Kombinatorika

Kombinatorika
9. előadás
Farkas István
DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék
Kombinatorika – p. 1/

Permutáció
Definíció. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét
az adott n elem egy ismétlés nélküli permutációjának hívjuk. Az n elem
permutációinak számát Pn-nel jelöljük.
Tétel. Az adott n elem ismétlés nélküli permutációinak száma:
Pn = n!.
Definíció. Adott n elem, amelyek között r (r ≤ n) különböző található, ezek
a1, a2, . . .ar. Az a1 elem k1-szer, az a2 elem k2-ször, . . ., az ar elem kr-szer
fordul elő és k1 + k2 + . . . + kr = n. Az adott n elem egy meghatározott
sorrendjét ezen elemek egy ismétléses permutációjának nevezzük. A szóba
jöhető ismétléses permutációk számát P k1,k2,...,kr
n
szimbólummal jelöljük.
Tétel. Rögzített n, r és k1, k2, . . .,kr esetén az ismétléses permutációk
száma:
P k1,k2,...,kr n!
n =
k1! · k2! · . . . · kr! .
Kombinatorika – p. 2/

Kombináció
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k ≤ n) úgy választunk
ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n
elem egy k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés
nélküli kombinációinak számát C k n szimbólummal jelöljük.
Tétel. Az n különböző elem egy k-adosztályú kombinációinak a száma:
C k n =n
k.
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy
elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy
k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses
kombinációinak számát C k,i
n szimbólummal jelöljük.
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:
C k,i
n =n + k − 1
k .
Kombinatorika – p. 3/

Variáció
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet (0 < k ≤ n) úgy választunk
ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem
egy k-adosztályú ismétlés nélküli variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétlés nélküli
variációinak számát V k n szimbólummal jelöljük.
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú variációinak száma:
V k n =
n!
(n − k)!
= n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1).
Definíció. Adott n különböző elem. Ha az n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy
elem többször is sorra kerülhet és a kiválasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy
k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk. Az n elem k-adosztályú ismétléses variációinak
számát V k,i
n szimbólummal jelöljük.
Tétel. Az n különböző elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma:
V k,i
n = nk .
Kombinatorika – p. 4/

A binomiális tétel
Definíció. Tetszőleges kéttagú kifejezés bármely nemnegatív egész kitevőjű hatványa polinommá
alakítható a következő formában:
(a + b) n =
nk =0n
k·a n−k · b k ,
ahol n ∈ N és a, b ∈ R.
k= Tétel. Bármely k, n ∈ N és 0 ≤ k ≤ n esetén fennáll a(z)
1. szimmetria-tulajdonság:
n n
n − k,
2. összegtulajdonság (A Pascal-háromszög képzési szabálya):
3. és teljesül a következő egyenlőség:
n
k+n
k + 1=n + 1
k + 1,
n
0+n
1+n
2+. . . +n
n=2 n
Kombinatorika – p. 5/

A Pascal háromszög
A binomiális együtthatókat (n = 0, 1,2, . . . értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben
helyezhetjük el.
0 0
1
n = 0
1
2
n = 1
2
3
n = 2
3
n = 3
4
n = 4
0 0 1
0 1 2
2
0 1 1 2 3
2 3
3 3
4 4
4
4
4
A következő dián a kiszámított együtthatók láthatók. Figyeljük meg a binomiális együtthatók
tulajdonságait!
Kombinatorika – p. 6/

A Pascal háromszög
A binomiális együtthatókat (n = 0,1,2, . . . értékekre) az ún. Pascal-féle háromszögben
helyezhetjük el.
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
• A háromszög szimmetrikussága a binomiális együtthatók szimmetriatulajdonságából
következik.
• Ha egy sor bármely két szomszédos elemét összeadjuk, akkor az alattuk lévő elemet
kapjuk. Ez a Pascal háromszög képzési szabálya.
• A sorbeli elemeket összeadva mindig 2 megfelelő hatványát kapjuk. Ez volt a harmadik
tulajdonság.
Kombinatorika – p. 7/

Mintavételezési eljárások
Visszatevés nélküli mintavételezés. Legyen adott egy N elemű
termékhalmaz, amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból
egyszerre egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan
k darab selejtes termék szerepel:
S
k
·
N − S
.
n − k
Visszatevéses mintavételezés. Legyen adott egy N elemű termékhalmaz,
amelyben S a selejtesek száma. Vegyünk ki ebből a halmazból visszatevéssel
egy n elemű mintát. Ekkor azon minták száma, amelyben pontosan k darab
selejtes termék szerepel:
n
k
· S k · (N − S) n−k .
Kombinatorika – p. 8/