Oláh-Gál Róbert Az informatika alapjai közgazdász- és ...

Oláh-Gál Róbert
Az informatika alapjai
közgazdász- és mérnökhallgatóknak
1

Bevezetı __________________________________________________________________ 4
A szimbolikus logika_________________________________________________________ 4
Az ítéletek logikája – logikai mőveletek_____________________________________________ 5
Logikai függvénykalkulus (predikátumok logikája) __________________________________ 6
Az ítéletek és predikátumok axiómái _______________________________________________ 7
A szillogizmusok – a skolasztikus logika következtetési módjai _________________________ 8
Filozófiai jelentés, interpretáció, háttér____________________________________________ 10
Szakirodalom _________________________________________________________________ 11
Boole-algebra _____________________________________________________________ 11
Bevezetı _____________________________________________________________________ 11
Egy részlegesen rendezett halmaz fontos elemei _____________________________________ 12
Disztributív és teljes hálók ______________________________________________________ 18
Boole-algebra, a szimbolikus logika aritmetikája____________________________________ 19
B2 algebra____________________________________________________________________ 20
Ítéletek algebrája ______________________________________________________________ 21
A Boole-algebrai függvények ____________________________________________________ 21
A Boole-féle függvények normál alakja ____________________________________________ 23
A Boole- függvények kanonikus alakja ____________________________________________ 24
Boole-függvények egyszerősítése _________________________________________________ 25
Alkalmazások közgazdászoknak, Boole egyenletrendszerek ___________________________ 27
Boole-algebrai egyenlet- és egyenlıtlenségrendszerek ________________________________ 28
Változatok egy témára__________________________________________________________ 30
Szakirodalom _________________________________________________________________ 31
Algoritmika _______________________________________________________________ 32
Algoritmusok ábrázolása _______________________________________________________ 33
Elemi mőveletek_______________________________________________________________ 34
Számítsuk ki n beolvasott szám összegét! ___________________________________________________ 34
Az elsı n természetes szám összege ________________________________________________________ 35
Számítsuk ki n beolvasott szám szorzatát! ___________________________________________________ 35
Fatömeg térfogatának számolás (A farönkök köbölése) ________________________________________ 36
Hordó térfogata _______________________________________________________________ 37
A kamatos kamat ______________________________________________________________ 38
Hatványozás __________________________________________________________________ 39
Az eratosztenészi szita___________________________________________________________________ 41
Néhány érdekes számelméleti feladat _____________________________________________ 44
Írjunk programot a tökéletes számok megkeresésére! __________________________________________ 44
Keressünk álprímeket!___________________________________________________________________ 45
Euklideszi algoritmus __________________________________________________________ 46
Átalakítások számrendszerek között________________________________________________________ 48
2

Hanoi torony. _________________________________________________________________ 52
Rendezések ___________________________________________________________________ 53
Sorozat legnagyobb értékő elemének megkeresése ____________________________________________ 54
Számsorozat elemeinek rendezése _________________________________________________________ 54
Buborékos rendezés_____________________________________________________________________ 58
Shell rendezés _________________________________________________________________________ 59
Gyorsrendezés _________________________________________________________________________ 63
Rekurzív gyorsrendezés _________________________________________________________________ 65
Sorozatok elemeinek rendezett egyesítése ___________________________________________________ 66
Rekurziók a kombinatorikában __________________________________________________ 68
Számítsuk ki n elem ismétlés nélküli permutációinak számát! ___________________________________ 68
Faktoriális kiszámítása rekurzív módszerrel__________________________________________________ 69
Egy adott permutáció transzpozicióik szorzatára való bontása ___________________________________ 70
Permutációk, variációk és kombinációk elıállítása __________________________________ 71
Az összes ismétlések nélküli permutáció elıállítása ___________________________________________ 71
Permutációk elıállítása rekurzív módszerrel _________________________________________________ 72
Variációk elıállítása ____________________________________________________________________ 73
Kombinációk elıállítása _________________________________________________________________ 75
Mátrixok _____________________________________________________________________ 78
Szakirodalom _________________________________________________________________ 80
Grafika __________________________________________________________________ 81
Szimulálási feladatok___________________________________________________________ 81
Hegyek ______________________________________________________________________ 82
Körök _______________________________________________________________________ 86
A Logo programozási nyelv („Nincs királyi út a programozáshoz”) _________________ 88
Fejlesztıi környezet ____________________________________________________________ 89
Logo programozási elemek ______________________________________________________ 89
A teknıcgrafika _______________________________________________________________ 91
“Ide ne lépjen aki nem szereti a geometriát” _______________________________________ 94
Folytonos és diszkrét jelenségek __________________________________________________ 95
Szakirodalom _________________________________________________________________ 97
3

Bevezetı
Az informatika alapjai féléves tananyag mind a közgazdász-, mind a mérnök
hallgatóknak. Általában logikai alapokat, Boole-algebrát és algoritmus-leírásokat
foglal magába. Mivel ebben a témában, már sok kiváló könyv és jegyzet áll a
hallgatók rendelkezésére ezért a most közreadott jegyzetben az újszerőségre
törekedtem. Ötévi tapasztalat alapján úgy vettem észre, hogy a hallgatók hadilábon
állnak a matematikai logika legalapvetıbb fogalmaival. Ezért ezt a részt minél
érthetıbben és olvasmányosan igyekeztem megírni. Gondolom azzal mindenki
egyetért, hogy bármilyen szoftver, de már az Internet használatának is nélkülözhetetlen
alapja a matematikai logika, hiszen egy lekérdezés lényegében egy logikai
függvény. A matematikai logikai függvényeket használja az Excel, az Access, a
Turbo Pascal, Delphi, Matlab, Maple és más közgazdasági vagy mérnöki alkalmazások
és célszoftverek.
Az algoritmusok gyakorlati megvalósítására kitőnı eszköz a Turbo Pascal. A
Pascal nyelv nem más mint egy számítógépen futó pszeudokód. Ezt a nyelvet is
didaktikai céllal hozta létre Nicolas Wirth, azért, hogy megtanítsa az elsıéves
hallgatóknak a zürichi Politechnikán a programozás elemeit. Csak késıbb lett belıle
ipari programozási nyelv is. Ezért tartjuk jónak, ha a hallgatók a Turbo Pascal
nyelvvel kezdik. De a tapasztalat azt mutatja, hogy a hallgatók nagy részének még
ennek a nyelvnek az elsajátítása is gondot jelent, és az ı érdekükben betettem a
legegyszerőbb ("legdidaktikusabb") programnyelv, a Comenius Logo rövid ismertetést.
Noha, ez a nyelv a legdidaktikusabb, ipari alkalmazások tekintetében nem
vetekedhet más nyelvekkel, de ezért nem szabad leértékelni. Mivel utasításai
grafikusak (is), ezért igen jól szemlélteti a programozás, és általában az algoritmus
lényegét. De egy nagyon kis részben a Pascal grafikájáról is szót ejtettünk.
Igyekeztünk az eredetiségre és az önállóságra törekedni. "Nincsen királyi út" a
programozásban sem!
A szimbolikus logika
Számítástechnika mindenütt – aligha akad a társadalmat és a tudományt figyelı
hallgató, aki ezt megcáfolná. Nem vitás, hogy a számítástechnika ilyen mérető
felfutását és betörését a mindennapi életbe, fizikai és technikai felfedezések tették
lehetıvé (félvezetık, tranzisztorok, integrált áramkörök, mikroprocesszorok). De mi
volt megjelenésének, a számítástechnika genézisének egyik elméleti alapja –
elgindítója? Véleményem szerint a szimbolikus logika megalkotása és kidolgozása
volt. Az a leibnizi idea, ami szerint a folyamatok és állapotok döntı többsége
kifejezhetı két jellel, a 0-val és az 1-gyel. Ez a Leibniztıl származó metafizikai
vízió a XX. század küszöbén, a matematikai logika és az elektronika felfedezései
révén, megérett a megvalósulásra, mert nyilvánvaló, hogy bármilyen csatornának,
áramkörnek két lehetséges állapota van: vagy halad át rajta valamilyen hatás vagy
nem. Neumann János szerint a számítógép elméleti megtervezésének ábécéje a
szimbolikus vagy matematikai logika, ezért ez a számítástechnikával foglakozó
szakember, a számítógéppel párbeszédet folytató programozó munkaeszközévé vált.
A logikának a hétköznapjainkba való beköltözése természetesen nem a
számítástechnikával kezdıdött, többé-kevésbé mindig is jelen volt minden
kijelentésünkben, ítéletünkben, vagy következtetéseinkben. Hogy ez mennyire így
van, igazolja a következı jelenség: Egy könyvesboltban volt olvasható a következı
felhívás: „Tilos ebbe az üzletbe égı cigarettával és fagylalttal belépni”. Gondolom
4

nem kis vita kerekedhetett volna az üzletvezetıvel abból, ha mondjuk egy fagylalttal
beléptem volna az üzletbe – és nehezen tudtam volna megmagyarázni, hogy a
logikai konjunkció csak akkor igaz, ha az „és” kötıszóval összekötött ítéletek
egyidejőleg igazak. Vagyis a kiírás értelmében égı cigarettával is és fagylalttal is
(egyidejőleg) tilos belépni, de külön fagylalttal vagy külön égı cigarettával nem.
Nyilvánvaló, hogy a felhívás szerzıje összetévesztette a logikai konjunkciót az
alternatívával – a helyes megfogalmazás így lett volna: „Tilos belépni ebbe az
üzletbe égı cigarettával vagy fagylalttal!”
Epiktétosz, Néró császár egyik testırének volt a rabszolgája. A testır látván
Epiktétosz ragyogó szellemi képességét elhatározta, lehetıséget ad, hogy az eszével
felszabadítsa magát. Bezáratta egy olyan cellába, amelyen két kijárat volt, és
mindkettı elıtt ır állt. Azt mondta neki: „Az egyik ır mindig hazudik, a másik csak
az igazat mondja, de nem tudod, hogy melyik. Az egyik kapu a szabadságba visz, a
másik a rabszolgaságba. Egy kérdést intézhetsz az egyik ırnek, és a feleletébıl
döntsd el, melyik kaput választod”. Epiktétosz egy kis gondolkodás után, odament
az egyik ırhöz és megkérdezte: „Mit fog mondani a társad, ha megkérdezem, hogy
melyik kapu visz a szabadságba?” Epiktétosz pedig a válaszban megjelölt kijáratnak
az ellenkezıjét választotta. Vajon miért? Jelöljük az egyik ır feleletét p-vel a
másikét q-val. Epiktétosz oly módon fogalmazta meg kérdését, hogy abból mind a
két ır feleletét megtudja, vagyis a „p és q”-t vagy a „q és p”-t. Mivel az egyik
hazudik, a másik igazat szól, a p és q válaszok közül az egyik hamis, a másik pedig
igaz. Ilyenformán a „hamis és igaz”, vagy „igaz és hamis” mindig hamis. Ezért a
válaszában megadott kapu megfelel a „p és q” által megjelöltnek, de ez hamis, így
ennek az ellenkezıje igaz! Vagyis ez visz a szabadságba.
Az ítéletek logikája – logikai mőveletek
A logika tárgya a helyes gondolkodási módok és módozatok megalkotása és felállítása.
Egy gondolatmenet pedig feltevések, állítások láncolatából áll. Ezért elsısorban
az érdekel bennünket, hogyan tudjuk az ítéleteket összekötni, és hogy
kiindulva bizonyos kijelentésekbıl (mint nyersanyagokból) hogyan tudunk ezekbıl
más (összetett) ítéleteket alkotni. A kiinduláshoz szükséges egyszerő feltevéseket
elemi ítéleteknek mondjuk.
A matematikai logikának azt a fejezetét, amely az ítéletek közötti kapcsolatot,
ítéletek képzését és összetételét vizsgálja, anélkül, hogy e kijelentések belsı szerkezetét,
jelentésüket, értelmi közvetítésüket figyelembe venné, ítéletek logikájának
nevezzük. Az ítéleteket jelölhetjük p, q, r, … betőkkel, és csak annyi érdekel
bennünket, hogy ezek igazak-e vagy hamisak. Egy kijelentés igaz vagy hamis volta a
szóban forgó ítéletek logikai értéke. Tehát minden egyes ítélethez hozzárendelünk
egy logikai értéket – azaz egy függvényt értelmezünk az elemi ítéletek halmazából
egy kételemő halmazba, amelynek elemeit jelölhetjük 0-val és 1-gyel, jelentése
pedig hamis és igaz.
Mivel minden egyes ítéletnek megfeleltetünk egy logikai értéket, ezért az elemi
ítéletekbıl az összetett ítéletek alkotásának szabályait, és így a logikai mőveletek
meghatározását is elégséges, ha a logikai értékek halmazán (vagyis a {0,1}-en)
adjuk meg.
Logikai mőveletek a konjunkció, az alternatíva (vagy diszjunkció), a tagadás
(negáció), az implikáció és az ekvivalencia.
A konjunkció két ítéletnek az "és" kötıszóval való összekapcsolása, ennek jele ∧ ,
(vagy &) meghatározása pedig ez: 1 ∧ 1 = 1,
0 ∧ 1 = 0,
1 ∧ 0 = 0,
0 ∧ 0 = 0 .
5

Két ítéletnek a "vagy" kötıszóval való összekapcsolása az ítéletek alternatívája
(vagy diszjunkciója). Ennek jele ∨ , és azt mondjuk, hogy p, q kijelentések
alternatívája igaz, ha legalább az egyik kijelentés igaz, és csak akkor hamis, ha mind
a két kijelentés hamis. 1 ∨ 1 = 1,
0 ∨1
= 1,
1∨
0 = 1,
0 ∨ 0 = 0.
Szokás még használni, a
kizáró vagyot (xor), (exkluzív alternatíva), amelyet a "vagy...vagy" szavakkal
alkotunk például: "vagy p vagy q", és amely akkor igaz, ha csak az egyik összetevı
igaz a p és q közül, és hamis, ha az összetevıknek ugyanaz a logikai értéke.
Klasszikus példa erre a "szakállasok antinómiája", amely a következıképpen szól:
Egy szigeten, távol a civilizált világtól, létesítettek egy katonai támaszpontot. A
tábor minden tagja szakállt nıvesztett. Figaró is, a tábor borbélya. De egyszer a
parancsnok megunta a sok szakállast, és kiadta a parancsot: "Minden katonát vagy
borotváljon meg Figaró, a tábor borbélya, vagy borotválkozzon meg saját kezőleg".
A parancsot teljesítették, egyedül Figarót állították katonai ítélıszék elé, azzal a
váddal, hogy megszegte a parancsot: saját kezőleg is, és a tábor borbélya is
megborotválta!
A tagadás vagy negáció egy ítéletnek a non (vagy nem) szóval való képzése. Ha
egy kijelentés igaz, akkor annak a tagadása hamis, és fordítva, ha egy kijelentés
hamis, akkor annak a tagadása igaz. non ( 1)
= 0,
non(
0)
= 1.
Az implikáció-t a "ha...akkor" szópárral képzzük, és a "⇒ " jellel jelöljük. A p
kijelentésbıl a q kijelentés implikáció csak akkor hamis, ha a p igaz és q hamis, az
összes többi esetekben az implikáció igaz. A p ⇒ q jelölésben p-t az implikáció
0 ⇒ 0 igaz
premisszájának, q-t konklúziójának nevezzük.
0 ⇒ 1
1 ⇒ 1
igaz
. Meggondolkodtathat
igaz
1 ⇒ 0 igaz
bennünket, miért értelmezzük igaznak az implikációt, ha hamisból hamis
következik, vagy hamisból igaz. Azért, mert itt nyelvtani szabályról van szó (a
szimbolikus logika "helyesírásáról"), és nem az elıbb írt értelmezésrıl. A
matematikai, informatikai (programozási) gyakorlatban csak az igazból igaz
implikációjával dolgozunk. Könnyen meggyızıdhetünk arról, hogy a p ⇒ q ítélet
azonos a non p vagy q ítélettel.
Az ekvivalencia jele ⇔ . A p és q ítéletek ekvivalenciája akkor igaz, ha két
ítéletnek ugyanaz a logikai értéke és hamis, ha különbözı logikai értéke van. A
q
p ⇒ q ∧ q ⇒ p kijelentéssel.
p ⇔ kijelentés azonos a ( ) ( )
Logikai függvénykalkulus (predikátumok logikája)
Az ítéletek logikája (az ítéletkalkulus) nem vizsgálja az ítéletek jelentését, sem
azt, hogy mire vonatkoznak, mi módon kapcsolódnak egymáshoz, vagyis a közöttük
fennálló viszonyt, és hogyan lehet elemi ítéletekbıl összetett ítéleteket alkotni. De
természetesen egy adott kijelentésnél fontosnak látszik annak jelentésbeli közvetítésével
és a vonatkoztatási tartalmával – tárgyával foglalkozni. Ez utóbbit tanulmányozza
a predikátumok logikája. Legyen T egy adott tulajdonság, vagyis egy
kijelentés; ha egy x tárgy vagy dolog T tulajdonságra vonatkozik, akkor azt írjuk,
hogy T(x). Jelöljük H-val azon x tárgyak összességét, amelyek T-re vonatkoznak, H-t
a diskurzus univerzumának mondjuk. A T-t lehet úgy is értelmezni, mint egy, a H
halmazból a {0,1}-be vivı függvényt: T : H → { 0,
1}
, H egy x-elemének megfelel
T(x); ha T(x) = 1 akkor azt mondjuk, hogy x rendelkezik a T tulajdonsággal, ha T(x)
6

= 0 akkor nem rendelkezik. Egy adott T tulajdonság esetében felvetıdik a kérdés,
hogy H minden egyes eleme vagy csak néhány rendelkezik vagy nem T-vel. H-nak
az elemei legyenek h1, h2, h3,... H={ h1,h2,h3,...}. Ebben az értelemben szeretnénk
kifejezni és formalizálni azt a tényt, hogy :"h1 rendelkezik T-vel, és h2 rendelkezik
T-vel, és h3 rendelkezik T-vel, és ..." és azt, hogy "h1 rendelkezik T-vel, vagy h2
rendelkezik T-vel, vagy h3 rendelkezik T-vel, vagy ...", tehát a konjunkciónak és az
alternatívának a végtelen sok esetre való kiterjesztésérıl van szó. Ugyanis, ha a H
elemeinek a száma véges, akkor az elıbbi felsorolás elvileg megvalósítható, de ha
elemeinek száma végtelen, akkor a felsorolás lehetetlen. Ezért bevezetünk két új
mőveletet az univerzális és az egzisztenciális kvantálást, és ennek megfelelı két új
szimbólumot, az univerzális kvantort: ∀ , és az egzisztenciális kvantort: ∃ . Az
univerzális kvantort úgy olvassuk ki, hogy "bármely", "tetszıleges", és az
egzisztenciálisat úgy, hogy "létezik", "van egy". E szerint az elmondottakat úgy írjuk
le: bármely x-re H-ból: T(x) vagyis ∀ x, x∈H: T(x) és létezik egy elem H-ból, amely
rendelkezik T-vel: ∃ x, x∈H: T(x).
Egy vagy több változótól függı állítás, amely a változók adott halmazból vett
tetszıleges behelyettesítési értékeire igaz vagy hamis ítéletté alakul, prédikátumok
vagy logikai függvények. A predikátumok megadásánál lényeges, hogy rögzítsük azt
a halmazt, amelybıl a változók értékeket vehetnek fel, vagyis a diskurzus
univerzumát (egyes szerzık szerint az individuum tartományt).
Míg az elemi ítéletek tagadása nagyon egyszerő (Például "az informatika
ellenszenves" ítélet tagadása "az informatika nem ellenszenves", vagy 2 = 5
tagadása 2 ≠ 5 , addig a predikátumok tagadása nehezebb (az összetett ítéletek
tagadása is lehet bonyolult). Itt a következı a szabály:
( ∃ x : T ( x)
) = x : nonT(
x)
és non( x : T(
x)
) = ∃x
: nonT(
x)
non ∀
∀ ,
vagyis az egzisztenciális kvantor átmegy univerzálissá, és a tulajdonságot úgy
tagadjuk meg, mint egy ítéletet, és fordítva az univerzális kvantor tagadása
egzisztenciálissá lesz és megtagadjuk a tulajdonságot. Például a: "minden ruhámhoz
van egy hozzáillı cipım" predikátum tagadása az, hogy "van egy ruhám, amelyhez
bármely cipım nem illik" (magyarán: van egy ruhám, amelyhez nem illik egyik
cipım sem.). Vagy: "minden természettörvénynek van egy matematikai alakja" -
tagadása: "van egy természettörvény, amelynek nincs tetszıleges matematikai
alakja".
Az ítéletek és predikátumok axiómái
Egy, az összetevıinek a logikai értékétıl függetlenül azonosan igaz képletet
tautológiának nevezünk. Az arisztotelészi (bivalens) logika két legfontosabb
tautológiája a harmadik kizárásának elve (exclusii tercii principium) és az
ellentmondás elve (principium contradictionis). A harmadik kizárásának elve: P
vagy non P: P ∨ P'
és azt mondja ki, hogy egy kijelentés (vagy bármilyen, a
szimbolikus logika nyelvére átültetett tétel) vagy igaz vagy hamis, és más lehetıség
nincs, más szóval: egy kijelentés vagy annak tagadása azonosan igaz.
Az ellentmondás elve ( P ∧ P')'
, vagyis (non(P és nonP)), jelentése: egyidejőleg
nem lehet igaz egy kijelentés és annak tagadása is.
A tautológiák a logikai kalkulus legfontosabb eszközei, egyrészt segítségükkel
megfogalmazhatjuk a gondolkodási sémákat, másrészt pedig egyes logikai
7

mőveleteket visszavezethetünk másokra. Például a p ⇒ q ⇔ p'∨q
tautológiát
konkrétan fel is használják a számítástechnikában, ahol az a munkahipotézis, hogy a
lehetı legkevesebb szimbólummal, a lehetı legtöbb mőveletet tudjuk kodifikálni.
Következtetési szabályoknak nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek
segítségével igaz ítéletekbıl újabb igaz ítéleteket képezhetünk. Minden matematikai
levezetés, vagy bizonyítás, következtetési szabályokra, vagy következtetési sémák
láncolatára támaszkodik.
Következtetési szabályok:
• A modus ponens: ha egy igaz implikációnak igaz a premisszája akkor
A, A ⇒ B
a konklúziója is igaz. Ezt így jelöljük: .
B
• A szillogizmus szabálya: ha két igaz implikációban az elsı
konklúziója megegyezik a második premisszájával, akkor az elsı premisszájából
A ⇒ B,
B ⇒ C
következik a második konklúziója. Képlettel:
.
A ⇒ C
• A kontrapozíció: Ha A-ból következik B, akkor non B-bıl következik
non A. Álljon itt példaként Gauss egy megjegyzése: „Ha egy filozófus állít
valamit, ami igaz, akkor az triviális. Ha viszont olyant állít, ami nem triviális,
akkor az nem igaz.” Könnyő felismerni e gondolatmenetben a kontrapozíció
sémáját.
• A modus tollens: ha egy igaz implikációnak hamis a konklúziója,
A ⇒ B,
nonB
akkor a premisszája is hamis: .
nonA
• A reductio ad absurdum: ha A-ból következik B és A-ból következik
A ⇒ B,
A ⇒ nonB
non B, akkor A hamis: .
nonA
• A dilemma elve: ha két kijelentés alternatívája igaz, és az egyikbıl
következik egy harmadik ítélet és a másikból is következik ugyanaz az ítélet,
A ∨ B,
A ⇒ C,
B ⇒ C
akkor ez a harmadik ítélet igaz: .
C
A ⇒ ( B ⇒ C)
• A premisszák felcserélési szabálya:
.
B ⇒ ( A ⇒ C)
A ⇒ ( B ⇒ C)
• A premisszák egyesítési szabálya:
.
A ∧ B ⇒ C
A ∧ B ⇒ C
• A premisszák felbontási szabálya:
.
A ⇒ ( B ⇒ C)
A szillogizmusok – a skolasztikus logika következtetési módjai
Arisztotelész az ítéleteknek négyfajta módozatát különböztette meg:
Egyetemesen állító ítéletek: Minden S P vagyis minden S hozzátartozik P-hez.
Prédikátumként leírva: ∀ x S(
x)
⇒ P(
x).
(jele a)
Egyetemesen tagadó ítéletek: Egyes S sem P, vagy mint predikátum:
∀ x S(
x)
⇒ nonP(
x).
(jele e)
Részlegesen állító: Egyes S-ek P-k, ∃ x S(
x)
⇒ P(
x).
(jele i)
Részlegesen tagadó (jele o): Egyes S-ek nem P-k.
8

A szillogizmusok a skolasztikus logika legfontosabb (általa összesnek vélt)
következtetési módjai, amelyek három arisztotelészi ítéletbıl: két premisszából és
egy konklúzióból állnak. Például: Minden P M
Egyetlen S sem M
Egyetlen S sem P.
Egy szillogizmusban három terminus szerepel: egy szubjektum (S), egy
predikátum (P) és egy középsı terminus (M) (és mondhatjuk, hogy a diskurzus
univerzuma S és P egyesítésébıl áll). A fenti példa egy egyetemesen állító – a –és
két egyetemesen tagadó ítéletekbıl –e-e- áll és ezért a Camestres névvel illeték. A
középkorban, ily módon az a, e, i, o magánhangzókból kiválasztott hármasokból, a
megfelelı következtetési módok megjelölésére mőszavakat képeztek. A
skolasztikusok összesen 19 szillogizmust különböztettek meg, ezek a következı
nevet kapták: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Canestros, Festino, Baroco,
Datisi, Ferison, Disamis, Bocardo, Darapti, Felapton, Calemus, Fresison, Dimatis,
Bamalis, Fesapo.
Érdekeségként elmondjuk a Baroco alakját, ugyanis a barokk mővészeti irányzat
neve is innen ered, mint a bonyolultság: „bonyolult következtetések” jelképe:
a: Minden P M
o: Egyes S-ek nem M-ek
o: Egyes S-ek nem P-k.
A szillogizmusok úgy is kezelhetık mint ítélet rendszerek, de úgy is mint
predikátumok, sıt a szillogizmusokat átírhatjuk halmazelméleti nyelvezetben Boolealgebrai
egyenletrendszerekké. E fejezetet hídnak szántuk az ítéletek, predikátumok
és Boole-algebrák között. Ha például a szillogizmusokat átírjuk Boole-egyenletekké
akkor összesen 128, a klasszikus formákhoz közel álló szillogizmust különböztetünk
meg és ily módon ezek jellemzése és megoldása is elegánsan megadható a Boolealgebrában.
A modern eszközökkel való tárgyalásnál egyes klasszikus
szillogizmusokat megcáfoltak (Darapti, Felapton, Bamalip, Fesapo). Például a
Darapti:
Minden M P
Minden M S
Egyes S-ek P-k.
Minden zöldostoros állat is
Minden zöldostoros növény is
Egyes növények állatok.
Könnyen beláthatjuk, hogy a szillogizmusokat felépítı Arisztotelész négy fajta
ítélet alakja nem tartalmazza az összes lehetségest, ismertessünk még négy típust,
amelyet nem tárgyaltak a skolasztikus logicisták (jelöljük ezeket a’, e’, o’, i’)
a’: Minden P-k S-ek
e’: Minden non S-ek P-k
o’: Egyes P-k non S-ek.
i’: Egyes non P-k non S-ek.
9

Filozófiai jelentés, interpretáció, háttér
A számítógép memóriájában minden adatot két jellel kódolunk a 0-val és az 1gyel,
ezt a 0 vagy 1 értéket felvevı elemi információs egységet bitnek nevezzük.
Ezért a bit napjaink legfontosabb mértékegysége.
Gottfried Wilhelm Leibniz bebizonyította, hogy a kettes számrendszerben a 0-val
és az 1-gyel bármilyen aritmetikai mővelet elvégezhetı, és a kettes számrendszerben
tárgyalható az egész aritmetika. Úgy tőnhet tehát, hogy az 1-gyel és a 0-val – amely
jelentése lehet az igen és a nem – majdnem minden kifejezhetı, leírhatunk fizikai
állapotokat és matematikai összefüggéseket.
(Ennek csiráját már a Bibliában is megtaláljuk, Szent Máté evangéliumában (Mt
5, 33-37) „Hallottátok azt a régieknek szóló parancsot: Hamisan ne esküdjél, hanem
tartsd meg az Úrnak tett esküdet. Én pedig azt mondom nektek: Egyáltalán ne
esküdjél: sem az égre, mert az az Isten trónja, sem a Földre, mert az lábának
zsámolya, sem Jeruzsálemre, mert az a nagy király városa. Még fejedre se esküdjél,
mert egyetlen hajszáladat sem tudod fehérré vagy feketévé tenni. Beszédetek legyen:
igen, igen; nem, nem. Ami ezt meghaladja, az a gonosztól van.”. Ezért tartotta azt
Leibniz, hogy az Isten csak a 0-t és az 1-et teremtette, a többi a matematikusok
dolga, melyet napjaink tényállásához igazítva: a matematikusok az adatokat
kifejezik bitben, a többi a számítógép dolga.)
A szimbolikus logikának absztrahált és szigorúan formalizált nyelvezete van. Aki
e tudományágat bemutató szakkönyvet a kezébe vesz, nagyon megrémülhet a sok
jeltıl és jelöléstıl, a képletek és tételek teljesen kodifikált kalkuláció jellegétıl,
amelyek a jelek és szimbólumok mozaikjának tőnhetnek. Nehéz ebben eligazodni.
Ez volna a gondolkodás szabályzata, ilyen száraz, és minden íztıl, zamattól és
szemlélettıl megfosztott?
Tisztázzuk röviden a szemantika és szintaxis mibenlétét. Ha a szimbolikus
logikában (vagy egy formális rendszerben) az axiómákból kiindulva, azt
tanulmányozzuk, milyen levezethetı tételek, milyen szabályok érvényesülnek,
továbbá a megadott nyelvezet szabályai közötti belsı összefüggéseket és annak
kiterjesztését, majd az így kapott eredményeket, akkor azt mondjuk, hogy a rendszer
szintaxisán dolgozunk, és e módszert szintaktikus vizsgálatnak nevezzük. Ha pedig a
szimbolikus logika (vagy egy formális rendszer) értelmezését – jelentésbeli
közvetítését-illetve annak egy modellen való megvalósulását tanulmányozzuk, akkor
azt mondjuk, hogy a rendszer szemantikáját szerkesztjük, és e módszert szemantikusnak
mondjuk. Ez esetben egy modellen egy olyan konkrét matematikai
objektumot (halmazt, struktúrát) értünk, amelyen a rendszer axiómái teljesülnek, a
tételek és levezetett eredmények pedig értelmezhetık és interpretálhatók.
Húzható-e éles határ e kétfajta aspektus és módszer között? Vagy parafrazálva a
kérdést: szabad-e félredobni és leértékelni egy jelekkel, kódokkal, "hieroglifákkal"
teletöltött szakkönyvet, cikket azzal vádolna, amivel a matematikát is megbélyegzik,
hogy az steril, a valós világtól elszakadt szellemi játék, amiben ha akarok részt
veszek, ha akarok nem?! Erre válaszol az ítéletek logikájának alaptétele, amely
szerint a tételek szintaktikus és szemantikus megadása egyenértékő. De ezt mondja
ki a Lindenbaum-Tarski algebrában az úgy nevezett Gödel-tétel, hogy a szemantikus
és szintaktikus implikációk ekvivalensek. Mit is jelent ez?
Azt, hogy a dolgok formális és tartalmi oldala egyenértékő, függetlenül attól,
hogy értjük-e vagy sem, szemléletes-e vagy nem. (Einsteint idézve: "...nehezen
tehetjük meg tudományos kritériumnak azt, hogy valamit képesek vagyunk-e
megérteni vagy sem").
10

Mit jelent ez? A forma és az eszme (tartalom) egységét, amely megtalálható úgy
a tudományban, mint a mővészetben. (Gondoljunk csak egy épület megtervezésében
a forma és a funkció harcára, a matematikában a kalkulus és az intuíció egységére, a
fizikában az elméleti megsejtésre és a kísérleti igazolásra, a szobrászatban a design
felé való eltolódásra, stb.) Ez egy kicsit elgondolkodtató: az eszköz egyenrangúvá
lesz a közölt tartalommal, az eszmével? Intellektuális szférában, a szellem
birodalmában talán igen. Hiszen a természettudományokban ma már alapvetı
tudományos munkahipotézis a természet egységes voltában vetett hit. Miért ne lenne
ez így a szellem Univerzumában is?
Szakirodalom
1. Páter Zoltán: A matematikai logika alapjai. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1978.
2. Fáy Gyula, Tırös Róbert: Kvantumlogika. Gondolat, Budapest, 1978.
Boole-algebra
Bevezetı
A középiskolában megismerkedtünk az absztrakt algebra legelemibb struktúráival: a
csoport, győrő és a test struktúrájával. Ezek axiómái minden középiskolás által
könnyen felfoghatók és könnyen is kezelik ezeket a fogalmakat. Az algebrai rendszerek
axiómái nagyon egyszerőek és kis számúak, viszont sok-sok modellel rendelkezünk,
ezzel szemben a geometriában, az axiómák jóval „nehezebben” kezelhetık és
igen kevés modellünk van. Az informatika matematikai alapjaiban kiemelkedı
struktúra a háló és a Boole-algebra.
Hilbert száz éve tette pontra az euklideszi geometria axiómarendszerét, ma szinte
általános lett az axiómák használata. Az euklideszi síkgeometriában az egyetlen
modellünk a síkfelület. Talán a híres XI. axióma értelmezésénél, a nehézség és probléma
éppen az volt, hogy nem választották szét a geometriát, mint matematikai
elméletet, a modelljétıl, a síkfelülettıl.
Bolyai János geometriájának egyik leglényegesebb mondanivalója, hogy válasszuk
szét az absztrakt geometriát a modelltıl, a síkfelülettıl vagy tértıl.
Már említettük, hogy az absztrakt algebrában rengeteg modellünk van. Vegyük csak
a csoport-elméletet, ezt meghatározza a belsı mővelet fogalma és három axióma.
Példánk vagyis modellünk nagyon sok van. Persze itt is vannak „természetes”
prototípusok, mint amilyen az egész számok additív csoportja, vagy a permutációk
csoportja, amely n elemen létesített bijektív függvények halmaza, de sok más
nyilvánvaló példánk van még.
Ezzel szemben a geometriában, példák dolgában szegényebbek vagyunk.
Az aritmetika az egész számokkal való mőveleteket tanulmányozza. A matematikai
logika bevezeti a diszjunkciót, konjunkciót valamint az ítéletek tagadását (a negációt).
Egy halmaz részeinek halmaza esetén az egyesítés, metszet és komplementer
mőveleteket használtuk. A fent említett mőveletek nagyon eltérnek egymástól,
elsısorban azért, mert olyan elemekre alkalmazzák, amelyek különbözı halmazokhoz
tartoznak.
A mőveletek rendelkezhetnek vagy nem, bizonyos tulajdonságokkal. Különbözı
mőveletek amelyek jól meghatározott elemekre hatnak, rendelkezhetnek ugyanazon
tulajdonságokkal. Az összeadás, szorzás, egyesítés, metszés, konjunkció és diszjunkció
kommutatív és asszociatív mőveletek.
11

A mőveletek közötti, tulajdonságokon alapuló hasonlóság adta az ötletet, hogy ne
vegyék figyelembe a mőveletek vagy a értelmezési halmaz elemeinek jellegét, hanem
csak a közös tulajdonságaikat. A meghatározott (konkrét) mőveletekrıl a határozatlan
(absztrakt) mőveletekre való áttérés, hasonló a számtanról az algebrára való áttéréssel,
ahol az ismert számokkal való mőveletekrıl áttérünk az ismeretlenekkel való
mőveletekre.
Hogyha valamely halmazon meghatároztunk egy vagy több mőveletet bizonyos
tulajdonságokkal, akkor a halmazt algebrai struktúrával láttuk el. Néha a halmazt a
mőveletekkel együtt algebrának nevezik. Az algebra elnevezés sugall némi hasonlóságot
az ismert algebrával, de szükséges kiemelnünk az algebra szó kettıs jellegét:
matematikai ág valamint bizonyos struktúrával ellátott halmaz.
A Boole-algebra az algebra egy sajátos esete, az itt meghatározott mőveleteknek
teljesíteniük kell néhány jól meghatározott feltételeket. Ahhoz, hogy meghatározzuk a
Boole-algebra struktúrát, elıször egy egyszerőbb, hálónak nevezett struktúrát határozunk
meg.
Egy részlegesen rendezett halmaz fontos elemei
P , egy részlegesen rendezett halmaz és legyen A ⊆ P .
Egy α elemet, az A részhalmaz legkisebb, vagy elsı elemének nevezzük, ha
⎧1.
α ∈ A
⎨
⎩2,
∀x
∈ A ⇒ α ≤ x
.
Egy ω elemet az A részhalmaz legnagyobb, vagy utolsó elemének nevezzük, ha
⎧1.
ω ∈ A
⎨
⎩2,
∀x
∈ A ⇒ x ≤ ω
.
Vegyük észre, egy részhalmaznak lehet, hogy létezik legkisebb eleme, de lehet,
hogy nem!
De, ha a és b valós számok a < b, akkor (a,b), (a,b], [a,b), intervallumoknak nincs
legkisebb, vagy legnagyobb eleme!
Kijelentés. Ha egy részlegesen rendezett halmaz valamely A részhalmazának van
legkisebb eleme, akkor az egyértelmő!
'
Bizonyítás. Legyen α és α két legkisebb eleme az A-nak. Tehát
⎧1.
α ∈ A
⎨
⎩2,
∀x
∈ A ⇒ α ≤ x
és
'
⎪⎧
1.
α ∈ A
'
'
'
⎨
. Akkor x : = α ∈ A,
α ≤ α és x : = α ∈ A,
α ≤ α .
'
⎪⎩ 2,
∀x
∈ A ⇒ α ≤ x
'
És akkor az antiszimmetriából következik, hogy α = α .
Értelmezés. Egy részlegesen rendezett halmaz valamely A részhalmazának
minimális elemei azok az m elemek, melyek eleget tesznek a következı feltételeknek:
1. m ∈ A
2. nem létezik egyetlenegy x elem sem A-ból, melyre x

Kijelentés. Ha egy részlegesen rendezett halmaz valamely részhalmazának van
legkisebb (illetve legnagyobb) eleme, akkor az minimális (illetve maximális) eleme is!
Bizonyítás. Legyen α egy A részhalmaznak legkisebb eleme. Be akarjuk látni,
hogy ez egyben minimális is! α ∈ A és még be kell látni, hogy nem létezik x ∈ A,
úgy,
hogy x < α . Feltétezzük, mint abszurditás, hogy létezik x ∈ A úgy, hogy
x < α . ⇒ x ≤ α és x ≠ α.
De x ∈ A ⇒ α ≤ x.
Vagyis x = α.
x < α . Tehát α minimális!
Ez ellentmondás, mert
Példa. Vegyük egy M nem üres halmaz részhalmazainak halmazát
( P(
M ) , ⊆)
, M ≠ φ.
A = { X ∈ P(
M ) / X ≠ φ}
⊂ P(
M ).
elem!
Értelmezés. Egy részlegesen rendezett ( , ≤)
Ebben az esetben minden x ∈ M -re { x } minimális
P halmaz A részhalmazának
minoránsai, azok a t ∈ A elemek, amelyre ∀ x ∈ A ⇒ t ≤ x . Egy részlegesen rendezett
( P,
≤)
halmaz A részhalmazának majoránsai, azok a z ∈ A elemek, amelyre
∀ x ∈ A ⇒ x ≤ z .
Például a valós számok halmazában, ha vesszük az (a,b), (a,b], [a,b), [a,b]
intervallumokat, akkor
itt egy t elem minoráns ⇔ t ≤ a és egy z elem majoráns ⇔ b ≤ z.
minoránsok
a
P halmaz A részhalmazának a legnagyobb minoránsa
az A halmaz infimuma, (legnagyobb alsó korlátja) és a legkisebb majoránsa, a
szupremuma , vagyis a legnagyobb alsó korlátja.
Tehát inf (a,b) = inf [a,b) = inf (a,b] = inf [a,b] = a és sup (a,b) = sup [a,b) = sup
(a,b] = sup [a,b] = b.
Ha vesszük {1,2,…,10} és az oszthatóságot, akkor inf{1,2,…,10}=1 és
sup{1,2,…,10}=23.32.5.7=2520.
Nincs infimuma a ( − ∞,
b)
, R, Z-nek nincs szupremuma a ( a , ∞)
, R, Z-nek.
Elsı megjegyzés: Ha egy részlegesen rendezett ( P, ≤)
halmaz A részhalmazának
van elsı eleme (utolsó eleme), akkor az infimum is (supremum is)!
Egy részlegesen rendezett ( , ≤)
b
majoránsok
Valóban: Legyen α , az A halmaz elsı eleme, akkor igaz, hogy
⎧a,
α ≤ A
⎨
⎩b,
∀x
∈ A ⇒ α ≤ x
. Be, kell lássuk, hogy α egyben infimum is, vagyis
⎧1.,
∀x
∈ A ⇒ α ≤ x
⎨
⎩2.,
∀t
∈ P(
∀x
∈ A,
t ≤ x)
⇒ t ≤ α
. De b ,⇒ 1.
Ezért, még be kell látni a 2.-ot. Legyen t egy minoráns. Így t ≤ x,
∀x
∈ A , legyen
akkor x : = α ⇒ t ≤ α . Tehát α a legnagyobb minoráns, vagyis infimum!
Második megjegyzés: Egy részlegesen rendezett ( P, ≤)
halmaz A részhalmazának
infimuma, illetve suprémuma egyértelmő!
13

Valóban: Legyenek ω, ϖ suprémumai az A részhalmaznak. Tehát
⎧a,
∀x
∈ A ⇒ x ≤ ω jelölhetjük,
ezt így A ≤ ω
⎨
⎩b,
∀z,
A ≤ z ⇒ ω ≤ z
és
⎧1,
∀x
∈ A ⇒ x ≤ϖ
jelölhetjük,
ezt így A ≤ϖ
⎨
Ha megfigyeljük, akkor a,-ból és 2-
⎩2,
∀z,
A ≤ z ⇒ϖ
≤ z
bıl z = ω következik, hogy A ≤ϖ
⇒ϖ
≤ ω és analóg módon b,-bıl és 1-bıl
A ≤ ω ⇒ ω ≤ϖ
. Tehát ω = ϖ .
Duális fogalmak
≤ ≥
Minimális elem Maximális elem
Elsı elem Utolsó elem
Minoráns Majoráns
Infimum Suprémum
Értelmezés: Hálónak nevezünk 1 egy részlegesen rendezett halmazt ( , ≤)
amelyben
definició
∀x
∈ H,
∀y
∈ H ⇒ ∃ inf{
x,
y}
és ∃ sup{
x,
y}
.
Példák.
Bármely teljesen rendezett halmaz egyben hálót is alkot. Valóban legyen ( , ≤)
teljesen rendezett halmaz és legyen x ∈ T , y ∈T
. Két eset lehetséges:
⎧x
≤ y ⇒ inf
⎨
⎩y
≤ x ⇒ inf
{ x,
y}
= x,
sup{
x,
y}
{ x,
y}
= y,
sup{
x,
y}
= y
= x
.
H ,
T egy
A teljesen rendezett halmaznál az inf{x,y}=x, egyben az elsı elem is és a
sup{x,y}=y, egyben az utolsó elem is.
( P( M ), ⊆)
, inf{
A,
B}
= A∩
B,
sup{
A,
B}
= A∪
B.
( N , / ) , inf { m,
n}
= l.
n.
k.
o{
m,
n}
, sup{
m,
n}
= l.
k.
k.
t{
m,
n}.
Egyik legfontosabb példa hálóra!
Példát adhatunk a geometriából is, ahol az elemek – a pont, egyenes és a sík, elsı
elem – az üres halmaz, az utolsó elem – a tejes tér, és a rendezési reláció – a
bennfoglalás!
Most lássuk milyen tulajdonságai vannak az így bevezetett hálóstruktúrának!
Bevezethetünk két algebrai mőveletet a következıképpen:
1 Oystein Ore-értelemben
14

∨ : L × L → L,
∀(
x,
y)
∈ L
∀(
x,
y)
∈ L
Tulajdonságok:
1.,
2.,
3.,
2
2
x ≤ x ∨ y,
y ≤ x ∨ y,
→ x ∨ y = sup
→ x ∧ y = inf
x ∧ y ≤ x
x ∧ y ≤ y
x ≤ z,
y ≤ z ⇒ x ∨ y ≤ z
.
t ≤ x,
t ≤ y ⇒ t ≤ x ∧ y
{ x,
y}
{ x,
y}
x ≤ y,
t ≤ v ⇒ x ∨ y ≤ y ∨ v
.
x ≤ y,
t ≤ v ⇒ x ∧ y ≤ y ∧ v
. Az inf, sup egyértelmően meghatározott.
Kommutativitás:
x ∨ y = y ∨ x,
x ∧ y = y ∧ x
Asszociativitás:
( x ∨ y)
∨ z = x ∨ ( y ∨ z),
( x ∧ y)
∧ z = x ∧ ( y ∧ z)
Abszorpció (elnyelés):
Idempotencia:
x ∨ ( x ∧ y)
= x,
x ∧ ( x ∨ y)
= x
x ∨ x = x,
x ∧ x = x
Ezen tulajdonságok bebizonyítása nem okozhat nehézséget. Lássuk a 3-as
tulajdonságot: x ≤ y,
t ≤ v ⇒ x ∨ y ≤ y ∨ v .
a) x ≤ y
b) t ≤ v
c) y ≤ y ∨ v , mert y ∨ v = sup { y, v}
d) x ≤ y ∨ v , mert a, és b, tranzitivitás
e) v ≤ y ∨ v , mert y ∨ v = sup{ y,
v}
f) t ≤ y ∨ v , mert b, és e, tranzitivitás
g) x ∨ t ≤ y ∨ v , mert
majoránsok közül.
y ∨ v majoránsa {x,t}, d, f és x ∨ t , a legkisebb a
Ezzel bebizonyítottuk a 3-at
A kommutativitás abból következik, hogy az inf, sup egyértelmő:
x ∨ y = sup{ x,
y}
= sup{ y,
x}
= y ∨ x.
Az asszociativitás a következıbıl származik:
inf{inf{ x,
y},
z}
= inf{ x,
y,
z}
inf{ x,
inf{ y,
z}}
= inf{ x,
y,
z}
.
A többi tulajdonság bebizonyítása egyszerő, de fontos gyakorlat!
Feladat: Egy teljesen rendezett halmazban az elsı elem és a minimális elem
megegyezik.
15

Fordítva is igaz: Ha egy részlegesen rendezett halmazban az elsı elem megegyezik
a minimális elemmel, akkor az a halmaz teljesen rendezett!
A Boole-algebra arra szolgál, hogy a logikai ítéleteinket, következtetéseinket és
gondolkodásunkat átalakítsa algebrai számítássá.
Egy ρ bináris reláció egy M halmazon, nem más mint az M×M részhalmaza.
(Például az Access adatbázis-kezelıt relációs adatbázis-kezelınek nevezzük mert,
T × T × T × .. × T adatok közötti relációt fejezi ki, ahol T egy tábla, valamilyen
rendezet adathalmaz)
Legyen P egy halmaz, és ρ egy P-n értelmezett bináris reláció, akkor ρ részleges
rendezési reláció, ha
∀ x-re x ρ x,
∀ x-re, ∀ y-ra, ∀ z-re ha x ρ y és y ρ z, akkor x ρ z.
Ebben az esetben a (P, ρ) párt részlegesen rendezett halmaznak nevezzük.
Például, a {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} számok halmaza az oszthatóságra nézve,
részlegesen rendezett halmaz. (Az ismert számhalmazok, mint (N, ≤ ), (Z, ≤ ), (Q, ≤ ),
(R, ≤ ) mind részlegesen rendezett halmazok, de nem jó példák, mert mind teljesen
rendezettek is).
De részlegesen rendezett halmaz a természetes számok halmaza, az oszthatóságra
nézve is, vagyis: m ⁄n ↔létezik p természetes szám, úgy hogy n=m . p
De a (P(M), ⊆ ) is egyik legfontosabb példa részlegesen rendezett halmazra.
Értelmezés. Hasse-diagramnak nevezünk, egy pontokból és vonalakból álló rajzot,
amely egy véges részlegesen rendezett halmazt szemléltet a következıképpen. A
pontok a halmaz elemeit szemléltetik, a vonalak azt, ha a két elem (két pont)
relációban van egymással. A Hasse-diagram, úgy fejezi
ki x ≤ y, hogy x y alatt van és egy kis szakasszal vannak
összekötve. Lényegében az a fontos, hogy x és y között
nincs egy elem se, és ha a két elem nincs ≤ relációban,
akkor nincsenek is összekötve.
Például a mellékelt ábra az {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10} halmazon értelmezett oszthatósági relációt
szemlélteti.
Értelmezés. Egy (P, ρ) részlegesen rendezett halmaz teljesen rendezett, ha bármely
két eleme összehasonlítható, vagyis ∀ x, ∀y
− ra : xρy
∨ yρx
Általában:
∀ x,
∀y,
x ≤ y ∨ y ≤ x ∨ ( non(
x ≤ y)
∧ non(
y ≤ x))
x≠
y
azt jelenti, hogy x és y inkompatibilis (összehasonlíthatatlan).
Egy teljesen rendezett halmaz, egy olyan részlegesen rendezett halmaz, amelyben
nincsenek összehasonlíthatatlan elemek!
Fontos megjegyzés. A ≥ reláció a ≤ reláció duálisa. A duális azt jelent, hogy , ha
egy tétel igaz egy részlegesen rendezett halmazban a ≤ , relációra, akkor igaz ≥
relációra is. Vagyis csak ki kell értelemszerően cserélni ≤ relációt a ≥- relációra.
Értelmezés. Legyen ( P , ≤)
egy részlegesen rendezett halmaz, akkor értelmezzük a
szigorú rendezést, úgy, hogy < , amelyet így értelmezünk:
16

∀ x, ∀y
− ra : x < y ⇔ x ≤ y ∧ x ≠ y . Ezt tehát úgy nevezzük, hogy szigorúan
részleges rendezési reláció!
Kijelentés. Egy részlegesen rendezett halmazban (P, ≤ ), a hozzárendelt szigorúan

)P1∪P2 a legkisebb mérető konvex sokszög amely tartalmazza P1∩P2.
Ezen mőveletek teljesítik a háló meghatározásában megadott feltételeket (lásd a
mellékelt ábrát). Mutassuk ki, hogy ez a háló nem disztributív.
Legyen P = ABCΔ, P1 = A1B1C1Δ, P2 = A2B2C2Δ
P1∪P2 = A1B1C1C2A2
P∩(P1∪P2) = AE1C1FA
P∩P1 = C1D1E1Δ
P∩P2 = B2E2D2Δ
(P∩P1) ∪(P∩P2) = D1E1C1E2D2
Megfigyelhetı, hogy AE1C1FD2 ≠ D1E1C1E2D2
Észrevételek.
1. A két feltétel, a háló meghatározásából, duális
egymáshoz viszonyítva, tehát a dualitás elve érvényes a
disztributív hálókban is.
2. Kimutatható, hogy egy hálóban a két
disztributivitási feltétel ekvivalens.
Disztributív és teljes hálók
Értelmezés. Egy disztributív hálót teljesnek nevezünk ha teljesülnek a
következő feltételek:
Létezik egy semleges elem u, a ∩ mőveletre nézve, amely teljesíti a
a ∩ u = a relációt bármely a ∈ L;
Létezik egy semleges elem n, a ∪ mőveletre nézve (zéros elem), amely teljesíti a
a ∪ n = a relációt bármely a∈L;
Bármely a ∈ L elemre létezik egy komplementer elem⎺a ∈ L amely teljesíti:
a ∩⎺a = n
a ∪⎺a = u
Példák:
A < P(M) ,∩ ,∪> egy kiegészített disztributív háló, mert az M halmaz egy semleges
elem a metszetre nézve, az üres halmaz Φ, semleges elem az egyesítésre nézve, és ∀ A
⊆ M halmaz esetén a CMA = M - A halmaz az A halmaz komplementere.
Hogyha a k szám csak elsıfokú prím tényezıkbıl áll, akkor a «{x| x osztója k-nak},
lnko, lkkt» háló disztributív és teljes. A k szám semleges elem az elsı mőveletre, mivel
a lnko(x, k) = x bármely x osztója k esetén, az 1 pedig semleges elem a második
mőveletre mivel lkkt(x, 1) = x bármely x-re.
Ha egy x elemre meghatározzuk a k/x számot, akkor lnko(x, x/k) = 1 és lkkt(x, x/k) =
k, mivelhogy ezen számoknak nincs közös osztójuk. Tehát a k/x szám az x szám
komplementere.
Ha a k szám magasabb fokú prím tényezıkbıl áll, akkor az osztók hálója nincs
kiegészítve. Legyen k = 60 = 22 . 3 . 5, az 10-es számra nem létezik egy szám, amely
teljesítse a komplementaritási feltételeket. Az elsı feltételt teljesíti az 1-es és a 3-as
szám, de már nem teljesítik a második feltételt (lkkt(10,1) = 10 ≠ 60 és lkkt(10, 3) = 30
≠ 60).
Kijelentés: Egy disztributív és teljes hálóban bármely elemnek egyetlen
komplementere van.
Bizonyítás: Legyen L egy disztributív és kiegészített háló és feltételezzük reductio
ad absurdum módszerrel, hogy létezik olyan a ∈ L elem, amelynek két különbözı
komplementere a1 és a2, a1 ≠ a2 van.
18

a1 =a1 ∪ n (n a ∪ semleges eleme)
= a1 ∪ (a ∩ a2) (a2 az a komplementere)
= (a1 ∪ a) ∩ (a1 ∩ a2) (a ∪ disztributivitása ∩ szemben)
= u ∩ (a ∪ a1) (a1 az a komplementere)
= a1 ∪ a2 (u semleges elem ∩)
Hasonlóan
a2 = a2 ∪ n = a2 ∪ (a ∩ a1) = (a2 ∪ a) ∩(a2 ∩ a1) = u ∩ (a2 ∪ a1)=a2 ∪ a1
Tehát: a1 = a1 ∪ a2 = a2 ∪ a1 = a2 ami ellentmond a a1 ≠ a2 feltételnek.
Például a mellékelt ábra nem disztrubutív, és z-nek
komplementuma x is és y is!
Értelmezés. Egy disztributív és teljes hálót Boole-algebrának
nevezünk, és a következı módon jelöljük .
A mellékelt ábra a 30 osztóit abrázolja a lnko és a lkkt
mőveletekkel. A Hasse-diagrammon is könnyen
ellenırizhetı, hogy Boole-algebrát alkot. A következı ábra
azt szemlélteti, hogy a 12 osztói nem képeznek Boolealgebrát.
Boole-algebra, a szimbolikus logika aritmetikája
Boole-algebrának nevezünk egy olyan halmazt, amelyen értelmeztünk három
mőveletet, jelöljük ezeket rendre ∨, ∧,
'-vel
és amelyek eleget tesznek bizonyos
axiómáknak. Minden Boole-algebra tartalmaz két kitüntetett tulajdonságú elemet,
amelyeknek semleges hatása van a két ( ∨ illetve ∧ ) mőveletre nézve. Ezért ezeket
semleges, illetve egységelemnek is nevezzük, és általában 0-val, illetve 1-gyel jelöljük.
Legfontosabb példa Boole-algebrára egy tetszıleges halmaz (jelöljük H-val)
részhalmazainak halmaza (jelölése P(H)), amely a H összes részeinek a halmaza. Ezen
a halmazon értelmezzük a H részeinek az egyesítését (∪ ), a metszetét (∩ ) és a
komplementálást ('), a semleges elem az üres halmaz (φ ), amely nem tartalmaz egy
elemet sem és az egységelem maga a H halmaz. Stone tétele alapján bármely véges
Boole-algebra izomorf (ugyanolyan struktúrájú) mint egy P(H), tehát a Boole-algebrák
prototípusa, standard alakja a részhalmazok halmaza. Egy másik példa Boole-algebrára
az ítéletek logikája, ahol a Boole-algebrát magát az ítéletek halmaza alkotja, a három
mővelet az alternatíva, a konjunkció és a tagadás, a semleges elem az ellentmondások
osztálya, az egységelem pedig a tautológiák osztálya.
A Boole-algebrák fontossága, az általános struktúrájában és a benne érvényesülı
egyszerő kalkulációs szabályok egységébıl áll. Ebben rejlik sok konkrét modellként
való alkalmazhatósága. Boole-algebrában a logikai implikáció áttranszformálódik a
" ≤ " relációra, amelyet a következı módon értelmezünk: p ⇒ q ⇔ p ≤ q ⇔ p ∧ q'=
0 .
19

Észrevételek.
Feltételezhetjük, az elıbbi tétel alapján, hogy egy Boole-algebrában
meghatározható egy unáris mővelet, mely egy elem komplementerének
meghatározásában áll, tehát mondhatjuk, hogy egy Boole-algebrában három mővelet
létezik ∩, ∪, −. Egy Boole-algebrában e három mőveletet ”.”, ”+”, ”-”, a semleges
elemeket ”1”, ”0”-val jelölik.
A Boole-algebra meghatározásában szereplı feltételek nem függetlenek egymástól.
Kimutattuk, hogy egy disztributív hálónak elég csak az egyik feltétel teljesülése.
Kimutatható, hogy ahhoz, hogy meghatározzunk egy Boole-algebrát elég az, hogy
bármely a, b, c elemekre igazak legyenek a következı állítások:
a b = b a a + b =b + a
a (b + c) = a b + a c a + b c = (a + b) (a + c)
a.1 = a a + 0 = a
a.⎺a = 0 a +⎺a = 1
(a b) c = a (b c) (a + b) + c = a + (b + c)
a ( a + b) = a a + a b = a
A zérós elem elsı, míg az általános elem utolsó (lásd 8. példa)
Stone kimutatta , hogy bármely «A, ., +, − ,1, 0» véges Boole-algebra bijektíven
összekapcsolható egy halmaz részhalmazainak halmazával.
B2 algebra
A B2-es algebra kéttagú Boole-algebra. Ezen elemek a két mővelet semleges
elemei: 0 és 1. Ez mondható a legegyszerőbb Boole-algebrának. A három mővelete a
következıképpen alakul:
0+0=0 0.0=0 ⎺0=1
0+1=1 0.1=0 ⎺1=0
1+0=1 1.0=0
1+1=1 1.1=1
A Boole-algebra meghatározásában szereplı feltételek teljesülésének kimutatására
ellenırizzük a következı egyenleteket, behelyettesítve az a, b, c elemeket 0 és 1–gyel
minden lehetséges kombinációra. Például az abszorpció ellenırizhetı az I.1. táblázat
alapján.
A a+b a(a+b) ab a+ab
(1)
(3) (4) (5) (6)
2
)
0
0 0
0
0
0
1 0
0
0
1
1 1
0
1
1
1 1
1
1
I.1. táblázat
Az (1), (4),(6) oszlopok egyformasága igazolja az a=a(a+b)=a+ab képlet
teljesülését.
Figyelemre méltó, hogy a “.” mővelet ugyanaz, mint a számtani szorzás, azonban a
“+” eltér a számtani összeadástól, mivel 1+1=1. Például a+b=max(a,b) ∀a,b ∈B2.
20

Ezen algebrának fontos szerepe volt a számítógépek fejlıdésében. A román Grigore
C. Moisil (1906-1973) matematikusnak fontos elméleti és gyakorlati hozzájárulása volt
a Boole-algebra tanulmányozásához.
Ítéletek algebrája
A propozíciók halmazának keretén belül meghatározható a diszjunkció, konjunkció
és a negáció. Ha az ekvivalens propozíciókat egyenlınek tekintjük, akkor ezen
mőveletek asszociativitása, disztributivitása és kommutativitása teljesítve van. Az
egyetemes elemet a tautológiák (mindig igaz propozíciók) osztálya alkotja, és a zérus
elemet az ellentmondások (mindig hamis propozíciók) alkotják. Könnyen kimutatható,
hogy ezen semleges elemek teljesítik a Boole-algebra meghatározásában szereplı
feltételeket. Tehát a propozíciók ekvivalenciájának osztálya egy Boole-algebra,
minden osztály logikailag ekvivalens mondatokat tartalmazva.
A Boole-algebrai függvények
Amint láttuk egy Boole- féle algebra: ( B, ∨ , ∧,
non,
0,
1)
vagy ha a konjukció vagy
metszet = ∧ = . , és a diszjunkció vagy egyesítés = ∨ = + . Akkor ( B , + ,., non,
0,
1)
Boolealgebra
egy disztributív haló, 0 elsı és 1 utolsó elemmel, amelyben minden elemnek
van komplementere és amelyben a 0 ≠ 1.
1
Még szoktuk a közönséges elemet x = x jelölni és a komplementumát
0
non( x)
= x'=
x = x , ∀x
∈ B
. Azért, hogy tömörebben is felírhassuk a monomot vagy
n
αi11
αi12
i1p
αi11
αi12
i1p
tagot: f : B → B,
f ( x , x ,..., x ) = x ∧ x ∧...
∧ x = x x ... x , ahol az
i1
i2
ip
1
2
n
i1
α , α ,..., α , indexek kettınként különbözıek. Ha a p megegyezik az n-nel, akkor
teljes monomról beszélünk. Például, ha n=3, akkor
x 1 ∧ x'2
∧x'3
= x1x'
2 x'3
.
Boole-függvénynek nevezünk egy
i2
α
i p
i1
1
i2
x ∧ x
2
α
in
p
= x1x
2 . Vagy
n
αi11
αi12
i1
p
αi11
αi12
i1
p
f : B → B,
f ( x1,
x2
,..., xn
) = ∨ xi
∧ x ...
... ,
1 i ∧ ∧ x
2
i = ∨ x 1 2
1 ,
p
i xi
xi
2,...,
1,
n p
α α α
α α
n
2,...,
αn
a
monomok egy tetszıleges diszjunkcióját vagy a 0, vagy az 1 konstans függvényt. A
továbbiakban a diszjunkciót +, míg a konjukciót . jelöljük!
x2
Boole függvények megadási módja:
0 0 1 1
0 1 0 1
f 0 0 0 1
x1
x 2
x1
0 1
0 0 0
1 0 1
x 2x 3
x1
00 01 10 11
α
jelıelı
α
21

x2
x 2
0 1 0 0 0
1 1 0 1 1
x3x4
x1x2 00 01 10 11
00 1 0 0 0
10 1 0 1 1
10 0 1 1 0
11 1 0 1 1
x1 0 0 1 1 Neve Szintetikusan
0 1 0 1
f0 0 0 0 0 Konstans 0 f0(x1,x2)=0 f1 0 0 0 1 Szorzat konjunkció f1(x1,x2)= x 1x 2
f2 0 0 1 0 Indirekt metszet
x
f2(x1,x2)= x1 2
f3 0 0 1 1 Elsı argumentum f3(x1,x2)= 1
f4 0 1 0 0 Indirekt metszet
x
f5 0 1 0 1 Második
argumentum
f5(x1,x2)= x 2
f6 0 1 1 0 Szimmetrikus
különbség
f6(x1,x2)=
x
f4(x1,x2)= x 1 2
x 1 2
x + x1 x 2
x + x
f7 0 1 1 1 Logikai összeg f7(x1,x2)= 1 2
f8 1 0 0 0 Peirce függvénye
f8(x1,x2)= x 1 x2
f9 1 0 0 1 Ekvivalencia f9(x1,x2)=
x 1x 2 + x 1 x2
f10 1 0 1 0 Második arg.
Tagadás
f10(x1,x2)= x 2
f11 1 0 1 1 Implikáció
f11(x1,x2)= x 1 + x 2
f12 1 1 0 0 Elsı arg. tagadás
x2
x2x3
f13 1 1 0 1 Implikáció
f14 1 1 1 0 Sheffer függvénye
f12(x1,x2)= x 1
f13(x1,x2)= x 1 + x 2
f14(x1,x2)= x 1 + x 2
f 15 1 1 1 1 Konstans 1 f 15(x 1,x 2)=1
x 1
0 0 1 1
0 1 0 1
f 0 0 0 1
x 1
0 1
0 0 0
1 0 1
x1
00 01 10 11
0 1 0 0 0
1 1 0 1 1
22

x 3x 4
x1x2
00 01 10 11
00 1 0 0 0
10 1 0 1 1
10 0 1 1 0
11 1 0 1 1
A Boole-féle függvények normál alakja
Egy Boole-féle függvénynek több alakja is lehet és ezek az alakok nem egyértelmőek.
Az lenne a célunk, hogy valamilyen formában standardizáljuk – egységesítsük a
különbözı alakokat. Ez az egységesítés egyedi kell legyen, egy lehetı legegyszerőbb
Boole- fele kifejezés által, ami lehetıvé teszi, hogy két Boole- féle függvényt könnyen
összehasonlítsunk, eldöntsük gyorsan, hogy egyenlık-e, stb.
Értelmezés. Boole- féle változók egyszerő szorzata, amelyben minden változó vagy
annak komplementere csak egyszer fordul elı.
abc, xyz,
x y egyszerő szorzat, de a + abc
, vagy xy már nem egyszerő
Pl: 1 1
szorzat, mert xy = x + y és nem egyszerő szorzat.
Továbbá, egy Boole- féle függvény diszjunktív normál formájú, ha elemi szorzatok
összege ( diszjunkciója). Pl: ab + bc + a , de x yz
+ xyz,
x y csak diszjunktív normál
formákra!
Természetesen egy függvény diszjunktív normál formája még nem egyértelmő,
hiszen f ( x,
y,
z)
= xy + yz + xz
= xy + xz
= xy + xyz + xz
Felhasználva az abszorpció és idempotens tulajdonságokat, akárhány diszjunkív
normál formát szerkeszthetünk.
Értelmezés. Elemi vagy egyszerő összeg, ha valamilyen Boole- változók vagy ezek
komplementumának összegét vesszük. anélkül, hogy ugyanazok a változók többször
megismételıdjenek.
Pl: a + b + c,
vagy a + b + c,
x + y + z,
x + x2
elemi vagy egyszerő õsszegek, míg
a+bc, x + y már nem elemi összeg.
Értelmezés. Konjunktív normál formája egy Boole- féle kifejezésnek az egyszerő
összegek szorzata.
Pl: ( a + b)(
b + c)(
a +c), vagy ( x + y + z)(
x + y + z)
x + y ,. Mind kifejezések, mint
konjunktív normál formák.
A konjunktív normál formák sem egyértelmőek, mivel
( x + y)(
y + z)(
x + z)
= ( x + y)(
x + z)
= ( x + y)((
x + z)
= ( x + y)(
x + y + z)(
x + z)
Ami fontos megállapítás, hogy bármely Boole- féle kifejezés tehát minden Booleféle
függvény is diszjunktív normál formára vagy konjunktív normál formára hozható!
Ahhoz, hogy egy kifejezést diszjunktív normál formára vagy konjunktív normál
formára hozzunk a következı eljárást kell alkalmazzuk:
Ha a kifejezésben több változó és mőveletekkel összekötött változó
komplementálása található, akkor alkalmazzuk a De Morgan-féle képleteket
mindaddig, amíg az adott kifejezésben már csak a változók komplementuma szerepel!
A szorzás szétoszlik az összeadásra, vagyis alkalmazzuk, hogy a szorzás disztributív az
összeadásra vonatkozóan – kiejtjük azokat a szorzatokat, amelyek megsemmisíthetık
1
23

vagy ismétlıdnek és azokat a változókat, Pl: amelyek egy szorzatban többször
szerepelnek. Például a következıképpen alakítjuk ki:
E = xy(
xz
+ x + z)
+
x yz
E = ( x + y)(
xz
+ xz)
+
x yz
E = ( xz
+ x yz
+ x yz)
+ x yz
= xz
+ x yz
+ x yz
= xz
+
A Boole- függvények kanonikus alakja
Értelmezés. minimumtagnak nevezünk egy olyan kifejezést, amelyben az összes
változó vagy azok komplementumának szorzata szerepel. Tehát egy minimumtagnak n
tényezıje van
l: Ha a kifejezés a, b-tól függ ,akkor ab vagy ab vagy a b , vagy a b minimumtag,
három változó esetén x 1 x2
x3,
x1
x2x
3,
x1x
2 x3,
minimumtagok.
Ha a változót 1-gyel, míg a komplementumát 0-val helyettesítjük, akkor kapok egy
( 11)
x yz
2
vagy x x x
→
( 000)
1
2-es számrendszerbeli számot.
Ha n változós Boole-féle kifejezések vannak, akkor összesen 2 n
különbözı
minimumtagúk van!
A minimumtagok nagyon fontos szerepet játszanak a Boole-féle függvények
reprezentációjában, mivel egy minimumtag értéke 1 egyszerő szorzat esetén.
Egy Boole-szorzat 1 akkor és csakis akkor, ha az összes tényezı 1, míg egy
minimumtag tényezıi Boole-változók, egyszerőek vagy komplementumok.
01001 → 0
1111 → 1
Értelmezés. n x x x ... , 2
2
2
3
→
yz
( 110)
1 változó szerint maximumtagnak nevezzük az olyan összeget,
amelyben minden változó vagy annak komplementuma szerepel
xx + x2
+ x3,
vagy x1
+ x2
+ x3
vagy x1
+ x 2 + x 3
Egy minimumtag érték 1, csak egyetlen egy Boole-változói szorzatra. Tehát csak
egy adott Boole- változói szorzattal állítható elı az 1-es értek.
x x x 3 → 110
= 111
Példa.
1
2
Bármilyen más kombinációra (szorzatra) nulla lesz az értek!
Egy maximumtagunk értéke 0 csak egyetlen egy Boole-változói szorzatra!
x1
+ x 2 + x 3 → 0 + 1+
1 = 0 + 0 + 0
Értelmezés. Egy Boole-algebrai kifejezést diszjunktív kanonikus formának
nevezünk egy olyan n változóból álló kifejezést, amelyben csak n változós
minimumtagok szerepelnek!
A diszjunktív kanonikus formákat diszjunktív perfekt formáknak is nevezzük.
abc
+
abc
+ abc
Példa.:
vagy xyz +
x1x
2
x
3
x
4
x yz
+ x x
1
2
x
3
x
4
+ x1x
x x
2
3
4
2
24

Kijelentés. Egy Boole-függvény diszjunktív kanonikus alakja egyértelmő, ha
eltekintünk a minimumtagok sorrendjétıl.
Bizonyítás. Feltételezzük, hogy ugyanannak a függvénynek két elıállítása is volna
diszjunktív kanonikus alakban.
Akkor létezne egy olyan minimumtag, amelyik az egyikben szerepelne, de a
másikban nem. Válasszuk akkor a Boole-féle változók egy olyan szorzatát, amire pont
az a tag egyértékő lesz. Figyeljük meg, hogyan változik a két függvény értéke.
Az elsı értéke 1 lesz, míg a második értéke 0, hiszen az megegyezik ez elsıvel, ami
pont azzal a taggal különbözik, amelyiknek értéke 1. Tehát a két elıállítás nem
lehetséges, vagyis a két elıállításban ugyanazok a minimumtagok szerepelnek. Ezért a
Boole-függvényeket diszjunktív kanonikus alakba állítjuk elı, mert azok az
elıállítások egyértelmőek.
Csak a 0 függvény nem állítható elı diszjunktív kanonikus alakban.
Hogyan kapjuk meg egy függvény diszjunktív kanonikus alakját?
a
b
c
f
A
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 1
f = abc
+ abc
+ abc
+ abc
Lássuk, most hogyan állítjuk elı a kanonikus alakot számolással:
f ( a,
b,
c)
= bc
+ ac
+ ab = bc(
a + a)
+ ac(
b + b)
+ ab(
c + c)
=
bca
+
bca
+
acb
Példák, feladatok
+ acb
+ abc + abc
= abc + abc
+ abc
+
abc
Állapítsuk meg, hogy az alábbi formák közül melyek kanonikusak!
a) f ( x,
y,
z)
= x y + yz(
nem!
)
b) f ( a,
b,
c)
= abc
+ abc
+ abc
+ abc
f ( x , x , , x ) = x x x x + x x x x + x x x x
c) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
d) F ( x,
y)
= x + y
Boole-függvények egyszerősítése
A háromváltozós Boole-függvényeket legegyszerőbb Euler-Venn diagramokkal
egyszerősíteni. Ezeknél a diagramoknál a Boole-féle változókat körökkel (vagy zárt
25

görbékkel, esetleg sokszögekkel) jelöljük és síkbeli halmazoknak tekintjük. Így a metszet,
illetve az egyesítés a két síkhalmaz metszete, illetve az egyesítése.
Az elsı három ábránál rendre azt szemléltetjük, hogy f(A,B,C) = B, f(A,B,C) = A C,
f(A,B,C) = AC.
A negyedik ábránál f(A,B,C)= A B C . Az ötödiknél bemutatjuk a három változós Boolefüggvény
minimumtagjainak ábrázolását a Venn-diagramon.
A hatodiknál f ( A,
B,
C)
= ABC
+ ABC
+ ABC
+ ABC = C , egyszerősítés technikáját
szemlélteti a Venn-diagram.
A négyváltozós Boole-függvényeknél a Venn-diagramok analogónja a Karnaugh-táblázat.
Értelmezés. Karnaugh-táblázatnak nevezzük a Boole-függvények egy olyan táblázatba
rendezett, téglalapokkal való megadását, ahol a téglalapok metszete a konjunkciót, egyesítése
pedig a diszjunkciót szemlélteti.
Lényegében a Venn-diagramok körlapjai itt téglalapoknak felelnek meg, de „rendezettebb”
formában.
26

Alkalmazások közgazdászoknak, Boole egyenletrendszerek
Sok hallgató tette fel a kérdést, miért kell Boole-algebrát tanítani közgazdaságtudományi
vagy a mérnöki szakon. Sokan azt vallják, hogy az informatika alapjai alatt az
irodai programcsomag oktatása (Word: szövegszerkesztı, Excel: táblázatkezelı,
Access: adatbáziskezelı és Power Point: bemutató készítése) bıven elegendı! Mivel a
"hallgatói közvélemény", de talán néhány tanárkolléga is, egyértelmően elfogadja, hogy
mondjuk az Excel táblázatkezelı egy közgazdásznak nélkülözhetetlen segédeszköz,
ezért megpróbáljuk a Boole-algebra fölöttébb szükségességét erre, vagyis az Excelre
visszavezetni.
Lényegében a Boole-algebra arra szolgál, hogy a logikát átalakítsa számítássá,
vagyis a logikai összefüggéseket algebrai kifejezésekkel tudja jellemezni. Így, ha el
akarjuk dönteni egy összetettebb logikai rendszerrıl, hogy igaz-e vagy hamis,
(ellentmondásos-e vagy nem), akkor lényegében egy számolást kell végezzünk. Ez az
óhaj vagy elv, már több száz éve foglalkoztatja a matematikusokat, fıleg a logicistákat
és egyik elindítója Wilhelm Leibniz, neves német matematikus volt. İ ugyanis azt tőzte
ki célul, hogy ha egy törvényszéken (vagy akármilyen jogi tárgyaláson) el akarjuk
dönteni, hogy kinek van igaza, akkor ezt egy algebrai számítással kell megvalósítani.
Ma közel állunk ennek a kivitelezéséhez és ha a törvény házába és a törvényhozók közé
bevinnék a logicistákat és a számítógéptudósokat, akkor valóban nagyon közel lennénk
a Leibniz-i elv megvalósításához. Ha a törvények konzisztensek és ellentmondásnélküliek
volnának, akkor egy szakértıi rendszer valóban el tudná dönteni, hogy egy
peres ügyben kinek van igaza.
Lássuk elıször a Boole-algebra és az Excel kapcsolatát!
Mondjuk, hogy szociális segélyt szavaz meg Csíkszereda tanácsa, és következı
határozatot hozzák: Segélyben részesül minden család, amely eleget tesz a következı
feltételek egyikének: Az egy fıre esı havi jövedelem kisebb mint 50 lej és csíkszeredai
és panelházban lakik vagy egy fıre esı havi jövedelem kisebb mint 50 lej és
csíkszeredai és nem lakik panelházban, vagy az egy fıre esı havi jövedelem kisebb
mint 50 lej és nem csíkszeredai és panelházban lakik, vagy az egy fıre esı havi
jövedelem kisebb mint 50 lej és nem csíkszeredai és nem lakik panelházban.
Természetesen, ezt úgy szokták megoldani, hogy a hivatal tisztviselıi készítenek egy
Excel táblázatot és aki eleget tesz valamelyik feltételnek, az fog segély kapni. Ez
technikailag azt jelenti, hogy legkevesebb három oszlopot kell létrehozni, egyik jelöli,
azt, hogy "az egy fıre esı havi jövedelem kisebb mint 50 lej", a másik, hogy
"csíkszeredai" és a harmadik, hogy "panelházban lakik". Ahhoz, hogy segélyt kapjon e
három feltétel (logikai változó) logikai konjunkciója (logikai és, vagy szorzás) igaz kell
legyen. Nos, aki viszont egy kicsit Boole-algebrailag elemzi a határozatot hamar rájön,
hogy lényegében az egyenértékő azzal, hogy "az egy fıre esı havi jövedelem kisebb
mint 50 lej" ugyanis a többi feltétel logikailag leegyszerősödik. Képletben, ha
a = "az egy fıre esı havi jövedelem kisebb mint 50 lej"
b = "csíkszeredai"
c = "panelházban lakik",
akkor, ha "." jelöljük a konjunkciót, "+", a diszjunkciót, akkor azt kapjuk, hogy
abc + abc
+ abc
+ abc
= ab + ab
= a
itt, a b azt, jelenti, hogy b tagadása, vagyis nem b.
27

Lássunk egy kicsit nehezebb példát, a Boole-algebra és az Excel kapcsolatára!
Mondjuk, hogy értekezletet akarnak tartani azok a pedagógusok, akiknek a havi
fizetése kisebb mint háromszáz lej és csíkszeredaiak. A következı módon írják ki a
felhívást: Jelentkezzenek azok, akik pedagógusok és csíkszeredaiak vagy akiknek a
havi fizetése kisebb mint háromszáz lej és nem csíkszeredaiak vagy akik pedagógusok
és havi fizetésük kisebb mint háromszáz lej. Vezessünk be itt is alkalmas jelölést:
a = "pedagógus"
b = "akiknek a havi fizetése kisebb mint háromszáz lej"
c = "csíkszeredaiak"
ac + bc
+ ab = ac + bc
.
Itt az az érdekes, hogy a harmadik feltétel fölösleges, az már benne van az elsı
kettıben. Ezeket a Boole-algebrai egyszerősítéseket nem lehet észrevenni "józan
ésszel", vagyis aki azt nem tanulta meg, nincs ahogy kiügyeskedje. Az élet ennél jóval
összetettebb és bonyolultabb összefüggésrendszereket és helyzeteket alkot. Minden
programozásnak, de a számítógép intelligens kezelésének is elemi követelménye, hogy
az illetı rendelkezzen bár a matematikai logika elemeivel.
Boole-algebrai egyenlet- és egyenlıtlenségrendszerek
Legyen ( ,+ ,., , 0,
1)
B egy Boole-algebra. Boole-algebra egyenlet és/vagy
egyenlıtlenségrendszereknek nevezzünk
⎧ f
⎪
⎨ f
⎪
⎩ f
i
i
i
= g
≤ g
i
≥ g
i
i
n
ahol f i , g i : B → B , Boole függvények. (i=1,…,n, + jel a diszjunkció, . a
konjunkció, és felsı vonás a tagadást jelöli).
Az elsı fontos észrevétel, hogy bármely Boole-algebra egyenlet- és/vagy
egyenlıtlenségrendszer egyenértékő egyetlen egy Boole-egyenlettel:
n
f ( x1
, x2
,..., xn
) = 0 , ahol f : B → B , Boole-függvény.
Bizonyítás. Bármely Boole-féle algebrában fennállnak a következı azonosságok:
f ≤ g ⇔ f g és f = g ⇔ f g + f g = 0 .
Ez pedig azt jelenti, hogy elégséges egyenletekkel dolgozni, mert az
egyenlıtlenségek egyenletekké alakíthatók.
Tehát minden egyenlıtlenséget átalakítunk egyenletté. Megoldás alatt pedig egy
Boole-algebrai ( 1, 2,...,
n ) x x x vektort értünk.
Alapvetı tulajdonság.
(i). ax + bx
= 0 , ahol a, b ∈ B , egyenletnek van megoldása, akkor és csakis akkor,
ha ab = 0 .
(ii). Ha ab = 0 , akkor a megoldások halmaza [ b, a]
= { x ∈ B : b ≤ x ≤ a}
.
Bizonyítás.
(i). ax + bx
= 0 ⇔ ax = 0 és bx
= 0 ⇔ x ≤ a és b ≤ x ⇒ b ≤ a ⇔ ab = 0 .
28

Fordítva, az elégséges feltételbıl, hogy ab = 0,
következik, hogy ab + bb
= 0
vagyis b valóban egy megoldás. Vagyis ha az ax + bx
= 0 egyenletbe az x helyébe a
b-t helyettesítjük, akkor az kielégíti a Boole-egyenletünket.
Ennek az egyszerő, de fontos segédeszköznek a birtokában lássunk olyan
közgazdasági feladatokat, amelyekben látható a Boole-algebra szerepe.
1. Ha egy vállalatra kiírják a csıdeljárást, akkor a raktárkészletét vagy Fifo 2 vagy
Lifo vagy beszerzési árak súlyozott átlaga szerint értékesíti.
2. Ha az infláció meghaladja a 40%-ot, akkor az csıd!
3. Ha a beszerzési árak súlyozott átlaga szerint történik az értékesítés, akkor az
infláció nem haladhatja meg a 40%-ot és nem írnak ki csıdeljárást.
4. Ha csıdeljárás történik, akkor az értékcsökkenést napirendre kell hozni.
5. Ha értékcsökkenést számítunk akkor a FIFO módszert alkalmazzuk.
6. Ha beszerzési árak súlyozott átlaga szerint értékesítést nem alkalmazzuk akkor
nincs csıdeljárás.
Döntsük el, mi a lényeg a fenti feltételrendszerben!
Vezessünk be alkalmas jelölést: Cs legyen a csıdeljárás, F a FIFO módszer, L a
LIFO módszer, S a súlyozott átlag, I az infláció, A az amortizáció, vagyis az
értékcsökkenés. Ezzel a jelöléssel a fenti feltételrendszer így reprezentálható Boolealgebrai
egyenlıtlenségrendszerként
⎧Cs
≤ F + L + S
⎪
⎪
I ≤ Cs
: ⎪
⎪S
≤ ICs
⎨
⎪Cs
≤ A
⎪A
≤ F
⎪
⎪⎩
S ≤ Cs
Ez aztán egyetlen egy egyenletté átalakítva:
Cs(
F + L + S)
+ ICs
CsF
LS
Cs + SI + ICs
= Cs + I + SI = Cs + I = 0
Cs + I = 0
+ S(
ICs)
+ CsF
+ SCs
= 0
+ ICs
+ SI + SCs + CsF
+ SCs
= 0
A megoldás pedig azt jelenti, hogy ha a fenti kijelentéseket igaznak fogadjuk el, akkor
abból az következik, hogy nincs csıd és nincs 40%-os infláció! Mert a vagy csak akkor
hamis, ha mindkettı hamis. Tehát Cs=0 és I=0, vagyis hamis a csıd és hamis az infláció,
tehát nincs csıd és nincs infláció!
2 A FIFO (First in, first out) módszer lényege, hogy amelyik árut elıbb vettük meg, azt elıbb is adjuk el, így a
megmaradó készletet mindig a késıbb beszerzett áruk után értékeljük, míg a LIFO (Last in, first out)
módszernél, amelyik terméket utoljára vettük, azt adjuk el elıbb, így a korábban vett áruk beszerzési értékét
vesszük alapul. Ezek a módszerek a programozásban is megvannak (mint pl. memóriakezelési és/vagy
objektumorientált technikák!)
29

Változatok egy témára
1. Ha van két felsıfokú nyelvvizsgája akkor EU-tisztviselı akar lenni, vagy van
ECDL-bizonyítványa.
2. Ha tud közlekedni az Interneten és van két felsıfokú nyelvvizsgája akkor EUtisztviselı
akar lenni.
3. Ha nem tud internetezni akkor nincs ECDL-bizonyítványa vagy nincs két
felsıfokú nyelvvizsgája vagy EU-tisztviselı.
Most fordítsuk le a fenti kijelentéseket a logika nyelvére és alakítsuk át egyetlen egy
Boole-egyenletté:
F(
Eu + E)
+ IF Eu + I ( E + F + Eu)
= 0
F EuE
+
IF Eu
+ IEF
Eu = 0
Ezt most Karnaugh-táblázattal fogjuk leegyszerősíteni:
F EuE
+ IF Eu + IEF
Eu = IF
EEu
+ IF EEu
+ IFEEu
+ IF EEu
+ IFE
Eu =
IF
EEu
+
IF EEu
+ IFEEu
+ IFE
Eu = 0
IF\E
Eu
00
0
0
0 1 1
1 1 0
01 1 1
11
10
1 1
⎧F
≤ Eu + E
⎪
⎨IF
≤ Eu
⎪
⎩I
≤ E + F + Eu
F Eu = 0 , F ≤
Eu
Vagyis
Ami azt jelenti, ha van két felsıfokú nyelvvizsgája akkor Eu-tisztviselı!
Készítünk egy másik (mesterkélt) feladatot, ugyancsak az elıbbi témára:
1. Ha nemzetközi jogász és nem Eu-tisztviselı akkor nem közgazdász vagy nincs
ECDL bizonyítványa.
2. Ha közgazdász és van ECDL bizonyítványa akkor Eu-tisztviselı.
3. Ha közgazdász akkor nemzetközi jogász vagy Eu-tisztviselı.
4. Ha nem közgazdász akkor nem nemzetközi jogász vagy nincs ECDL
bizonyítványa.
5. Ha nemzetközi jogász akkor nem Eu-tisztviselı vagy nincs ECDL bizonyítványa.
Természetesen, a fenti feladat egy kitaláció. Vele csak azt szeretnénk példázni, hogy
egy viszonylag egyszerő feltételrendszer is nehezen érthetı, és hogyan néz ki a feladat
30

logikai gerince. Amit be fogunk bizonyítani az hogy, a fenti öt logikai feltétel logikailag
implikálja a másodikat. Tehát, ha csak a másodikkal dolgozunk, az kifejezi mind az
ötnek a logikai "súlyát". Ezek a Ha...akkor feltételek nagyon könnyen leírhatók minden
programozási nyelven és az Excelben is! Ott a HA, illetve az IF függvényt kell
megfelelıen kitölteni.
Lássuk akkor a fenti feltételrendszernek – ami lényegében egy Boole-algebrai
egyenlıtlenségrendszer – a megoldását! Jelöljük a-val a közgazdászt, b-vel a
nemzetközi jogászt, c-vel az Eu-tisztviselıt és d-vel az ECDL-bizonyítványt, akkor a
feltételrendszerünk így formalizálható:
adc
+ bcad
+ abc
abcd
+
abcd
+
⎧bc
≤ a + d
⎪
⎪ad
≤ c
⎪
⎨a
≤ b + c
⎪
⎪a
≤ b + d
⎪
⎩b
≤ c + d
+
abcd
abd
+
+ bcd = 0
abcd
Ezt is lényegében Karnaugh-táblázattal egyszerősítjük:
ab\
cd
0
0
0 1 1
1 1 0
00
01 1 1
11 1 1
10 1 1
Ami azt jelenti, hogy
bd +
dac
da ≤ c
abc
= 0
= 0
+
abcd
+ abcd = 0
Ezzel az állításunkat igazoltuk, vagyis az öt feltételrendszer leegyszerősíthetı a másodikra!
Ebben a részben csak a Boole-algebrai egyenlıtlenségrendszereknek néhány közgazdasági
alkalmazását mutattuk be. Nem ismertettük, hogy mit nevezünk Boole-algebrának, Boolealgebrai
kifejezésnek, -függvénynek és azok egyszerősítésének, ugyanis ez az elsıéves
tananyagnak szerves része. Mi csak ennek szükségességét szeretnénk igazolni!
Szakirodalom
1. Ioan Tomescu, Adrian Leu: Matematică aplicată în tehnica de calcul, Ed, did. şi ped.
1980
2. Sergiu Rudeanu: Curs de bazele informaticii, (manuscris).
31

3. Román-magyar vállalkozói kisszótár (összeállította Réz Miklós), Kriterion, Kossuth
1994.
Algoritmika
Szinte mindent algoritmizálunk és így sztereotipek (vagyis algoritmusok) szerint
élünk és dolgozunk. Amit szabály szerint vagy megszokásból teszünk, az mind
algoritmus! A jól mőködı gyárakban és üzemekben algoritmus szerint kell történjen
minden. Az algoritmus elıírja, hogy egy feladat elvégzésekor milyen mőveleteket kell
elvégezni és hogy milyen sorrendben kell elvégezni ezeket. Egy technológiai
folyamat is algoritmus, egy munkás akkor dolgozik jól, ha szigorúan betartja a
technológiai szabályokat, vagyis egy algoritmust. A nyugati ipar azért
eredményesebb, mint nálunk, mert pontosan betartják a szabályokat és precíz
algoritmusokkal dolgoznak. Nálunk ugyanabban a gyárban, ugyanaz a munkacsoport
nem képes két egyforma terméket elıállítani. Azért, mert nincs jól kidolgozott
algoritmus, se a gépi folyamatokra, se a kézi feldolgozásra. Egy jó algoritmus:
szabályok rendszerbe foglalása, pontos receptek győjteménye, stb. De nem csak a
társadalomban ilyen fontos a szabályok rendszere, hanem a tudományban is. Ugyanis
ami a tudományban tanítható és elsajátítható az szabályok, törvények rendszere. Ami
kreatív, vagyis új szabályok felfedezését vagy megalkotását illeti, ahhoz speciális
adottságok kellenek. Ezért lényegében recepteket tanítunk. Az algoritmusok
tulajdonságai a végesség, egyértelmőség, általánosság. A végesség azt jelenti, hogy
véges számú lépés után az algoritmus elvezet a feladat eredményéhez, vagy
megmutatja, hogy a kitőzött feladat megoldhatatlan. Az algoritmus ugyanakkor
egyértelmő kell legyen, vagyis a lépésekben elıírt mőveletek világosak, pontosan
követhetık kell legyenek.
Az algoritmusoknak különbözı típusai vannak:
A direkt algoritmus nem tartalmaz feltételes utasításokat. Pl. a Héron képlet
kiszámítása.
Az elágazó algoritmus feltételes utasítást is tartalmaz, de visszacsatolást nem. Pl.
elsıfokú, másodfokú egyenlet gyökeinek kiszámítása
A visszacsatolásos algoritmus esetében egy rész végrehajtása többször is
ismétlıdik. Ez a ciklus.
Elsıfajú ciklusról beszélünk, ha az ismétlések száma elıre ismert. Másodfajú
ciklusról beszélünk, ha az ismétlések száma ismeretlen. Iterációról beszélünk, ha az új
érték kiszámítása a következı képlet alapján történik: xi+1 = f(xi).
Annak ellenére, hogy az algoritmus fogalmát elég szemléletesen és érthetıen körül
tudjuk írni, nem definiáljuk pontosan, hanem elfogadhatjuk alapfogalomnak, mint
amilyen a halmaz, vagy a pont, egyenes, amit nem definiálunk.
A matematika nem egy öncélú logikai játék, sokkal inkább a valós világ
történéseinek pontos követésére és megjósolására szolgáló eszköz. Arra szolgál, hogy
a természet törvényeit, szőkebb értelemben a természet, a társadalom jelenségeit
felmérje, kövesse és elıre jelezze.
Amikor egy sorozat határértékét kiszámítjuk, tisztában kell legyünk azzal, hogy ez
a sorozat sokféle interpretációra ad lehetıséget. A sorozat elemei egy társadalmi
jelenség mérési adatai lehetnek, de egy fizikai jelenség mérési adatai is. Ha a sorozat
konvergál, akkor az adatok valamilyen pontos értéket tetszılegesen megközelítenek,
más szóval az adatok egy szabályosságot követnek és egy tény kifejezése rejlik
bennük. Egy konvergens sorozatból ha véges számú elemet elhagyunk, konvergens
marad, hasonlóan egy társadalmi jelenséghez, amelyet ha helyesen írtunk le, akkor
32

nem számít egyedi esetek kilógása a sorból, egyedi esetek különbözısége, a
jelenséget leíró sorozat konvergál! A Fibonacci sorozat például a nyulak szaporodását
is modellezi.
Mindezeket azért írtuk le, hogy lássuk, mennyire fontos a kísérleti matematika,
vagyis az, amikor egy megsejtett összefüggést sok-sok esetben leellenırzünk a
számítógépen.
Be kell látni, hogy a tudomány emberek mőve, és sok-sok tapasztalat
kikristályosodott fogalmi győjteménye. A számítógéppel azonban, amit évszázadok
munkája alapján alkottak meg, sok mindent ellenırizhet. Meg kell szokni, hogy egy
sorozat határértékét úgy is kiszámíthatjuk, hogy sok tagját géppel számítjuk ki, és
azzal már szinte be is bizonyítottuk a sorozat határértékének helyességét.
Algoritmusok ábrázolása
Az algoritmusokat pszeudokódban, logikai folyamatábrán, blokk-diagramon
szokták megadni. A pszeudokód, amint a neve is mutatja egy átmenet a kód (ami a
programnyelv) és a leírás között. Egy álkód, félig-kód, félig magyarázat. Benne az
utasításokat mondatszerően adjuk meg betartva néhány szabályt.
Bemeneti utasítás: OLVASD, kimeneti utasítás: KIÍR (vagy ÍRD), feltételes
utasítás (még hívják HA, vagy elágazási struktúrának), HA feltétel AKKOR
utasítás(ok) KÜLÖNBEN utasítás(ok) HA_VÉGE.
Ciklusok (ismétlı struktúrák): AMÍG feltétel VÉGEZD EL utasítás(ok)
AMÍG_VÉGE. ISMÉTELD utasítás(ok) AMEDDIG feltétel. MINDEN (léptetı
ciklus, for ciklus): MINDEN i:= elsıtıl utolsóig VÉGEZD EL utasítások
MINDEN_VÉGE.
Például:
OLVASD szám
HA szám

Bemeneti utasítás: OLVASD, kimeneti utasítás: KIÍR (vagy IRD), feltételes
utasítás (még hívják HA, vagy elágazási struktúrának), HA feltétel AKKOR
utasítás(ok) KÜLÖNBEN utasítás(ok) HA_VÉGE.
Ciklusok (ismétlı struktúrák): AMÍG feltétel VÉGEZD EL utasítás(ok)
AMÍG_VÉGE. ISMÉTELD utasítás(ok) AMEDDIG feltétel. MINDEN (léptetı
ciklus, for ciklus): MINDEN i:= elsıtıl utolsóig VÉGEZD EL utasítások
MINDEN_VÉGE.
Elemi mőveletek
Számítsuk ki n beolvasott szám összegét!
Az algoritmus elkészítésénél megadhatjuk a változókat. Muszáj megadni! Több
változóra lesz szükségünk: egyik n értékét, egy másik a keresett összeget fogja
tartalmazni. Legyen ez utóbbi változó neve S.
A sorra beolvasott számokat egy x változóban helyezzük el. Beolvassuk n értékét
és az S változónak a 0 kezdıértéket adjuk. Ezután n-szer végezzük el a következı
mőveleteket:
- beolvasunk egy bemeneti értéket
- hozzáadjuk S értékéhez.
Az algoritmus
OLVASD n
S := 0
CIKLUS
(VEGEZD EL minden i-re 1-tol n-ig, 1-es lépésközzel)
OLVASD x
S := S + x
CIKLUS_VEGE
IRD S
VEGE
A program:
program szumma1;
uses crt;
var
n,x,i:integer;
S :longint;
begin
clrscr;
write('Irjuk be n erteket : ');
readln(n);
S:=0;
for i:=1 to n do
begin
write('Irjuk be az osszeadando szamot:');
readln(x);
S:=S+x;
end;
writeln;
writeln('Az n= ',n:2,
' darab termeszetes szam osszege= ',S:8);
readln;
34

end.
Megjegyzés: Ha meg akarjuk ırizni a beolvasott számokat, akkor szükségünk van
egy vektor típusú változóra, amelynek elemei tartalmazni fogják a beolvasott
értékeket. Beolvasáskor azt is megszámlálhatjuk, hogy hány számot akarunk
összeadni.
Az elsı n természetes szám összege
Az algoritmus egyszerőbb az elızınél, mert nem kell beolvasnunk a számokat.
Beolvassuk az összeadandó számok számát.
Az S változót a 0-val inicializáljuk. Ezután n-szer végezzük el a következı
mőveleteket:
– rátérünk a következı számra
– hozzáadjuk S értékéhez
Az algoritmus
OLVASD n
S := 0
CIKLUS
(VEGEZD EL minden i-re 1-tol n-ig, 1-es lépésközzel)
S := S + i
CIKLUS_VEGE
IRD S
VEGE
A program a következı:
program szumma2;
{Az elso n termeszetes szam osszege.}
uses crt;
const n=30;
var
S,i,m:integer;
begin
clrscr;
for m:=1 to n do
begin
S:=0;
for i:=1 to m do S:=S+i;
writeln ('Az elso ',m:2,
' termeszetes szam osszege= ',S:8);
end;
readln;
end.
Számítsuk ki n beolvasott szám szorzatát!
Szükséges változók : n, x, i.
Az eredményül kapott szorzat legyen a P változóban.
Beolvassuk n értékét és a P változónak az 1 kezdıértéket adjuk. Erre külön fel kell
figyelni! Ha a P változóban 0 kezdıérték kerülne, az eredmény is nulla maradna!
35

Ezután n-szer végezzük el a következı mőveleteket:
– beolvasunk egy bemeneti értéket
– hozzáadjuk S értékéhez.
Az algoritmus pszeudokódja :
OLVASD n
P := 1
CIKLUS
(VEGEZD EL minden i-re 1-tol n-ig, 1-es lépésközzel)
OLVASD x
P := P * x
CIKLUS_VEGE
IRD P
VEGE
program szorzat;
uses crt;
var
n,x,i:integer;
P : longint; {A P változó típusa legyen LONGINT (hosszú
egész),mert az INTEGER típus értéke csak 32767-ig terjed}
begin
clrscr;
write('Irjuk be n erteket : ');
readln(n);
P:=1;
for i:=1 to n do
begin
clrscr;
write('Irjuk be az osszeszorzando szamot:');
readln(x);
P:=P*x;
end;
writeln;
writeln ('A(z) ',n:2,
' darab, termeszetes szam szorzata = ',P:10);
readln;
end.
Kezdetnek lássunk néhány hasznos feladatot. Ezeknek a feladatoknak a megoldása
egy képlet. (Egy képlet már egy algoritmus. Aki tudja a képletet már meg tudja oldani
a feladatot, aki érti a képletet, az érti az algoritmust.)
Fatömeg térfogatának számolás (A farönkök köbölése)
I ⎛ C ⎞
Ha a rönk hengeres, akkor a térfogataV
= . ⎜ ⎟ , ahol I a rönk magassága és C az
π ⎝ 2 ⎠
alapkör kerülete (a mérıszalag hossza)
{A rönk köbölése (a rönk térfogatának kiszámítása)ha a rönk
hengerV=(C/2)^2*I/Pi képlettelV a térfogat
C a rönk alapjának kerülete (hossza)
I a rönk magassága}
program koboles;
2
36

var V,C,I: real;
begin
write('kerem a ronk magassagat (cm) ');readln(I);
write('kerem a ronk alapjanak a keruletet (cm) ');readln(C);
V:=sqr(C/2)*I/Pi;
writeln('a ronk kobtartalma = ',V:10:2,' cm^3 =
',V/1000000:12:6,' m^3');
readln;
end.
I ⎛ C ⎞
Ha a rönk kúpos (egy csonka kúp lesz a rönk) V = . ⎜ ⎟ , ahol I a rönk magassága és C
π ⎝ 2 ⎠
annak a körnek a kerülete, amelyet a rönk közepénél mérnek!
{A rönk köbölése (a rönk térfogatának kiszámítása)
ha a rönk csonkakúp
V=(C/2)^2*I/Pi képlettel
V a térfogat
C a rönk alapjának kerülete (hossza)
I a rönk magassága}
program koboles;
var V,C,I: real;
begin
write('kerem a ronk magassagat (cm) ');readln(I);
write('kerem a ronk kozepenek a keruletet (cm) ');readln(C);
V:=sqr(C/2)*I/Pi;
writeln('a ronk kobtartalma = ',V:10:2,' cm^3 =
',V/1000000:12:6,' m^3');
readln;
end.
Hordó térfogata
Számítsuk ki a hordó térfogatát.
R a hordó sugara a közepénél (a hordó „hasának” a sugara, vagyis legnagyobb köre
sugara)
D a hordó átmérıje a közepénél (a hordó hasának átmérıje)
rt a hordó alapjainak sugara
dt a hordó alapjainak átmérıje
I a hordó magassága
A hordók térfogatát a következı közelítı képletekkel számoljuk ki:
⎛ 2D
+ dt ⎞
• V = π ⎜ ⎟ . I
⎝ 6 ⎠
• V = 0.
8 I D dt
•
2
( ) 2
R rt
⎛ 3 − ⎞
V = π I ⎜ R − ⎟ Dez-képlete
⎝ 8 ⎠
2
37

I 2 2
• V = ( 2R
+ r )
π
Oughtud-képlete
3
Írjunk programot amellyel megvalósítjuk a fenti képleteket és össze is hasonlítjuk
pontosságukat!
{a hordó térfogatának kiszámításaV=Pi/sqr(6)*sqr(2*D+dt)*I
V=0,8*I*D*dt
V=Pi*I*sqr(R-3/8*(R-r))
V=Pi*I/3*(2*sqr(R)+sqr(r))
ahol D a hordó átmérıje a közepénél, R a hordó sugara a
közepénél
dt a hordó átmérıje az alapjainál, rt az alapkör sugara
I a hordó magassága}
var V1,V2,V3,V4,R,D,dt,rt,I,NK,kk:real;
begin
write('kerem a hordo magassagat ');readln(I);
write('kerem a hordo keruletet a kozepenel (legnagyobb
kerulet) ');readln(NK);
write('kerem a hordo keruletet az alapoknal (legkisebb
kerulet ');readln(kk);
R:=NK/2/Pi; D:=2*R;
rt:=kk/2/Pi; dt:=2*rt;
V1:=Pi/sqr(6)*sqr(2*D+dt)*I;
V2:=0.8*I*D*dt;
V3:=Pi*I*sqr(R-3/8*(R-r));
V4:=Pi*I/3*(2*sqr(R)+sqr(r));
Writeln('Elso terfogat = ',V1:16:8);
Writeln('Masodik terfogat = ',V1:16:8);
Writeln('Dez-terfogat = ',V1:16:8);
Writeln('Oughtud-terfogat = ',V1:16:8);
readln;
end.
A kamatos kamat
Talán a leggyakrabban alkalmazott ismétléses algoritmus, a kamatos kamat kiszámítása. Ez
matematikailag sem egyszerő, mert lényegében egy mértani sor összege. Informatikailag jól
algoritmizálható, mert periódus (amit általában hónapokban adunk meg) számú ismétlést kell
végezzünk, a kamat kiszámításához. Egy adott periódusban, a tıkegyarapodás egyenlı az
elızı hónapnyi összeg plusz azon összegnek kamatlábnyi százaléka.
{Kamatos kamatT tıke
k a kamatlab (evi kamatlabot adnak meg %-ban)
p periodus = a honapok szama}
var T,k,S:real;
p,i:integer;
begin
write('kerem a to"ket ');readln(T);
write('kerem a honapok szamat ');readln(p);
write('kerem a kamatlabot ');readln(k);
S:=T;
38

for i:=1 to p do
S:=S+S*k/12/100;
writeln('a kamatozott to"ke, ',p,' honap utan ',k:2:0,'%os
kamatlabbal = ',S:16:2);
readln;
end.
A hallgatók ellenırizhetik az Excel JBÉ (jövıbeni érték, angolul FV) pénzügyi
függvényével.
Például:
1.219.391,08 1 millió, 20%, 12 hónap JBÉ((20/12)%;12;0; -1000000; 1)
7.297.605,95 3 millió, 30%, 36 hónap JBÉ(2,5%;36;0; -3000000; 1)
820,14 500 lej, 25% 24 hónap JBÉ((25/12)%;24;0; -500; 1)
901,46 800 lej, 12% 12 hónap JBÉ(1%;12;0; -800; 1)
981,12 700 lej, 17% 24 hónap JBÉ((17/12)%;24;0; -700; 1)
Hatványozás
A Turbo Pascal nagyon sok elıre-definiált függvényt kínál, de mielıtt
hozzáfognánk ezek kizárólagos használatához, jó ha elıbb mi magunk is
meggyızıdünk arról, hogy el tudjuk készíteni ezeket a függvényeket, eljárásokat.
Függvény létrehozása akkor elınyös, ha az adott részfeladat az algoritmusban
többször is elıfordul, de más-más adatokkal.
Számítsuk ki az a szám n egész hatványkitevıre való emelésének értékét, a és n
különbözı értékeire.
Az algoritmus elkészítésénél felhasználjuk a hatványozás esetén érvényes
azonosságokat, miszerint:
x 2y = x y . x y = (x y ) 2
x 2y+1 = x y . x y . x = (x y ) 2 . x
A hatványozás egy lehetséges algoritmusa:
OLVASD a,n
EREDMENY := 1
ALAP := a
KITEVO := n
CIKLUS (amig KITEVO > 0)
CIKLUS (ha a KITEVO paros)
KITEVO := KITEVO : 2
ALAP = ALAP * ALAP
CIKLUS_VEGE
KITEVO := KITEVO - 1
EREDMENY := EREDMENY * ALAP
CIKLUS_VEGE
IRD EREDMENY
VEGE
Egy példa, hogy követni tudjuk az algoritmus lépéseit:
39

a = 3
n = 7
eredmény=1
alap = 3
kitevı = 7
a külsı ciklus elıször kerül végrehajtásra:
a kitevı páratlan, a belsı ciklus nem kerül végrehajtásra
kitevı = 7 - 1 = 6
eredmény = 1*3 = 3
a kitevı > 0, a külsı ciklus másodszor kerül végrehajtásra:
a kitevı páros, ezért elvégezzük a belsı ciklust
kitevı = 6 : 2 = 3
alap = 3*3 = 9
a kitevı páratlan, befejezıdik a belsı ciklus
kitevı = kitevı - 1 = 2
eredmény=eredmény*alap = 3 * 9 = 27
a kitevı > 0
a külsı ciklus harmadszor kerül végrehajtásra:
a kitevı páros, elvégezzük a belsı ciklust
kitevı = 2 : 2 = 1
alap = 9*9 = 81
a kitevı páratlan, vége a belsı ciklusnak
kitevı = kitevı - 1 = 0
eredmény = eredmény*alap = 27*81 = 2187
a kitevı nulla, vége a külsı ciklusnak
Kiíratjuk az eredményt : 2187
Program Hatvanyoz;
uses
Crt;
var
a,n : integer;
function hatvany(var alap,kitevo:integer):longint;
var
eredmeny:longint;
begin
eredmeny:=1;
while kitevo > 0 do
begin
while not Odd(kitevo) do {mig a kitevo paros}
begin
kitevo:=kitevo div 2;
alap:=sqr(alap)
end;
kitevo:=kitevo-1;
eredmeny:=alap*eredmeny;
end;
hatvany:=eredmeny;
end;
Begin
Repeat
Write('a= ');
40

ReadLn(a);
if a 0 then
begin
Write('n= ');
ReadLn(n);
WriteLn('Az eredmeny = ',hatvany(a,n):6);
end;
Until a=0; {amig a beolvasott szam 0}
End.
Az eratosztenészi szita
Ez egy módszer prímszámok keresésére. A szita elnevezés hasznos, mert könnyen
el lehet képzelni azt, hogy az eljárás kezdetén a szitánk minden (N-nél kisebb)
természetes számot tartalmaz. Közben, amíg tart a törzsszámok keresése, sorra
kihullanak a halmazból a már megtalált prímszámok többszörösei. A prímszámok
nem hullnak ki, csak a többszöröseik. Az algoritmus leírásához bevezetünk egy N
elembıl álló halmazt, amelyben felírjuk egy tetszıleges nagyértékő k korlátig az 1nél
nagyobb természetes számokat. (Ezt a halmazt elnevezhetjük SZITÁ-nak).
Eljárásunk kezdetén töröljük közülük a 2-vel oszthatókat. A kettes számot, ami az
elsı prímszám, bevisszük a PRIMEK nevő halmazba, a megmaradó számok közül a
legkisebbel (ami különbözik 0-tól, elıbb 3, majd 5 stb.), megismételjük az eljárást. Az
eljárás végén a PRIMEK halmaz elemei éppen a k-nál nem nagyobb prímszámok, a
SZITA pedig üres.
A algoritmus :
N := 1000
SZITA := {2,3,4,...,N}
{A prímek halmaza kezdetben üres halmaz}
PRIMEK:= {\Phi}
{Az elsı prímszám az 1, ezzel nem foglalkozunk, a következı a 2}
KOVETKEZO := 2
CIKLUS
CIKLUS (amig KOVETKEZO nincs a SZITA - ban)
KOVETKEZO := KOVETKEZO utani szam
CIKLUS_VEGE
PRIMEK := PRIMEK U {KOVETKEZO}
I := KOVETKEZO
{következik egy ciklus, ami végignézi a SZITA-beli elemeket, kiveszi a
prímszámot és annak többszöröseit}
CIKLUS(I-vel, amig I

i,kovetkezo:integer;
Begin
szita:=[2..n];
primek:=[]; {kezdetben ures halmaz}
kovetkezo:=2;
repeat
while not(kovetkezo in szita) do
kovetkezo:=succ(kovetkezo);
primek:=primek+[kovetkezo];
i:=kovetkezo;
while i

BELSO_CIKLUS (VEGEZD EL minden i-re 2-tol j-ig
vagy ameddig OSZTHATO = IGAZ, 1-es lépésközzel)
ha k osztható PRIMEK(i) - vel
OSZTHATO := IGAZ
kilép a BELSO_CIKLUS - bol
(egyébként, i := i+1-re, újra elvégzi a BELSO_CIKLUS - ban levı
utasításokat)
CIKLUS_VEGE
ha OSZTHATO = HAMIS
(vagyis találtunk egy prímszamot)
j := j + 1
PRIMEK(j) := k
egyébként
OSZTHATO := HAMIS
CIKLUS_VEGE
KIIR : PRIMEK
VEGE
A program:
program primek;
const n=1000;
var primek: array[1..n] of integer;
i,k,j:integer;
oszthato : boolean;
begin
primek[1]:=2;
primek[2]:=3;
j:=2;
k:=3;
while k < n do
begin
i:=2;
oszthato:=FALSE;
while (i

end.
Néhány érdekes számelméleti feladat
A tökéletes számok
Egy természetes számot tökéletes számnak nevezünk, ha a szám valódi
osztóinak összege egyenlı magával a számmal. A valódi osztók közé tartozik az
egy is, de maga a szám nem. Tökéletes számok például:
6 = 1 + 2 + 3.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Nyitott kérdés a matematikában, hogy van-e páratlan tökéletes szám.
Aki erre választ tud adni, annak neve bekerül a megismerésért tett legnagyobb
szellemharcosok közé. A tökéletes számokra vonatkozik a következı, már Eukleidész
által is ismert tétel:
Ha 1 + 2 + 2 2 + 2 3 +...+ 2 n = 2 n+1 -1 = p és p prím, akkor 2 n p = 2 n (2 n+1 -1) szám
tökéletes.
Írjunk programot a tökéletes számok megkeresésére!
Természetesen az elsı, ebben a témában megírt programunk, egy egyszerő
tesztelésen alapszik. Vesszük a természetes számok sorozatát, mondjuk 1-tıl 10.000 -
ig és minden számra leteszteljük, hogy az osztóinak összege egyenlı-e a számmal. Ha
igen akkor az a szám tökéletes. A hogy i osztja n-et azt jelenti, hogy (n mod i)=0
vagyis n-nek az i-vel való osztási maradéka 0. Érdemes eltöprengni azon, hogy
hogyan lehetne gyorsítani a program futtatását és általában optimalizálni ezt az
algoritmust.
program tokeletes; {tokeletes szamok kerese'se}
{n+}
uses crt;
var n,s,i,n2:longint;
begin
clrscr;
for n:=1 to 10000 do
begin
s:=0;
n2:=n div 2;
for i:=1 to n2 do
if (n mod i)=0 then s:=s+i;
if n=s then writeln(n:4,' ez tokeletes');
end;
end.
Még érdekesebbek a barátságos számok: Két szám akkor áll barátságban
egymással, ha az egyik osztóinak összege a másik számot adja és fordítva. Ilyen
alapon 220 és 284 barátok! Mint ahogy az életben is ritka az igazi barátság, úgy a
matematikában is kevés szám áll barátságban egymással. Tízezerig, csak öt barát-pár
létezik.
Írjunk programot, amelyik kiírja a baráti számokat.
Tulajdonképpen a tökéletes számok elıállítására írt programunkat kell
megmódosítanunk. Vegyük észre, hogy a tökéletes számok saját magukkal állnak
44

arátságban, és, ha 220 és 284 barátok, akkor nyílván 284 és 220 is barátok. Tehát ez
utóbbiakat csak egyszer kell kiírassuk. A program kimondottan iskolai jellegő.
program baratsagos; {baratok keresese}
{n+}
uses crt;
var n,s,p,i,n2,s2:longint;
begin
clrscr;
n:=1;
while n0 do
begin
while not odd(e) do
begin e:=e div 2;u:=u*u end;
45

e:=e-1;z:=u*z
end;
pw:=z;
end;
begin
clrscr;
p:=2;
while p B then
begin
osztando := A
oszto := B
end
else {felcsereljuk}
begin
osztando:=B;
46

oszto:=A;
end;
repeat
hanyados:= osztando div oszto;
maradek:= osztando - oszto*hanyados;
osztando:=oszto;
oszto:=maradek;
until maradek = 0;
writeln('A legnagyobb kozos oszto:',osztando:4);
{mert ebben van a legutolsó nem nulla osztó }
readln;
end.
Az euklideszi algoritmusunk második változatánál felhasználjuk a Turbo Pascal
nyelv beépített maradékot adó mod operátorát.
program Eukli_2 { Euklideszi algoritmus};
var
A,B,R:integer;
begin
writeln('Kerem az A szamot'); readln(A);
writeln('Kerem az B szamot'); readln(B);
if B > A then begin {felcsereljuk}
R:=A;
A:=B;
B:=R;
end;
repeat
R:= A mod B;
A:=B;
B:=R;
until B=0;
Writeln('A legnagyobb kozos oszto:',A:4);readln;
end.
(Azért kell az A számot kiíratni, mert a szerepcsere már megtörtént és a
megálláskor B-ben nulla van.)
Most értelmezzük mi magunk a maradék függvényt, hogy még érthetıbb legyen a
feladat megoldása. Azt az elvet vesszük figyelembe, hogy a maradékos osztás
lényegében ismételt kivonás. Rendkívül kényelmes és elegáns:
while x

maradek:=x
end;
begin
writeln('Kerem az A szamot'); readln(A);
writeln('Kerem az B szamot'); readln(B);
if B > A then begin {felcsereljuk}
R:=A;
A:=B;
B:=R;
end;
repeat
R:= maradek(A,B);
if R=0 then
begin
Writeln('A legnagyobb kozos oszto:',B:4);
readln;
exit;
end
else
begin
A:=B;
B:=R;
end;
until false;
end.
Átalakítások számrendszerek között
Alakítsunk át egy egész számot B alapú számrendszerbıl 10-es alapú
számrendszerbe. Az átalakítandó M szám formája a beolvasáskor: M = Vn Vn-1 ... V3
V2 V1, ahol Vn Vn-1 ... V3 V2 V1 az M szám számjegyei B alapú számrendszerben. Az
eljárás könnyen megírható ha a számok helyértékes írásmódjára gondolunk. Ennek
alapján a számunk felírható a számjegyek és a helyi értékek szorzatának összegeként,
ahol a helyi érték az alapszám megfelelı hatványa.
M = V1 + V2 * B + V3 * B 2 + ... + Vn n-1 * B
program alakit;
uses crt;
type tomb = array[1..10] of integer;
var vekt,fordvekt:tomb;
alap,k,n:integer;
function hatvany(a,b:integer):integer;
var
i,p:integer;
begin
p:=1;
for i:=1 to b do
p:=p*a;
hatvany:=p;
end;
function alapx_10(v:tomb;n,b:integer):Integer;
var
M,i:integer;
begin
M:=0;
for i:=1 to n Do
48

M:=M+v[i]*hatvany(b,i-1);
alapx_10:=M;
end;
begin {foprogram}
clrscr;
writeln('Irjuk be a szamjegyek szamat:');
readln(n);
writeln('Irjuk be az alapot:');
readln(alap);
randomize;
for k:=1 to n do
vekt[k]:=random(alap-1);
write('Az eredeti szam: ');
for k:=1 to n do
write(vekt[k]:1);
writeln;
for k:=1 to n do
fordvekt[k]:=vekt[n-k+1];
writeln
('Az atalakitott szam: ',alapx_10(fordvekt,n,alap));
readln;
end.
Alakítsunk át egy egész számot 10-es alapú számrendszerbıl B alapú
számrendszerbe.
A szám maga egy vektorban helyezkedik el:
szam = array[1..100]
szam[1] a legkisebb helyiértéken levı számjegyet tartalmazza
szam[n] a legnagyobb helyiértéken levı számjegyet tartalmazza
N10 = xm . p m + xm-1 . p m-1 + ... + x2 . p 2 + x1 . p + x0
Az xi - ismeretleneket kell megkapnunk.
Osztjuk az egyenlıség mindkét oldalát p - vel :
N10 = (xm . p m-1 + xm-1 . p m-2 + ... + x2 . p + x1) .p + x0
A maradék megadja x0 értékét.
Ezután a zárójelbe tett kifejezés értékét (az elızı osztás hányadosa) osztjuk az
alapszámmal, p-vel, így megkapjuk az x maradékot, ami a következı számjegye a p
alapszámú számnak.
A algoritmus:
OLVASD szam,p
osztando := szam
oszto := p
maradek := szam - (szam / p) * p
i := 1
CIKLUS
hanyados := osztando / oszto
maradek := osztando - oszto * hanyados
x(i) := maradek
ha a hanyados kulonbozik 0 - tol
VEGEZD EL:
osztando := hanyados
49

i := i + 1
CIKLUS_VEGE (ha a hanyados = 0-val)
KIIR eredmeny : x(i) , i = 1,....,m
A program:
program vissza;
uses crt;
type tomb = array[1..20] of integer;
var vekt:tomb;
szam : longint;
alap,k,n,m:integer;
procedure alap10_x;
var
osztando,oszto,maradek,hanyados,i:integer;
begin
for i:=1 to 20 do
vekt[k]:=0;
osztando:=szam;
oszto:=alap;
maradek:=szam - (szam div alap)*alap;
i:=1;
repeat
hanyados:=osztando div oszto;
maradek:=osztando - oszto*hanyados;
vekt[i]:=maradek;
if hanyados 0 then
begin
osztando:=hanyados;
i:=i+1;
end;
until hanyados = 0;
m:=i;
end;
begin {foprogram}
clrscr;
writeln('Irjuk be a szamot:');
readln(szam);
writeln('Irjuk be az alapot:');
readln(alap);
writeln;
alap10_x;
writeln('Az atalakitott szam: ');
for k:=m downto 1 do
begin
write(vekt[k]:1);
end;
readln;
end.
Megjegyzés. Ha egy feladatban B alapú számrendszerbıl B1alapú számrendszerbe
kell átalakítani egy számot, akkor ezt két lépésben végezhetjük el: elıbb a B alapból
10-es alapú számrendszerbe alakítunk, ezután pedig 10-es alapú számrendszerbıl B1
alapúba alakítjuk át a számot.
Számítsuk ki az MCMLXXIX római szám értékét!
50

Római számok ábrázolási rendszerében a számokat az I, V, X, L, C, D, M betők
segítségével írjuk le. Az egység az I bető, értéke 1, a V értéke 5, X = 10, L = 50, C =
100, D = 500, M = 1000. Átírásuknál tulajdonképpen a betőknek megfelelı
számértékekkel dolgozunk. Figyelembe kell vegyük a következı szabályokat:
Ha egy római számot ábrázoló sorozatban ugyanolyan értékő betőjelek vannak
egymás mellett, akkor a szám értéke egyenlı a betőjelek értékének összegével.
Ha egy római számot ábrázoló sorozatban a kisebb értékő számjegy a nagyobb
értékő baloldalán áll, akkor a számjegyek összértéke egyenlı a két számjegy
értékének különbségével.
Ha egy római számot ábrázoló sorozatban a kisebb értékő számjegy a nagyobb
értékő baloldalán áll, akkor a számjegyek összértéke egyenlı a két számjegy
értékének összegével.
Az algoritmusban a következıképpen valósulnak meg ezek a szabályok:
Konstansként bevezetjük csökkenı sorrendben a római számok sorozatát, és egy
másik vektort, ami ezeknek az értékeit tartalmazza. Például az elsı helyen álló M,
vagyis a római ezres értéke az Ertek[1] elemben található. Kiszámítjuk a római szám
hosszát, majd egy ciklus segítségével elvégezzük a következı mőveleteket: Ha az
átírandó bető értéke kisebb az utána következı bető értékénél, akkor ki kell vonnunk
abból az értékbıl, ha nagyobb, akkor értéke hozzáadódik a már számított értékhez.
Kivétel az utolsó bető, amit hozzá kell adni az addig kiszámított értékhez.
Az algoritmus:
M := 1000
D := 500
C := 100
L := 50
X := 10
V := 5
I := 1
BEOLVAS : Romai-Szam
Arab-Szam:=0
HOSSZ:=a Romai-Szam betuinek szama
CIKLUS (k:=1, amig k < HOSSZ, k:=k+1)
HA a k. betu erteke

Ertek : array[1..8] of integer =
(1000,500,100,50,10,5,1,0);
Sorozat : array[1..8] of String[1] =
('M','D','C','L','X','V','I',' ');
Begin
Write('A romai szam : ') ;
Read(RomSzam);
ArabSzam:=0;
Hossz:=Length(RomSzam);
SegedSor:='';
For i:= 1 to Hossz Do
For j:=1 to 7 Do
If RomSzam[i] = Sorozat[j] Then
Begin
Str(j:1,String1);
SegedSor:=Copy(Segedsor,1,i-1)+String1;
End;
For i:= 1 to Hossz - 1 Do
Begin
Val(SegedSor[i],j1,ErrCod);
Val(SegedSor[i+1],j2,ErrCod);
If j1

Bebizonyítható, hogy n korong átpakolásához 2 n - 1 lépésre van szükség!
Feltételezzük, hogy a baloldali pálcikán vannak a korongok és a jobb oldalira
szeretnénk átpakolni, a középsı felhasználásával. A megoldási stratégia a következı
elvekre épül:
1. Egy korongot egyszerően áthelyezünk a cél(jobb)pálcikára.
2. N korong áthelyezése a következı három rekurzív lépésre bontható:
2.1. N-1 korongot áthelyezünk a középsı pálcikára
2.2. Az utolsó (legnagyobb) korongot közvetlenül áthelyezzük a jobb
pálcikára
2.3. Majd a középsı pálcikán maradt N-1 korongot áthelyezzük a jobb oldalira,
persze újra véve a 2. lépéstıl az átpakolási eljárást.
Ezt rekurzív elgondolásban a következıképpen tömöríthetjük:
Hanoi(n) eljárás
Hanoi(n-1) korongok középre
n-edik korong jobbra
Hanoi(n-1) jobbra.
De ezzel még nem oldottuk meg a korongok középre, jobbra technikai
kivitelezését! Ehhez már pontosabban kell fogalmazzunk:
Ha ezt a megoldást valaki önállóan "kisüti", akkor egy parányit megértett a
természet mőködésébıl is. Mert ebben a megoldási stratégiában is rejlik egy olyan
elv, amely szerint a genetikai kódok is kifejlıdnek és mőködésbe lépnek.
Természetesen, ha már vannak elıtanulmányaink errıl a megoldási technikáról,
akkor nem jelent gondot a programozása, de ha nincsenek akkor igenis szép
teljesítmény az önálló megoldás.
program hanoi; {Hanoi tornyai}
uses crt;
const n=3;
type hely=string[5];
procedure han(n:integer;A,B,C:hely);
var i:integer;
begin
if n=1 then
writeln('korong a ',A,'-rol a ',C,'-re')
else begin
han(n-1,A,C,B);
writeln('korong a ',A,'-rol a ',C,'-re');
han(n-1,B,A,C);
end;
end;
begin
clrscr;
Han(n,'bal','kozep','jobb');
readln;
end.
Rendezések
53

Sorozat legnagyobb értékő elemének megkeresése
Feladat: Keressük meg egy adott számsorozat, vagy számértékeket tartalmazó
vektor legnagyobb elemét, vagyis a maximumát!
Nyilvánvaló, hogy összehasonlításokat kell végezni a sorozat elemei között. A
megoldás a következı: A számsorozat elsı elemét elhelyezzük a Maxim nevő
változóban. Egy ciklus segítségével végigjárjuk a sorozat összes elemét és
valahányszor a Maxim változó értékénél nagyobb elemet találunk, azt kicseréljük
vele.
program legnagy;{obb}
uses crt;
type
tomb = array[1..100] of real;
var
n : integer; { a sorozat elemeinek szama }
i : integer;
vekt : tomb;
maxim : integer; {eredmeny}
begin
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
readln(n);
randomize;
for i:=1 to n do
vekt[i]:=random(10000);
if n > 1 then
maxim:=v[1];
for i:= 2 to n do
if vekt[i] > maxim then
maxim:=vekt[i];
{Az eredmeny kiiratasa}
writeln('A legnagyobb elem:',maxim:6);
readln;
end.
Az elızı feladatot fokozhatjuk azzal, hogy keressük meg egy adott vektor
legnagyobb elemét, és azt is mondjuk meg, hogy a vektor hányadik eleme a
legnagyobb. Ebben az esetben az index értékét is meg kell ırizni.
Számsorozat elemeinek rendezése
Módosítsunk egy adott számsorozatot a következıképpen: Cseréljük fel a sorozat
elemeit úgy, hogy az elsı m elem kerüljön a vektor utolsó m helyére és az eredeti
vektor utolsó n–m elem kerüljön a vektor elejére.
Megoldás
Legyen a a beolvasott vektor.
Szükségünk van egy b segédvektorra, amelyben az eredményül kapott elemeket
tároljuk.
A b vektor elsı n-m helyére elhelyezzük az eredeti vektorunk utolsó n-m elemét,
majd az üresen maradt m helyre beírjuk az a vektor elsı m elemét.
A program:
program sorban1;
{Egy sorozatban lev• elemek sorrendjének kicserélése}
type
vekt = array[1..100] of integer;
54

var
i,j,n,m:integer;
a,b : vekt; {a - beolvasott vektor,b - segedvektor}
begin
for i:=1 to 100 do
a[i]:=i;
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
repeat
readln(n);
until n < 100;
randomize;
for i:=1 to n do
a[i]:=random(1000);
writeln('Irjuk be a valasztoindex szamat:');
repeat
readln(m);
until m < 99;
j:=n-m;
for i:=1 to j do
b[i]:=a[m+i];
for i:=1 to m do
b[j+i]:=a[i];
writeln;
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for i:=1 to n do
begin
write(b[i]:6);
if i mod 6 = 0 then
writeln;
end;
readln;
end.
Példa:
Az eredeti sorozat:
a = (1,8,9,7,6,5,2)
m = 3
n = 4
Az algoritmus elvégzése után így néz ki a sorozat :
a = (7,6,5,2,1,8,9)
Második megoldás.
A vektor m. elemét az utolsó helyre visszük, úgy, hogy a(m) az a(m+1) helyére,
a(m+2) az a(m+1) helyére,...,a(n) az a(n-1) helyére kerül. Ezután a következıképpen
néz ki a sorozatunk: A(1), A(2),..., A(m-1), A(m+1), A(m+2),..., A(n), A(m).
Maradék vektor m-1. elemét az n-1. helyre juttatjuk, az elızıhöz hasonló
felcseréléseket végezve. A sorozat a következıképpen alakul: A(1), A(2), ..., A(m-2),
A(m+1), A(m+2),..., A(n), A(m-1), A(m).
Hasonló felcseréléseket végzünk a vektor m-2. elemével, majd az m-3., ..., 2., 1.
elemekkel, így a vektor elemei a kívánt sorrendbe kerülnek. Az algoritmus hátránya,
hogy nagyon sok felcserélést kell végezni, ami nagyon idıigényes.
A program :
55

program sorban2;
type
vekt = array[1..100] of integer;
var
i,j,k,n,m:integer;
a,b : vekt;
begin
writeln('irjuk be az elemek szamat:');
repeat
readln(n);
until n < 100;
randomize;
for i:=1 to n do
a[i]:=random(1000);
writeln('irjuk be a valasztoindex szamat:');
repeat
readln(m);
until m < n-1;
for i:=m downto 1 do
for j:=i to n-m+i-1 do
begin
k:=a[j];
a[j]:=a[j+1];
a[j+1]:=k;
end;
writeln;
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for i:=1 to n do
begin
write(a[i]:6);
if i mod 6 = 0 then
writeln;
end;
readln;
end.
Harmadik megoldás
Elsı lépésként felcseréljük a vektorban levı elemek sorrendjét.
A kapott sorozat: A(n), A(n-1),..., A(2), A(1). Második lépésként felcseréljük az
utolsó m pozícióban levı elemek sorrendjét. Ezután így néz ki a sorozatunk:
A(n), A(n-1),..., A(m+1), A(1), A(2),..., A(m).
Harmadik lépés az elsı n-m elem sorrendjének felcserélése.
A program :
program sorban3;
uses dos;
type
vekt = array[1..100] of integer;
var
i,j,k,n,m,m1:integer;
a : vekt;
ho,mi,se1,se2 : word;
begin
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
repeat
56

eadln(n);
until n < 100;
randomize;
for i:=1 to n do
a[i]:=random(1000);
writeln('Irjuk be a valasztoindex szamat:');
repeat
readln(m);
until m < n-1;
GetTime(Ho,Mi,Se1,Se2);
write(ho:5,mi:5);
j:=n div 2;
for i:=1 to j do
begin
k:=a[i];
a[i]:=a[n+1-i];
a[n+1-i]:=k;
end;
j:=(n-m) div 2;
m1:=n-m+1;
for i:=1 to j do
begin
k:=a[i];
a[i]:=a[m1-i];
a[m1-i]:=k;
end;
j:=m div 2;
m1:=n-m;
for i:=1 to j do
begin
k:=a[m1+i];
a[m1+i]:=a[n+1-i];
a[n+1-i]:=k;
end;
writeln;
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for i:=1 to n do
begin
write(a[i]:6);
if i mod 6 = 0 then
writeln;
end;
GetTime(Ho,Mi,Se1,Se2);
writeln;
write(ho:5,mi:5);
readln;
end.
Megjegyzés. Felhasználtuk a DOS unit GetTime eljárását, az idıigény
ellenırzésére.
Rendezzük egy egész számokból álló halmaz elemeit növekvı sorrendbe. Ha
elıször találkozunk ezzel a feladattal a legkézenfekvıbb megoldás, hogy sorban
összehasonlítjuk a halmaz elemeit a következı elemekkel.
Beolvassuk:
– a sorba rendezendı számok számát
– a rendezendı elemeket a vekt nevő vektorban.
57

A belsı ciklus minden menetben átrendezi a helytelen sorrendben álló elemeket.
Az elsı elem helyére, azaz vekt[i]-be kerül a legkisebb elem.
A külsı ciklus ezt a folyamatot ismétli, minden alkalommal eggyel növelve az
összehasonlítandó elem indexét, vagyis közben i értéke az 1 kezdıértéktıl eljut n-1 -
ig. Ekkor vekt[n]-be a maximális kerül. Hátránya az, hogy idıigényes.
A program:
program rendez1;
uses crt;
type
tomb = array[1..100] of integer;
var
n : integer; {a sorbarendezendo szamok szama}
vekt : tomb; {a rendezendo elemek vektora}
i,j,k:integer;
{i,j az eppen osszehasonlitando elemek indexe
k valtozo a kicsereleshez}
begin
{beolvasni n-et ,a szamokat}
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
readln(n);
randomize;
for i:=1 to n do
vekt[i]:=random(Maxint);
if n > 1 then
for i:= 1 to n - 1 do {kulso ciklus kezdete}
for j:= i + 1 to n do {belso ciklus kezdete}
if vekt[i] > vekt[j] then
begin
k:=vekt[j];
v[j]:=vekt[i];
vekt[i]:=k;
end;
{kiiratas}
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for i:=1 to n do
begin
write(vekt[i]:6);
if i mod 6 = 0 then
writeln;
end;
end.
Buborékos rendezés
Jobb az a megoldás, amit az úgynevezett buborékos rendezés kínál. A változók
valamint maga a fıprogram hasonló az elsı megoldásban levıhöz.
A különbség a Buborék nevő eljárásban van. A belsı ciklus minden menetben
átrendezi a helytelen sorrendben álló szomszédos elemeket. A menet végére a
legnagyobb elem, mint folyadékban a buborék, a felszínre, vagyis a tömb végére, azaz
v[i] -be kerül. A külsı ciklus ezt a folyamatot ismétli, minden alkalommal 1-gyel
csökkentve az aktuális felsı tömbhatárt. A buborékos rendezés fı elınye az
egyszerőség. Komoly hátránya, hogy ha a rendezendı elemek száma túlságosan
naggyá válik, akkor az eljárás erısen lelassul.
A program :
58

program rendez2;
uses crt;
type
tomb = array[1..100] of integer;
var
n ,i: integer;{a sorbarendezendo szamok szama}
v : tomb;{a rendezendo elemek vektora}
procedure buborek(var v:tomb;n:integer);
var
i,j,k:integer;
begin
for i:= n downto 1 do
for j:= 1 to i do
if v[j] > v[j+1] then {osszehasonlitas}
begin
k:=v[j]; {felcsereles}
v[j]:=v[j+1];
v[j+1]:=k;
end;
end;
begin {foprogramresz};
{beolvasni n-et ,a szamokat}
clrscr;
write('Irjuk be az elemek szamat:');
readln(n);
randomize;
for i:=1 to n do
v[i]:=random(1000);
if n > 1 then
Buborek(v,n);
{kiiratas}
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for i:=1 to n do
begin
write(v[i]:6);
if i mod 10 = 0 then
writeln;
end;
readln;
end.
Shell rendezés
A shell rendezés bonyolultabb, mint a buborékos rendezés. Elınye, hogy nagyobb
tömbök esetében sokkal gyorsabb. Kezdetben nem a szomszédos elemeket hasonlítjuk
össze, hanem az egymástól távolabb esıket. Ezzel a nagymértékő rendezetlenség
gyorsan csökken, és így késıbbre kevesebb munka marad. Az összehasonlított elemek
távolsága fokozatosan csökken, amíg el nem éri az 1-et, ekkor a rendezési algoritmus
átmegy a szomszédos elemek felcserélését alkalmazó módszerbe.
A külsı ciklus az összehasonlított elemek közötti távolságot vezérli. Ez kezdetben
az aktuális felsı tömbhatár fele, és minden menetben felére csökken, amíg 0 -vá nem
válik.
A középsı ciklus az egymástól a LEPES által elválasztott elemeket hasonlítja
össze. Az összehasonlítás úgy történik, hogy az elsı menetben (a külsı ciklus elsı
végrehajtásakor, LEPES =a felsı tömbhatár fele) az elsı elemet összehasonlítja a fele
59

+ 1 - gyel, a másodikat a fele + 2 - vel és így tovább. A második menetben (a külsı
ciklus második végrehajtásakor, LEPES = a felsı tömbhatár negyede) az elsı elemet
összehasonlítja a negyede + 1 - gyel, a másodikat a negyede + 2 - vel és így tovább,
sorra véve minden negyedrészt a vektorból. A legbelsı ciklus felcseréli azokat az
elemeket, amelyek fordított sorrendben vannak. Mivel a LEPES végül 1-re csökken,
az elemek helyes sorrendbe rendezıdnek.
A shell eljárás, amelyben a v vektor egy indexvektor szerepét tölti be, a v2 a
ténylegesen sorba rendezendı elemek vektora. A két vektor azonos helyen álló elemei
összefüggésben vannak egymással. (Például a v2 vektor tartalmazhatna egy névsort, a
v vektor tartalmazná a megfelelı személyek életkorát. Rendezzük el a névsort az
életkor szerinti csökkenı sorrendben!)
procedure shell(n:integer;var v,v2:vekt);
var
lepes,i,j,jl:integer ;
l:boolean;
s:integer;
begin
lepes:=n div 2 ;
while lepes > 0 do
begin
for i:=lepes+1 to n do
begin
j:=i-lepes;
l:=true ;
while ((j>0) and l) do
begin
jl:=j+lepes;
if(v[j]>v[jl]) then
l:=false
else
begin
s:=v[j];
v[j]:=v[jl];
v[jl]:=s;
s:=v2[j];
v2[j]:=v2[jl];
v2[jl]:=s;
j:=j-lepes ;
end;
end;
end;
lepes:=lepes div 2 ;
end;
end;
Példa egy 6 elembıl álló vektor rendezésére, ez esetben a sorbarendezendı vektor
a következı számsorozat:
-2, 0, 7, 4, 2, 8
az elsı utasítás:
LÉPÉS= 6 / 2 = 3 > 0
60

az i változó LÉPÉS+1 - tıl, azaz 4 - tıl megy 6 - ig
a LÉPÉS a halmazt két részre bontja, ennek a két résznek az elemeit
hasonlítgatjuk össze
- a j változó i-LÉPÉS lesz,vagyis 4 - 3 = 1
- a jl változó j+LÉPÉS lesz,vagyis 1 + 3 = 4
- a j. és jl. elemeket összehasonlítva -2 < 4, el kell végezni a
két elem cseréjét
a megváltozott vektor : 4, 0, 7, -2, 2, 8
az i változót növeljük 1 - gyel, i= 5
- a j változó i-LÉPÉS lesz,vagyis 5 - 3 = 2
- a jl változó j+LÉPÉS lesz,vagyis 2 + 3 = 5
- a j. és jl. elemeket összehasonlítva 0 < 2, el kell végezni a
két elem cseréjét
a megváltozott vektor : 4, 2, 7, -2, 0, 8
úgyanígy cseréljük ki a 3. és 6. elemek értékeit az i = 6 esetén
a megváltozott vektor : 4, 2, 8, -2, 0, 7
eljutottunk a középsı ciklus végére, mert i = n = 6
LÉPÉS= 3 / 2 = 1 > 0
a LÉPÉS a halmazt két részre bontja, ennek a két résznek az elemeit
hasonlítgatjuk össze
az i változó most 2 - tıl megy 6 - ig
- a j változó i-LÉPÉS lesz,vagyis 2 - 1 = 1
- a jl változó j+LÉPÉS lesz,vagyis 1 + 1 = 2
- a j. és jl. elemeket összehasonlítva 4 > 2, nem kell cserét végezni
i = 3
- j = 2, jl = 3 2 < 3, kicserélıdnek
a vektor :4, 8, 2, -2, 0, 7
most újra elvégezzük a belsı ciklust, mert
- j = j - LÉPÉS = 2 - 1 = 1 > 0, jl = 2 4 < 8 , kicserélıdnek
a vektor :8, 4, 2, -2, 0, 7
i = 4
- j = 3, jl = 4 2 < -2 , nincs csere
i = 5
- j = 4, jl = 5 -2 < 0 , csere
a vektor : 8, 4, 2, 0, -2, 7
i = 6
- j = 5, jl = 6 -2 < 7 , kicserélıdnek
a vektor : 8, 4, 2, 0, 7, -2
most ujra elvégezzük a belsı ciklust j = 4-re,3-ra,2-re,1-re:
- j = j - LÉPÉS = 5 - 1 = 4 > 0, jl = 5 0 < 7 , kicserélıdnek
a vektor : 8, 4, 2, 7, 0, -2
- j = j - LÉPÉS = 4 - 1 = 3 > 0, jl = 4 2 < 7 , kicserélıdnek
a vektor : 8, 4, 7, 2, 0, -2
- j = j - LÉPÉS = 3 - 1 = 2 > 0, jl = 3 4 < 7 , kicserélıdnek
61

a vektor : 8, 7, 4, 2, 0, -2
- j = j - LÉPÉS = 2 - 1 = 1 > 0, jl = 2 8 > 7 , nincs csere
elértünk a belsı ciklus végére mert
- j = j - LÉPÉS = 1 - 1 = 0
másodszor is eljutottunk a középsı ciklus végére, mert i = n = 6
LÉPÉS= 1 / 2 = 0 < 0, a külsı ciklust már nem kell elvégezni
többször, elértünk az algoritmus végére, a vektorunk rendezett
Feladat
A v2 vektor tartalmazzon egy névsort, a v vektor tartalmazza a névsorban levı
személyek életkorát. Rendezzük el a névsort az életkor szerinti csökkenı sorrendben!
A különbség az elızı algoritmushoz képest az, hogy a két rendezendı vektornak nem
azonos a típusa.
A program:
program rendez3;
uses crt;
type
vekt = array[1..100] of integer;
nevek = array[1..100] of string[20];
var v: vekt;
v2: nevek;
n,k:integer;
procedure shell(n:integer;var v:vekt,v2:nevek);
var
lepes,i,j,jl:integer ;
l:boolean;
s:integer;s2:string[20];
begin
lepes:=n div 2 ;
while lepes > 0 do
begin
for i:=lepes+1 to n do
begin
j:=i-lepes;
l:=true ;
while ((j>0) and l) do
begin
jl:=j+lepes;
if(v[j]>v[jl]) then
l:=false
else
begin
s:=v[j];
v[j]:=v[jl];
v[jl]:=s;
s2:=v2[j];
v2[j]:=v2[jl];
v2[jl]:=s2;
j:=j-lepes ;
end;
end;
end;
lepes:=lepes div 2 ;
end;
62

end;
begin {foprogram}
clrscr;
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
readln(n);
for k:=1 to n do
begin
v[k]:=0;
v2[k]:=' ';
end;
writeln;
for k:=1 to n do
begin
write('Nev :');
read(v2[k]);
write('Eletkor:');
read(v[k]);
readln;
end;
writeln;
if n > 1 then
shell(n,v,v2);
writeln('Az atrendezett sorozat:');
writeln;
writeln(' Nev: Eletkor:');
for k:=1 to n do
begin
write(v2[k]:20,v[k]:6);
writeln;
end;
readln;
end.
A shell rendezés elınye, hogy nagyobb tömbök esetében is gyorsabban mőködik,
mint a buborékos rendezés.
Gyorsrendezés
Eredetileg C.A.R. Hoare fejlesztette ki a gyorsrendezést amely a köztudatban
quicksort néven terjedt el. Az eredeti sorozatot részekre bontjuk oly módon, hogy két
csoportot képezünk: azon elemekét, amelyek egy, a halmazból tetszılegesen
kiválasztott elemnél kisebbek, és azokét, amelyek ennél nagyobbak. Ezután ezt a
felosztást alkalmazzuk a két részhalmazra egymás után mindaddig, ameddig minden
egyes részhalmaz csupán egyetlen elembıl nem áll. Ha az összes részhalmazt
felbontottuk, az eredeti halmaz rendezetté vált. Két segédtömb bevezetésére van
szükségünk, amelyben rendre elhelyezzük az éppen vizsgált részsorozat kezdı és
végsı indexét.
A program:
program rendez4;
uses crt;
type
tomb = array[1..100] of integer;
63

segedtomb = array[1..20] of integer;
var t:tomb;
tjobb,tbal : segedtomb;
foelem,n,k:integer;
procedure csere(var x,y:integer);
var z : integer;
begin
z:=x;
x:=y;
y:=z;
end;
procedure gyors;
var
i,j,cikl:integer;
begin
tbal[1]:=1;
tjobb[1]:=n;
cikl:=1;
repeat
if (tbal[cikl] >= tjobb[cikl]) then
cikl:=cikl - 1
else
begin
{csoportositas}
i:=tbal[cikl] - 1;
j:=tjobb[cikl];
foelem:=t[j];
while (i < j) do
begin
while t[i] < foelem do i:=i+1;
while (t[j] > foelem) and (j > i) do j:=j-1;
if i < j then
csere(t[i],t[j])
else
begin
j:=tjobb[cikl];
{csere(t[i],t[j]);}
foelem:=t[j];
end;
end; {a segédtömbökben elhelyezzük az éppen
vizsgált részhalmaz elemeit, minden lépésnél el•ször a
rövidebb részhalmazzal foglalkozunk}
if (i -tbal[cikl] < tjobb[cikl] -i) then
begin
tbal[cikl+1]:=tbal[cikl];
tjobb[cikl+1]:=i-1;
tbal[cikl]:=i+1;
end
else
begin
tbal[cikl+1]:=i+1;
tjobb[cikl+1]:=tjobb[cikl];
tjobb[cikl]:=i-1;
end;
cikl:=cikl+1;
end;
until cikl=0;
64

end;
begin {foprogram}
clrscr;
{A beolvasásokat a véletlenszám generáló eljárással
végezzük el.}
writeln('Irjuk be az elemek szamat:');
readln(n);
randomize;
for k:=1 to n do
t[k]:=random(1000);
writeln('Az eredeti sorozat:');
for k:=1 to n do
begin
write(t[k]:6);
if k mod 8 = 0 then
writeln;
end;
writeln;
if n > 1 then
gyors;
writeln('Az atrendezett sorozat:');
for k:=1 to n do
begin
write(t[k]:6);
if k mod 8 = 0 then
writeln;
end;
readln;
end.
Rekurzív gyorsrendezés
A gyorsrendezést elvégzı eljárást legjobban rekurzív eljárásként lehet megadni.
Akkor szoktuk ezt alkalmazni, amikor az algoritmus elkészítése közben rájövünk,
hogy az eljárásunk utasításai ismétlıdnek, csak más bemenı adatokkal. Innen
következik a rekurzió meghatározása is: Rekurzív eljárásnak nevezünk egy olyan
feldolgozási módot (A), amely a végrehajtás alatt behívja saját magát (A-t), vagy
behív egy másik eljárást (B), amely azután az eredeti eljárást (A) hívja be.
Rövidebben: Egy eljárás vagy függvény önmagából való aktivizálását rekurzív
hívásnak nevezzük. A Quick(bal,jobb) eljárást felhasználó program:
A program:
program rendez5;
uses crt;
type
tomb = array[1..100] of integer;
var t:tomb; n:integer;
procedure quick(bal,jobb:integer);
var
i,j,x,y:integer;
begin
i:=bal;
j:=jobb;
x:=t[(i+j) div 2];
65

epeat
while t[i] < x do i:=i+1;
while t[j] > x do j:=j-1;
if i j;
if bal

i,j,x,y:integer;
begin
i:=bal;
j:=jobb;
x:=vekt[(i+j) div 2];
repeat
while vekt[i] < x do i:=i+1;
while vekt[j] > x do j:=j-1;
if i j;
if bal

egin
k:=k+1;
t[k]:=ty[j];
j:=j+1;
end;
writeln('Az osszevalogatott sorozat elemei:');
for k:=1 to n+m do
begin
write(t[k]:6);
if k mod 6 = 0 then
writeln;
end;
readln;
end.
Rekurziók a kombinatorikában
Sok szép algoritmus fedezhetı fel a permutációkkal való mőveletekre.
Ez a XI.-es algebra bevezetı tananyaga. Mi a következı feladatokra adunk
algoritmust:
– a permutációk számának kiszámítása
– az összes permutáció elıállítása
– két permutáció összetevése
– egy adott permutáció elıjelének kiszámítása
– egy adott permutáció felbontása inverziók szorzatára
A permutációk csoportot alkotnak, ahogy ezt a XII.-es algebra órán megtanítják. A
legfontosabb véges csoport, abban az értelemben, hogy minden véges csoport izomorf
(ugyanolyan struktúrájú) valamelyik permutáció csoport részcsoportjával. Ezért jó, ha
a tanulóknak errıl a csoportról alapos élményük és ismeretük marad.
A legtöbb esetben egy permutációt egy vektorral fogunk megadni, amelynek a
komponensei az elsı n természetes szám. Ez azt jelenti, hogy ha a-val jelöljük a
permutációt megadó vektort, akkor a[i] azt jelenti, hogy i-nek megfelel a[i]. Vagyis
az a permutáció i-t a[i]-be permutálja.
Számítsuk ki n elem ismétlés nélküli permutációinak számát!
Fontos és egyszerő n elem permutációinak kiszámítása. Tehát n! megadása, ahol !
a faktoriális jele. Papíron kiszámítani fárasztó, viszont géppel ajánlott, a növekedés
érzékeltetéséért. Ugyanis a faktoriális gyorsabban növekedik, mint a
hatványfüggvény, a n /n! tart a zéróhoz. A programocska lényegében egy ciklusból áll.
Azért kell egy hosszú valós számban (sablonban) kiszámítani a faktoriálist, mert
olyan nagy szám keletkezik, hogy egész típusú változóba nem fér bele.
Például 20 faktoriális 24 számjegybıl áll.
Az algoritmus pszeudokódban is nagyon egyszerő:
OLVASD m
FF := 1
CIKLUS
(VEGEZD EL minden i-re 1-tol m-ig, 1-es lepeskozzel)
FF := FF * i
CIKLUS_VEGE
IRD FF
68

VEGE
– Beolvassuk m értékét és az FF változónak ,amíg az eredményt fogja
tartalmazni az 1 kezdıértéket adjuk.
– Ezután m - szer végezzük el a következı mőveletet:
– megszorozzuk FF eddigi értékét i - vel, ahol i = 1,...,m
program fakt; {n elem faktorialis szama}
{n+}
uses crt;
const n=30;
var
i,m:integer;
ff:double;
begin
clrscr;
for m:=1 to n do
begin
ff:=1;
for i:=1 to m do ff:=ff*i;
writeln (m:2,' faktorialis= ',ff:40:4);
end;
readln;
end.
Faktoriális kiszámítása rekurzív módszerrel
Átírhatjuk a programot úgy, hogy külön függvényben számítjuk ki a faktoriális
értékét. Ez a megoldás klasszikus példa a rekurzív függvény használatára.
program permut;
uses crt;
var
n:integer;
function fakt(szam:integer):longint;
begin
if szam = 0 then
fakt:=1
else
fakt:=szam*fakt(szam-1);
end;
begin
clrscr;
write('Irjuk be n erteket : ');
readln(n);
writeln;
writeln('Az n= ',n:2,
' szam permutacioinak szama = ',fakt(n):8);
readln;
end.
A permutáció elıjelének kiszámítása
program inv;
const n=5;
type mm=array[1..n] of integer;
const a:mm=(2,1,3,4,5);
69

var
i,j,epsz,inverzio:integer;
begin
{for i:=1 to n do write(a[i],',');}
inverzio:=0;
for i:=n downto 1 do
for j:=i-1 downto 1 do
if a[j]> a[i] then
inverzio:=inverzio+1;
if odd(inverzio) then epsz:=-1
else epsz:=+1;
writeln('Inverzio=',Inverzio:2,'Elojel =',epsz:2);
readln;
end.
Egy adott permutáció transzpozicióik szorzatára való bontása
Transzpoziciónak nevezzünk egy olyan permutációt, amelyet az identikustól, csak
egy helycserében különbözik. Vagyis i < j, de a[i] > a[j], az összes többi k elemre
a[k] = k (tehát k ≠i és k ≠ j)
program inv;
uses crt;
const n=6;
type perm=array[1..n] of integer;
tt=array[1..2] of integer;
const a:perm=(6,4,5,3,2,1);
var
i,k:integer;
b:perm;
t:array[1..n] of tt;
procedure perm_szor(a,b:perm;var c:perm);
{Ket permutacio szorzata}
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do c[i]:=a[b[i]];
end;
begin
clrscr;
for i:=1 to n do begin write(a[i],',');
b[i]:=a[i]
end;
writeln;
for i:=1 to n do
begin
k:=0;
if ib[i] then begin
write('(',i:1,',',a[i]:1,')*');
k:=k+1;
t[k][1]:=i;
t[k][2]:=b[i];
b[b[i]]:=b[i];
b[i]:=i;
end;
end;
writeln;
{if k paros
70

paratlan
for i:=1 to k do }
for i:=1 to n do write(b[i],',');
readln;
end.
Permutációk, variációk és kombinációk elıállítása
Igazi programozási feladat a permutációk, variációk és kombinációk generálása.
Nem ezek számának megadásáról van szó, hanem a tényleges felsorolásukról
Az összes ismétlések nélküli permutáció elıállítása
Az eljárás a következı: p vektort feltöltjük az identikus permutációval (1-tıl n-ig).
Ez az elsı permutáció. A következı permutáció megadásához ciklikusan permutáljuk
az elemeket az elsıtıl kezdve – tehát (2, 3,.., n, 1)-et kapjuk, és ezt addig folytatjuk,
amíg az elsı helyre visszakerül az 1. Ezután végzünk egy ciklikus permutációt a 2.
elemtıl kezdve: (1, 3, 4,.., n, 2) és cirkulárisan folytatjuk mindaddig, amíg,
visszakerül az 1 az elsı helyre. Újra végzünk egy cirkuláris permutációt a 2. elemtıl
kezdve. Ezt addig folytatjuk, amíg az elsı két elem 1 és 2 lesz, majd végzünk egy
cirkuláris permutációt, de a 3. elemtıl kezdve, és folytatjuk a fent leírt eljárást. Tehát,
ha egy adott állapotban az elsı i helyen az 1-tıl az i értékek találhatók, sorrendben, de
az i+1 helyen i+1 értéktıl különbözı érték áll, akkor cirkulárisan permutálunk (i+1)tıl.
Mikor az összes elem újra növekvı sorrendben áll, vagyis visszakaptuk az
identikus permutációt, akkor megállunk.
Például: n = 3 -ra
1 2 3
2 3 1
3 1 2
1 3 2
3 2 1
2 1 3
program cirperm;
uses crt;
const
n=4;
var
i,k:integer;
p:array[1..n] of integer;
procedure helycsere(pozicio:integer);
var
k,i:integer;
begin
k:=p[pozicio];
for i:=pozicio+1 to n do
p[i-1]:=p[i];
p[n]:=k;
end; {helycsere}
procedure per(var paritas:integer);
var
i,l:integer;
begin
l:=0;
71

i:=0;
repeat
i:=i+1;
helycsere(i);
if(odd(n-i)) then
paritas:=-paritas;
if (p[i]i) then
l:=1
else
l:=0;
until ((l=1)or(i=n-1));
if l=0 then
paritas:=0;
end;
begin
clrscr;
for i:=1 to n do
p[i]:=i;
k:=1;
repeat
for i:=1 to n do
Write(' ',p[i]:1);
write(' A paritas = ',k:2,',');
writeLn;
per(k);
until k=0;
readln;
end.
Permutációk elıállítása rekurzív módszerrel
A feladat lényege maga kínálja a rekurzió választását. A permutációnál az alapötlet
a következı: n elem permutációja elıállítható n-1 elem permutációjából, ha annak
minden lehetséges helyére (elejére, kettı közé, végére) beillesztjük az n-et. Ezt végzi
a megjelölt rész a perm eljárásban. Az n rangú permutációt a v vektorban állítjuk elı,
n-1 rangú p permutációból, úgy hogy a "fıátló" helyére az n-et beillesztjük.
Természetesen, ahogy egy permutációval elkészültünk, átadjuk a feladatot egy
ranggal nagyobb permutáció megalkotására és ezekkel a feladatkiosztásokkal akkor
állunk le, ha elértük a kért rangot, amit a programban az m jelöl. Ekkor a rekurzív
hívások visszafőzıdnek és elıállítják az összes permutácót m-ig. Minket
természetesen csak az m rangúak érdekelnek és ezért csak azokat írjuk ki.
program ppp;
uses crt;
const m=4;
type t=array [1..m] of integer;
var n:integer;
p:t;
procedure perm(n:integer; var p:t);
var k,l,i:integer;
v:t;
begin
if n=m+1 then
else
begin
72

for k:=1 to n do
begin
i:=1;
l:=1;
while i

end.
Variációk és kombinációk számának megadásánál is felhasználhatjuk az elıbb
definiált faktoriális nevő rekurzív függvényt.
Most térjünk rá a variációkra: n elem m-ed osztályú variációja megkapható n elem
(m-1)-ed osztályú variációjából, ha annak (mondjuk, hogy) az elsı helyére
beillesztjük az (m-1)-esek között még nem variált elemet. Ezt fejezi ki a Vn m = (nm+1)
Vn m-1 képlet is, vagyis minden egyes (m-1)-ed osztályú variációból (n-m+1) új
állítható elı m-ed osztályúvá.
Itt a permutációkhoz képest a felfejlesztés bonyolultabb, mert n-szer kell a
fıprogramból is meghívni a varia rekurzív eljárást, egyszerősödik ellenben az új
elemek elhelyezése a régebbi generációhoz, mert csak az elsı helyre tesszük a még
nem variált elemet. Ezt elegánsan úgy oldjuk meg, hogy kiszitáljuk a már variált
elemeket és a megmaradt elemeket helyezzük az elsı helyre, majd átadjuk az eggyel
nagyobb osztály generálását a rekurzív procedúrának. A H halmaz tölti be a szita
szerepét, benne maradnak a még nem variált elemek. A technika egyébként ugyanaz
mint a permutációnál. Itt is vigyázni kell arra, hogy a kiírást csak a kívánt osztály
elérésekor végezzük el. Ellenırzésként külön kiszámítottuk a variációk számát és a jj
változóval követni tudjuk, hogy eljárásunk helyesen mőködik-e, elıállítván az összes
variációt.
program vvv;
uses crt;
const m1=3;
n=5;
type t=array [1..m1] of integer;
halmaz=set of 1..n;
var p:t;
i:integer;
jj:integer;
function vv(n,m:integer):integer;
var t,j:integer;
begin
t:=1;
for j:=1 to m do t:=t*(n-j+1);
VV:=t;
end;
procedure varia(n,m:integer; var p:t);
var elem,k,l,i:integer;
v:t;
H:halmaz;
begin
if m=m1+1 then
else
begin
H:=[1..n];
for k:=1 to m-1 do
H:=H-[p[k]];
for elem:=1 to n do
if elem in H then
begin
v[1]:=elem;
for l:=2 to m do
v[l]:=p[l-1];
74

varia(n,m+1,v);
if m=m1 then
begin
for l:=1 to m do write(v[l]:2,',');
writeln(' az ',jj,'.'); jj:=jj+1;
readln;
end;
end;
end;
end;
begin
clrscr;
writeln
(' ',n:1,'elem -',m1:1,'osztalyu variacioja :
',VV(n,m1):4);
jj:=1;
for i:=1 to n do
begin
p[1]:=i;
varia(n,2,p);
end;
end.
Kombinációk elıállítása
Számítsuk ki n elem m-enkénti kombinációinak számát!
A kombinációk számának kiszámításához a következı képletet hívjuk segítségül:
K m n= V m n/Pm= n(n-1)(n-2)...(n-m+1)/m!=n!/((n-m)!(m!))=Pn/(Pn-m Pm)
Az algoritmus pszeudokódban :
OLVASD n,m
P1 := 1
CIKLUS (VEGEZD EL minden i-re 1-tol n-ig, 1-es lépésközzel)
P1 := P1 * i
CIKLUS_VEGE
P2 := 1
CIKLUS (VEGEZD EL minden i-re 1-tol n-m -ig, 1-es lépésközzel)
P2 := P2 * i
CIKLUS_VEGE
P3 := 1
CIKLUS (VEGEZD EL minden i-re 1-tol m -ig, 1-es lépésközzel)
P3 := P3 * i
CIKLUS_VEGE
K := P1 osztva P2×P3 - mal
IRD K
VEGE
program Kombin;
uses crt;
var
n,m,i:integer;
K:longint;
function faktorialis(szam:integer):longint;
begin
75

if szam = 0 then
faktorialis:=1
else
faktorialis:=szam*faktorialis(szam-1);
end;
begin
clrscr;
write('Irjuk be n erteket : ');
readln(n);
write('Irjuk be m erteket : ');
readln(m);
K:=fakt(n) div faktorialis(n-m)*faktorialis(m);
writeln;
writeln ('Az n= ',n:2,' elem ,m= ',m:2,
'-ed rendu kombinacioinak szama = ',K:8);
readln;
end.
A variációtól már csak egy lépés választ el a kombinációk elıállításáig. Az iskolai
matematikában azt tanultuk, hogy a variációkból kihagyva a permutációkat,
megkapjuk a kombinációkat. A Cn m = Vn m /Pn képlet is ezt fejezi ki. Ezért elsı
ötletünk az lehetne, hogy próbáljuk meg kiszitálni a permutációkat a variációkból. De
ez technikás és hosszas megoldást követel. Ha rájövünk, hogy a kombinációk
rendezett variációk akkor a problémát meg is oldottuk. Ugyanis H-ból még kiszitálva
azokat az elemeket, amelyek kisebbek, a már elıállított, egy ranggal kisebb variációk
elemeinél, és ezzel dolgozva tovább, megkapjuk az összes variációk származtatását a
variációk származtatásának algoritmusával.
A kombio procedurában a
for k:=1 to m-1 do
H:=H-[p[k]];
for i:=1 to n do
if i in H then
begin
for k:=1 to m-1 do
if i< p[k] then H:=H-[i];
end;
részt kicserélhetjük azzal, hogy :
for i:=1 to n do
if i in H then
begin
for k:=1 to m-1 do
if i

i:integer;
jj:integer;
function CC(n,m:integer):integer;
var t,u,j:integer;
begin
t:=1;
u:=1;
for j:=1 to m do t:=t*(n-j+1);
for j:=1 to m do u:=u*j;
CC:=t div u;
end;
procedure kombio(n,m:integer; var p:t);
var elem,k,l,i:integer;
v:t;
H:halmaz;
begin
if m=m1+1 then
else
begin
H:=[1..n];
for k:=1 to m-1 do
H:=H-[p[k]];
for i:=1 to n do
if i in H then
begin
for k:=1 to m-1 do
if i< p[k] then H:=H-[i];
end;
for elem:=1 to n do
if elem in H then
begin
v[1]:=elem;
for l:=2 to m do
v[l]:=p[l-1];
kombio(n,m+1,v);
if m=m1 then
begin
for l:=1 to m do write(v[l]:2,',');
writeln(' az ',jj,'.');
jj:=jj+1; readln;
end;
end;
end;
end;
begin
clrscr;
writeln(' ',n:1,' elem --',m1:1,
'osztalyu kombinacioja :',CC(n,m1):2);
jj:=1;
for i:=1 to n do
begin
p[1]:=i;
kombio(n,2,p);
end;
end.
77

Mátrixok
Két mátrix szorzását a jól ismert sor-oszlop szabály szerint végezzük el. A
következı megfogalmazásban már benne van a megoldás lényege:
Keressük meg azt a z=(z{i,j}){i=1,2,...,n, j=1,2,...,l} mátrixot amelyet az x=(x{i,j}){i=1,2,...,n,
j=1,2,...,m} és y=(y{i,j}){i=1,2,...,m, j=1,2,...,l} mátrixból nyerünk a következı képlet
segítségével:
m
zik = ∑ xij
y jk
j=
1
Az algoritmus nagyon egyszerő, csak az egymásba ágyazott három ciklus
indexértékeire kell figyelni. A két külsı ciklusban az x mátrix oszlopindexét növeljük
1-tıl n-ig és az y mátrix sorindexét 1-tıl l-ig. A belsı ciklusban a z mátrix azon
elemét számítjuk ki, amelynek oszlopindexét az x mátrix oszlopindexe, sorindexét
pedig az y mátrix sorindexe adja.
A program:
program matrix;
uses crt;
type
matr = array[1..20,1..20] of Integer;
var
i,j,k,l,m,n : integer;
a,b,c : matr;
procedure szorzas(x,y:matr;var z:matr);
begin
for i:= 1 to n do
for k:=1 to l do
begin
z[i,k]:=0;
for j:= 1 to m do
z[i,k]:=z[i,k]+x[i,j]*y[j,k];
end;
end;
begin
clrscr;
{beolvasni n,m,l - t}
writeln('Elso matrix sorainak szama:');
repeat
readln(n);
until n < 21;
writeln('Elso matrix oszlopainak szama:');
repeat
readln(m);
until m < 21;
writeln('Masodik matrix oszlopainak szama:');
repeat
readln(l);
until l < 21;
randomize;
writeLn('Az elso matrix:');
for i:= 1 to n do
begin
for j:=1 to m do
begin
a[i,j]:=random(9);
78

write(a[i,j]:5);
end;
writeln;
end;
writeLn('A masodik matrix:');
for i:= 1 to m do
begin
for j:=1 to l do
begin
b[i,j]:=random(9);
write(b[i,j]:5);
end;
writeln;
end;
if m > 1 then
szorzas(a,b,c);
{kiiratas}
writeln('A harmadik matrix:');
for i:= 1 to n do
begin
writeln;
for k:=1 to l do
write(c[i,k]:7);
writeln;
end;
readln;
end.
Írjuk ki spirálisan egy négyzetes mátrix elemeit
Ez azt jelent, hogy egy 2 × 2-es mátrixot a11, a12, a22, a21-es sorrendben, egy 3 × 3as
mátrixot a11, a12, a13, a23, a33, a32, a31, a21, a12-es sorrendben kell kiíratni.
Készítsük el erre a programot!
program matrixspiral;
const
n=6;
var i,p,l:integer;
begin
for l:=n downto round(n/2) do
begin
p:=n+1-l;
for i:=p to l do write(' ',p,',',i);
for i:=p+1 to l do write(' ',i,',',l);
for i:=l-1 downto p do write(' ',l,',',i);
for i:=l-1 downto p+1 do write(' ',i,',',p);
end;
readln;
end.
Ez a kis program tulajdonképpen csak az indexek játéka. De éppen ez az amire jó
felfigyelni. Az indexek megfelelı variálásával, szimuláljuk a kiírást. Figyeljünk fel
arra, hogy az informatikában nagyon kevés eszközzel, gyakorlatilag végtelen sok
jelenség modellezhetı. A fenti feladatnak más megoldásai is adhatók, de itt pontosan
az indexek zsonglırözésének technikáján van a hangsúly. A programban csak az
indexeket íratjuk ki. Természetesen egy tetszıleges négyzetes mátrix tartalma is
kiíratható. Ebben az esetben a program:
79

program matrixspiral;
const
n=5;
a:array[1..n,1..n] of char=(('*','*','*','*','*'),
('#','#','#','#','#'),
('@','@','@','@','@'),
('&','&','&','&','&'),
('','','','',''));
var i,p,l:integer;
begin
for l:=n downto round(n/2) do
begin
p:=n+1-l;
for i:=p to l do write(a[p,i],',');
for i:=p+1 to l do write(a[i,l],',');
for i:=l-1 downto p do write(a[l,i],',');
for i:=l-1 downto p+1 do write(a[i,p],',');
end;
readln;
end.
Szakirodalom
1. N. Wirth: Algoritmusok+Adatstruktúrák = Programok, Mőszaki Kiadó, Budapest,
1982.
2. H. Georgescu, O. Bâscă: Culegere de probleme in limbajul FORTRAN, Ed.
Albatros, Bucureşti, 1977.
3. Kása Zoltán: Algoritmusok tervezése, Stúdium Könyvkiadó, Kolozsvár, 1994.
4. Ionescu Klára: Bevezetés az algoritmikába, Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 2005.
5. ALGEBRA, tanköny a XII. osztály számára Bukarest, Ed. did. ped. 1979-83.
6. Székely V.-Benkı T-né: Karakterisztikák, diagramok, nomogramok, Mőszaki
Könyvkiadó, Budapest, 1975.
7. Szabó József, Számítógépi grafika, Debrecen, 1986 (Egyetemi jegyzet)
8. Szabó József, Feladatok a számítógépi grafikából, Debrecen, 1992 (Egyetemi
jegyzet)
9. Shoenberg, Privelişti matematice, Ed.tehnică, Bucureşt,1989.
10. Tudomány, a Scientific American magyar fordítása, 1986/6.
11. Matematikai Lapok, 1995, 9-es szám.
80

Grafika
A számítógépes oktatásból nem lehet kihagyni a grafikai lehetıségeket. Általában
a rajznak nagyon fontos szerepe van, amely a kultúrában jóval mélyebben
gyökerezik, mint a szöveg. A képi információ az írotthoz vagy hallotthoz képest
elsıbbrendő és könnyebben értelmezhetı.
Egy képrıl olyan információk olvashatók ki, amelyek tudat alatt is nagyon
erısek és biztonságos tanulási képzeteket alkotnak. Ezért elemi óhaja az
embernek a rajzolás, a képalkotás (foto, film, videó, stb.). Erre is ideális eszköz a
számítógép, vele valóban rajzok és csodálatos képek készíthetık. Olyan szerepe
is van, mint a mikroszkópnak, de olyan matematikai struktúrákba is bepillantást
enged, mint a komplex számsík, vagy 4, 5 dimenziós tér, törtdimenziós
halmazok, stb. Más szóval, számítógéppel valóban mélyebben
bekukucskálhatunk az Univerzum eddig ismeretlen részleteibe.
Vannak speciális, rajzolást segítı, rajzoló programok, és nagyon sok rajzolási
segédeszköz, de ennek a példatárnak csak annyi a célja, hogy a rajzolás,
egyszóval a számítógépi grafika alapelveit vázolja, egy pár fontos alkalmazással.
A számítógépi grafikához, egyesek szerint nem kell tudni semmit, csak neki
kell fogni, és sokat rajzolni a gépen. Mások szerint egy jó rajzprogrammal
(CorelDraw, 3D_Studio) minden megoldható. Egy másik szemlélet szerint
komoly analitikus geometriai tudás kell ahhoz, hogy gépen rajzoljunk.
Olyan véleményt is hallottam, hogy lényegében a számítógépi grafika =
ábrázoló geometria + számítástechnika. Valószínő, hogy minden fenti
kijelentésben van valamennyi igazság.
Persze e fölött is vitatkoznak a számítástechnikusok és matematikusok.
Ugyanis már sok számítógépi grafikai szakfolyóirat létezik, és sok helyen úgy is
oktatják, mint egy külön tudományt. Egy dolog bizonyos, sokat kell rajzoltatni a
számítógépet és próbálkozzunk mindenféle geometriai struktúra lerajzolásával.
Szimulálási feladatok
Egy érdekes szimulálási feladat: a képernyın szimuláljunk egy hernyó mozgását.
Ez abból áll, hogy egy hosszúkás nyúlványszerő alakzatot fokozatosan módosítunk
azzal a technikával, hogy az elejének vett részhez (a fejéhez) egy újabb ugyanolyan
alakocskát hozzárajzolunk és a végérıl (a farkáról) egy alakocskát letörölünk.
Lényeges, hogy a fejez való hozzáragasztás véletlenszerő legyen, csak a fej
szomszédságában történjen. Ha ügyesen variáljuk, akkor egy nagyon élető
hernyómozgást kapunk. Természetesen lehet még okosítani ezt az eljárást azzal,
hogy az egész alakzatot egy alakzattal arrébb toljuk, vagyis a fej új pozícióba kerül
és a "nyak" felveszi a "fej" pozícióját, és minden "testrész" egy pozícióval arrébb
kerül.
Az elsı próbálkozásunknál nem is szükséges, hogy átváltsunk grafikus
üzemmódba, szöveges képernyınél is boldogulunk, ha például a hernyó testét
csillagocskákból építjük fel. Négy csillagocska már elegendı. Tanulmányozzuk rajta
a mozgás szimulálását. Próbálkozzunk azzal a változattal is, amikor a hernyó testét
több karakterbıl építjük fel és "durvábban" bolyongjon a képernyın. Ha a problémát
teljesen uraljuk, akkor váltsunk át grafikus képernyıre és készítsünk egy minél élet
hőbb, színes hernyót. A mellékelt program csak a legelsı változatra ad egy egyszerő
megoldást, a továbbfejlesztés már a hallgatók feladata.
81

program hernyo;
uses crt;
type pont =record
x,y:integer;
end;
var a:array[0..3] of pont;
i:integer;
xx,yy:integer;
begin clrscr;
a[0].x:=4; a[0].y:=10; a[1].x:=5; a[1].y:=10;
a[2].x:=6; a[2].y:=10; a[3].x:=7; a[3].y:=10;
for i:=0 to 3 do begin
gotoxy(a[i].x, a[i].y);
write('*');
end;
randomize;
xx:=1;
yy:=1;
repeat
a[0]:=a[1];
a[1]:=a[2];
a[2]:=a[3];
a[3].x:=a[3].x+xx;
a[3].y:=a[3].y+yy;
if a[3].x=80 then begin xx:=-1; yy:=random(3)-
1;end;
if a[3].x=0 then begin xx:=1; yy:=1;end;
if a[3].y=0 then begin xx:=1; yy:=1;end;
if a[3].y=25 then begin xx:=random(3)-1; yy:=-
1;end;
clrscr;
for i:=0 to 3 do
begin
gotoxy(a[i].x,a[i].y);
write('*');
end;
delay(200);
until keypressed;
end.
Hegyek
Az informatikai oktatás fı feladata, hogy a hallgatók modellezıkészségét fejlessze,
vagyis azt a készséget, hogy egy szavakkal leírt, vagy gyakorlati jelenséget
számítógépre átvigyenek. Itt nemcsak az algoritmizáló készségrıl van szó, hanem
arról is, hogy megtanulják: gondolataikat, meglátásaikat pontosan és törvényszerően
kell megfogalmazni. A számítógép ebben igazi tanár, de segítı barát is, hiszen egy
rosszul megfogalmazott feladat nem fog magától megoldódni, hanem csak akkor ha a
hallgató rá nem jön a helyes algoritmusra, szabályra-szabályokra. Ilyen "vérbeli"
modellezı feladat a következı:
Vegyünk egy tetszıleges háromszöget és a háromszög oldalainak felezıpontjait.
Majd rajzoljuk meg a háromszög középvonalait. Mindegyik felezıpontot
véletlenszerően vagy valamilyen szabály szerint toljuk el egy kicsit, majd az így
kapott pontokat kössük össze. Négy új háromszög keletkezik!
82

Most mind a négy háromszöggel végezzük el újra a fenti eljárást. Vagyis
megkeressük az oldalak felezıpontjait és azokat egy kicsikét eltoljuk. Az így kapott
pontokat összekötjük. Ha 6-7-szer megismételjük ezt az eljárást, akkor egy térhatású
képet kapunk, amely egy hegy fraktál szerkezetét szemlélteti. Itt van tehát egy
mindenki által jól megérthetı eljárás. A feladat, hogy ezt rajzoltassuk meg a
számítógéppel. Ez egy szép modellezési feladat és a megoldása nem könnyő, annak
ellenére, hogy a leírása rendkívül egyszerő és szemléletes. A feladat maga igényli a
rekurziót, vagyis az önmaga megismétlését, hiszen a megfogalmazása is ezen
alapszik. Szükségünk van egy összetett eljárásra, amely megkeresi egy tetszıleges
háromszög oldalainak a felezıpontjait, azokat véletlenszerően eltolja és az így kapott
pontokat összeköti, rajzolván így 4 darab új háromszöget.
Hol rejtızik a feladat lényege és nehézsége ?
Nyilvánvaló, hogy a fenti eljárás bemenı paraméterei a háromszög három csúcspontjának
koordinátái, de ezekbıl származtatok még három darab pontot, az
oldalfelezı pontok eltolásával. Ha ezeket véletlenszerően generáljuk, akkor a
rekurzió ezekben a pontokban nem főzıdik szépen össze, mert a véletlenszerően
generált pontok nem adódnak át a másik rekurzív hívásnak. Ennek a nehézségnek a
kiküszöbölésére több lehetıségünk van. A hegy1.pas programocskában az
felezıpontok eltolását a következı szabály szerint végezzük: Az oldalszakaszt
megfelezzük és a felezıpontot a két szakasz hosszával arányosan toljuk el – ez azt
jelenti, hogy két adott végpont esetén a felezıpont mindig egy jól determinált helyre
kerül és így a másik rekurzív eljárás is ezt a pontot ugyanoda viszi, ezért a
háromszögek szépen összefőzıdnek. Az eljárás hátránya, hogy szabályos szerkezet
alakul ki és nem lesz igazából fraktálszerő.
Mielıtt egy másik felezıpont-eltoló technika bemutatásához hozzákezdenénk,
ejtsünk néhány szót a hegy nevő eljárásról. Ez csak 3 vonalat rajzol, egy háromszög
3 oldalát, és átadja a feladatot a generált új felezıpontnak. Az n paraméter jelöli a
generációt és például, ha az kisebb mint 4, 5,... stb., akkor rajzolok, ha nem, akkor
átadjuk a feladatot eggyel kisebb generációnak, elvégezve az új oldalfelezı pontok
származtatását. Ha a hallgatók megértik a rekurziónak ezt az alkalmazását, akkor
jelentıs "informatikai eszköznek" jutottak a birtokába, amellyel sok szép feladatot
tudnak megoldani, de igen érdekes rajzokat is készíthetnek. Sıt a természet
törvényszerőségeibıl és mőködésébıl is megértenek egy parányi, de igen jelentıs
elvet, az élıvilág alapvetı rekurzivitásának az elvét. A hegy.pas nevő program már
véletlenszerően generálja a felezıpontokat, de ide is be kellett csempészni egy kis
szabályosságot. Ez pedig abban áll, hogy a véletlen számokat elıre származtatjuk és
elraktározzuk két vektorban az rx és ry-ban, azért, hogy ugyanolyan generációnak
ugyanazok a véletlen számok feleljenek meg. A háromszögek összeragadását így
tudjuk biztosítani. A h.pas programnál még jobban a véletlenre bízzuk a dolgot és
minden síkbeli ponthoz, amelyen a hegy fraktált felfejlesszük, hozzárendelünk egy
véletlen számot.
Javasoljuk, hogy a hallgatók próbáljanak még egyszerőbb megoldást találni erre a
feladatra! Hogy jobban megértsék, hogy miért is beszélünk a háromszögek
hézagmentes összefőzésérıl, bemutatunk egy negyedik programot is, amely talán a
legtermészetesebb, azáltal, hogy minden szakasz felezıpontjához teljesen
véletlenszerően rendelünk hozzá egy pontot. Így megmutatkozik a probléma
nehézsége. A feladat megoldásához elég annyit tudni analitikus mértanból, hogy ha
egy szakasz végpontjai
A(x1,y1) és B (x2,y2), akkor a felezıpont koordinátái: F((x1 + x2)/2, (y1 + y2) / 2)
(Ez elemi úton levezethetı, még ha nem is tanult valaki analitikus geometriát.)
83

program h;
uses Graph,Crt;
const
n=5;
m=1;
var
i,Meghajto,Uzemmod,GrafHiba:integer;
var rx,ry:array[1..n] of integer;
procedure hegy(n,m,x1,y1,x2,y2,x3,y3:integer);
begin
if n

A következı változat volna a legtermészetesebb megoldás, de a probléma, hogy
lyukak keletkeznek a hegy domborzatában. Ennek a kiküszöbölésében rejlik a
technikai probléma.
program hegy; {Elso probalkozas}
uses Graph,Crt;
const
n=6;
m=2;
var i,Meghajto,Uzemmod,GrafHiba:integer;
procedure hegy(n,m,x1,y1,x2,y2,x3,y3:integer);
begin
if n

Körök
Egy másik érdekes feladat a következı: Jelöljünk ki a képernyın hét (általánosan
n) pontot, majd ezeket középpontnak tekintve, fokozatosan növesszünk (rajzoljunk)
nem metszı köröket.
A körnövekedést állítsa meg a szomszédkör valamelyikével, vagy a képernyı
szélével való érintkezés. Természetesen, ha egy kör növekedése megállt, attól a
többiek még növekedhetnek – de biztos, hogy mindegyik növekedése le fog állni,
hiszen határt vagy kört fog érinteni.
A feladat segíti a modellálló készséget. A probléma szemléletes és a megoldás
helyessége a program futtatása során azonnal ellenırizhetı. Jó példa a párhuzamos
mőködés szemléltetésére, hisz lényegében a körök egyszerre kellene növekedjenek,
de ezt csak úgy tudjuk elérni, hogy sorba vesszük a köröket és mindegyiket növeljük
egy kicsikét (a sugarukat növeljük egy értékkel). Mi a továbbiakban két megoldását
mutatjuk be a feladatnak: az egyik, az egzakt matematikai, a másik az empirikus,
gépközeli. Nem szabad megfeledkezzünk arról, hogy a számítógéppel való
kölcsönhatás és a vele való munka kialakít egy újfajta lehetıséget és tapasztalatot.
Sok feladatra adhatnak olyan megoldást, amelyet a gép, az alkalmazások
szempontjából, jól és viszonylag gyorsan megold, de matematikailag kifogásolható.
Ennél a feladatnál kísérjük végig ezt a két megoldási stratégiát.
Az elsı a matematikai: Természetesen a két kör akkor érinti egymást, ha a
középponttól mért távolság egyenlı sugaraik összegével. Képletben:
d(O1,O2) = r1 + r2 és
ha O1(x1,y1) és O2(x2,y2), akkor (x2 - x1) 2 + (y2-y1) 2 = (r1 + r2) 2 .
Már ez a képlet feltételezi, hogy két valós szám egyenlıségét kell ellenırizni.
Hiába egészek a sugarak a képernyın, a négyzetgyökvonás valós számot térít vissza.
Tudni kell, hogy két valós szám egyenlıségének logikai feltétele gyakorlatilag nem
teljesül, hiszen a számítógépek valós számok helyett racionális számokkal dolgoznak
(10–18 tizedes jeggyel számolnak), ezért két valós szám s, t egyenlıségét általában
úgy ellenırizzük, hogy abs(s – t) < ε. ahol ε egy elıre jól meghatározott hibaküszöb
(nagyon kis pozítiv szám). Tehát azt vizsgáljuk, hogy a különbségük abszolút
értékben kisebb, mint egy elıre megadott küszöb. Ez már a problémát egy kicsit
bonyolítja, nem beszélve arról, hogy fontos, milyen nagysággal, milyen kvantummal
növeljük fokozatosan a sugarat. Ha túl kicsivel, akkor lassú a rajzolás, ha túl naggyal
akkor átugorhatjuk a körök érintkezését. Ennél a megoldásnál, minden kör
számontartásához, az ismert adatok mellett (mint a kör középpontja és sugara) még
szükségünk van egy logikai adatra amellyel mérni tudjuk, hogy még növelhetı-e az
illetı kör vagy sem. A többi részletet már ki kell tudni olvasni a forrásprogram
szövegébıl.
Egy másik ötletes gépközeli megoldásban a lényeg az, hogy úgy ellenırzi az
érintkezéseket, hogy a kör növelése elıtt megnézi, van-e kigyújtva képpont a kör
kerületének egy képpontos környezetében. Ha igen akkor ez azt jelenti, hogy ott
vagy határ vagy egy másik kör található, és ezért az illetı kör tovább már nem
növelhetı. Ennek a megoldásnak az elınye, hogy nem igényel valós számokat és
valós számításokat és könnyen általánosítható mondjuk ellipszisekre vagy
tetszıleges síkidomokra. Hátránya viszont, hogy jóval lassúbb mint az elsı
megoldás. Tény, hogy az elsı megoldást nem is lehet például ellipszisekre
alkalmazni, vagy csak nagyon-nagyon komoly és bonyolult matematikai
számításokkal. Míg ez utóbbi azonnal alkalmazható ellipszisekre.
86

program korok_novekedese;{ parhuzamos novekedes}
uses crt,graph;
const n=29;
type kor=record
x,y,r:integer;
b:boolean;
end;
var a: array[1..n] of kor;
gd,gm,i,j:integer;
function d(a,b:kor):longint;
var x1,x2,y1,y2:real;
begin
x1:=a.x; x2:=b.x; y1:=a.y; y2:=b.y;
d:=round(sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2)));
end;
begin
randomize;
gd:=detect;
initgraph(gd,gm,'c:\tp\bgi');
rectangle(0,0,getmaxx,getmaxy);
for i:=1 to n do
begin
a[i].x:=random(getmaxx);
a[i].y:=random(getmaxy);
a[i].r:=0;
a[i].b:=true;
end;
repeat
for i:=1 to n do
begin
if a[i].b then inc(a[i].r);
for j:=1 to n do
if ij then
if (a[i].r+a[j].r>=d(a[i],a[j])) or
(a[i].x+a[i].r>getmaxx) or
(a[i].x-a[i].r

A Logo programozási nyelv („Nincs királyi út a programozáshoz”)
A magyar informatikaoktatás egyik jó döntése volt, hogy a Comenius Logot
választotta és javasolta mint oktatásra alkalmas programozási nyelvet (környezetet). Mi
is ez a Comenius Logo? Lényegében egy programozási nyelv és környezet. De ami
még fontosabb, hogy egy gondolkodási mód, egy új szemlélet, nem csak a programozásban,
de az ember-számítógép kommunikációban is. De az ismeretszerzés és
tájékozódás egy újfajta eszköze is. A Logo, egy újfajta geometria, amit szemléletesen
teknıcgeometriának mondunk. Akkor lássuk, mi is a teknıcgeometria? Az egész
nevetségesen egyszerő és talán ebbıl származik a nagyszerősége. Arról van szó, hogy
minden kisgyerek szeret firkálni-rajzolni. A legmélyebben rejtızı gondolataink talán
képi információkból tevıdnek össze, ezt próbáljuk meg kifejezni a gép-ember
kommunikációban is. Mikor a számítógéppel valamit meg szeretnénk rajzoltatni igen
komoly „koordinátageometria” tudás szükségeltetik. Persze, lehet, hogy ez a tudás már
be van építve egy programba (szoftverbe), de e háttér nélkül nem boldogulunk. Egy
kisgyerek viszont tud rajzolni és ki tudja fejezni érzelmi és gondolati világát, rajzolva,
firkálva anélkül, hogy valaha is hallott volna geometriáról vagy koordinátarendszerrıl.
Akkor ezt nem tudnánk számítógéppel is szimulálni? Nem tudna a gép is olyan
egyszerően és természetesen rajzolni, mint ahogy egy 4-5 éves gyerek már papírra veti
gondolatait? Ezeket a kérdéseket Seymour Papert, amerikai matematikus válaszolta meg
kielégítıen.
A Logo tehát programozási nyelv, amelynek sok változata fut világszerte: Logo
Writer, MsLogo, SuperLogo, Comenius Logo stb. Ezek közül nagyon sikeres verzió a
Comenius Logo. Ennek a programozási nyelvnek a háttere és története túlmutat a többi
programozási nyelv ontológiáján, ugyanis ezt kimondottan a gyerekek számára írták. A
gyerekek viszont a legértıbb számítógép felhasználók, és minden nemzedék jövıje a ma
gyerektársadalmán nyugszik. Lássuk, hogyan nyilatkozik errıl Seymour Papert:
„Manapság az oktatási szituációk nagy részében a gyerekek úgy találkoznak a
számítógéppel, hogy kipróbálja képességeiket: megfelelı nehézségi szintő feladatot ad
nekik, a megoldásról visszajelez és információkat közöl- tehát a számítógép
programozza a gyereket. LOGO környezetben ez a viszony megfordul: már jóval
iskoláskor elıtt is a gyerek irányít, ı programozza a komputert. És miközben
gondolkodni tanítja a számítógépet, felfedezı munkába kezd saját gondolkodásáról. Ez
az élmény felkavarhatja a gyereket: a gondolkodásról gondolkodva episztemológussá
válik, ami a legtöbb felnıttel sohasem esik meg.
Az episztemológus gyerek nagyszerő képe akkor ragadta meg fantáziámat, amikor
Piaget-vel dolgoztam együtt. 1964-ben, miután öt évet töltöttem Piaget-vel genfi
Genetikus Ismeretelméleti Központjában, igen lenyőgözött az a megállapítás, hogy a
gyerekek saját gondolati struktúráik építıi. Az, hogy a tanuló maga építi fel a gondolati
struktúrákat, és nem a tanár tanítja meg neki, még nem jelenti, hogy a semmibıl
építkezik. Épp ellenkezıleg: mint minden építı, ı is azokat az anyagokat hasznosítja,
amelyeket a környezetében talál, kiváltképpen a környezeti kultúra által felkínált
modelleket és képleteket.
Piaget leírja, hogy milyen sorrendben fejleszti ki a gyermek a különbözı szellemi
képességeit. Én nagyobb hangsúlyt fektetnék azoknak az anyagoknak a hatására,
amelyek révén egy adott kultúra meghatározza ezt a sorrendet 3 .”
3 Seymour Papert: Észrengetés (A gyermeki gondolkodás titkos útjai) Számalk 1988.
88

A Logo-típusú feladatok és megoldások sokkal könnyebben érthetık a kezdı programozónak.
A differenciált oktatásban, amelyet lassan-lassan az egyetemi szinten is be kell vezetni,
szerepet kaphat az informatika alapjainak oktatásában.
Ennek egy elemi, de alapvetı eszköze lehet akár a Logo nyelv is.
Fejlesztıi környezet
A grafikai ismeret, a grafikai információ erısebb, mint a szöveges. Ha valamit látunk, azt
könnyebben és jobban megjegyezzük, ha csak hallunk róla, vagy, ha csak olvasunk róla. Ami
a Logonak nagy értéke, hogy szemlélteti az utasításainkat, tehát hamarabb és könnyebben
megértjük egy programocska lényegét.
Pascalban egy külön nehézségi ugrás az eljárásoknak és a függvényeknek a bevezetése és
megértése. Ez is a Logoban természetesebben érthetı. Mindannyiunknak vannak térbeli
ismereteink. Többet tudunk, vagyis elemibb információ a szabályos sokszög vagy az egyszerő
mértani alakzatok, mint például a prímszámok, a hatványok vagy a törtek. Persze, a mai
oktatás egyik nagy értelmetlensége, hogy a mértant a középiskolában elfelejtetik, sajnos a
helyette leadott modern algebrából (csoport, győrő, test) semmivel sem marad az érettségizı.
Ennek az áldatlan állapotnak az enyhítésére szolgálna a Logo bevezetése és használata a
programozási alapelvek leadásában. A térbeli, síkbeli ismereteket még felnıttkorban is pótolni
lehet, az aritmetikai ismereteket már nehezebben.
Ezért a mozgás és a mértani információk alapvetık és könnyen érthetık, mert tapasztalattal
rendelkezünk, míg algebrai tapasztalataink nagyon hiányosak.
Logo programozási elemek
Szekvencia
Elágazás
Ciklus
Eljárás
Rekurzió
Programozási elemek
Önálló utasítások
Ciklusok
Számlálós ciklus (Ismétlés…)
Feltételvizsgálat
ha feltétel [akkor utasítások]
ha feltétel [akkor utasítások][különben utasítások]
Önálló utasítások 1.
Relatív utasítások
•Mozgások
–elıre (e)
–hátra (h)
•Fordulások
–jobbra (j)
–balra (b)
Abszolút utasítások
Mozgások
89

–x!
–y!
–xy!
Fordulások
–irány!
Önálló utasítások 2.
Beállítások
•tollszín! (tsz!)
•tollvastagság! (tv!)
•töltıszín! (tlsz!)
•töltıminta! (tlm!)
•rajzlapszín! (rsz!)
Egyéb utasítások
•tollatfel (tf)
•tollatle (tl)
•törölrajzlap (tr)
•tollradír (trd)
•tölt
Számlálós ciklus
ismétlés N [utasítások]
•N-szer (N=ciklusváltozó) hajtja végre az utasításokat.
Például síkidomok rajzolása ismétléssel:
ism 4 [e 100 j 90]
ism 3 [e 100 j 120]
Feltételvizsgálat
•Ha feltétel [utasítás1] [utasítás2]
•Ha a feltétel igaz, akkor az utasítás1-et, ha a feltétel hamis, akkor az utasítás2-t hajtja
végre. Utasítás2 elhagyható.
Példa:
ha szam < 0 [kiír [negatív]][kiír [pozitív]]
ha oldal = 5 [ism 5[e 100 b 360 / 5]][ism 7[e 50 j 360 / 7]]
Eljárás készítése
Paraméter nélkül
Tanuld eljárás
…
vége
tanuld négyzet
ism 4 [e 100 j 90]
vége
tanuld kör
ism 360 [e 1 j 1]
vége
Az eljárás hívása: négyzet, illetve kör.
Paraméterrel
Tanuld eljárás :paraméter
…
vége
tanuld sokszög :szam
90

ism :szam [e 100 j 360 / :szam]
vége
Az eljárás hívása:
sokszög 5
Rekurzió
Önmagát hívó eljárás
Végtelen rekurzív eljárás:
tanuld ötszög
e 50 j 360/5
ötszög
vége
Rekurzív eljárás kilépési feltétellel:
tanuld ötszög
e 50 j 360/5
ha irány 0 [ötszög]
vége
A teknıcgrafika
A Logo programozás didaktikai elınyét a teknıcgrafikában, vagy a teknıcgeometriában
kell látassuk. A felhasználó szemléletesen látja és tapasztalja az utasításainak
hatását. Megérti az algoritmikus gondolkodás és cselekvés lényegét. Egy dolog az, amit
szeretnénk, és más lesz az utasításaink eredménye. Hol a hiba? A mi gondolkodásmódunkban
van! Erre tanít meg a teknıcgeometria. Gyorsan és konkrétan segít, hogy
korrigáljuk hibás utasításainkat, helytelen algoritmusunkat.
Noha a képernyın egy rejtett Descartes-féle derékszögő koordinátarendszer van (egy
rácsháló), csak bizonyos programozási és geometriai ismeretek birtokában tudjuk
hatékonyan kihasználni. Ugyanis kell hozzá ismerni a koordinátageometriát, vagy
pontosabban az síkbeli analitikus geometriát! Ezért, ha nincsenek koordinátageometriai
ismereteink, akkor használjuk bátran a teknıcgeometriát, amit az alábbiakban ismertetünk.
A teknıc egy állapottal rendelkezı pont. Lényegében a grafikus mutató (kurzor).
Alapértelmezésben adhatunk neki elemi utasításokat, mint amilyen: mozogj elıre, hátra,
jobbra és balra.
A teknıc alaphelyzetben az origón áll, és északi irányba néz. A teknıc az utasításokat
azonnal végrehajtja. Sok más programnyelv is átvette ezt az újfajta világszemléletet,
amit teknıcgeometriának mondunk, de akár az oktatási módszertanba is beépíthetı.
(Lásd Waldorf-iskolák, de vannak olyan magánóvodák, ahol elıször eljátsszák a
fontosabb teknıcgeometriai fogalmakat és csak utána próbálják ki a számítógépen is.)
A teknıcgeometria nem más, mint egy potenciálisan rajzoló gyermek, pontosabban
egy állapottal rendelkezı pont a véges síkon (vagyis a képernyın). (Úgyis felfoghatjuk
mint egy nagyon egyszerő Turing-gépet, egy állapottal és iránnyal ellátott automatát).
A teknıc állapotváltoztató utasításai: menj elıre valamennyi képpontot, hátra
valamennyi képpontot. A teknıc irányváltoztató utasításai: fordulj jobbra valamennyi
fokot, balra valamennyi fokot.
Például egy négyzetet így rajzoltatunk meg a teknıcgeometriában:
91

Ismételd 4[el•re 100 jobbra 90]
(Vagyis ismételje négyszer: elıre 100 képpontot és jobbra 90 fokot)
Nagyon tanulságos a sík legtökéletesebb alakzatának, a körnek a következı összehasonlítása
a koordinátageometria-beli megadásával. Koordinátageometriában (x-a) 2 +(yb)
2 =r 2 . Az euklideszi geometriában, a kör azon pontok mértani helye, amelyek egyenlı
távolságra vannak egy rögzített ponttól. Ezzel szemben a teknıcgeometriában, a kör az
nem más, mint egy kicsit elıre, egy kicsit balra, és ezt ismételjük mindaddig amíg
bezárul a vonal. Ami érdekes, hogy ugyancsak kör az is, ha egy kicsit elıre, egy kicsit
jobbra megyünk és ismételjük sokszor. Itt máris a tér egy mély filozófiai fogalmával is
megismerkedünk és ez az irányíthatóság fogalma vagy a szimmetria fogalma, amelynek
mély fizikai jelentısége is van. A teknıcgeometriával kezünkben tartjuk a
síkgeometriáját, megtapasztalhatjuk minden szépségét és minden nehézségét.
Tehát kört úgy rajzolhatunk Logoban, hogy: ismételd 360-szor elıre 1, jobbra 1. Ezt
tömören így írjuk:
ism 360 [el•re 1 jobbra 1].
Ha jól megértettük a kör megrajzoltatását, akkor sokféleképpen variálhatjuk. Például
lássuk a legsőrőbb körkitöltést:
ism 6 [ism 60 [el•re 1 jobbra 1] ism 360 [el•re 1 balra
1]]
De egy szép virágot is rajzolhatunk:
ism 10 [ism 36 [el•re 1 jobbra 1] ism 360 [el•re 1 balra
1]]
Játsszuk el most ezt sokszögekkel!
ism 7 [el•re 10 ism 7 [el•re 10 balra 360 / 7] jobbra 360
/ 7]
Nézzünk néhány teknıcgeometriai tételt:
Hasonlóság: ha a szögek változatlanok maradnak, és csak a méreteket (elıre, hátra
utasítások paramétereit) változtatjuk, akkor hasonló alakzatokat kapunk.
Szimmetria: Ha a méreteket változatlanul hagyjuk, de a fordulatok irányát
ellentétesre fordítjuk (jobbot a ballal cseréljük), akkor szimmetrikus alakzatokat kapunk.
Teljes teknıc-tétel: Ha a teknıc akármilyen alakzatot bejárva pontosan ugyanoda ér
vissza ahonnan kiindult, akkor a fordulatok összege 360 fok, vagy annak többszöröse.
Vagy idézzük szó szerint a LOGO megalkotóját Seymour Papert-et:
„A Teljes Teknıs Túra Tétele az alábbiakat mondja ki: Ha a Teknıc bármilyen
területet körbejár, és a túra végén ugyanabba az állapotba kerül, mint amikor elindult,
akkor az összes elfordulások összege 360 o .
E tétel megértéséhez az is hozzátartozik, hogy megtanuljuk alkalmazni egy jól
meghatározott problémacsoport megoldására. Ahogy tehát a gyerek ezzel a tétellel
találkozik, sokban eltér a hasonló euklideszi tétel memorizálásától: A háromszögek
belsı szögeinek összege 180 o .
92

Elıszöris (legalábbis a LOGO számítógépekkel kapcsolatban) a Teljes Teknıs Túra
sokkal hasznosabb: a gyerek a gyakorlatban tudja alkalmazni. Másrészt általánosabb:
nemcsak háromszögekre, hanem négyzetekre és másfajta görbékre is érvényes.
Harmadszor érthetıbb is: bizonyítását könnyő felfogni. Ezenkívül személyesebb is: az
ember végig tudja járni, és ezáltal általános modellt ad a matematikai és az egyéni
tudás összekapcsolására 4 .”
Ha a körrel már ennyi szép kitöltést megvalósítottunk, akkor a további kérdés,
hogyan rajzoljunk ellipszist úgy, hogy mindenki megértse. Ezáltal az ellipszis egy
érdekes „belsı” geometriai tulajdonságát fedezhetjük fel. Igazi statisztikus, vagy ami
még fontosabb, az ellipszis egy diszkrét tulajdonsága. A lényeg, hogy amíg egy teknıc
egy körpályát ír, addig egy másik e körpálya megfelelı pontjait kicsit módosítja.
Pontosabban, ha a teknıc x, y pontban van, akkor egy másik legyen x és (x+y)/2
pontban, vagyis a körpálya pont egyik koordinátája maradjon, a másik a számtani
közepe legyen.
Comenius Logoban ez így néz ki:
tanuld ellipszis
ism 360 [tf el•re 1 jobbra 1 make "x xhely make "y yhely~
xyhely! :x ( :x + :y ) / 2 ~
tl pont tf xyhely! :x :y]
vége
Magyarárat:
– tf jelentése tollat fel. Ezt azért használjuk, hogy a kört ne rajzoltassuk meg, bár a
tanulás-megértés során meg is rajzoltathatjuk.
– e 1 j 1: a kör megrajzoltatása,
– make "x xhely make "y yhely: az x és az y felveszi a kör aktuális pontjait
(pozicióit).
– xyhely! :x ( :x + :y ) / 2: az új pontokra pozicionálunk (odavisszük
a grafikus mutatót)
– tl pont: a tollat letesszük és pontot kigyújtunk a képernyın,
– tf xyhely! :x :y: tollat felvesszük és x, y régi körpontokba pozicionálunk.
A Comenius Logoban akár 4000 teknıcöt is
elıhívhatunk és munkára foghatunk. A mellékelt példán
csak 36 teknıckét hívtunk elı és körbe állítottuk. Ezek
után minden utasításunkat 36 teknıc egyszerre fog
teljesíteni. Persze itt látszik, hogy lényegében sorban
dolgoznak és nem párhuzamosan. Ha lassú a gépünk a
processzora 386-os vagy 486-os akkor bizony nagyon
lelassul 36 teknıc egyidejő mozgatásánál.
tanuld sok_teki :n
név "k 2
ism :n [újtekn•c :k [0 0 0 látható
figyelj] ~
kérem :k [j :k * 10 e 100] ~
név "k :k + 1]
vége
4 Seymour Papert: Észrengetés (A gyermeki gondolkodás titkos útjai) Számalk 1988.
93

Pitagoraszi kabala
ism 5[e 100 j 360/5 ism 5 [e 100 j 2*360/5]]
Rekurzív eljárással készített ábrák
Paraméter változtatása
tanuld csiganégyzet :hossz
e :hossz j 90
csiganégyzet :hossz + 10
vége
Mozaikok
Területkitöltések
Algoritmusa:
Alapelem rajzolása
Sor készítése alapelemekbıl
Mozaik készítése sorokból
Mozaik rekurzióval
Az eljárások:
•alapelem
•sor készítése az alapelembıl
•mozaik eljárás rekurzívan
Amit régebb csak körzı és vonalzó segítségével tudtak megszerkeszteni, igen nagy
fáradsággal, azt most a teknıcke egy szempillantás alatt megrajzolja. Például a
szabályos 7 szög szerkesztése, Gauss nagy felfedezései közé tarozik. Logoban ez annyi,
hogy ism 7[e 100 j 360/7]. Persze ez egy mély ismeretelméleti problémát vet fel.
Világos, hogy a számítógép approximál és numerikusan dolgozik. Tehát nem
beszélhetünk elvi megszerkesztıségrıl. De algoritmikus gondolkodás fejlesztésrıl,
számítási geometriáról igen. Hiszen ezzel csak megtanulja a hallgató, hogy minden n
oldalú szabályos sokszög megrajzolható, így
ism n[e 100 j 360/n] (Comenius Logoban a változókat a : kettıspont
hozzáragasztásával kapjuk meg).
Hogy ezt azt egyszerő eljárást is a tanuló megértse, tudnia kell, hogy a szabályos
sokszög körbeírható, minden szöge egybevágó, és a kiegészítı szögei 360/n fokosak.
Vagy minden szöge 180-(360/n) fokos. Talán ez elegendı is, ha ennyit minden tanuló
megjegyezne. Hogy melyek azok a szabályos sokszögek amelyek körzı és vonalzó
segítségével megszerkeszthetık, ez már egy mély matematikai kérdés. És nem is biztos,
hogy meg kell tanítani az iskolai matekban.
“Ide ne lépjen aki nem szereti a geometriát”
Nagyon sokat beszélünk a Bolyaiakról, de keveset tudunk a Bolyai-geometriáról. Az
Appendix ma is egy igen nehéz olvasmány, megértése nagy szellemi erıfeszítést
igénylı mő. Ennek egyik oka, hogy még napjainkban is nehezen szemléltethetı
94

geometria. A következıkben azt szeretném bemutatni, hogyan lehet elkezdeni a Bolyaigeometria
szemléltetését elemi szinten, például Comenius Logo segítségével.
A Bolyai-geometria egyik alapvetı tulajdonsága, hogy azon pontok mértani helye,
amely egy adott egyenestıl egyenlı távolságra helyezkednek el, az már nem egyenes,
hanem egy hiperciklus. Nos, ezt jó volna megrajzoltatni a teknıccel. Lehet úgy is, hogy
a teknıcöt megtanítjuk a Bolyai-féle távolságmérésre. Könnyebb sugársorokkal
dolgozni. Vegyük azoknak a síkbeli egyeneseknek az összességét, amelyek merılegesek
egy adott egyenesre. Ezek ez euklideszi geometriában párhuzamos sugársort alkotnak, a
Bolyai- féle geometriában viszont megfelelı (eltérı) sugársora merıleges „egyenes” a
hiperciklus. Hogyan tudjuk ezt bemutatni és a gyerekekkel megértetni. Biztos, hogy
nem egyórai anyag, és alapos módszertani körültekintést igényel. Elıször is, a
számítógép képernyıje a Poincaré-féle félsíkmodellhez áll a legközelebb. Ezen a
modellen a végtelen távoli pontok a képernyı alja (alsó határvonala), a téglalap alakú
képernyı többi 3 oldala bármennyire kiterjeszthetı (elvileg a végtelenig). Ezen a
modellen a Bolyai-féle egyenesek a alsó határvonalat merılegesen metszı félkörök és
egyenesek. Vagyis azok az egyenesek amelyek merılegesek erre a határ egyenesre, és
azok a félkörök amelyek középpontja a határ egyenesen helyezkednek el. Utána a
következıképpen okoskodhatunk. Vegyünk egy euklideszi teknıcöt (a zöld kicsi
teknıs) és egy Bolyai-féle teknıcöt (a háromszög alakú). Amíg egyik euklideszi
sugársort rajzol, a másik Bolyai-fé lét. Majd a euklideszi, illetve a Bolyai-féle
megrajzolja mind a két sugársor merıleges pályaívét (ortogonális trajektóriáját).
Programozástechnikailag, de akár módszertanilag is a legkönnyebb úgy dolgozni, hogy
az euklideszi síkon összetartó (centrális) sugársort rajzoltatunk, és ezt egy közönséges
inverzióval átvisszük a Bolyai-féle síkra. Ezt így könnyebb megvalósítani, mert elvileg
az euklideszi síkon egy adott egyenesre merıleges egyenesek párhuzamos sugársort
alkotnak, és az ezekre merıleges vonalak is párhuzamos egyenesek. Ezzel szemben a
Bolyai-geometriában egy széttartó (divergens) sugársora merıleges vonalak a
hiperciklusok A Bolyai-síkgeometriában vannak széttartó, vagyis se nem párhuzamos,
se nem metszı egyenesek, az euklidesziben ilyenek csak a térben léteznek.)
Talán könnyebb megérteni a paraciklus vonalat. Az euklideszi geometriában
párhuzamos sugársorokra egy merıleges vonal ugyancsak egyenes. Ha pedig többet
veszünk, akkor párhuzamos sugársorok merıleges pályaívei ugyancsak párhuzamos
sugársorok lesznek (rácsvonalak). Ezzel szemben a Bolyai-síkgeometriában ezek
lesznek a paraciklusok. (Az elnevezés Gausstól származik) A modellünkön a paraciklus
egy kör lesz. Még egy nagyon fontos tény, amelynek a megértése hozzájárulhat, a
Bolyai-féle geometriai szemlélet kialakításához. Ahogy minden egyenes, vagy annak
egy darabja, egybevágó minden más egyenessel, így a Bolyai-geometriában is minden
paraciklus, illetve annak egy darabja, egybevágó. Tehát lehetne gyártani paraciklus
vonalzót. A modellünkön a képernyı alsó határvonalát érintı körök lesznek a
paraciklusok, és ezek elvileg mind egybevágóak. (Ezt is könnyen „bizonyíthatjuk” egy
„programozási teszttel”.) Ezt úgy is felfoghatjuk, hogy a végtelent érintı körök, vagyis
végtelen sugarú körök.
Folytonos és diszkrét jelenségek
A Logoban könnyen szemléltethetı úgy a folytonos, mint a diszkrét matematika.
95

Két fontos példán keresztül szeretnénk bemutatni, hogy Comenius Logoban egyaránt
könnyen lehet szemléltetni, mind a folytonos, mind a diszkrét geometriát. Hihetetlenül
könnyen és vonzó szépséggel rajzolhatóak a fraktálok. (Fraktáloknak nevezzük az
önhasonló halmazokat, amelyek egy részének felnagyításával megkapjuk az eredeti
halmazt.) Íme néhány példa! A mellékelt ábra lényege, hogy csak szabályos sokszöget
rajzoltatunk a géppel. De ezt rekurzíven, például minden csúcsban kisebbet és kisebbet,
amíg mondjuk az oldalhosszúság kisebb mint egy képpont.
Az eljárások amivel ezek az ábrák készültek hihetetlenül egyszerőek:
tanuld so :n :s
ha :s > 1 [ism :n [e :s b ( 360 / :n ) so :n :s / 3]]
vége
tanuld sok :n :s
ha :s > 1 [tf h ( :s / 2 ) / tan ( 360 / ( 2 * :n ) ) j
90 tl ~
e ( :s / 2 ) b ( 360 / :n ) sok :n :s / 3 ~
ism ( :n - 1 ) [e :s b ( 360 / :n ) sok :n :s / 3] ~
e ( :s / 2 ) b 90 tf ~
e ( :s / 2 ) / tan ( 360 / ( 2 * :n ) ) tl sok :n :s
/ 3]
vége
A folytonos geometria (lényegében a differenciálgeometria) bemutatására is
minden eszközünk a rendelkezésünkre áll. Az ellipszis megrajzoltatásának ötletét fogjuk
felhasználni, hogy bemutassuk, hogyan lehet folytonosan áttranszformálni koncentrikus
köröket. Vagyis mi lesz a koncentrikus körök képe, egy folytonos transzformáció során.
Felix Klein, híres erlangeni programja szerint, a geometria nem más, mint valamilyen
transzformációkkal szemben invariáns (változatlan) tulajdonságok vizsgálata. Ezt
minden egyetemi geometria elıadáson elmondják csak éppen nem tudjuk szemléltetni.
Most íme itt egy hihetetlenül könnyen kezelhetı eszköz amivel akár már
középiskolásoknak is be tudjuk mutatni az erlangeni program lényegét. Eddig
viszonylag könnyő volt az euklideszi, a hasonlósági, az affin, a
projektív geometria szemléltetése, ugyanis azokat körzıvel és
vonalzóval meg tudtuk szerkeszteni. Ezzel szemben a folytonos
transzformáció invariáns tulajdonságait számítógép nélkül
nagyon nehéz szemléltetni. Ugyanígy a differenciálgeometria
alapvetı tulajdonságait is.
96

Az alábbi eljárások lényege, hogy amíg egy teknıc koncentrikus köröket rajzol,
addig egy másik, ezeknek a koncentrikus pontoknak az áttranszformált képeit fogja
megrajzolni. Itt a hallgatók kedvükre kísérletezhetnek, én azt választottam, hogy
x’=(x+y)/2, y’=x+(y/2)*sin x.
tanuld kor :s
tf j 90 e :s b 90 tl
ism 360 [e 3.14 * 2 * :s / 360 b 1]
tf b 90 e :s j 90 tl
vége
tanuld tw :s
tf j 90 e :s b 90
make "k 0
ism 360 [kérem "sanyi [tf make "k :k + 1 e 3.14 * 2 * :s / 360 b 1 ~
make "x xhely make "y yhely] ~
kérem "pali [ha :k = 1 [tf][tl] ~
xyhely! ( ( :x + :y ) / 2 ) ( :x + :y / 2 * sin :x )]]
tf b 90 e :s j 90 tl
vége
tanuld iso
make "i 5
ism 10 [make "i :i + 5 tw :i]
vége
A matematikai analízis néhány sarkalatos függvényét is könnyen be tudjuk
mutatni Comenius Logoban. Például a mindenütt folytonos, sehol sem deriválható
függvényt, vagy a véges területet kitöltı végtelen hosszú vonalat, a terület nélküli
síkbeli halmazokat, a Cantor típusú perfekt halmazokat, stb. Ezeket mint egy a
keletkezésük folyamatában tudja bemutatni az elıadó. De a klasszikusnak mondott
görbékkel is könnyebben megbarátkozhatnak a hallgatók. Újra fölfedezhetik a cikloist,
az epicikloist, az aszteroidát, stb. Ezekrıl már teljesen elfeledkezetünk, pedig a
számítógépi grafika által ezek reneszánszának lehetünk tanúi.
Szakirodalom
1. Farkas Károly: Logo Writer programnyelv gyerekeknek, Múzsák Kiadó Reál
Szerkesztısége, Budapest, 1994.
2. A LOGO programozási nyelv, Mőszaki Könyvkiadó Budapest 1986. (Turcsányiné Szabó
Márta és Dietrich Senftleben munkája)
3. Seymour Papert: Észrengetés (A gyermeki gondolkodás titkos útjai) Számalk 1988.
4. Turcsányiné Szabó Márta-Zsakó László: Comenius Logo gyakorlatok, Kossuth Kiadó,
1997.
5. Dancsó Tünde: Comenius Logo – Játék és animáció (Kossuth Kiadó), 2001
6. Dancsó Tünde: Az informatika alapjai, Kossuth Kiadó 1995.
7. Dumitru, Petru, LOGO – 16 lecŃii şi aplicaŃii, Editura Spot, Focşani, 1996.
8. Dumitru, Petru, LOGO – 500 de proceduri, Editura Spot, Focşani, 1997.
9. Ion Diamandi: Cine ştie LOGO, Editura Agni, Bucureşti, 1994.
97

10. Diamandi I., Vass Gh. LOGO, o nouă metodă de a învăŃa cu ajutorul calculatorului,
Editura Pacific, Bucureşti, 1991.
11. Vass, Gheorghe: Logomatematica – IniŃiere în Logo, Matematică şi ŞtiinŃe exacte.,
Editura Alternative, Bucureşti, 1995.
98