendrées dans l'élément matériel ou traversant algébriquement
sa surface 3 . Comme le système est matériel aucun terme de convection globale
n'intervient dans l'équation 8.17. Le deuxième terme de l'équation 8.16 devient,
compte tenu des relations 8.7, 8.8 et 8.9 :
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( (tpj+tvj)VjdSm = ( nexr i(-pÔij+Tij)VjdSm
J sm(t)
J sm(t)
(8.18)
= ( [-!:la (pvi) + !:la (TijVj)l dVm.
J vm(t) UXi UXi
Le premier principe généralisé s'écrit finalement, sous forme locale:
de dvi ) a a a ( th R)
p ( dt + Vi dt = P9iVi - axi (pvi) + axi (Tij Vj) - axi qi + qi + P. (8.19)
Dans cette expression, apparaissent au second membre respectivement les puissances
associées aux forces volumiques, aux forces de pression, aux forces visqueuses et les
puissances calorifiques.
L'équation d'évolution de l'énergie interne se déduit de l'expression 8.19 en soustrayant
membre à membre l'équation de bilan d'énergie cinétique à celle-ci. L'équation
de bilan d'énergie cinétique s'obtient en réalisant le produit scalaire par vi de
l'équation de bilan de quantité de mouvement 8.13 ; soit:
d~ a a
PVi dt = P9iVi - Vj axi p + Vj ax j Tji. (8.20)
L'équation d'évolution de l'énergie interne s'écrit, après des transformations élémentaires
:
p- de = -p (-a vi ) +Ti· -v·+P- a -a ( q. th +q- R) . (8.21)
1
dt axi .! axi .! axi l
Pour obtenir l'équation 8.21, on a utilisé le fait que via/axjTji est égal à vja/axiTij
puisqu'une double sommation est faite suri et jet que le tenseur Tij est symétrique.
3. q;h représente, dans le cas d' un mélange d'espèces, un flux thermique qui n'est pas seulement conductif;
un effet de transport d'enthalpie lié à la diffusion de masse sera introduit dans le paragraphe 8.2.3.
297

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
L'enthalpie massique du fluide h est donnée par la relation :
e = h - p/p,
(8.22)
On obtient, si on prend en compte l'équation de bilan de masse 8.3 :
dh de 1 dp p ô
- = - + -- + --vi.
(8.23)
dt dt p dt p Ô Xi
L'équation de bilan d'énergie (d'enthalpie) s'écrit donc, pour un fluide monophasique
éventuellement hétérogène (plusieurs espèces) :
dh Ô ( th R) Ô dp
p- = -- q. +q. +P+Tï - v· + -.
dt OXi l l .! OXi .! dt
(8.24)
Les trois premiers termes du second membre con-espondent à des échanges in-éversibles
de chaleur; le troisième, toujours positif, con-espond à l'échauffement du fluide
par le travail ifféversible des forces visqueuses. Le dernier terme est réversible et correspond
à la compressibilité du fluide.
Cas particulier d'un fluide homogène (sans transport d'espèces).
Dans le cas d'un liquide la différence entre enthalpie et énergie interne est souvent
académique ; on pose généralement :
dh = Cp dT, (8.25)
où cp désigne la capacité thermique massique du liquide. Dans le cas d'un gaz réel,
l'expression de l'enthalpie massique est donnée par :
dh = CpdT + (1 - Tf3)dp/p, (8.26)
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où/3 est égal à -ljp(ôp/ôT)p. L'équation générale de l'énergie prend, dans ces conditions,
la forme déduite de l'équation 8.24 et totalement rigoureuse pour un fluide
monophasique homogène newtonien 4 :
dT o ( cd R) dp o
pc -=-- q. +q. + P +T/3-
p dt ÔXi
+Tï·-v·.
1 1
dt .! ÔXi .!
(8.27)
La quantité scalaire qui représente 1' échauffement dû aux contraintes visqueuse, propo1tionnel
àµ, si µ est constant, appelée fonction de dissipation , s'écrit généralement:
(8.28)
Dans le cas d' un gaz parfait (/3 = l/T), en transformation adiabatique, l'équation
locale de 1' énergie devient :
pcpdT = dp. (8.29)
4. Comme le fluide est homogène, q; 11 représente seulement un flux conductif q~·d .
298

8.2. Équations de bilan pour un fluide hétérogène
dp/p = [cp/(cp - eu)] (dT/T) = [y/(y - 1)] (dT/T), (8.30)
ce qui correspond à la transformation isentropique d' un gaz parfait, bien connue.
Dans les applications pratiques, où un échange d'énergie important par conduction
ou rayonnement se produit, les deux derniers termes de l'équation 8.27 (fonction de
dissipation et effet des forces de pression) sont négligeables. Une discussion détaillée
de ce point est donnée par Whitaker [153]. Ces termes ne jouent en pratique un rôle
important qu'en écoulement compressible (vitesses proches de la vitesse sonique ou
supérieure ou dans des milieux très visqueux). Dans les applications les plus usuelles,
l'équation de bilan d'énergie, sous forme intégrale et en notation vectorielle, s'écrit:
Notons que le premier membre de cette équation représente pour un solide, un liquide
ou un gaz parfait la dérivée temporelle de l'enthalpie d<J{/dt.
En conclusion, les équations de bilan de masse 8.3, de quantité de mouvement 8.13
et d'énergie, en formulation enthalpique 8.27 ont été établies du point de vue d' un
élément matériel de fluide monophasique newtonien (avec un fluide homogène à ce
stade). Le point de vue d' un système ouvert à frontières éventuellement mobiles a été
abordé dans le paragraphe 5.2.2.
8.2 ÉQUATIONS DE BILAN POUR UN FLUIDE
HÉTÉROGÈNE
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Dans le cas d'un fluide constitué d' un mélange hétérogène de S espèces s, les
équations locales instantanées de bilan de masse globale 8.3 et de quantité de
mouvement 8.13 sont, en un point M, à l'instant t, formellement identiques à
celles établies dans le paragraphe 8.1 pour un fluide homogène. Ces équations
de bilan dépendent alors des propriétés thermophysiques relatives au mélange :
p(M,t), cp(M,t),il(M,t), µ(M,t) ... . Des équations de bilan de masse complémentaires
doivent être établies pour S - 1 espèces du mélange hétérogène. L'équation
relative à la dernière espèce est déduite des S - 1 équations précédentes et de celle
de bilan de masse globale. L'équation de bilan global d'énergie du fluide intègre,
de plus, de nouvelles contributions, associées aux transferts d'enthalpie par les différentes
espèces au sein d'un élément matériel du mélange. En effet, chaque espèce s est
caractérisée 5 par une vitesse de d(ffusion v 0 .(M,t), différence entre la vitesse moyenne
Sl
5. Toutes les grandeurs qui suivent sont précisément introduites dans Je paragraphe 10.1.3.
299

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
de l'espèce Vsi(M,t) et la vitesse (hydrodynamique) du fluide Vi(M,t), qui permet
d'exprimer le vecteur flux de masse de l'espèce q~ni:
m D
qs i = Cs vsi' V D. = V si - Vi 1 (8.32)
Sl
où cs(M,t) est la concentration de masse de l'espèce s au sein de mélange (en kgm- 3 ).
Notons que cette notion est introduite, pour réserver la notion de masse volumique
ps(T,p) à un milieu homogène dans les mêmes conditions thermodynamiques.
8.2.1 Bilan de masse d'une espèce
La variation de masse d'une espèces par unité de temps au sein d'un volume matériel
s'exprime en appliquant le théorème de transport 5.19 au système matériel associé à
la seule espèce s. La vitesse Wi d'un point de la surface est alors égale à la vitesse
moyenne Vsi de l'espèce s par rapport au référentiel fixe, soit:
(8.33)
où Rs représente la masse de l'espèce s créée algébriquement par unités de temps et
de volume. Soit encore, d'après 1' équation 8.32 :
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( a;ts dV + ( CsVi next i dS = ( Rs dV - ( CsV~ next i dS.
Jvm Jsm Jvm Jsm
(8.34)
Après transformation, on obtient, sous forme locale, l'équation de bilan de masse
de s:
ÔCs Ô Ô D Ô m
- + - (CsVi) = --(es vs)+ Rs = --qsi + Rs, (8.35)
8 t 8 Xi 8 Xi 8 Xi
En introduisant la fraction massique Ys : égale à Csf P il vient à partir des équations 8.3
et 8.35 :
dYs Ô ( m)
p- = --Ô qsi + Rs.
(8.36)
dt Xi
Le point délicat est d'exprimer v~ ou q~. Les calculs sont quelque peu arides. À titre
d'exemple, on obtient dans le cas d'un mélange de gaz [46] :
vf; = - ~ o,,, [d,'; + (ku) a~; r], (8.37)
300
avec:
dsi = J_(nsi ) + (ns _ Cs)~J_p- Cs [Fs _ ~ Fs'Ps' ),
Ôxi n n p p ôxi p 4 p
s
(8.38)

8.2. Équations de bilan pour un fluide hétérogène
où Fs désigne la résultante des forces massiques sur l'espèce s. Il ressort de ces expressions
que v~, vitesse de diffusion de l'espèce s, dépend des coefficients de diffusion
D ss' del' espèces dans des bains constitués par les espèces' et des quantités krs'
caractérisant les effets d' un gradient de température sur la diffusion des espèces s'.
Hirschfelder et al., [60] traitent également de ce sujet pour les gaz et les liquides.
Considérons deux cas particuliers importants :
• Dans le cas de mélanges binaires de concentrations quelconques en constituants
A et B, le flux de masse de A, de fraction massique YA, a pour expression [81]:
m ( Ô . kr Ô kp ô )
qAi = -p1JAB -YA + ---T + ---p , (8.39)
ÔXi T ÔXi p ÔXi
où 1J AB est la diffusivité massique 6 de A dans le mélange et k 7 1J AB le coefficient
de thermodiffusion (1.JAB en m 2 s- 1 est une grandeur homogène à a diffusivité thermique
et v viscosité dynamique). Dans un cas où les effets liés aux gradients de
température et pression sont négligeables, on obtient une équation de bilan classique
à paitir des équations 8.36 et 8.39 :
dYA Ô ( Ô )
pdt = ÔXi p1JAB ÔXi YA +RA, (8.40)
expression semblable à l'équation de bilan d'énergie 8.27.
Le flux d'énergie diffusée par le mélange binaire, à prendre en compte dans l'équation
de bilan d'énergie 8.24, groupe un terme de conduction (qui existe toujours
en l'absence de transport de masse) et des termes de convection d'enthalpie aux
vitesses de diffusion des différentes espèces; soit, dans la mesure où q~i est égal à
-qm.
Ai.
(8.41)
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Dans le cas de mélanges à plusieurs espèces, les phénomènes à prendre en compte
sont beaucoup plus complexes [ 46, 60].
• Dans le cas particulier de S espèces s, de gaz parfaits ou liquides, infiniment diluées
dans un bain de masse volumique Po uniforme (suivant des transformations
isovolumes), on obtient avec les mêmes approximations sur Tet p, la loi de Fick:
(8.42)
6. Dans Je cas d'un mélange binaire de deux gaz, il est possible de retrouver l'équation 8.40 à partir de
l'équation 8.39. En effet : DM = 1JAs(ce/cA)MAMs(n/p) 2 et DAs = - 1JAsMAMs(n/p) 2 [46]. Compte
tenu du fait que : ôxA/ôxi = - ôxe/Ôx;, il vient :
cf; = cAvf = - cA(DAA - DAB)âxAfâx; = - p1JABMAMB(n/p)2âxAfâx; = - pVABâYAfâx;.
1JA8 s'exprime en fonction de l'intégrale de collision D.~~· 1 >, fonction uniquement de T :
1JA8 = 3RT / ( 16np.0.~ ~· 1 ) ) , oùµ désigne la masse molaire réduite, ce qui explique que 1JA81 p soit tabulée
en m 2 s- 1 a1m.- 1 en fonction de la température pour un gaz parfait A dilué dans un gaz B.
301

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
où D sb est la diffusivité de l'espèce dans le bain, exprimée en m 2 s- 1 • Cette loi est
analogue à la loi de Fourier :
(8.43)
Compte tenu de l'équation 8.4, l'équation de bilan de masse d'une espèce 8.35
devient:
des a a a ( a )
-d = -;;-Cs+ Vï-;:;-Cs = -;:;- Dsb-;:;-Cs + Rs,
t ut UXi UXi UXi
(8.44)
équation analogue à celle de bilan d'énergie. Il est important de remarquer que
cette équation a même structure que l'équation 8.40, établie sans hypothèse sur
les concentrations mais pour un mélange binaire. Notons qu'en l'absence de mouvement
au sein du fluide, on obtient, dans les deux cas, une équation de diffusion
classique, analogue à celle de la conduction thermique: le premier terme de l'équation
8.44 devient ocs/ot.
8.2.2 Bilan d'une grandeur relative à une espèce s
Le théorème de transport est ici appliqué pour faire le bilan d'une grandeur 31s associée
à une espèce s au sein d'un élément du système matériel global (wi = vi). Il
s'agit de généraliser le théorème de Reynolds (équation 5.25) au cas de la variation
temporelle de cette quantité 31s. Il vient :
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Compte tenu de 1' équation de bilan de masse del' espèce s 8.35, l'équation précédente
devient:
d31s ( [ das ( o m)j
dt = Jvm(t) Cs dt +as Rs - OXi qsi
dV.
(8.46)
Le premier terme du second membre est analogue au second membre du théorème de
Reynolds (équation 5.25). Le deuxième terme représente la variation de la grandeur
31s par unité de temps due à la production (algébrique) del' espèce s dans une réaction
chimique; le dernier terme représente la variation due au phénomène de diffusion de
l'espèce s au sein d'un élément du système matériel global.
302
8.2.3 Bilan d'énergie d'un fluide monophasique hétérogène
Dans le bilan d'énergie d'un élément du système matériel global, le flux thermique
de l'équation 8.24 comprend non seulement un flux conductif mais aussi des flux

8.2. Équations de bilan pour un fluide hétérogène
d'enthalpies convectées, pour chaque espèce, à la vitesse de diffusion de l'espèce.
Soit, l'expression qui généralise l'équation 8.41 :
s
th Ô '\:' m
qi = -À Ôx· T + LJ h sqsi"
1
s= l
Il vient alors, pour des gaz patfaits ou des liquides,à partir de l'équation 8.36 7 :
(8.47)
(8.48)
avec:
s
pep = L CsCps 1
s=I
(8.49)
et à partir de l'équation de bilan d'énergie 8.24, dont on néglige les derniers termes :
d Ô ( th R)
P dt h = - ôxi qi + qi + P, (8.50)
Soit, après simplification, en tenant compte de l'équation 6.36 :
(8.51)
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Le deuxième terme du second membre de l'équation précédente est rigoureusement
nul si toutes les capacités thermiques massiques à pression constante des différentes
espèces c Ps sont égales ; dans le cas contraire, ce terme est souvent négligeable 8 .
Nous nous placerons dans cette hypothèse dans la suite de ce cours.
Il vient alors formellement :
d ô ( ô )
pcp-T = - A-T + P,
dt ÔXi ÔXi
(8.52)
équation dans laquelle tous les termes sources radiatifs, chimiques ou d'autres origines,
ont été globalisés dans la puissance volumique P.
7. On pourra.it aussi utiliser l'équation 8.46 et exprimer que la variation de l'enthalpie totale d'un mélange
est la somme des variations des enthalpies de ses constituants.
8. Les capacités thermiques massiques des espèces varient peu avec la température. Dans le cas de
gaz, elles sont de l'ordre de 1050, 1100, 980, 930 J/(kgK) pour l'air, N 2 , C0 2 , 0 2 respectivement; le
second terme du second membre de l'équation 8.51 est alors négligeable. Mais cP est de l'ordre de 2000
et 14.000 J/(kgK) pour la vapeur d'eau et H 2 : l'hypothèse précédente s'applique difficilement à une
combustion cryogénique, par exemple. Dans le cas des liquides, les valeurs de c" sont très variables.
303

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
8.3 ÉQUATIONS DE BILAN ADIMENSIONNÉES
(TRANSFORMATIONS ISOVOLUMES)
8.3.1 Convection thermique
L'objet de ce paragraphe est limité aux transferts mécaniques et thermiques ; ses
conclusions seront généralisées aux transferts d'espèces dans le paragraphe 8.3.2.
Dans l'approche physique simplifiée considérée ici, nous admettrons que µ, Il, c P
et p sont uniformes (sauf dans le terme moteur de la convection naturelle pour p ). Ces
hypothèses permettent de simplifier le formalisme, en particulier les équations locales
instationnaires de bilan. En pratique, elles sont justifiées si les variations relatives de
T et p sont faibles. L'usage de températures de film (To + Tp)/2 au voisinage des
parois permet d'étendre raisonnablement les plages de variations acceptables de T.
Cependant, dans les cas courants pour des gaz où les variations de T ne peuvent
être négligées, il faut recourir à un calcul direct, en général numérique, à partir des
équations de bilan des paragraphes précédents, sous leurs formes générales.
Sous l'hypothèse d'unifo1mité de p 0 , il.,µ, Cp en convection forcée, les équations
de bilan deviennent, en notations vectorielles :
a) bilan de masse 8.3 :
P = Po ===> div(v) = 0 (8.53)
b) bilan de quantité de mouvement 9 8.14, sans force volumique et compte tenu de
l'équation 8.53 :
Po ( ~: + v·grad v) = -grad p + µ<i v (8.54)
c) bilan d'énergie 8.27, dans lequel les termes de dissipation visqueuse et
compression-détente du fluide sont négligés (transformation isovolume) :
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poc P ( ~ + v . grad T) = Â il. T + P (8.55)
Le problème mécanique défini par les équations 8.53 et 8.54 est découplé du problème
thermique de l'équation 8.55. Le système d'équations 8.53 à 8.55 est à résoudre
avec des conditions initiales de champs de température et vitesses et des
conditions aux limites mécaniques et thermiques.
9. Quelque soit le système de coordonnées adopté (cartésien, cylindrique ou sphérique, ...) l'équation
8.54 est à projeter sur trois axes. Les notations grad. v et Av signifient que les opérateurs grad
et 6. sont appliqués aux composantes associées de la vitesses dans le système de cordonnées choisi.
Par exemple, en coordonnées cartésiennes la projection sur Ox de l'équation devient simplement :
p0 ~ + p 0 v.grad u = -!~ + µô.u. Des équations similaires peuvent être écrites pour les projections
sur Oy et Oz.
304

8.3. Équations de bilan adimensionnées (transformations isovolumes)
Dans un cas plus général, un phénomène de convection naturelle sous l'approximation
de Boussinesq (paragraphe 5.7), couplé à un écoulement forcé, peut être introduit
en ajoutant à l'équation de bilan de quantité de mouvement (Navier-Stokes) 8.54 une
force d'Archimède volumique -pog[l-f3(T-To)]VZ, si Z est orienté suivant la verticale
ascendante. C'est la convection mixte. Il vient alors, tant en convection naturelle
pure (pas d'écoulement forcé) qu'en convection mixte:
Po ( ~; + v . grad v) = grad (p + PogZ) + pogf3(T - To)grad Z + µ 11 v (8.56)
En l'absence de perturbation thermique, donc de mouvement (v = 0), on retrouve
l'équilibre hydrostatique, en particulier si OZ coïncide avec Ox (figure 5.25) :
ôp/ôx = -pog.
L'approximation de Boussinesq peut être justifiée à paitir d'un calcul systématique
d'ordres de grandeurs en propriétés thermophysiques variables sur toutes les
équations (masse, quantité de mouvement, énergie, etc.). Développons simplement
un argument physique: en l'absence de terme moteur pogf3(T-To), aucun mouvement
n'apparaît; le gradient de pression statique dans ôp/ôx, est égal à -p 0 g. Quand on
considère le terme moteur, la réponse du système à l'ordre un en /3(T - To) ne peut
provenir que des contributions d'ordre zéro des autres termes en p ; prendre en compte
ailleurs que dans le te1me moteur des variations de p avec T conduirait à introduire
des termes d'ordre deux en f3(T - To) dans la solution, termes qu'on néglige ici.
Avec les variables adimensionnées :
X+ = x/H, y+ = y/H, z+ = z/H, z+ = Z/H (8.57)
où H désigne une longueur caractéristique de la géométrie, on pose :
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v+ = v/vo (8.58)
où vo désigne une vitesse de référence, caractéristique de la convection forcée, et :
(8.59)
y+ = (T - To)/ôT (8.60)
To est une température de référence et ôT un écart de température, réel ou défini à
paitir d'un flux surfacique, par exemple Htpo/À. L' équation 8.56 devient, après transformation
:
305

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
expression dans laquelle grad+ et /1 + sont définies à partir des grandeurs spatiales
adimensionnées et apparaissent:
> le nombre de Grashof:
(8.62)
> le nombre de Reynolds :
ReH = povoH,
µ
(8.63)
> le nombre de Froude :
v2
FrH =_o.
Hg
(8.64)
Ce dernier nombre compare 1' énergie cinétique de référence à l'énergie potentielle
dans le champ de pesanteur.
L'équation de l'énergie 8.55 devient:
où apparaissent la puissance adimensionnée :
(8.65)
p+ =
PH
Po cp voôT
(8.66)
> le nombre de Péc/et 10 Pe:
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(8.67)
On retrouve sur les équations 8.61 et 8.65 le rôle déterminant joué par les nombres :
Re, Gr, Pe, Pr (voir paragraphes 5.4.3 et 5.7).
Le terme Gr/(Re 2 )T+ dans l'équation 8.61 où apparaît le nombre de Richardson:
Ri= Gr/Re 2 (8.68)
permet de définir précisément les domaines de prépondérance de la convection forcée
et de la convection naturelle :
10. Normalien, cofondateur de !'École Centrale des Arts et Manufactures (E.C.P.); premier professeur
de physique de !'École. Le nombre de Péclet est surtout utilisé dans les milieux poreux et pour l'étude
des métaux liquides.
306

8.3. Équations de bilan adimensionnées (transformations isovolumes)
• si : Gr << Re 2 , la convection forcée l'emporte. Le terme Fe 1 est alors souvent
négligeable devant 1. Dans ces conditions, le champ de température adimensionnée
dépend de Re et Pr, ou de Pe et Pr.
• si : Gr >> Re 2 , la convection naturelle l'emporte. Il convient alors de reprendre
l' adimensionnement des vitesses (von' a plus de sens) et le nombre de Reynolds
va disparaître des équations. On adopte l'expression de Ur donnée par l' équation
5. 121 ce qui conduit à: ReH = GrH. Le terme GrH/Re~ devient l/GrH.
L'équation de Navier-Stokes est alors pilotée par le nombre de Grashof. Symétriquement,
le nombre de Péclet PeH qui pilote l'équation de l'énergie devient
un nombre de Rayleigh (RaH = GrHPr) et on retrouve les conclusions duparagraphe
5.7. Le champ de température adimensionnée dépend de Gr et Pr, ou
de Ra et Pr.
• si : Gr ~ Re 2 , on est dans le domaine de la convection mixte.
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8.3.2 Convection avec transfert de masse
Nous nous limitons ici aux transfert de masse d' une seule espèces.
Pour exploiter l'analogie avec les modèles simplifiés de transport de quantité de
mouvement et d'énergie, développés dans le paragraphe précédents, il convient de
considérer l'ensemble des propriétés thermophysiques globales du mileu comme uniformes
: viscositéµ, diffusivité massique de s dans le bain D s et masse volumique
p 0 , sauf dans le terme moteur de la convection naturelle dans ce dernier cas (approximation
de Boussinesq). Ces différentes conditions ne sont, en pratique, réalisées que
si le constituant s est dilué dans le bain.
Une convection naturelle d'origine massique peut être également engendrée par
des gradients de concentration Cs de l'espèce s dans le bain. Dans le cadre de l'approximation
de Boussinesq, on pose :
où il est clair que :
P = Po[l + Y s(Cs - Cso)J (8.69)
Ys= l/po, (8.70)
si Cs est la concentration (en kg m- 3 ). L' intérêt de l'expression générale 8.69 est d'être
formellement valable quand Cs désigne une concentration molaire ou une fraction
molaire.
307

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
Les équations de bilan deviennent, en notation vectorielle :
a) bilan de masse globale 8.3 :
P = Po =} div(v) = 0
(8.71)
b) bilan de quantité de mouvement en convection mixte,
généralisant l' équation 8. 56 :
ôv
Po ( ôt + v · grad v) = - grad(p + pogZ) - Po9Ys(Cs - Cso) gradZ +µAv (8.72)
c) bilan de masse du constituant s:
ÔCs
Ôt +v ·grades =Dsblics + Rs (8.73)
Si on fait abstraction des termes sources, il y a analogie complète entre le transp01t
d'enthalpie caractérisé par l'équation 8.55 et celui de l'espèce s caractérisé par
l'équation 8.73. Il suffit de substituer Cs à T et Ds à a. En convection forcée, l'équation
de bilan de quantité de mouvement est la même en transfert de masse qu'en transfert
thermique. En convection naturelle d'origine massique, pour poursuivre l' analogie
il convient de substituer -ys(cs - Cso) àf3(T - To).
L' adimensionnement de la concentration en constituant s se fait, de plus, comme
dans le paragraphe 8.4.3, en posant:
Cs -
OCs
Cso
(8.74)
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où ôcs est un écart de concentration de référence (réel ou construit à partir d'un flux
surfacique imposé).
L'équation de bilan adimensionnée de quantité de mouvement (pour une seule espèce
diluée) devient :
dv+ ôv+ ( 1 GrsH ) 1
- = - + v+ · grad+(v+) = - grad+z+ - + --c'. - grad+ p+ + --A +(v+)
dt+ ôt+ FrH Rei s ReH
(8.75)
expression dans laquelle apparaît, de plus, le nombre de Grashof d'espèces :
GrsH =
P6 9Ys Ôcs H 3
µ2
(8.76)
308
qui a exactement la même structure et les mêmes propriétés que le nombre de Grashof
the1mique. La discussion sur le type de convection peut être étendue à un nombre de
Richardson Ris fondé sur le nombre de Grashof d'espèces.

8.4. Analogie entre transferts thermiques et transferts massiques
L'équation de bilan adimensionnée de masse du constituants s'écrit:
(8.77)
Dans cette expression apparaît le nombre nombre de Schmidt Ses, relatif au constituant
s et strictement analogue au nombre de Prandtl Pr et au nombre de Lewis Les :
(8.78)
Notons qu'en convection forcée il suffit de substituer Ses à Pr, pour passer de la
solution T+ à la solution c; et qu'en convection naturelle il faut, de plus, substituer
Grsx à Grx. Le modèle précédent est aisément généralisable au cas d'un mélange de
S espèces s (s = 1, ... ,S) diluées dans un bain de l'espèce B. En effet, dans ces
conditions, l'approximation de Boussinesq s'applique et l'équation 8.1 devient :
P =Po [ 1 + ~ y,(c, - c ..o)] (8.79)
L'ensemble des termes ~~=I ys(cs - cso) se substituent, comme termes moteurs d'origines
massiques, à Ys( Cs - Cso) dans l'équation 8. 72 de bilan de quantité de mouvement
et une équation de bilan de masse peut être écrite pour chaque espèce s. L'analogie
décrite précédemment s'applique à chaque espèce séparément.
8.4 ANALOGIE ENTRE TRANSFERTS THERMIQUES
ET TRANSFERTS MASSIQUES
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8.4.1 Grandeurs et échelles caractéristiques en diffusion
d'espèces
Toutes les méthodes valables en conduction instationnaire, et développées dans
le Chapitre 3, s'appliquent évidemment au problème de diffusion d'espèces (analyse
dimensionnelle, nombres caractéristiques, échelles caractéristiques, méthodes
de résolution···). Si la conductivité termique l, la diffusivité thermique a = l/(pc),
la diffusivité d'espèces D s sont unif01mes, les con-espondances sont les suivantes :
a) À la conductivité thermique À est associée la diffusivité Ds dans les expressions
des flux 8.42 et 8.43.
b) À la diffusivité thermique a est également associée la diffusivité Ds dans les
équations de diffusion 8.44 et 8.52.
309

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
c) À pc est associé le scalaire 1 dans les équations de diffusion 8.44 et 8.52.
d) À l'ejfusivité thermique b = (Àpc) 1 1 2 est associée une effusivité d'espèce
bs = D! 12 , qui caractérise la réponse d'un système aux courts instants après une
perturbation.
e) Au nombre de Fourier themique Fo = at/L 2 est associé un nombre de Fourier
d'espèce Fos = Dsbt/L 2 , qui permet de définir:
• un temps caractéristique de diffusion : r~ = L 2 /Dsb,
• une longueur caractéristique de diffusion : z? = (Dsbt) 1 1 2 ,
• une longueur d'atténuation d' une perturbation sinusoïdale de pulsation w :
e~s = (2Dsbfw) 112 , •••
8.4.2 Principaux nombres caractéristiques en convection
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Dans ce paragraphe, les principaux nombres adimensionnés sont récapitulés et les
conclusions générales sur les analogies entre transferts de masse globale, transferts
de masses des différentes espèces s, transferts de quantité de mouvement et transferts
d'enthalpie tirées.
a) Le nombre de Prandtl (Pr = µcp/À = v/a) compare la diffusivité de quantité
de mouvement v (ou viscosité cinématique) et la diffusivité thermique a (voir paragraphe
5.4.2). Il compare donc deux phénomènes dissipatifs transverses par diffusion.
Le nombre de Prandtl, intrinsèque, ne dépend que des propriétés physiques du fluide.
Le nombre de Schmidt (S Cs = v/Ds) compare la diffusivité de quantité de mouvement
v (ou viscosité cinématique) et la diffusivité d'espèce D s : ce nombre est similaire au
nombre de Prandtl. Tous les développements relatifs au nombre de Prandtl du cours
de transferts thermiques (Chapitres 5 et 8) s'appliquent au nombre de Schmidt, pour
les transferts d'espèces. En particulier, la caractérisation du rapport des épaisseurs des
couches limites. On définit aussi par transitivité le nombre de Lewis (Les = a/Ds),
rapport de la diffusivité thermique a à la diffusivité d'espèce D s.
b) Le nombre de Reynolds local (Rex = pu 0 x/µ = u 0 x/v) représente, en convection
forcée, un rapport entre des énergies volumiques caractérisant l'inertie et la viscosité.
Ce nombre qui ne dépend que de grandeurs mécaniques caractérise l'écoulement, en
particulier la nature du régime (laminaire ou turbulent, etc.). Il est associé au nombre
de Reynolds un nombre de Péclet local (Pex = uox/a), égal à RexPr, dans lequel
l'effet dissipatif de diffusion conductive est substitué au dénominateur à la diffusion
visqueuse et, de façon analogue, un nombre de Péclet d'espèce (Pesx = uox/Ds =
RexSc 5 ).
310

8.4. Analogie entre transferts thermiques et transferts massiques
c) Les nombres de Grashof thermique et massique locaux (Grx = gf3oTx 3 /v 2 et
Grsx = gyôcsx 3 /v 2 , respectivement), dérivés du nombre de Reynolds, représentent,
en convection naturelle thermique ou massique, un rapport entre un terme moteur
de type Archimède et des effets dissipatifs par viscosité. Ces nombre caractérisent
l'écoulement, en particulier la nature du régime (laminaire ou turbulent, etc.), comme
le nombre de Reynolds.
Il est associé aux nombres de Grashof thermique et massique des nombres de Rayleigh
thermique et massique locaux (Rax = gf3oTx 3 /(va) et Rasx = gôcsx 3 /(v1Js),
égaux à GrxPr et GrsxScs), dans lequel un deuxième effet dissipatif, par diffusion
thermique ou d'espèce, apparaît au dénominateur.
d) Le nombre de Nusselt local (Nux = h(x)x/À) représente le gradient de température
adimensionné à la paroi (voir paragraphe 5.4.2) :
T+ = T-To.
oT '
Nux(x) =
hx X aT+ 1
= - (x).
Àjluide
ay+ paroi
(8.80)
Cette expression est analogue à celle du coefficient de frottement CFx :
+ U - Up U
u = =
UQ - Up UQ
T p µ au 1 1 au+ 1
CFx(x) = - = - - (x) = -- (x)
pu6 pu6 ay paroi Rex ay+ paroi
(8.81)
e) Le nombre de Sherwood local (Shsx = hsx/Ds) est l'analogue du nombre de
Nusselt local. Il représente le gradient de concentration adimensionné à la paroi. En
effet, on introduit phénoménologiquement un coefficient de transfert d'espèces hs (en
m s- 1 ), par analogie avec les transferts conducto-convectifs, par la relation à la paroi :
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ce qui conduit, après adimensionnement à :
Cs -
Cso
c+ = ---
s S Cs
Les mêmes analyses physiques que pour le nombre de Nusselt peuvent être faites.
(8.82)
(8.83)
j) Le nombre de Nusselt global (NuL = hL/À) et le nombre de Sherwood global
(Shs = hL/Ds) ont un intérêt pour calculer le transfert global par une structure.
Ils sont associés à des coefficients de transfert moyennés sur une distance L et aux
nombres caractéristiques rapportés à cette distance : ReL, PeL, GrL, RaL ...
311

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
8.4.3 Conclusion : usage des analogies en convection
En conclusion de cette analyse, si les termes sources P et Rs sont négligeables :
a) les équations adimensionnées de bilans d'enthalpie et de masse d'un constituant
s, 8.65 et 8.77, sont identiques à la substitution près de Ses à Pr.
b) Il sera établi dans le paragraphe 8.5.1 que l'équation adimensionnée de bilan
de quantité de mouvement, considérée à une dimension dans le modèle de la couche
limite, est identique aux deux précédentes, à la substitution près de ReH à ReH Pr =
PeH ou ReH Ses = PesH·
Si les conditions aux limites adimensionnées correspondantes du problème considéré
sont également identiques alors :
- une conséquence de a) est que les solutions y + et ci sont identiques pour
Pr= Ses, ou à la substitution près du nombre de Schmidt au nombre de Prandtl.
Dans ces conditions, les expressions donnant le nombre de Sherwood Shsx, en
fonction du nombre de Reynolds Rex (ou de Grashof Grsx) et du nombre de
Schmidt Ses :
(8.84)
sont strictement identiques (avec les mêmes coefficients numériques) à celles
donnant le nombre de Nusselt en fonction du nombre de Reynolds Rex (ou de
Grashof Gr sx) et du nombre de Prandtl Pr :
Nux = g(Grn Pr), (8.85)
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si toutes les conditions de similitude sont respectées.
Tous les résultats du complément C pour les transferts thermiques, tant en
convection forcée qu'en convection naturelle, sont alors exploitables en transferts
de masse, dans les conditions de validité de l'analogie.
- une conséquence de b) est que les solutions u+ et r + (ou en sont identiques
pour Pr ou Ses = 1, ou à l'introduction près d'une dépendance de la solution en
nombre de Prandtl (de Schmidt). Cette remarque pe1met également de passer
de l'expression du coefficient de frottement Cp à celle du nombre de Nusselt
Nu (ou de Sherwood Sh 5 ).
Du fait des analogies précédentes les transferts de masse ne sont pas abordés dans
la suite de ce chapitre. Mais, tous les résultats obtenus dans les Chapitres 5, 8 et 9
sont immédiatement transposables aux tran~ferts de masse en respectant cette
analogie.
312

8.5. Couches limites en convection forcée externe laminaire
8.5 COUCHES LIMITES EN CONVECTION FORCÉE
EXTERNE LAMINAIRE
L'objectif de ce paragraphe est d'introduire, à partir des équations de bilan établies
dans le paragraphe 8.1 , les modèles de couche limite pour des écoulements laminaires,
en convection externe.
La notion de couche limite a été abordée dans les paragraphes 5.5 et 5.6. Le principe
du calcul d'une couche limite de convection externe est exposé dans le présent
paragraphe à partir de l'exemple de la plaque plane isotherme dans un écoulement à
vitesse parallèle au loin.
8.5.1 Approximation de la couche limite
Considérons la plaque plane parallèle à Ox, maintenue à température uniforme T p et
immergée dans un fluide en écoulement du paragraphe 5.4 (figure 5.13). Soient u et
v les composantes de la vitesse suivant Ox et Oy, et uo(x) la vitesse, parallèle à Ox,
de l'écoulement amont, qui dépend éventuellement de x. Les conditions aux limites
mécaniques et thermiques sont analogues :
u(x ,0) = 0, u(x,oo) = uo(x), u(O,y) = uo(O)
(8.86)
T(x,O) = Tp, T(x,oo) = To(x), T(O,y) = To(O)
Les équations de bilan 8.53 à 8.55 deviennent simplement :
>- Bilan de masse
(8.87)
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ôu + ôv = 0
ôx ôy
>- Projections sur Ox et Oy du bilan de quantité de mouvement
u~u + v~u = _2_ ôp + v(ô2u + a2u )
ôx ôy Po ôx ôx 2 ôy 2
u~v + v~ v = _2_ Ôp + v(ô2v + a2v)
ôx ôy Po ôy ôx 2 ôy 2
>- Bilan d'énergie, sans terme source
(8.88)
(8.89)
(8.90)
ô ô (ô 2 T ô 2 u-T + v-T = a - + -
T)
.
(8.91)
8 X 8 y ÔX 2 Ôy 2
Dans une couche limite les gradients suivant Ox se rapportent à la distance L, longueur
de la plaque ; on a donc, en ordre de grandeur :
a 1 a 2 1
- "" -
ôx - L'
- ~ -
ôx 2 L2
(8.92)
313

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
Les gradients suivant Oy se rappo1tent à l'épaisseur de la couche limüe mécanique
8m ou à celle de la couche limite thermique 8rh ; soit :
a i i a 2 1 1
oy == 8m ou 8rh iJy2 == 8~. ou 8;h (8.93)
On ne garde dans le système d'équations 8.88 à 8.91 que les termes prépondérants.
L'équation de bilan de masse 8.88 conduit à:
(8.94)
La composante v de la vitesse est un infiniment petit en 8m/L par rapport à u. D'où:
a a u
u- == v- == - (8.95)
ox oy L
Les termes de convection des premiers membres des équations 8.89, 8.90 et 8.91 sont
du même ordre de grandeur au sein d'une même équation. Les termes en o 2 /ox 2 de
1' ordre de 1/ L 2 sont négligeables dans toutes les équations devant les termes correspondants
en o 2 /oy 2 , de l'ordre de 1/8~1 ou l/8;h. Comparons les termes homologues
des équations 8.89 et 8.90 : u ov/ox est négligeable devant u ou/ox; il en va de même
pour V ov/oy devant V ou/oy et pour V o 2 v/oy 2 devant V o 2 u/oy 2 . L'équation 8.90 se
réduit dans ces conditions à:
(8.96)
Cette expression conduit à poser que p n'est fonction que de x : la même fonction
dans la couche limite que dans la zone non perturbée (quand y tend vers l'infini). Le
gradient de pression op/ox dans la couche limite est donc le même que dans la zone
non perturbée, à un terme d'ordre supérieur près. Si on suppose que l'écoulement
-g non perturbé au loin est à vitesse constante u0, on considérera que op/ox est nul (ou
§ plutôt tout à fait négligeable) :
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a.
>­
0
u
En supposant uo et To uniformes et en posant:
op == o(8m) (8.97)
ox L
x+ = x/L, y+ = y/L, u+ = u/uo, v+ = v/uo, y + = (T - Tp)/(To - Tp) (8.98)
on obtient le système d'équations adimensionnées :
au+ av+
- + - = 0 (8.99)
iJx+ iJy+
uoL
avec: Rel= -
V
(8.100)
314

8.5. Couches limites en convection forcée externe laminaire
ar+ ar+ 1 a 2 r +
U+ __ +V+ __ = ---
ôx+ ôy+ PeL ôy+ 2
avec les conditions aux limites :
avec:
uoL
PeL = -
a
x+ =y+ ou u+ : x+(x+,o) = 0, x+cx+,oo) = 1, x+co,y+) = 1
(8.101)
(8.102)
Il existe cependant une zone singulière, d'étendue très limitée au voisinage immédiat
du bord d'attaque, dans laquelle les approximations exposées précédemment ne
sont justifiées ni pour les équations mécaniques ni pour les équations thermiques. En
effet, dans cette zone, les variations de vitesse et de température sont comparables
suivant Ox et Oy et v n'est pas négligeable devant u. Il est nécessaire d'y traiter le
problème bidimensionnel, en toute rigueur, à partir des équations générales données
par le système d'équations 8.86 à 8.91.
La résolution numérique du système d'équations précédentes permet d'accéder au
coefficient de frottement CF(x) et au nombre de Nusselt Nux définis par:
CF(X) =
au+I
-+ ;
Ôy paroi
ar+I
Nux(x) = ô + .
Y paroi
(8.103)
Les résultats correspondants sont donnés dans le paragraphe 5 .5 .1.
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8.5.2 Solution par la méthode intégrale
Une solution approchée du cas traité dans le paragraphe précédent peut être obtenue
par une méthode intégrale.
L'intérêt de cette solution approchée est de mieux cerner les liens entre les diff é­
rentes grandeurs physiques : Pr, Ôm(x), Ôrh(x), CF(x), Nux(x), etc .. D'autre part, elle
conduit à des solutions analytiques simples et en général assez précises. Les approximations
faites consistent à considérer que les conditions de 1' écoulement non perturbé
(T 0 , u 0 ) sont exactement vérifiées à la frontière des couches limites, ce qui ne
correspond pas rigoureusement aux conditions précédentes :
u(x,ôm(x)) = uo T(x,Ôrh(x)) - Tp = To - Tp (8.104)
que, de plus, la convergence vers ces valeurs est stationnaire :
ôu
ôy [X,Ôm(x)] = 0
ôT
ôy [x,Ôrh(x)] = 0 (8.105)
Enfin, une analyse des termes des équations de bilan de quantité de mouvement 8.1 OO
et d'énergie 8.101 permet d'écrire:
ô 2 u
ôy 2
(x,0) = 0
32y
ôy 2 (x,0) = 0 (8.106)
315

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
On pose , de plus, toujours :
u(x,0) = 0 T(x,0) - Tp = 0 (8.107)
Les équations de bilan associées, compte tenu des approximation de la couche limite,
sont :
ôu + ôu = 0 (8.108)
ôx ôy
ôu ôu ô 2 u
u- + v- = v- (8.109)
ôx ôy ôy2
ar ar a 2 r
u- + v- =a- (8.110)
ôx ôy ôy2
Les solutions polynomiales des équations précédentes d'ordre 3 en y sont :
u 3 y 1 y 3
-(x,y) = --- - --- (8.111)
uo 2 Ôm(x) 2 ô~(x)
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u
T - Tp 3 y 1 y 3
--(x,y) = --- - --- (8.112)
To - T P 2 Ôrh(x) 2 ô:h(x)
Le champ de vitesse v(x,y) se déduit immédiatement des équations 8.108 et 8.111,
soit:
( Y 2_ ôu dy = ~ ~Ôm [(j/_)2 - ~ (j/_)4]
!_(x,y) = -
uo Jo uo ôx 4 dx Ôm 2 Ôm
(8.113)
On retrouve la condition : v « u.
L'épaisseur de la couche limite mécanique Ôm(x) est déterminée en résolvant,
seulement au sens intégral, l'équation de bilan de quantité de mouvement 8.109. Soit:
Il vient:
! ·,,,( lom ôu ôu) ô2 u ôu
u- + v- dy = v-dy = -v-(x,0)
0 ôx ôy 0 ôy 2 ôy
Ôm(x) 4,64
(8.114)
(8.115)
De la même façon, l'épaisseur de la couche limite thermique est obtenue en résolvant
au sens intégral l'équation 8.110 en supposant que le rapport Ôthlôm est constant;
soit:
l
ô,1i(x) ( ôT ôT) lôr1h) ô 2 T ôT
u- + v- dy = a -dy = -a-(x 0)
0 ôx ôy 0 ôy 2 ôy '
[ Ôrh(x) ]3 _ __!_[61h(x)] 5 = 0,93
Ôm(X) 14 Ôm(X) Pr
(8.116)
(8.117)
316

8.6. Couches limites en convection naturelle externe laminaire
On retrouve évidemment que pour Pr= 1, cas pour lequel a = v, les épaisseurs des
couches limites ô 1 1i etôm sont égales : ces couches limites sont confondues. Pour les
fluides usuels, une excellente approximation de l'équation 8.117 est donnée par :
Pr;?: 0,7 ô 1 1i/6m = Pr- l/ 3 (8.118)
résultat remarquable, qui établit le lien entre les épaisseurs des couches limites et le
nombre de Prandtl, rapport des diffusivités mécanique et thermique (v/a).
Exprimons le nombre de Nusselt local Nux, dans le cas d'un fluide usuel (Pr ;?:
0,7), en utilisant l'équation 5.80 (sans les approximations de la méthode intégrale):
Nux(x) - -- h(x)x - ( X T ) [-À-ô ôT (x,O)] - 3 X 0,5 1/3
- 2 ~( ) - 0,323 Rex Pr (8.119)
'1 '1 T 0 - P y u11i x
valeur, qui diffère peu de la valeur plus précise de l'équation 5.93. On remarquera
surtout, dans ce modèle, les liens entre Nux,h(x) et l'épaisseur de la couche limite
thermique 6 1 1i(x) :
3 À
h(x) = - --
(8.120)
2 Ôrh(x)
Ces résultats sont discutés dans le paragraphe 5 .5 .1.
8.6 COUCHES LIMITES EN CONVECTION
NATURELLE EXTERNE LAMINAIRE
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On reprend le problème de la plaque plane verticale isotherme, dans un fluide isotherme
et au repos au loin, du paragraphe 5.7. On adopte à nouveau l'approximation
de Boussinesq. Toute l'approche du paragraphe précédent (modèle de couche limite)
s'applique. Il suffit d'ajouter le terme moteur dans l'équation 8.89 si OZ et Ox sont
confondus, tandis que les autres équations de bilan (dimensionnées ou sans dimension)
sont inchangées. L'équation de Navier-Stokes 8.56 projetée sur Ox devient, en
régime stationnaire :
ôu ôu 1 ô (ô 2 u ô 2 u)
u- + v- = - --(p + pogx) + v - + - + {J(T - To)g
ôx ôy Po ôx ôy 2 ôx 2 (8.121)
En suivant la même analyse des ordres de grandeurs que dans le paragraphe 8.5, on
retrouve, pour la projection sur Oy, l'équation 8.96. De ce fait le gradient de pression
suivant x est le même dans la couche limite que dans le fluide au loin, à l'équilibre
hydrostatique. On a donc :
Ôp
- ~ -pog
ôx
(8.122)
317

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
Dans ces conditions, l'équation de Navier-Stokes 8.121 devient:
au au a 2 u
u- + v- = v- + gj3(T - To)
ax ay ay2
(8.123)
En reprenant les variables adimensionnées données par les équations 8.98 mais avec
une vitesse de référence Ur définie par l'équation 5 .121, il vient :
en posant:
au+ au+ (a 2 u+ ) 1
u+- + v+- = -- + T + - 1) -
ox+ [)y+ [)y+2 Grl
Grl = gf3(Tp - To)L 3 /v 2
L'équation de l'énergie devient, dans ces conditions :
en posant:
ar+ aT+ 1 a 2 T+
U+ __ +V+ __ = ---
{)x+ ay+ RaL [)y+ 2
(8.124)
(8.125)
(8.126)
(8.127)
On notera 1' analogie entre les équations 8.1 OO et 8.124 où GrL se substitue à Rel et où
apparaît un terme moteur (T+ - 1)/GrL, et la quasi identité entre les équations 8.101
et 8.126, où Ral se substitue à Pel.
Une solution numérique locale de ce problème a été obtenue en fonction des
nombres Rax et de Pr. On obtient finalement, à la suite d'un lissage dû à Lefevre [5],
avec une précision relative meilleure que 5.10- 3 :
Nux = 0,503[Pr/(Pr + 0,986Pr 1 1 2 + 0,492)] 1 1 4 RaY 4 (8.128)
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ce qui conduit à un nombre de Nusselt, pour l'ensemble de la plaque:
Nul = _!.. ( L Nux dx = 0,671 [Pr/(Pr + 0,986Pr 1 / 2 + 0,492)] l / 4 Ra~
LJ 4
0 x
(8.129)
On retrouve, ici, avec une dépendance en x plus molle, un résultat analogue à celui
obtenu en convection forcée pour la partie laminaire de la couche limite :
h(x) = ÀNuxfx = cstex- 1 / 4 (8.130)
Les épaisseurs de couches limites mécanique et thermique supposées confondues et
calculées par la méthode intégrale sont [63], pour un nombre de Prandtl voisin de 1 :
Ôm(x)/x,..., Ôrh(x)/x = 3,93 Pr- 0 •5(0,952 + Pr)l/ 4 Gr; l/ 4 (8.131)
8. 7 CONVECTION FORCÉE INTERNE LAMINAIRE
Les notions de régimes d'établissement mécanique et thermique à l'entrée d'une
conduite de section constante et de régimes établis mécanique et thermique ont été
318

8.7. Convection forcée interne laminaire
introduites qualitativement dans le paragraphe 5.6.1. Le présent paragraphe vise à introduire
les modèles associés à ces notions dans le cas courant d'un tube de section
circulaire. Les résultats obtenus sont généralisables à tout type de structure à section
constante.
Rappelons les hypothèses faites dans cette classe de problèmes, déjà énoncées dans
le paragraphe 5.3.1 :
• Les propriétés thermophysiques des fluides sont supposées uniformes.
• Les composantes radiales de la vitesse sont négligées.
8.7. l Établissement du régime mécanique
dans une conduite
Considérons un écoulement en régime stationnaire dans un tube de rayon R, d'axe 0 x.
En l'absence de mouvement azimuthal (suivant cp), du fait de la symétrie cylindrique
du système et des conditions aux limites imposées, l'équation de bilan de masse 8.23,
exprimée en en coordonnées cylindriques (voir le Complément B.4) conduit à:
ou(x,r) + ~ o(rv) = 0
ox r or
(8.132)
La projection sur Ox du bilan de quantité de mouvement (équation 8.5) en coordonnées
cylindriques (voir le Complément B.4) devient simplement:
ou ou 1 o P v o ou
u- + v- = -- - + --(r-)
0 X 0 r Po 0 X r or or
(8.133)
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Le recours aux hypothèses de la couche limüe a pe1mis de négliger le terme v~:~
dans l'équation 8.133. Les conditions aux limites associées sont:
u(x,R) = 0
u(O,r) = ue(r) (8.134)
ou
or (x,0) = 0 (8.135)
La dernière condition est issue de la symétrie de révolution du système. Le système
peut être résolu numériquement: cette solution correspond au régime d'établissement
(voir Complément C.2).
Un régime mécanique établi est obtenu au delà d'une certaine distance d'établissement
mécanique Lr:n. Le régime est caractérisé par un profil de vitesse uoo(r) vérifiant :
ou00(r) = O
ox
(8.136)
319

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
Comme la vitesse radiale v s'annule à la paroi (r = R), on obtient rigoureusement en
régime établi :
~ o(rv) = 0
v(r) = 0 Vr (8. 137)
r or
La vitesse est parallèle aux génératrices, soit à Ox. L'équation 8.133 devient dans ces
conditions en régime établi :
1 op V 0 OUoo
- - - + --(r-) = 0
PO OX r or or
(8.138)
Dans le modèle de la couche limite, le champ de pression est indépendant de r.
D'autre pait, la vitesse du fluide est maximale en r = 0 par symétrie et y vaut Umax·
Après intégration sur r del' équation 8.133, de 0 à r, puis de 0 à R, la quantité ~~ peut
être éliminée et il vient :
Uoo(r) = Umax [l - (r/R) 2 ]. (8.139)
La conservation du débit de masse m, à travers la section droite de surface Econduit,
par définition de la vitesse de débit um, à :
.,.. L () L ) m=poEum =Po Ue r dE =Po uoo(r dE = ponR 2 -- Umax (8. 140)
E E 2
Soit: Uoo(r) = 2um [1 - (r/R) 2 ]. (8.141)
La vitesse maximale axiale est alors 2um. Pour deux plaques planes parallèles distantes
de 2e et perpendiculaires à Oy, on obtient :
Uoo(y) = 3/2 Um [l - (y/e) 2 ] (8.142)
-0
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La vitesse maximale n'est alors que 3/2 um..
Différents auteurs ont calculé la longueur d'établissement mécanique L~n' défini e
comme la distance au bout de laquelle la vitesse axiale diffère de 1 % seulement de
la vitesse asymptotique ; cette notion coïncide évidemment avec la longueur d'entrée
(voir le Complément C.2).
Pour un tube de diamètre D :
Lr:n/D = 0,0575 Reo avec: Reo = u 111 D/v (8.143)
Pour deux plaques distantes de 2e :
(8. 144)
Dh = 4V/E = 8e:E/(2I) = 2e (8.145)
320

8.7. Convection forcée interne laminaire
où Dh est le diamètre hydraulique (paragraphe 5.6.2). On constate que les équations
8.143 et 8.144 sont formellement semblables, mais que l'établissement mécanique
est plus vite atteint entre deux plaques que dans un tube. Ce dernier résultat
s'explique par le fait que les vitesses maximales données par les équations 8.141
et 8.142 sont différentes. Mais, dans le cas du tube, la vitesse 3/2 Um est atteinte pour
une longueur en bon accord avec l'équation 8.144.
8.7.2 Établissement du régime thermique
dans une conduite
Un régime thermique établi est défini par analogie avec l'équation 8.136. Mais seul
un écart de température est analogue à une vitesse, grandeur extensive. D'autre part,
si la température de paroi Tp est imposée on ne peut annuler la quantité ô(T -Tp)/ôx,
à moins d'obtenir l'isothermie, solution triviale. On définit une température locale
aclimensionnée r+ en prenant comme référence l' écait entre la température de paroi
Tp(x) et la température de mélange du fluide dans la section droite x, notée Tm.(x)
(voir le paragraphe 5. 3) :
+ T(x,r) - Tp(x)
T (x,r) = ---­
Tm(x) - Tp(x)
(8. 146)
Nous allons démontrer qu'on obtient, pour des valeurs élevées de x, un régime thermique
établi défini par :
ar+
-=0
(8.147)
ôx
et ceci, pour différentes condüions aux limites thermiques. Nous étudions y + dans
-g diverses situations qui, sous les hypothèses de l'introduction du paragraphe 8.7, dé-
§
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pendent:
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des conditions d'entrée. Si les conditions thermiques sont imposées dès le bord
d'attaque de la géométrie considérée (tubes, plaques parallèles etc.), les établissements
mécanique et thermique sont interdépendants. Si la conduite est adiabatique,
ou isotherme à la température constante du fluide, sur une longueur plus grande que
Lr:n et que le conditionnement thermique n'est imposé qu'ensuite, les problèmes
sont dits de Graetz (voir un exemple sur la figure 8.1). Les deux établissements de
régimes sont indépendants.
"'
~ • des conditions thermiques aux parois. Par exemple, température constante Tp , flux
constant <pp, profil linéaire de température, etc. Des résultats détaillés, pour diverses
conditions thermiques sont données dans le paragraphe C.2.
321

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
a) Premier cas : régime mécanique déjà établi
Cette classe de problèmes, initialement abordée par Graetz dans le cas du tube, a
été généralisée à d'autres géométries. Il reste à résoudre dans un tube de rayon R
(figure 8.1 ) :
âT (â 2 T 1 âT)
Uoo(r)- =a - + --
ôx ôr 2 r âr
(8.148)
T(O,r) = Te(r) (8.149)
T(x,R) = T P ou (8.150)
En variable adimensionnée r +, l'équation 8.148 devient:
âT
âr (x,O) = 0 (8.151)
'l (011 qJ - 0)
<p = 'P
/1 0
Couche limite 111t!ca11iq11e
e
... .......... -......... l.J1t .... -• -.... -... <p = <p
p 0
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Figure 8.1 -
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[
r + d ar+ 1 dT ] (a 2 r+ 1 ar+ )
Uoo () ( )-(Tm-Tp)+-ô + d p =a-?- +--;- (8.152)
Tmx - Tpx dx x Tm-Tp x ôr- r ur
>- Flux pariétal <pp constant
Les conditions aux limites sont:
r +(Ü,r) = r : (r) (2) ;
ar+
-a,:-(x,0) = 0 (4)
(8. 153)
La résolution du système d'équations 8.152 et 8.153 conduit, pour x ~ oo, à:
+ r ar+ D
r = - Nuo = --
R r+ il
8
(oo, 1) = -h 00 = 48/.11
Gz- 1 2: 0,25 (8.154)
322

8.7. Convection forcée interne laminaire
h(x), coefficient de transfert local à 1' abscisse x, tend vers la valeur asymptotique hco
associée au nombre de Nusselt asymptotique Nuv; Gz est le nombre de Graetz:
Gz = RPev/x = D 2 um/(2ax) (8.155)
Comme hco et par conséquent (Tm - Tp) sont des constantes et que:
(8.156)
les températures de paroi et de mélange croissent linéairement avec un écart constant.
En injectant ces résultats dans l'équation 8.152, on vérifie bien qu'il existe une solution
T+(r+) de régime établi vérifiant l'équation 8.147 et le système:
( a2 r + 1 ar+ )
-- + --- = -Nuvu+ (r)
ôr+ 2
00
(8.157)
r+ ôr+
ar+(x+ 0) = 0
ôr+ '
(8.158)
La solution du système d'équations 8.152 et 8.153 conduit à une longueur d'établissement
thermique L~h' correspondant à Gz= 0,25 :
L~h/D = 0, 125 Pev = 0, 125 RevPr (8.159)
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Le nombre de Nusselt local Nuv(x) prend une valeur importante à l'entrée de la zone
the1miquement perturbée et décroît continûment jusqu'à la valeur asymptotique Nuv,
obtenue au bout de la longueur d'établissement (voir Complément C.2). La situation
au voisinage de l'entrée de la conduite est à rapprocher de celle obtenue pour une
géométrie ouverte. Loin de l'entrée, les deux situations diffèrent; en effet, pour une
géométrie ouverte, on n'obtient pas de limite asymptotique, mais pour Rex 2 2 10 5
une transition vers la turbulence.
> Température de paroi constante
Les conditions aux limites adimensionnées, associées à l'équation 8.152 sont, si on
poser+ = r/R et x+ = x/R :
r+(o,r+) = r:(r+) (2); (3); ~~: (x+ ,0) = 0 (4)
(8.160)
La résolution directe du problème conduit, comme précédemment, à une valeur
asymptotique du nombre de Nusselt local notée Nu 0 :
Nu 0 = 3,656 Gz- 1 2 0,25 (8.161)
323

Chapitre 8 • Équations générales de la convection (fluide monophasique)
Un bilan global sur le tube conduit, pour Gz- 1 :?: 0,25, à:
1 d 2hnR 2 2Nuv
T T d +(Tm - Tp) = - . = P
m - p x mcp ev
L' équation de bilan d'énergie 8.152 devient en régime établi (ôT+ /ôx+ = 0) :
+ + + + (a 2 r+ 1 ar+)
-Nuo u 00
(r ) T (r ) = -- + ---
ôr+2 r+ ôr+
(8.162)
(8.163)
expression qui, associée aux conditions 8.160, conduit à une solution asymptotique
unique. La longueur d'établissement est encore donnée par l'équation 8.159, dans le
cas d'un tube. La même remarque que dans le cas d'un flux constant peut être faite
concernant les évolutions de h(x) et Nuv(x) de l'entrée de la conduite à la zone où
le régime est établi. Des expressions approchées de Nuv(x) et du nombre de Nusselt
Nuv,L sont données dans le Complément C.2, pour différentes géométries.
b) Deuxième cas : Conditions mécaniques non établies
à l'entrée (problème de Nusselt)
Ce cas correspond à la plupart des applications industrielles. Il convient de tenir
alors compte de l'évolution en x du profil de vitesse dans l'équation de l'énergie,
qui s'écrit: [ ôT ôT]
2
pep u(x,r) ôx + v(x,r) ôr = JV T(x,r) (8.164)
Il est évident que pour des valeurs de x élevées on doit retrouver les mêmes solutions
asymptotiques pour les nombres de Nusselt locaux Nuv (x). Des résultats détaillés
sont exposés dans le Complément C.2.
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8.8 CONVECTION NATURELLE INTERNE
LAMINAIRE
Ce cas est délicat à traiter. Les solutions sont en pratique numériques. Dans le cas
très simple d'un mur on introduit cependant la notion de conductivité équivalente :
voir le Complément C.4.
324

TRANSFERTS
TURBULENTS
Notions clés
Équations locales instationnaires; contraintes turbulentes; décomposition de
Reynolds; équations statistiques de bilan; échelles caractéristiques de production
et de dissipation.
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Les connaissances actuelles sur la turbulence demeurent parcellaires, partiellement
empiriques. Si de nombreuses approches de la turbulence existent, elles ne permettent
pas, à ce jour, de prédire les effets de la turbulence sur les transferts thermiques et
d'espèces dans toutes les situations concrètes. Inversement, la turbulence est présente
dans la plupart des transferts the1miques et d'espèces d'intérêt industriel. En effet, si
1' objectif est de maximjser ces transfe11s entre un fluide et une paroi, il convient
en général d'utiliser des écoulements fortement turbulents (à l'exception notable du
phénomène de bord d'attaque).
La turbulence est un phénomène dont la source est à l'échelle du mileu continu, caractérisé
par l'apparition et les évolutions d'un système complexe d'instationnarités
chaotiques, sous forme de tourbillons d'échelles et de vitesses très diverses. Dans un
élément de volume dV arbitrairement petit, pendant un intervalle de temps arbitrairement
petit, un fluide en écoulement turbulent reste caractérisé par une vitesse v(r,t),
une température T(r,t), des fonctions d'état et des propriétés thermophysiques définies
sous l'hypothèse de l'E.T.L. (voir le paragraphe 10.4.1). Les équations locales
instationnaires de bilan, du paragraphe 9 .1.1, contiennent, avec les conditions aux
limites associées, toute la physique de la turbulence, au moins pour un fluide transparent.
Cependant si les structures complexes des tourbillons sont théoriquement solutions
mathématiques de ces équations locales instationnaires, cette approche reste, le
plus souvent encore, impraticable. Différentes voies de modélisation sont néanmoins
pertinentes dans divers cas.
Ce chapitre constitue une introduction générale à la modélisation pratique de la
turbulence, sans cependant traiter des aspects techniques numériques. Il a pour but :
• d'introduire les équations de bilan locales instationnaires associées aux méthodes
de simulation numérique directe et les équations statistiques de bilan, obtenues par
moyenne d'ensemble, qui servent généralement de base aux modèles d'ingénieurs.
• d'introduire les échelles caractéristiques de la turbulence (paragraphe 9.1) :
échelles de taille, durée, fréquence, vitesse, nombre d'onde associées notamment
aux phénomènes de production et dissipation de la turbulence. Les mécanismes
d'évolution des tourbillons (cascade énergétique) sont aussi précisés.
325

Chapitre 9 • Transferts turbulents
• d'étudier la structure d'un écoulement turbulent établi dans une conduite au voisinage
d'une paroi ou développé sur une plaque (paragraphe 9.2); cette étude de
base en transferts thermiques et en transferts d'espèces est indispensable à la compréhension
des modèles numériques.
• d'introduire différentes voies actuelles de modélisation des tranferts thermiques
turbulents (paragraphe 9.3).
9.1 ÉQUATIONS DE BILAN ET ÉCHELLES
CARACTÉRISTIQUES
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9.1.1 Équations locales instationnaires de bilan
Les équations locales et instationnaires pour le fluide, supposé monophasique et
proche de l'E.T.L., de bilans de masse, de concentrations des différentes espèces, de
quantité de mouvement (Navier-Stokes) et d'énergie (sous forme enthalpique) introduites
dans le paragraphe 8.1 s'expriment en fonction des vitesse vi, température T,
masse volumique p, viscosité dynamique µ, diffusivité d'espèces Ds, conductivité
thermique Il et chaleur massique c P du fluide. Elles peuvent être résolues directement
dans des cas simples, pour accéder aux différents champs locaux et instationnaires
turbulents et à toutes les quantités transférées au voisinage des parois : c'est la simulation
numérique directe. Dans le cas où on suppose les propriétés thermophysiques
dujl.uide (po,cp,À,µ, D s) uniformes, cas auquel on se limitera ici par souci de simplicité,
ces équations sont en notations tensorielles :
a) Bilan de masse (équation 8.3) :
P =Po ==>
a
- v·=O
ox· J
J
(9.1)
b) Bilan de quantité de mouvement, déduit 1 de l'équation 8.14, considéré ici sous
le seul angle de la convection forcée, sans terme source:
c) Bilan d'énergie, déduit de l'équation 8.27, considéré sans terme source:
(9.2)
(9.3)
1. Il suffit d'utiliser l'équation 9.1 pour déduire l'équation 9.2 de l'équation 8.14 et d'utiliser de plus le
fait que Bh/Bx; = cp(8T/8x;) pour obtenir l'équation 9.3 à partir de l'équation 8.27.
326

9.1. Équations de bilan et échelles caractéristiques
d) Bilan de concentration de l'espèce s, (en kg m- 3 ) déduit des équations 8.35
et 8.42, sous l'hypothèse d'un constituant dilué (ou d'un mélange binaire) et considéré
sans terme source :
ÔCs Ô Ô ( ÔCs )
- + - (vies)= - . Ds-ô
8 t 8 x· 8 x· x·
l l l
(9.4)
Dans les équations 9.2 à 9.4, les quantités transportées pv 1 , pcpT et es jouent des
rôles similaires. Ces équations ont, de plus, la même structure : un terme instationnaire
et des termes de convection dans leurs premiers membres ; ces derniers termes,
p a~; (vivJ), pep a~; (viT), a~; (vies), sont non-linéaires et posent de délicats problèmes
de modélisation. Leur rôle physique a été discuté dans le paragraphe 5.5.2. Dans les
second membres apparaissent des termes de diffusion et éventuellement des termes
de production et de dissipation de la quantité considérée.
9.1.2 Équations statistiques de bilan en turbulence
La résolution des équations locales instationnaires de bilan précédentes n'est pas envisageable
directement pour des systèmes tridimensionnels complexes, compte tenu
des outils numériques disponibles à ce jour. Cependant, dans la plupart des applications
thermiques, ce sont les transferts entre fluide et paroi qui sont importants : les
objectifs sont alors généralement de déterminer des champs de température, vitesse,
concentrations, ou des flux pariétaux moyennés. En effet, la plupait des structures
solides ont des temps de réponse longs par rapport aux échelles de temps de la turbulence.
Deux types de moyennes peuvent être considérés :
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- une moyenne temporelle, en un point M(xi), entre t et t + ôt, sur une durée
ôt grande par rapport aux grandes échelles de temps de la turbulence ; cette
approche ne permet de traiter un problème instationnaire qu'à des échelles de
temps plus grandes que celles de la turbulence.
une moyenne d'ensemble, sur un nombre arbitrairement grand de réalisations
(en Xi, t), ce qui correspond à l'approche usuelle de la physique statistique.
L'équivalence des deux approches est la fameuse question del' ergodicité des
phénomènes.
Toute grandeur physique, A(x;,t) peut être décomposée en une partie moyennée
A(xi,t) (moyenne de Reynolds) et une partie dite ftuctuante 2 A'(xi,t):
A= A+ A' avec : A'= 0 (9.5)
2. Avec des propriétés thermophysiques variables du fluide, on utilise généralement la moyenne de
Favre f 45), telle que: p = pA, A =  +A", Â'' = 0 mais A" ::/=O. Notons que, si la moyene
327

Chapitre 9 • Transferts turbulents
La dépendance temporelle de A correspond d'une part à l'instationnarité turbulente
(qui apparaît toujours dans A') mais, éventuellement aussi, à une instationnarité d'une
autre origine, qui persiste en moyenne temporelle sur D.t ; cette instationnarité, à une
échelle de temps beaucoup plus grande, peut être due, par exemple, à une variation
temporelle des conditions aux limües imposées au système. Dans le modèle développé
ici, nous admettrons qu'il n'y a aucun couplage entre ces deux types d'instationnarité.
La notation éJA/ot se rapporte uniquement aux évolutions lentes d'un
système, indépendamment des instationnarités turbulentes qui n'apparaissent pas à
cette échelle, et ceci quel que soit le type de moyenne réalisée.
À titre d'exemple, on trouve dans les équations de bilan les quantités :
T = T + T' Vi = Vi + v; (9.6)
mais aussi des produits qui interviennent typiquement dans les termes non linéaires
de convection des équations de bilan, tels que :
viT = viT + (viT)' = (viT + v;T') + (v;T' - v;T' + v;r + viT') (9.7)
Notons, dans ce dernier cas, qu'au produit des termes fluctuants v;T' est associé un
terme moy·· en corrélé, en général non nul, v~T' et un terme fluctuant v~T' - v~T'.
l l 1
Après avoir moyenné les équations locales instationnaires de bilan 9.1 à 9.4 on
obtient les équations statistiques de bilan, pour des propriétés thermophysiques uniformes:
~V.=0
ox· J
J
(9.8)
avj a r.;-_ _) op a ( a _ ---,-,)
po-+po-\viv· =--+- µ-v·-pov.v.
ot axi
1
axj axi axi 1 ' 1
(9.9)
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POCp--;;- + POCp:;-(ViT) = ::;--
ut UXi UXi UXi
À:;- - POCpv;T'
(9.10)
(9.11)
Ces équations statistiques de bilan sont similaires aux équations locales instationnaires,
à la différence près qu'elles font apparaître des termes de transport turbulent
liés à des effets corrélés entre composantes de la vitesse, composante de la vitesse et
température ou composante de la vitesse et concentration :
de Favre permet de traiter correctement les termes de convection, elle est inadaptée aux autres types de
termes en particulier à ceux de diffusion moléculaire.
328

9.1. Équations de bilan et échelles caractéristiques
a) Des termes de transport de quantité de mouvement
-p 0 v;vj dans l'équation 9.9, souvent appelés contraintes de Reynolds. Il s'agit, dans
ce cas, de la moyenne des termes de convection par la vitesse fluctuante dans la direction
ide la quantité de mouvement fluctuante suivant j, ou l'inverse. Ces termes sont
dus aux corrélations entre les fluctuations de v; et celles de vj. La quantité -pov;vj
est à rapprocher à l'échelle du milieu continu d'une composante Pi.i du tenseur des
pressions (voir paragraphe 10 .1. 3) égale à Po < C iC 1 > qui représente la moyenne
d'ensemble, sur la distribution des vitesses, des vitesses relatives Ci et c 1 des molécules
élémentaires (c'est-à-dfre des vitesses par rapp01t à un référentiel entrainé à la
vitesse hydrodynamique).
Dans les deux cas, il s'agit d'un changement d'échelles :
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- de l'échelle élémentaire des molécules, représentée par le tenseur -p 0 Cie .fo
à celle du milieu continu, représentée par le tenseur des pressions PiJ défini
par -po < CiCJ >. Ce changement d'échelle constitue un succés majeur de
la physique statistique qui introduit rigoureusement, au voisinage de l' E.T.L
seulement, la notion de viscosité moléculaire; soit, dans le cas particulier d'un
fluide à propriétés thermophysiques uniformes [46] :
- po<CiC1>= µ (-+-
OVJ oui)
oxi OXj
(9.12)
C'est précisément la moyenne du premier te1me du second membre de l' équation
9.12 qui apparaît en concurrence avec -pov;vj dans l'équation 9.9.
La raison de ce fait est que l'équation 9. 12 s'écrit de façon plus générale:
av 1 a av a -
P ot + P ox· (vi Vj) = - ox · + ox· (-p< CiCJ > - pv;vj),
1 J l
(9.13)
avant fermeture, à l' ETL, des termes liés à la diffusion de quantité de mouvement
relative par une contrainte visqueuse. Notons que la contribution du
second terme du second membre de l'équation 9.12 à l'équation 9.9 existe
mais est nulle pour un fluide de masse volumique uniforme, compte tenu de
l'équation 9.1.
- de l'échelle du milieu continu, représentée par le terme Po v;vj, à celle des
champs moyens turbulents, représentée par -pov;vj. Ce changement d'échelle
constitue le problème majeur, généralement mal résolu, de la turbulence et
donnera lieu à diverses techniques de fermeture des équations statistiques de
bilan (paragraphe 9.3.2).
329

Chapitre 9 • Transferts turbulents
b) Des termes de transport d'enthalpie
-pocpu;T', qui apparaissent dans l'équation 9.10. Il s'agit de la moyenne des termes
de convection par la vitesse fluctuante u; dans la direction i de la fluctuation d'enthalpie
p0c PT'. Comme précédemment, ces termes sont analogues aux te1mes - p <
ci e >, où e représente l'énergie inteme 3 d'une molécule, qui sont fermés par la loi
Fourier -À Z~ au sein du fluide, et dont les moyennes apparaissent également au second
membre de l'équation 9.10. L'expression d'un terme -pocpu;T 1 est un autre
problème délicat de fermeture.
c) Des termes de transport d'espèces
-u;c~, pour lesquels le même commentaire peut être fait.
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9.1.3 Échelles mécaniques caractéristiques de la turbulence
L'étude des termes con-élés -pou;uj, -pocpu;T 1 , -u;c~ requiert la caractérisation préalable
des échelles de taille (ou de nombre d'onde), de durée, de fréquence et de vitesse
attachées aux fluctuations turbulentes de u;, T', c~. La grandeur scalaire locale
la plus simple qu'on puisse associer à la turbulence est l' énergie cinétique turbulente
massique moyennée k, qui est propo1tionnelle à la trace du tenseur des contraintes
I I '
tur b u 1 entes -pouiu.i' s01t :
k = u'u~/2
l l
(9. 14)
k est solution de l'équation de bilan qui s'ajoute au système d'équations 9.8 à 9.11,
équation établie dans la référence [135] et admise ici sans démonstration :
ok _ o k) o (-, 1 -,
( ot , ok)
1 ox1
1
ox 1
1 2 l 1 ox 1
Po - +u·- =-- p'u.+-pou.u.u.-µ-.
- 0 ou~ ou~
I I - l l
-pou.u .-ui - µ--
1 .! OXj OXj OXj
(9.15)
Le premier terme du second membre, terme de transport, se décompose en un terme
de diffusion moléculaire de k soit µo 2 k/ox], et en des termes qui font apparaître des
moments d'ordre deux p'uj (lié au travail turbulent des fluctuations de pression) et
d'ordre trois u; u;uj (lié au transport turbulent des fluctuations de l'énergie cinétique
3. Les termes < C; e > correspondent à une généralisation à des molécules polyatomiques, présentant
des degrés internes, de l'approche du paragraphe 10.1.3, limitée par souci de simplicité à des gaz
monoatomiques, sans degrés internes, donc à des termes< C; CjCJ >.C'est après diverses transformations
de l'équation de l'énergie tenant compte de l'équation de bilan de masse que l'enthalpie massique
apparaîtra finalement, à l'échelle macroscopique, à la place de l'énergie interne massique.
330

9.1. Équations de bilan et échelles caractéristiques
massique turbulente), qu'.il conviendra également de fermer (voir le paragraphe 9.3).
Le second terme du second membre de l'équation 9.15, terme de transfert d'énergie
entre champs moyennés et champs fluctuants
-,-,ô_ 0
II = -pou.u.-ui >
(9.16)
1
Jôx·
La quantité II est le plus souvent positive4 et correspond alors à une production
d'énergie cinétique turbulente. Dans ces conditions, la production de k est maximale
dans les régions où les contraintes visqueuses associées à ]'écoulement moyen 8 ~ . ui
J
sont du même ordre de grandeur que la contrainte de Reynolds turbulente -pu;uj.
C'est en particulier le cas au voisinage d' une paroi, comme il apparaît sur la figure 9.1
mais pas immédiatement à son contact, où la quantité u:v} serait trop faible : voir le
paragraphe 9.2.3b.
IT/(u * 3 IR)
./
ll/(u* lv)
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10
o .__~...__~_._~~"--~-'=---
u*ytv
O ,__~~~--~~~~~---
o 0,2 0.-1 0,6 0,8 0 JO 20 ylR
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9
Figure 9.1 - Production d'énergie cinétique turbulente dans un tube, d'après (Lauter,
1954). On a posé: y= R- r; u• est défini par l'équation 9.36.
Le dernier terme del' équation 9.15 est toujours négatif et représente la dissipation
irréversible d'énergie cinétique turbulente par frottement visqueux, notée s, phénomène
irréversible ; en fait, on pose :
ôu~
ôu~
-pos = -µ-- <
ÔXj ÔXj
1 l 0
(9.17)
Cette dissipation d'énergie cinétique se traduit par un échauffement du fluide, qui
apparaît au sein de la fonction de dissipation de l'équation de bilan d'énergie introduite
dans le paragraphe 8. 1.3. L'énergie cinétique de la turbulence est uniquement
4. Il a été établi que dans la section droite d'un écoulement turbulent au sein d'un canal , la valeur
moyenne den est positive [80]. Citons aussi un argument heuristique : dans les modèles d'ingénièrie,
- pu;uj est fermé par un modèle également heuristique de diffusion turbulente, so it µ,~ (voir le
paragraphe 9.3.2), ce qui conduit à un résultat positif. Cependant, dans diverses configurations d'écoulements
turbulents, en combustion turbulente notamment, n peut être localement négatif.
331

Chapitre 9 • Transferts turbulents
dissipée par viscosité moléculaire. L'échelle des structures prépondérantes dans cette
dissipation sera discutée dans le paragraphe b. s, comme n, est maximale au voisinage
de la paroi, dans la mesure où les gradients de vitesses fluctuants, donc leurs
corrélations, y sont importants.
k et s servent de base à la construction d'échelles caractéristiques de la turbulence.
s est également déte1minée, comme k, à paitir d'une équation statistique de bilan
supplémentaire du même type que les équations 9.8 à 9.11 et 9.15 et couplée à
celles-ci. Une forme simplifiée, fermée avec l'hypothèse de diffusion turbulente, de
cette équation est donnée dans le paragraphe 9.3.2 d (équation 9.94). Nous allons
considérer, dans un premier temps, les grandes structures de production de l'énergie
cinétique turbulente ou structures énergétiques et, dans un second temps, les petites
structures ou structures dissipatives de cette énergie.
a) Échelles énergétiques mécaniques de turbulence
Les grandes structures de l'écoulement, tourbillons les plus énergétiques, sont caractérisées
par :
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• une échelle énergétique de vitesse :
V
- kl/2
e- ' (9.18)
Notons que ui et u; sont de l'ordre de k 1 1 2 et, d'autre part, u;u; et u;uj de l'ordre
de k.
• des échelles énergétiques de temps et de fréquence déduites de l'équation 9 .15
de bilan de k, réduite aux termes de transport et de dissipation : ~~ = -s;
soient:
k
c
Te= -, Ve= -,
(9. 19)
c
k
ce qui pe1met de déduire, à paitir de l'équation 9.18 :
• des échelles énergétique de taille le, typiquement de 1 'ordre de 1 'épaisseur de
la couche limite turbulente le long d'une plaque ou du diamètre hydraulique
d'un canal, et de nombre d'onde Ke (en effet, les tourbillons sont considérés
comme des oscillateurs) :
k~ 2 1 e
le = UeTe = ----;-' Ke = le = k 312
. (9.20)
Il apparaît à partir des équations 9.16 et 9.20 quefl/p et s, termes de production
et de dissipation de k, sont du même ordre de grandeur:
k3/2
fl/p ~ c ~ - ~ Ke k 312 . (9.21)
le
Cela correspond à un certain équilibre de la turbulence, en régime établi.
332

9.1. Équations de bilan et échelles caractéristiques
b) Échelles mécaniques de dissipation de turbulence
Comme le montre l'équation 9.15, l'énergie cinétique turbulente se dissipe en chaleur
uniquement sous l'effet de la viscosité moléculaire v, phénomène de diffusion. La
taille caractéristique ld des structures dissipatives peut alors être caractérisée par de
simples considérations dimensionnelles, en admettant qu'elle ne dépend que de & et
v, de dimensions respectives L 2 T - 3 et L 2 T- 1 ; on obtient alors :
• des échelles dissipatives de taille ld et de nombre d'onde d'onde Kd:
(9.22)
La même approche conduit à :
• des échelles dissipatives de temps Tc1 et de fréquence v c1 :
(9.23)
ce qui conduit à :
• une échelle dissipative de vitesse vc1 :
(9.24)
Notons que la durée r c1 d'une structure dissipative de taille caractéristique ld est
aussi le temps caractéristique de diffusion par viscosité associé à cette taille, soit :
z;;v, analogue à 12/a en conduction.
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c) Comparaison des échelles
Les rapports des échelles de dissipation aux échelles correspondantes énergétiques
dépendent simplement d'un nombre de Reynolds Ree associé aux structures énergétiques
:
(9.25)
Soient, tous calculs faits :
Td / Te= R ee -1/2 ' / R -1/4
Vd Ve = ee .
(9.26)
Comme Ree est grand en régime turbulent, les tailles, vitesses et durées des structures
dissipatives sont beaucoup plus petites que celles des structures énergétiques correspondantes;
l'inverse est vrai pour les nombres d'onde et fréquences. Cette séparation
333

Chapitre 9 • Transferts turbulents
importante des échelles est un obstacle majeur à la simulation numérique de la turbulence,
qui doit traiter avec précision les deux types d'échelles. Ce phénomène est
d'autant plus critique que Ree prend une valeur élevée, c'est-à-dire que l'écoulement
est plus turbulent.
d) Notions de spectres de la turbulence
Il est intéressant d'étudier les spectres de k et E sous l'hypothèse d' une turbulence
homogène et isotrope. Cette hypothèse est physiquement peu réaliste pour caractériser
la turbulence au voisinage d' une paroi, mais permet d'introduire des ordres de
grandeurs de résultats. Les densités spectrales E (K) et D(K) de k et s sont définies
par:
k = f E(K)dK, E = f D(K)dK. (9.27)
E(K) est représentée en échelles logarithmiques sur la figure 9.2a. 11 y apparaît que
la quasi totalité de l'énergie cinétique turbulente correspond aux grandes strnctures,
dites énergétiques, de nombre d'onde voisins de Ke. Corrélativement, la contribution
ln {E (K)}
ln [E (K) (e v 5) -1 ./]
/
K-5'3
ln (K) b)
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Figure 9.2 - Densité spectrale E(K) de k: a) allure générale; b) échelles inertielles et de
dissipation, d'après Monin et Yaglom [97).
à k des structures dissipatives, de nombre d'onde voisins de Kd est faible. Entre les
structure énergétiques caractérisées par Ke et les structures dissipatives, caractérisées
par Kd, des structures intermédiaires, dites inertielles, sont caractérisées par un argument
dû à Kolmogorov [59] : E(K) ne dépend dans cette zone que de K et&. Soit,
compte tenu des dimensions respectives de E , K et s (L 3 T- 2 , L- 1 et L 2 r- 3 ):
E(K) = C K- 5 ! 3 s 213 • (9.28)
334
Cette dépendance est représentée par une droite, dite droite de Kolmogorov, en
échelle logarithmique (voir figure 9.2b). La densité spectrale de dissipation turbulente
D(K), égale en turbulence homogène et isotrope à 2vK 2 E(K), maximale pour
Kd est représentée sur la figure 9.3, inspirée de Monin et Yaglom [97].

9.1. Équations de bilan et échelles caractéristiques
unités arbitraires
tl
K
Figure 9.3 - Allures de E(K) et D(K)
(échelles logarithmiques)
Figure 9.4- Essai de représentation
des échelles mécaniques.
Les mécanismes de la turbulence reposent sur des échanges énergétiques complexes
et réciproques entre des tourbillons de toutes les échelles de nombres
d'onde K. Globalement, la dégradation de l'énergie se produit des grandes structures
énergétiques vers des structures de plus en plus petites, jusqu'aux structures
dissipatives de taille typique ld (voir une schématisation sur la Fig. 9.4). En effet, la
turbulence est principalement produite sous forme de tourbillons de grandes tailles
(structures énergétiques), tandis qu'elle est essentiellement dissipée sous forme de
tourbillons de petites tailles (structures dissipatives) : ces dernières sont plus efficaces
pour dissiper l'énergie cinétique en chaleur par viscosité. En effet, la durée
caractéristique d'une structure est 12/v. Ces mécanismes de dégradation sont abordés
dans le paragraphe 9.1.5.
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9.1.4 Échelles caractéristiques thermiques et scalaires
--;z '2
Les évolutions de B = r 2
et x s = c2 sont parallèles à celles de k. On se limitera ici
à B. Les évolutions de Xs se déduisent des résutats associés par un simple changement
de notations.
Des équations statistiques de bilan simüaires à celles relatives à k et E sont établies
pour e et Ef), dissipation de e. On introduit à la fois une densité spectrale de e, notée
EB(K), et une densité spectrale DB(K) de cfJ, quj apparaît comme te1me dissip. atif dans
. .
l'équation statistique de bilan de e, comme c dans celle de k :
âT' âT'
cf)= a-Ô -Ô.
Xi Xi
(9.29)
où a est la diffusivité thermique du fluide.
En turbulence homogène isotrope DB(K) est encore égal à 2aK 2 EB(K). De façon
plus générale, aux nombres d'onde KeB et KdB correspondant aux maxima de EB et
DB sont associées les échelles spatiales énergétiques leB = 1/ Kee et de dissipation
335

Chapitre 9 • Transferts turbulents
lc1e = lf Kde· Les évolutions de Ee(K) et D 8 (K) sont comparées à celles de E(K) et
D(K) par Monin et Yaglom [97] pour diverses valeurs du nombre de Prandtl. Pour Pr
voisin de 1, il apparaît que :
9.1.5 Cascade énergétique
et (9.30)
La turbulence est créée principalement sous forme de grandes structures, de tailles
caractéristiques le et nombres d'onde Ke, dans des régions de l'écoulement où coexistent
des contraintes visqueuses et de Reynolds importantes (voir l'équation 9.16).
Ce phénomène se produit :
• dans des zones voisines d'une paroi, où les gradients de vitesse et de température
sont grands, mais pas immédiatement à la paroi (voir le paragraphe
9.2.3c);
• au voisinage des fronts de réactions chimiques, en particulier des fronts de
flamme, là où les gradients de température, de masse volumique, de vitesses
sont également très importants; la combustion turbulente est une discipline en
plein essor.
• au voisinage de microstructures le long des parois, appelées promoteurs de
turbulence ; les gradients de vitesse y sont considérablement augmentés. C'est
un moyen efficace pour provoquer la turbulence d'un écoulement de nombre
de Reynolds global supérieur à 2300 dans un tube, qui risquerait néanmoins
de rester laminaire en l'absence de vibrations ou de ces promoteurs (voir le
paragraphe 5.4.5).
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L'observation d'écoulements révèle que les tourbillons de grandes tailles sont diffusés
et convectés, mais dégénèrent statistiquement en tourbillons de plus en plus
petits et de fréquences de plus en plus élevés, pour finalement être dissipés en chaleur
du fait de la viscosité moléculaire du fluide, principalement quand leurs tailles et
nombres d'onde sont de l'ordre de ld et Kd. Cet effet est statistique et irréversible: des
échanges réciproques ont lieu entre classes de tourbillons de différentes tailles, mais
globalement l'énergie de la turbulence passe progressivement des grandes échelles de
production aux petites échelles de dissipation. Les mécanismes responsables de cette
cascade énergétique de la turbulence sont les transfe1ts convectifs turbulents, c'est à
dire les te1mes non linéaires des équations de bilan 9.2 à 9.4 :
336

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
Ces non-linéarités permettent d'expliquer, à partir d' un argument spectral simple, la
dégénérescence d' un tourbillon d'échelle spatiale let de nombre d'onde K = l./l en
structures de plus en plus petites, caractérisées par des nombres d'ondes de plus en
plus grands (cascade énergétique). Supposons qu'à l'instant t 0 les composantes de la
vitesse en un point M(x,y,z) soient en notation complexe
vi = ViQRe [exp(} Kixx)], (9.31.)
c'est -à-dire un champ caractérisé par trois nombres d'onde différents Kix, KJx• Kkx,
suivant la seule direction x pour simplifier. Du fait du te1me p 0
°.
x, (viv 1
-) de l'équation
instationnaire de bilan de quantité de mouvement 9.2, et plus précisément du produit
vivJ, la vitesse vi à un instant ultérieur va être affectée par toutes les combinaisons
de nombres d'onde du type Kix + K 1 x et Kix - KJx · Ce processus est responsable du
transfert de l'énergie entre classes de tourbillons de nombres d'onde différents plus
grands ou plus petit que le nombre d'onde initial. Comme les tourbillons de grands
nombres d'onde sont beaucoup plus vite dissipés en chaleur que les autres, le puits
de disparition des tourbillons est constitué par ces tourbillons de grands nombres
d'onde. La même analyse peut être faite sur les autres équations de bilan.
9.2 ÉCOULEMENT TURBULENT AU VOISINAGE
D'UNE PAROI
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La difficulté essentielle en transferts turbulents thermiques est de modéliser la turbulence
au voisinage des parois d' un système. C'est l'objet de ce paragraphe, dont la
compréhension est importante pour cette modélisation, y compris par les méthodes
les plus avancées (simulation numérique directe, simulation des grandes échelles, ... ).
Ce paragraphe traite précisément de la structure d'un écoulement turbulent en régime
établi dans un tube chauffé à flux constant <pp, tant du point de vue du champ
de vitesse que de celui du champ de température. Ses résultats sont généralisables
à d'autres configurations (canal de diamètre hydraulique Dh, couche limite le long
d' une plaque plane, condition de température imposée ... ), à condition d'adapter les
échelles de longueur de référence.
Dans une approche plus pragmatique que dans le paragraphe précédent, de nouvelles
échelles macroscopiques sont introduites :
• les grandes structures des champs de température et de vitesse sont rappo1tées au
rayon R du tube 5 ;
5. À l'épaisseur locale de la couche limite, le long d'une plaque plane, au (demi) diamètre hydraulique
dans un canal de section constante.
337

Chapitre 9 • Transferts turbulents
• les vitesses (moyennées et fluctuantes) sont rapportées à la vitesse de frottement u*,
définie par référence à T P• contrainte visqueuse exercée par le fluide sur la paroi,
toujours positive dans le sens de l' écoulement 6 ; soit :
u* > 0, 8
8 U < 0, T p > 0.
r
(9.32)
• les températures, moyennes et fluctuantes, sont de façon similaire rapportées à la
température de frottement T*, qui est en fait une variation de température définie
dans le cas d'un flux surfacique constant à la paroi 'Pp par:
*T* PCpU ='Pp u* > 0, 'Pp et T * algébriques. (9.33)
Contrairement aux cas du gradient de vitesse et de la contrainte pariétale, les signes
du gradient de température et du flux thermique pariétal 'Pp dépendent de l'application
: T* est donc une quantité algébrique, de même signe que <pp, positif dans le sens
de l'axe Or.
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q O,OOf 0. 0~8 0 1 01 1VR 0 0.2 O../ 0,6 0.8 /
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Figure 9.5 - Fluctuations de vitesses
mesurées dans un tube d'après Laufer [82],
pour Re 0 = 510 5 et u/u* = 0,035.
Figure 9.6 - Composante du
tenseur de Reynolds; Mêmes
condition qu'en Fig. 9.5.
Il est intéressant, à ce stade, de considérer des données expérimentales relatives à
u' 2 et v' 2 (figure 9.5), u'v' (figure 9.6) et à la production d'énergie cinétique turbulente
Il (figure 9.1) en fonction de la distance à la paroi y = R - r . Il apparaît sur
la figure 9.5 que les fluctuations de vitesses croissent à partir de la paroi jusqu'à une
zone où elles sont maximales. Cette zone est caractérisée par une valeur du nombre
de Reynolds de la turbu.lence
R * * /
ey = U !f V (9.34)
6. Rappelons que, par convention, µ ?ft: est la contrainte exercée par Je milieu situé du côté de la normale
orientée (ici du côté des grandes valeurs der) sur l'autre milieu.
338

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
de l'ordre de 10 à 20. Elle correspond également au maximum de la production
d'énergie cinétique turbulente représentée sur la figure 9.1. Ce point sera discuté dans
le paragraphe 9.2.3.
Dans le cas de T' 2 , des résultats similaires sont obtenus sur la figure 9.7 pour de
l'eau. Pour un métal liquide, le mercure sur cette même figure, les résultats sont très
différents du fait de la diffusivité thennique très élevée de celui-ci, plus précisément
de son très faible nombre de Prandtl.
-12
T' 1 IT*
2 eau (Hochreiter, 1971)
I
mercure
(Hochreiter, 1971) y/R
0 0.5 1
Figure 9.7- Fluctuations de température. Lissages d'expériences d'après Pimont [ 108].
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9.2.1 Contrainte totale Ttot
Soit un écoulement stationnaire en moyenne et en régime établi d'un fluide à transformation
isovolume au sein d' un tube de rayon R. La masse volumique supposée
uniforme sera simplement notée p. Soient x et r les coordonnées axiale et radiale d' un
point, <.p son azimuth définissant la coordonnée orthoradiale. Le vecteur vitesse v a
pour composantes respectives u,v,w suivant ces trois coordonnées.
Le régime turbulent établi est caractérisé par : 2- u = 0 · 2- u' 2 = 0 · 2-u'v' = O.
ôx ' ôx ' ôx
Comme l J:t est nul en régime établi, et que ~ ;'P w est nul du fait de la symétrie
cylindrique, l'équation de bilan de masse moyennée est réduite à : ~ Îr(ro) = 0, ce
qui conduit à : ru = Rüp = 0, soit : ü = O.
La moyenne d'ensemble de la projection sur Ox de l'équation de bilan de quantité
de mouvement 9.2 s'écrit:
pdiv(uv) = - ~~ + div(µgradü). (9.35)
Dans le second terme du second membre de l'équation 9.35 la quantité :; 2 u est nulle
en régime établi, la vitesse orthoradiale w l'est également pour raison de symétrie.
Il ne reste donc que le terme ~ Îr(r µ ~~ ).Après décomposition de Reynolds 9.6 (u =
u + u' ... ) et annulation de nombreux termes 7 sur la base des hypothèses faites, il
7.Pour: c = uouT,div(c v) = c div(v) + v. grad (c).
- a) Dans le cas c = u, après moyenne d'ensemble : div(u v) = fx u 2 + ~ f,. ruu + ~ ,~ uw.
339

Chapitre 9 • Transferts turbulents
vient finalement:
- ôp + !~ [r (µ ôu - pu'u')] =O.
ôx r ôr ôr
(9.36)
La moyenne d'ensemble de la projection sur l'axe radial de l'équation de bilan de
quantité de mouvement a pour expression :
(9.37)
En effet, la quantité Jx (ru' u') est nulle en régime établi et gr frp w par raison de symétrie.
Comme Jx (rv' 2 ) est nul en régime établi, il vient:
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~!_p = o.
ôr ôx
L' expression de la contrainte totale au sein du fluide 'T, 0 ,(r) est alors déduite :
(9.38)
• de l' intégration de l'équation 9.36, de 0 à R. Comme la vitesse et la contrainte
- pu' u' sont nulles à la paroi, Jx p a pour expression en r = R : - 2/ R T P' où T P
désigne la contrainte exercée par le fluide sur la paroi (voir l'équation 9.32).
• de la substitution de cette expression de Jx p, dans l'équation 9.36 intégrée de 0
à r.
Il vient:
_ ) du ) - r r *2
T 101 (r = +µ-(r - p u' u'(r) = - - T P = - - pu .
dr R R
(9.39)
Un résultat remarquable est que le module de la contrainte totale croît linéairement de
la valeur 0 au cœur de 1' écoulement à la valeur r P à la paroi. Des déterminations expérimentales
de la contrainte turbulente - p u'v' montrent que celle-ci est prépondérante
au cœur de l'écoulement et décroît fortement au voisinage de la paroi (figure 9.6).
9.2.2 Flux surfacique thermique radial total
Un régime thermique établi 8 est caractérisé par:
a - a - - r r a-- a--
- T * 0 · -T+ = 0 avec y + = - /1 • - u'T' = 0 · - u'T' =O.
ôx ' ôx ' T m - T
p
' ôx ' ôx
Le terme fx u 2 = fx ïi + fx u' 2 est nul en régime établi. Le terme; a~ uw est nul du fait de la symétrie
cylindrique. II ne reste donc que : ! .!!.. ruu = ! .!!.. ru'u' puisque ü est nul.
r fJr r ô r '
- b) Dans le cas c = T, après moyenne d'ensemble : div(T v) = fx uT + ; f,. ruT + ; a: wT.
Le terme .!L uT devient u .!L T puisque .!L u et .!L u'T' sont nuls en régime établi. Le terme ! .!L wT est
ôx ôx ' ax ax /' 81(>
nul du fait de la symétrie cylindrique. Comme ü est nul , le terme ; f,. ruT devient ; f,. ru'T' .
8. Les défini tions de la température de mélange et de la températures adimensionnée en conduite ont
été introduites dans le paragraphe 5.3.
340

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
La moyenne d'ensemble de l'équation de bilan d'énergie 9.2 du fluide s'écrit avec
les hypothèses faites, incluant celle de la couche limite :
Après transformations 9 celle-ci devient :
pep div(v T) = ~ i_ (rÀ oT).
r or or
[ )]
_oT i o oT -
pc u - - = - - r (À- - -pc v' T' .
p ox r or or p
(9.40)
(9.41)
Le flux surfacique thermique radial total défini par :
oT -
'Tfot
m (r) = - À-
or + pc p v'T'
(9.42)
ne dépend que der. En effet, la quantité JxvT' est nulle en régime établi et lx ffrT est
également nul si le flux pariétal est uniforme 9 . De la même façon, ~~ ne dépend pas
der.
Le profil universel de vitesse moyenne de Nikuradze-Schlichting [120] (voir équation
5.114) conduit à la limite où Rev tend vers l'infini à un champ de vitesse u également
uniforme en r : nous ferons cette approximation. L' intégration de l'équation
statistique de bilan d'énergie 9.41 de 0 à R conduit à:
et son intégration de 0 à r à :
(9.43)
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Re 0 ---7 oo :
oT - r
<p 101 (r) = - À or (r) + pcpv'T'(r) ='Pp R (9.44)
Dans cette éqation, <p 101 (r) et 'Pp sont des flux algébriques, comptés positivement dans
le sens de l'axe. L'expression lPtot(r) obtenue est analogue à celle de la contrainte totale
'T 101 (r). Les écarts à la loi linéaire dans l'équation 9.44 sont faibles, de l'ordre de
20% pour Rev voisin de 5 000 et décroissent quand Reo croît. Nous adopterons dans
la suite l'équation 9.44. Les modules du flux thermique radial total et de la contrainte
totale, croissent linéairement de la valeur 0 au centre de l'écoulement à <p P et T P à
la paroi, respectivement : les contributions turbulentes, faibles à la paroi, sont prépondérantes
dans le coeur de l'écoulement, l'inverse étant vrai pour les contributions
diffusives (conduction thermique et viscosité).
9. En régime thermique établi, fx T+ = O. Soit: -J;cf - Tp) = K 'i;(T 111 - Tp) = K ;x 'P:, = O. Ni TP, ni
T ne dépendent alors de r.
341

Chapitre 9 • Transferts turbulents
9.2.3 Structure de l'écoulement
Les structures des champs de vitesses et de température dans l'écoulement sont étudiées
dans ce paragraphe à partir des expressions de la contrainte totale et du flux
thermique radial total, obtenues dans les deux paragraphes précédents. Cependant un
usage universel est de considérer comme variable, non plus r mais la distance à la
paroi:
y= R - r. (9.45)
La raison de ce choix est que les phénomènes les plus importants se produisent dans
des couches pariétales du fluide extrêmement fines. En conséquence, le sens del' axe
radial est renversé, ô/ôr devient - ô/ôy, v' devient -v', la contrainte Tror(Y) est égale
à -Tror(r), mais la contrainte T P exercée par le fluide sur la paroi est toujours positive
(dans le sens de l'écoulement). Avec ces nouvelles conventions, l'équation 9.39
devient:
_ du - ( y) *1 ( Y )
Tr 0 r(Y) = +µ dy (y) - p u'u'(y) = T p 1 - R = pu 1 - R . (9.46)
Les flux thermiques sont maintenant comptés positivement dans le sens de y et
'Pp devient - <pp. L'équation du flux thermique radial total 9.44 devient, à la limite
ReD ~ oo:
<p, 0 ,(y) = -À~: (y) + pcpv'T'(y) = 'Pp ( 1 - ~) = pcpu*T * ( 1 - ~) (9.47)
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En régime turbulent établi dans un tube, deux types de zones sont définis par référence
- --
aux propriétés des contraintes turbulentes -u'v' et v'T' :
• des zones internes, voisines de la paroi, dans lesquelles les contributions diffusives
(visqueuse et conductive) ne sont pas totalement négligeables : dominantes à la
paroi, ces contributions deviennent cependant très faibles à l'autre limite d'une
zone interne.
• des zones externes, qui ne sont en pratique le siège que de contrainte et flux tur-
- --
bulents : -u' v' et u'T' ; ces zones qui sont géométriquement les plus importantes
constituent le cœur de l'écoulement turbulent.
La frontière entre zone interne et zone externe est floue ; ces zones se différencient
essentiellement par les échelles de longueur de référence adoptée pour les grandeurs
moyennées et turbulentes. On parlera de zone interne mécanique (Z.I.M.) et de zone
externe mécanique (Z.E.M.) si on fait référence à la contrainte turbulente u'v', de
zone interne thermique (Z.l.T.) et zone externe thermique (Z.E.T.) si on fait référence
à v'T'.
342

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
a) Contrainte et flux thermique totaux dans les zones externes
Comme les zones externes occupent la quasi totalité du tube, on prendra comme
échelle de longueur de référence le = R, et on posera :
+
/R - + -; * 1 1
Ye = y , u = u u , V + = V / u *, T 1 + = T 1 /T*, T + = u s:T/T* (9.48)
où ôT représente l'écart entre la température moyenne du fluide en un point et celle de
la paroi. La contrainte totale, donnée par l'équation 9.46, et le flux thermique radial
total, donné par l'équation 9.47 deviennent:
Trot _ ( V ) ôu+ i+ i+ _ l +
--- ---UV - -y
pu* 2 u*R ôy~ e
(9.49)
(9.50)
Comme en régime turbulent, les nombres de Reynolds et de Péclet:
ReR = u*R/v PeR = u*R/a (9.51)
sont grands devant 1, les équations 9.49 et 9.50 deviennent :
(9.52)
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b) Contrainte et flux thermique totaux dans les zones internes
Dans les zones internes mécanique et thermique, proches de la paroi, on prend les
mêmes échelles de référence que précédemment (équations 9.48), sauf dans le cas
des échelles de longueur. Dans l'expression de la contrainte 9.46, les contributions
visqueuse et turbulente sont supposées du même ordre de grandeur dans ces zones :
vu * d-+ u *2 + y
- - ~ -u 1 +v 1 + u avec : y - - (9.53)
l~ dy ~ i - F
l 1 l
où zr est la longueur de référence dans la zone interne mécanique. Celle-ci est alors
choisie égale à :
lm / * + * / R *
i = v u ~ Yi = u y v = ey (9.54)
L'expression 9 .46 de la contrainte totale devient, si y/ R « 1 :
'Trot du+
-- = - - ut+v 1 + ::::::: 1
pu*2 dy7
(9.55)
La zone mécanique interne est une zone caractérisée par une contrainte totale
constante.
343

Chapitre 9 • Transferts turbulents
Dans la zone interne thermique, proche de la paroi, on définit par une démarche
analogue à la précédente, qui ne sera pas détaillée, la longueur de référence l~h par:
l'1·h = a/u* ++ * / p *
~ Yi = u y a = ey. (9.56)
Le flux thermique radial total, donné par l'équation 9.47, devient :
dT +
(/)rot
--- = - -- + v 1 +T 1 + :::::: 1.
pcpu*T* dy7+
(9.57)
La zone thermique interne est une zone à flux constant.
c) Structure des zones internes
La comparaison des ordres de grandeur des effets diffusifs (effets de la viscosité et de
la conduction) et turbulents conduit à distinguer trois sous-couches dans chacune des
zones internes :
• Dans la partie de la zone interne qui est au voisinage immédiat de la paroi, les
contraintes turbulentes sont négligeables. L'observation montre qu'elles existent
néanmoins. On obtient d'après les équations 9.55 et 9.57 :
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d + = 1
Yi
dT+
d ++ = 1
Yi
- + +
u =Yi (9.58)
T + - ++ - -yi . (9.59)
Ces sous-couches, dominées par les effets visqueux et conductifs, sont les souscouche
visqueuse et sous-couche conductive, respectivement. Les valeurs limites,
de l'ordre de y7 = 5 et y7+ = 5, résultent d'observations expérimentales : elles
sont actuellement retrouvées par simulaion numérique directe.
• Dans la partie de la zone interne qui voisine la zone externe, les effets diffusifs sont
très petits devant les effets turbulents. Les équations 9.55 et 9.57 deviennent :
- Tr or --,-; *2
-- :::::: -u V ~ U (9.60)
p
<fJrot 'T' *T*
-:::::: v ::::::u
pep
(9.61)
Cette région de la zone interne diffère très peu de la région immédiatement voisine
de la zone externe. La distinction arbitraire entre ces régions repose sur les échelles
de longueur de référence différentes utilisées (voir le paragraphe précédent). Le
gradient de vitesse moyennée s'exprime de deux façons différentes dans la zone
344

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
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interne mécanique et dans la zone externe mécanique, à la frontière entre ces deux
zones:
du u* 2 du + u* du +
=---=---
(9.62)
dy V dyt R dy~
En multipliant les deux membres par y/u*, on obtient :
d-+ d-+ 1
+ u + u
Yi dyt = Ye dy~ kvK (9.63)
L'égalité entre deux fonctions de variables différentes implique qu'elles sont égales
à une constante kvk, inverse de la constante de Von Karmann. Ceci conduit, au
voisinage de la frontière entre les deux zones à un profil logarithmique des vitesses ;
soit, dans la zone interne :
u+ = kvk ln(yu* /v) + c. (9.64)
Les valeurs des constantes préconisées avec une bonne prec1s10n par Sclichting
[120], sur la base d'expériences de Nikuradze pour de l'eau, sur une plage
importante de nombre de Reynolds global Re 0 = umD/v allant de 3. 10 3 à 3.2410 6
sont : kvK = 0,40 et C = 5,5 (voir figure 9.8). Ces valeurs ont été retrouvées
pour des fluides usuels transparents par de nombreux expérimentateurs, ainsi que
par simulation numérique directe, avec une très bonne précision. Des valeurs différentes
sont données par Pimont [108] pour des métaux liquides, de faible nombre
de Prandtl.
Cette région de la zone interne mécanique où le profil des vitesses est logarithmique
est appelée sous-couche inertielle. Elle s'étend au delà de y7 = 30 jusqu'à
la frontière mal définie avec la zone externe mécanique; la valeur de cette frontière
généralement adoptée 10 est y/R = 0,1.
De la même façon, on introduit une sous-couche inertielle dans la zone interne
the1mique au voisinage de la zone externe, en identifiant les gradients moyens
de température dans les zones interne et externe respectivement. On obtient, par
analogie avec l'équation 9.64, un profil logarithmique de température tant dans la
zone externe au voisinage de la zone interne que dans la zone interne au voisinage
de la zone externe. Soit, dans le second cas :
T + = k 1 - J ln(yu* /a) + C'. (9.65)
Des valeurs récentes [69] sont: k' = 0,36, C' = 3,07 (constante rapportée à y7+),
pour des gaz : k' a une valeur voisine de la constante kvK de Von Karman. La
région de la zone interne caractérisée par un profil logarithmique de température,
sous-couches inertielle thermique, s'étend également de y7+ = 30 à la frontière
avec la zone externe the1mique, conventionnellement pris égale à y/R = 0, 1 (voir
la figure 9.9).
1 O. Dans le cas d'un canal de diamètre hydraulique D 11 , Rest remplacé par D1i/2.
345

Chapitre 9 • Transferts turbulents
15
5
v;+ = 2.5 ln(y+) + 5.5
\
+
lh
20
10
- +
T = 2.78 ln(y+) + 2.09
10
y+
100
10
y+
100
Figure 9.8 - Profils moyens de vitesse
dans un canal plan obtenus par simulation
numérique directe: o [75], line [ 160].
Figure 9.9- Profils moyens de
température dans un canal plan obtenus
par simulation numérique directe : o :
Pr=2, 1:;. : Pr=0,71, 1:::.: Pr=0,1, [74];
line [ 160]. Notons que ces courbes
rapportées à y+ et non à y++ dépendent
alors de Pr.
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• Au sein des zones internes mécanique et thermique, les sous couches comprises
entre les sous couches visqueuses et conductives et les sous couches ine1tielles
sont appelées sous-couches tampons, : y+ ou y""!"+ y varient entre 5 et 30. Ces
l
l
sous couches jouent un rôle essentiel : tant la production d'énergie cinétique turbulente
II que sa dissipations y sont maximales, au voisinage de y7 = 12 (voir la
figure 9.1). Il en va du même pour les termes de production et de dissipation des.
Van Driest [147] a grossièrement modélisé, dans la sous-couche mécanique tampon,
l'amortissement des fluctuations de vitesse dû à la paroi par un facteur exponentiel,
ce qui conduit à généraliser l'expression de la contrainte turbulente 9.60
dans cette zone. Un modèle plus récent fondé sur cette approche est présenté dans
le paragraphe 9.3.2 a. La production d'énergie cinétique turbulente II calculée par
ce modèle passe par un maximum pour y7 ~ 12, en accord avec des résultats
expérimentaux.
d) Structures des zones externes
Dans la zone externe, au voisinage de la zone interne, l'intégration de l'équation 9.63
et d'une équation similaire pour T + conduit également à des profils logarithmiques
des champs de vitesse et température :
(u - uo)/u* = kvk ln y; + D,
(9.66)
T + = ôT /T* = k 1 -
l ln y; + E
(9.67)
346

9.2. Écoulement turbulent au voisinage d'une paroi
Ces expressions sont appelées lois déficitaire des vitesses et températures puisque les
vitesse et température de référence, u 0 et T 0 , sont maintenant celles de l'écoulement
moyen sur l'axe de la conduite. Elles sont applicables à la plus grande partie du
tube, depuis la frontière des zones internes (conventionnellement y/R = 0, l)à environ
y/R = 0,3. Elles ne le sont évidemment pas au voisinage de l'axe, où vitesse et
température sont stationnaires. Le profil universel de Schlichting (Eq. 5.114) peut
être utilisé au coeur de l'écoulement.
La valeur de D , difficile à mesurer ou à déterminer par simulation numérique directe,
est faible de l'ordre de 0,5. Mais les grandes structures des champs de vitesse
et de température au coeur de l'écoulement sont assez bien déterminés par la plupart
des modèles, contrairement au cas des structures voisines de la paroi.
e) Exemple d'ordres de grandeur
Il est important de connaître des ordres de grandeur des échelles spatiales mises en
jeu dans un écoulement turbulent. Soit, par exemple un écoulement turbulent établi
d'air, stationnaire en moyenne, dans un tube de diamètre D, avec les données réalistes
suivantes : D = 0, lm; v 0 = 20 m/s; v = 210- 5 m 2 /s; Pr= 0,7.
On en déduit : Rev = vovD = 10 5 et à paitir de l'expression du coefficient de
frottement CFv, défini par l'équation 5.81 : CFv = 27 i = (u*) 2 = 0,046 Re- 0 • 2 , 0
la
pv 0
vo
valeur de la vitesse de frottement: u* = l ,36m/s. En conséquence:
• La sous couche visqueuse s'étend de 0 à 5 v/u* = 70 ~Lm de la paroi,
• La sous-couche conductive de 0 à 5 aju* = 100 ~Lm de celle-ci;
• La sous-couche tampon mécanique de 70 ~Lm à 30 v/u* = 420 µm de la paroi,
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• La sous-couche tampon thermique de 100 µm à 30 v/u* = 600 µm de celle-ci;
• La zone inertielle (logarithmique) mécanique interne de 420 ~Lm à 5 mm de la paroi,
• La zone inertielle (logarithmique) thermique interne de 600 ~tm à 5 mm de la paroi,
• La zone inertielle (logarithmique) mécanique externe de 5 mm à 15 mm de la paroi,
• La zone inertielle (logarithmique) the1mique externe de 5 mm à 15 mm de la paroi.
Comme les épaisseurs des sous couches sont très faibles, ces résultats ne sont valables
que pour des parois lisses, c'est à dire de rugosité faible par rapport à l'épaisseur
d'une sous couche. Rappelons que des corrections empiriques des coefficients
de frottement, des nombres de N usselt et, à partir de là, des coefficients de transfert
peuvent être réalisées à paitir des abaques de Nikuradze-Moody (voir le Complément
C.2).
347

Chapitre 9 • Transferts turbulents
9.2.4 Cas d'un fluide de masse volumique variable
Dés lors que le gradient de température est important au sein de la zone interne, les
variations de la masse volumique et de la viscosité avec la température ne peuvent
plus être négligées. Dans ces conditions, la moyenne de Favre [ 45] est généralement
substituée à celle de Reynolds dans les équations statistiques de bilan : voir le
paragraphe 9.1.2. Mais cette moyenne est peu adaptée à traiter les phénomènes de
diffusion, importants dans les sous couches visqueuse, conductive et tampons.
Une approche pragmatique, validée par simulation numérique directe, par exemple
par [1 60], consiste à modifier l'adimensionnement spatial [66], en posant au lieu
de y+ :
* P Ur(Y) Y
Yi = µ(y) Ur(Y) = ( p(~) (9.68)
T )1/2
et à utiliser un nombre de Prandtl turbulent ajusté sur des résultats de simulation
numérique [72] dans le cas d'un gaz (de nombre
r
de
[
Prandtl égal à 0,7):
ir Pr,(y) = ( 0,5882 + 0,228; - 0.0441 (; 1 - exp (-5, 165 :,) (9.69)
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9.2.5 Couplages avec le rayonnement
Si le fluide est semi-transparent et que le système présente une épaisseur optique
importante, un couplage important et réciproque des champs turbulents (de vitesses
et surtout de température) et des champs radiatifs (de luminance) peut se produire.
C 'est notamment le cas des applications de la combustion à pression élevée. La turbulence
affecte les champs radiatifs. Réciproquement, les transferts radiatifs modifient
profondément les bilans thermiques dans les différentes couches de la zone interne
the1mique. La structure des champs de température est fo1tement modifiée. Le profil
logarithmique de température est même susceptible de disparaître. CmTélativement,
le flux conductif à la paroi est aussi susceptible d' être profondément modifié sous
l' action de deux effets antagonistes :
• D 'une part, les transferts radiatifs gaz-gaz, qui représentent un transfert supplémentaire
par rappmt à la convection, tendent à homogénéiser plus encore le profil
de température moyen au coeur de l'écoulement. Dans ces conditions, le gradient
de température et par conséquent le flux conductif sont augmentés fortement à la
parm.
• D ' autre part, si les transferts radiatifs paroi-gaz sont importants, la paroi tend au
contraire à imposer sa température en son voisinage, donc à y diminuer le flux
conductif. La valeur de l' émissivité de paroi joue un rôle déterminant dans le poids
de cet effet.
348

9.3. Les différentes voies de modélisation
Suivant que l'un ou l'autre des phénomènes précédents l'emporte, le flux conductif
pariétal est susceptible d'être fo1tement augmenté ou diminué. Quand ils sont du
même ordre de grandeur, l'effet sur le flux conductif est faible, même si les flux
radiatifs sont importants.
Une analyse physique de ces phénomènes complexes, dont la prévision est délicate,
a été conduite par Zhang et al. [160] à pait.ir d' une simulation numérique directe
de la turbulence couplée à un calcul Monte-Carlo des transferts radiatifs. Des critères
quantitatifs définissant des conditions dans lesquelles la modification des champs
thermiques et du flux conductif pariétal sont importantes ont été établis. Un modèle
de simulation des grandes échelles de la turbulence a été couplé à une approche
Monte Carlo du rayonnement et à des modèles monodimensionnels de turbulence et
rayonnement au voisinage de la paroi, en vue d'application à des calculs d'ingéniérie
[161].
9.2.6 Structure d'un écoulement turbulent dans une autre
géométrie
Les résultats précédemment obtenus pour un tube de section circulaire sont applicables
au cas d' un canal de section.
Il suffit de remplacer dans le formalisme du paragraphe 9.2 le rayon R par le demidiamètre
hydraulique du canal D,J2 (voir par exemple les figures 9.8 et 9.9.
Dans le cas de l'écoulement le long d'une plaque plane, ou plus généralement le
long d'un profil quelconque (géométrie ouverte), la zone interne est caractérisée par
la même structure. La différence essentielle est que la longueur de référence pour la
zone externe est alors l'épaisseur statistique de la couche limite turbulente ô(x), au
lieu du rayon R du tube. Les profils universels des vitesses et températures ne sont
pas modifiés.
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9.3 LES DIFFÉRENTES VOIES DE MODÉLISATION
La modélisation de la turbulence est un sujet complexe, d' une importance cruciale
dans les applications industrielles. Les voies de modélisation exposées dans ce paragraphe
ne sont pas exhaustives.
Les méthodes, anciennes mais qui restent les plus utilisées actuellement, reposent
sur des Équations Statistiques de Bilan, en nombre plus ou moins important et écrites
en cascade. Ces équations sont finalement fermées par des lois de diffusion, postulées
arbitrairement. Ces méthodes, abordées dans le paragraphe 9.3.2, dont la plus
usitée est la méthode k-s, sont souvent appelées RANS en anglais (Reynolds Averaged
Navier Stokes equations). Leur limitation majeure est que la fe1meture par diffusion
postulée s'applique à toute la gamme des structures spatiales. Ces méthodes,
349

Chapitre 9 • Transferts turbulents
adaptées à des écoulement à dfrection principale, traitent généralement mal les problèmes
de recirculation, par exemple. De plus, comme les structures vosines de la
paroi ne peuvent être traitées correctement, ces méthodes doivent être complétées par
des « lois de paroi », qui reviennent à imposer en grande partie les expressions de la
contrainte et du flux thermique à la paroi.
La seule méthode qui permet de résoudre directement les structures turbulentes au
voisinage de la paroi, et donc de calculer ab initio le flux thermique et la contrainte
à la paroi, ce qui est l'objectif principal en transferts thermiques, est la Simulation
Numérique Directe (SND ou DNS en anglais). Mais cette méthode, évoquée dans le
paragraphe 9.3. l , reste actuellement confinée à des faibles valeurs des nombres de
Reynolds et des configurations géométriques simples. De plus elle repose souvent
sur des conditions aux limites simples, qui contraignent le problème à traiter. La
simulation numérique directe est cependant un important outil de simulation, par
exemple pour établir des lois de parois utilisables par les autres méthodes.
Une méthode actuellement en essor depuis vingt ans environ est la Simulation des
Grandes Échelles (SGE ou LES, Large Eddy Simulation,en Anglais), dont le principe
est donné dans le paragraphe 9.3.3. C'est en pratique une méthode hybride entre les
deux classes précédentes. La turbulence est traitée de façon instationnaire, comme en
simulation numérique directe, pour les grandes échelles spatiales jusqu'à une échelle
de coupure. Les structures spatiales plus petites que cette échelle de coupure sont
alors traitées par des méthodes similaires aux méthodes RANS. De cette façon, des
effets tels que les recirculations au sein d'un écoulement sont correctement traités.
Les fermetures sont également moins brutales, dans la mesure où elles portent sur
des échelles spatiales plus petites que dans les méthodes RANS.
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9.3.1 Simulation numérique directe de la turbulence
La simulation numérique directe de la turbulence est rigoureuse, dans la mesure où
l'ensemble des équations locales instationnaires de bilan masse, quantité de mouvement,
énergie, transport d'espèces 9.1 à 9.4 représentent complètement le poblème
physique 11 . Elle est cependant très fortement limitée par les performances des
moyens de calculs disponibles. Elle consiste à résoudre ces équations locales instationnaires
de bilan avec un ensemble complet de conditions aux limites, en traitant
correctement à la fois les échelles énergétiques et les échelles de dissipation. Ces dernières
nécessitent le recours à des maillages extrêmement raffinés, ce qui constitue la
limitation principale de la méthode.
11. Dans des gaz à températures élevées, il est parfois impératif de prendre en compte les couplages en
volume avec le champ de rayonnement : voir, par exemple, les références [ 160] (couplage simulation
numérique directe-Monte Carlo), [161) (couplage simulation des grandes échelles-Monte Carlo), ...
350

9.3. Les différentes voies de modélisation
Considérons l'exemple simple du paragraphe 9.2.3 e. Dans un tube de rayon
R = 0,05m, à un nombre de Reynolds Rev = 10 5 correspond un Re* défini par
l'équation 9.34 de 6800. Dans ces conditions, il faut saisir dans les couches limites
des structures correspondant au moins à y+ = 1, soit de l'ordre 15 µm, c'est-à-dire
de R/3000. Avec un maillage régulier, il faut environ 10 10 nœuds en théorie pour
résoudre complètement toutes les structures pour un système tridimensionnel. En
pratique, un maillage à pas variable est utilisé, dense au voisinage de la paroi où les
structures dissipatives jouent un rôle clé, beaucoup plus relâché au coeur de l'écoulement.
Dans les faits, la méthode est généralement limitée à des nombres de Reynolds
ReD de l'ordre de quelques 10 4 .
Remarquons que l'analyse précédente ne s'applique qu'à des parois très lisses,
c'est-à-dire de rugosité plus petite que 15 ~lm, ce qui correspond en pratique à des
parois métalliques d'usinage avancé. Pour une paroi rugueuse, une correction empirique
est, rappelons le, assurée à paitir du diagramme de Moody-Nikuradze (voir le
Complément C.2).
Les méthodes de simulation numérique directe sont de plus, à ce jour, limitées
en pratique par la nécessité de recourir à la fois à des configurations géométriques
simples, des conditions aux limites simples et un régime généralement établi :
• Les géométries traitées sont typiquement bidimensionnelles ; le cas d'un écoulement
entre plans parallèles est le plus fréquent. Notons que le traitement de la
turbulence est, au contraire, toujours tridimensionnel.
• Une hypothèse de stationnarité en moyenne de l'écoulement est le plus souvent
faite. Les résultats conduisent néanmoins à un volume gigantesque d'informations
instationnaires, qu'il faut ensuite analyser.
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• Très souvent, pour limiter les volume des calculs, une hypothèse de périodicité
instationnaire de l'écoulement est faite. Dans le cas d'un écoulement suivant Ox,
à travers un canal plan compris ente x = 0 et x = L , les champs en (0,y, z, t)
sont alors pris égaux à ceux en (L, y,z,t). Ces champs de vitesse et de température
sont alors invariants en moyenne d'ensemble d' une section droite x à l'autre. Un
force volumique, terme source artificiel, doit être ajoutée à l'équation de bilan
de quantité de mouvement pour compenser la dissipation visqueuse. En cas de
conditions aux limites thermiques identique sur les deux parois, une puissance
volumique artificielle doit aussi être ajoutée pour conserver globalement l'énergie.
En conclusion, la simulation numérique directe est un outil essentiel de recherche, qui
n'est pas adapté aux calculs d'ingéniérie. En effet, l'effort numérique, qui est considérable,
porte essentiellement sur les structures dissipatives, et très peu sur les grandes
structures et les structures intermédiaires. De ce fait, l'emploi des méthodes de simulation
numérique directe est de tester des hypothèses, valider des modèles ou définir
351

Chapitre 9 • Transferts turbulents
des lois de paroi dans des conditions particulières, plutôt que de réaliser des simulations
complètes sur des systèmes tridimensionnels réels. À titre d'exemple, pa1mi de
nombreuses publications, on citera les travaux de Zhang et al. qui permettent d'accéder
aux lois de couplages entre transferts conductif, convectif et radiatif au voisinage
des parois dans le cas de gaz, issus d' une combustion par exemple [160, 161]. Ces résultats
sont alors utilisés, par exemple, dans des méthodes de simulation des grandes
échelles (SGE ou LES, en Anglais), qui sont aujourd'hui les méthodes d'ingénierie
les plus avancées (voir le paragraphe 9.3.3). On trouvera aussi des informations
sur la simulation numérique directe de la turbulence dans les références [75, 74], par
exemple, et dans le cas d' un modèle de combustion avancée dans la référence [119].
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9.3.2 Méthodes fondées sur des équations statistiques
de bilan et la diffusion turbulente
L'hypothèse heuristique de diffusion turbulente repose sur l'exploitation, non fondée
physiquement, d' une analogie avec la d~ffusion d'origine moléculaire, discutée
dans le paragraphe 9.1.2. Cette hypothèse est exploitée dans la plupart des modèles
de transferts turbulents, utilisés en ingéniérie. Elle ne tient aucun compte de la complexité
des stmctures de la cascade énergétique. La notion de diffusivité turbulente
peut être appliquée à toute quantité moyennée transportée : vi, T , Cs, k, E, mais aussi
dans des modèles plus évolués v~v'., v~T' , v~Tc ~ ... L'ensemble des ces méthodes sont
l J l l
appelées « Reynolds-Averaged Navier Stokes equations models » (RANS) dans la
bibliographie anglo saxonne.
Les modèles les plus simples et les plus courants reposent sur une fermeture des
équations statistiques de bilan de quantité de mouvement et d'énergie ou de concentration
d'espèce (paragraphe 9.1.2), en introduisant des viscosité, conductivité et diffusivité
d'espèce turbulentes; ces dernières quantités sont simplement ajoutées aux
quantités homologues d'origine moléculaire. Le modèle le plus représentatif de cette
famille est le modèle k - s , qui repose également sur 1' introduction d'équations de
bilan supplémentaires de k et s ; de ke et se, kx et sx pour le transport d'énergie et
d'espèce.
Des modèles plus avancés consistent à introduire de plus des équations statistiques
de bilan des composantes du tenseur de Reynolds -pv;vj et du vecteur associé au
-- - -
transport turbulent d'enthalpie pcpv;T' et/ou de concentration d'espèce v ; c~ (paragraphe
pl 1.2.2). Ces nouvelles équations sont elles mêmes fermées en introduisant
les viscosité, conductivité et diffusivité d'espèce turbulentes.
352
a) Notion heuristique de diffusion turbulente
Soit un écoulement caractérisé par une vitesse moyenne ïi suivant Ox ne dépendant
que de la dimension transverse y. Un paquet de matière, transporté par turbulence de

9.3. Les différentes voies de modélisation
l'ordonnée y où la vitesse moyenne de l'écoulement est u(y) à l'ordonnée y+ dy où
elle est u(y + dy ), est susceptible d'être caractérisé par une fi uctuation de vitesse u'
de l'ordre de lu(y + dy)- u(y)I. Si on considère que sur une longueur finie lm, appelée
longueur de mélange mécanique, un tourbillon conserve son identité du point de vue
de la vitesse, il vient :
I dU
lu 1 ex: lmdy
(9.70)
Comme lu'I et lv'I sont du même ordre de grandeur et que - u'v' est de l'ordre de
#i #z (voir figure 9.6), il est naturel de poser:
d- 2
-u'u' ex: z2 (_!!:_)
m dy .
(9.71)
Cette relation permet d'introduire un phénomène de diffusion turbulente, caractérisée
par les deux viscosité turbulentes µt et vr :
du
- pu'v' = µt- dy
(9.72)
Vr = µrfp.
Il reste alors évidemment à exprimer lm.
Par un raisonnement analogue, on pose :
dT
I
IT 1 tx l1h dy. (9.73)
où lrh est une longueur de mélange thermique, longueur sur laquelle un tourbillon
conserve son identité thermique, à priori différente de lm; on déduit de cette relation,
puisque v'T' est de l'ordre de grandeur de (v' 2 T' 2 ) 1 1 2 soit de lv'llT'I, l'expression :
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m dy dy.
Des conductivité et diffusivité the1miques turbulentes sont introduites par :
Le nombre de Prandtl turbulent, défini par:
(9.74)
(9.75)
(9.76)
apparaît, dans ce modèle, comme le rapport des longueurs de mélange mécanique et
thermique. De façon similaire la diffusivité d'espèce turbulente Dsr est définie par:
-V des
St dy
(9.77)
353

Chapitre 9 • Transferts turbulents
et un nombre de Schmidt turbulent Scs 1 , ainsi qu'un nombre de Lewis turbulent Les 1 ,
par:
(9.78)
Dans toutes les approches considérées dans ce paragraphe, les termes -pv;vj, v; c~
et pcpv;T' sont alors exprimés grâce à des diffusivités turbulentes, fondées sur une
analogie avec les phénomènes de diffusion moléculaire :
- (avi av1) - aT
- v' v'. = v, -;--- + -;- ; v~T' = - a 1 -;- ;
t ) U Xj U X i
1
U Xi
V~.c's = rr.
OCs
• - L/ st ~·
U Xi
(9.79)
Dans cette approche, les équations statistiques de bilan sont alors les mêmes que dans
un régime laminaire, dans lequel seraient utilisées des diffusivités effectives :
(9.80)
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Mais, les quantités turbulentes Vt, a, et D sr dépendent fortement de champs macroscopiques
liés à l'écoulement et ne sont pas des propriétés intrinsèques du fluide.
Ces modèles fondés sur des diffusivités turbulentes sont donc totalement empiriques
et ne peuvent être, paitiellement, justifiés que par l'expérience. Leurs limitations
appai·aissent clairement à partir de l'argument simple qui suit.
Les diffusivités moléculaires (v, a et D s) n'ont de sens physique que pour des
milieux dilués , au sens de la théorie du transport moléculaire (voir paragraphe 10.3.1
e) ; c'est-à-dire quand le libre parcours moyen des molécules lpm est très petit devant
la plus petite échelle spatiale utilisée dans le milieu continu, le pas ds du maillage
dans notre cas : (Kn = Ld:i < < l). Hors, l'équivalent du libre parcours moyen dans
un écoulement turbulent est la taille typique des grands tourbillons, la dimension
transverse d' un canal, par exemple. Celle-ci n'est jamais petite devant la plus petite
structure spatiale du milieu continu, la taille de la maille élémentaire ds d'un schéma
numérique.
Sur un plan historique, les premiers développements fructueux de la physique statistique,
attachés au nom de Boltzmann, et les premiers balbutiements de la turbulence,
attachés à celui de Reynolds ont été menés parallèlement. Ma is aucune théorie
convaincante de la turbulence, comparable à celle de la physique statistique, n'a été
établie à ce jour. La notion de diffusivité turbulente est une transposition heuristique
au changement d'échelle entre milieu continu et échelles des tourbillons des fermetures
rigoureuses associées au changement d'échelle d'un ensemble de molécules à
un milieu continu.
Finalement, dans les modèles considérés, il reste à exprimer les diffusivités turbulentes
v 1 = µtfp, a, = Atf(pcp) ou D sr qui apparaissent dans les fermetures des
équations statistiques de bilan 9.8 à 9.11. Ces diffusivités ne sont pas, rappelons le,
354

9.3. Les différentes voies de modélisation
des propriétés du fluide mais dépendent fortement des propriétés de l'écoulement.
Différentes méthodes sont utilisées pour ce faire, dites à 0, 1, 2, 4 ou N équations
supplémentaires.
b) Modèle reposant sur des longueurs de mélange (0 équation
supplémentaire)
> Dans les sous-couches inertielles (ou logarithmiques) des zones internes
d'un écoulement (voir le paragraphe 9.2.3 c), il vient en dérivant les équations 9.64
et 9.65 :
du u* dT T *
= =
(9.81)
dy kv K y ' dy k' y .
D 'autre part, les équations 9.60, 9.71, 9.72 et 9.61, 9.75 conduisent à:
V du = z2 (du)2 = u*2
'dy m dy
A paitir des équations 9.81 et 9.82, on obtient alors :
(9.82)
(9.83)
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qui sont appelées respectivement longueurs de mélange de Prandtl mécanique et thermique,
valables dans les sous-couches inertielles (zones logarithmiques).
> Dans les sous-couches tampons, des fonctions d'amortissement de Van
Driest [147] et Cebeci [23] sont respectivement appliquées aux longueurs de mélange
précédentes :
(9.84)
(9.85)
Les modèles originaux de Van Driest et Cebeci reposant sur ces fonctions d' amortissement
introduisaient des dépendances spatiales incorrectes des contraintes et flux
turbulent au voisinage des parois. Ils ont été corrigés à partir de résultats concordants
de simulation numérique directe. Une expression pragmatique de la viscosité
cinématique turbulente a alors été établie [17, 16] :
v, = kvKY [l - exp(-y7 /A +)] 2 u* (9.86)
Deux expressions pragmatiques du nombre de Prandtl turbulent, obtenues par ajustement
sur des données expérimentales [72], permettent de calculer les diffusivité et
355

Chapitre 9 • Transferts turbulents
conductivité the1miques turbulentes :
Pr,=::= {o,5882 + 0,228(:) -0,441(:f [1-exp(-5,565:,)Jr
(9.87)
v, µ
Pr, = - = 0,85 + 2,0--.
a 1
µ, Pr
(9.88)
La première est la plus précise pour des gaz [161] ; la seconde permet de traiter
d'autres fluides également.
Le modèle de longueurs de mélange, qui repose sur un formalisme simple et pragmatique,
est couramment utilisé pour représenter, le plus souvent avec succès, les
champs moyens au sein des zones internes dans les modèles numériques approchés
de turbulence, en particulier en simulation des grandes échelles (voir le paragraphe
9.3.3). Il est d' autre pait peu adapté à la modélisation des phénomènes intervenant
dans la zone externe (dans laquelle on adopte souvent, faute de mieux, les
valeurs des longueurs de mélange obtenues à la frontière avec la zone interne, soit
kvKR/lO et k' R/10). Mais ces zones sont traitées directement dans les modèles numériques
approchés précédents.
La diffusivité turbulente d'espèces se calcule en posant le plus souvent, pour des
gaz par exemple :
Set = vtf 'Dst ,...., 1 ou Le, = atf 'Dst ,...., 1, (9.89)
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où Sc, et Le, sont les nombres de Schmidt et Lewis turbulents. L'avantage principal
de ce modèle est sa simplicité.
c) Modèle de Prandtl-Kolmogorov (1 équation supplémentaire)
Dans cette approche, µ, s'exprime en fonction de la valeur locale de k, énergie cinétique
turbulente, et d'une longueur de référence. De simples considérations dimensionnelles
conduisent à poser :
µ, = pkl/2 t. (9.90)
La différence essentielle avec le modèle précédent est que k est calculé en tout point
du maillage comme solution de l'équation statistique de bilan 9.15 dont les termes
faisant intervenir des moments corrélés sont fermés comme suit (voir une démons-
356

9.3. Les différentes voies de modélisation
tration dans la référence [135], par exemple) :
ok - ok
+pu·-
P or
1 OXj
~
'---v--'
instationnaire convection
_ ~ [(µ + µt )~] + µ (oui + OUJ) oui _
pê
- ox. O"k ox. f ox. ox· ox. '---- _,,
J J J l J -v--
diffusion
où on a aussi posé, à paitir d'une analyse dimensionnelle :
production
dissipation
(9.91)
c pk 2
ê= _µ __
µt
(9.92)
On adopte généralement, de façon empirique à partir de considérations expérimentales,
les valeurs : O"k = 1 ; cµ = 0,09. La longueur de référence lest généralement la
longueur de mélange mécanique lm; ar est déduit de Vt à partir d'une expression du
nombre de Prandtl turbulent, D st de Vt par l'équation 9.89 pour un gaz.
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d) Modèle k - t: (2 équations supplémentaires et N équations
supplémentaires)
µ 1 s'exprime empiriquement dans ce modèle en fonction de k et s par l'équation 9.92 ;
soit:
Cµpk 2
(9.93)
Une deuxième équation statistique de bilan supplémentaire permet de calculer sen
tout point du maillage et s'ajoute à l'équation 9.91. Soit après fermeture des termes
contenant des moments corrélés [135] :
+ PUJ- =- µ+- - +Cie-µ, - + - - -pcies/k
OXj OXj 0-e OXj k OXj OXi OXj '-v---'
. ~ . ~ dissipation
mstat10nmure convection diffusion production
(9.94)
On adopte généralement les coefficients empiriques : a-e = 1, 3 ; c le = 1,4 ; c2e = 1, 92
et on utilise comme précédemment un nombre de Prandtl turbulent pour exprimer Àr
et Ser pour exprimer D sr· Les champs moyens ui, T, k et s sont donc obtenus par la
résolution de cinq équations statistiques de bilan en tout point du maillage.
Dans sa formulation classique, la méthode k - s pose de très sérieux problèmes
de convergence au voisinage de la paroi. Cette approche globale de la turbulence
ne permet pas de cerner les petites structures qui y sont présentes. (C'est en effet la
zone où la production et la dissipation de turbulence sont maximales : voir le paragraphe
9.3.2 b). De plus, la discrétisation spatiale d'un calcul k - s est généralement
ê
_ os o [( µt ) os l s [ ( oui ou J) oui l 2
357

Chapitre 9 • Transferts turbulents
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insuffisante dans cette zone. Des « lois de paroi » sont alors utilisées pour clore le
calcul à une paroi. Différentes voies sont envisagées.
• La méthode la plus courante en ingéniérie consiste à utiliser dans les sous-couches
inertielles des zone internes de l'écoulement les profils universels logarithmiques
de vitesses et températures introduits dans le paragraphe 9.3.2 b. Par exemple, on
impose aux vitesses, v 1 et v 2 et aux températures T 1 et T 2 des deux premiers points
y 1 et y 2 du maillage numérique de vérifier ces lois. On en déduit grossièrement
d' une pait la vitesse de frottement à la paroi u*, donc le coeffi cient de frottement,
et d'autre part une relation entre la température de paroi et le flux conductif à
celle-ci.
• Des méthode, comme celle développée notamment par Lam et Bremhorst [79],
consistent au sein d'un modèle k - E utilisé dans tout le fluide à introduire des
fonctions d'amortissement de façon à essayer de prendre en compte l'anisotropie
de la turbulence au voisinage des parois. Cette technique permet de faire converger
le code de calcul, même au voisinage de la paroi, au prix d'un raffinement extrême
du maillage. Une étude assez détaillée de ces modèles a été réalisée par Patel, Rodi
et Scheuerer [103]. Ces modèles s'appellent souvent modèles à bas Reynolds.
Les fonctions d'amortissement notées fµ , f 1 et h portent respectivement sur cµ (dans
l'expression de µ 1 et l'équation de transport de k) et c 18 , c 28 (dans l'équation de
transp01t des). Les expressions adoptées par Lam et Bremhorst [79], par exemple,
sont: ( 20 5)
fµ = [ 1 - exp(0,00165 Rey) 2 ] 1 + R~r , (9.95)
avec:
/1 = 1 + (O~Sr fi = 1 - exp(- Re}). (9.96)
kl/2 y klf2(k3/2 j E) k2
Re = -- Rer = =
y V V V E
(9.97)
où k 3 1 2 js est l'échelle énergétique de longueur le introduite dans le paragraphe 9.1.3a.
La parenté est évidente entre la fonction d'amortissement qui apparaît dans fµ et celle
du modèle de Van Driest.
On peut aussi écrire des équations statistiques de bilan pour B = T' 2 et sa dissipation
Ee [100] pour X = c?, etc.
Les méthodes RANS, de type k - E, et leurs innombrables variantes, sont les méthodes
couramment utilisées pour les applications industrielles, compte tenu de leur
facilité relative d'emploi comparées aux méthodes de simulation des grandes échelles
ou de transport des moments d'ordres élevés. Leurs limitations physiques sont cependant
nombreuses. Le traitement de la dissipation de turbulence sur la seule base de
l'équation de transport de E est très imparfait. Les méthodes de type k - E sont inadaptées
au traitement :
• de couches limites soumises à des gradients de pression importants,
358

9.3. Les différentes voies de modélisation
• de l'expansion de jets,
• de recirculation, impact ou d'écoulement fortement tridimensionnels,
• etc.
e) Méthodes de transport de moments d'ordres élevés
Ces méthodes s'appuient sur les équations statistiques de bilan de masse, quantité
de mouvement, énergie ou/et de transport d'espèces 9.8 à 9.11 , auxquelles viennent
s'ajouter les équations statistiques de bilan des composantes du tenseur turbulent de
Reynolds -pv;vj et les termes de transport turbulent de l'enthalpie pcpv;T 1 , ou/et des
concentrations d'espèces v;c~, qui apparaissent dans l'ensemble des équations précédentes.
Chaque nouvelle équation de ce type comprend comme les autres équations
statistiques de bilan un terme instationnaire, et des termes de convection, de diffusion,
de production et de dissipation de la quantité transportée (voir par exemple la
référence [109]. Des termes d'ordre supérieur, tels que p v;vjv~, ou p Cp v;T' v~, apparaissent
alors. Il est possible de les exprimer par de nouvelles équations statistiques
de bilan. L'ensemble des équations statistiques de bilan retenues doivent alors être
fermées, par des méthodes qui généralement s'apparentent aux méthodes de fermeture
d'un modèle k - ê. L'idée sous-jacente à ces modèles est que plus la fermeture
est réalisée à un ordre élevé, moins est important l'impact de son caractère grossier
sur les champs moyens des premières équations statistiques de bilan.
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9.3.3 Simulation des grandes échelles de la turbulence
La méthode de simulation des grandes échelles de la turbulence (SGE, ou LES en
anglais : Large Eddy Scale ), en plein essor, repose sur une adaptation des calculs
aux moyens disponibles. L'idée est de traiter par simulation numérique directe le
plus grand nombre possible de structures, c'est-à-dire les structures énergétiques et
certaines structures inte1médiaires, et de traiter les autres structures, en paiticulier
les structures dissipatives, par une méthode reposant, en général, sur une diffusion
turbulente (paragraphe 9.3.2 a). On peut raisonner:
> soit dans /'espace physique : la résolution spatiale du calcul direct cmTespond
à la taille a des mailles retenues ;
> soit dans /'espace des nombres d'onde K : les échelles spectrales sont
prises en compte jusqu'à une fréquence de coupure Kc de l'ordre de 1/a . Cette valeur
Kc peut être reportée sur la figure 9.3 représentant E(K) et D(K), ce qui fait apparaître
plus clairement quelles échelles de tourbillons sont correctement prises en compte
par la simulation directe et quelles échelles de tourbillons relèvent de méthodes de
fermeture empiriques (K > Kc).
359

Chapitre 9 • Transferts turbulents
D'un point de vue mathématique, en approche spatiale, on considère une fonction
filtre, par exemple G(lxi - x;I) telle que G = 1 pour lxi - x;I < ~ et G = 0 pour
lxi - x;I > ~ et on applique à toutes les équations de bilan cette fonction filtre, ce
qui revient à dégrader par convolution par la fonction filtre la résolution spatiale de
ces équations comme le fait d'ailleurs un maillage numérique. Considérons, à titre
d'exemple, l'équation de Navier-Stokes filtrée :
ÔVjF Ô - F ÔpF Ô2UF
p-- + -(pViUj ) = - -- + µ---
Ôt ÔXj ÔXj ÔXjÔXj
(9.98)
La difficulté essentielle repose sur l'expression p uiv 1
F . On pose alors, comme dans
la décomposition de Reynolds :
(9.99)
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Le premier terme du second membre de l'équation 9. 99 s'exprime directement à
partir des composantes filtrées de la vitesse et reste au premier membre de l' équation
9.98. Le deuxième terme doit être modélisé: c'est le point faible de la méthode.
Les lois de fermeture utilisées pour modéliser ce terme sont très diverses et s'inspirent
évidemment des méthodes du paragraphe 9.3.2 b.
Notons qu'à la limüe où la largeur~ de la fonction filtre (le pas du maillage) résoud
les structures dissipatives, la méthode de simulation des grandes échelles converge
vers une simulation numérique directe.
Un avantage de la méthode de simulation des grandes échelles est que les échelles
à modéliser sont beaucoup plus locales que dans la méthode k - E : une fermeture non
rigoureuse par diffusion est moins choquante que dans la méthode k - ê. Néanmoins,
les termes de transfe1t d'énergie entre les différentes échelles ne sont pas modélisés
dans cette fermeture empirique.
On trouvera une approche détaillée de la simulation des grandes échelles dans
l'ouvrage de Sagaut [117].
360

BASES PHYSIQUES
DES TRANSFERTS
THERMIQUES
10
Notions clés
Notions clés : fonction de distribution, vitesse (hydrodynamique) d'un fluide, vitesse
de diffusion, flux de diffusion, luminance, flux radiatif, pression, tenseur
des pressions, ETL, nombre de Knudsen, conductivité thermique, viscosité, diffusivité
thermique.
L'objectif de ce chapitre est d'introduire les bases et les limites de la physique des
milieux continus sous l'angle des sciences de transfert, en particulier des transferts
the1miques, c'est-à-dire :
• introduire physiquement les notions de vitesse macroscopique et pression d'un
fluide, et de luminance du champ de rayonnement;
• introduire, sur des bases physiques claires, le modèle, pratiquement universel en
mécanique des fluides, transferts thermiques et génie des procédés, de l' Équilibre
Thermodynamique Local (ETL) pour le système matériel et ses limites. C'est au
voisinage de L'ETL seulement que les expressions usuelles des flux de diffusion
(lois de Fourier, de Fick, contraintes visqueuses newtoniennes, ... ) peuvent être introduites.
L'ETL s'oppose à l' Équilibre Thermodynamique Parfait (ETP) d'un système,
qui n'est alors soumis à aucun flux.
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• aborder les méthodes de calcul des flux de diffusion (flux de masse d'une espèce,
flux conductif, tenseur des pressions, ... ) et du flux radiatif et introduire les grandeurs
physiques correspondantes (diffusivité, viscosité, conductivité, ... ).
• introduire la nanothermique, branche de ce qu'il est convenu d'appeler les nanosciences.
Il s'agit plus précisément de milieux de natures très diverses, à des échelles
non nécessairement nanométriques, pour lesquels les conditions de l'ETL ne sont
pas réalisées et les lois des milieux continus ne s'appliquent plus. Divers modèles
de Non Équilibre doivent alors être développés.
• Mener un parallèle entre la modélisation des tramferts radiatifs, c'est-à-dire du
champ de photons, et celle des tramferts diffusifs d'origine moléculaire, en fonction
des types de milieu rencontrés et de leurs états (équilibre, ETL, non équilibre).
En effet, de nombreux modèles de nanothermique reposent sur des modèles de non
équilibre, précédemment appliqués au rayonnement thermique.
361

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
Le chapitre est focalisé sur la compréhension des modèles physiques et la démarche
globale suivie. De ce fait, des développements mathématiques complexes
associés à ces modèles ont été éludés ; le lecteur ne trouvera pas toutes les démonstrations
mais des références à celles-ci pour un approfondissement éventuel.
l 0.1
FONCTION DE DISTRIBUTION DES VITESSES,
LUMINANCE, FLUX
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Ce paragraphe est consacré à deux changements d'échelle :
• de l'échelle des particules d'un fluide à celle d'un milieu matériel continu, caractérisé
par des fonctions de distribution des vitesses des différentes espèces du
fluide. Cette approche sera dans un souci de simplification limitée à des particules
animées du seul mouvement de translation (atomes, par exemple) mais peut être
généralisée à des molécules polyatomiques dotées de degrés de rotation, de vibration
et de degrés internes ;
• de l'échelle d'une assemblée de photons à celle d'un milieu continu caractérisé par
le champ de luminance.
Les grandeurs clés qui caractérisent un système matériel et le champ de rayonnement
associé, les fonctions de distribution des vitesses et la luminance, sont introduites
dans ce paragraphe de façon parallèle.
Tant les molécules que les photons seront supposés vérifier les conditions de l 'approximation
classique. Cette condition c01Tespond à la limite des grands nombres
quantiques : la longueur d'onde de de Broglie associée à une particule ;i 08 , définie
par la relation : À.os = ~ où p est la quantité de mouvement de la particule et hp
la constante de Planck, est petite devant les dimensions caractéristiques de l'enceinte
L : À.vs << L. L'approximation classique permet de représenter l'état, dit classique,
d'une particule de l'espèce s dans un dans un micro-espace de phases à 6 dimensions1,
construit à partir des coordonnées x,y,z du vecteur position r de cette particule
et de celles Psx1Psy1Psz de son vecteur quantité de mouvement Ps, ou ce qui
est équivalent pour les molécules d'une espèce s à paitir des coordonnées x,y,z du
vecteur position r et de celles Vsx i V syi V sz de son vecteur vitesse Vs·
Mais le comportement statistique des molécules constituant un fluide et celui des
photons diffèrent à l'équilibre thermodynamique parfait (voir par exemple [39, 112].
Les photons suivent toujours la statistique quantique des bosons en nombre indéter-
1. En physique statistique, l'état de l'ensemble des Ns particules s est caractérisé par un point dans un
grand espace de phase à 3Ns dimensions; le passage de cette approche générale à l'approche simplifiée
décrite ici, appelé hiérarchie BBGKY (associée aux noms de Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood et
Yvon) est donnée par exemple dans la référence [39).
362

l 0.1. Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux
miné, tandis que les molécules seront ici considérées à la limite classique des statistiques
quantiques : la statistique semi classique de Maxwell-Boltzmann leur est
applicable.
La connaissance des fonctions de distribution des vitesses permet de calculer les
flux de diffusion au sein du milieu matériel supposé continu (flux de masse d' une
espèce, flux conductifs électrique et the1mique, tenseur des pressions, ... ) ; celle du
champ de luminance permet de calculer le vecteur flux radiatif en tout point.
10.1.1 Fonctions de distribution des vitesses
Soit une assemblée a priori hors équilibre constituée de N particules de S espèces s,
de masses et de nombres respectifs ms et Ns. Pour simplifier l'étude, ces particules
sont supposées animées uniquement de mouvements de translation (cas d'atomes,
par exemple). L'état physique d' une particule de l'espèce s est défini dans le microespace
de phases à 6 dimensions par : x,y,z, Vsxi Vsy' Vsz· L'état de l'ensemble des
particules de l'espèce s est alors statistiquement caractérisé par une fonction de distribution
des vitesses fs(r, Vs, t), telle que j~d 3 rd 3 Vs représente le nombre de particules
s présentes à l'instant t, dans l'élément de volume à six dimensions 2 d 3 rd 3 Vs.
Le nombre ns de particules par unité de volume de l'espèce s et le nombre total de
particules par unité de volume n, en r à l'instant t, vérifient dans ces conditions 3 :
s
n(r,t) = I ns. (10.1)
Plus généralement, la valeur moyenne d' une grandeur quelconque P s(r,t) liée aux
particules s a pour expression, au point r :
s=l
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ns(r,t) Ps(r,t) ~ J Ps f~(r ,Vs,t)d 3 Vs (10.2)
Pour que la moyenne Ps(r,t) ait un sens, l'élément de volume généralisé d 3 rd 3 Vs
doit être macroscopiquement petit, c'est-à-dire:
• suffisamment grand pour que le nombre total de particules s contenues soit très
élevé et obtenir un comp01tement statistique valide;
• suffisamment petit pour que l'état d'une paiticule soit caractérisé (au sens macroscopique
du milieu continu 4 ) par r et Vs.
2. La notation d 3 r représente J' élément de volume physique, indépendamment du système de coordonnées
choisi, par exemple dxdydz; d 3 Vs l'élément correspondant de J'espace des vitesses dVsxdVsydVsz·
3. Dans l'équation 10. l et celles qui suivent, la sommation est réalisée sur toutes les valeurs possibles
de Vs, c'est-à-dire que Vw Vsy et Vsz varient indépendamment de -oo à +oo.
4. Il s'agit d'état au sens de la mécanique des milieux continus; de très nombreuses particules occupent
cet état. Inversement, si on considère un état quantique p d'une particule, indiscernable par nature, il
363

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
10.1.2 Vitesses et énergies macroscopiques
• La vitesse moyenne instantanée Vs(r,t) des particules s dans l'élément de volume
d 3 r centré en r , est définie par :
(10.3)
ou, en introduisant la concentration massique 5 cs(r,t) :
(10.4)
• La vitesse hydrodynamique du fluide v(r,t), couramment appelée vitesse en mécanique
des fluides et transferts thermiques, est définie, dans l'élément de volume
d 3 r centré en r , par :
p(r,t)v(r,t) = (t, c,(r,t)) v(r,t) = t, cs(r,t)V s(r,t), (10.5)
où p(r,t) est la masse volumique du fluide. On introduit alors la vitesse relative
d' une particule quelconque s :
C s ~ Vs - v(r,t), (10.6)
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vitesse de cette paiticule dans un référentiel entraîné, au point r , à la vitesse hydrodynamique.
• La vitesse de diffusion vp(r,t) de l'ensemble des particules de l'espèce s est définie
par:
D ,.. - -
V 5
(r,t) = Cs(r,t) = Vs(r,t) - v(r,t). (10.7)
Elle caractérise le mouvement du centre de masse de l'ensemble des molécules
de l'espèce s, présentes dans un élément de volume en r , par rapport au centre de
masse de l'ensemble de toutes les molécules, c'est-à-dire le phénomène de diffusion
d 'espèce.
convient de se rappeler que dans les conditions de la limite classique, admises ici, la fréquence moyenne
d'occupation de cet état NP est voisine de zéro, c'est-à-di re que l'état est en général inoccupé et quelquefois
occupé par une particule. Entre l'état moléculaire et l'état macroscopique classique, il y a changement
d' échelle, passage de l'échelle moléculaire à celle du milieu continu, qui est l'échelle de la
fonction de distribution.
5. La notation Ps est traditionnellement réservée à la masse volumique de l'espèce s pure dans les
mêmes conditions thermodynamiques (T, p, . .. ).
364

l 0.1. Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux
• L'énergie interne volumique dufluide E(r,t) (limitée ici aux seuls degrés de translation)
est définie par :
- "'\"' J
s c2
ms s
E(r,t) = LJ - - fs(r,Vs,t)d
3
Vs
2
s=l
s -2
= 2: cs(r,t)C./r,t).
2
s=l
(10.8)
• L'énergie totale volumique du fluide EM(r,t) est alors :
-E ( ) ~ f, J ms[Cs + v(r,t)] 2 f ( V )d3 _ -( ) p(r,t)v 2 (r,t)
M r,t - LJ s r, s 1 t Vs - E r,t + .
s=l 2 2
(10.9)
C'est la somme de l'énergie interne et de l'énergie cinétique du fluide liée au mouvement
macroscopique ; son expression est obtenue en remarquant à partir des
équations 10.4 à 10.7 que:
s
= Icsv~ = 0, (10.10)
s= l
ce qui constitue une propriété essentielle des vitesses de diffusion des différentes
espèces.
10.1.3 Flux de diffusion
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L'objectif de ce paragraphe est d'introduire la notion de flux de diffusion d'une grandeur
au sein d'une assemblée de particules, a priori hors d'équilibre. Ce flux est
associé à l'effet cumulé du transport de cette grandeur élémentaire par l'ensemble
des particules dans le référentiel de leur centre de masse. Quand la grandeur transportée
est un scalaire (cas de la charge électrique, de la masse d'une espèce s, de
l'énergie cinétique du mouvement relatif, ... ), le flux de diffusion associé est un vecteur
(vecteur densité de courant électrique, vecteur flux de masse de l'espèce, vecteur
flux conductif thermique, ... ). Quand la grandeur transportée est un vecteur, cas de
la quantité de mouvement, le flux de diffusion associé est un tenseur (tenseur des
pressions). Dans ce dernier cas, les notions précises de pression et de contrainte de
cisaillement seront directement définies.
Considérons, au sein d'un fluide, une surface élémentaire dI de normale orientée
n, appartenant à un référentiel entraîné à la vitesse hydrodynamique du fluide v.
Soit [As] une grandeur physique quelconque (scalaire, vecteur ou tenseur) attachée
à une particule de l'espèce s. Les particules traversant algébriquement dI pendant
dt, avec une vitesse relative voisine de Cs appartiennent au volume n · CsdtdI; leur
nombre est donc fs(r,Vs 1 t)n · Cs d 3 Vs dtd.E. Le flux surfacique [cf] de [A] à travers
365

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
dI est, dans ces conditions, défini par :
s
[lf ](r,t) ~ I[q: ](r,t). (10.11)
Il est homogène à la dimension de [A s] par unités de surface et de temps. Le flux
surfacique [cf] est de même nature que [A] (scalaire, vecteur ou tenseur). Il dépend
du choix arbitraire de la surface dI de référence. Une grandeur générale, qui ne
caractérise que l'état du fluide, est le.flux de [A] défini par:
s=l
s
[qA](r,t) ~ I [q:](r,t. (10.12)
À un scalaire [As] (charge électrique, masse d' une espèce s, énergie cinétique, etc.)
est associé un vecteur flux [qA] (vecteur densité de courant électrique, vecteur flux
de masse d'une espèce, vecteur flux conductif, etc.) ; à un vecteur [A s] (quantité de
mouvement) est associé un tenseur [qA] (tenseur des pressions P), etc.
a) Vecteurs flux de particules de l'espèce s et total : [A 5 ] = l
s=l
qs(r,t) = f C s f 5 (r,Vs,t)d 3 Vs = ns(r,t)vp.
On introduit un vecteur flux total de particules, a priori non nul :
s
q(r,t) ~ I
s= I
Qs(r,t)
(10.13)
(10.14)
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b) Vecteur flux de masse : [As] = ms
q;(r,t) ~ f msCs f~(r,Vs ,t)d 3 Vs
= Cs(r,t) vP(r,t);
(10.15)
Le vecteur flux de masse globale est évidemment nul, dans le référentiel du système
matériel, d'après l'équation 10.10.
c) Flux d'énergie cinétique relative (vecteur flux conductif)
[As] = m~C ~
Le vecteur flux conductif est associé au flux de l'énergie cinétique relative dans le
cas d'un système animé des seuls degrés de liberté de translation :
s
c2
qcd(r,t) = If ms 2
s (r,t) C s fs(r,Vs,t)d 3 Vs.
s=l
(10.16)
366

10.1. Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux
d) Flux de quantité de mouvement (tenseur des pressions) :
[As]= msCs
Les composantes du tenseur des pressions, qui est symétrique, ont pour expression :
s
CsaCsbfs(r,Vs,t)d 3 Vs= Pba a= x , y,z; b=autre coordonnée.
Pab = - 2= ms J
s=l
(10.17)
Le signe moins est introduit de façon conventionnelle dans l'équation 10.17 de façon
à respecter les conventions en usage en mécanique des ftuides 6 .
• Termes diagonaux Paa (Figure 10.1):
-mÇ~
- c~
milieu 1
milieu2
X
milieu 1 milieu 2
X
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9
Figure 10.1 - Notion de pression.
dNs = l +: dVsb l +: dVsc (d.E dt Csa) fs(r,Vs,t)dVsa est le nombre algébrique de
particules s qui traversent pendant dt une surface dI normale à la direction a et
sont caractérisées par des composantes de la vitesse relative suivant cette même
direction voisines de C sa (de composante de la vitesse suivant a dans [Vsa , Vsa +
dVsaD;
l+: dVsb 1:00
dVsc msCsa C. 50 f 5 (r,Vs,t)dVsa est la quantité de mouvement dans
la direction a transportée par les particules précédentes, par unités de surface et de
temps.
Considérons 1 'effet cumulé de toute la distribution des vitesses Vsa et introduisons
la nonnale orientée na dans la direction a : la quantité nams J CsaCsafs(r,
Vs,t)d 3 Vs, toujours positive, s'interprète comme la force smfacique exercée par
les particules s du milieu 1, situé du côté des a négatifs, sur le milieu 2, situé du
côté des a positifs. La sommation sur toutes les valeurs possibles de Vs inclut non
seulement l'effet des particules s du milieu 1, qui traversent dI dans la direction a,
mais aussi celles de ce même milieu 1 qui ont traversé dI en sens contraire, en
provenant du milieu 2.
6. Les actions du milieu extérieur sur le système sont considérées comme positives ; ce point est précisé
dans le paragraphe 5.4. l
367

Chapitre l 0 • Bases physiques des transferts thermiques
na L: ~= I ms J CsaCsafs(r,Vs,t)d 3 Vs représente donc la composante normale à la
smface dE de la force surfacique positive (suivant a), exercée sur le mmeu 2 par
toutes les particules des différentes espèces du milieu 1. Cette quantité est la pression
Pa exercée par les particules du milieu 1 sur celles du milieu 2, à travers la
smface d.E.
Si on considère l'effet du milieu 2, considéré comme milieu extérieur, sur le milieu
1, le même raisonnement est appliqué par inversion de la direction de la normale
à dE ; une force de pression opposé à la précédente est obtenue, suivant le
principe del' action et de la réaction. C'est la signification physique du signe moins
introduit dans na Paa : par convention, en mécanique des fluides, l'action du milieu
extérieur sur le système est comptée positivement.
Dans des conditions usuelles, même hors équilibre, les trois composantes diagonales
du tenseur des pressions sont égales : la pression est isotrope au sein du fluide
et à une paroi :
s
p(r,t) = Pxx(r,t) = Pyy(r,t) = Pzz(r,t) = ~ 2= ms J c; fs(r,Vs,t)d 3 Vs = ~ E(r,t).
s=l
(10.18)
• Termes non diagonaux Pab (Figure 10.2):
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milieu 1
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milieu
Figure 10.2- Notion de contrainte.
En suivant la démarche précédente, 1: dVsb L: dVsc(msCsb)CsafsCr,Vs,t)dVsa
représente le transport dans la direction a de la quantité de mouvement relative
msCsb dans la direction b, par les particules s de vitesse relative suivant a voisine
de Csa par unités de surface normale à a et de temps. En notations tensorielles :
na L:;=I ms J Csb Csa fs(r, Vs,t) d 3 Vs est la composante suivant la direction b de
la force surfacique exercée par toutes les particules de fluide 1 sur le fluide 2, au
sein d'une surface normale à la direction a: c'est la contrainte de cisaillement dans
la direction b exercée par le fluide 1 sur le fluide 2 au sein d'une surface normale
368

l 0.1. Fonction de distribution des vitesses, Luminance, Flux
à a. Comme précédemment, en mécanique des fluides on considère l'opposé de
cette quantité, c'est à dire qu'on compte positivement na P ab, action du milieu
extérieur 2, du côté de la normale, sur le milieu 1.
l 0.1.4
Flux radiatif et luminance
Le champ de rayonnement est constitué de photons caractérisés 7 par :
• une énergie hv, associée à la fréquence v (h est la constante de Planck)
• une quantité de mouvement p de module :
p = hv/c = nhv/co (10.19)
où c désigne la célérité du rayonnement dans un milieu d'indice n (c 0 dans le vide);
• un état de spin : bosons en nombre indéterminé, les photons ont un spin S = 1,
dégénéré deux fois (deux états caractérisés par ms = + 1 et ms = -1).
Comme dans le cas des molécules, la longueur d'onde À associée à un photon est,
dans les applications de transferts thermiques, petite devant les dimensions L del' enceinte8.
C'est la condition de validité de l'approximation classique (voir l' introduction
du paragraphe 10.1).
Sous cette hypothèse, un photon de quantité de mouvement p, de module p et
direction u(B, <p) est représenté par un point (r, p) d'un microespace des phases classique
position-quantité de mouvement, à six dimensions x, y, z, p, B, <p. Le volume
dT d' une cellule élémentaire ce cet espace est égal à d 3 r p 2 dp dQ(B, <p). Dans l'approximation
classique, le nombre d'états quantiques accessibles à des photons dNacc
dans dT est donné par :
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gc1 d 3 r p 2 dpdO(B, <p)
h3
(10.20)
La dégénerescence gc1 de l'état (r, p) correspond aux deux états de spin possibles
d' un photon (ms = + 1 ou - 1) et est égale à 2. Une grandeur clé est, en physique
statistique, le nombre moyen N(r,p, ms ,t) de photons occupant un état quantique
7. D'un point de vue électromagnétique, à p est associé un vecteur d'onde k : p = nk = (h/2rr)k et
aux deux états de spin, caractérisés par les projections nms (ms = + 1 ou - 1) sur l'axe défini par p, sont
associées respectivement les polarisations circulaires droite et gauche d'une onde.
8. Le critère de validité de l'approximation classique (il 08 = h/p « L) correspond, en théorie électromagnétique,
à la notion de champ lointain, par opposition aux conditions de champ proche : au
voisinage d'une paroi, il existe un champ d'ondes transverses, non propagatives, dont l'extension spatiale
normale à la paroi, dans le matériau et hors de celui-ci, est de l'ordre de il. Ces ondes, recèlent une
énergie importante. Un résultat concret est que le flux radiatif transféré entre deux parois, distantes de
quelques il, est d'un ordre de grandeur considérable par rapport au flux prédit par un modèle usuel de
rayonnement thermique [ 18, 126].
369

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
(r, p, ms) à un instant t. Le nombre total moyen de photons occupant une cellule
élémentaire de l'espace de phase, à l'instant t, est alors :
2 N(r,p, ms ,t)dI'
dN(r,p, ms ,t) = h 3
= F(r,p, ms ,t) dI' (10.21)
La quantité F(r,p, ms ,t) est la fonction de distribution des quantités de mouvement
des photons et joue exactement le même rôle que la fonction de distribution des vitesses
des molécules introduites dans le paragraphe 10.1. l .
Le flux vecteur flux radiatif au sein d'un milieu quelconque est associé au transport
de l'énergie pc des photons à la célérité du rayonnement dans la direction u considérée.
La différence majeure avec le flux conductif, associé au transpo1t de l'énergie cinétique
relative des atomes à la vitesse relative de ceux ci (voir le paragraphe 10.1.3),
est que la célérité du rayonnement est invariante par changement de référentiel. L'ensemble
de la démarche de ce paragraphe peut être suivie et conduit à l'expression du
vecteur flux radiatif qR :
qR = J pc uc F(r,p, ms ,t) d 3 p = J pc 2 F(r,p, ms ,t) d 3 p
d 3 p = p 2 dpd.Q.
(10.22)
Ce vecteur est analogue au vecteur flux conductif qcd. Il est d'usage d'utiliser la fréquence
en non la quantité de mouvement pour caractériser le rayonnement. Compte
tenu des équations 10.19,10.21 l'expression du flux radiatif devient alors:
R Loo J:rr 2hv3 _ Loo J:rr
q = dv - ?- N(r,p, ms ,t) u dQ = dv L~ u dQ
0 0 c- 0 0
La quantité :
(10.23)
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3- 43-
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2
'( ) _ 2hv N(r,p, ms ,t) h v F(r,p, ms ,t)
Lv v,u,ms ,t -
c c 2 (10.24)
qui caractérise énergétiquement le rayonnement se propageant dans l'intervalle spectral
dv et dans l'angle solide dQ, autour de u, au point considéré, à l'instant t, est
appelée luminance monochromatique directionnelle du rayonnement. La polarisation
des champs, associée à ms, n'est généralement pas prise en compte en transferts thermiques.
370
,
10.2 EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE PARFAIT
L'Équilibre Thermodynamique Parfait repose sur l'équilibre du système matériel,
l'équilibre du champ de rayonnement et l'équilibre mutuel du système matériel et du

10.2. Équilibre Thermodynamique Parfait
champ de rayonnement. Il est caractérisé par l'absence de flux, quelque soit la nature
de ce flux, et l'uniformité des champs macroscopiques. La température thermodynamique
T, définie sans ambiguïté en physique statistique (voir par exemple [39, 112])
à partir de l'ensemble représentatif canonique et exprimée en K, est aussi uniforme.
Elle caractérise, à l'ETP, à la fois le système matériel et le champ de rayonnement.
10.2.1 Équilibre thermodynamique parfait du système
matériel
Il existe un repère galiléen dans lequel la vitesse hydrodynamique est nulle; nous poserons
donc: v = 0; Vs = Cs; Ps = msCs et nous limiterons, par souci de simplicité
à un système animé des seuls degrés de liberté de translation.
Sous l'approximation classique, le nombre d'états quantiques présents au sein d'un
volume élémentaire dI' du micro-espace des phases est donné par l'équation 10.20.
Dans les conditions de la limite classique (voir l'introduction du paragraphe 10.1),
la probabilité d'occupation d'un tel état e est, à l'ETP à la température T, très petite
devant 1 et donnée par:
L:états accessibles
2
exp (-___RL._)
2mskT
? •
(
p:;: )
exp - 2mskT
(10.25)
La probabilité d'occupation d'un état classique, au sein de d 3 r et de module de la
quantité de mouvement compris à l'ETP entre Ps et Ps + dp.P est alors :
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P (r,ps) = (10.26)
[ f 00 exp ( _ __li_) 47r p 2 dp ] d3 r/h3 •
Jo 2mskT s s
La fonction de distribution des vitesses des particules s à l'équilibre thermodynamique
parfait f; (Cs) est obtenue, après intégration du dénominateur. Soit:
m )3/2 [ m c2 ]
J;(Cs) = ns ( 2n;T exp - 2~Ts . (10.27)
j~ 0 (Cs) est isotrope et ne dépend ni der, ni de t.
Après intégration sur la distribution des vitesses,
d'équilibre, donnée par l'équation 10.8, devient:
s -2
- o I Cs C s 3
E = --=-nkT.
2 2
s=I
1' énergie interne volumique
(10.28)
371

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
On retrouve l'équipartition de l'énergie à l'équilibre 9 pour 3n degrés de liberté
d'énergie cinétique.
La fonction de distribution à l'ETP f s 0 (Cs) est paire vis à vis de la vitesse relative
Cs. Dans l'expression de tout flux d'une grandeur scalaire (masse, énergie cinétique
relative, ... ), les quantités sommées sur la distribution des vitesses sont alors impaires
vis à vis de la vitesse relative. En conséquence, les flux des quantités scalaires et les
termes non diagonaux du tenseur des pressions sont nuls à l'équilibre thermodynamique
parfait.
La pression du fluide devient, à l'ETP, à partir de l'équation 10.18 :
2-
p0 = - E = nkT.
3
(10.29)
L'équation d'état obtenue est la loi des gaz parfaits. En effet, il n'existe dans le modèle
aucune limitation du nombre de molécules occupant à un instant donné un volume
arbitrairement petit ; les paiticules sont considérées comme un gaz de points sans
effets stériques. C'est le modèle du gaz parfait.
10.2.2 Équilibre thermodynamique parfait du champ
de rayonnement, loi de Planck
À l'équilibre thermodynamique à la température T , le nombre moyen de photons par
état quantique est donné par la statistique des bosons en nombre indéterminé [39,
112]:
N:,u = [exp(hv/kT) - lr 1 (10.30)
La luminance du rayonnement d'équilibre devient, à partir de l'équation 10.24, en
tout point du milieu :
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L~(u , r , v) = [2hv 3 /c 2 (u,r, v)][exp(hv/kT) - lr 1 = n 2 (u ,r, v)L~ (T), (10.31)
où L~ (T) désigne la luminance du rayonnement d'équilibre, qui est isotrope, dans le
vide ou, en excellente approximation, dans un gaz, milieu d'indice pratiquement égal
à 1 (loi de Planck) :
L~(T) = (2hv 3 /c6)[exp(hv/kT) - 1r 1 • (10.32)
Cependant, dans un milieu biréfringent, tel que l'indice de réfraction n= co/c dépend
de la direction u, la luminance du rayonnement d'équilibre n'est pas isotrope.
9. Le principe d'équipartition de l'énergie à l'équilibre attribue, en physique classique, une énergie
moyenne kT/2 à tout degré de liberté associé à toute forme d'énergie d'une molécule ou particule,
sous réserve que les conditions de validité de la limite classique et de l'approximation classique soient
vérifiées pour chaque type d'énergie (voir, par exemple, [39, 112]).
372

10.2. Équilibre Thermodynamique Parfait
La densité volumique d'énergie radiative à l'équilibre par unité de fréquence v, u~
est aisément déduite des équations 10.21, 10.24, 10.32. Soit:
u~(T) = (8nhv 3 /c 3 ) [exp(hv/kT) - lr 1 . (10.33)
Par intégration sur le spectre des fréquences, on obtient L 0 (T) luminance totale et
u 0 (T) densité volumique d'énergie radiative d'équilibre dans le vide (n = 1):
L 0 (T) = (cr/n) T 4 ; u 0 (T) = (4a-/co) T 4 • (10.34)
(10.35)
Notons une conséquence importante de ce résultat : la capacité thermique radiative
volumique cR égale à du 0 /dT, soit 16a-T 3 /c 0 , est dominante devant celle du système
matériel à température très élevée (plasmas de fission et surtout de fusion : T >
10 6 K) !
10.2.3 Interprétation physique de la loi de Planck
(modèle d'Einstein)
Considérons l'interaction rayonnement-matière entre deux niveaux quantiques 10 notés
1 et 2 d'une paiticule A (molécule, atome, d'un ion, etc.). Soient gi, Ni et Ei respectivement
les dégénérescences (nombres d'états par niveau), populations et énergies
de ces niveaux (i = 1,2). On pose:
(10.36)
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Les interactions élémentaires rayonnement-matière couplant ces niveaux, avec apparition
ou disparition d'un photon, sont l'émission spontanée (e.s), l'absorption (a)
et l'émission induite (e.i), appelée également émission stimulée. Les équations cinétiques
associées à ces phénomènes sont :
> Émission spontanée :
ôN2 le.s
ôN1 le.s
-- = - =A21N2
(10.37)
Ôt 12 ôt 12
Az 1 est appelé coefficient d'Einstein d'émission spontanée et est relatif à la transition
entre un état quelconque du niveau 2, qui est désexcité lors de l'émission d'un
photon, et l'ensemble des états du niveau 1, susceptibles d'être peuplés 11 . L'émission
spontanée est incohérente et isotrope. Elle dépend en fait des fluctuations du
10. En fait, il s'agit de deux niveaux quantiques discrets d'un système comprenant un très grand nombre
d'autres niveaux.
11. En effet, la dégénérescence g 2 du niveau 2 initial est, dans 1 'équation 10.37, déjà prise en compte
dans l'expression de la population N 2 de ce niveau.
373

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
champ électromagnétique. Sa modélisation, complexe, relève de la théorie quantique
du champ.
>- Absorption :
0 N2 la 0N1 la
-- = - -- = B12N1uv
ot i2 ot 12
(10.38)
où uv repréente la densité d'énergie radiative, hors équilibre. B 12 est appelé coefficient
d'Einstein d 'absorption et caractérise la transition entre un état quelconque du
niveau 1 et l'ensemble des g2 états du niveau 2.
Au début du siècle, la seule prise en compte des deux phénomènes précédents
ne permettait pas d'expliquer la loi de Planck. Einstein a postulé l'existence d' un
troisième phénomène, inverse de l'absorption, appelé émission induite.
>- Émission induite : Ce phénomène peut être considéré comme une résonance
entre un photon excitateur (hv,p,ms) et l'ensemble des états des niveaux 2 et 1 de la
molécule, qui occupe initialement un état du niveau 2 ; il se traduit par la désexcitation
de la molécule vers le niveau 1 et par 1' apparition de deux photons strictement
identiques au photon excitateur (hv,p,ms ), c'est-à-dire de même fréquence v, même
quantité de mouvement p (même k) et même état de spin ms (même polarisation
circulaire). L' émission induite est un phénomène amplificateur cohérent, germe de la
technologie des lasers. On pose:
(10.39)
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relation inverse de l'équation 10.38 ; B 21 est le coefficient d'Einstein d 'émission
induite. Le phénomène d'absorption tend à détruire l'effet de l'émission induite.
Construire un laser consiste à réaliser un conditionnement thermique du milieu, en
termes de population, de façon à privilégier l'émission induite au détriment de l' absorption.
Compte-tenu des équations 10.37 à 10.39, les évolutions des populations du niveau
1, dues aux seuls phénomènes radiatifs le couplant à un niveau 2, sont données
par les relations :
(10.40)
À l'équilibre, à la limite classique pour le système matériel, le rapport des populations
des niveaux 2 et 1 est donné par :
(10.41)
374

10.3. Équations d'évolution
De plus, les variations de populations exprimées par l'équation 10.40 sont nulles. 11
vient:
(10.42)
Cette expression de u~ est identifiable à l'équation 10.33, soit (avec n= 1):
(10.43)
Ces deux relations sont supposées vérifiées hors d'équilibre. En effet, les coefficients
d'Einstein régissent les phénomènes élémentaires d'interactions rayonnementmatière
hors équilibre, relatifs aux transitions radiatives d'un état du niveau 1 à l'ensemble
des états du niveau 2. Ils sont exprimés par les équations 10.43 en fonction de
8 12. On démontre, de plus [33] que:
91 B12 = g2B21 = Cste .2: l(r1 lµlr2)1 2 = D12 (10.44)
f'] ,,.,
où (r1 lµe1lr2) est 1' élément de matrice de 1' opérateur quantique dipolaire électrique µel
entre l'état initial et final de la transition. Les phénomènes d'émission ou d'absorption
reposent sur l'existence d'un moment dipolaire, quelle que soit son origine.
l 0.3 ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION
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Les équations d'évolution des fonctions de distribution des vitesse des espèces (notamment
l'équation de Boltzmann) et celle du champ de luminance (équation de
transfert du rayonnement) sont similaires. Leur résolutions permet de calculer les
évolutions spatiales et temporelles des champs et des flux de diffusion au sein d'un
système thermodynamique (système matériel et champ de rayonnement).
10.3.1 Équation d'évolution de la distribution des vitesses
La fonction de distribution des vitesse d'une espèce d'un fluide évolue dans le temps
et 1' espace du fait de collisions intermoléculaires, de collisions molécules-paroi, de
phénomènes d'émission et d'absorption de rayonnement (voir le paragraphe précédent),
... Seul le premier phénomène est traité dans ce paragraphe. Dans un premier
temps, le cas limite de particules qui n'exercent entre elles aucune interaction sera
considéré. C'est par exemple le cas d'un milieu raréfié (notion qui sera précisée ultérieurement).
Dans une deuxième phase, des effets d'interactions faibles dues à des
collisions intermoléculaires seront abordées. Le formalisme de 1' équation de Boltzmann,
applicable à des milieux dilués (notion introduite dans le paragraphe e), sera
enfin introduit sans démonstration.
375

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
a) Particules sans interaction
En l'absence totale d'interaction, chaque particule de l'espèce s constitue un système
isolé et l'ensemble des Ns particules s du système peut être assimilé à un ensemble
représentatif d'une particule quelconque dans le microespace des phases (r, Vs), de
dimension 6, associé à une particule. Le théorème de Liouville établi dans le grand
espace des phases en physique statistique [39, 112] peut alors être appliqué :
drl
Vs = dt s'
(10.45)
où F s désigne la force extérieure massique exercée sur une particule de l'espèce s
(accélération de la pesanteur g, force électrique massique, ... ). Le régime con-espondant
est appelé ballistique. Il est rencontré dans les milieux raréfiés, généralement
hors équilibre (voir le paragraphe e). Ce régime est similaire également, en transferts
radiatifs, à celui d'une assemblée de photons en non équilibre au sein d'un milieu
transparent, cas le plus fréquemment rencontré.
b) Effet des collisions intermoléculaires
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On appelle collision intermoléculaire toute interaction entre molécules, même à
grande distance, susceptible de modifier même de façon infime l'état d'une molécule:
de modifier les vitesses des paiticules dans le cas de collisions élastiques (telles que
1' énergie cinétique totale des molécules est conservée). L'interaction est pilotée par
un potentiel d'interaction. Dans le cas d'atomes, cas auquel cette étude est limitée,
ces potentiels <V(r) sont pratiquement sphériques : ils ne dépendent que de la distance
intermoléculaire r. En réalité, les potentiels d'interaction entre molécules polyatomiques
sont fo1tement anisotropes : potentiels électrostatiques multipôle-multipôle,
pai· exemple. Le plus simple des potentiels sphériques est celui dit des sphères dures :
r > ro : <V(r) = 0; r < ro : <V(r) = oo. (10.46)
C'est le modèle des boules de billard ; il conduit à des résultats peu réalistes, pai·
exemple les dépendances en température des grandeurs calculées sont en-onées. Le
potentiel exponentiel :
<V(r) = A exp(-ar). (10.47)
est réaliste pour représenter la partie répulsive de l'interaction atome-atome, mais il
ne comprend pas de partie attractive de type dipôle induit - dipôle induit pour des
collisions atomiques. Dans le potentiel de Lennard-Jones (LJ 6-12) :
( 5)12 (5)6
<V ( r) = 4s ;. - ;. , (10.48)
376

10.3. Équations d'évolution
la paitie attractive en r- 6 est réaliste pour des atomes (interaction dipôle induit -
dipôle induit) mais la pa1tie répulsive en r- 12 n'est introduite que par commodité et
est beaucoup trop molle. Bien d'autres potentiels sphériques sont aussi utilisés [14,
39, 46].
Les collisions entre particules régies par un potentiel d'interaction ~(r) conduisent
à une loi d'évolution de la fonction de distribution du type :
dj~ s a1~1
dt = ~ Ôt coll.s-p
(10.49)
Dans cette expression, 8 f,s 1
est la pe1turbation appo1tée par unité de temps à la
coll.s-p
fonction de distribution fs d'une espèce de particules s pai· les collisions des particules
s avec des particules de l'espèce p.
Cette quantité tient compte de deux effets antagonistes :
ô/5 I = r + - r -
Ôt coll.s-p
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(10.50)
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• r ; P représente l'effet cumulé de toutes les collisions des particules d'une espèce
s, initialement dans un état macroscopique défini par (r,Vs, d 3 r, d 3 Vs), avec les
particules de l'espèce p. Ces collisions, appelées collisions directes ont pour effet
de diminuer les valeurs des fonctions de distribution / 5 , puisque les particules s
auront toutes quitté leur état initial en fin de collision.
• r; P représente l'effet cumulé de toutes les collisions, appelées collisions inverses12
, qui produisent dans l'état final, une particule s dans l'état considéré
(r,Vs, d 3 r,d 3 Vs), alors qu'elle était initialement dans un état différent. Ces collisions
inverses constituent l'ensemble des collisions [14, 46] qui augmentent les
valeur des fonctions de distribution fs·
c) Équation de Boltzmann (limitée aux degrés de translation)
L'équation de Boltzmann, appliquée à des particules animées des seuls mouvement
de translation et subissant donc des collisions élastiques, est introduite dans ce paragraphe
sans démonstration. Celles-ci sont développées dans divers ouvrages, par
exemple [14, 46], dans lesquels on trouvera des généralisations à des collisions inélastiques
de molécules polyatomiques. Les hypothèses suivantes sont faites :
• Hl : Les collisions sont uniquement binaires; la durée d'une collision est négligeable
devant la durée moyenne entre deux collisions ou, ce qui est équivalent, la
12. Les collisions inverses diffèrent en général de celles obtenues par renversement du temps.
377

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
p01tée du potentiel d'interaction 13 est petite devant le libre parcours moyen d'une
paiticule 13 .
• H2: Les variations de / 5 (r,V 5 ,t) sont négligeables sur une distance de l'ordre de
la portée du potentiel 13.
• H3 : Les états des particules entrant en collision sont supposés statistiquement
décorrélés (hypothèse dite du chaos moléculaire initial).
• H4 : La durée de collision est négligeable devant la durée associées à des variations
significatives de fir, V 5 ,t). En conséquence, les variations de f s(r, V s,t) dues à des
variations des forces externes sur des échelles de temps de l'ordre de la durée de
collision ne pourront être prédites.
Le terme dû aux collisions des particules s avec les particules p a alors pour expression:
dcrsp I I I
X g dQ (g, x , ê )dVp dQ. (10.51)
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Le calcul est réalisé dans le référentiel du centre de masse de la collision. Le te1me
entre crochets représente la différence entre les produits des fonctions de distribution
des particules pet s, supposées indépendantes et c01Tespondant aux états de ces
particules à l'infini en voies de sortie (indice') et d'entrée de la collision (pas d'indice).
C'est, à un facteur près, l'expression élémentaire de la quantité r:P - r;P. Les
deux sommations portent sur la distribution des vitesses initiales V P des particules p
et 1' angle solide élémentaire dQ' (X' ,s') dans lequel pointe le vecteur vitesse relative
des molécules en sortie de collision dans le référentiel du centre de masse ; g est le
module de la vitesse relative V P - Vs = V' P - V' 5 , conservée à l'infini entre les voies
d'entrée et de sortie de la collision ; d~P est la section efficace différentielle de la collision
(surface élémentaire de la cible d'impact par unité d'angle solide de diffusion,
c'est à dire de la voie de sortie considérée).
Pour adimensionner 1' équation de Boltzmann, on associe à chaque grandeur physique
de base une échelle de référence :
• au temps t est associée une durée e dépendant du système macroscopique considéré,
qui sera clairement définie au niveau de l'équation 10.59 :
+ t
t = ē (10.52)
13. Le libre parcours moyen d'une particule est la distance caractéristique parcourue par une particule
entre deux collisions consécutives de celle-ci avec une autre particule.
378

10.3. Équations d'évolution
• à la section efficace différentielle ~~ est associé le carré de la portée du potentiel :B :
da-+
d.Q
1 do-
- -
13 2 d.Q
(10.53)
• le choix de la vitesse de référence des paiticules v* a peu d'importance puisqu'elle
disparaîtra du calcul :
(10.54)
• à la vitesse relative g de deux particules, est associée 14 G, moyenne du module de
la vitesse relative de deux particules à l'équilibre :
avec: (10.55)
oùµ désigne la masse réduite des particules dans le référentiel du centre de masse.
• une fonction de distribution f est alors adimensionnée par :
(10.56)
où n désigne le nombre de particules par unité de volume.
L'équation de Boltzmann devient après adimensionnement:
1 d + ô .,.1
G:B 2 n B dt+ f = ôt+ j coll
ou Kn~ .,. - !.___ .,.1
dt+ j - ôt+ j coll
(10.57)
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Le nombre nombre de Knudsen Kn est égal :
• au rapport de la durée typique r entre deux collisions à l'échelle de temps caractéristique
du système B :
Kn = (B G rc!B 2 n)- 1 = ~, (10.58)
La quantité rc!B 2 Gdt est grossièrement le volume dans lequel une particule donnée
est susceptible de perturber toute autre particule pendant la durée dt ; mr:B 2 G est
donc de l'ordre de grandeur du nombre de collisions par particule et par unité
de temps ; l'inverse de cette quantité représente, typiquement la durée moyenne r
entre deux collisions subie par une particule.
14. L' introduction d'une température est à ce stade arbitraire puisque cette notion n' a pas encore de sens
physique : elle sera justifiée ultérieurement par un milieu dont le déséquilibre n'est pas très important.
Pour un deséquilibre important G est à estimer directement.
379

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
• au rapport du libre parcours moyen des particules lpm à 1' échelle spatiale ds caractéristique
du système, qui est typiquement soit la taille de la plus petite maille
d' un calcul numérique, soit au contraire la taille du système complet. En effet, rG
est de l'ordre de grandeur du libre parcours moyen des particules, et l'échelle de
temps() caractéristique du système peut être définie 15 par ds/G. Soit:
l.p.m. 1
Kn = -- ~ ---
ds rc!/3 2 nds ·
(10.59)
d) Classification des milieux
Les propriétés du fluide dépendent fortement des valeurs du nombre de Knudsen,
qui régit les poids des deux membres de l'équation de Boltzmann. Deux cas limites
apparaissent :
• Kn » 1 (gaz raréfié) ; une pait.icule a une probabilité négligeable d'entrer en collision
avec une autre, sur un trajet de l'ordre de L , longueur caractéristique du
système ou une durée de l'ordre de (), temps caractéristique du système. Le second
membre de l'équation de Boltzmann est alors négligeable. Ce domaine est
celui de la dynamique des gaz raréfiés (ou RGD : Rarefied Gas Dynamics); les
phénomènes d'interaction avec les parois jouent un rôle important ; la fonction de
distribution est régie par l'équation 10.45, théorème de Liouville. Le régime est
aussi dit moléculaire ou ballistique.
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• Kn ~ 0 et lpm ~ !B (milieu dense). Les collisions sont extrêmement nombreuses et
celles qui mettent en jeu plusieurs, voire un grand nombre de molécules, jouent un
rôle imp01tant. C'est le cas des liquides et plus généralement des milieux denses,
pour lesquels les effets collectifs sont importants. Un modèle reposant comme dans
le pai·agraphe précédent sur des collisions binaires n'est pas applicable. Les propriétés
locales du fluide sont régies uniquement par les collisions. Le régime est dit
collisionnel.
• En fait, dans la plupait des applications mettant en jeu des gaz, les deux conditions
suivantes sont simultanément remplies : Kn<< 1 et lpm >> !B. Les collisions sont
extrêmement nombreuses si elles sont considérées à une échelle macroscopique .
Mais la durée entre deux collisions est très grande devant le temps d'interaction
entre deux molécules. Le modèle boltzmannien du paragraphe précédent peut être
appliqué : c'est un milieu dilué.
15. En toute rigueur, Gest la vitesse relative moyenne de deux molécules; il faudrait utiliser d/V 111
où
V, 11 serait la moyenne du module de la vitesse d'une molécule, par exemple, ou la vitesse quadratique
moyenne. Cela se traduirait par l' introduction d'un facteur multiplicatif, proche de l'unité, qui n'a pas
d' intérêt dans cette approche d'ordre de grandeurs.
380

10.3. Équations d'évolution
• Le cas Kn ~ 1 est régi par une physique totalement différente et mérite d'être signalé
à ce stade: il correspond à des systèmes pour lesquels les lois de la physique
du milieu continu ne sont plus applicables (libre parcours moyen del' ordre des distances
entre parois, par exemple). C'est le cas le plus délicat d'un nanosystème: la
nanothermique est une discipline active.
e) Principe de résolution par méthode de perturbation
(milieux dilués)
Dans le cas d' un milieu dilué (voir le paragraphe précédent), l'équation de Boltzmann
peut être résolue par une méthode de perturbation de paramètre Kn, quantité petite
devant l'unité. L'objet du présent paragraphe est limité à un bref exposé de principe
de la technique de résolution et de ses implications. La solution par perturbation est
abordée dans les paragraphes qui suivent. La solution f + de l'équation de Boltzmann
adimensionnée (Eq.10.57) est cherchée sous la forme:
(10.60)
où f+(O) , terme d'ordre zéro est indépendant de Kn et f+(l) est proportionnel à Kn
(ordre 1). Les termes non linéaires du développement sont en général négligés.
La solution d'ordre zéro en Kn consiste à négliger le premier membre de l'équation
de Boltzmann ; cela revient à traiter le milieu dilué comme un milieu dense en faisant
tendre vers zéro le libre parcours moyen des molécules. Celles-ci ne sortent alors
pas d'un élément de volume arbitrairement petit d 3 r, qui peut être considéré comme
isolé sur un plan thermodynamique. Dans ce régime collisionnel, les molécules se
thermalisent entre elles. Seules des contributions d'ordre zéro sont prises en compte
et l'équation 10.57 devient:
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[ a I ]co)
-f+ =0
ot+ coll
(10.61)
Une fois la solution f +(O) obtenue (voir le paragraphe 10.4.l a), la solution d'ordre 1
est recherchée à paitir de l'équation de Boltzmann complète. La solution d'ordre 1
est, en fait, un terme correctif qui tient compte des interactions de l'élément de volume
d 3 r avec les éléments de volume voisins, sur des distances de l'ordre du libre
parcours moyen des molécules : le système n'est plus isolé et des flux de diffusion
apparaissent. Comme le premier membre de l'équation de Boltzmann doit être limité
au seul ordre 1 et qu'il est proportionnel à Kn, d~+f+ doit être d'ordre zéro. Comme
d'autre part, les variations des champs macroscopiques influençant f + interviennent à
des échelles de temps beaucoup plus grandes que la durée des collisions, f + est choisi
égal à f +(O) dans ce seul membre. Il convient alors de ne conserver dans le second
381

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
membre que des contributions d'ordre 1 en Kn pour obtenir la solution cherchée.
Soit:
Kn[~ l +](O) = Kn[~ l+(O)] = [}____ l +I
](I)
dt+ dt+ fJt+ coll '
qui permet d'obtenir la solution d' ordre 1 en Kn (voir paragraphe 10.4.1 b).
(10.62)
10.3.2 Équation de transfert du rayonnement pour un gaz
L'établissement, par une approche phénoménologique, et les propriétés de l'équation
de transfert radiatif, équation d'évolution de la luminance, font l'objet du Chapitre 6.
Ce paragraphe est consacré à l'établissement physique direct de l'équation de transfert
radiatif dans le cas d'un gaz, supposé non diffusant, à paitir du modèle d'Einstein
introduit dans le paragraphe 10.2.3. Dans un souci de simplicité, l'approche est limitée,
comme dans ce paragraphe, à un système à deux niveaux.
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a) Cas général : système matériel hors équilibre
Considérons les transitions radiatives entre deux niveaux 1 et 2, caractérisés par les
populations volumjques n 1 et n 2 . Du fait de différents phénomènes physiques introduits
dans le paragraphe 7 .2.1 (lai·geur naturelle, effet Doppler, effet des collisions
intermoléculaires), la probabilité pour qu' une transition ait lieu dans l'intervalle spectral
[v , v + dv] est: F(v)dv. F(v) est appelé profil normalisé de raie. Les variations de
la luminance au sein du milieu gazeux sont engendrées par les phénomènes d'émission
spontanée, d'émission induite et d'absorption :
• L'émission spontanée est isotrope. Sa contribution à la variation du flux
dans un angle solide élémentaire dQ, centré sur une direction u est :
hv A11n2 dV (dQ/4n) F(v)dv.
• Les phénomènes d'absorption et d'émission induite dépendent de la densité volumique
d'énergie radiative uv. Celle-ci est considérée comme isotrope dans
le référentiel d' une molécule susceptible d'interagir avec le champ de rayonnement.
Mais ces molécules ont des orientations aléatoires (isotropes) dans
le référentiel du laboratoire dans lequel est définie la direction considérée u.
La densité volumique d'énergie radiative Uv associée à L~(u)dQ est donc :
uv = ~ dQ. Les équations 10.38 et 10.39 conduisent alors, aux contributions
: - hvB12n1 dVdQ ~F(v)dv et-hvB21n2dVdQ ~~F(v)dv, pour l'absorption
et l'émission induite respectivement.
L'équation de transfe11 radiatif associée à ce système à deux niveaux devient :
(10.63)
382

10.3. Équations d'évolution
Si le système matériel est fortement hors équilibre (éloignée des conditions de
l'ETL), il n'existe pas de température pour caractériser les populations volumiques
n 1 et n2 des niveaux d'énergie; il est alors nécessaire de coupler l'équation 10.63 à
un modèle cinétique (cas des lasers, de certains plasmas ou de milieux réactifs hors
équilibre). Dans ce cas général, l'équation de transfert du rayonnement s'écrit (pour
un milieu non diffusant et d'indice de réfraction homogène) :
dL~
I
-d = T/v - KvLv.
s
(10.64)
Le coefficient d'absorption Kv et le coefficient d'émission hors équilibre TJv (voir paragraphe
6.3) ont pour expression, dans le cas d'un élément matériel hors équilibre,
compte tenu des équations 10.43, 10.44 et 10.65 :
Kv = hv[F(v)/co] (B12n1 - B21) = hv[F(v)/co] D12(ni/g1 - n2/g2).
T/v = hvF(v)A21 (n2/4rr) = 2h 2 (v 4 Jcg)F(v) D12(n2/g2)
(10.65)
(10.66)
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De façon générale, les phénomène d'émissions spontanée et induite et d'absorption
reposent sur l'existence d'un élément de matrice non nul du moment dipolaire électrique
entre les états initial et final de la transition D 12. Celui-ci est non nul si les
symétries de l'état initial, de l'état final et du moment dipolaire sont compatibles. Il
peut s'agir :
• d'un moment dipolaire permanent: c'est le cas de molécules polaires comme H20,
ce qui conduit dans l'infrarouge à des transitions entre niveaux de rotation pure ;
• d'un moment dipolaire engendré par la vibration : c'est le cas, par exemple, de
C0 2 et H 2 0, ce qui conduit dans l'infrarouge et, pour certaines molécules dans le
domaine visible, à des transitions rovibrationnelles ;
• d'un moment dipolaire associé à la nature des états électroniques, ce qui conduit
à des transitions dans les domaines visible, ultraviolet et X.
Les différents phénomènes sont susceptibles d'être couplés, ce qui conduit à des
structures complexes de spectres discrets et continus (voir paragraphe 7 .2).
b) Origine de la diffusion de rayonnement
Un moment dipolaire peut être également engendré par un champ électromagnétique
excitateur de fréquence v, c'est à dire par uv ou L~. Dans le cas le plus simple, l'apparition
de ce moment dipolaire oscillant à la fréquence v, et non colinéaire au champ
électrique excitateur, conduit à un phénomène de diffusion élastique des photons,
c'est-à-dire sans changement de fréquence par rapport au rayonnement excitateur; le
bilan énergétique est alors nul pour la matière. Dans le cas d'un gaz, dont les tailles
383

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
des molécules sont très inférieures aux longueurs d'onde généralement considérées,
c'est la diffusion Rayleigh, traitée dans le paragraphe 7 .1.2.
Des phénomènes non élastiques peuvent également apparaître mettant en œuvre
deux photons de fréquences différentes : c'est le cas de la diffusion Raman. Les phénomènes
multiphotoniques peuvent également être beaucoup plus complexes, et de
nature cohérente, généralisant le phénomène d'émission induite ; un cas utilisé en métrologie
est celui de la Diffusion Raman Anti-Stokes Cohérente (DRASC ou CARS).
c) Cas d'un système matériel à I' ETL
Si l'élément matériel est à l'ETL, notion précisément définie dans le paragraphe suivant,
il vient, dans les conditions de la limite classique :
n~/n~ = (g2/g1)exp[-(E2 - E1)/kT]
2hv 3 /c 2 )
/ o = Lo(T)
v
exp(hv/kT) - 1
T/v Kv =
(10.67)
(10.68)
L'équation 10.63 prend alors la forme la plus commune de l'équation de transfert
associée à un milieu homogène non diffusant (à l'ETL et d'indice de réfraction n égal
à 1) :
(10.69)
Le terme de diffusion de l'équation de transfert peut être introduit à partir des éléments
discutés dans le paragraphe b.
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,
10.4 EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE LOCAL
ET FLUX DE DIFFUSION
Dans la quasi totalité des applications, les transferts thermiques au sein de systèmes
matériels (mais aussi la mécanique des fluides, le génie des procédés, ... ) sont traités
au voisinage de 1'.Équilibre The1modynamique Local (ETL): l'existence d'une température
locale instantanée T(r, t) est postulée. L'objet de ce paragraphe est d'établir
ce modèle sur des bases physiques claires.
Les transferts radiatifs relèvent, au contraire, généralement d'une physique du non
équilibre même dans les cas les plus simples : entre deux plaques noires à des températures
différentes séparées par un milieu transparent, par exemple, le champ de
luminance est fortement hors équilibre. Cependant, un modèle d'ETL radiatif est
également utilisé, sous certaines conditions, dans les m.ilieux localement optiquement
épais (voir paragraphe 6.7.1).
384

l 0.4. Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion
10.4.1 Système matériel
a) Définition de I' ETL
L'Équilibre Thermodynamique Local correspond à la solution d'ordre zéro de l'équation
de Boltzmann (Éq. 10.51), définie par l'équation 10.61. Une seule espèce s est
considérée dans ce paragraphe par souci de simplicité; l'indice s sera omis. Les vitesses
des deux molécules de la voie d'entrée de la collision seront notées V et W,
celles de la voie de sortie V' et W'. Dans ces conditions, la fonction de distribution
d'ordre zéro j<O)(r,V,t) vérifie:
La nullité du te1me entre crochets de l'équation 10.70 ne peut être obtenue que si et
seulement si :
VW ln/ 0 )(r,V,t) + ln/ 0 )(r,W,t) = ln/ 0 )(r,V',t) + ln/ 0 )(r,W',t). (10.71)
La quantité ln j< 0 )(r , v,t) est un invariant collisionnel additif 16 . Elle peut être exprimée
comme une combinaison linéaire [54] de la base des trois invariants collisionnels
constituée par m, mV et mi 2 • Soit:
ln fO) = Am + B · m V + D
(
- mV2 -
)
+ E. (10.72)
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où A et D sont deux constantes scalaires et B une constante vectorielle. La constante
E est obtenue par normalisation par sommation sur la distribution des vitesses. Les
trois constantes A, B et D peuvent être déterminées à paitir des trois relations indépendantes,
vérifiées par la fonction de distribution f à 1' ordre zéro en Kn. De manière
évidente les expressions du nombre de particules et de la quantité de mouvement pai·
unité de volume n(r,t) etp(r,t)v(r,t) pe1mettent d'introduire des grandeurs macroscopiques
: la vitesse hydrodynamique v(r,t) et n(r,t) ou p(r,t), qui sont des quantités
d'ordre zéro. Soient:
J n(r,t) = /0 )[r,V - v(r,t),t]d 3 V,
(10.73)
J
pv(r,t) = /O)[r,V - v(r,t),t] mVd 3 u.
(10.74)
16. On appelle invariant collisionnel additif dans une collision d'une molécules avec une molécule p
toute quantité extensive A attachée à une molécule dont la somme se conserve à l'infini entre les voies
d'entrée et de sortie (notée') de la collision; soit: A p + As =A~+ A~ .
385

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
Les équations 10.73 et 10.74 pe1mettent de déterminer A et B, respectivement. La
définition, arbitraire à ce stade, d'un champ de température en non équilibre T(r,t),
quantité d'ordre zéro fournit la troisième relation permettant de déterminer D. Cette
définition est inspirée de l'équipartition de l'énergie à l'équilibre thermodynamique
parfait (à ce stade, elle reste à justifier) :
J 3 _ (O) m[V - v(r,t)] 2 3
2 n(r,t) kT(r,t) - f [r, V - v(r,t),t] d V. (10.75)
2
Tous calculs faits, il vient :
312
10) _ ( m ) [ m[V - v(r,t)] 2 ]
[r, V - v(r,t),t] - n(r,t) 2rckT(r,t) exp - 2kT(r,t) . (10.76)
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La fonction de distribution d'ordre (0) j<O)[r,V - v(r,t),t] est formellement identique
à / 0 (C) qui caractérise l'équilibre thermodynamique parfait, à la température T (voir
l'équation 10.27). J(O) [r, V - v(r,t),t] caractérise un Équilibre Thermodynamique Local
(ETL) del' élément de volume élémentaire d 3 r, pendant un intervalle de temps dt
arbitrairement petit. T(r,t), définie arbitrairement par l'équation 10.75, est la température
qu'aurait l'élément de volume s'il était parfaitement isolé à 'instant t, c'est-à
dire en négligeant les effets d'ordre l en Kn.
Les différences entre / 0 (C) et j<O) [r, V - v(r,t),t] sont importantes. Dans le premier
cas (ETP), tous les champs macroscopiques (n, v = 0, T) sont uniformes et il n'existe
aucun flux. Dans le second cas (ETL), les champs n(r,t), v(r,t) et T (r,t)) varient
fortement dans l'espace et le temps, ce qui se traduit par des flux, éventuellement
très intenses. Pour donner une image de la portée de cette hypothèse, les transferts
thermiques au sein d'une chambre de combustion d'un moteur d'avion relèvent de ce
modèle.
Notons le fait que j<O)[r,V - v(r,t),t] est une fonction paire de la vitesse relative,
comme l'est / 0 (C): dans ces conditions, comme dans le cas de l'ETP, tous les flux de
grandeurs scalaires et les termes non diagonaux du tenseur des pressions sont nuls
à l'ordre zéro (dans les conditions d'ETL). Ce n'est qu'à l'ordre 1 en Kn que ces
différents flux et termes non diagonaux vont apparaître (voir le paragraphe suivant).
En conclusion, la température d'ETL (solution d'ordre zéro) correspond à l'état
d'équilibre tangent du système, valable pour le seul élément de volume d 3 r arbitrairement
petit, pendant l'intervalle de temps dt, également arbitrairement petit. Ellen' a
de sens que si le système ne s'écarte que faiblement de cet état d'équilibre tangent,
ce qui se traduit par :
f- j\0) j«l)
/(0) ~ /(0) << 1 ·
(10.77)
386

l 0.4. Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion
Cette condition est respectée quand Kn est très petit devant 1. Cette température a un
sens physique pour les milieux dilués et les milieux denses, précisément définis dans
le paragraphe 10.3 e. C'est la température des transferts thermiques.
b) Flux de diffusion : perturbation de I' ETL
Avec les mêmes hypothèses et limitations que dans le paragraphe précédent, la solution
d' ordre 1 en Kn de l'équation de Boltzmann (équation 10.57) a la structure de
l'équation 10.62 :
soit:
Kn [ d~+ r r =
d ]<o) [ a ]<1)
Kn- + _ _ +
[ d t+f - ôt+fcoll
L f.) t'<r' V' ,t)f' (r' W' ,t)
(10.78)
- f +(r,V,t)f +(r,W,t)f) g+~ d 3 W+d.n (10.79)
En posant:
j-+(t)(r, V ,t) = f +(O)(r, V ,t) lf/(r, V ,t),
et utilisant les équations 10.72 et 10.78, on obtient:
(10.80)
Kn d~+ f+<O\ r,V, t) = J I.rr j +<O\r,V,t)f +(O)(r,W,t)g+ (10.81)
[!P(r, V',t) + !ff(r ,W' ,t) - !ff(r,V,t)- !ff(r ,W ,t)] d;; d 3 W+dn
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Résoudre à l'ordre un l'équation de Boltzmann revient à détermjner la fonction
'P(r, v,t) qui est assujettie à vérifier trois relations parallèles aux équations 10.73
à 10.75. Les seconds membres sont ici nuls, car n(r,t), v(r ,t) et T(r,t) sont d' ordre 0
en Kn. Il vient :
u 1ct3vr = o.
[J fmVd 3vr
=o .
[J f m(V; v)2 d3Vr = O.
(10.82)
(10.83)
(10.84)
La solution du problème mathématique ainsi posé, très complexe, est détaillée par
exemple dans les références [26, 46]. Nous commenterons ici, sans démonstration,
les résultats relatifs, au tenseur des pressions P ab et au flux conductif q cd·
387

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
• Tenseur des pressions : De même qu'il n'existe pas de contributions d'ordre 0 en
Kn aux termes non diagonaux du tenseur des pressions, il n'existe pas de contribution
à l'ordre 1 pour les termes diagonaux, pour des raisons de parité par rapport à
la vitesse relative. Les termes non diagonaux d'ordre 1 de l'équation 10.17 obtenus
par le modèle sont exprimés en fonction des composantes de la vitesse hydrodynamique
17 :
(1) [ ÔVb ÔVa 2 ( ÔVa Ôvb ÔVc) ]
P =-µ -+- - - - + - + - Ôab
ab ôa ôb 3 ôa ôb ôc
(10.85)
La quantité physiqueµ qui apparaît dans l'équation 10.85 est la viscosité dynamique
( exprimée en kg m- 1 ç 1 ). Son expression est donnée, à la suite de développements
mathématiques ardus, par :
5kT
µ= 8.Q(2,2) ,
(10.86)
où n< 2·2) est une intégrale de collision du type :
kT )1/2 Loo
,n(l,r) = · exp(-y2)y2r+3 Q(l) dy
(
2nµcoll
O
(10.87)
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avec : y =
112
µ coll )
(
2 kT g o< 0 (g) = 2rr f [! - cos' x (b,g)]bdb. (10.88)
où µcoll est la masse réduite de la collision, g le module de la vitesse relative,
b le paramètre d'impact de la collision et x l'angle de diffusion (voir paragraphe
10.3. l c).
C'est le potentiel d'interaction ~(r) qui pilote les résultats obtenus. Les intégrales
de collisions sont tabulées pour les différents types de potentiels sphériques (voir
les références [26, 46, 60], par exemple).
• Flux conductif: Le même modèle conduit, à partir de l'équation 10.16, à la loi de
Fourier moléculaire :
q cd(l) = _ .il. VT.
(10.89)
où À. désigne la conductivité thermique, exprimée en wm- 1 K- 1 :
,;i( l) = 25 CvkT
1 16 .Q(2,2) ,
(10.90)
où Cu est la chaleur massique à volume constant. En introduisant pour un gaz parfait
monoatomique la relation cp =
3
2. , on obtient à partir des équations 10.86 et 10.90
Cv
l'expression du nombre de Prandtl :
388
17. Oat> est Je symbole de Kronecker (Oat> = 1 si a= b, sinon Oat> = 0).
Pr = µcp = ~. (10.91)
À 3

l 0.4. Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion
Le nombre de Prandtl Pr d'un gaz monoatomique est constant et égal à 2/3. Un
résultat similaire est obtenu pour des gaz polyatomjques : les valeurs du nombre
de Prandtl sont en conséquence pratiquement constantes pour les gaz.
c) Généralisation
Les approches précédentes peuvent être généralisées à différents niveaux : avec les
mêmes hypothèses (limitation aux degrés de translation) mais avec des mélanges de
gaz, la vitesse de diffusion v~ del' espèce s, donc le le flux de masse de s peuvent être
exprimés au sein d'un mélange gazeux de s espèces ; v~ est déterminée, à l'ordre 1
en Kn dans les references [26, 46], ... Les expressions correspondantes font apparaître
d'autres intégrales de collision et sont complexes. Les coefficients de diffusion
introduits sont alors éventuellement couplées à la conductivité the1miques.
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d) Non additivité des conductivité, viscosité, diffusivité
dans un mélange
Un fluide constitué d' un mélange d'espèces est caractérisé, à chaque instant et en tout
point, par des viscosité, conductivité thermique et diffusivité globales. Ces quantités
sont obtenues à partir de modèles d'autant plus complexes que le mélange comporte
un plus grand nombre de constituants. Par exemple, la difficulté de la détermination
de la conductivité il d' un mélange, à partir par exemple des conductivités de
ses espèces considérées isolément, vient du fait que cette grandeur est pilotée par les
potentiels d' interaction entre les différentes molécules du mélange. Pour prendre un
exemple simple, si la conductivité l'hélium pur est pilotée par le potentiel d' interaction
VHe-He entre deux atomes d' hélium, la conductivité d'un mélange Hélium­
Néon est pilotée non seulement par les potentiels VHe-He• VNe-Ne mais aussi par
VHe-Ne• potentiel d'interaction entre un atome d'hélium et un atome de néon. Il n'y a
donc pas de propriété d'additivité. Des ouvrages spécialisés traitent de ces questions
sous des approches théoriques [ 46, 60] ou sous forme de bases de données expérimentales
[lll, 142]. De nombreux logiciels ont été développés pour calculer ces
propriétés de transport dans des mélanges complexes, par exemple dans un milieu en
combustion ou dans un plasma, dans lequels des centaines d'espèces sont éventuellement
à prendre en compte .
389

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
10.4.2 Exercice d'application
( Exercice 10.1 Modèle grossier de viscosité et conductivité thermique
Énoncé
On considère un gaz dilué d'atomes, constitué d'une seule espèces, de masse m. Une
équation d'évolution très simplifiée de la fonction de distribution des vitesses des
atomes est adoptée :
(10.92)
où T est la durée entre deux collisions dans le modèle grossier des sphères dures de
diamètre d (voir paragraphe 10.3.1).j<O) est la fonction de distribution d'ordre zéro,
à l'ETL pour un milieu dilué, donnée par :
(10.93)
avec les notations du cours. On se limite à une solution f sous la forme d'un développement
de perturbation d'ordre 1 en Kn :
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a) Donner 1' expression de cp(I).
b) Justifier précisément l'usage de l'équation d'état d'un gaz parfait.
c) Le milieu est supposé dans cette question isotherme à T ; le nombre de pa1ticules
par unité de volume n est supposé unif01me, en première approximation. L' écoulement
stationnaire est caractérisé par un champ de vitesses hydrodynamique u(y),
parallèle à Ox et ne dépendant que de y.
Donner l'expression de la fonction de distribution.
En déduire l'expression de la contrainte de cisaillement, composante P xy du tenseur
des pressions.
Étudier dans ce modèle les dépendances en pression et en température du coefficient
de proportionnalitéµ de Pxy' appelé viscosité dynamique.
d) Dans cette question, le fluide est au repos macroscopique, à pression uniforme. Le
champ de température T(xi) est stationnaire.
Établir l'expression de la fonction de distribution.
Retrouver la loi de Fourier et donner l'expression de la conductivité the1mique À.
390

l 0.4. Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion
Étudier, dans ce modèle, les dépendances en pression et en température de la conductivité.
Donner l'expression du nombre de Prandtl défini par: Pr = µcp/À.
Solution
a) Expression de <Pi
Le nombre de Knudsen est défini, d'un point de vue temporel par: Kn = ~ où Test le temps
de relaxation global et e le temps hydrodynamique. En posant : t+ = t/e, il vient :
(10.95)
Le premier membre, proportionnel à Kn, est au moins d'ordre 1 en Kn; j<O) est donc la
solution de perturbation d'ordre zéro en Kn de l'équation d'évolution.
À l'ordre 1 en Kn, celle-ci devient:
( )
(0)
Kn d~ f = - / 1) = -<P(J) J<O) (10.96)
Comme la durée d' une collision est très petite devant les échelles associées au temps hydrodynamique
r (voir paragraphe 10.3.1 c), on peut poser:
ce qui conduit, en repassant à un temps dimensionné, à :
(
d )(O) d
dt+ j = dt+ j<O) (10.97)
(1) = - Kn ~l\O) = - ~ilo)
</J j(O) dt+ . j(O) dt
(10.98)
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b) Équation d'état d'un gaz parfait
À l'ordre zéro les composantes non diagonales du tenseur des pressions, telles que :
(10.99)
sont des quantités impaires par rapport aux C, intégrées sur Ja dist1ibution d'ordre zéro :
elles sont nulles. Les composantes diagonales vérifient, d'après le théorème d'équipartition
de l'énergie, une relation du type :
soit:
-- Je C 1<o)d3 - -2nkT(xï)
'''' A '' 2
P •• - m • • v -
(10.100)
(10.101)
On retrouve localement l'équation d'état des gaz parfaits, à l'ordre zéro (solution d'ETL).
391

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
c) Contrainte de cisaillement, viscosité
Cx = Vsx - u, (10.102)
Il vient:
j<O) = n[ m ]3/2 exp (- mC2)
(2nkT) 2kT
(10.103)
j<O) ne dépend que de la quantités macroscopiques y par l'intermédiaire de u(y) et est
indépendante de x, z et de t, à des échelles de temps grandes devant la durée des collisions.
Dans ces conditions, comme : y x = 0, il vient :
a
d
- j<O\y,u) = C -j<O)
dt
y 8y
(10.104)
Soit:
( 1) m a
,+, = -r-C C -u
'r kT X y 8y
(10.105)
À l'ordre 1 en Kn, on obtient :
Pxy = -m
+oo
f f +oo f +oo ( Tm 8 )
c;c; - kT -u j< 0 >dCxdCydCz
8
a a
OO - OO - OO /j
Pxy = rnkT-
8 y
u = µ- 8 y
u
(10.106)
(10.107)
Dans le modèle des sphères dures, on obtient (voir équation 10.59) :
1
T=---
ncflnG
(10.108)
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où d et G sont les portée du potentiel et la vitesse relative moyenne de deux molécules.
Soit:
1 (mkT)'l 2
(10.109)
µ=4yn d2
Dans ce modèle simplifié, µ est indépendant de la pression (ce qui est exact) et croît en
T 1 1 2 • Cette dépendance en température est fausse ; une dépendance plus correcte peut être
obtenue à partir d'un potentiel d' interaction plus réaliste, par exemple de type Lennard­
Jones .
d) Expression simplifiée du flux conductif. Conductivité thermique.
Dans cette question, le fluide est au repos macroscopique, à pression uniforme. Le champ
de température T (xi) est stationnaire. Avec ces hypothèses, on pose :
(10.110)
Il vient:
(10.111)
392

l 0.4. Équilibre Thermodynamique Local et flux de diffusion
et:
AO) m 1 ( mC 2 )
J , = p (2nkT)312 (kT)512 exp - 2kT
(10.112)
fO) ne dépend que des quantités macroscopiques Xi par l'intermédiaire de T :
aj<O)
d
_ AO) (x·) = C.-
1
dt1 . /. axi
(10.113)
Soit:
(10.114)
Le flux conductif a pour expression :
(10.115)
Seul le terme d'ordre 1 en Kn de f, soit /
0 )</>(I), contribue au flux, ce qui conduit à:
5k BT BT
qJ = --TnkT- = -À.-
2m 1Jx 1 1Jx 1
(10.116)
La conductivité thermique obtenue À. est indépendante de la pression et croît en T4 ; cette
dernière dépendance est fausse, comme dans le cas la viscosité :
Sk 1 (mkT) 1 1 2
À.=-------
2m4yn d 2 (10.117)
Le rapport de la conductivité thermique à la viscosité dynamique (équation 10.109) est
indépendant de la température et de la pression. Plus précisément, si on introduit la capacité
the1mique massique cp = ~ k/m, on obtient:
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µcp
Pr=-=1
À.
(10.118)
Le nombre de Prandtl vaut 1 dans le cadre de ce modèle simplifié. La résolution de l'équation
de Boltzmann à l'ordre 1 par la méthode de Chapman-Enskog avec un conduit aussi à
une valeur constante exacte de Pr, égale à ~ (voir l'équation 10.91). J
l 0.4.3
ETL et solution de perturbation pour le champ
de rayonnement
Si l'ETL est le cadre usuel des transferts thermiques au sein d'un système matériel
et les conditions de non équilibre, l'exception, la situation est inversée pour les transferts
radiatifs. Une loi de Fourier radiative est introduite dans les paragraphes 6.4.3
et 6.5.2, dans des conditions très particulières telles que le système matériel est loca-
393

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
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lement optiquement épais. Le champ de rayonnement est dans ces conditions considéré
également dans des conditions d'ETL, caractérisé par la température T(r, t), à
l'ordre zéro d'une solution de perturbation de l'équation de transfert du rayonnement.
Le paramètre de perturbation est un nombre de Knudsen radiatif KnR, souvent pris
égal à (/36r 1 , où f3 et 6 sont respectivement le coefficient d'extinction du milieu et
la plus petite échelle spatiale sur laquelle le milieu peut être considéré optiquement
épais. La quantité 1//3 est la longueur d'extinction du rayonnement, qui joue le même
rôle que le libre parcours moyen des molécules dans le cas d'un milieu matériel, et
doit être petit devant une échelle spatiale caractéristique du système.
Des critères précis de validité de la loi de Fourier radiative (donc des conditions
d'ETL) ont été récemment établis [51 ] pour un millieu absorbant et diffusant le rayonnement.
Ils sont basés sur un coefficient d'absorption effectif Jl!f!, qui tient compte des
phénomènes de diffusion et a été tabulé en fonction de l'albedo w = a-//3 et duparamètre
d'asymétrie de la diffusion g (voir le paragraphe 6.2.3). En effet l'effet de la
diffusion, en particulier quand les phénomènes de diffusion sont nombreux entre le
point d'émission et celui d'absorption d'un photon, est de fortement réduire la distance
parcourue entre ces deux évènements : Kef! peut alors être beaucoup plus grand
que le coefficient d'absorption K du milieu.
Les deux conditions de validité de la loi de Fourier radiative sont:
• Le modèle n'est applicable qu'en des points situés à une distance des frontières du
milieu supérieure à 5 à 10 Kef! - J ; en effet, tout l'environnement du point considéré
doit être optiquement épais.
• Le gradient de température doit être, en tout point du milieu et à toute échelle spatiale,
borné par : d J~(T) < 17Keff. Le coefficient 17 dépend de la précison souhaitée
sur le flux radiatif. Pour une précision de io- 2 , 17 vaut 0,03 [51].
l 0.5 NON ÉQUILIBRE DU SYSTÈME MATÉRIEL:
NANOSYSTÈMES ET MILIEUX RARÉFIÉS
~
"5i l 0.5. l Conditions de Non équilibre
ï::::
>-
g. Des conditions très spécifiques d'un système matériel, alors généralement qualifié de
u
nanosystème ou milieu raréfié, peuvent être caractérisées :
• en approche spatiale, par un libre parcours moyen des vecteurs de la conduction
(molécule, électron, phonon) de l'ordre de grandeur des dimensions du système ou
beaucoup plus grand (Kn?:: 1). Citons les cas des gaz raréfiés, dits en régime moléculaire
ou de Liouville, à très basse pression, ou plus couramment des applications
394

1 O.S. Non équilibre du système matériel : nanosystèmes et milieux raréfiés
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à la nanothermique pour les matériaux. Il s'agit, par exemple, de caractériser la
réponse de matériaux très minces (nanométriques) à des solicitations thermiques.
, ., .,
• en approche temporelle, par une durée moyenne entre deux collisions des vecteurs
de la conduction (molécule, électron, phonon) de l'ordre de grandeur ou beaucoup
plus grande que l'échelle de temps du système (Kn;::: 1). C'est le cas de matériaux
soumis à des lasers impulsionnels dont la durée de l'éclair est de l'ordre de 10- 12 s
(picoseconde ps) ou 10- 15 s (femtoseconde fs).
• ou encore, par combinaison des deux phénomènes précédents, par une durée
moyenne entre deux collisions relativement grande pour un système de dimension
relativement petite, ce qui conduit encore à Kn ;::: 1. Notons que dans ces
conditions l'appellation nanosystème peut être impropre, que ce soit sous l'angle
temporel ou sous l'angle spatial. Une terminologie plus correcte serait système en
non ETL.
Dans les cas extrêmes caractérisés par Kn >> 1, la température n'a plus de sens
physique, même si on peut continuer à l'introduire formellement. Le flux, par contre,
est clairement défini en termes de fonction de distribution des porteurs f [ 46]. Physiquement,
les collisions entre paiticules (ou les interactions) deviennent extrêmement
rares et ne thermalisent plus le système. Il n'existe plus alors que les collisions ou
interactions avec les parois. Pour un gaz, l'équation de Boltzmann dégénère alors
en équation de Liouville (df/dt = 0: voir le paragraphe 10.3.1), c'est-à-dire sans
terme de collisions (second membre nul). C'est un régime ballistique, qui s'apparente
simplement au traitement du rayonnement entre deux parois à travers un milieu
transparent. La fonction de distribution des vitesses dans une direction donnée f n'est
pas modifiée dans le milieu mais seulement après réflexion des vecteurs sur une paroi
: on admet alors, en général, qu'après thermalisation, la fonction de distribution
des vitesses issues de la paroi est celle d'équilibre à la température de cette paroi,
considérée comme thermostat. Un exemple de ce cas ballistique est traité dans le
paragraphe suivant.
Das les cas intermédiaires, caractérisés par Kn ~ 1, le traitement physique est plus
complexe. C'est par excellence le domaine de la nanothermique.
Par exemple, la loi de Fourier ne postule aucun effet de retard en flux après l'apparition
d'une pe11urbation en un point. Ce retard est physique et lié au temps de
relaxation des vecteurs de l'énergie (de l'ordre de la durée moyenne entre deux collisions
dans le cas d'un gaz dilué). Cependant, les ordres de grandeurs de ces temps
de relaxation sont très faibles dans les solides et les liquides (généralement inférieurs
à io- 10 s); c'est également le cas dans les gaz à la pression atmosphérique. Ce retard
n'a aucune conséquence dans la plupart des applications usuelles. Mais quand l'une
des trois conditions précédentes est vérifiée, la loi de Fourier, sans terme de retard,
est mise en défaut.
395

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
Un modèle grossier [20, 148], très ancien, consiste à introduire un effet de retard
dans l'expression du flux conductif, ce qui conduit à une équation de diffusion hyperbolique
(du type équation des télégraphistes). Dans cette voie phénoménologique, le
retard est piloté par un temps de relaxation unique T [99] :
- il ôT = 'Peel + T Ôcpcd
ôx
Ôt
(10.119)
L'équation de l'énergie devient alors :
pc ôT = _.!_(-il ôT - T ôcpcd ) =À ô2T - pc T ô2T
P ôt ôx ôx ôt ôx2 P ôt2
(10.120)
Cette équation hyperbolique conduit à la propagation d'un signal thermique de pulsation
w de la forme T(t) = B(t) eiwt avec une célérité, vitesse de phase, qui tend pour
w ~ oo vers une valeur finie : C 00 = (a/T)l/ 2 .
Il y a toujours dispersion de la célérité comme dans l'équation de diffusion mais les
signaux de fréquence infinie ne se propagent plus à une vitesse infinie. Le paradoxe
que recèle la loi de Fourier est de cette façon levé pragmatiquement, puisqu'il apparaît
une vitesse limite de propagation d'un signal thermique.
Ce sujet fait toujours l'objet d'un impo1tant effort de recherches par des méthodes
plus précises. En particulier les méthodes numériques directes, de type dynamique
moléculaire, traitent directement le problème à partir des potentiels d'interaction
entre les particules du milieu. On pourra par exemple se reporter aux références [1 ]
et [27].
10.5.2 Exercice d'application
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( Exercice 10.2 Régime ballistique d'une assemblée de particules
Énoncé
On considère une assemblée gazeuse homogène de n atomes par unité de volume, au
repos macroscopique entre deux parois à températures T 1 et T 2 , parallèles, infinies,
normales à Ox et distantes de d.
Les atomes entrant en collision avec une paroi de température Ti sont thermalisés et
quittent cette paroi en étant caractérisés par une fonction de distribution f, proportionnelle
à exp[-mC 2 /(2kTi)] après une réflexion spéculaire (loi de Descartes).
396
Cas 1 (milieu raréfié réel) : T 1 = 1200 K, T2 = 300 K, d = 0, l mm,
n = 10 20 atomes/m 3 , portée du potentiel interatomique : 13 = 10- 9 m, M =
3 10- 3 kg/mole.

1 O.S. Non équilibre du système matériel : nanosystèmes et milieux raréfiés
Cas 2 (nanosystème, iHe) : Ti = 290 K, T2 = 310 K, d = 4 nm, n =
5 10 24 atomes/m 3 , portée du potentiel interatornique : :B = 10- 9 m, M
4 10- 3 kg/mole.
a) .Montrer que le milieu est raréfié au sens du paragraphe 10.3.l.
b) Exprimer la fonction de distribution des vitesses f(x, Vs, t), associée au système
d'atomes, en exploitant la nullité en tout point du flux de particules.
c) Exprimer le flux d'énergie transférée d'une paroi à l'autre. Discuter des ordres de
grandeur dans les cas 1 et 2.
d) Exprimer le champ de pression dans le fluide. Démontrer qu'il est isotrope et
uniforme. Discuter des ordres de grandeur dans les cas 1 et 2.
e) On peut formellement définir, même dans un milieu totalement hors d'équilibre,
une température par la relation :
J -3 nkT = -mC 1 2 f d 3 v
2 2
Cette définition a-t-elle un sens dans le cas 1 ?
Quelques rappels :
Loo 2n ( 2)d _ (2n - 1)(2n - 3) ... 1 ( . 7f
x exp -ax x - --)!
0 2n+ l a2n+J
Loo 1
x 2 n+ 1 exp( -ax 2 )dx = _n_.-
o
2an+I
(10.121)
(10.122)
(10.123)
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Solution
a) Calculs d'ordres de grandeur.
Le nombre de Knudsen vaut approximativement (voir équation 10.59) :
l.p.m. 1
Kn= '.::::'. ---
d rr13 2 nd
A.N cas 1 (milieu raréfié réel): Kn = 32; A.N cas 2 (nanosystème): Kn = 16.
(10.124)
En conclusion, Je libre parcours moyen l.p .m. est très grand devant d: Je milieu est raréfié.
Le théorème de Liouville est applicable au sein d'un milieu.
b) Expression de f.
D'une paroi à l'autre, la fonction de distribution f est indépendante de x, y et z, à cause de
la symétrie plane du système et de l'absence d'interaction dans un milieu. Compte tenu de
la symétrie de révolution du système autour de Ox, on utilise des coordonnées cylindriques
d'axe Ox.
397

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
Comme la vitesse hydrodynamique est nulle, il y a identité entre la vitesse d'un atome et sa
vitesse relative de module C. Dans ces conditions, f est une fonction de C et de e. Soient :
f+ =A exp[-mC 2 /(2kT 1 )]
µ = cose > 0
8€[0,n/2]
(10.125)
] = B exp[-mC 2 /(2kT2)]
µ = cose < 0
Deux relations permettent d'exprimer A et B.
> Première relation, liée à la définition de f :
J n = fd 3 C
BE[n/2, 7r]
avec: d 3 C = 2nC 2 dCsinede
n =Al°" exp[-mC 2 /(2kT1)]C 2 dC l 1T/ 2 2n si n ede
(10.126)
(10.127)
(10.128)
Soit:
+B f exp[-mC 2 /(2kT2)]C 2 dC ( 1T 2n sin()d()
0 J JT/2
(10.129)
(10.130)
(10.131)
+ -
n = n +n
(10.132)
n+ est le nombre de particules en mouvement dans le sens de Ox, n- dans le sens opposé.
> Deuxième relation. On exprime que Je flux de particules est nul en tout
point:
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Comme:
il vient:
J q~ = Ccos()jd 3 C = 0 (10.133)
00
A fo C 3 exp[-mC 2 /(2kT1)]dC fo1T 12 2nsin8cosede (10.134)
+ B f C 3 exp[-mC 2 /(2kT 2) ]dC ( 1T 2n sine cos ede = 0
0 J JT/2
(10.135)
roo (kY.) 2
Jo C 3 exp[-mC 2 /(2kTi)]dC = 2 --;;/- (10.136)
(10.137)
+T112 _ -T112
n J - n 2 (10.138)
398

1 O.S. Non équilibre du système matériel : nanosystèmes et milieux raréfiés
Ces équations s'interprètent par le fait que le flux suivant Ox est proportionnel à la vitesse
quadratique moyenne, qui est en T : 12 , tandis que le flux dans les sens opposé est
proportionnel à la vitesse quadratique moyenne, qui est en T~ 12 . Il vient encore :
yl/2
n+ = n . 2
T1 12 + T1 12
1 2
T1 12 ( 3/2
A = 2n 2 __!!!__
T112 + T112 2rckT1)
1 2
T l/2
- n J
n =----
T'/2 + T112
l 2
T1 12 ( 3/2
1
B = 2n
__!!!__)
T1 12 + T112 2rckT2
1 2
(10.139)
(10.140)
c) Flux d'énergie.
En posant:
J
mC2 m in Loo
q~ 1 = --Cxfd 3 C = - 2rcsin8cosede C 5 fdC
2 2 0 0
(10.141)
(10.142)
on obtient:
l lf/2
llf
q~ 1 = mrcAl 5 (T 1 ) sine cos BdB + mrcBl 5 (T2) sine cos BdB
Soit, tous calculs faits :
0 n/2
n(T1 T1)1;2(2k)3;2
qen = (T1 - T1)
x (rcm)' l2(T:12 + T~ /2 )
(10.143)
(10. 144)
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Le phénomène est indépendant de la distance entre les parois 18 , tant que le milieu reste
raréfié. Le flux est proportionnel à T 1 - T 2 , à net inversement proportionnel à m 1 2 • Si
T 1 » T2, le flux est proportionnel à T~ 12 , c'est à dire à la vitesse quadratique moyenne des
atomes dans le sens limitant.
A.N. cas 1 (milieu raréfié réel) : qen = 2,4 kW/m 2 ,
qen
soit un coefficient de transfert : h = ·· = 2,68 W/(m 2 K)
T1 -T 1
A.N. cas 2 (nanosystème): qen = 5 MW/m 2 ,
qen
soit un coefficient de transfert: h = ·· = 1,45 10 4 W/(m 2 K).
T1 -T2
Cette dernière valeur est à comparer à À./d, coefficient de transfert associé à la loi de Fourier,
qui n'est pas valable ici : 3,8 10 7 W m- 2 K- 1 , pour del' hélium de conductivité À égale à
0,152 wm- 1 K- 1 .
d) Champ de pression. On pose: D = Cx, Cy ou Cz et il vient:
Pdd = - { mD 2 A exp[-mC 2 /(2kT 1 )]d 3 C - { mD 2 B exp[-mC 2 /(2kT2)]d 3 C
J~~
J~~
(10.145)
399

Chapitre 10 • Bases physiques des transferts thermiques
On constate immédiatement, que chacune des intégrales, fonction paire, prend la même
valeur quel que soit D et que la pression est isotrope et égale à p :
(10.146)
Cette pression est uniforme: on retrouve une équation d'état d'un gaz parfait, associée à
une « température» (T 1 T 2 ) 1 1 2 !
A.N. (cas 1): p = 1,7 Pa
Le cas 2 est de peu d'intérêt: puisque la température reste voisine de 300 K, la loi des gaz
parfait s' applique approximativement.
e) Température hors équilibre.
La définition formelle de la température conduit à :
(10.147)
Soit la même température (T 1 T2) 1 1 2 que précédemment. Mais cette notion de « température
» hors équilibre n'a pas de sens physique: si le milieu est isotherme au sens de cettte
température, il est traversé par un flux d'énergie !
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400

COMPLÉMENT
QUELQUES MÉTHODES MATHÉMATIQUES
DE LA DIFFUSION
On se limite au cas d'un système à deux variables x et t. On se reportera, pour une
interprétation physique, au paragraphe 3 .2.1.
A.1 UTILISATION DE LA TRANSFORMATION
DE LAPLACE
a) La démarche
La méthode consiste :
• à appliquer une transformation de Laplace à l'équation de l'énergie, qui devient
alors une équation différentielle en x, aux conditions aux limites et à la condition
initiale. À une fonction F(t) on fait correspondre une transformée de Laplace /(p)
linéaire, par :
p E C: f(p) = f exp(-pt)F(t)dt. (A.l)
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• à résoudre le nouveau système ainsi obtenu dans l'espace transformé ;
• à revenir à l'espace (x,t): dans un cas favorable, on utilise un dictionnaire d'images
(voir Donnéses de base); dans le cas contraire, on utilise la form ule d'inversion de
M.ellin:
F(t) = lim -.
1 l y+iX
X-+oo 2m y-iX
exp(pt)/(p)dp,
(A.2)
où i2 = - 1. Cette méthode fait appel au calcul des résidus. Sur un contour d'intégration
compo1tant des pôles simples d' une fonction f(z) on calcule des résidus :
Res(a) = lim(z - a)f(z),
z-+a
(A.3)
La transformée de Laplace est un outil puissant et performant pour les problèmes
instationnaires monodimensionnels (plans, cylindriques, sphériques). Elle peut être
utilisée pour résoudre des problèmes bi et tridimensionnels mais son intérêt chute
car l'équation de l'énergie à résoudre après transformation reste une équation aux
401

Annexe A • Complément
dérivées paitielles en variables spatiales. Notons que pour des problèmes monodimensionnels,
elle est applicable à des conditions initiales non uniformes suivant la
variable d'espace.
b) Application au problème d'une barre de rayon R
On considère le problème des paragraphes 3.2.lb et 3.2.2, représenté par le système
d'équations 3.15 à 3.18. Dans l'espace (r,t), on pose:
y+= T/To, r+ = r/R, (A.4)
Il vient :
(A.5)
(A.6)
(A.7)
Après transformation de Laplace du système, on obtient (on abandonne les +):
pB - 1 = ~ i (r dB) ,
r dr dr
(A.8)
dB (l,p) +Bi B(l,p) = 0,
dr
(A.9)
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de
dr (0,p) =O.
(A.10)
où B(r,p) désigne la transformée de Laplace de T(r,t). La condition initiale a disparu,
intégrée dans l'équation A.8.
On cherche une solution dans l'espace transformé en posant : p = q 2 et u = rq ;
l'équation sans second membre A.8 devient:
2 d2 B de 2
u - + u- - u B = O.
du 2 du
(A.11)
Elle est du type Bessel modifiée. Sa solution générale s'écrit [2], en fonction des
fonctions de Bessel modifiées / 0 et K 0 :
e(r,p) =A l 0 (qr) + B K 0 (qr).
(A.12)
402

A. l. Utilisation de la transformation de Laplace
Une solution particulière de l'équation avec second membre est :
La solution générale est donc :
e
- 1
part= P · (A.13)
B(r,p) =A l 0 (qr) + B K 0 (qr) + p- 1 .
(A.14)
Le problème physique a une solution finie. Comme Ko(qr) ---? oo quand r ---? 0, on
a: B = 0, ce qui est compatible avec l'équation A.IO qui est vérifiée par / 0 (qr). A est
déterminé à partir de l'équation A.9, ce qui conduit à:
Aql~(q) + Bi [Al 0 (q) + p- 1 ] = O.
(A.15)
Bi l 0 (qr) 1
e( rp ) =- + -
, p[q l~(q) +Bi l 0 (q)] p
avec: q = pl/2 (A.16)
On recherche alors les pôles de cette solution : p = 0, pôle simple et les zéros en p
de:
q l~(q) + Bi / 0 (q) = O.
(A.17)
Des relations [2] permettent de transformer cette expression, en utilisant des fonctions
de Bessel non modifiées. On pose :
et l'équation à résoudre devient :
/~(q) = iJ~(iq) = -if 1 (iq) k = iq. (A.18)
V= - k l 1(k) + Bi J 0 (k) =O. (A.19)
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Cette relation admet une suite infinie de racines simples réelles : k = k 1 , ... ,kn .. . ,
auxquelles correspondent, en variables p, une suite infinie de racines négatives : p =
-kf, -k~, ... , - k;, .... On suppose ces racines connues et toutes pôles simples en p.
On applique à ce stade la formule d'inversion de Mellin A.2, qui fait intervenir la
quantité exprimée à partir du théorème des résidus :
Bi (ly+iX 1 (qr) exp(pt) 1 ) ~
T+ = - 2
. lim . [ ;,( ) B"/ ( )] + - dp = L.J Res(-/Ç) + Res(O)
m X ~ 00 y-1X p q 0 q + J 0 q p n= 1
(A.20)
avec: Res(O) = Bi- 1 • Pour calculer R es(-k~) , il est aisé de montrer que :
(A.21)
403

Annexe A • Complément
en utilisant les relations :
J~ (k) = - Bi J 0 (k)/k kli (k) = - li (k) + kl 0 (k). (A.22)
Finalement :
+ _ . fi l 0 (kn r+. ) exp(-/Çt+)
T - 1 - 2B1 L.J
2 2
n= 1
(Bi + kn)l 0 (kn )
.
(A.23)
À partir des équations A.4 et A.23, il vient, en variables dimensionnées :
00
T(r, t) _ (h2R) 2=
l o(kn k) exp(-k~ ~D
1 - 2-
To - À _
n- i
[(h2R)2 + k2 ]J (k ) '
À n o n
kn étant la suite des racines simples réelles de l'équation A.19.
c) Tabulation des solutions
La solution est tabulée sous la forme (Schneider, 1963) :
T - To
B = Ta _ To = 1 - T+ = /(Fo, Bi,r/R)
(A.24)
(A.25)
où Ta désigne la température du milieu extérieur et T o la température initiale. Dans
cette référence, de nombreuses géométries sont abordées. Si les abaques perdent
beaucoup d' intérêt, avec le recours aux ordinateurs, ils permettent néanmoins d'obtenir
rapidement une évaluation précise du compo1tement instationnaire d' un système
assimilable à une géométrie simple.
Dans le cas du problème du paragraphe 5.2.1, la surchauffe autorisée est:
oT = Tc - Tf (r = 0) = 100° C.
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On pose : R = 10- 2 m ; À= 1 W m- i K- 1 a = 10- 6 m 2 /s ;
hi = 3.10 3 W m- 2 K - 1 ; h 2 = 2.10 3 W m- 2 K - 1 B 2 - Bi = 50 °C ; P = 410 8 W/m 3 .
On obtient à pa1t.ir de 3.18 : To = - 383 °C.
Il est évident que le régime stationnaire T~ ne doit pas être atteint. On a, de plus :
(A.26)
r: = [T2c - Tf (r = O)]!To = oT + T f (r = 0) - Tf (r = 0) = (oT + To)/To (A.27)
Bc(r+ = 0, t+) = -oT/To = 100/383 = 0,261.
(A.28)
Soit, d' après l'abaque (Schneider, 1963) :
Foc = t: = atc/R 2 ~ 0, 16
(A.29)
404
ce qui conduit à : te ~ 16 s. Il faut agir très vite !

A.2. Utilisation de la méthode de séparation des variables
A.2 UTILISATION DE LA MÉTHODE
DE SÉPARATION DES VARIABLES
Nous traitons, à titre d'illustration, l'exemple du paragraphe 3.4.1. Soit à résoudre le
système d'équations 3.70 à 3.72 linéaire et homogène, à l'exception de la condition
initiale, qui est hétérogène.
a) Principe de la méthode
Chercher des solutions particulières y + sous la forme :
(A.30)
leur imposer, arbitrairement, de vérifier les conditions homogènes, puis chercher une
combinaison linéaire de ces solutions qui vérifie la condition hétérogène. Si celle-ci
existe, c'est, d'après le théorème d'unicité, la solution. La méthode est aussi applicable
à des problèmes multidimensionnels, stationnaires ou instationnaires. Par commodité,
les symboles + sont omis dans la suite.
b) Résolution
Il vient :
f(x) g' (t) = g(t) f" (x)
g' (t) f" (x) 2
- - --k
g(t) - f (x) - ·
(A.31)
En effet deux fonctions égales de variables indépendantes x et t sont nécessairement
égales à une constante. Les solutions particulières sont donc de la forme :
g(t) =A exp(-k2t) ; f(x) = B sin(kx) + C cos(kx), (A.32)
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soit:
T(x,t) = exp(-k 2 t)[D sin(kx) + E cos(kx)]
(A.33)
On impose à ces solutions de vérifier les conditions homogènes du système d'équations
3.71. Soit:
D = 0 ; -k sin(k) +Bi cos(k) =O. (A.34)
Les solutions correspondantes reposent sur la suite infinie de valeurs discrètes positives
(k 0 , ki, k2, ... , kn, etc.) vérifiant:
On cherche alors une fonction de la forme :
OO
(A.35)
T(x,t) = ~A n cos(knx) exp(-k~t), (A.36)
n=O
405

Annexe A • Complément
qui vérifie donc les équations 3.70 et 3.71 et à laquelle on impose, de plus, de vérifier
l'équation 3.72 ; soit:
OO
~A n cos(knx) = 1. (A.37)
n=O
Pour trouver les coefficients A n on utilise les propriétés d'orthogonalité de la base des
fonctions cos(knx) vis-à-vis d'un produit scalaire 1 . Il vient:
li COS(knX) COS( km X )dx = Ônm ( J/2 + sin(2kn)f 4kn] (A.38)
En multipliant l'équation A.37 membre à membre par cos(kmx) et en intégrant de 0
à 1, on obtient :
Vn
(A.39)
La solution du système 3.70 à 3.72 s'écrit, en rétablissant les symboles + :
(A.40)
L'exemple traité par la transformée de Laplace dans l'annexe 3 aurait également pu
1' être par séparation des variables ; la réciproque est aussi vraie pour l'exemple traité
ici. La présente méthode s'applique aussi après une adaptation simple au cas de l'ailette
du paragraphe 2. 2.
A.3 UTILISATION DE LA FONCTION DE GREEN
EN CONDUCTION
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a) Définition de la fonction de Green
Un problème général de conduction instationnaire linéaire (,t eth constants, rayonnement
négligeable ou linéarisé) comprend :
• une équation de l'énergie :
âT _ V 2 P(r,t)
- -a T+ ,
8 t
pep
(A.41)
• une condition initiale :
T(r,t = 0) = T 0 (r),
(A.42)
406
1. si n t m : f 1 cos(k 11
x ) cos(k 111
x )dx = -1 [ sin? n;k,,,) 2
+ sin?" ~ k,,,) ] = X ;
Jo ,,+,,, ,,- ,,,
d'autre part l'équation A.35
devient . kn = 1g(k111) = sin(k111) cos(k,, ) => X = O
· km tg(k,, ) sin(k11) cos(km)

A.3. Utilisation de la fonction de Green en conduction
• des conditions aux limites :
T(r1t) = Ti (rit) sur S 11 (A.43)
-ÀVrT.next = h[T(r1t) - T2(r1t)] + cp 0 (r1t) sur S2 (A.44)
où S 1 et S 2 représentent deux parties de la surface latérale S (S = S 1 US 2) et Dexr
désigne le vecteur unitaire de la normale dirigée vers l'extérieur de S . La fonction de
Green associée à un tel problème G(r1r'1 t - t') est la solution du système homogène
suivant, associé au système d'équations A.41 à A.44 :
ôG
- = aVr 2 G + 8(r - r')8(t - t')1
Ôt
(A.45)
G(r 1
r' 1
t - t') = 0 s1 t < t' 1
(A.46)
G(r1r'1 t - t') = 0 sur S 11
(A.47)
-ÀVrG.next - hG = 0 sur S 2·
(A.48)
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Le système d'équations A.45 à A.48 est un système particulier du type précédent
caractérisé par une impulsion de n01me unité, appliquée au point r' à l'instant t', et
des conditions initiales et aux limites homogènes. Cette interprétation physique sera
utile dans la phase de détermination pratique de fonctions de Green.
La solution du système A.41 à A.44 se déduit de G et des expressions des termes
non homogènes, soient T 0 (r)1 Ti (r1t), T2(r1t)1 cp 0 (r1t) par la relation explicite (Morse
et Feschbach, 1953; Carslaw et Jaeger, 1959) :
T(r1t) = J: G(r1r' 1 t)T 0 (r')dV'
+a (1 ( T1(r'1t')(-De.:a).Vr G(r1r'1t-t') dS~ dt'
Jo Js1
~ T2(r',t') - ~ (r',t')] G(r, r' ,t - t') dS ~ dt'
-al' L, [
+ ( ( G(r1r'1t - t')_!___(r' 1t')dV' dt' 1 (A.49)
Jo J v
pep
où V r' représente le gradient par rapport aux composantes du vecteur r'. De la comparaison
des premier et quatrième termes du membre de droite, il ressort qu'une
407

Annexe A • Complément
condition initiale s'interprète comme une puissance P dissipée à l'instant t' = 0 uniquement.
La difficulté essentielle de la méthode réside dans la résolution du système
homogène A.41 à A.44 qui peut être entreprise par des techniques usuelles (transformée
de Laplace, etc.)
b) Exemple de référence : fonction de Green associée
à un milieu infini
La démarche suivie ici est inductive. La fonction :
l
, 1 [ (r - r') 2
G(r,r ,t) = 3/2 exp - 4a(t - t') '
8[na(t - t')]
(A.50)
est solution de l'équation de l'énergie:
pour t > t'.
(A.51)
De plus, quand t tend vers t' , cette fonction tend vers 0, en tout point, sauf au point r',
où elle devient infinie, ce qui correspond au cas d'une impulsion imposée en t = t'
et r = r' à un milieu initialement caractérisé par G = 0 en tout point. Enfin G est
normée:
l G(r, r' ,t - t')dV = 1.
(A.52)
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G(r, r' ,t - t') vérifie les équations A.45 et A.48 et peut être considérée comme la
fonction de Green associée à un milieu infini.
>- Application immédiate:
si on considère un milieu infini dont la distribution de température initiale est T 0 (r),
la distribution de température est à un instant ultérieur :
T(r,t =
l (')
) 1
8(nat) 312 · v
[ l (r - r') 2 I
To r exp - dV .
4at
c) Fonction de Green associée à un milieu semi infini
>- Cas d'un flux surfacique r.p 0 (y,z,t) imposé sur la paroi x = O
(A.53)
La fonction de Green correspond à la réponse à une impulsion instantanée au point
(x' ,y' ,z') à l'instant t' avec une paroi isolée en x = O. Ceci revient à considérer
l'équation A.41 avec: h =O. Une méthode élégante consiste à associer à ce problème
un problème comprenant une image : un milieu infini caractérisé, pour x < 0, par des
champs de toutes les grandeurs physiques symétriques par rapport au plan x = O.
La condition de flux nul est alors toujours remplie en x = O. On considére donc une
408

A.3. Utilisation de la fonction de Green en conduction
impulsion identique à l'impulsion initiale placée au point (-x' ,y' ,z'). La fonction de
Green cherchée est donc celle résultant des deux impulsions images :
G = [4na(t - t')r 312 exp {- [(x - x') 2 +(y - y') 2 + (z - z') 2 ] / [4a(t - t')]} (A.54)
+exp {-[(x + x')2 +(y- y')2 + (z - z'P]I [4a(t - t')]}.
(A.55)
Pour un système initialement à température unifo1me T 0 , l'équation A.42 conduit à:
T(r,t) = To + ~
(' ( <p 0
(y' ,z' ,t')G(x,y,z,x' = O,y' ,z' ,t - t') dy' dz' dt', (A.56)
À Jo Js
où la surface S représente le plan x' =O. Le premier terme To du deuxième membre
del' équation A.41 à A.56 provient de la première intégrale du deuxième membre de
l'équation A.42. Envisageons la solution dans trois cas particuliers :
• 'Po(y,z,t) = 'Po
T(x ,t) = T 0 + a<po (' [na(t - t')r 112 exp[-x 2 /4a(t - t')]dt' (A.57)
À Jo
• 'Po(y,z,t) = 'Po cos wt
T(x,t) = To + a<po ('cos wt' [ na(t - t') r 112 exp [ - x 2 /4a(t - t') ]dt'.
À
Jo
(A.58)
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• 'Po(y, z,t) ='Po exp [-(y 2 + z 2 )/w 2 ].
Ce cas correspond à l'absorption du rayonnement d'un faisceau laser gaussien fonctionnant
en mode TEM OO, centré en 0(0,0,0).
l 'P W
T(x ,y,z,t) = To + : '-
y
À y7r 0
4at/w2
(1 + u 2 ) - 1 exp [ - R 2 /(l + u 2 )] exp(-X 2 /u)du (A.59)
avec : R 2 = (y2 + z 2 )/w 2 et X= x/w (A.60)
Dans le cas de problèmes à une dimension (premier et deuxième cas précédents par
exemple), il suffit d'introduire une fonction de Green à une dimension :
G(x,x' ,t - t') = [
00
[
00
G(r,r' ,t - t')dy' dz'
(A.61)
qui vaut dans le cas d' un milieu semi-infini avec une condition de flux à la smface :
G(x,x' ,t - t') = 1/2 [na(t - t')r 112 {exp [-(x - x') 2 /4a(t - t')]
+exp [-(x + x') 2 /4a(t - t')]} .
(A.62)
409

Annexe A • Complément
>- Température T 1 (y,z,t) imposée en x = 0
Le problème associé au problème réel correspond dans ce cas à une condition de
température nulle imposée en x = 0 (équation A.46). Cela revient à considérer sur
l'espace entier une fonction de Green impaire : on associe à l'impulsion unité en
(x' ,y' ,z') dans le demi-espace x' > 0, une impulsion de signe opposé en (-x' ,y' ,z').
Soit la fonction de Green normée :
G(r,r' ,t - t') = ~ [na(t - t')r 312 (exp {- [(x - x') 2 +(y - y') 2 + (z - z') 2 ]/4a(t - t')}
- exp {- [ (x + x') 2 + (y - y') 2 + (z - z') 2 ] /4a(t - t')} ). (A.63)
Par application de l'équation A.46, on obtient la répartition de température dans un
système initialement à To(r), avec une température T 1 (y,z,t) imposée à la paroi :
T(x,y,z,t) = l G(r,r',t) To(r')dV'
+al' l T1 (y,z,t) ;: (x,y,z,x' = O,y' ,z' ,t - r') dy' dz' dt' (A.64)
où la surface S désigne le plan x = 0 et avec :
ac ( ,
0
-;--- x,y,z,x = ,y
,
,z
,
,t - t
')
=
ux'
8 ; 12 [a(t - t')r512 exp {[ x 2 +(y - y') 2 + (z - z') 2 ] /4a(t - t')}. (A.65)
Soit les cas particuliers simples :
• cas T1 (t) = Te et To(x) = To
, , (' oG , , ,
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T(x,t) = To
f 0
G(x,x ,t)dx +a Jo Te ox' (x,x = O,t - t )dt ,
(A.66)
où on a évidemment utilisé, pour simplifier, la fonction de Green à une dimension :
Soit:
G(x,x' ,t - t') = 1/2 [na(t - t')r 112 {exp [-(x - x') 2 /4a(t - t')]
- exp [-(x + x') 2 /4a(t - t')]}
oG , , x { ( 2 ,
-;--(x,x = O,t - t) = _ r;; exp - x-/4a(t - t) J} .
ux' 2 yJra 312 (t - t') 312
l 2 (''° 12 2Te [ 12
[
T(x,t) = To 1 - VIT Ju e- u du' + VIT u e- u du' u = x/(2 Wt).
(A.67)
(A.68)
(A.69)
410

A.3. Utilisation de la fonction de Green en conduction
On retrouve Je résultat du paragraphe 3.3.1 à un changement de variable près :
T - To 2 [ ,2 , [ ( _ c)]
Te _ To = Vif u e- u du = erfc x/ 2 vat .
(A.70)
• cas T1 (r,t) = T1 (t) et To(x) = To
On trouve:
2
L
X -u'2 1
T(x,t) - To = - Te t - -- - To e du .
Vif u 4au'2
oo[ ( 2) l
(A.71)
d) Fonction de Green associée à un mileu fini
On se limite, à titre d'exemple, au cas d'un mur fini d'épaisseur e, initialement à To,
isolé en x = e, et auquel est appliqué le flux cp 0 en x = O. La fonction de Green
G(x ,x' ,t - t') correspond à la réponse à une impulsion unité en x' à l'instant t', les
deux faces du mur étant isolées. Le système équivalent correspond donc à un système
infini et périodique de murs, avec des impulsions identiques en x' + 2ne et - x' + 2ne .
~ ./
cp
/ <p = O
0 0 e
X
X X
/ x'-2e -x' 0 x' -x' l e x'+ le -x'-t .Je
~ /
./ X rxix
Figure A.1 - Figure A.2 -
La fonction de Green, à une dimension pour simplifier, est alors :
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G(x,x' ,t - t') = [47ra(t - t')r 112 { ~ exp [- (x - x' - 2 ne) 2 ]
D · 4a(t - t')
n=-oo
~ [ (x+x'-2ne)2l}
+ L.J exp -
) .
4 a(t - t'
n=-oo
Cette fonction de Green se décompose en séries de Fourier; soit :
l ·
G(x,x' ,t - t') = ; [ 1 + 2 ~ exp [-an 2 rr\t - t')/ e 2 ] cos ( n;x) cos ( n: x') (A.73)
La solution du problème est alors :
OO
acpo 2ecpo "\'1 1 [ ? 2 2 ]
T(x ,t) = To + - . t + -- 2
L.J 2 1 - exp l( - an-7r t/e ) cos(n7rx/e) .
À.e À.7r n= 1 n
(A.72)
(A.74)
Des fonctions de Green relatives à d' autres cas peuvent être trouvées dans (Carslaw
et Jaeger, 1959; Morse et Feshbach, 1953).
411

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COMPLÉMENT
FONCTIONS ET ÉQUATIONS USUELLES
8.1 FONCTIONS D'ERREUR (CONDUCTION
INSTATIONNAIRE)
Des données plus complètes seront trouvées dans la référence [2]
a) Définitions :
• Fonction d 'erreur: erf(x) = ) 12
fox exp(-u 2 ) du
• Fonction d'erreur complémentaire :
erfc(x) = 1 - erf(x) = 1 - 7ri 2
fox exp(-u 2 ) du
• Intégrale de fonction d'erreur complémentaire: ierfc(x) = L= erfc(u) du
b) Quelques données :
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X 0 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
er x 0 0.056 0.1125 0.2227 0.3286 0.4284 0.5205 0.6039
erfc(x) 1 0.944 0.8875 0.7773 0.6714 0.57161 0.4795 0.3961
ierfc x) 0.564 0.516 0.4698 0.3866 0.3142 0.2521 0.1997 0.1559
X 0.8 0. 9 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
er x O. 7421 0.7969 0.8427 0.88020 0.9103 0.9340 0.9523 0.9661
erfc(x) 0.2579 0.2031 0.1573 0.11980 0.0897 0.0660 0.0477 0.0339
ierfc x) 0.0912 0.0682 0.0503 0.0365 0.0260 0.0183 0.0126 0.0086
X 1.7 1.9 2.2 2.4 2.5
erf(x) 0.9838 0.9928 0.9981 0.99931 0.99959
erfc(x) 0.0162 0.0072 0.0047 0.00186 0.00114
ier(c(x) 0.0038 0.0016 0.00036 0.00014 0.00008
0.7
0.6778
0.3222
0.1201
1.6
0.9764
0.0236
0.0058
413

Annexe B • Complément
8.2 FONCTIONS INTÉGRO-EXPONENTIELLES
(RAYONNEMENT)
a) Définition
Les fonctions intégro-exponentielles constituent une famille de fonctions mathématiques
détaillées dans la référence [2].
(B.l)
Elles vérifient les relations de récmTence :
d
n > 2 ou n = 2 : dx En(x) = - En+ 1 (x) ;
d 1
-E1(x) = - -exp(-x)
dx
X
(B.2)
n > 1oun=1 : nEn+i(x), = - exp(- x) - xEn(x);
Leurs expressions asymptotiques sont :
d 1
-Ei(x) = --exp(- x)
dx
X
(B.3)
X= OO : En(X) =
exp(-x).
X
1
En(O) = n- 1
(B.4)
b) Quelques données
X 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,6 0,8 1
1,5 2 2,5
3 3,5 5
Eix) 500 455 41 6 351 300 257 222
192 144 110
56,7 30,1 16,3
12,0 4,9 8,8 10··
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Xl0 3
E 4 (X) 333 309 288 249 217 189 165
xl0 3
145 111 86
46,0 25,0 13,8
8.3 TENSEURS USUELS EN TRANSFERTS
(CONVECTION)
13,0 4,3 7,8 10·•
Dans les expressions simples, la notation vectorielle est généralement adoptée dans
cet ouvrage ; dans les calculs ou les expressions plus complexes, il est au contraire
414

B.3. Tenseurs usuels en transferts (convection)
le plus souvent fait appel aux conventions de la notation tensorielle parce qu'elles
sont les plus claires et les plus concises. Les objets mathématiques rencontrés dans
cet ouvrage sont des scalaires (pression, température, etc.), des vecteurs (vitesse,
normale, vecteur flux surfacique, etc.), des tenseurs (tenseurs des contraintes, des
taux de déformation, etc.), des opérateurs,scalaires ou vectoriels agissant sur des
scalaires ou des vecteurs ou des tenseurs : gradient, divergence, laplacien, etc.
a) Notation vectorielle
• Un scalaire est représenté par une lettre non graissée : p, T, a, il., etc.
• Un vecteur est représenté par une lettre graissée : v, w, q, etc.
• Un tenseur est représenté par une lettre graissée et affectée d'un - : f, d, etc.
• L'opérateur gradient 1 est graissé comme un vecteur : grad (ou V). L'opérateur
divergence est noté div (ou V . ). L'opérateur laplacien !:!,. est appliqué à un scalaire
ou formellement à un vecteur 2 et noté dans ce cas A.
b) Notation tensorielle (coordonnées cartésiennes)
• Un scalaire (tenseur de rang 0) ne comporte pas d'indice: p,T, etc.
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• un vecteur (tenseur de rang 1, de dimension 2 ou 3 dans cet ouvrage) est représenté
par sa composante courante : ui, qk désignent les vecteurs vitesse et flux
surfacique. Ce tenseur peut présenter deux ou trois composantes (problème à 2 ou
3 dimensions). Par exemple, en coordonnées cartésiennes, le vecteur vitesse a pour
composantes (vx, uy, Vz); il est représenté par u 1 en notation tensorielle.
• Un tenseur (on se limitera ici à des tenseurs de rang 2) est un objet défini par deux
indices courants, i et j par exemple; la quantité ôvi/ôx 1 est un tenseur de ce type
qui peut être représenté par un tableau de dimension 3 x 3 si les vecteurs vitesse ui
l. Appliqué à un scalaire, l'opérateur gradient conduit à un vecteur. Il peut formellement être appliqué à
un vecteur qui apparaît dans une équation vectorielle qui peut être projetée sur les trois axes d'un repère
(par exemple dans Je bilan de quantité de mouvement). Dans ces conditions, l'opérateur gradient est
appliqué à chacune des composantes du vecteur dans ce repère. Un gradient associé à une composante
du vecteur sur un axe apparaît alors uniquement dans la projection correspondante de l'équation sur cet
axe. Le cas de l'équation de bilan de quantité de mouvement est traité dans le Complément B.4.
La même analyse peut être faite pour l'opérateur Laplacien : tl. est appliqué un scalaire ; A est appliqué
au trois composantes d'un vecteur: voir également le Complément B.4.
2. voir la note de pied précédente
415

Annexe B • Complément
et position x 1 sont de dimension 3; ce tenseur a, dans ce cas, neuf composantes :
ÔVx ÔVx ÔVx
- - -
ôx ôy ôz
Ôvy ÔVy ÔVy
ôx ôy ôz
ÔVz ÔVz ÔVz
ôx ôy ôz
si les composantes cartésiennes de Viet x 1 sont respectivement (vx, vy, Vz) et (x,y,z);
on notera que les lignes con-espondent au premjer indice cité (i), les colonnes au
second(}).
Un tenseur joue un rôle particulièrement important : c'est le tenseur de Kronecker
ou tenseur identité :
=0 si i * j
Ôij { = 1
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c) Quelques correspondances de notation
Notation vectorielle
V
gradT ou V T
tensorielle
(coordonnées cartésiennes)
v·
./
ôT
ÔXi
Développement
(coordonnées cartésiennes)
---
ôT ôT ôT)
( ôx' ôy' ôz
gradient
div(v) ou V. v
ÔVx ÔVx ÔVx
-+-+ôx
ôx ôx
divergence
416

B.3. Tenseurs usuels en transferts (convection)
li T ou div(grad T)
ou V .V T
ou
fJ2T iJ2T ô 2 T
--+-- + --
ôx2 ôy 2 ôz 2
laplacien
v.:r
v 2 v ou v . v v
ô ô
--v·
ôx·ôx· 1
J ./
d) Tenseur des taux de déformation
ÔTxx ÔTyx ÔTzx
--+-·-+--
ôx ôy ôz
ÔT xy ÔT yy ÔTzy
--+-- + --
ôx ôy ôz
OT xz ÔT yz ÔT zz
-- + -- + --
ôx ôy ôz
ô 2 v ô 2 v ô 2 X X v X
--+--+--
ôx2 ôy 2 ôz 2
ô 2 v ô 2 v ô 2 __ Y + __ Y + __ v
Y
ôx 2 ôy 2 ôz 2
ô 2 u7 ô 2 u7 Ô 2 Vz
--~ + --~ + --
ôx2 ôy 2 ôz 2
Soit un système fluide continu et matériel dont on suit les évolutions entre t et t + dt
en utilisant la notation tensorielle dans un système de coordonnées orthonormées
Ox 1 x2x3. Soit, à un instant t, la position d'un point matériel de référence A (vecteur
xi) et celle d'un point matériel courant G (vecteur Xi + dxi). À l'instant t + dt, le
point A, animé d'une vitesse vi à 1' instant t, occupe la position définie par :
(B.5)
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v
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le point matériel courant G occupe la position définie par le vecteur :
(B.6)
ôvi/ôxj représente un tenseur de rang 2; une transformation de l'équation B.6 conduit
à:
x-
,
+ dx-
,
= Xi + dxi + vidt +
[
-
1 (
-
Ôvi
+
Ôv
-
j )
+ -
1 (
-
Ôvi
-
Ôv
-
j )]
dx ·dt
1 1
2 ÔXj ÔXi 2 ÔXj ÔXi ./
(B.7)
Dans cette expression, uidt représente un vecteur translation de A; l/2(ôui/Ôxj -
ôvjfôxi)dxj représente le vecteur résultant du produit scalaire par le vecteur position
initiale dxj du tenseur antisymétrique de rang 2 rij, défini ci-dessous, dont les
417

Annexe B • Complément
éléments diagonaux sont nuls :
ri _ = ! ( Ôui _ âv J)
J 2 ÔXj ÔXi
(B.8)
ri.i est appelé tenseur des taux de rotation du système matériel et définit la rotation
appliquée par unité de temps à un élément matériel dx.i du système; l/2(âvi/âx.i +
âvjf âxi)dxJ représente un vecteur résultant du produit scalaire par le vecteur position
.initiale dxJ du tenseur symétrique de rang 2 diJ• défini ci-dessous :
dij = !(ÔVi + ÔVj)
2 ÔXJ ÔXi
(B.9)
diJ est appelé tenseur des taux de déformation du système matériel. En effet cette
partie de la transformation, contrairement aux deux précédentes (translation et rotation),
ne conserve pas les angles ou/et les distances : c'est une déformation. On peut
considérer deux classes de déformations :
• celles qui correspondent aux éléments diagonaux de di.i ; soient en coordonnées
cartésiennes âu:jâx, âvy/ây et âvJâz. L'interprétation en est simple : un accroissement
positif de la vitesse axiale crée une dilatation de 1' élément matériel, un
accroîssement négatif une contraction (voir un exemple figure B. 1.) On parle de
déformation normale ou axiale du système matériel.
y
contraction
- J--G
-----tilatation
t+dt
y
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A
Figure 8.1 - Déformation normale.
X
Figure B.2 - Déformation angulaire:
cisaillement pur sans rotation.
• les déformations qui correspondent aux éléments non diagonaux du tenseur di.i sont
appelées déformations de cisaillement ou déformation angulaire. Par exemple, en
coordonnées cartésiennes I/2(âvxf ây + âvy/âx). Ce cas est représenté sur la figure
B.2. Le phénomène de déformation angulaire apparaît bien en B, Cet G. Notons
qu'il s'agit dans ce cas d'une défmmation par cisaillement pur sans rotation, c'est
à dire que les composantes correspondantes du tenseur des taux de rotation sont
nulles ; soit: âu)jây = âvy/âx.
X
418

B.3. Tenseurs usuels en transferts (convection)
e) Tenseur des contraintes visqueuses
Il est clair qu'un élément matériel de fluide en translation simple, ou en rotation
simple, ne subit aucune force surfacique autre que celles de pression. Par contre la
déformation d'un élément matériel de fluide (qu'elle soit normale ou angulaire ou en
d'autres termes de dilatation ou de cisaillement) va créer sur cet élément des forces
surfaciques ou contraintes qui vont avoir pour effet de s'opposer à ces déformations.
Pour la plupart des fluides (dits newtoniens) l'hypothèse d'un tenseur des contraintes
visqueuses proportionnel au tenseur des taux de déformation a été vérifiée dans le cas
d'une transfo1mation isovolume. L'expression correspondante est obtenue pour les
gaz en physique statistique comme solution de pe1turbation à 1' ordre de 1' équation de
Boltzmann au voisinage de l'E.T.L. (voir paragraphe 10.4.1). On pose, en fait, dans
le cas général :
T;j = 2µdu + ( K - ~µ) dw5;j (B.10)
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où µ représente la viscosité dynamique du fluide et K désigne le deuxième coefficient
de viscosité (viscosité volumique). Le deuxième terme du second membre
de l'équation B.10 s'annule quand dkb trace du tenseur des taux de déformation
(Ôvx/Ôx + Ôuy/ôy + Ôuz/Ôz) est nulle, c'est-à-dire pour une transformation isovolume
(po uniforme). Dans le cas contraire, les contractions et dilatations du fluide ne se
compensent pas : le volume de l'élément matériel ne se conserve pas et fait intervenir
la quantité K [ 46] liée au temps de relaxation entre degrés de translation et degrés
internes des molécules (rotation, vibration, etc.). En effet, lors d'une contraction ou
d'une dilatation brutale du fluide les degrés externes (translation, rotation) s'adaptent
immédiatement aux nouvelles conditions thermodynamiques tandis que les degrés
internes (vibration, électroniques) restent figés un certain temps avant de retourner
vers un équilibre local avec les degrés externes (phénomènes dits de relaxation). K est
évidemment nulle pour les gaz monoatomiques.
f) Tenseur des pressions
Le tenseur des pressions qui apparaît dans l'équation de Navier-Stokes 8.13 est défini
par:
(B.11)
où p désigne la pression locale supposée isotrope. L'expression directe de PiJ est
introduite en physique statistique (voir paragraphe 10.1.3) pour un mélange d'espèces
s :
(B.12)
419

Annexe B • Comp lément
Dans cette expression, C si et C sJ sont deux composantes de la vitesse relative d'une
molécule (égale à Vsi - vi), c'est-à-dire à la différence entre la vitesse d'une particule
Vsi et la vitesse hydrodynamique Vi du fluide. Les sommations dans l'équation B.12
portent à la fois sur la fonction de distribution des vitesses de l'espèce s, notée j~ ,
et sur l'ensemble des espèces. PiJ apparaît comme l'effet cumulé du transpo1t à la
vitesse relative Csi dans la di rection ide la quantité de mouvement relative m sCsJ dans
la direction j (et réciproquement du fait de la symétrie de l'équation B.12).
8.4 ÉQUATIONS UTILES EN CONVECT ION
(COORDONN ÉES CARTÉSIENNES
ET CYLINDRIQU ES)
a) Notation vectorielle
• Bilan de masse
ôp
- + div(pv) = 0
Ôt
(B.13)
• Bilan de quantité de mouvement (propriétés thermophysiques uniformes, force p g)
• Bilan d'énergie
ôv
P ( ôt + v . gradv) = -grad p + p g + µ A(v)
ôT
pep ( 7iï + v. gradT) = ilb..T + P
(B.14)
(B.15)
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b) Coordonnées cartésiennes : x, y, z; vitesse : u, v , w
• Bilan de masse
ôp ôpu ôpv ôpw
- + - + - + - = 0 (B.16)
Ôt ôx ôy ôz
"§i • Bilan de quantité de mouvement (propriétés thermophysiques uniformes, force voï::::
~ lumique opposée à Oz)
0
u
ôu ôu ôu ôu ôp ô 2 u ô 2 u ô 2 u
p (- + u- + v- + w-) = - - + µ(- + - + - )
ôt ôx ôy ôz ôx ôx 2 ôy 2 ôz 2 (B.17)
ôv ôv ôv ôv ô p ô 2 v ô 2 v ô 2 v
p(- + u- + v- + w-) = - - + µ(- + - + -)
ôt ôx ôy ôz ôy ôx 2 ôy 2 ôz 2 (B.18)
420

8.4. Équations utiles en convection (coordonnées cartésiennes et cylindriques)
ow ow ow ow op o 2 w o 2 w o 2 w
p(- + u- + u- + w-) = -- -pg + µ(- + - + -) (B.19)
ot ox oy oz oz ox 2 oy 2 oz 2
• Bilan d'énergie
or or or or o 2 T o 2 T o 2 T
pc P ( --ç;- + u--;:;-- + u-;:;- + w ~) = + il ( .Q
2
+ -;-? + .Q
2
) + P (B .20)
ut ux uy uz ux · uy- uz
c) Coordonnées cartésiennes tensorielles : composante X;; vitesse
: v;
• Bilan de masse
(B.21)
• Bilan de quantité de mouvement (propriétés thermophysiques unifo1mes, force volumique
opposée à Oz, d'indice k)
• Bilan d'énergie
oui oui op o o
p(- + Uj-) = - - + µ--Ui
(B.22)
ot ox 1 oxi ox 1 ox 1
or or o o
pc P ( --ç;- + u r;:;---) = + il -;---- -;---- T + P
ut uX · ux · ux ·
J J J
(B.23)
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d) Coordonnées cylindriques : axiale x, radiale r, orthoradiale
<p; vitesse : axiale u, radiale v, orthoradiale w
• Bilan de masse
op + opu + ~ opru + ~ opw = 0
ot ox r or r O'fJ
(B.24)
• Bilan de quantité de mouvement (propriétés thermophysiques uniformes, force volumique
opposée à Ox)
ou ou ou w ou 0 p o 2 u 1 0 ou 1 o 2 u
p(- + u- + u- + --) = - - -pg+ µ(- + --[r- ] +--) (B.25)
ot ox or r O'fJ ox ox2 r or or r2 o'P2
ou ou ou w ou w 2 op o 2 u 0 1 Oru 1 o 2 u 2 ow
p(- +u- + u- +----) = --+µ[-+-(--)+-----]
ot ox or r O'fJ r or ox2 or r or r2 o'P2 r2 O'fJ
(B.26)
421

Annexe B • Complément
ow ow ow w ow vw 1 op o 2 w 0 1 orv 1 o 2 w 2 ou
p(- +u- +v- +--+- ) = - --+µ[-+-(--)+ --+--]
ot OX or r Otp r r Otp ox2 or r or r2 oip2 r2 Otp
(B.27)
• Bilan d'énergie
oT oT oT w oT o 2 T i o oT i o 2 T
pc (- + u- + v- + --) = +J(- + --(r- ) +--) +P (B.28)
P ot ox or r oip ox2 r or or r2 oip2
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422

COMPLÉMENT
CORRÉLATIONS DE CONVECTION
Les corrélations des paragraphes qui suivent ne sont valables que :
• pour des fluides de propriétés thermophysiques uniformes, c'est-à-dire caractérisés
par de relativement petites variations de température, à la fois dans la direction de
l'écoulement et dans la direction transverse ; la masse volumique p est une exception
en convection naturelle, sous l'approximation de Boussinesq. En conséquence,
à défaut de précisions contraires, les propriétés thermophysiques du fluide doivent
être calculées à la température de film Tf : T1 = Tp;To, où Tp désigne la température
de paroi et To une température de référence ( température du fluide non
perturbé ou température de mélange , par exemple). Cette température doit aussi
être moyennée sur un intervalle de température, raisonnablement petit, au long de
l'écoulement.
Ces considérations sont critiques dans les systèmes en combustion mais aussi pour
l'eau liquide: en effet, la viscosité de l'eau liquide dépend fortement de la température
entre 0 °C et 100 °C (voir le Complément D.2).
• si les couplages pariétaux rayonnement-convection sont négligeables, dans le cas
de fluides semi-transparents (voir le paragraphe 9.2.5).
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C. l CONVECTION FORCÉE EXTERNE
C.1.1
Écoulement parallèle à une paroi plane (ou à une paroi
de faible courbure)
L : longueur de la paroi dans la direction de l'écoulement,
x : distance courante depuis le bord d'attaque,
Nux(x) = h(J x : nombre de Nusselt local à l'abscisse x,
Nul = h,iL : hombre del Nusselt global, associé au coefficient moyen de transfert h
moyenné de 0 à L.
Voir les autres conventions dans le Chapitre 5.
423

Annexe C • Complément
• Écoulement laminaire 1 :
Paroi isotherme; le flux surfacique <p(x) dépend de x.
Pr > 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ...) :
Nux(x) = 0,332 ReY 2 Pr 113 , Nul= 0,664 Pr 1 1 3 Re~ 2 (C.l)
Pr < 0,5, (métaux liquides, ...) :
Nux(x) = 0,564 PeY 2 = 0,564 ReY 2 Pr 1 2 , Nul = 1, 128 Pe~ 2 (C.2)
Paroi soumise à un flux smfacique uniforme <p; T p(x) dépend de x.
Pr > 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ...) :
N ( ) - <p X - 0 453 R l/2 p l/3
Ux x - il[Tp(x) _ To] - , ex r
Nul donné par Eq. 5.84. (C.3)
Paroi soumise à un champ de température Tp(x); <p(x) dépend de x [6].
Pr > 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ... ) :
<p(x) x = 0 332 Re Lj2prl/3 (x dT w(x') 1 dx' (C.4)
À ' -' J 0 dx' [1 _ (x'/x)3f4]If3
Paroi parfaitement isolée de x = 0 à x = d, isotherme à partir de x = d; <p(x) dépend
de X.
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Pr> 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ...) :
Nux(x) = 0,332 ReY 2 Pr 113 [l - (d/x) 314 r 113 , Nul donné par Eq. 5.84 (C.5)
Des généralisations sont faites dans la référence [6].
Paroi soumise à un flux surfacique <p(x); Tp(x) dépend de x [73].
Pr> 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ...) :
Tp(x) - To =
À Re
0 ;~; 3 ( x [l - (x' /x) 314 r 213 <p(x') dx' (C.6)
X
Pr 1 1 3 Jo
1. Voir la discussion sur la transition entre régimes laminaire et turbulent dans le paragraphe 5.4.5 De
plus, celle-ci dépend aussi de l'intensité de turbulence de l'écoulement initial et de la rugosité de paroi.
424

C.2. Convection forcée interne
• Écoulement turbulent (voir la note de pied précédente) :
Pr> 0,5, fluides usuels (gaz, eau, huile légère ... ) :
NuL = Pr 1 13 [0,664Re~ 12 + 0,037 (Re~ 5 - Re~ 15 )]
(C.7)
Rec : nombre de Reynolds de transition dans les conditions considérées : voir le
paragraphe 5.4.5
C.1.2 Écoulement perpendiculaire à l'axe d'un cylindre
de section circulaire
D: diamètre du cylindre,
Nu 0 = hf : nombre de Nusselt global associé au coefficient de transfert moyen h,
moyenné sur la surface du cylindre.
Expression applicable à la fois à des conditions pariétales d'isothermie et de flux
- -
imposé : h est, dans ce dernier cas, associé à T P.
Pour toutes valeurs de Pr et Rev telles que: Peo > 0,2 [30]
Nuv = 0,3 +
0 62 Re 112 Pr 1 3
0
'
[l + 3,92 io- 4 R e~ 8 ] 4 / 5 . (C.8)
[l + 0,543/Pr 2 1 3 ]1/ 4
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C.1.3 Écoulement impactant une sphère
D : diamètre de la sphère,
Nuv = hf : nombre de Nusselt global associé au coefficient de transfe1t moyen h,
moyenné sur la surface de la sphère.
Pour: 0,71 < Pr < 380, 3,5 < Rev < 0,7610 5 et 1 < ~~;~~ < 3,2 [152].
Nuv = 2 + (0,4 Re~ 2 + 0,06 Re~ 3 ) Pr 0 • 4 [µ(To)/µ(Tw)] 114 • (C.9)
C.1.4 Autres configurations
Voir, par exemple, les références [6, 7].
C.2 CONVECTION FORCÉE INTERNE
C.2.1 Tube de section circulaire
D : diamètre du tube,
E : rugosité de paroi,
425

Annexe C • Complément
x: distance courante depuis l'entrée (tube ouve1t); x+ = x/(D Pev),
Gz = n/ ( 4x+) : nombre de Graetz.
Nuv(x) = h(iD : nombre de Nusselt local à l'abscisse x,
Nuv = h~ D : nombre de Nusselt global asymptotique.
Voir d'autres conventions dans le Chapitre 5
• Coefficient de frottement f (ou CF).
102 103 10 4 10s 106 101 108
10- 1 ~~~~~-~~~~-~~~~-~~~~-~~~~~~~~ 10-1
10 2 103 10 4 10 5
Reynolds number
s=6 · 10·_
4 . 10-
3. io·1
2. 1 0~
1.5 . 10·
8. 10··
4 . io·3
5. 10·
2. 10·
5. 10·
2 . 10·-
10-2
10 6 10 7
108
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Figure C.1 - Coefficient de frottement f (ou CF) en fonction deRe 0 et de la rugosité
relative de paroi €/ D; données de Moody tabulées par V. Leroy (EM2C) à partir de la
corrélation de la référence [28).
Les abaques de Moody (1944) (voir Figure C.1) ont été numérisées avec précision
[28] :
avec: A =
8 1
r2
[(R!or f = + (A + 8)3/2
l
16
2,457 ln l et: B
[
(7/Rev) 0 • 9 + 0,27 ê/D
( 37530)16
Re 0
(C.10)
• Écoulement laminaire.
Régimes mécanique et the1mique établis
- paroi isothe1me : Nu 0 = 3,657
426

C.2. Convection forcée interne
- flux surfacique pariétal uniforme : Nuv = 48/11 = 4,364
Régime mécanique établi; établissement du régime thermique [125]
(problème dit de Graetz) ; approximation Pr ~ oo, valide pour Pr> 0, 7 :
- paroi isotherme :
x+ < 0,01 : Nuv(x) = 1,077 (x+)- 113 - 0,7; x+ > 0,01 :
Nuv(x) = 3,657 + 0,236 (x+)- 0 • 488 exp(-57,2 x+).
(C.11)
- flux surfacique pariétal uniforme :
x+ < 0,001 : Nuv(x) = l,302(x+)- 113 - 0,5; x+ > 0,001 :
Nuv(x) = 4,36 + 0,263 (x+)- 0 • 506 exp(-41,0 x+).
(C.12)
Établissement simultané des régimes thermique et mécanique [32] ;
- flux surfacique pariétal uniforme : précision de 5% dans l'intervalle :
0,7 <Pr< 10.
Nuv(x) = 4,364 (1 + 1, 14110- 3 Gz 2 ) 116 [1 + 0,01204 Gz 3 1 2 (1 + 13,26 Pr 2 1 3 ) - 3 / 4
• Écoulement turbulent 2
Régimes mécanique et thermique établis
x(l + 1,14110- 3 Gz 2 ) - 1 1 2 ] 1 1 3 .
(C.13)
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- Pr> 0,6 (gaz, eau huile légère, ... ) : indépendamment des conditions aux
limites thermiques;
- approche simplifiée; faibles variations de température; (voir la référence [38],
rééditée en 1985) :
Tm < T w : œ = 0,4; Tm> Tw : œ = 0,3
(C.14)
- approche simplifiée; con-ection de Sieder et Tate pour d'imp01tantes variations
de la viscosité en fonction de la température [127] :
2. Voir la discussion sur la transition entre régimes laminaire et turbulent dans le paragraphe 5.4.5.
(C.15)
427

Annexe C • Complément
Propriétés thermophysiques calculées à Tm dans NuD, ReD, Pr.
- approche précise 3 [50]; f, coefficient de frottement donné par la formule de
Moody-Churchill (Eq. C.11):
NuD = (j/2)(ReD - 10 3 ) Pr [l + 12,7(f/2) 112 (Pr2 13 - Or'. (C.16)
- 0,004 <Pr< 0,1, métaux liquides [101]:
flux pariétal surfacique uniforme 'Pp :
= 6 3 + 0 0167 Re 0 • 85 Pr 0 • 93 ·
, , D '
(C.17)
température de paroi unif01me Tp :
NuD = 4,8 + 0,0156 R e~ 85 Pr 0 • 93 .
(C.18)
C.2.2 Plaques parallèles
Dh : diamètre hydraulique (voir le paragraphe 5.6.4).
x : distance courante depuis l'entrée du tube (tube ouvert ) ;
x+ = x/(D 1i PeDh); Gz = n/ (4x+).
NuDh(x): nombre de Nusselt local à l'abscisse x,
NuD : 11
nombre de Nusselt global asymptotique.
• Écoulement laminaire 4
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u
Établissement simultané des régimes mécanique et thermjque ; cas de plaques
parallèles [68]
- température de paroi uniforme : précision de 5% dans l'intervalle
0, 1 < Pr < 1000.
0,024 x+- l ,l 4 (0,0179Pr 0 • 17 x+- 0 • 64 - 0, 14)
NuD(x)= 7,55 + --------------
(1 + 0,0358Pr 0 • 17 x+- 0 • 64 )2
(C.19)
Régime mécanique établi; établissement du régime thermique (problème de Graetz)
NuD1i (x)fNuD1i
proche de NuD(x)fNuD pour un tube de section circulaire.
3. Pour des variations importantes de la viscosité, l'usage du facteur correctif de Sieder et Tate est
recommandé ; les propriétés thermophysiques sont à calculer pour la température de mélange moyenne
T 111
(entre l'entrée et la sortie de la partie de tube considérée).
4. Voir la discussion sur la transition entre régimes laminaire et turbulent dans le paragraphe 5.4.5.
428

C.3. Convection naturelle externe
• Écoulement turbulent
Régimes mécanique et the1m.ique établis (pour toute configuration)
Mêmes résultats que pour un tube de section circulaire de même diamètre
hydraulique (voir le paragraphe 5.6.4).
C.2.3 Autres cas
Voir, par exemple, [ 6, 7].
C.3 CONVECTION NATURELLE EXTERNE
C.3.1
Paroi verticale plane
L : hauteur de la paroi ; x : distance courante depuis le bord d'attaque,
Nux(x) = h(J x : nombre de Nusselt local à l'abscisse x,
NuL = hiL : nombre de Nusselt global, associé au coefficient de transfert moyen h,
moyenné de 0 à L.
Voir d'autres conventions dans le Chapitre 5.
• Paroi isotherme; le flux surfacique pariétal cp(x) dépend de x.
Écoulement laminaire, GrL < environ 10 9 , toutes valeurs du nombre de Prandtl.
La fin du régime laminaire observée pour le l'eau (Pr proche de 6) correspond à
GrL = 1,510 8 ([90]).
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- Épaisseur de couches limites mécanique et thermique confondues (Pr voisin
de 1) [63]
Ôm(x)/x,..., Ôrh(x)/x = 3,93 Pr- 0 • 5 (0,952 + Pr) 1 / 4 Gr~ I / 4
- Éxpressions du nombre de Nusselt [31 ]
0,67Ra~ 4
NuL = 0,68 + ------­
(1 + 0,671 Pr- 9 1 16 ) 4 1 9
or NuL = 0,68 + K(Pr) Ra~ 4
K = 0,206; 0,241; 0,515; 0,533; 0,567; 0,602; 0,622; 0,656; 0,666
(C.20)
(C.21)
(C.22)
429

Corrélations utiles en convection
pour Pr= 0,005; 0,01; 0,72; l; 2; 5; 10; 100; 1000, respectivement.
Nux(x) = 0,68 + 3/4 K(Pr) Ra.Y 4
(C.23)
Tout type d'écoulement, 0, 1 < Ral < 10 12 ; toutes valeurs de Pr [31] :
(expression moins précise pour un écoulement laminaire).
0,387Ra~ 6 2
Nul = [0,825 + (l + 0,671 Pr-9/16)8/27]
(C.24)
or Nul = [0,825 + C(Pr) Ra~ 6 ]2 (C.25)
c = 0,1763; 0,1959; 0,3248; 0,3324; 0,3463; 0,3604; 0,3681; 0,3814; 0,3855
pour Pr= 0,005; 0,01; 0,72; l; 2; 5; 10; 100; 1000, respectivement.
h(x) pratiquement uniforme en régime turbulent.
• Paroi soumise à un flux surfacique uniforme 'P; Tp(x) dépend de x [31] :
Tout type d'écoulement, 0,1 < Ral < 10 12 ; toutes valeurs de Pr
0,387Ra~ 6 2
Nul = [0,825 + [l + 0,628 Pr-9/16]8/27]
(C.26)
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or Nul = [0,825 + D(Pr) Ra~ 6 ]2 (C.27)
D = 0,1795; 0,1994; 0,3276; 0,3350; 0,3484; 0,3619; 0,3692; 0,3818; 0,3855
pour Pr= 0,005; 0,01; 0,72; 1; 2; 5; 10; 100; 1000, respectivement.
En régime laminaire, une bonne approximation de Nux(x) est donnée par
3
Nux(x) = 0, 17 + 4 [0,825 + D(Pr) Ra~ 6 ] 2
(C.28)
Dans les expressions précédentes, le nombres de Rayleigh sont du type :
- 3 -
Ral = g f3 (T,,v~To)l où Tp désigne la température pariétale moyenne. Des
calculs moins implicites peuvent être réalisés en utilisant un nombre de Rayleigh
basé sur un flux surfacique uniforme: Ra{ = g~:,t en utilisant: Ra{ =Nul RaL.
Le domaine de transition entre écoulements laminaire et turbulent développé,
observé pour de l'eau liquide (Pr voisin de 6), est: 7 10 11 < G1{ < 1,5 13 ([149]).
430

Convection naturelle externe
C.3.2 Paroi plane inclinée
En régime laminaire, g est remplacé dans les expressions précédentes par g cos e, où
e est l'angle avec l'axe vertical.
La fin du régime laminaire dépend aussi de e, d'après des observations pour de l'eau
liquide (Pr voisin de 6), à la fois :
- pour une paroi isotherme [90] : Les valeurs cntiques de GrL sont
1,510 8 ; 410 7 ; 310 6 ; 1,210 5 pour 0°, 20°, 45°, 60°, respectivement;
- pour un flux surfacique pariétal uniforme. Le domaine de transition entre écoulements
laminaire et turbulent développé, observé pour de l'eau liquide (Pr voisin
de 6), est : 4 10 9 < G1{ < 1,5 10 11 et 9 10 6 < G1{ < 910 8 , pour 30° et 60°
respectivement (d'après la référence [149]).
En régime turbulent, l'usage de g conduit à des résultats plus corrects que celui de
g cos e, dans tous les cas [149].
C.3.3 Paroi horizontale plane
(voir la discussion du paragraphe 5.7.3 c)
Longueur caractéristique : Le = S /P (S, aire de l'interface; P, périmètre de la
paroi).
Pour Pr> 0,5
• Mur isotherme; le flux surfacique pariétal cp(x) dépend de x.
Paroi chaude sous le fluide ou paroi froide au dessus du fluide [89].
(C.29)
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10 7 < RaL < 10 9
c
Paroi chaude au dessus du fluide ou paroi froide sous le fluide [155].
10 5 < Ra < 10 10
Le
(C.30)
(C.31)
• Flux surfacique uniforme; la température de paroi Tp(x) dépend de x.
Mêmes corrélations proposées par Bejan [6], en utilisant un nombre de Rayleigh
- -
basé sur Tp - T 0 , où Tp est la température pariétale moyenne (voir la discussion
sur l'usage de RaL dans le paragraphe relatif à une paroi verticale).
431

Corrélations ut iles en convection
C.3.4 Cylindre isotherme vertical
H : Hauteur du cylindre; D : diamètre
>- Régime laminaire [83].
4( 7RaHPr ) 114 O 43 (272+315Pr)(H)
NuH = 3 100 + 105 Pr + '1l 64 + 63 Pr D
(C.32)
Les résultats convergent vers ceux relatifs à une plaque pour : D/H > 35 Gr- 1 / 4
[130].
C.3.5 Cylindre horizontal
D : diamètre
Tout type d'écoulement, 10- 5 < RaD < 10 12 , tout nombre de Prandtl, Pr [31].
Nu = 0,6 + D
{
0,387Ra 116 } 2
D [1 + 0,721 Pr- 9/16)8/27
(C.33)
C.3.6 Sphère
D: diamètre
Tout type d'écoulement, RaD < 10 11 , Pr > 0,7 [29].
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c
5 C.3. 7 Autres cas
v
8 Voir, par exemple, les références [6, 7].
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0,589Rag 4
___..;;;.. __
NuD = 2 + ____
[1 + 0,653 Pr- 9 1 16 ] 4 /9
C.4 CONVECTION NATURELLE INTERNE
C.4.1 Enceinte rectangulaire hi-dimensionnelle, infinie
Régime laminaire
dans une direction horizontale
d: distance entree parois verticales; H: hauteur de l'enceinte.
RaH et Nul-/, basés sur les différences de températures de parois.
(C.34)
432

C.4. Convection naturelle interne
• Parois ve1ticales isothermes; parois horizontales padaitement isolées (Ref. [21 ]
modifiée dans la Ref. [6]).
2 < H/d < 10, RaH < 10 13 , Pr< 10 5 •
Àeq ( Pr )0,28 ( d )0,09
NuH = - = 0,22 RaH -
À 0,2 +Pr H
(C.35)
1 < H/d < 2, Pr Ra (iL) 3 > 10 3 Pr < 10 5 .
O 2+Pr H H '
'
Àeq ( Pr )0,29 ( d )-0, 13
NuH = T = 0, 18 0, 2 + Pr RaH H (C.36)
Enceintes allongées; pour de l'air: (~) 4 1 7 Ra~ 7 > 30, RaH < 10 13 (Ref. [4]).
NuH = ~q = 0,364 Ra~ 25 ( ~) (C.37)
• Flux surfacique imposé sur les parois verticales ; parois horizontales parfaitement
isolées [ 6].
Résultats basés sur les djfférences de températures de parois.
1 H 111
/leq 2/7 ( )
NuH = T = 0,25 RaH) d (C.38)
• Parois verticales parfaitement isolées ; parois horizontales isothermes ; enceinte
chauffée par le bas [6].
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résultats expérimentaux pour des liquides ; 3 10 5 < RaH < 7 10 9 .
~ C.4.2 Autres cas
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·g Voir, par exemple, les références [6, 7] .
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À
NuH = ; = 0,069Pr 0 • 074 Ra~ 33 (C.39)
433

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COMPLÉMENT
QUELQUES PROPRIÉTÉS THERMOPHYSIQUES
(CONDUCTION ET CONVECTION)
D.1 GAZ À PRESSION ATMOSPHÉRIQUE
À pression modérée, typiquement p inférieur à 10 6 Pa (Nm- 2 ), les dépendances de
Il., µ et cp en fonction de p sont négligeables.
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T P µ x ](J vx J(j cP ;,, xi(/ a x 10 5 Pr {3,h
(K) kglm 3 N s!nl m 2 /s J/(kg K) Wl(m K) m 2 /s K " 1
............................................................................................................................................................................................
100 3.5562 0.711 0.200 l 032 0.934 0.254 0.786
.................... 150 ........................ 2.3364 ................................................................................................ 1.034 0.4426 1 012 1.38 ........................ 0.584 ........................ 0.758
.................... 200 ........................ 1.7458 ........................................................................ 1.325 0.7590 1 007 ................................................ 1.81 1.03 ........................ 0.737
.................... 250 ........................ 1.3947 ................................................................................................ 1.596 1.144 l 006 2.23 ........................ 1.59 ........................ O. 720
............................................................................................................................................ 300 l.1614 1.846 1.589 1 007 2.63 ........................ 2.25 ........................ 0.707
.................... 350 ........................ 0.9950 ........................................................................ 2.082 2.092 1 009 ................................................ 3.00 2.99 ........................ 0.700
.................... 400 ........................ 0.8711 ................................................................................................ 2.301 2.641 l 014 3.38 ........................ 3.83 ........................ 0.690
............................................ 450 0.7740 ................................................................................................ 2.507 3.239 1 021 3.73 ........................ 4.72 ........................ 0.686
.................... 500 ........................ 0.6964 ........................................................................ 2.701 3.879 1 030 ................................................ 4.07 5.67 ........................ 0.684
.................... 550 ........................ 0.6329 ................................................................................................ 2.884 4.557 l 040 4.39 ........................ 6.67 ........................ 0.683
............................................................................................................................................................................................
600 0.5804 3.058 5.269 1 051 4.69 7.69 0.685
650 0.5356 3.225 6.02 1 1 063 4.97 8.73 0.690
.................... ........................ ................................................................................................ ........................ ........................
.................... 700 ........................ 0.4975 ................................................................................................ 3.388 6.810 1 075 5.24 ........................ 9.80 ........................ 0.695
............................................................................................................................................................................................
750 0.4643 3.546 7.637 1 087 5.49 10.9 0.702
.................... 800 ........................ 0.4354 ................................................................................................ 3.698 8.493 1 099 5.73 ........................ 12.0 ........................ 0.709
.................... 850 ........................ 0.4097 ........................................................................................................................ 3.843 9.380 1 11 0 5.96 13.1 ........................ 0.716
............................................................................................................................................................................................
900 0.3868 3.98 1 10.29 1 121 6.20 14.3 0.720 l/T
.................... 950 ........................ 0.3666 ................................................................................................ 4.113 11.22 1 131 6.43 ........................ 15.5 ........................ 0.723
.................... 1 000 ........................ 0.3482 ........................................................................................................................ 4.244 12.19 114 1 6.67 16.8 ........................ 0.726
............................................................................................................................................................................................
l 100 0.3166 4.490 14.18 l 159 7.15 19.5 0.728
.................... 1200 ........................ 0.2902 ................................................................................................ 4.730 16.29 1 175 7.63 ........................ 22.4 ........................ 0.728
.................... 1300 ........................ 0.2679 ........................................................................ 4.960 18.51 1 189 ................................................ 8.2 23.8 ........................ 0.719
.................... l 400 ........................ 0.2488 ................................................................................................ 5.30 21.3 l 207 9.1 ........................ 30.3 ........................ 0.703
J 500 0.2322 5.57 24.0 J 230 10.0 35.0 0.685
Figure D.1 - p , masse volumique; µ, viscosité; v, viscosité cinématique; cp, capacité
thermique massique à pression constante; A, conductivité thermique; a, diffusivité
thermique ; Pr, nombre de Prandtl; f3rh• coefficient de dilatation thermique.
435

Annexe D • Complément
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p fi xlü' vx 10' C:p À xJO' a X 10 Pr
kglm 3 Nslm 2 m 2 /s J/(kg K) W!(mK) m 1 /s
........................ 1 600 ........................ 0.2177 ........................ 5.84 ........................ 26.8 ........................ 1 248 ........................ 10.6 ......................... 39.0 ........................ 0.688
........................ 1 700 ............ 0.2049 ........... ........................ 6. 11 .................. 29.8 ..... ........................ 1 267 ........................ 11.3 ............... 43.5 ... ..... ........................ 0.685
........................ 1 800 ........................ 0. 1935 ........................ 6.37 ........................ 32.9 ........................ 1 286 ........................ 12.0 ......................... 48.2 ........................ 0.683
........................ 1 900 ........................ 0.1833 ........................ 6.63 ........................ 36.2 ........................ 1 307 ........................ 12.8 ......................... 53.4 ........................ 0.677
........................ 2 000 ........................ 0. 1741 ........................ 6.89 ........................ 39.6 ........................ 1 337 ........................ 13.7 ......................... 58.9 ........................ 0.672 l!f
........................ 2 100 ........................ 0.1658 ........................ 7. 15 ........................ 43. 1 ........................ 1 372 ........................ 14.7 ......................... 64.6 ........................ 0.667
........................ 2 200 ........................ 0. 1582 ........................ 7.40 ........................ 46.8 ........................ 1 417 ........................ 16.0 ......................... 7 1.4 ........................ 0.655
........................ 2 300 ........................ 0.1513 ........................ 7.66 ........................ 50.6 ........................ 1 478 ........................ 17.5 ......................... 78.3 ........................ 0.647
........................ 2 400 ........................ 0. 1448 ........................ 7.92 ........................ 54.7 ........................ 1 558 ........................ 19.6 ......................... 86.9 ........................ 0.630
........................ 2 500 ........................ 0.1389 ........................ 8. 18 ........................ 58.9 ........................ 1 665 ........................ 22.2 ......................... 96.0 ........................ 0.613
3 000 0. 1135 9.55 84.1 2 726 48.6 157.0 0.536
CO
T, = -192°C, L, = 211 kJ/kg
200 l.688 1.27 0.752 l 045 l.70 0.963 0.781
220 1.5341 1.37 0.893 1 044 1.90 1.19 0.753
240 1.4055 1.47 1.05 l 043 2.06 l.41 0.744
260 1.2967 1.57 1.21 1 043 2.2 1 1.63 0.741
280 1.2038 l.66 1.38 l 042 2.36 1.88 0.733
300 1.1233 1.75 1.56 1 043 2.50 2.13 0.730
320 1.0529 l.84 1.75 l 043 2.63 2.39 0.730
340 0.9909 1.93 1.95 1 044 2.78 2.69 0.725
360 0.9357 2.02 2.16 l 045 2.91 2.98 0.725
380 0.8864 2.10 2.37 1 047 3.05 3.29 0.729 lfT
400 0.8421 2.18 2.59 1 049 3.18 3.60 0.719
450 0.7483 2.37 3.17 1 055 3.50 4.43 0.71 4
500 0.67352 2.54 3.77 1 065 3.8 1 5.31 0.710
550 0.61226 2.7 1 4.43 l 076 4.l l 6.24 0.710
600 0.56126 2.86 5.10 1 088 4.40 7.21 0.707
650 0.51806 3.01 5.81 1 101 4.70 8.24 0.705
700 0.48 102 3.15 655 1 114 5.00 9.33 0.702
750 0.44899 3.29 7.33 1 127 5.28 10.4 0.702
CO
T - -33.4°C, l. - 544 kJlkf!
280 1.9022 1.40 0.736 830 1.52 0.963 0.765
300 1.7730 1.49 0.840 851 1.655 1.10 0.766
320 1.6609 1.56 0.939 872 1.805 1.25 0.754
340 1.5618 1.65 1.06 891 1.970 1.42 0.746
360 l.4743 l.73 U7 908 2.12 l.58 0.74 1
380 1.3961 1.81 1.30 926 2.275 1.76 0.737
400 1.3257 1.90 1.43 942 2.43 1.95 0.737
450 l.1782 2.10 l.78 981 2.83 2.45 0.728 lfT
500 1.0594 2.31 2.18 1 020 3.25 3.01 0.725
550 0.9625 2.51 2.61 1050 3.66 3.61 0.72 1
600 0.8826 2.70 3.06 1080 4.07 4.27 0.717
650 0.8 143 2.88 3.54 1 100 4.45 4.97 0.712
700 0.7564 3.05 4.03 1 130 4.81 5.63 0.717
750 0.7057 3.21 4.55 1 150 5.17 6.37 0.714
800 0.6614 3.37 5.10 1 170 5.51 7.12 0.716
Figure D.2 - p, masse volumique;µ, viscosité; v, viscosité cinématique; cp, capacité
thermique massique à pression constante; A, conductivité thermique; a, diffusivité
thermique; Pr, nombre de Prandtl ; f3th • coefficient de dilatation thermique; Te,
température d'ébullition; Le, chaleur latente d'ébullition.
436

D. l . Gaz à pression atmosphérique
H, T, - -253°C. l, - 466 kJlkR
"O
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c
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0
v
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T"-f "O
0 c
N
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-ci
0
c
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0
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T
p Jl xlrf vx lrf
CP Àx/0 2 a X /0 5 Pr f31h
kglmJ
K
Ns/m 1 m 1 /s J/(kgK) W/(mK) ,,,1/s K·'
........................ ........................ ........................ ........................ ........................ ........ iCii)" ............... 2:4ii'""'' ........................
100 0.24255 0.421 1.74 11 230 0.707
200 0.1 2 115 0.681 5.62 13 540 13.1 7 99 0.704
300 0.08078 0.896 11.1 14 310 18.3 15.8 0.701
400 0.06059 1.082 17.9 14480 22.6 25.8 0.695
500 0.04848 1.264 26.l 14 520 26.6 37.8 0.691
600 0.04040 1.424 35.2 14 550 30.5 51.9 0.678
700 0.03463 1.578 45.6 14 6 10 34.2 67.6 0.675
800 0.03030 1.724 56.9 14 700 37.8 84.9 0.670
900 0.02694 l.865 69.2 14 830 41.2 103.0 0.671
1 000 0.02424 2.013 83.0 14 990 44.8 123.0 0.673
1 100 0.02204 2.130 96.6 15 170 48.8 146.0 0.662
1200 0.02020 2.262 112.0 15 370 52.8 170.0 0.659 l/T
l 300 0.01865 2.385 l27.9 l5 590 56.8 l95.5 0.655
l 400 0.01732 2.507 144.7 15 810 61.0 223.0 0.650
1 500 0.01616 2.627 162.6 16 020 65.5 253.0 0.643
1 600 0.0152 2.737 180.1 16 280 69.7 281.5 0.639
1700 0.0143 2.849 199.2 16 580 74.2 313.0 0.637
l 800 0.0135 2.96l 219.3 l6 960 78.6 343.5 0.639
1 900 0.0 128 3.072 240.0 17 490 83.5 373.0 0.643
2 000 0.012 1 3.182 263.0 18 250 87.8 397.5 0.661
H ,O {vatJeurJ
voir oaraara1Jhe Liauides
380 0.5863 l.271 2.168 2 060 2.46 2.04 l.06
400 0.5542 1.344 2.425 2 014 2.61 2.34 1.04
450 0.4902 1.525 3.111 1 980 2.99 3.08 1.01
500 0.4405 1.704 3.868 1 985 3.39 3.88 0.998
550 0.4005 l.884 4.704 l 997 3.79 4.74 0.993 l/T
600 0.3652 2.067 5.660 2 026 4.22 5.70 0.993
650 0.3380 2.247 6.648 2 056 4.64 6.68 0.996
700 0.3140 2.426 7.726 2 085 5.05 7.71 1.00
750 0.2931 2.604 8.884 2 119 5.49 8.84 1.00
800 0.2739 2.786 10.17 2 152 5.92 lO.O 1.01
850 0.2579 2.969 11.51 2 186 6.37 11.3 1.02
He
T. = -269°C, L. = 25 kflk!!
100 0.487 l 0.963 1.98 5 193 7.30 2.89 0.686
120 0.4060 1.07 2.64 5 193 8.19 3.88 0.679
140 0.3481 1.18 3.39 5 193 9.07 5.02 0.676
180 0.2708 1.39 5.13 5 193 10.72 7.62 0.673
220 0.2216 1.60 7.22 5 193 12.31 10.7 0.675
260 0.1875 1.80 9.60 5 193 13.7 14.1 0.682 l/T
300 0.1625 1.99 12.2 5 193 15.2 18.0 0.680
400 0.1219 2.43 19.9 5 193 18.7 29.5 0.675
500 0.09754 2.83 29.0 5 193 22.0 43.4 0.668
700 0.06969 3.50 50.2 5 193 27.8 76.8 0.654
1 000 0.04879 4.46 91.4 5 193 35.4 140.0 0.654
Figure D.3 - p, masse volumique ;µ, viscosité; v, viscosité cinématique; cp, capacité
thermique massique à pression constante ; A, conductivité thermique; a, diffusivité
thermique; Pr, nombre de Prandtl ; f3th • coefficient de dilatation thermique; Te,
température d'ébullition; Le, chaleur latente d'ébullition.
437

Annexe D • Complément
N, T_ = -193°C. L, = 209k!/kf.!
T p µ. xlO' vx JO' c p
;,, xJO' a X JO' Pr
K kg/m J Ns!nl m 2 /s J/(kgK) W/(mK) m 2 /s
!OO 3.4388 0.688 0.200 1 070 0.958 0.260 0.768
150 2.2594 1.006 0.445 1 050 1.39 0.586 0.759
200 l.6883 1.292 0.765 1 043 l.83 1.04 0.736
250 1.3488 1.549 l.148 l 042 2.22 l .58 0.727
300 1. 1233 1.782 1.586 1 041 2.59 2.21 0.716
400 0.8425 2.204 2.616 1 045 3.27 3.71 0.704
500 0.6739 2.577 3.824 1 056 3.89 5.47 0.700
600 0.5615 2.908 5.179 l 075 4.46 7.39 0.701
700 0.4812 3.2l0 6.671 l 098 4.99 9.44 0.706
800 0.4211 3.491 8.290 1 120 5.48 11.6 0.715
900 0.3743 3.753 10.03 1 146 5.97 13.9 0.721
1 000 0.3368 3.999 11.87 1 167 6.47 16.5 0.721
l 100 0.3062 4.232 13.82 l 187 7.00 19.3 0.718
1 200 0.2807 4.453 15.86 1 204 7.58 22.4 0.707
1 300 0.2591 4.662 17.99 1 219 8.10 25.6 0.701
NH,
T. = -33.4°C. L. = 1370k!lkf!
........................ 300 ........................
0.6894
........................
l.015
........................
l.47
........................
2 158
........................
2.47
.........................
l.66
........................
0.887
........................ 400 ........................ 0.5136 ........................ 1.38 ........................ 2.69 ........................ 2 287 ........................ 3.70 ......................... 3. 15 ........................ 0.853
.................... 500 ... ........................ 0.4101 ........................ 1.73 ........................ 4.22 ........................ 2467 ........................ 5.25 ......................... 5. 19 ........................ 0.813
580 0.3533 l.995 5.65 2 613 6.38 6.91 0.817
{J,h
K-1
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lrr
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a.
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0
u
0 , T = -183°C, L = 213k!lkf!
................................................................................................
100 3.945 0.764 0.194
................................................
962 0.925
.........................
0.244
........................
0.796
........................ 150 ................................................ 2.585 1.148 ................................................ 0.444 921 .........................................................................
1.38 0.580 O. 766
................................................................................................................................................ 200 1.930 1.475 0.764 915 1.83 ......................... 1.04 ........................ 0.737
................................................................................................
250 l.542 1.786 1.158
................................................
915 2.26
.........................
1.60
........................
0.723
........................ 300 ................................................ l.284 2.072 ................................................ l.614 920 .........................................................................
2.68 2.27 0.7ll
................................................ 350 1.100 ................................................ 2.335 2. 123 ................................................ 929 2.96 ......................... 2.90 ........................ 0.733
.................................................................................................................................................................................................
400 0.9620 2.582 2.684 942 3.30 3.64 0.737
................................................
500 0.7698
................................................
3.033 3.940
................................................
972 4.12
.........................
5.51
........................
0.716
................................................ 600 o.6414 ................................................ 3.437 5.359 ................................................ 1 003 4.73 ......................... 7.35 ........................ o.729 1rr
.................................................................................................................................................................................................
700 0.5498 3.808 6.926 1 031 5.28 9.31 0.744
................................................ 800 0.48 l 0 ................................................ 4.152 8.632 ................................................ 1 054 5.89 ......................... l l.6 ........................ o. 743
................................................ 900 0.4275 ................................................ 4.472 10.46 ................................................ 1 074 6.49 ......................... 14.1 ........................ 0.740
........................................................................................................................ 1 000 0.3848 4.770 12.40 1 090 ........................ 7.10 ......................... 16.9 ........................ 0.733
................................................ 1 100 0.3498 ................................................ 5.055 14.45 ................................................ 1 103 7.58 ......................... 19.6 ........................ 0.736
........................ 1 200 ................................................ 0.3206 5.325 ................................................ 16.61 1 115 ........................ 8.19 .................................................
22.9 O. 725
1 300 0.2960 5.884 18.86 1 125 8.71 26.2 0.721
Figure D.4 - p , masse volumique ;µ, viscosité; v, viscosité cinématique; cp, capacité
thermique massique à pression constante; A, conductivité thermique; a, diffusivité
thermique; Pr, nombre de Prandtl ; f3th • coefficient de dilatation thermique; Te,
température d'ébullition; Le, chaleur latente d'ébullition.
438

D.2. Liquides
D.2 LIQUIDES
Les dépendances de À, µ et c en fonction de p sont négligeables.
a) Eau liquide et équilibre eau liquide-vapeur d'eau
Eau liquide
T P µ x 10 6 v x 10 9 c; À a x 1 O 7 Pr {:J,h x 10 5
° C kglm 3 Nslm 1 m 1 1s J(lkg K) Wl(m K) m 2 1s K ·'
.. ................................................................... 0 1000 1750 ......... ............................................ 1750 4220 .... ................................................................................... 0.569 1.35 13.0 ................... - 6.81
..................................... l.8 .................... 1000 ....................... 1652 ....................... 1652 ....................................................................................................... 4210 0.574 1.36 12.22 .......................... -3.27
......................................................... 6.8 1000 ....................... 1422 ................................................. 1422 4200 .......................................................................................................
0.582 1.39 10.26 +4.60
......................................................... 20 997 ....................... 1360 ................................................. 1364 4180 .......................................................................................................
0.585 1.40 7.26 +19.1
......................................................... 40 990 ....................... 673 ................................................. 680 4180 .......................................................................................................
0.630 l.52 4.47 +37.5
......................................................... 60 983 ....................... 444 ................................................. 451 4180 .......................................................................................................
0.657 1.60 2.81 +51.6
..................................... 80 .................... 972 ....................... 358 ....................................................................................................... 368 4200 0.670 1.64 ....................... 2.24 .......................... +67.5
......................................................... 100 958 ....................... 279 ................................................. 291 4220 ........................... 0.680 ............................................................................
1.69 1.76 +75 .0
§.~!........ ...........
.... 1.2.Q ..\?'... ~:~ ..1. ~:.:P.~~L ....... 9.~'.2. ...... ........ ~}9 .. ..... .......}~~.... ... ... .... ~.2.~.9 ... .... .. ..... 9 ...
1.:.7.2. .................!
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260 (> 4 8 10 6 Pa) 783 102 130 4990 0.603 1.54 0.85
:: : ::: :i.j9.:&. :!:~'.:t:g>. : : ::: ::::::~?.:Q:: : ::: :::::::)?.::: ::::: :::::: : ::!:~§.::: : ::: ::: ::::§.1:i9.::: :::: :: : :::::9.;~jf ::: :: : : ::: : :::::c:~r::: : ::: ::: ::::x;9.:::::::: ::::: ::: :::: ::::::::::
.. } :?.Q .E:: .~:. ! .. !.?.'..f.ç!L ...... 1.§} ...... .......... ?.:? ............... ) .2.2 ............... ~.?.999. ..... ....... 9:.?..?.?. ................. .9:.!§ ....... ......... .:?. .......... .......................... .
Equilibre eau liquide-eau vapeur
T 5
(K) 273.1 300 325 350 373.1 400 450 500 550 600 625 647.3
Ps xlO _,
(Pa) 6.2 10·3 3.6 10·3
.1379 .4218 1.013 2.488 9.443 26.75 62.00 125.1 171.3 224.1
Le 2502 2438 2378 2317 2257 2183 2024 1825 1564 1176 858 O.
(k.Jlkf!)
"O
0
c
::J
0
v
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T"-f "O
0 c
N
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~
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-ci
0
c
::l
0
@
Figure 0.5 - p, masse volumique;µ, viscosité v; viscosité cinématique; c, capacité
thermique; A, conductivité thermique; a, diffusivité thermique ; Pr, nombre de Prandtl ;
f3ch • coefficient de dilatation thermique; T 5 , t empérature de saturation; p 5 , pression de
saturation ; Le, chaleur latente d'ébullition.
439

Annexe D • Complément
b) Métaux liquides
À
Tl T. T p c µx 10 4 vx 10 6 a X 10 6 Pr
oc oc oc kglm 3 Jl(kgK) Nslm 1 nl!s Wl(mK) nl!s
"O
0
c
::J
0
v
T"-f
0
N
@
~
..c
Ol
ï::::
a.
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0
u
Lithium
179 1 317 204.4 509.2 4 365 5.416 1.1098 46.37 20.96 0.051
315.6 498.8 4270 4.465 0.8982 43.08 20.32 0.0443
426.7 489.l 4 211 3.927 0.8053 38.24 18.65 0.0432
537.8 476.3 4 171 3.473 0.7304 30.45 15.40 0.0476
Plomb
327 1737 371 10 540 159 2.40 0.023 16.1 9.61 0.024
1
1 704 1 10 140 1 155 1 l.37 1 0.014 1 14.9 1 9.48 1 0.0143
Sodium
97.6 882 100 926.5 1 384 6.70 0.723 85.7 66.9 0.01081
200 903.7 l 339 4.46 0.493 80.9 66.8 0.00738
300 880.5 1 304 3.40 0.387 76 66.2 0.00584
400 857 1 278 2.81 0.328 71.2 65 0.00504
500 833.l l 262 2.43 0.291 66.3 63 .l 0.00462
600 808.9 1 255 2.16 0.267 61.5 60.6 0.00441
700 784.3 l 257 l.97 0.251 56.6 57.4 0.00437
800 759.4 1 268 1.82 0.239 51.8 53.8 0.00445
Potassium
63.2 757 100 824.1 813 4.41 0.535 48 71.7 0.00746
200 796.3 791 2.99 0.376 45.1 71.6 0.00525
300 769.8 775 2.32 0.301 42.3 71 0.00424
400 744.5 765 1.93 0.260 39.8 69.9 0.00372
500 720.6 762 l.69 0.234 37.5 68.3 0.00343
600 697.9 765 1.52 0.218 35.4 66.3 0.00329
700 676.5 774 1.40 0.206 33.5 64 0.00322
NaK (56% K ~ 44% Na)
5.7 812 100 879.7 1 064 5.32 0.605 22.8 24.4 0.02478
200 854.4 1 032 3.57 0.418 24.8 28.1 0.01486
300 829.4 1 008 2.75 0.331 26.2 31.3 0.01058
400 804.9 991 2.28 0.283 26.9 33.8 0.00838
500 780.9 982 l.98 0.253 27.l 35.4 0.007 17
600 757.3 980 1.77 0.234 26.7 35.9 0.00651
700 734.2 986 l.62 0.221 25.6 35.4 0.00623
800 711.6 1 000 1.50 0.211 24 33.7 0.00628
Figure D.6 - p, masse volumique;µ, viscosité; v, viscosité cinématique; c, capacité
thermique massique; A, conductivité thermique; a, diffusivité thermique; Pr, nombre de
Prandtl; f3ch• coefficient de dilatation thermique; Tr, température de fusion; Te,
température d'ébullition.
440

D.2. Liquides
c) Liquides industriels
Huile Mi11érale (SAE 50)
T P µ.x l0 4 vxl0 7 c À axl0 8 Pr
° C kglm 3 N s/m 2 m2/s Jl(kg K) Wl(m K) m 2 ls
........................ 0 ................................................ 899 38 500 ................................................ 42 800 1 796 ........................ 0. 147 ................................................. 9.1 1 47 100 ........................
........................ 20 ........................................................................................................................ 888 8 000 9 000 1 880 0. 145 .........................................................................
8. 72 IO 400 7 .02
........................ 40 ........................................................................................................................ 876 2 100 2 400 1 964 0.144 .........................................................................
8.33 2 870
........................
60
................................................
864 720
........................................................................
839 2 047 0. 140
.................................................
8.00 1 050
........................
........................ 80 .................................................................................................................................................................................................
852 320 375 2 131 0.138 7.69 490
........................ 100 ................................................ 840 170 ........................................................................ 202 2219 0. 137 ................................................. 7.38 276 ........................
........................ 120 .................................................................................................................................................................................................
829 102 123 2 307 0.135 7.1 0 175
........................ 140 ........................................................................................................................ 817 65 80 2 395 0. 133 .........................................................................
6.86 116
160 806 45 56 2 483 0. 132 6.63 84
Huile Minérale - Trunscal 65
T P µ xlO' vxl0 1 c À axl0 11 Pr f3t11 X JO •
° C kg/mJ N slm 2 m 2 /s Jl(kg K) W/(m K) m 2 /s
K I
........................ 15 ........................................................................................................................ 875 8 270 9 450 1 880 0.132 .........................................................................
8.02 11 800
........................ 50 ........................................................................................................................ 848 l 780 2 100 l 980 0.130 .........................................................................
7.74 2 710
........................ 100 ........................................................................................................................ 811 410 506 2 160 0. 127 .........................................................................
7.25 698
........................ 200 .................................................................................................................................................................................................
736 92 125 2 500 0.120 6.52 192
300 660 41 62.1 2900 0. 112 5.85 106
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Gilotl1erm TH
T P µ xJO' vxJO ' c À axl0 4
Pr
° C kg/m 3 N s/m 2 m 2 /s J/(kg K) W/(m K) m2Js
........................ 0 .................................................................................................................................................................................................
1016 9500 9350 1410 0.125 8.73 10700
........................ 15 ................................................ 1 001 980 ........................................................................ 979 1 485 0.124 ................................................. 8.34 1 170 ........................
........................ 50 ........................................................................................................................ 980 152 155 1 603 0.122 .........................................................................
7.77 199
........................ 100 ........................................................................................................................ 947 34 35.9 1 800 0.119 .........................................................................
6.98 51.4
........................ 200 ................................................ 875 7.8 ........................................................................ 8.91 2400 0. 113 ................................................. 5.38 16.6 ........................
300 805 4.1 5.09 2 580 0.1 08 5.20 9.8
Figure D.7- p , masse volumique ; µ, viscosité ; v, viscosité cinématique; c, capacité
thermique massique; A, conductivité thermique ; a, diffusivité thermique ; Pr, nombre de
Prandtl; f3th • coefficient de dilatation thermique.
441

Annexe D • Complément
D.3 SOLIDES
a) Métaux
1j· L; r. L" p c À
oc kJ/kg oc kJlkg kg!n/ Jl(k~K) Wl{mK)
20 - 100
oc oc
20
oc
100
oc
300
oc
600
oc
1000
oc
1200
oc
Aluminium (pur) 658 388 2500 11.5 2708 896 243 236 240 233 222
Al 95%, Cu 9%, 2789 883 164
EMg
Argent 961 164 1635 125 10524 234 431 427 422 407 384 368
Bervllium 1280 1400 3000 2480 1850 1825 382 205 170 130 100 69
Cadmium 321 54 765 100 8650 23 1 100 97 95 89
Chrome 1920 315 2327 615 7160 440 121 91 88 82 69 62
Cobalt 1492 260 3185 650 8862 389 131 100 89
Cuivre 1083 205 2595 465 8954 383 421 399 393 384 366 336
Fer 1530 270 2500 640 7900 452 99 81 72 57 39 29 32
Or 1063 84 2960 228 19300 129 331 315 313 305 287 254
Plomb 327 24.8 1750 92 11340 129 36 35 33 32
Lithium 179 140 1372 2130 534 3391 43 77 73
MaL'fle.sium 650 200 1097 565 1740 1017 160 156 154 149 145
Manganese 1260 260 2152 420 1290 486 6.9 7.8
Nickel 1452 300 3075 620 8900 446 114 94 74 65 73 78 82
Acier Inconel 1665 851 0 439
X750
(73%Ni, 15%Cr,6.7%
Fe)
Acier: 7837 465 54 52 45 35 29 31
S. (0.5%C)
S. (J.5% C) 7870 486 36 36 35 35 28 29
S. (1%Cr) 7869 461 61 55 47 36 33
S. (20%Cr) 7693 46 1 22 22 22 24 26
S. (J8%Cr, 8%Ni) 7821 461 16 17 19 23 31
S. (20%Ni, 15%Cr) 7821 461 14 15 16 19
Tun!!stène 3370 250 5900 480 19300 134 204 179 166 142 114 110
Uranium 1690 18700 125 24 27 29 33 41
Zinc 419.5 11 2 907 180 7140 390 123 121 11 7 107
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0
c
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0
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0
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a.
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0
u
Figure D.8 - Tr, température de fusion; Lr, chaleur latente massique de fusion ; Te,
température d'ébullition; Le, chaleur latente massique d'ébullition; p, masse volumique ;
c, capacité thermique massique ; A, conductivité thermique.
442

D.3. Solides
b) Matériaux de construction
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0
c
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0
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T"-f "O
0 c
N
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c
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0
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f) Â. p c
°C Wl(m K) k~/m 3 Jl(kf! K)
Asphalte 20 à 55 0.74 à 0.76 1 100 à 1 500 920
Basalte 2.2 3 000 840
Brique, tuile, commune 20 0.69 à 1.32 l 600 à 2300 800 à 1 000
Béton: 1.75 2 200 à 2 400 920
.................... ~~!?. J.~.gr,~g~~ ··'·~~.1.~)........................................................... ..........................................................................................................
Cellulaire 0.16 à 0.33 375 à 825 880
Ciment de Portland 0.29 l 500
Mortier 1.15 1 800 à 2 100 840
Plâtre 0.25 à 0.35 500 à 1000 800
solation : Laine de verre 23 0.038 240 700
Laine de roche 32 0.040 160
(peu compactée) 150 0.067 64
260 0.087
Polystyrène - 50 0.1 38 900
0 0.157 1 110
150 0.164 l 940
~~~.~~~ ..:
G.~~.i:!! .~..................................... .............................................................. ~ .. n.}.:?..?. .....................?... ~.Q ........................ ~.?. !?........... ..
........................................................................................................................
Calcaire 100-300 ........................................................................ 1.26 - 1.33 2 500 .................................. 900
..................................................................................................................................................................................................................................
Marbre 2.07-2.94 2 500-2 700 880
..................................................................................................................................................................................................................................
Grès et meulière 0.93 à 1.25 2 160-2 300 7 10
Ardoise 2. 1 27 000 750
Sable : sec 0.41 1 500 800
de rivière ( 40% d'humidité) 0.21 à 0.43 1 300 à 1 830
de mer 0.41 à 0.35 1 350 à l 4 10
~ 9.!..: ...... Arn.i. ! ~ .. 0.~% .. 9.'.~.~!P.!~1.! ~.~L ....................................................................... !. :~............................?...?.Q.Q.............................................
Naturel (porosity : 0.34) 1.26 à 2.0 l 710 à l 600
Neige 0.05 100
en fonction de la densité)
0.10 200
0.23 300
0.64 500
2.2 900
Glace 2. 1 910 2220
Verre à vitre 20 2 700 840
Bois: Erable et Chêne 30 0.166 540 2 400
Liège 32 0.045 45-120 l 880
Pin jaune 23 0.147 640 2 800
Saoin O. li 420 2 720
Figure D.9 - p, masse volumique ; c, capacité thermique massique ; A, conductivité
thermique; a, diffusivité thermique.
443

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COMPLÉMENT
QUELQUES DONNÉES RADIATIVES
E. l RAYONNEMENT D'ÉQUILIBRE
a) Loi de Planck normalisée dans le vide.
X y X y X y X y
0.10 3.905 X 10-lS 0.80 8.777 X 10-t 1.42 7.702 X 10" 1 2.20 3.228 X 10" 1
0.20 7.366 X 10" 6 0.82 9.028 X 10-I 1.44 7.551 X 10-l 2.30 2.886 X 10-I
0.22 4.368 X 10-S 0.84 9.248 X 10-I 1.46 7.401 X 10-l 2.40 2.584 X 10-I
0.24 1.854 X 10- 4 0.86 9.437 X 10-I 1.48 7.251 X 10-l 2.50 2.318 X 10-I
0.26 6.100 X 10- 4 0.88 9.595 X 10-I 1.50 7.102 X 10-l 2.60 2.083 X 10-I
0.28 1.647 X 10-J 0.90 9.726 X 10- 1 1.52 6.954 X 10-l 2.70 1.875 X 10-I
0.30 3.805 X 10" 3 0.92 9.829 X 10-t 1.54 6.808 X 10-l 2.80 1.691 X 10-I
0.32 7.752 X 10" 3 0.94 9.906 X 10" 1 1.56 6.664 X 10" 1 2.90 1.528 X 10" 1
0.34 1.426 X 10" 2 0.96 9.959 X 10-t 1.58 6.521 X 10-l 3.00 1.383 X 10-I
0.36 2.412 X 10·2 0.98 9.990 X 10-I 1.60 6.381 X 10-l 3.10 1.255 X 10-I
0.38 3.803 X 10·2 1.00 1.000 1.62 6.242 X 10-l 3.20 1.140 X 10-I
0.40 5.655 X 10·2 1.02 9.991 X 10-I 1.64 6.106 X 10-l 3.30 1.038 X 10-I
0.42 8.002 X 10·2 1.04 9.963 X 10-I 1.66 5.971 X 10-l 3.40 9.469 X 10·2
0.44 1.085 X 10-l 1.06 9.920 X 10-t 1.68 5.839 X 10-l 3.50 8.652 X 10" 2
0.46 1.419 X 10-l 1.08 9.862 X 10-t 1.70 5.710 X 10-l 3.60 7.919 X 10" 2
0.48 1.799 X 10" 1 1.10 9.790 X 10" 1 1.72 5.582 X 10" 1 3.70 7.260 X 10" 2
0.50 2.218 X 10-l 1.12 9.707 X 10-I 1.74 5.457 X 10-l 3.80 6.667 X 10·2
0.52 2.671 X 10-l 1.14 9.613 X 10-I 1.76 5.335 X 10-l 3.90 6.132 X 10- 2
0.54 3.150 X 10-l 1. 16 9.509 X 10-I 1.78 5.215 X 10-l 4.00 5.648 X 10·2
0.56 3.647 X 10-l 1.18 9.396 X 10- 1 1.80 5.097 X 10-l 5.00 2.679 X 10·2
"O
0
0.58 4.155 X 10-l 1.20 9.277 X 10-I 1.82 4.982 X 10-l 6.00 1.421 X 10·2
c
::J
0.60 4.665 X 10" 1 1.22 9.151 X 10" 1 1.84 4.869 X 10" 1 7.00 8.199 X 10" 3
0 0.62 5.172 X 10-l 1.24 9.019 X 10-I 1.86 4.759 X 10-l 8.00 5.048 X 10- 3
v
;a;
T"-f 0.64 5.668 X 10-l
"O
1.26 8.883 X 10-I 1.88 4.651 X 10-l 9.00 3.273 X 10- 3
0 c
N
::l 0.66 6.148 X 10-l 1.28 8.743 X 10-I 1.90 4.546 X 10-l 10.00 2.213 X 10" 3
~
@ .,
., 0.68 6.608 X 10-l 1.30 8.599 X 10-I 1.92 4.442 X 10-l 15.00 4.775 X 10-4
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~
..c ·-= "' 0.70 7.043 X 10-l 1.32 8.453 X 10-I 1.94 4.342 X 10-l 20.00 1.578 X 10-4
Ol g
::l
ï::::
CO 0.72 7.45 1 X 10-l 1.34 8.305 X 10-t 1.96 4.243 X 10-l 30.00 3.253 X 10-S
>- c
a. 0 0.74 7.830 X 10" 1 1.36 8.155 X 10-t 1.98 4.147 X 10" 1 40.00 1.051 X 10" 5
0.76 8.178 X 10-l 1.38 8.005 X 10-I 2.00 4.053 X 10-l 50.00 4.361 X 10" 6
c
0
c
u .~
0
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e
Q,
"O
0.78 8.494 X 10-l 1.40 7.854 X 10-I 2.10 3.615 X 10-l
~
~
::l
i8
-ci
0
c
::l
0
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Figure E.1 - y = L~~<~~
: luminance monochromatique normalisée d'équilibre dans le
Am
vide en fonction de la longueur d'onde normalisée x = L ; tabulée par V. Leroy
(EM2C/ECP).
445

Annexe E • Complément
b) fonction z(O, À:~n)
X z X z X z X z
0.10 1.301 X 10-l 7 0.80 J.237 X 10-I L42 5.014 X 10-I 2.20 7.674 X 10-I
0.20 4.809 X 10-S 0.82 1.354 X 10-l 1.44 5.114 X l0-I 2.30 7.875 X 10-l
0.22 3.397 X 10- 7 0.84 1.474 X 10-l 1.46 5.21 2 X 10-I 2.40 8.055 X 10-l
0.24 1.706 X 10- 6 0.86 1.597 X 10-l 1.48 5.309 X 10-I 2.50 8.216 X 10-l
0.26 6.596 X 10- 6 0.88 1.722 X 10-l 1.50 5.403 X 10-l 2.60 8.360 X 10-l
0.28 2.076 X 10-S 0.90 J.849 X 10-I 1.52 5.496 X 10-I 2.70 8.490 X 10-I
0.30 5.544 X 10- 5 0.92 1.978 X 10-l 1.54 5.586 X 10-l 2.80 8.607 X 10-l
0.32 1.297 X 10- 4 0.94 2. 108 X 10-l 1.56 5.675 X 10-I 2.90 8.713 X 10-l
0.34 2.720 X 10- 4 0.96 2.238 X 10-l 1.58 5.761 X 10-I 3.00 8.809 X 10-l
0.36 5.213 X 10- 4 0.98 2.370 X 10-l 1.60 5.846 X 10-I 3.10 8.895 X 10-I
0.38 9.263 X 10- 4 LOO 2.501 X 10-I L62 5.929 X 10-I 3.20 8.974 X 10-I
0.40 1.544 X 10- 3 1.02 2.633 X 10-l 1.64 6.010 X 10-I 3.30 9.046 X 10-l
0.42 2.438 X 10- 3 1.04 2.764 X 10-l 1.66 6.090 X 10-I 3.40 9.lllx lO-l
0.44 3.674 X 10- 3 1.06 2.895 X 10-l 1.68 6.168 X 10-I 3.50 9.170 X 10-l
0.46 5.3 17 X 10- 3 1.08 3.025 X 10-l 1.70 6.243 X 10-I 3.60 9.225 X 10-I
0.48 7.429 X 10- 3 LIO 3.154 X 10-I 1.72 6.318 X 10-I 3.70 9.275 X 10-I
0.50 1.007 X 10- 2 1.12 3.282 X 10-l 1.74 6.390 X 10-I 3.80 9.320 X 10-l
0.52 1.328 X 10- 2 1.14 3.409 X 10-l 1.76 6.461 X 10-I 3.90 9.362 X 10-l
0.54 1.711 X 10- 2 1.16 3.535 X 10-l 1.78 6.53 1 X 10-I 4.00 9.401 X 10-l
0.56 2.158 X 10- 2 1.18 3.659 X 10-l 1.80 6.598 X 10-l 5.00 9.660 X 10-l
0.58 2.671 X 10- 2 L20 3.782 X 10-I L82 6.665 X 10-I 6.00 9.790 X 10-I
0.60 3.25 1 X 10- 2 1.22 3.903 X 10-l 1.84 6.730 X 10-l 7.00 9.861 X 10-l
0.62 3.897 X 10- 2 1.24 4.023 X 10-l 1.86 6.793 X 10-I 8.00 9.904 X 10-l
0.64 4.610 X 10- 2 1.26 4.140 X 10-l 1.88 6.855 X 10-I 9.00 9.930 X 10-l
0.66 5.388 X 10- 2 1.28 4.256 X 10-l 1.90 6.915 X 10-I 10.00 9.948 X 10-I
0.68 6.227 X 10- 2 1.30 4.370 X 10-I L92 6.974 X 10-I 15.00 9.9836 x 10- 1
0.70 7.124 X 10- 2 1.32 4.483 X 10-l 1.94 7.032 X 10-I 20.00 9.9929 X 10-l
0.72 8.078 X 10- 2 1.34 4.593 X 10-I 1.96 7.089 X 10-I 30.00 9.9978 X 10-l
0.74 9.083 X 10- 2 1.36 4.701 X 10-l 1.98 7.144 X 10-I 40.00 9.9991 X 10-J
0.76 1.014 X 10-I 1.38 4.807 X 10-l 2.00 7.198 X 10-I 50.00 9.9995 X 10-l
0.78 J.123 X 10-I L40 4.912 X 10-I 2.10 7.449 X 10-I OO
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Figure E.2 - z = '' tr(~;> d,i en fonction de la longueur d'onde normalisée x = - 1
' 1 ; <r,
q
'm
constante de Stefan, égale à 5,67 1 o- 8 wm- 2 K- 4 ; ta bu lée par V. Leroy (EM2C/ECP).
446

E.2. Quelques facteurs de forme
E.2 QUELQUES FACTEURS DE FORME
a) Entre deux faces adjacentes d'aires ac et be et d' arête commune c d' un parallélépipède
rectangle
A= a/c, B = b/c X= A 2 + B 2 , Y= (1 + A 2 )(1 + B 2 )/(l +X),
z = [B2(1 + X)]B2
W = [A2(1 + X)JA2
(1 + B 2 )X ' (l + A 2 )X
nAfacbc = nBfbcac = Atan- 1 (A - 1 ) + Btan- 1 (B- 1 )-xlf 2 tan- 1 (X- l/ 2 ) + (1/4)ln(YZW).
b) Entre deux disques coaxiaux 1et2 de rayons p 1 etp 2 , distants de H
r1 = pi/H; r2 = P2/H; X= 1 + (l + r~)!rf,
X - [X2 - 4(r2/r1)2] 1;2
f12 = 2 .
c) Entre un disque 2 de rayon R2 et une sphère 1 de rayon quelconque, centrée sur
l'axe du disque ; la distance des centres est L
1 [ ( L2 )'1 2 ]
! 12 = 2 1 - L2 + R~ .
d) Méthode des cordes croisées de Hottel : facteurs de forme entre deux surfaces
cylindriques régulières d'axe commun z (Fig. E.3)
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cordes droites
cordes croisées
Figure E.3 - Section droite du système perpendiculaire à l'axez.
>- Formulation générale
l 1 : longueur de l' arc AB, l 2 : longueur de l'arc CD;
_ l +. _ AD + BC - AC - BD
l l f 12 - 2J21 - 2 .
447

Annexe E • Complément
AD+ BC- A C - BD : somme des longueurs des cordes croisées - somme des longueurs
des cordes droites.
>- Exemple d'application : bandes perpendiculaires adjacentes infinies
de largeurs a et b et d'arête infinie commune.
AD= a, BC = b, AC= 0, BD= (a 2 + b 2 ) 1 1 2 •
a) Facteurs de forme différentiels
Voir le paragraphe 4.8.3.
E.3 EMISSIVITÉS TOTALES DES GAZ
Ces données, initialement dues à [64], ne peuvent servir qu'à une évaluation grossière
d'ordres de grandeurs. L'émissivité totale d'un gaz n'est qu'exceptionnellement égale
à son absorptivité totale (voir paragraphe 7 .2).
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0 1000 2000 3000
Température (K)
4000 5000
Figure E.4 - Emissivité totale de C0 2 dilué dans l'air à 1 atm; adapté de [ 116).
Notons que les moyennes de Planck des coefficients d'absorption de C02 et H10
(paragraphe 6.5.1) sont également données dans [116].
448

E.3. Emissivités totales des gaz
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g
0.1
~ 0.01
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'ê"'
'W
0.001
1000 2000 3000
Température (K)
4000 5000
Figure E.5 - Emissivité totale de H 2 0 dilué dans l'air à 1 atm; adapté de la même
référence.
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COMPLÉMENT
DONNÉES DIVERSES
F. l CONVERSIONS D'ÉCHELLES DE TEMPÉRATURE
• T, Température thermodynamique (K, degré Kelvin).
• TR , Température thermodynamique (R, degré Rankine).
• Tc, Échelle Celsius de température (°C, degré Celsius).
• TF, Échelle Fahrenheit de température (°F, degré Fahrenheit).
Tc= T - 273,15; TR = 9/5T; TF= TR - 459,67; TF= 32+9/5Tc .
F.2 CONVERSIONS D'UNITÉS DIVERSES
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> Pression
Pascal (Pa)= 1 N m- 2 ;
1 atm = 10,33 mH20(à16,7 °C) = 760 (Torr)(mmMercureà 16,7 °C)
= 1,01325 10 5 Pa = 1,01325 bar (g cm- 1 s- 2 )
lPa = 1,45 10- 4 psi (lbf/in 2 )
,
> Energie
- Unités physiques
Joule (J) ; 1 J = 1 N . m;
1 J = 10 7 erg = 9,48110- 4 BTU 1 = 0,2389 cal;
1 eV = 1,60210- 19 J = 8062,4cm- 1 = 2,41807 10 14 Hz = 11604K
- Unités commerciales
1 toe (tonne d'équivalent pétrole)= 7,3 boe (barril d'équivalent pétrole)
= 4,185510 7 J;
1 TWh = 10 3 MWh = 10 6 kWh = 3,610 12 J.
1. BTU : British Thermal Unit.
451

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A
absorption 7, 202, 373
faible, 283
forte, 283
absorptivité 83, 203
ailette 34
idéale, 38
infinie, 39
isotherme, 39
albedo 205
analogie électrique 28
approximation
de Boussinesq, 307
autoabsorption de rayonnement 204, 247
B
bande spectrale 275
bilan
d'énergie, 20, 24, 36, 41 , 49, 51 , 128,
132, 298, 299, 326
de masse d'une espèce, 302, 327
de masse globale, 294, 326
de quantité de mouvement, 294, 296, 326
bord d'attaque 151
c
caloduc 11 , 16
champ de rayonnement 3
champ lointain 262
changement d'échelle 329
~ coefficient
c
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d'absorption, 203, 258
d'échange global, 33, 134
d'émission, 203
d'extinction, 205
de diffusion, 205
de frottement, 144
de thermodiffusion, 301
de transfert convectif, 15, 31 , 138
de transfert local, 140
de transfert moyenné, 140
de transfert d'espèce, 311
de transfert radiatif, 31 , 91
colonne homogène et isotherme
(rayonnement) 203, 204, 206
condenseur parfait 132
conditions aux limites thermiques 18, 41 , 51
conductance thermique 28, 29
conductivité
radiative, 226
thermique, 8, 10
constante
de Boltzmann, 84
de Planck, 84
de Stefan, 88
contact thermique 19, 63
contrainte
de Reynolds, 329
visqueuse, 295
convection 5, 11
forcée thermique, 12, 140, 307
mixte, 13, 307
naturelle d'espèce, 307
naturelle thermique, 12, 168
corps
à propriétés radiatives isotropes, 86
gris, 85
noir, 86, 107
opaque, 7, 23
cotTélation spectrale 216, 274, 279, 285, 286
couche limite
mécanique, 148, 157
thermique, 148, 157
D
débit
de capacité, 134
de masse, l l
demi-largeur à mi-hauteur 276
densité volumique d'énergie radiative 254
diamètre hydraulique 165
diffraction 265
diffusion 5
dépendante, 264
du rayonnement, 205
indépendante, 264
Rayleigh, 266
diffusivité
massique, 301
461

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E
thermique, 51
turbulente, 354
échangeur
à co-courant, 137
à contre-courant, 137
échelle caractéristique
d'absorption, 214
d'extinction, 214
de diffusion (pour une colonne), 214
de diffusion au sens du flux, 215
écran radiatif 103
effet de seITe
atmosphérique, 94
atmosphérique complémentaire, 94
usuel, 93
efficacité
d'extinction (rayonnement), 265
d' un échangeur, 134
d'une ailette, 34, 38
radiative (particules), 263
effusivité 59, 60, 66
émission
induite, 374
physique, 247
spontanée, 6, 203, 373
émissivité monochromatique 84, 204
épaisseur
de couche limite mécanique, 149, 157,
316
optique, 221
équation
de Maxwell, 259
de Navier-Stokes, 296
de transfert du rayonnement, 208, 210
statistique de bilan (turbulence), 328
équilibre
radiatif, 109
thermique, 4, 371
thermodynamique local E.T.L., 4, 384
ergodicité 327
espèce infiniment diluée 301
étalon de luminance 107
évaporateur parfait 132
F
facteur
de forme, 110
de forme différentiels, 111
flux
conductif, 8
conducto-convectif, 15, 138
convectif, 12
radiatif, 101
thermique, 297, 302
fonction
de dissipation, 298
de Green, 57
de phase de diffusion, 206, 263
intégro-exponentielle, 2 l 8
force
de pression, 295
volumique d'Archimède, 168
front de fusion 123
H
hémisphère équivalente de Hottel 227
hertzien (domaine) 77
indice complexe 258
infrarouge (domaine) 77
instationnaire 6, 121
intensité de raie 276
inte1face entre milieux semi-transparents 213
isolant 10
L
libre parcours moyen 5, 380
loi
d'Ohm, 9, 28
de Fick, 9, 28
de Fourier, 8, 27, 50
de Fourier radiative, 227
de Fresnel, 259
de Kirchoff, 78
d'établissement (ou d'entrée) thermique,
157, 323
de mélange de Prandtl, 353, 355
longueur
caractéristique de conduction, 56, 59
d'établissement (ou d'entrée) mécanique,
157, 320
luminance 78, 79
du rayonnement d'équilibre, 90
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Malkmus (modèle de) 282
mélange binaire 301
méthode
de Monte-Carlo, 246
des moments, 254
des zones de Hotte!, 245
numérique, 236
P1,P3, ... , P2n+1, 253
microonde (domaine) 77
milieu
semi-transparent, 8
transparent, 7, 202
modèle
CK, 286
CKFG, 286
raie par raie, 275
statistique à bande étroite, 281
Monte-Carlo 241
moyenne
d'ensemble, 327
de Favre, 327
de Planck, 225
de Reynolds, 327
de Rosseland, 226
N
nid d' abeille 104
nombre
d'unités de transfert NUT., 137
de Biot, 37, 42, 55, 67, 70
de Fourier, 55, 67, 68, 71
de Graetz, 322
de Grashof thermique, 170, 311
de Grashof d'espèce, 311
de Knudsen, 5, 50
de Lewis, 309
de Nusselt, 141, 311 , 312
de Péclet, 142, 306, 310, 343
de Péclet d'espèce, 310
de Prandtl, 142, 150, 309, 310, 312
de Rayleigh, 307
de Reynolds, 142, 310, 312, 343
de Richardson, 306
de Schmidt, 309, 310, 312
de Sherwood, 311 , 312
opaque (corps) 2 12
optiquement
épais, 219
mince, 219, 228
p
paradoxe de l'absorption 260
paramètre
d'asymétrie de la diffusion, 206
de taille, 264
paroi
optiquement lisse, 86
partiellement transparente, 114
particules
grandes, 265
petites, 266
premier principe de la thermodynamique
296, 297
principe
de réciprocité, 244, 245
de Helmholtz, 85
profil normalisé de raie 275
profondeur de pénétration 62
propagation (phénomène de) 62
puissance
radiative échangée, 247, 248
volumique radiative, 209
pyrométrie bichromatique 99
R
raie spectrale 275
rayonnement
d'équilibre, 83, 95, 201
isotrope, 80
réflectivité 83, 213
régime
établi, 157
laminaire, 13
mécanique établi, 158
thermique établi, 159, 321
résistance thermique 28, 29
s
section efficace
de diffraction, 265
463

Transferts thermiques. Introduction aux transferts d'énergie
totale, d'absorption, de diffusion,
d'extinction, 263
sous-couche turbulente
conductive, 153, 344
inertielle, 345
tampon, 346
visqueuse, 153, 344
stationnaire(régime) 6, 121
structure isolante en cryogénie 112
surface
efficace de transfert.. 244
fictive, 111
système
matériel, 3, 120
ouvert. 122
T
température
de film. 168, 304
de mélange, 52, 131, 133
locale adimensionnée, 321
temps
caractéristique de conduction, 56, 58, 68
caractéristique de transfert
oonducto-convectif, 68
caractéristique radiatif, 70
de réponse d'un thermocouple, 71
de relaxation, 50
tenseur
des contraintes totales, 296
des pressions, 296, 329
spectral des pressions de rayonnement,
254
théorème
de Babinet, 265
de Clausius, 202, 207
de Reynolds, 125, 127
de transport, 125
II (Vaschy-Buckingham), 54
théorie de Mie 264
thermocouple 94
tracé de rayon '137
transformation
de Laplace, 57
isovolume, 294
transition
radioactive, 275
transmittivité 203
d'interface, 213
d'un mur, 222
monochromatique, 92, 211
monochromatique directionnelle, 221
u
U.V. (domaine) 77, 275
V
Vaschy-Buckingham (théorème de) ou II 54
vecteur
dePoynting, 258, 262
flux radiatif, 50, 81, 209, 254
flux surfacique, 6
viscosité 139
dynamique, 139
visible (domaine) 77, 275
vitesse
de déplacement d'une surface, 125
X
X (domaine) 77
464